公式（4.6）和（4.7）可被视为[FSZ，第4.1节]中出现的（时间倒转）默顿项目的正向性能类似物。备注2.3中强调的差异也适用于此处。现在，我们用一个收敛定理来补充前导项V（0）、V（1,0）、V（0,1）的显式公式，证明函数V（0）逼近真值函数V是正确的+√δV（1,0）+√V（0,1）。我们需要非线性函数ηδ，，我们在附录A中给出了它的详细公式。我们还设置了（t，ξ，y，y）：=T-对数V（0）x-kλkt，y，y, 设（4.12）~ηδ，（t，ξ，y，y）：=ηδ，（t，x，y，y）。定理4.4（余数估计，一般情况）。假设有δ>0，>0，和t≤ ∞ 这样，对于所有人（δ，）∈ （0，δ）×（0，），HJB方程（1.6）有一个解V∈C1,2,2,2[0，T）×（0，∞)×R这在第二个论点中是增加的，严格地说是凹的。然后，（i）质量（δ+）-1ZRe-z2t∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2ktkddξ2kZtZRηδ，（s，ξ）- χ、 y，y）s-1/2e-χ2sdχds dz，以及（4.12）中定义的ηδ，，对所有人都有很好的定义和定义（δ，）∈ （0，δ）×（0，）和（ii）对于每个（t，x，y，y）∈ [0，T）×（0，∞) xR哪个极限优于（4.13）limδ↓0,↓0(δ + )-1.ZRe-z2t∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2ktkddξ2kZtZRηδ，（s，ξ）- χ、 y，y）s-1/2e-χ2sdχds dz是有限的，误差界（4.14）limδ↓0,↓0(δ + )-1.V（t，x，y，y）-V（0）（t，x，y）-√δV（1,0）（t，x，y）-√V（0,1）（t，x，y）< ∞应用。如果上极限（4.13）在[0，T）×（0）的子集上一致有界，∞)那么（4.14）中的收敛性在[0，T）×（0，∞) ×R.备注4.5。条件（4.13）与条件（2.24）的形式相同，备注2.7中对后者的详细解释也适用于此处。定理4.4的证明。我们按照定理2.6的步骤进行。

更具体地说，我们加上gV=V（0）+√δV（1,0）+√V（0,1）+Q转化为HJB方程（1.6），并将泰勒展开式应用于√δ和√. 因此，我们使用基本标识a+b=a-ba+ab22 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP Oulou以及V（0）、V（1,0）、V（0,1）、V（2）、V（3）、V（1,1）和V（1,2）的定义，以消除订单1的条款，√δ、 及√. 剩下的方程式读数为（4.15）Qt+kλkV（0）xV（0）xx！Qxx- kλkV（0）xV（0）xx！Qx=ηδ，，其中ηδ，在定理陈述之前定义。现在，我们可以通过重复定理2.6证明中的步骤得出结论，即通过改变坐标（4.16）（t，ξ，y，y）：=T-对数V（0）x-kλkt，y，y在（4.15）中，将杜哈迈尔原理与[Wi2]中给出的逆魏尔斯特拉斯变换公式结合起来。4.2. 电力公司的例子。我们用面向性能过程的幂函数族对结果进行了说明。对于恒定的风险规避系数γ∈ (0, ∞)\\{1} 我们将HJB方程（1.6）的初始条件施加到beV（0，x）=γx1-γ1 - γ.与第2.2节类似，我们在建议4.1：（4.17）V（0）（t，x，y）=u的第（i）部分中给出了常参数值函数V（0）（t，x，y）的以下显式解λ（y）t，x其中u（t，x）=γx1-γ1 - γe-Γt和Γ=1- γγ，可以通过将测量值取为以γ为中心的狄拉克δ来验证-1和常数=γ。从命题4.1中的（4.5）我们计算V（1,0）（t，x，y）=tC1,0（y）Γ′λ（y）λ′V（0）（t，x，y），从（4.7）我们得到V（0,1）（t，x，y）=tc0,1（y）ΓV（0）（t，x，y）。然后，正向性能值函数的三项近似由（4.18）V（t，x，y，y）给出=1 +√δtC1,0（y）Γ′λ（y）′λ′（y）+√t C0,1（y）ΓV（0）（t，x，y）+O（δ+），其中V（0）在（4.17）中明确给出。

