具有离职风险和股价上涨的ESO估值

2022-5-8 04:22:36

有解雇风险和股价上涨的ESO估值Tim Leung*万浩华+2018年7月26日摘要员工股票期权（ESO）是美式看涨期权，由于就业冲击，不能提前终止。本文研究了一个考虑解雇风险和公司股价波动的ESO估值框架。在一般的L’evy股价动态下，我们表明，较高的工作终止风险会促使ESO持有人自愿加速行使，从而降低公司的成本。通过求解非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI），确定了持有者的最优执行边界和ESO成本。我们应用傅里叶变换来简化变分不等式并发展精确的数值方法。此外，当股票价格服从几何布朗运动时，我们给出了既得利益和未既得利益的永久性股票期权的闭式公式。我们的模型还用于评估低估ESO费用和合同终止的可能性。关键词：员工股票期权、工作终止、evy流程、傅立叶变换JEL分类：C41、G13、J33数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.通讯作者。+伊利诺伊大学厄本那-香槟分校工业和企业系统工程系，伊利诺伊州厄本那，邮编61801；电子邮件：hwan3@illinois.edu.1简介在美国，员工股票期权（ESO）是高管薪酬不可分割的一部分。主要目标是协调高管和企业之间的利益。根据Frydman和Jenter（2010）的数据，股票期权占2008年CEO薪酬总额的25%。

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2022-5-8 04:22:39

在表1中，我们看到，标准普尔500指数成份股公司授予ESO的比例在2011年保持在73%以上，尽管比2000年的93%有所下降。这些期权的成本可能会给股东带来沉重负担。有鉴于此，财务会计准则委员会（FASB）通过了规定，要求企业估算和报告ESO的授予成本。通常，ESO是公司股票上的可提前行使的长期看涨期权。为了保持激励效果，公司通常会规定一个行权期，禁止员工行使期权。在行权期内，员工离开公司将导致期权被没收（即期权变得毫无价值）。在授予期结束后，当员工离开公司时，ESO将到期，但如果期权在现金中，员工可以选择行使。表1总结了2000年至2011年间标准普尔500指数成份股公司授予的SOS的平均归属期和平均到期日。正如我们所见，可行权期一直接近2年，而平均到期日在10年内从9-10年下降到8年。ESO评估的关键在于对员工的自愿锻炼策略以及工作终止时间进行建模，尤其是因为工作通常在合同签订日期之前终止。此外，未来就业冲击的可能性可能会影响员工现在或以后锻炼的决定。事实上，FASB指南还建议，任何合理的ESO估值模型都应考虑“员工预期行使和离职后终止行为的影响”在这篇论文中，我们研究了一个评估框架，该框架结合了股票期权的共同特征，即行权期、提前行使和工作终止风险，同时考虑了不同的价格动态和跳跃。

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2022-5-8 04:22:42

具体地说，我们通过一个外生的jum过程来模拟就业冲击的到来，并将美式ESO描述为一个在到期日之前可能发生强制的最优停止问题。我们的估值问题是在一类指数价格过程下研究的，而不是局限于文献中常见的GBM框架（参见Hull and White（2004）；Cvitani\'c等人（2008年）；Carpenter等人（2010年）。在不同的工作终止强度假设（常数或随机）下，我们用非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI）分析了相应的自由边界问题，讨论了期权价值的计算方法以及最优行使策略。通过分析和数值计算，我们发现，随着离职风险的增加，持有者自愿加速ESO的实施是非常必要的。为了进行风险分析，我们还应用数值方案来计算各种情况下的成本超出概率和合同终止概率。在现有文献中，有几种主要的方法来模拟股票期权的行使时机。第一种方法为ESO持有人指定特别行使边界。换言之，员工持股计划的特点是基本股票价格达到特定公关水平的首次通过时间，这与员工的离职率或其他模型参数无关。这种方法的主要优点是可以获得ESO价值的封闭式公式。此外，还可以加入随机j ob终止时间，如Hull and White（2004）；Cvitani\'c等人。例如，参见国家员工所有权中心的“员工所有权计划替代方案的详细概述”(http://www.nceo.org)1.见Sect。

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2022-5-8 04:22:45

A.16，FASB声明123R（2004年修订），可在http://www.fasb.org/summary/stsum123r.shtml.Year2000年92.98%2.00 9.242001 94.35%2.22 9.282002 93.56%2.18 9.532003 89.59%2.18 10.172004 88.09%2.03 8.662005 75.34%2.16 8.612006 81.30%2.12 7.862007 77.33%2.18 8 8.142008 76.31%2.38 7.352009 75.30%2.16 8.412010 72.32%2.718.79%2011年ESO薪酬汇总表2011-2011年。资料来源：汤森路透内幕交易数据库和Compustat Executomp数据库。（2008年），但这不会直接影响志愿活动的边界。为了结合员工的风险态度，效用最大化方法从考虑员工风险规避和对冲限制的投资组合优化问题中得出员工的锻炼策略（Huddart，1994；Chance和Yan g，2005；Grasselli和Henderson，2009；Leung和Sircar，2009；Carpenter等人，2010）。效用最大化锻炼边界表示风险厌恶员工的最佳自愿锻炼时间。从企业的角度来看，ESO成本由风险中性预期计算，假设期权将在效用最大化边界或工作终止时间内行使，以较早者为准。另一方面，基于强度的方法不区分自愿和非自愿的锻炼，而是通过单个随机时间对合同终止进行建模，以外生跳跃过程的起始时间为特征。在文献中，Jennergren和Naslund（1993）使用外生泊松过程对行使时间进行建模，Carr和Linetsky（2000）提出了基于强度的ESO估值模型，其中工作终止和自愿行使强度都是公司股价的函数。

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2022-5-8 04:22:49

在Szimayer（2004）的理论研究中，允许员工以最佳方式选择自愿运动时间，而突然离开则由一个外源性Cox过程表示。在实践中，工作终止意向具体取决于公司的历史和评估方法。对于SOS早期训练模式的实证研究，我们参考Huddart和Lang（1996）；马夸特（2002）；Bettis等人（2005年）。我们认为ESO是一种美式看涨期权，可能会因工作终止而突然没收或强制执行。与许多现有的ESO模型相比，除了上述文献中常见的GBM模型外，我们还研究了一个适用于一大类列维价格过程的Versatil评估框架，包括g Merton（1976）和Kou（2002）跳差，以及方差伽马（VG）（Madan et al.（1998））和CGMY（Carr et al.（2002））模型。这使我们能够研究股票价格和工作终止强度对ESO价值和最佳行使边界的联合影响。此外，我们的模型为最终用户（即企业）提供了为未售出的库存选择合适价格模型（具有通用L’evy类别）的灵活性。目前，FASB允许使用BlackScholes公式，ESO的合同期限由其平均寿命代替，以及一些变化。在这方面，我们的论文提供了一种替代的估值方法，该方法考虑了自愿行使和工作终止风险，以及公司股票价格模型的各种选择。ESO估值问题可以被视为L’evy过程下美式期权定价的延伸；参见Pham（1997年）、Hirsa和Madan（2004年）、Bayraktar an d Xing（2009年）、Lord等人（2008年）、Lamberton和Mikou（2008年）等。

