随机市场中具有交易费用的近似套期保值问题

2022-5-8 05:05:47

随机波动市场中具有交易费用的近似套期保值问题*Thai Huu Nguyen+和Serguei Pergamenschikov2015年5月12日摘要本文研究了具有交易成本的一般随机波动性市场中的期权复制问题，使用了Leland’salgorithm中波动性调整的一个新规范[23]。我们证明了Leland策略的标准化复制误差的几个极限定理，以及L’epinette[27]提出的策略的极限定理。所得的渐近结果不仅推广了现有结果，而且使我们能够确定卡巴诺夫和萨法里安在[18]中指出的欠享乐性质。我们还讨论了提高收敛速度和降低包含交易成本的期权价格的可能方法。关键词：利兰策略、交易成本、随机波动性、分位数对冲、近似边缘化、高频市场数学主题分类（2010）：91G20；60G44；60H07JEL分类G11；G131 IntroductionLeland[23]提出了一种在具有比例交易成本的市场中为标准欧式期权定价的简单方法。他认为，通过增加经典Black-Scholes模型[4]中的波动性参数，可以在期权价格中考虑交易成本。Lelandthen声称，如果交易成本率是一个独立于n的常数，或在n的速率下降至零，则在不给出严格数学证明的情况下，随着修正次数的增加，相应离散增量策略的复制投资组合收敛于期权支付-1/2. 洛特在他的博士论文[30]中证明了后一种说法。

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2022-5-8 05:05:53

关于这一理论的最新解释，我们请读者参考第2节和[18、24、26、27、13、14、9、34]。在这项研究中，我们研究了具有恒定交易成本的欧式期权随机波动（SV）市场的近似套期保值问题（参考文献[11]和其中有关SV模型的动机和详细讨论的参考文献）。特别是，我们使用简单的波动率调整，在一般SV设置下，建立了Leland策略的标准化套期保值误差的弱收敛性。所得结果不仅推广了已有结果，而且为提高收敛速度提供了一种方法。此外，结果表明，通过控制模型参数可以实现超磨边。让我们强调一下，在[23]中提出并在[18,19,24,25,27]中应用的调整后波动率的经典形式可能不适用于SV模型。原因是SV市场的期权定价和套期保值本质上不同于经典的Black-Scholes框架。特别是，期权价格现在取决于波动过程的未来实现。总的来说，并非所有投资者都能从统计上获得这些信息。为了解决这个问题，我们建议在Leland算法中对调整后的波动率进行新的规定。虽然我们采用了一种经过特殊修改的波动率，比之前文献中使用的著名版本更简单，但在SV环境中也得到了相同的渐近结果。此外，通过控制模型参数可以提高收敛速度。请注意，在上述论文中，近似程序主要基于矩估计。这种基本技术不再适用于一般SV模型，除非对模型参数施加一些内在条件[2,28]。

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2022-5-8 05:05:56

记住，我们的目标是建立标准化复制误差的弱收敛性，它只需要在近似项的概率上收敛。因此，在近似过程中，可以避免可积性问题，以尽可能保持模型设置的通用性。如[34]所述，Leland算法中的期权价格（包括交易成本）可能很高（事实上，它接近买入和持有价格），即使修正数的值很小。我们方法的另一个实际优势是，只要期权卖方愿意承担期权复制的风险，期权价格就可以降低。这种方法受到分位数套期保值理论的启发[10]。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要回顾了兰德的方法。第3节专门阐述这个问题，并介绍我们的主要结果。第4节介绍了定价和套期保值的一些直接应用。第5节讨论了常见的SV模型，这些模型满足波动率函数的条件。还提供了HullWhite模型的数值结果以供说明。第6节将我们的结果与具有比例交易成本的高频市场联系起来。第7节报告了我们主要结果的证明。辅助引理可以在附录中找到。2.交易成本的近似套期保值：回顾Land在完全无套利模型中的做法（即存在唯一的等价鞅测度，股票价格为鞅），期权可以通过自融资交易策略完全复制。期权价格（定义为复制成本）是投资者为获得完整对冲而必须投资的初始资本。