近似最优投资组合在最后一节中，我们定义了与近似相关的投资组合，并确定了其近似最优性。定义5.1。让反馈组合函数π≈由π给出≈= -（σT）-1λV（0）xV（0）xx+√δV（0）xxV（1,0）x- V（0）xV（1,0）xxV（0）xx+√V（0）xxV（0,1）x- V（0）xV（0,1）xxV（0）xx-√δκ（σT）-1ρsV（0）xyV（0）xx+√（σT）-1ρfαφyV（0）xxV（0）xV（0）xxx（5.1）正向性能过程23，其中V（0）、V（1,0）和V（0,1）如命题4.1所示，φ如（4.4）所示。通过回顾HJB方程（1.6）中的非线性源于优化问题SUPπ，得出了公式（5.1）（λVx）+√δκρsVxy+√αρfVxy）T（σπ）+Vxx（σπ）T（σπ）,将V替换为其扩展V（0）+√δV（1,0）+√对应优化器π公式中的V（0,1）*, 并将δ，中的泰勒展开式应用于结果。我们指的是π≈作为下一个命题所证明的近似最优投资组合。备注5.2。在功率转发性能的情况下，可以使用价值函数的公式（4.18）来计算近似最优的投资组合。我们省略了这里冗长的表达。提议5.3。假设有δ>0，>0和T≤ ∞ 这样，对于所有人（δ，）∈ （0，δ）×（0，），HJB方程（1.6）有一个解Vδ，∈ C1,2,2,2（[0，T）×（0，∞) 在第二个参数中，是严格凹的。然后，值处理vδ，（t，Xπ）≈（t） ，Yδ（t），Y（t））满足形式为（5.2）dVδ，=Vδ，Y的SDE√δκdB（t）+Vδ，y√αdB（t）+Vδ，xσtπ≈dW（t）+Θδ，dt带漂移系数Θδ，=Θδ，（t，Xπ）≈（t） ，Yδ（t），Y（t））。

此外，如果（4.13）中的极限值通过用任何一种ηδ、ξ、ηδ、ξ、ηδ、ξξξ、ξξξ、ηδ、ξy、δ、ξδ中的任何一种来代替，那么（5.3）limδ↓0,↓0(δ + )-1.Θδ，（t，x，y，y）< ∞.换句话说，投资组合的绩效π≈无法仅通过δ+阶的有界变化项来满足最优性的鞅c标准。证据通过结合dxπ（t）=u得到SDE（5.2）Yδ（t），Y（t）Tπ≈（t） dt+σYδ（t），Y（t）Tπ≈（t） dW（t），π的定义≈（定义5.1）和It^o公式。写入Vδ，=V（0）+√δV（1,0）+√V（0,1）+Qδ，回顾HJB方程（1.6），我们看到漂移系数Θδ，是Qδ，x，Qδ，xy，Qδ，xy和Qδ，xx的线性组合，系数一致有界于δ，，无论限制在哪里↓0,↓0Vδ，x，limδ↓0,↓0Vδ，xy,limδ↓0,↓0Vδ，xy,limδ↓0,↓0-Vδ，xxa是有限的。接下来，回忆变量的变化（4.16），写出qδ，（t，ξ，y，y）表示qδ，（t，x，y，y），并从定理4.4的证明中重新证明，qδ，满足反向方程（5.4）qδ，t+kλkqδ，ξ=ηδ，初始条件为零。对该方程在ξ中的微分，结果方程的达哈默尔原理，以及[Wi2]中给出的魏尔斯特劳斯逆变换公式得出，如果条件（4.13）在某一点上保持ηδ，ξ，则qδ，x在某一点上是形式（5.3）的控制。