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2022-5-8 04:22:52

对于既得ESO，工作终止会迫使员工立即行使。这导致了一个带有强制退出的最优停止问题。就期权价值的变分不等式而言，这种限制产生了一个非齐次项，它既取决于期权报酬，也取决于工作期限强度。当股票价格服从几何布朗运动时，我们给出了既有和未既有永久性股票期权成本的闭式公式。最佳运动时间可由多项式方程唯一确定，并允许在无终止工作风险的情况下显式表达。为了计算ESO值和行权限时，我们采用傅里叶分步计时（FST）方法，通过傅里叶变换简化相关的非均匀PIDVI，并在每个时间步确定最佳行权价格。Jackson等人（2008年）将这种方法应用于许多L’evy模型下的欧洲、美国和障碍期权定价。对于我们的ESOvaluation问题，不均匀PIDVI的结构在不同的工作终止强度规格下有所不同。特别是，如果强度在（对数）股价中起作用，那么延续区域内ESO的非均匀PIDE可以简化为非均匀PDE。在恒定强度的情况下，我们将相关的PIDE进一步还原为一首颂歌。这些观察结果导致了几种有效的估值数值算法。在所有这些情况下，我们将其与用于评估ESO的隐式-显式有限差分方法的数值结果进行比较。为此，我们参考了L’evy或JumpDiffusion模型下美式期权定价的有限差分方法，包括Cont和Voltchkova（2003）；d\'Halluin等人（2003年）；Hirsa和Madan（2004），以及Forsyth等人。

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2022-5-8 04:22:55

(2007).公司通常会根据固定的时间表（如季度或年度）对授予的ESO进行支出，但ESO的成本会随着时间的推移而变化，这取决于股票价格的变动。从公司的角度来看，与最初报告的价值相比，ESO价值的上升意味着更高的预期薪酬成本。另一方面，现有ESO既可以由员工自愿行使，也可以因雇佣关系终止而终止。这促使我们研究（i）ESO成本在未来超过给定水平的可能性，以及（ii）合同终止的可能性。ESO成本超出概率与经典风险价值计算中使用的损失概率相似。合同终止的可能性揭示了一种可能性，即公司必须在未来一周到几年内支付员工工资。我们使用基于傅里叶变换的方法来计算恒定工作终止强度下的这些概率，并展示了我们的方法与Carr和Madan（1999）在计算这些概率时开发的方法之间的联系。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们在列维价格动力学下制定了ESO估值框架。在第三节中，我们讨论了基于傅里叶变换的股票期权估值方法。在第四节中，我们讨论了随机工作终止强度下的估值问题。在第五节中，我们分析和评估了ESO成本超标的概率和合同终止的概率。在第6节中，我们提供了对数正态股价模型下已授予和未授予的永久ESO成本的封闭式公式。第七节总结全文。见门派。

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2022-5-8 04:22:59

A.25，FASB声明123R（2004年修订）。2模型形式在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, G、 P）满足正确连续性和完整性的通常条件，其中P是历史概率度量。让（Xt）t≥0be a L’evy过程，它允许著名的L’evy It^o分解（Sato，1999，p.119）：Xt=ut+σBt+Xlt+lim0Xt，X=0，（2.1），其中B是p下的标准布朗运动，跳跃项由Xlt=Z|y给出|≥1.s∈[0，t]yJ（dy，ds），（2.2）Xt=Z≤|y |<1，s∈[0，t]y（J（dy，ds）- ν（dy）ds）=Z≤|y |<1，s∈[0，t]y~J（dy，ds）。（2.3）X的特征三重态（u，σ，ν）由常数漂移u和波动性σ以及L′evy度量ν组成。在（2.2）和（2.3）中，Poisson r和dom度量J（dy，ds）统计在时间s发生的大小为y的跳跃的数量，并且J是相关的补偿器。X的特征指数ψ（ω）由L’evy Khintchine公式（Sato，1999，p.119）给出：ψ（ω）=iμω-σω+ZR（eiωy）- 1.- iyω11{| y |<1}）ν（dy），ω∈ C.（2.4）有了这个，XtisφXt（ω）=eψ（ω）t的特征函数。我们表示FX=（FXt）t≥0作为X生成的过滤。在表2中，我们总结了本文将使用的几种众所周知的L’evy模型的L’evy密度和特征指数。在GBM模型（Black and Scholes，1973）中，由于股票价格没有跳跃，因此没有这种密度。Merton（1976）的跳跃扩散模型具有正态分布的跳跃大小，而Kou（2002）模型假设跳跃大小呈双指数分布。相比之下，在方差伽马（VG）模型（Madan et al.（1998））和CGMY模型（Carr et al。

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nandehutu2022

2022-5-8 04:23:02

（2002）），股票价格在有限的活动中遵循一个纯粹的交易过程。模型L′evy密度ν（dy）特征指数ψ（ω）GBM N/A iμω-σωMertonα√2π∧σe-（（y）-√u）/√σ）iuω-σω+α（eiμω）-~σω- 1）寇αpη+e-yη+{y>0}+（1）- p） η-E-|y |η-{y<0}）iμω-σω+α（p1）-iω/η++1-p1-iω/η-- 1.VGκ| y | eby-b|y|-κlog（1- i/|κω+∑κω）CGMYC | y | 1+yE-G | y |{y<0}+e-我的{y>0}CΓ(-Y）（M）- iω）Y- MY+（G+iω）Y-GY表2：一些著名的L’evy过程的L’evy密度和特征指数。在所有这些模型中，μa和σ是P下布朗运动的漂移和波动性。对于Merton和Kou模式ls，α表示跳跃强度。在梅尔顿模型中，μ和σ是IID正态分布跳跃的均值和方差。在模式l中，p（分别为1-p））是正（或负）指数跳跃的概率。在VG模型中，b=u/σ，b=pu+2σ/κ/σ，在CGMY模型中，C，G，M>0，Y≤ 公司股票价格由指数L'evy过程ST=SeXt，t建模≥ 0，固定初始股价S>0。此外，我们假设正的恒定利率r和非负的股息率q。对于ESO估值，我们使用风险中性定价度量Qsuch thatEQ{eX}=er-Q<=>^Ψ(-i） =r- q、（2.5）式中，^ψ在（2.4）中给出，ur替换为^u=r- Q-σ-ZR（ey）- 1.- y11{y |<1}）^ν（dy），（2.6）和^ν是Q.2.1支付结构下的L|evy度量。图1说明了具有罢工K、tvyears的归属期和扩张日期T的ESO的支付结构。在行权期内，ESO不可行使，如果员工离开公司，ESO将被没收。一旦期权被授予（在时间tv时或之后），员工可以在到期日T之前的任何时间行使期权，但也将被迫在工作终止后立即行使期权。

