这个结果可以追溯到萨缪尔森（1965年）和麦肯（1965年），也被用于实物期权文献中（例如，参见McDonald和Siegel（1986年））。此外，如果λ和q都为零，那么我们可以看到s*= ∞, 这意味着期权持有人行使期权是最佳选择。这是意料之中的，因为ESO现在类似于普通的美国股票，没有股息。0 5 10 15 20 25051015股票价格期权价值λ=0λ=0.2λ=1支付函数*1s*0.2s*0图6：随着工作终止率的增加（λ∈ {0,0.2,1}），既得ESO成本降低，相应的最优激励阈值降低（s*> s*0.2>s*). 参数：K=10，r=0.05，σ=0.2，q=0.04。当授予期为Tv年时，我们根据条件期望V（t，s）=等式{e计算时间t的ESO成本-（r+λ）（电视）-t） V（Stv）|St=s}。（6.10）将既得ESO成本函数V（s）替换为（6.10），并认识到该Satv代表anya∈ R、 如果是对数正态分布，我们可以直接计算未授予的ESO成本。推论6.2在GBM模型下，未授予的永久性ESO成本可接受公式V（t，s）=e-（r+λ）（电视）-（t）Dsγ+e（m+σ）’Φγ+ln（s/K）+m+σ（6.11）+Asγ+e（m+σ）Φγ+ln（s/K）+m+σ- Φγ+ln（s/s）*) + m+σ+ Bsγ-e（m+σ）Φγ-ln（s/s）*) + m+σ- Φγ-ln（s/K）+m+σ+ s（1+λλ+q）e（m+σ）Φln（s/K）+m+σ-（1+λr+λ）KΦln（s/K）+m+σ,式中，Φ是标准正态互补c.d.f.和m=（r-σ） （电视）- t） γ+，σ=σ√电视- tγ+，（6.12）m=（r-σ） （电视）- t） γ-, σ= -σ√电视- tγ-, （6.13）m=（r）-σ） （电视）- t） ，σ=σ√电视- t、 （6.14）与已授予的对应方相比，未授予的E SO成本是时间相关的。在图7（左）中，我们观察到，随着行权期的增加，永久性ESO成本降低。

更高的解雇率不仅会降低ESO成本（见图6），还会降低执行门槛*（见图7（右）。0 1 2 3 4 50.811.21.41.61.82 TVESO成本0 0.2 0.4 0.6 0.8 11516171819202122工作终止率*图7：永续ESO成本随着行权期的增加（左）和工作终止率的增加（右）而降低。参数：S=K=10，r=0.05，σ=0.2，q=0.04，t=0（左），tv=0（右）。7结论我们为ESOsunder L’evy价格动态的估值和风险分析提供了分析和数值研究。我们的结果有助于报告监管机构规定的ESO成本，以及了解持有人的行权行为。特别是，我们表明，工作终止风险直接影响ESO持有人的行使时间，进而影响ESO成本以及合同终止概率。在未来的研究中，大型ESO投资组合的风险估计既实用又具有挑战性。其他相关问题包括SOS和其他薪酬方案（如限制性股票）的激励效应和优化设计。最后，我们的估值框架也可以应用于具有流动性、违约或其他事件风险的美式期权定价。这需要在外部终止时间对支付进行适当调整。附录。1命题的证明2.1设C（t，x）和C（t，x）分别为与λ和λ相关的既得ESO成本，并假设λ<λ。我们定义了一个运算符M byMiC（t，x）=(t+^L）C- （r+λi）C+λi（性别）- K） +。（A.1）从变分不等式（2.12）中，我们可以看到MiCi≤ 我们在C的连续区域中选择一个点（t，x），这意味着MC=0。因为λ<λ和C>（性别）-K） +，directsubstitution显示MC>0。接下来，我们定义过程m（t，Xt）=e-（r+λ）tC（t，Xt）+中兴通讯-（r+λ）uλ（SeXu）- K） +du，t≥ 0

（A.2）利用MC>0这一事实和可选采样定理，我们得出，对于任何τ∈ Tt，T，EQt，xm（τ，Xτ）≥ m（t，x）。（A.3）特别地，我们表示τ*和τ*作为与Cand C和getC（t，x）相关的最佳停止时间≤ EQt，xE-（r+λ）（τ）*-t） C（τ）*, Xτ*) +Zτ*te-（r+λ）（u）-t） λ（SeXu）- K） +du（A.4）=EQt，xE-r（τ）*∧τλ-t） （性别τ）*∧τλ- （K）+（A.5）≤ C（t，x）。（A.6）自τ之后的等式中的最后一个*是最优停止值函数C的一个候选停止时间。因此，我们得出结论C（t，x）≥ C（t，x）>（性别）-K） +。这意味着Cm的延续区域中的任何点（t，x）也必须位于C的延续区域，这意味着Cd的最佳行使边界决定了C的最佳行使边界。对于f或未授予的E，工作终止强度降低了其终值，并在授予期内增加了没收（支付为零）的概率。因此，更高的解雇强度也会降低未授予ESO的成本。A.2命题6.1的证明我们推测，当股票达到一定水平时，行使ESO是最优的*> K.然后，我们将股票价格域分为三个区域：[s]*, ∞), [K，s]*), 在区域1中，我们有≥ s*V（s）=s- K.在区域2中，ESO代价求解非齐次常微分方程σsV′（s）+（r）- q） sV′（s）- （r+λ）V（s）+λ（s）- K） =0。（A.7）我们可以通过替换来检查（A.7）的通解是否由v（s）=作为γ++Bsγ给出-+λ+qs-λr+λK，（A.8），其中γ-和γ+在（6.4）中给出。在区域3中，由于期权没有钱，我们有ODEσsV′（s）+（r）- q） sV′（s）- （r+λ）V（s）=0，（A.9），其解的形式为V（s）=Dsγ++Esγ-.

