例如，从时间9000到时间10000以及从时间13000到时间20000的收益暴露区域在点密度上都存在巨大差异。这种说法可以用波动性聚集现象来解释，这是金融领域一个有充分文献证明的典型事实。例如，从时间9000到时间10000，极值明显比接近0的更频繁。这种肉眼可见的结构通过压缩试验得到证实。如表13所示，算法PAQ8o8在均匀离散序列上获得了0.82%的压缩率。这种压缩率看起来非常弱，其鲁棒性可能会令人怀疑。为了验证其重要性，我们模拟了一个i.i.d.U（0255）过程中的100个整数序列，其中每一个都包含27423个观察值，作为道琼斯每日收益率序列（此后为DJ）。表13：离散化DJ算法的压缩测试文件大小压缩率27423 100%胡夫曼27456-0.12%Gzip 27489-0.24%PAQ8o8 27198 0.82%解释：离散化道琼斯可通过PAQ8o8压缩模拟序列通过压缩工具进行测试。PAQ8o8在所有模拟序列上均未提供正压缩率。这一结果证实了规律性和可压缩性之间的理论关系：尽管其较弱，但从离散化DJ得到的压缩率表明数据中存在波动性簇。为了推进代表中的另一步，并验证每日DJ回报是否包含除见证的程式化事实之外的其他模式，我们应该借助可逆转换消除“波动性聚集”现象。事实上，在上述统一离散化过程中，每个整数代表实际收益的相同值。这就是为什么在图7中，高（或低）波动期以极值的过度出现（或次出现）为标志。

去除“波动性簇”就是修改这些非规则区域，并确保图7的每个部分都具有相同的点密度。我们在这里提出的解决方案是以渐进的方式离散化DJ。更准确地说，我们不是一次离散整个序列，而是用迭代程序逐块处理它。用St表示道琼斯每日收益率系列，以下三步程序可以消除St中的聚集波动性：o开始时，在St的开头放置一个512收益滑动窗口。窗口中的收益（即前512个）通过上述非预测程序转换为整数。与Sis相关的整数应存储为离散序列的第一项滑动窗口向右移动一步，窗口中的返回值再次离散，与Sis对应的整数存储为离散序列的第二项重复第二步，直到St的最后一次返回。从该过程获得的整数序列不会显示任何波动性簇。图8和图7之间的比较说明了这种渐进程序的影响。这个迭代过程如何消除波动性集群？其主要思想是在DJ中对每个返回进行编码，使其与近距离出现的返回进行编码。在上面的例子中，滑动窗口的长度图8:DJ在渐进离散化后被固定为512，这意味着每个返回的离散化只取决于511项。因此，离散化序列中的每个整数，例如255，在高波动期间代表10%的上升，在低波动期间代表3%的上升。

由于渐进离散化，波动期的极值被“拉”回零，而波动期的收益将被“推”到极值。如果非均匀分布和波动性集群是DJ中唯一的规则，则逐步离散化的序列（即st）将无法通过算法工具进行压缩。在STC上获得的阳性压缩率表明存在未知结构。为了验证这一点，对st进行了压缩测试。结果如表14所示：我们注意到14：压缩测试：渐进离散化后的DJ算法文件大小压缩率27039 100%Huffman 27075-0.12%Gzip 27105-0.24%PAQ8o8 26913 0.27%解释：即使在渐进离散化过程后，DJ仍然可以通过PAQ8o8压缩。在该表中，即使在渐进离散化过程之后，DJ仍然可以通过Paq8O8压缩。这一结果可能表明财务回报中存在未知结构。为了更好地理解这些结构，需要进一步研究，以确定它们的性质，并告诉我们如何在代表中再次将它们从stand advance中移除。然而，正如表14所示，基于这些未知结构的压缩率非常低（c.f.0.27%）。这表明随机字符串之间具有很高的相似性。在其他方面，虽然不是完全随机的，但一旦程式化的事实被抹去，道琼斯日报的科尔莫戈罗夫复杂性极高。在某种程度上，这一结果与金融领域的大多数统计工作一样支持EMH（参见Lo and Lee（2006））。一旦从DJ中删除了不可定义的样式化事实，后一个系列就相当于一个随机字符串。

在我们的研究中观察到的高Kolmogorov复杂性表明，在很大程度上很难找到一个在长期内表现优于市场的实用交易规则。结论在本文中，我们提出了一种通用的方法来估计财务回报的科尔莫戈罗夫复杂性。通过这种方法，Fama（1970）提出的弱形式效率假设可以通过压缩工具进行研究。我们用模拟数据举例说明了我们算法方法的优点：其中，一些统计方法无法检测到的规律可以通过压缩工具显示出来。将压缩算法应用于道琼斯工业平均指数的日收益率，我们得出了科尔莫戈罗夫复杂性极高的结论，通过这样做，我们提出了另一个支持不可能跑赢大盘的实证观察。我们方法的局限性在于，目前可用的无损压缩工具最初是为文本文件开发的，显然不是专门为金融数据设计的。因此，它们在用于检测金融活动模式时可能会受到限制。因此，未来的研究可以开发面向财务的压缩工具，在收益序列的压缩率和使用任何可能的隐藏模式来超越简单的买入和持有策略的可能性之间建立更直接的联系。本文要强调的另一个重要点在于，我们的方法提出了一个迭代过程，这将逐步提高我们对金融价格运动的“分层”结构的理解（即。