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何人来此

2022-5-8 04:23:05

我们用一个带有率参数λ的指数随机变量来模拟员工的工作终止时间τλ≥ 0，并假设τλ和X是独立的。随机性工作终止的情况将在第4节中讨论。股票价格tvτλTτλEXERCISEHOLD（Sτ*- K） +（Stv）- K） +（Sτ）*- K） +00图1:ESO支付结构。自下而上：（i）员工在归属期内离开公司，导致ESO被没收。（ii）由于工作终止，雇员被迫提前行使既得ESO。（iii）股票价格路径在行权后跨越行权边界，因此员工立即行权ESO。（iv）股票价格在行权后达到行权边界（无跳跃），且期权在该边界行权。（v）员工在行权结束时行使ESO。在每个股票价格路径上，垂直线段描绘了股票价格的跳跃。2.2 ESO成本t时既得ESO的价值∈ [tv，T]由c（T，x）=supτ给出∈Tt，TEQt，xE-r（τ）∧τλ-t）（性别τ）∧τλ- （K）+（2.7）=supτ∈Tt，TEQt，xE-（r+λ）（τ）-t）（性别τ）- K） +Zτte-（r+λ）（u）-t） λ（SeXu）- K） +du, （2.8）式中，Tt是一组FXstopping times，取[t，t]中的值，EQt，x{·}表示Xt=x的条件预期。换句话说，在行权期后，员工面临与美式看涨期权类似的最佳停止问题，但由于突然终止工作，员工会被迫提前行使。从（2.8）中，我们还可以将既得ESO解释为现金流为λ（SeXt）的美式看涨期权- K） +直到运动时间τλ。利用ESO支付结构，可以进一步证明，对于每t，既得ESO成本C（t，x）是增加的，且在x中是凸的∈ [tv，T]，并且每x的T值在减小∈ R.在行权期内，如果员工离开公司，ESO将被没收。

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2022-5-8 04:23:09

因此，给定时间t时s仍然活着≤ tv时，未设定ESO的值为C（t，x）=EQt，xE-r（电视）-t） C（tv，Xtv）11{τ)λ>tv}（2.9）=EQt，xE-（r+λ）（电视）-t） C（电视、Xtv）. （2.10）ves TING g条款禁止员工在[0，tv]期间行使期权，即使ESO恰好在资金中。对既得ESO的估值导致对非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI）的分析和数值研究。为此，我们首先定义Q^Lf（X）=^f′（X）下X的单位生成器+σf′（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- yf′（x）11{y}<1}^ν（dy），（2.11）和（2.6）中给出的^u。对于既得ESO成本，工作终止风险在PIDVI中产生一个不均匀项，即min-(t+^L）C+（r+λ）C- λ（性别）- K） +，C（t，x）- （性-（K）+= 0，（2.12）表示（t，x）∈ （tv，T）×R，终端条件C（T，x）=（性别）- K） +，代表x∈ R.对于已投资的ESO成本，我们通过将其与已投资的ESO成本相匹配来设置时间tv的终端条件，即＠C（tv，x）=C（tv，x），对于x∈ R.在归属期内，未归属成本满足部分积分微分方程（PIDE）(t+L）~C- （r+＠λ）＠C=0（t，x）∈ [0，tv）×R.（2.13）当每iod的行权与到期日一致时，ESO成为欧洲风格，因为不允许提前行权。设置tv=T产生欧洲ESO成本CE（T，x）=EQt，xE-r（T）-t）（性别）- K） +{τ＠λ>T}, 0≤ T≤ T.该成本函数也满足P IDE（2.13）。2.3行使边界对于既得ESO，持有人的行使策略可以用最优行使边界T 7来描述→ s*（t）这将域[tv，t）×R划分为延续区C和练习区S，定义为C={（t，S）∈ [tv，T）×R+，s<s*（t） }，（2.14）S={（t，S）∈ [tv，T）×R+，s≥ s*（t）（2.15）在哪里*（t）：=sup{s≥ 0 | C（t，x）>（s）- K）是的，为了t∈ [tv，T]。

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2022-5-8 04:23:12

（2.16）如果*（t） <+∞, 然后我们有C（t，x）>（s）- K） +代表s<s*（t）和C（t，x）=（s- K） +福斯≥ s*（t），代表性∈s*（t） ,+∞, 由于C（t，x）的凸性和正性。因为，对于每一个固定的x∈ R、 C（t，x）在最佳运动边界s的t中减小*（t）在（2.16）的视图中，必须减少。关于工作终止风险的影响，我们得出以下结果：命题2.1更高的工作终止强度降低了既得和未既得ESO的成本，并降低了最佳行使边界。我们在附录a.1中提供了证据。Leung和Sircar（2009）在GBMmodel下得出了类似的结果。我们注意到，在有股息和无股息的情况下，行权后工作终止强度的成本降低效果仍然有效。然而，在q=0的情况下，工作终止不会影响emp-loyee的自愿锻炼时间，因为无论工作终止风险如何，最好不要提前自愿锻炼。在这种情况下，美国股票期权的价值等于欧洲股票期权的价值，变分不等式（2.12）被简化为PIDE。另一方面，更高的行权前工作终止强度可以降低未行权ESO成本，但对行权后ESO价值或行权后策略没有影响。备注2.2在我们的论文中，最佳行使边界是基于风险中性定价测度计算的。实际上，ESO持有人很可能无法完全对冲ESO风险。此外，由于其他外部因素，如液化石油气风险或多元化需求，ESO持有人可能选择提前行权。