ξ中的重复微分对于qδ、ξ（因此也包括qδ、xx）和ηδ、ξξ，以及对于qδ、ξξ和ηδ、ξξ，给出了相同的结果。最后，对ξ中的方程（5.4）进行微分，得到qδ，ξyt+kλkqδ，ξyξξ=ηδ，ξy- λTyλqδ，ξξξ.24 MYKHAYLO SH KOLNIKOV，RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OULOUBy线性qδ，ξy=^qδ，- tλTyλqδ，ξξ，其中^qδ，t+kλk^qδ，ξ=ηδ，ξy。因此，^qδ，在满足条件（4.13）的情况下，允许对形式（5.3）进行控制，其中ηδ，y，其中sqδ，ξξ之前已经被控制过。然后，Qδ，xy上的期望界来自于Qδ，ξy，Qδ，ξξ和Qδ，ξ的界。为了完成证明，仍然需要在类似的模型中估计Qδ，xy，并将Qδ，x，Qδ，xy，Qδ，xy和Qδ，xx的估计进行组合。备注5.4。在目前只有一个慢因子的情况下（即，在第2节的设置中），类似于命题5.3的陈述适用于组合函数π≈= -（σT）-1λV（0）xV（0）xx+√δV（0）xxV（1）x- V（0）xV（1）xxV（0）xx-√δκ（σT）-1ρV（0）xyV（0）xxv，其中V（0）和V（1）分别如命题2.1和命题2.2所示。我们很容易推断，对于投资组合函数π只存在一个快速因子（即在第3节的设置中）的情况，类似的结果也成立≈= -（σT）-1λV（0）xV（0）xx+√V（0）xxV（1）x- V（0）xV（1）xxV（0）xx+√（σT）-1ραφyV（0）xxV（0）xV（0）xx其中V（0）和V（1）分别如命题3.1和3.2所示，φ（y）在（3.8）中给出。结论我们为多因素完全市场模型中的远期绩效过程以及相应的最优投资组合提供了收敛近似。我们的方法基于对相应的不适定HJB方程的摄动分析。近似的主项来自于适当平均的问题，其解由魏德定理可知。

快速和慢速波动系数的修正项可以根据这个前导顺序项显式计算。我们也给出了电力效用的显式计算。在更一般的情况下提供的公式的易用性，以及收敛的条件，应该允许未来的工作在现实的市场环境中开发远期绩效流程的财务影响。正向性能过程25附录A第4节ηδ，中ηδ的表达式：-VxxδkλkV（1,0）x+kλkV（0,1）x+kλkVx- V（0）x-√δV（1,0）x-√V（0,1）x+κkρskδV（0）xy+ΔκkρskV（1,0）xy+ΔκkρskV（0,1）xy+2αkρfk（Vxy）+Δκkρsk互相关函数- V（0）xy-√δV（1,0）xy-√V（0,1）xy+ δκλTρsV（0）xV（1,0）xy+κλTρs√δV（0）xV（0,1）xy+√δkλkV（1,0）xV（0,1）x+κλTρsδV（0）xyV（1,0）x+δ3/2κλTρsV（1,0）xV（1,0）xy+δ√κλTρsV（1,0）xV（0,1）xy+√δ√αλTρfV（1,0）xVxy+√δκλTρsV（0）xyV（1,0）x+δ√κλTρsV（0,1）xV（1,0）xy+√δκλTρsV（0,1）xV（0,1）xy+αλTρfV（0,1）xVxy+δ3/2κkρskV（0）xyV（1,0）xy+δ√κkρskV（0）xyV（0,1）xy+√δ√α κρsTρfV（0）xyVxy+δ3/2√κkρskV（1,0）xyV（0,1）xy+δ√α κρsTρfV（1,0）xyVxy+√δ α κρsTρfV（0,1）xyVxy+κρs互相关函数- V（0）xy-√δV（1,0）xy-√V（0,1）xy×√δλV（0）x+√δλV（1,0）x+δκρsV（0）xy+δ3/2κρsV（1,0）xy+δ√κρsV（0,1）xy+√δ√αρfVxy+ λVx- V（0）x-√δV（1,0）x-√V（0,1）x×√δλV（1,0）x+√λV（0,1）x+√δκρsV（0）xy+δκρsV（1,0）xy+√δκρsV（1,0）xy+√αρfVxy+√δκλTρsVx-V（0）x-√δV（1,0）x-√V（0,1）x互相关函数- V（0）xy-√δV（1,0）xy-√V（0,1）xy-Vxx-V（0）xxkλk√δV（0）xV（0），δx+kλk√V（0）xV（0），x+√δκλTρsV（0）xV（0）xy+√αλTρfV（0）xVxy+kλkV（0）xVx- V（0）x-√δV（1,0）x-√V（0,1）x-kλkV（0）xV（0）xx！Vxx- V（0）xxVxx- AδyV-Ay五、- V（2）- 3/2V（3）-√δ3/2V（1,2）.这里AyV（2）、AyV（3）和AyV（1,2）分别通过（4.8）、（4.9）和（4.11）定义。26 MYKHAYLO SH KOLNIKOV，RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OULOUReferences[CV]G.Chacko，L.M.Viceira（2005）。

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227–254.普林斯顿大学运筹学与金融工程系邮箱：mshkolni@gmail.comDepartment普林斯顿大学运筹学与金融工程学院邮箱：sircar@princeton.eduDepartments奥斯汀德克萨斯大学麦考姆斯商学院数学与IROM学院和牛津大学牛津曼学院电子邮件地址：zariphop@math.utexas.edu