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2022-5-8 05:05:59

实际上，期权价格可以计算为在唯一等价鞅测度下贴现索赔的期望值。这一原则在著名的布莱克-斯科尔斯模型中起着核心作用。为了简单起见，让我们考虑时间间隔[0,1]上的双资产金融市场的连续时间模型，其中债券价格始终等于1。股票价格动态遵循随机微分方程Dst=σStdWt，Sgiven，（1）其中Sandσ为正常数，（Wt）0≤T≤1是标准的维纳工艺。像往常一样，让Ft=σ{Wu，0≤ U≤ t} 。我们记得财务策略（βt，γt）0≤T≤1如果从下方（Ft）限定为RT（|βt |+γt）dt<∞ a、投资组合价值满足度vt=βt+γtSt=V+ZtγudSu，t∈ [0, 1].经典的套期保值问题是找到一个可接受的自我融资策略（βt，γt），其最终投资组合价值超过支付效率h（S）=max（S）- K、 0），orV=V+ZγudSu≥ h（S）a.S.，其中K是履约价格。标准定价原理表明，期权价格C（t，St）由著名的公式[4]C（t，x）=C（t，x，σ）=xΦ（ev（t，x））给出- KΦ（ev（t，x）- σ√1.- t）式中ev（t，x）=v（σ（1- t），x）和v（λ，x）=ln（x/K）√λ+√λ. （3）这里，Φ是标准正态分布函数。在下面，我们用φ表示N（0，1）密度：φ（z）=Φ（z）。我们可以直接检查Cx（t，x）=Φ（ev（t，x））和Cxx（t，x）=φ（ev（t，x））xσ√1.- t、（4）Black和Scholes[4]假设在交易成本为零的情况下可以进行持续的投资组合调整，认为期权支付可以使用增量策略（即期权价格相对于股价的偏导数）动态复制。很明显，持续修订投资组合的假设是不现实的。

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2022-5-8 05:06:02

此外，在非零恒定比例交易成本的情况下，持续交易将是毁灭性的昂贵，因为delta策略具有有限的变化。这种简单的直觉反驳了布莱克和斯科尔斯的观点，即如果交易发生得相当频繁，那么享乐误差相对较小。因此，具有非零交易成本的期权定价和复制本质上不同于Black-Scholes环境下的期权定价和复制。请注意，在具有事务成本的情况下，在复制中确保一定程度的准确性可能会非常昂贵。在接下来的内容中，我们证明了Leland的增加波动性原理[23]在这种情况下实际上是有用的。2.1恒定波动率caseLeland的方法[23]提供了处理交易成本的有效技术。这种方法只是基于一种直觉，即交易成本可以作为合理的额外费用计入期权价格中，这是期权卖方支付期权收益所必需的。这意味着，在存在交易成本的情况下，该选项比classicBlack-Scholes框架中的选项更昂贵。这在直觉上相当于Black-Scholes公式中波动性参数的增加。让我们简要描述一下利兰的方法[23,18]。假设在每次交易活动中，投资者必须支付与交易量成正比的费用，以美元价值计量。假设交易成本率由κ定律给出*N-α、其中n是修订的数量。给，0≤ α ≤ 1/2和κ*> 0是两个固定参数。Leland方法的基本原理是用bσ代替Black-Scholes模型中的真实波动率参数，特别是修改为asbσ=σ+%n1/2-α带%=κ*σp8/π。（5）在这种情况下，期权价格由Black-Scholes公式bc（t，x）=C（t，x，bσ）给出。