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2022-5-8 04:23:16

为此，我们可以通过将ESO锻炼时间视为完全外生的，并根据观察到的锻炼行为进行校准，来开发一种简化形式或基于强度的方法。3.股票期权估值的傅里叶变换方法对于股票期权估值，我们现在讨论一种基于傅里叶变换求解PIDVI（2.12）的数值方法。我们首先陈述了傅里叶变换的定义和一些基本性质。对于任何函数f（x），相关的傅里叶变换由f[f]（ω）=Z定义∞-∞f（x）e-iωxdx，（3.1），角频率ω，单位为每秒弧度。反过来，如果我们用^f（ω）表示f（x）的傅里叶变换，那么它的逆傅里叶变换是f-1[^f]（x）=2πZ∞-∞^f（ω）eiωxdω。（3.2）众所周知，数据的傅里叶变换是令人满意的[nxf]（ω）=iωF[N-1xf]（ω）=（iω）nF[f]（ω）。（3.3）应用（3.3）到（2.11），我们有f[^Lf]（ω）={i^-σω+ZR（eiω^u）- 1.- iyω1{y |<1}^ν（dy）}F[F]（ω）=^ψ（ω）F[F]（ω），（3.4），其中^ψ是Q下的特征指数。在延拓区域，既得ESO成本C（t，x）满足非均匀PIDE-(t+^L）C+（r+λ）C- ν（x）=0，（3.5），式中（x）：=λ（性别）- K） +。傅里叶变换在（3.5）产率中的应用tF[C]（t，ω）+^Ψ(ω) - R- λF[C]（t，ω）=-F[~n]（ω）。（3.6）因此，原始非均匀PIDE被转换为非均匀ODE（3.6），由F[C]（t，ω）满足，是时间t的函数，由ω参数化。给定任意时刻的F[C]值≤ 在更早的时候，我们有tthatF[C]（T，ω）=F[C]（T，ω）e（^ψ（ω）-R-λ）（t）-t） +（F[~n]（ω）^ψ（ω）- R- λ）（e（^ψ（ω）-R-λ）（t）-（t）-1），t<t.（3.7）通过逆傅里叶变换，我们在延续区域c（t，x）=F中恢复既得ESO成本-1[F[C]（t，ω）e（^ψ（ω）-R-λ）（t）-t） [（x）+F-1[（F[~n]（ω）^ψ（ω）- R- λ）（e（^ψ（ω）-R-λ）（t）-（t）- 1） [（x）。（3.8）由于ESO可提前行使，我们需要将既得ESO价值与立即行使的收益进行比较。

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2022-5-8 04:23:21

精确地说，我们将时间间隔[tv，T]划分为tm，m=m，m- 1.1，然后我们用（C（tm）向后迭代时间-1，x）=F-1[F[C]（tm，ω）e（^ψ（ω）-R-λ）（tm）-商标-1） +F[~n]（ω）^ψ（ω）-R-λ（e（^ψ（ω）-R-λ）（tm）-商标-1)- 1） ]（x）、C（tm）-1，x）=max{C（tm）-1，x，（性别）- K） +}，（3.9），其中tM=T，T=tv。对于数值实现，我们将原始域离散化Ohm = [tv，T]×R到一个有限的网格：{（tm，xn）：m=0，1，…，m，n=0，1，…，n-1} ，其中tm=tv+mt、 xn=xmin+nx、与t=（t- 电视/我和x=（xmax）- xmin）/（N- 1). 由于大多数ESO都是以货币形式授予的，因此设置上/下限xmin=-Xmax与零等距离。在xmax、M和N固定的情况下，我们应用奈奎斯特临界频率ωmax=π/x和setω=2ωmax/N。连续傅里叶变换由离散傅里叶变换（DFT）F[C]（tm，ωn）近似≈N-1Xk=0C（tm，xk）e-iωnxkx=αnN-1Xk=0C（tm，xk）e-inkN，（3.10），αn=e-iωnxminx、在（3.10）中，我们评估了sumPN-1k=0C（tm，xk）e-使用快速傅立叶变换（FFT）算法。通过逆FFT进行相应的傅里叶反演，得到既得ESO成本C（tm，xn）。请注意，在这个过程中，系数αn将被取消。在计算既得ESO值后，未设定ESO成本由C（t，x）=F给出-1.F[~C]（tv，ω）e（^ψ（ω）-R-λ）（电视-（t）（x），给t≤ tv，（3.11）式中，C（tv，x）=C（tv，x）。同样，傅里叶变换及其反演是通过FFT实现的。我们现在提供一些数值结果来说明上述定价方法的应用。在表3中，我们总结了不同授予期tv=0、2、4的ESO成本。

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2022-5-8 04:23:25

作为数值检查，我们将其与有限差分法（见附录a.3）计算的ESO成本进行比较，并观察到这两种数值方法返回的值非常接近。型号tv=0 tv=2 tv=4FST FDM FST FDM FST FDMGBM 1.3736 1.3730 1.3822 1.3816 1.2365 1.2360 merton1。4820 1.4803 1.4899 1.4887 1.3313 1.3306Kou1。4566 1.4558 1.4648 1.4646 1.3091 1.3104VG1。5584 1.5595 1.5816 1.5811 1.4131 1.4139CGMY1。8409 1.8411 1.8532 1.8535 1.6484 1.6490表3：ESO成本比较。对于每个归属期（tv=0、2、4），这三列分别包含通过FSTC、FSTG和最终差异法计算的ESO成本。常用参数：S=K=10，r=0.05，q=0.04，λ=0.2，＠λ=0.1，T=8。在GBM模型中，σ=0.2。在默顿模型中，σ=0.2，α=3，μ=0.02，μσ=0.045。在Kou模型中，p=0.5，σ=0.2，α=3，η+=50，η-= 25.在方差Ga mma模型中，~u=-0.22, ~σ = 0.2, κ = 0.5. 在C-GMY模型中，C=1.1，G=10，M=10，Y=0.6。FST方法的网格大小相同，其中xmax=6，M=2048，N=32768。图2说明了最优的运动约束条件是如何与工作终止强度λ和股价跳跃强度α相关的。随着λ从0.1增加到0.3，最佳运动边界降低。随着跳跃强度的增加，最佳运动范围向上移动。此外，我们注意到，在所有情况下，练习边界在时间t内都在减小。图e 3显示了工作终止强度和授予期的成本影响。如提案2.1所示，更高的转归后工作终止强度会降低ESO成本。此外，当授予后和授予后的工作终止率相同时，ESO成本随着授予期的延长而降低（见图e 3（左））。