多层混合结构）。正如本研究的实证部分所示，即使从真实数据中去除了一些更具证据性的事实，从道琼斯日报获得的压缩率也会返回SEM，以表明未知结构的存在。尽管这些模式可能很难被战略设计师利用，至少从理论角度来看是如此，但要理解这些未知结构的本质是一个挑战。如果可能的话，下一步可能包括从初始数据中移除它们，并在迭代过程中进一步寻找新的规律。这一过程的最终目标，即使它可能是一个巨大的、或许是不切实际的项目，也可能是获得一个不可压缩的序列，可以说，是为了一层一层地揭示金融价格运动的整个复杂性。附录A.n位随机字符串的比例在基数2中，每个数字可以是0或1。因此，最多有2个不同的1位二进制字符串。一般来说，最多2位二进制字符串。所以，只有不到2+…+2小时-1=2h- 2严格小于h的不同二进制字符串。因此，长度可以减少超过k位的二进制字符串的比例不能超过n-K- 2/2n<1/2k。当k=10时，所有n位二进制字符串中最多有1/2=1/1024可以压缩10位以上。k=20时，后一个比例不能超过1/1048576。附录B.Champernowne的constantIn的生成程序本附录中，我们给出了生成Champernowne常数位数的程序（用“R”编写）。>c<-0；j<-0；d<-0>for（n in 1:10000）>{a<-n；k<-0>而（a！=0）{k<-k+1；d[k]<-a%%2；a<-（a-d[k]）/2}>for（h in 1:k）{j<-j+1；c[j]<-d[k-h+1]>}这个程序提供Champernowne数字的前123631位，而它是用132×8=1056位数字写的。

换句话说，这个程序实现了99.145%的压缩率。附录C.无损压缩算法尽管Kolmogrov复杂度的内在值对编程技术保持稳定，但不变性定理（见第7页）中常数“C”的存在可以修改在有限字符串上获得的压缩率。因此，我们选择的压缩工具应该尽可能大，以估计给定金融序列的最短表达式。从技术角度来看，有两类无损压缩算法：1。熵编码算法利用每个符号的统计频率来减少文件大小。有两种技术经常用于此目的：o胡夫曼编码：最传统的文本压缩算法之一。根据这种方法，给定符号的频率越高，压缩文件中对应的代码就越短。遵循这一原则，胡夫曼编码在高度重复的文本中尤其有效。http://www.r-project.org/o字典编码：Gzip、LZ77/78、LZW等一大系列最新工具使用的另一种统计压缩技术。这种方法包括在初始文本中的单词和压缩文件（即所谓的“词典”）中的代码之间构建一对一的对应关系。然后，根据字典，每个单词都被“翻译”成一个简短的表达。如果初始文本中的所有单词没有相同的出现频率，则可以观察到正压缩率。与胡夫曼编码算法相比，这种方法使用的字典可以在压缩过程中进行修改。因此，字典编码算法可以更高效地利用局部属性。2.基于上下文的预测算法通过使用历史观测值预测未来术语来压缩数据。

随着艺术智能的发展，这种基于上下文的方法越来越适用于自立数据。数据预测可以采用大量技术，如部分步进预测（PPM）、动态马尔可夫压缩（DMC）。PAQis是基于上下文的压缩算法家族中最引人注目的一个。这些算法以其优异的压缩率而闻名。在选择PAQ版本时，可以或多或少地重视压缩过程的速度。PAQ8o8是PAQ的最新版本，它以速度和内存为代价最大化压缩率。它是一种预测算法，通过分析有限字符串的前t位，预测每个可能符号在下一位的出现概率。根据这些条件概率对第（n+1）位进行编码。在本文中，我们在模拟数据和道琼斯每日收益率上测试了上述三种压缩技术的性能，并报告了每种工具获得的最佳压缩率。PAQ8o8提供了迄今为止所有离散化系列中最好的压缩率。附录D.Matt Mahoney在网站上维护的其他文件http://cs.Fit.edu/mmahoney/compression/图D.9：第3.1节中的统一离散化回报。图D.10：用ascii码参考Salouche，J.-P.和M.Cosnard（2000）表示的离散化返回：“Komornik Loreti常数是超越的，”Amer说。数学每月107。Azhar，S.，G.Badros，A.Glodjo，M.-Y.Kao和J.Reif（1994）：“股市预测的数据压缩技术”，摘自数据压缩会议，1994年。DCC\'94。会议记录，第72-82页。Bollerslev，T.（1986）：“广义自回归条件异方差”，《经济计量学杂志》，第307-327页。O.布兰迪和J.-P。

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