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2022-5-8 05:06:05

对于期权复制问题，Leland建议采用以下离散策略，即Leland的策略，γnt=nXi=1bCx（ti-1、Sti-1） 1（ti）-1，ti]（t），ti=in，i∈ {1,2，…，n}。（6）在此，区间内持有的股份数量（ti-1，ti]是在该区间的左边界处计算的增量策略。然后，复制投资组合的价值取形式Vn=Vn+ZγnudSu- κ*N-αJn，（7）其中总交易量为Jn=Pni=1Sti |γnti- γnti-1 |（以美元价值计量）。再次证明期权价格bc（t，x）是Black-Scholes偏微分方程的解，其波动率bσbCt（t，x）+bσxbCxx（t，x）=0，0≤ t<1；bC（1，x）=h（x）。（8）利用它的^o公式，我们可以表示跟踪误差Vn- h（S），asZγnt-bCx（t，St）dSt+（bσ）- σ） ZStbCxx（t，St）dt- κ*N-αJn。（9）备注1（利兰）。具体形式（5）源自以下直觉：（9）中的勒贝格积分显然很好地近似于项σSti的黎曼和-1bCxx（ti）-1、Sti-1)t、而Sti |γnti- γnti-1 |可替换为≈ σSti-1bCxx（ti）-1、Sti-1)|Wti|≈ σp2/（nπ）Sti-1bCxx（ti）-1、Sti-1）因为|Wti |=p2/π√t=p2/（πn）。因此，可以合理预期（5）中定义的修正波动率将给出适当的近似值，以补偿交易成本。Leland[23]推测复制误差收敛的概率为零，为n→ ∞ 对于恒定比例交易成本的情况（即α=0）。他还建议，在没有给出严格证明的情况下，对于α=1/2的情况，这个性质也是正确的。事实上，Leland关于α=1/2的第二个猜想是正确的，Lott在他的博士论文[30]中证明了这一点。定理2.1（Leland Lott[23,30]）。对于α=1/2，策略（6）定义了一个近似复制的投资组合，因为修订间隔n的数量趋于单一- 画→∞Vn=h（S）。然后，Ahn等人[1]将这一结果推广到一般的扩散模型。

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2022-5-8 05:06:08

Kabanov和Safarian[18]观察到，只要成本率收敛到零，Leland-Lott定理仍然成立→ ∞.定理2.2（Kabanov-Safarian[18]）。对于任何0<α≤ 1/2，P- 画→∞Vn=h（S）。在[26,19]中，作者研究了α=1/2情况下L收敛意义下的Leland-Lott近似。定理2.3（Kabanov-L\'epinette[26]）。设α=1/2。Land策略的均方近似误差（在（5）中定义了%）满足以下渐近等式越南- h（S）= 一-1+o（n）-1）作为n→ ∞,其中A是一个正函数。定理2.3表明，归一化复制误差在定律中收敛为n→ ∞.定理2.4（伊皮内特·卡巴诺夫[19]）。对于α=1/2，过程Yn=n1/2（Vn- h（S））在Skorokhod空间D[0，1]中弱收敛于过程Yo=RoB（St）dZt的分布，其中Z是一个独立的维纳过程。备注2。第6节讨论了这种情况与高频市场中按比例交易成本套期保值问题之间有趣的联系。值得注意的是，Leland在备注1中的近似值在数学上是不正确的，因此，他的第一个猜想对于恒定交易成本的情况是无效的。事实上，asn→ ∞, 交易量Jn可近似为以下总和（不可能收敛到（11）中定义的J（S，%）-nXi=1λ-1/2i-1Sti-1e~n（λi）-1、Sti-1)|σ%-1Zi+q（λi）-1、Sti-1)|λi，其中λi=λti=bσ（1- ti），Zi=Wti/p天德ν（λ，x）=ν（v（λ，x）），q（λ，x）=ln（x/K）2λ-. （10）一项仔细的研究证实，在α=0的情况下，复制投资组合的极限和支付之间存在着不小的差异。定理2.5（Kabanov-Safarian[18]）。