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何人来此

2022-5-8 04:23:29

然而，如果行权后的工作终止率（λ=0.2）高于行权前的工作终止率（λ=0.1），则行权后的工作终止率可能会随着行权期的延长而增加。备注3.1 Cv itani’c等人（2008年）提出的模型假设，一旦对数正常股价达到上外生壁垒，ESO持有人将自愿行权。此外，它们还包括一个归属期和恒定的工作终止强度。我们目前的框架也可以适应他们的模式。精确地说，我们可以用数值方法求解PIDE(-t+^L）C+（r+λ）C- λ（性别）- K） +=0，（3.12），带有修改的边界条件C（t，x）- C（t，L（t））=0，对于（t，x）∈ （tv，T）×（log（L（T））+∞),终端条件C（T，x）=（性别）- K） +。这里，函数L（·）是一个给定的指数衰减势垒。下表4提供了ESO成本比较。2 3 4 5 6 7 81011121314151617181920时间储备价格λ=0.3λ=0.2λ=0.12 3 5 7 810111213141516171920时间储备价格α=5α=4α=3图2：（左）不同工作终止率的ESO行使边界。（右）不同股价上涨强度的股票期权行使。本例基于Ko u模型，参数为：S=K=10，r=0.05，p=0.5，σ=0.2，q=0.04，η+=50，η-= 25、~λ=0.1，T=8.0 1 2 3 4 5 6 8 9 100510152025工作终止强度ESO Cost tv=0tv=1tv=20 1 2 3 4 5 6 7 8 106810121416182022工作终止强度ESO Cost tv=0tv=1tv=2图3：（左）ESO成本随着行权期tv的延长或行权后工作终止率λ的增加而降低。（右）在λ=0.2和∧λ=0.1的情况下，更长的行权时间可能会增加ESO成本。

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nandehutu2022

2022-5-8 04:23:32

该示例基于Kou模型，参数为：S=K=10，r=0.05，p=0.5，σ=0.2，q=0.04，η+=50，η-= 25，T=8。q=0 q=0.04Barrier ESO European ESO American ESO Barrier ESO Euro pean ESO American ESOL=125 22.7792 37.5435 37.5435 15.4209 16.5753 18.2484L=15026.8375 37.5435 37.5435 17.4808 16.5753 18.2484L=9999 37.5450 37.5435 16.5751 16.5753 18.2484表4：ESO成本比较。在GBM模型下，ESO的障碍假设在一个新的边界（L（t）=离开tv）上行使≤ T≤ T与a=-0.02，如（Cvitani\'c等人，2008年，表2）所示。在零分割nd（q=0）情况下，欧洲和美国的ESO成本是一致的，并且它们主导着BarrierESO成本。其他常见参数：S=K=100，r=0.05，σ=0.2，λ=0.04，λ=0.04，tv=3，T=10。在表4中，势垒ESO对应于Cvitani’c等人（2008）中的情况D，即最佳运动边界是一条指数衰减曲线：L（t）=Leat，其中a<0。因此，我们可以看到：（1）如果允许ESO持有人在行权期后行使ESO，Cvitani’c et al.（2008）中的ESO成本总是被低估，因为外部行权边界通常不是ESO持有人的真正最佳行权边界。（2）在Cvitani\'c等人（2008年）的研究中，当股票期权的规模越来越大，表明股票期权持有人不太可能按照外生行使边界行使股票期权时，股票期权的成本就越来越接近本文中的欧洲股票期权成本。Carr和Linetsky（2000）也讨论了这个案例。（3）当q=0时，欧洲ESO的值等于美国ESO的值，当q>0时，欧洲ESO的值小于美国ESO的值。一般来说，我们的算法也可以修改，以适应工作终止时的其他适当薪酬。

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2022-5-8 04:23:35

在工作终止时薪酬为零的特殊情况下，ESO可被解释为在离职时生效。或者，这可以被视为具有违约风险和零恢复的美国看涨期权。4随机工作终止强度作为我们ESO估值模型的扩展，可以通过定义τλ=inf来随机工作终止率T≥ 0:Ztλ（s，Xs）ds>E,其中λ（t，x）是光滑的正确定性函数，E~ 实验（1）⊥ 外汇。这种马尔可夫终止强度允许τλ和X之间的依赖性，同时通过不增加PIDVI的维数来保持可跟踪性。在相关的ESO研究中，Carr和Lin etsky（2000年）以及Cvitanièc等人（2008年）也考虑了这种马尔科夫强度方法来模拟工作终止和外源性锻炼，尽管他们没有纳入最佳的自愿锻炼。特别是，Carr和Linetsky（2000）考虑了以下形式的工作终止强度：λ（t，Xt）=λf+λe{SeXt>K}。第二项是根据h older的外生流动性需求对早期操作进行建模，如果ESO在货币中，则为常数，否则为零。在我们的论文中，我们假设在授予期前后的工作终止强度函数在对数价格中是有效的，分别用λ（t，x）=ax+b和λλ（t，x）=ax+-b表示，对于一些常数a、b、a和b。直观地说，当公司股票价格较低时，ESO持有人的雇佣风险更大，因此可以让a和a为负。为了实现，可以选择参数并控制网格大小，以便强度在截断的对数价格区间[xmin，xmax]内保持正值。在简化相关的不均匀分布时，采用了有效强度假设。延续区域内既得ESO成本的PIDE为(t+^L）C- rC=（ax+b）C+ψ（x），（4.1），其中ψ（x）=（ax+b）（性别）- K） +。