自V（s）→ 0作为s→ 所以E=0。求解常数A，B，D，以及临界股价s*, 我们在s=K和s=s时应用连续性和平滑粘贴条件*去getlims↑KV（s）=V（K）=> DKγ+=AKγ++BKγ-+ （λ+q）-λr+λ）K，（A.10）lims↑KV′（s）=V′（K）=> γ+DKγ+-1=γ+AKγ+-1+ γ-BKγ--1+λ+q，（A.11）lims↑s*V（s）=V（s）*) => A（s）*)γ+B（s）*)γ-+λ+qs*-λr+λK=s*- K、 （A.12）林↑s*V′（s）=V′（s）*) => γ+A（s）*)γ+-1+ γ-B（s）*)γ--1+λ+q=1。（A.13）求解这组方程得到（6.5）-（6.6）。特别是，我们看到B>0，因为γ+>1和γ-< 0.从（A.12）-（A.13）开始，阈值s*满足方程式F（s）*) := B（1）-γ-γ+（s）*)γ-- (1 -γ+（qλ+q）s*+rr+λK=0。（A.14）为了证明它有唯一的实解，我们注意到f是连续的，f′（s*) = γ-B（1）-γ-γ+（s）*)γ--1+ (1 -γ+)(-qλ+q）<0，（A.15）因为B>0，γ-< 0，γ+>1。此外，我们还有一些限制：lims*↓0=rr+λ>0和lims*↑∞= -∞, 以及f（K）=Kγ+>0。这意味着f（s）*) = 0具有唯一的实根*> 因此，我们得到了V的公式（6.3）。通过直接替代，它满足VI（6.2）。A.3 ESO估值的有限差分法我们总结了表3和表5中计算ESO成本的有限差分法（FDM）。为此，我们将Cont和Voltchkova（2003）中详述的欧式期权的FDM算法应用于具有工作终止风险的早期可行权ESO的当前情况。首先，我们介绍变量u=T的变化-并表示F（u，x）=C（t-t、 x）。然后，在延续区域中，既得ESO成本的边变为Fu=^LF- （r+λ（T）- u、 x）F+λ（T）- u、 x）性- K） +，（A.16）代表（u，x）∈ （0，T- tv）×R，初始条件为F（0，x）=（性别）- K） +，x∈ R、 式中^LF=（R- q）Fx+σ(F十、-Fx） +Z∞-∞^ν（dy）（F（u，x+y）- F（u，x）- （哎- 1)Fx） 。

（A.17）为了继续，我们将算符^L分成两部分，即^LF=DF+JF，（A.18），其中DF=σF十、- (σ- r+q+β）F十、- αF和JF=ZBrBl^ν（dy）F（u，x+y），（A.19）和β=RBrBl^ν（dy）（ey）- 1).我们在[0，T]上定义了一个统一的网格- 电视]×[-A、 A]由{（un，xi）：un=nt、 n=0，1，2，M、 十一=-A+ix、 我∈ 0, 1, 2 . . . , N} ，与t=（t- 电视/M，x=2A/N。在表3和表5中，m=4000，N=8000。此外，表示网格点处的成本（un，xi）。我们使用梯形求积规则 x来近似（A.19）中的积分项。为此，我们让Kl，Krbesuch[Bl，Br] [（吉隆坡）- 1/2)x、 （Kr+1/2）x] ，并应用近似式szbrbl^ν（dy）F（u，xi+y）≈KrXj=Kl^νjFi+j，α≈KrXj=Kl^νj，β≈j=KrXj=Kl^νj（eyj）- 1） ，带^νj=Z（j+1/2）x（j）-1/2)x^ν（dy）。空间导数用有限差近似(Fx） 我≈Fi+1- 菲x(Fx） 我≈Fi+1- 2ci+Fi-1(x） 。（A.20）接下来，我们用近似值s D替换DF和JFF和J分别是F。最后，我们采用以下隐式-显式时间步长方案：Fn+1- Fnt=DFn+1+JFn-r+λ（T）-（n+1）t、 十）Fn+1+λT-（n+1）t、 x（性-K） +，（A.21）式中（D）F）i=σFi+1- 2Fi+Fi-1(十）-(σ-r+q+β）Fi+1- 菲十、-αFi，（J）F）i=KrXj=Kl^νjFi+j.（A.22）由于早期锻炼的特点，迭代与即时锻炼的回报相结合。在计算到有效期结束前的既得ESO成本后，可以采用类似的有限差分法来解决未设定ESO成本的PIDE：Fu=^LF- （r+）λ（T）- u、 （A.23）表示（u，x）∈ （0，tv）×R。上述算法适用于下面的L’evy p进程具有有限活动性的情况，其中^ν（R）=α<+∞.