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2022-5-8 05:06:12

对于α=0，Vn收敛到h（S）+min（S，K）-κ*J（S，%）的概率，其中J（x，%）=xZ+∞λ-1/2e|（λ，x）E | E%Z+q（λ，x）| dλ，（11）其中E%=σ%-1和Z~ N（0，1）独立于S.套期保值不足：重要的是要注意，在交易成本不变的情况下，期权复制的问题并没有完全解决。实际上，考虑到E | E%Z |=1/（2κ*)还有身份证∞Zλ-1/2e~n（λ，x）dλ=2 min（x，K），（12）我们得到（对于（5）中给出的参数%）该min（x，K）-κ*J（x，%）=xκ*均衡器+∞λ-1/2e|（λ，x）（E | E%Z）|- E | E%Z+q（λ，x）|）dλ。安德森不等式（参见第155页[17]中的例子）直接暗示，对于任何q∈ R、从表面上看，均方复制可能不包含太多有用的信息，因为收益和损失在实践中具有不同的意义。显然，如果α=1/2，则修正后的波动率与n无关。图1:min（S，K）- κ*J（S）在左边，J（S）在右边，K=5。E | E%Z+q |≥ E | E%Z |。因此，P-画→∞（越南）-h（S））≤ 因此，在这种情况下，该期权是渐进式套期保值的。在近似过程中，还应注意这样一个事实，即BC及其导数取决于0时的修订次数≤ α < 1/2. 此外，可以任意选择（5）中出现的系数%。Pergamenschikov[34]证明了inKabanov-Safarian定理的收敛速度为n1/4，并为规范化复制误差提供了弱收敛性。定理2.6（Pergamenschikov[34]）。考虑Leland的策略（6），α=0，让（5）中的百分比为某个固定的正常数。

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2022-5-8 05:06:16

然后，随机变量序列sn1/4（Vn- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，%）（13）弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.定理2.6具有实际意义，因为它不仅给出了套期保值误差的渐近信息，而且提供了一种合理的方法来确定套期保值不足的问题（见第4节）。Darses和L’epinette[9]修改了Leland的策略，通过应用非一致修正策略（ti）1来改善定理2.6中的收敛性≤我≤n、定义字节=g（i/n），g（t）=1- (1 - t） u代表一些u≥ 1.（14）调整后的波动率取bσt=σ+κ*σp8/πpnf（t），其中f是g的反函数。此外，定理2.5和2.6中的差异可以通过采用以下修改策略来消除，称为L’epinette策略[27]，\'γnt=nXi=1bCx（ti）-1、Sti-1) -Zti-1bCxt（u，Su）du（ti）-1，ti]（t）。（15）定理2.7。设Vn为策略（15）的终值，α=0。那么，无论如何≤ u<umax，序列nβ（Vn- h（S））弱收敛于中心的混合高斯变量，如n→ ∞, 其中β=u2（u+1）和umax=3+√. （16） 2.2与时间相关的波动率案例假设σ是一个正的非随机函数，并且支付函数是一个连续函数，具有连续导数，但在一定数量的点上除外。在非均匀再平衡计划（14）下，扩大的波动率应采用公式bσt=σ（t）+κ*σ（t）n1/2-αpf（t）8/π。（17）定理2.8（伊皮内特[24]）。设σ为严格正Lipschitz有界函数。此外，假设H（·）是一个分段二次可微函数，并且存在x*≥ 0和δ≥ 3/2，这样supx≥十、*xδ| H（x）|<∞. 那么，对于任何1/2≥ α>0时，利兰策略的复制组合在概率上收敛于n→ ∞.

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2022-5-8 05:06:19

此外，对于α=0，P- 画→∞Vn=H（S）+H（S）- κ*H（S），其中H（·）和H（·）是依赖于支付的正函数。备注3。定理2.7仍然适用于定理2.8（见[27]）。2.3从备注1讨论，（5）定义的修正波动率似乎给出了一个适当的近似值，可以解释交易成本。然而，情况并非总是如此，因为包含交易成本的期权价格现在取决于再平衡数字。在更一般的模型中，这种特定的选择可能会产生技术问题。例如，在局部波动模型[24]中，证明（8）的解的存在需要耐心和努力，因为bσ取决于股票价格。另一方面，有趣的是，从数学角度来看，真实波动率在近似过程中不起作用。事实上，酶α=0的所有结果都可以通过bσt=κ的形式得到*σ（t）n1/2pf（t）8/π，其中第一项σ（t）已被删除。更一般地说，我们可以采用以下公式bσt=%pnf（t），（18）表示某个正常数%，这将在后面详细说明。当然，交易成本的极限值将略有变化。让我们强调一下，使用简单形式（18）很重要，原因有二。首先，它允许我们进行比现有文献中使用的更简单的近似。其次，Leland在（5）中定义的bσ策略可能不再适用于随机波动（SV）市场。事实上，在这些市场中，期权价格取决于未来的波动率，而这些波动率在统计上是不可用的。在本文的剩余部分，我们证明了简单形式（18）（t的确定函数）有助于在一般SV设置下进行近似套期保值。