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2022-5-8 04:23:39

微分（4.1）w.r.t.x，并应用傅里叶变换和（3.3），我们得到了t和ω中的齐次偏微分方程，即iωt+^Ψ(ω) - RF[C]（t，ω）= F[aC+（ax+b）Cx]（t，ω）-iωF[ψ]（ω），（4.2），终端条件F[C]（T，ω）=F[（性- K） +]。使用傅里叶变换的以下众所周知的性质：F[xCx]（t，ω）=-F[C]（t，ω）- ωωF[C]（t，ω），（4.3）后跟替换F[C]（t，ω）=e-iaRω-∞^ψ（s）-R- b） dsH（t，ω），（4.4）我们将（4.2）简化为一阶偏微分方程tH（t，ω）+aiωH（t，ω）=-eiaRω-∞^ψ（s）-R- b） dsF[ψ]（ω），（4.5），终端条件H（T，ω）=F[（性别）- K） +]（ω）eiaRω-∞^ψ（s）-R- b） ds。最后，解（4.5）并解开代换，C的傅里叶变换可以表示为F[C（t，x）]（ω）=e-iaRω-∞^ψ（s）-R-b） dsF[C（t，x）]（ω）eiaRω+aiT-∞^ψ（s）-R-b） ds+Ztg（ω）-人工智能-t））ds,（4.6）式中g（ω）=eiaRω-∞（^ψ（s）-R- b） dsF[ψ]（ω），tv≤ t<t≤ Tt=t- t、傅里叶变换（4.6）允许我们从过期日期d到t，向后计算C（t，x）的值。（4.6）的数值实现需要计算积分tg（ω）-人工智能-t））D。在每个小时间步内[t，t+t] ，我们近似积分tg（ω）-人工智能-t））通过进一步的时间离散化求和，即Pn′-1k=0g（ω+近似′）（t）t/n′。因此，在连续区域内的既得ESO成本的解由c（t，x）=F给出-1.eiaRω+aitω（^ψ（s）-R- b） dsF[C（t，x）]（ω+ait） +n′-1Xk=0g（ω+akin′）（t）tn′e-iaRω-∞^ψ（s）-R- b） ds（x），电视节目≤ t<t≤ T，x∈ 再次，在每次迭代中，我们施加条件C（t，x）=max{C（t，x），（性）- K） +}以获得美式期权价值。至于未授予的ESO，我们在时间tv上有C（tv，x）=C（tv，x），以及(t+L）~C- （r+（~ax+~b））~C=0，表示（t，x）∈ [0，tv）×R.在时间t<tv时，投资的ESO成本由C（t，x）=F计算-1.F[~C（tv，x）]（ω+~ai（tv- t））ei~aRω+ai（电视）-t） ω（^ψ（s）-R-~b）ds（x）。

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2022-5-8 04:23:41

（4.7）备注4.1假设行权前和行权后的工作终止强度λ和∧λ是x和t的正有界函数。ESO成本满足的傅里叶变换tF[C]（t，ω）+^Ψ(ω) - RF[C]（t，ω）- F[λC]（t，ω）=-其中ξ（t，x）=λ（t，x）（性别）- K） +。为了求解这个常微分方程，可以对F[λC]（t，ω）项应用显式格式，对其他项应用隐式格式。因此，给出时间t>t时C（t，x）的值，我们计算C（t，x）的值乘以C（t，x）=F-1.F[C]（t，ω）e（^ψ（ω）-r）（t）-（t）+ F-1.F[ξ]（ω）- F[λC]（t，ω）^ψ（ω）- r（e（^ψ（ω）-r）（t）-（t）- 1).有了这一点，我们可以通过向后迭代时间，并与即时行使的回报进行比较，来计算已测试的ESO成本。最后，我们指出，当工作终止强度为常数或有效值时，这种隐式-显式算法也适用。在表5中，我们使用第4节中的FST方法和备注4.1中的FST方法，以及附录a.3中的有限差分方法，计算了ESO成本，以及有效的行权前和行权后工作终止率。我们观察到，这三种不同方法的不同授予期的ESO成本非常接近。型号tv=0 tv=2 tv=4FSTA FSTG FDM FSTA FSTG FDM FSTA FS TG FDMGBM 1.3732 1.3733 1.3729 1.1368 1.1369 1.1364 0.8429 0.8428 0.8429默顿1。4817 1.4814 1.4800 1.2261 1.2259 1.2260 0.9085 0.9083 0.9082Kou1。4565 1.4562 1.4566 1.2054 1.2052 1.2064 0.8934 0.8933 0.8942VG1。5670 1.5669 1.5680 1.3073 1.3069 1.3068 0.9765 0.9754 0.9758CGMY1。8402 1.8398 1.8402 1.5249 1.5247 1.5245 1.1299 1.1297 1.1296表5：有效工作终止强度下的ESO成本比较。对于每个归属期（tv=0,2,4），三列分别包含通过第4节和第4节中的两种FST方法计算的ESO成本。1和有限差分法。

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可人4

2022-5-8 04:23:45

作业终止强度为λ（x）=λ（x）=-0.02x+0.2，虽然其他参数与表3.5中的ESO风险分析相同，但期权价值将根据公司股价变动而变化。从公司的角度来看，与最初报告的价值相比，ESO价值的增加意味着更高的预期薪酬成本。出于风险管理和财务报告的目的，重要的是考虑ESO成本超过agiven水平的可能性。此外，ESO可以在到期日之前自愿或非自愿提前终止。这也推动了合同终止概率的研究，它可以作为校准工作终止强度参数的工具。这种校准将为ESO估值模型提供关键输入，并允许定价与企业特征一致。此外，研究工作终止风险对合同终止概率的影响也很有趣。一般来说，在P和Q条件下，工作终止率可能有所不同。然而，由于ESO不进行交易，因此无法通过市场价格推断Q强度。出于这个原因，我们假设历史和风险中性的工作终止率是相同的。5.1成本超出可能性我们目前评估ESO成本超过给定水平的可能性l 一个固定的未来日期。为此，我们需要分别考虑三种情况。案例1:t<~t≤ tv在这种情况下，时间间隔[t，~t]在归属期[0，tv]内，未归属的雇员可以在工作终止时被没收。

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可人4

2022-5-8 04:23:49

因此，ESO值超过预先规定水平的可能性l > 时间T的0由Pt，x{C（~T，x~T）>l}, 式中，Pt，xis是Xt=x的历史概率测度。由于如果τλ在T之前到达，则ESO变得毫无价值，因此我们有Pt，x{C（~T，x~T）>l} = Pt，x{C（~T，x~T）>l, τ~λ≥~T}+Pt，x{C（~T，x~T）>l, τλ<~T}（5.1）=Pt，x{C（~T，x~T）>l |τ~λ≥~T}Pt，x{τ∧≥~T}。（5.2）在（5.2）中，我们注意到Pt，x{τ)λ≥~T}=e-~λ（~T）-t）自τλ~ exp（λ）。因此，pT，x{C（~T，x~T）>l} 计算条件概率Pt，x{C（~T，x~T）>l |τ~λ≥~T}。由于-C（~T，x）在x中不断增加，我们可以找到临界原木价格-x，从而-C（~T，x）=l andwritep（t，x）：=Pt，x{C（~t，xt）>l |τ~λ≥~T}=Pt，x{x ~T>\'x|τλ≥~T}。（5.3）概率函数p（t，x）满足PIDE问题(t+L）p=0，（t，x）∈ [0,T]×R，（5.4）p（~T，x）=11{x>\'x}，x∈ R、（5.5）其中L是P下X的最小生成元。我们观察到P（t，X）的PIDE（5.4）与（3.5）非常相似，没有非均匀项。应用第3节中的四个ier变换参数得到p（t，x）=F-1[F[11{x>\'x}]（ω）eψ（ω）（T）-t） [（x），t≤~T≤ 电视（5.6）傅里叶变换及其在（5.6）中的反演可通过FFT算法进行数值计算。与ESO成本相比，该概率不涉及早期行使，可以在一个时间步长内计算。备注5.1获得（5.6）的等效方法是采用Lord等人（2008）使用的卷积法。为了验证这一点，我们表示（5.3）asp（t，x）=Z∞-∞{z>\'x}fX |T|Xt（z）dz=z+∞-∞{x+y>\'x}fX＠T-t（y）dy，（5.7），其中X的fX | t | Xt（z）是给定Xt=X的条件概率分布函数。