在有限活动情况下，^ν（R）=+∞, 我们可以使用辅助过程（Xεt）t≥0用L’evy三重态（ε），σ+σ（ε），εν1 | x |>ε）来近似原始过程（Xt）t≥0，其中σ（ε）=Rε-εy^ν（dy）和^u（ε）再次由风险中性条件确定。因此，Fε满足Fεu=^LεFε- （r+λ（T）- u、 x）Fε+λ（T）- u、 x）性-K） +，（A.24）代表（u，x）∈ （0，T- tv）×R，初始条件为Fε（0，x）=（性别- K） +，x∈ R.这里，运算符^Lε由^LεFε=（σ+σ（ε））定义Fε十、- (σ+ σ(ε)-r+q+β（ε））Fε十、- α（ε）Fε（x）+Z | y|≥εν（dy）Fε（x+y），（A.25）与β（ε）=Z|y|≥ε（ey）- 1） ^ν（dy）和α（ε）=Z|y|≥ε^ν（dy）。（A.24）中的PIDE可通过与有限活动情况相同的数值格式求解。我们采用这种有限差分方法与我们的FST方法进行比较。关于替代的鉴别方法，尤其是那些旨在解决特定过程（如VG和CGMY）的鉴别方法，我们参考了Hirsa和Madan（2004）、Forsy th等人（2007）以及其中的参考文献。A.4闭式概率ESO成本超过（5.3）中定义的给定阈值x的概率p（t，x）可被视为零利率的欧洲数字期权，根据p计算。我们总结了GBM、Merton和Kou m模型下相应的闭式公式（见表2）。（i） 在GBM模型下，ESO成本超越概率由p（t，x）=e给出-~λ（~T）-t） Φ（~d），其中~d=x- \'x+u（~T- t） σpt- t、 （A.26）和Φ是标准的正常c.d.f.（ii）当公司股票价格跟随默顿跳跃差异时，我们有p（t，x）=e-~λ（~T）-（t）+∞Xj=0e-α（~T）-t） （α（~t）- t） ）jj！Φ十、- \'x+u（~T- t） +juqσ（~t）- t） +j~σ.

（A.27）（iii）在Kou跳跃扩散模型中，成本超出概率由p（t，x）=e给出-λve（ση）+v/2σ√2πv∞Xn=1πnnXk=1Pn，k（σ√vη++k×Ik-1（\'x-十、- uv；-η+,-1σv，-ση+√v） +e（ση）-)v/2σ√2πv∞Xn=1πnnXk=1Qn，k（σ）√vη-)k×Ik-1（\'x-十、- uv；-η-,-1σv，-ση-√v） +πΦ（uv）- \'x+xσ√v）,（A.28）式中Pn，k=n-1Xi=kN-K- 1i- K镍(η+η++ η-)我-k（η）-η++ η-)N-ipi（1）-p） n-i、 1个≤ K≤ N- 1，Pn，n=Pn，Qn，k=n-1Xi=kN-K- 1i-K镍(η+η++ η-)N-i（η）-η++ η-)我-荷兰皇家电信-i（1）-p） 我，1≤ K≤ N-1，Qn，n=（1- p） n，In（c；d，b，δ）=-edcdPni=0（bd）n-iHhi（公元前-δ） +（bd）n+1√2π床δb+σ2bΦ(-如果b>0，d6=0，-edcdPni=0（bd）n-iHhi（公元前-δ） +（bd）n+1√2π床δb+σ2bΦ（bc- δ -db）如果b<0，d<0，则Hhn（x）=（n！）-1R∞x（t）- x） 东北-t/2dt，πn=e-αv（αv）n/n！v=~T- t、 参考Bayraktar，E.和Xing，H.（20 09）。分析美国跳伞选项的最佳运动边界。暹罗数学分析杂志，41:825–860。Bettis，J.C.，Bizjak，J.M.，和Lemmo n，M.L.（2005）。行使员工股票期权的行为、估值和激励效果。《金融经济学杂志》，76（2）：445-470。布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，3:637-654。J.卡彭特、R.斯坦顿和N.华莱士（2010）。O高管股票期权的选择权行使及其对公司成本的影响。《金融经济学杂志》，98（2）：315-337。卡尔，P.（1998）。随机化和美国put。《金融研究回顾》，11:597-626。卡尔，P.，杰曼，H.，马丹，D.B.，和约尔，M.（2002）。资产回报的详细结构：一项经验调查。商业杂志，75（2）：305-332。卡尔·P.和莱恩茨基·V.（2000）。在基于强度的框架下对高管股票期权进行估值。《欧洲金融评论》，4（2）：211-230。卡尔，P.和马丹，D.B.（19 99）。使用快速傅立叶变换的期权定价。

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