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2022-5-8 05:06:22

应该注意的是，如果波动性风险溢价仅取决于波动性过程的当前值，那么这里开发的近似方法仍然适用于经典形式（5）[36,37]。最后，我们提到Leland的算法由于易于实现而具有实际意义。恒定交易成本α=0的情况应在更一般的情况下进行研究，例如，波动性取决于外部随机因素，或考虑股票价格的跳跃。3模型和主要结果let(Ohm, F、（英尺）0≤T≤1，P）是具有两个标准独立（Ft）0的标准过滤概率空间≤T≤1适应维纳过程（W（1）t）和（W（2）t），以R表示其价值。我们的金融市场由一个风险资产组成，在时间间隔[0,1]dSt=σ（yt）StdW（1）t上由以下等式控制：；dyt=F（t，yt）dt+F（t，yt）（rdW（1）t+p1- rdW（2）t），（19）其中-1.≤ R≤ 1是相关系数。在SDEs的文献中众所周知，ifF（t，y）和F（t，y）在（t，y）中是可测量的∈ [0，T]×R，线性有界且局部Lipschitz，系统（19）的最后一个方程存在唯一解y。关于这个基本结果，见定理5.1和[12,29]。为了简单起见，假设利率等于零。因此，选择无风险资产作为基准。在这一节中，我们使用模型（19）中增加波动率的原理来考虑具有常数比例成本的近似套期保值问题。如第2.3小节所述，调整后的波动率选择为bσt=%qnf（t）=u-1/2%√n（1）- t）一,-u2u, 1 ≤ u < 2. （20）复制投资组合在（ti）处修订，如（14）所定义。参数%>0在控制收敛速度方面起着重要作用，稍后会详细说明。

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2022-5-8 05:06:26

如下所示，总交易量的限制值基本上与%对修订次数的依赖性有关。备注4。直觉上，使用独立调整的波动率似乎不自然，因为它无法解释市场信息。然而，本文中开发的技术很好地适用于调整后的波动率取决于由独立布朗运动驱动的波动过程的情况。在这种情况下，如果波动风险溢价仅取决于当前的波动过程，那么无套利期权价格（无交易成本）是波动过程未来路径上布莱克-斯科尔斯价格的平均值[36,37]。回想一下，bc（t，x）是柯西问题（8）的两个一阶导数的解，如（4）所述：bCx（t，x）=Φ（v（λt，x））和bcxx（t，x）=x-1λt-1/2e~n（λt，x），其中λt=Ztbσsds=eu%√n（1）- t） 4β和eu=2√u/(u + 1) . （21）备注5。第4节将说明[18]中指出的套期保值不足情况可以通过控制参数%来实现。我们利用波动率函数的以下条件。（C）假设σ是一个C函数，存在σmins，即0<σmin≤ σ（y）表示所有y∈ R和sup0≤T≤1E[σ（yt）+|σ（yt）|]<∞.假设（C）没有限制性，并且在许多流行的SV模型中都得到了满足（见第5节和[35]）。3.1 Leland策略的渐近结果让我们研究（6）中定义的Leland策略的复制误差。复制的portfolioVnis由（7）定义。现在，根据It^o的公式，h（s）=bC（1，s）=bC（0，s）+ZbCx（t，St）dSt-I1，n，（22），其中I1，n=Rbσt- σ（yt）StbCxx（t，St）dt。设置V=bC（0，S），我们可以将复制错误表示为vn- h（S）=I1，n+I2，n- κ*Jn，（23）式中I2，n=Rγnt-bCx（t，St）dStand定义如（7）所示。首先，我们要强调的是，SV模型中的完全复制远远不明显。