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2022-5-8 04:23:52

然后，用傅里叶变换表示weexpress（5.7）：F[p]（t，ω）=Z∞-∞E-iωxZ+∞-∞{x+y>\'x}fX＠T-t（y）dydx=Z∞-∞E-iω（u）-y）Z+∞-∞{u>\'x}fX＠T-t（y）dydu（u=x+y）=Z∞-∞E-iωu{u>\'x}duZ+∞-∞eiωyfX~T-t（y）dy=F[11{x>\'x}]（ω）eψ（ω）（ω）-t）。最后，将傅里叶逆变换应用于最后一个方程得到（5.6），因此等价。一种稍有不同的方法是采用卡尔和马丹（1999）提出的四个ier变换方法。为了说明这一点，我们假设在固定时间t<~t，Xt=0，并且定义p（t，z）：=Pt，0{X ~t>z |τλ≥~T}=Z∞zfXT-t（y）dy，（5.8），其中fXt-这是X~T的概率密度函数-twith X=0。z值可被视为上限阈值x和当前值x之间的差值。将傅里叶变换应用于（5.8）的两侧，我们得到F[~p]（t，ω）=z∞-∞E-iωzZ∞zfXT-t（y）dydz=Z∞-∞fXT-t（y）Zy-∞E-iωzdz我们注意到内部积分-∞E-iωzdz=e-iωz-iωY-∞不收敛，所以我们考虑了a>0时的适应因子eaz，并考虑pa（t，z）=eazp（t，z）。然后，相应的fourier变换由f[~pa]（t，ω）=Z给出∞-∞fXT-t（y）Zy-∞e（a）-iω）zdzdy=a-iωφT-t(-ω - ia），（5.9）式中-这是X~T的特征函数-t、反过来，对（5.9）进行傅里叶逆变换，得到p（t，z）=e-az2πZ∞-∞eizωφ∧T-t(-ω - a）a- iωdω=e-azπZ∞eiωzφT-t(-ω - a）a- iωdω，（5.10），其中我们使用了实函数p（t，z）的傅里叶变换在其实部为偶数，在其虚部为奇数的事实。最后，（5.10）中的积分用FFTalgorithm近似。我们注意到p（t，z）独立于a的选择，我们选择a∈ [1.5,2.0]用于数字实现。在表6中，我们给出了不同阈值下ESO成本超越概率的数值结果l.

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2022-5-8 04:23:55

FST-FST方法首先通过FST（见（3.11））计算ESO成本向量，该方法给出了临界值x（见5.3）。在第二步中，它应用FST来求解（5.6）中所示的超越概率。FFT-FST方法不同于第二步中的FST-FST方法，其中FFT（见（5.10））用于计算概率。对于GBM、Merton和Koumodel，参考值由封闭式公式给出（见附录B.2）。数值结果表明，这两种傅里叶变换方法都是非常精确的。l = 1.1~C（0,0）l = 1.2 C（0，0）模型参考值FS T-FST FFT-FST参考值FST-FST FFT-FSTGBM 0.2534 0.2532 0.2535 0.0868 0.0869 0.0869默顿0。2607 0.2608 0.2607 0.0943 0.0942 0.0943Kou0。2431 0.2430 0.2431 0.0799 0.0797 0.0798表6：案例1中的成本超标率。这里，t=0、~t=10/252、tv=2、t=8和其他参数与表3相同。案例2：电视节目≤ t在行权期后，员工打算在任何时间行权*≤ T，但可能被迫在τλ处进行运动。感兴趣的概率是^p（t，x）：=Pt，x{C（)τ*∧ τλ，Xτ*∧τλ) ≥ l}, （5.11）带)τ*= τ*∧~T。为了计算这一点，我们首先确定了关键原木价格\'x（t），即C（t，\'x（t））=l,对于t∈ [0，~T]。反过来，我们写出了相应的非均匀PIDE(t+L）^p- λ^p+λ1{x≥\'x（t）}=0，（5.12）表示（t，x）∈ （tv，~T）×R.边界条件和终端条件取决于临界原木价格x（T）和最优行使边界x的相对位置*（t）：=日志*（t） /S）。精确地说，如果x（t）≤ 十、*（t）然后我们在时间t为x时s et^p（t，x）=1≥ 十、*（t）。如果x（t）>x*（t）我们为x设置^p（t，x）=1≥ \'x（t）和^p（t，x）=0表示x*（t） <x（t）。对于终端条件，如果¨x（¨T）≤ K、然后我们设置^p（~T，x）=1，forx≥ K

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2022-5-8 04:23:58

如果x（~T）>K，那么x的p（T，x）=1≥ 对于K，x（t）和^p（t，x）=0≤ x<x（t）。对于数值实现，我们首先求解ESO值C（t，x），然后用它来确定临界对数价格¨x（t）和相关的最佳行使边界*（t）那就是*（t）。有了这些，我们将傅里叶变换隐式显式方法（如第4.1节所述）应用于PIDE问题（5.12）。在时间上向后迭代，我们得到了每个时间步长^p（tm-1，x）=F-1.F[^p（tm，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（tm）-商标-1） +F[1{x≥\'x（tm）-1)}](ω)Ψ(ω) - λ（e（ψ（ω）-λ）（tm）-商标-1)- 1)（x），（5.13）对于m=m，1，0，沿边界条件。在图4中，成本超出概率随着时间范围的延长而增加。随着工作终止强度λ的降低，概率也增加。5.5 6.5 7 7.5 80.30.350.40.450.5损失概率λ=0.2λ=0.3λ=0.4图4：情况2的ESO成本超出概率随≈T增加，随工作终止率λ减少。本例基于具有共同参数的Kou模型：S=K=10，r=0.05，p=0.5，q=0.04，u=0.08，＠λ=0.1，T=8，T=4，σ=0.2，α=3，η+=50，η-= 25.案例3:t≤ 电视<~T≤ t该场景是案例1和案例2的组合。如果τλ<tv，则ESO无效，如案例1所示。然而，如果没有发生这种情况，则案例2在行权后适用。因此，我们考虑了以下ESO成本超出概率p（t，x）：=EPt，x{1{τ)λ≥电视}p（电视，Xtv）}，0≤ T≤ tv，（5.14）如果在时间t之前未发生j ob终止，则相应的PIDE问题为(t+L）`p-λp=0（t，x）∈ [0，tv）×R，\'p（tv，x）=^p（tv，x），x∈ R.（5.15）通过傅里叶变换的解由‘p（tv，x）=^p（tv，x），（5.16）’p（t，x）=F给出-1.F[^p（tv，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（电视-（t）（x），给t≤ 电视

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2022-5-8 04:24:01

（5.17）这里，使用案例2中的概率^p（tv，x）作为输入，然后可以直接计算d，而无需递归（5.17）任何时间t≤ 电视5.2合同终止概率ESO合同可以因行权前的工作终止或行权后的自愿/强制终止而终止。我们现在研究给定时间间隔[t，~t]内的ESO合同终止概率。我们再次考虑三种不同的情况。案例1:t<~t≤ 在行权期内，合同终止完全是由于tv之前的工作终止，其概率仅为1- E-~λ（~T）-t）。案例2：电视≤ t<~t≤ t行权后，合同终止可能由工作终止导致的非自愿行权或持有人的自愿行权引起。出于计算目的，我们将合同终止概率分为两部分，根据工作终止发生在T之前还是之后。首先，我们考虑在[t，~t]期间不会发生工作终止，且ESO持有人自愿行使E SO的情况。这对应于概率t，x{τ*≤~T，τλ>~T}=Pt，x{τ*≤~T}e-λ（~T）-t），（5.18）式中τ*是持有者的最佳锻炼时间。为了计算（5.18），我们求解^h（t，x）：=Pt，x{τ*≤来自皮德(t+L）^h=0，（5.19）表示（t，x）∈ （tv，T）×R，当x>x时，有界条件^h（T，x）=1*（t），以及终端条件^h（~t，x）=1{x≥十、*（~T）}，其中x*（t）：=日志*（t） /S）。对于数值解，我们递归地应用（^h（tm-1，x）=F-1[F[^h（tm，x）]（ω）eψ（ω）（tm）-商标-1） [（x），x≤ 十、*（t） ^h（tm）-1，x）=1，x>x*（t）。（5.20）另一种情况是，作业终止在T之前到达。因此，总的合同终止概率h（t，x）是sumh（t，x）：=e-λ（~T）-t） ^h（t，x）+1- E-λ（~T）-t）。

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nandehutu2022

2022-5-8 04:24:04

（5.21）从这个表达式中，我们观察到，合同终止概率随着工作终止强度λ的增加而增加，因为最佳行使边界随着λ的增加而减少，因此（1）也是如此-^h（t，x））。或者，我们观察员工的自愿锻炼概率hv（t，x）：=Pt，x{τ*< τλ∧~T}。该概率满足PIDE(t+L）高压- λhv=0，（5.22）对于（t，x）∈ （tv，T）×R，当x>x时，边界条件hv（T，x）=1*（t），和项hv（~t，x）=1{x≥十、*（~T）}，其中x*（t）：=日志*（t） /S）。数值解由（hv（tm）反迭代得到-1，x）=F-1[F[hv（tm，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（tm）-商标-1） [（x），x≤ 十、*（t） hv（tm）-1，x）=1，x>x*（t），（5.23）对于m=m，1, 0.图5显示了自愿行使概率之上的合同终止概率。从PIDE（5.22）中，我们观察到两个相互竞争的因素控制着j ob终止强度λ对自愿运动概率的影响。一方面，较高的工作终止强度λ意味着较低的最佳锻炼边界，这反过来增加了自愿锻炼的概率。另一方面，更高的工作终止强度更有可能在股票价格达到持有人的最佳行使边界之前迫使提前行使。这降低了自愿锻炼的可能性。在图5（左）中，我们看到，自愿锻炼的概率随着转归后的工作终止强度λ而降低，因此在这种情况下，工作终止的影响大于降低锻炼边界的影响，因此，降低了自愿锻炼的概率。

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2022-5-8 04:24:07

此外，如图5（右）所示，合同终止概率随着工作终止强度λ的增加而增加，正如预期的那样。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.8工作终止强度概率自愿行使概率合同终止概率9.2 9.4 9.6 9.8 10.2 10.4 10.6 10.8 110.050.150.20.250.30.350.40.450.5股价概率自愿行使概率合同终止概率图5：（左）工作终止智能增加合同终止概率，但会降低自愿锻炼概率。（右图）股票价格增加了合同终止概率和自愿行使概率，分别为∧=0.1和λ=0.2。本例基于GBM模型，其共同参数为：S=10、K=9、r=0.05、σ=0.2、q=0.04、u=0.08、tv=2、T=8、T=6、~T=7。案例3:t≤ 电视<~T≤ t这种情况是上述情况1和2的组合。合同终止可以在授予之前或之后发生。在[t，tv]期间，只有工作终止才能取消合同。如果在电视前没有工作终止，那么合同终止类似于案例2。因此，合同终止概率为sum1-E-λ（电视）-t） +EPt，x{h（tv，Xtv）1{τλ≥tv}}{z}=：h（t，x），（5.24），其中h（t，x）在（5.21）中给出。因此，h（t，x）满足（t，x）∈ [0，tv）×R，PIDE(t+L）~h-λλh=0，（5.25）在时间tv时，我们设置＠h（tv，x）=h（tv，x），其中h（tv，x）根据情况2计算。同样，第3节中讨论的FST方法也可用于求解h（t，x）。在任何时间t<tv时，概率可以通过h（t，x）=F一步计算（无时间迭代）-1.F[h（tv，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（电视-（t）（x）。（5.26）6具有封闭形式解决方案的永久性ESO我们现在讨论GBM模型下永久性ESO的估值。

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