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2022-5-8 05:06:29

在我们的设置中，I2比nβ更快地收敛到零，β的定义如（16）所示。伽马误差I1，napproaches2 min（S，K）的速率相同。另一方面，总交易量jn收敛于随机变量J（S，y，%）的概率，由J（x，y，%）定义=xZ+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+q（λ，x）dλ，（24）其中Z~ N（0，1）独立于Sand y。我们的目标是通过应用鞅的极限理论[15]，研究由这些显式极限值校正的归一化重复应用误差的收敛性。为了做到这一点，我们通过在第7节中开发一个特殊的离散化程序，在上述项的近似中寻找鞅部分。定理3.1。假设条件（C）成立，%>0是一个固定的正常数。然后，nβ（Vn- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，y，%）弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.备注6。该定理是一个推广，包括[18,34]中结果的改进收敛速度，其中采用统一修正，假设波动率为常数。备注7。注意h（x）+min（x，K）=x，其中h（x）=（x- K） +是经典欧洲看涨期权的收益。然后，根据定理3.1，财富过程接近Vns-κ*J（S，y，%）作为n→ ∞. 这可以解释为期权现在以更高的价格出售，因为（0，S，^σ）→ Sas^σ→ ∞. 换句话说，利兰的策略现在收敛于众所周知的买入并持有策略[22]：在t=0时以价格买入股票，并将其保留到到期。现在，我们在定理3.1中提出了一种提高收敛速度的方法。为此，让→ ∞, 我们观察到这一点→∞J（x，y，%）=xZ+∞λ-1/2e~n（λ，x）| q（λ，x）| dλ：=J*（x），这表明，如果将%作为n的函数，则定理3.1中的收敛速度可以提高。

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大多数88

2022-5-8 05:06:32

我们的下一个结果是在%的条件下建立的。（C）参数%=%（n）是n的函数，因此limn→∞%（n） =∞ 还有limn→∞% N-u2(u+2)= 0 .定理3.2。在条件（C）下- （C），θn（Vn）- h（S）- min（S，K）+κ*J*（S）），当θn=nβ%2β时，弱收敛到中心混合高斯变量n→ ∞.备注8。定理3.1和3.2中的渐近分布在第7.3.2节“L’epinette策略的渐近结果”中明确确定。让我们研究L’epinette策略γnt的复制误差，如（15）所定义。与之前一样，复制投资组合为Vn=Vn+RγntdSt- κ*Jn，其中Jn=nXi=1Sti |γnti- γnti-1|. （26）现在，根据It^o公式，跟踪误差是vn- h（S）=I1，n+I2，n- κ*Jn，（27）式中I2，n=I2，n+Pi≥1（Sti）-性病-1） Rti-1bCxt（u，Su）du。然后，我们对定理2.7进行了如下加强。定理3.3。假设（C）已满。然后，对于任何%>0的情况，sequencenβ（Vn- h（S）- ηmin（S，K）），η=1- κ*σ（y）%-1p8/π，弱收敛于中心混合高斯变量n→ ∞.备注9。定理2.7可由定理3.3建立，其中%=κ*当波动率为常数时，σp8/π。此外，在我们的模型中，参数u取区间[1,2]中的值，这比定理2.7中规定的条件更一般。此外，如果将经典形式的调整波动率应用于L’epinette的策略，则可以通过取%=κ来实现完全复制*p8/π，我们再次得到了[9]中建立的结果。推论3.1。

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大多数88

2022-5-8 05:06:37

在条件（C）下-（C），财富序列Vn以概率收敛到h（S）+min（S，K）=S。注意，我们没有得到定理3.3的改进收敛版本，因为κ*Jn以%.4的顺序收敛到零应用于定价问题在这一部分中，我们给出了一个应用于有交易成本的期权定价问题。我们首先强调，在存在交易成本的情况下，即使是在恒定波动性模型中，也不可能获得非平凡的完美对冲。事实上，卖方可以采取买入并持有策略，但这会导致期权价格较高。我们在下面展示了价格可以通过一定的方式降低，从而使支付被给定的概率覆盖。4.1具有交易成本的超级对冲为了安全起见，投资者会寻找终值大于支付金额的策略。这些策略是动态优化问题的解决方案。更准确地说，设H为一般未定权益，设A（x）和Vπ，xt分别为初始资本x和策略π的终值的所有可容许策略π的集合。然后，h的超级复制成本由asU=inf{x确定∈ R:π ∈ A（x），Vπ，xT≥ H.a.s.}，（28）（更多细节见[22]及其参考文献）。在存在交易成本的情况下，Cvitani’cand Karatzas[8]表明，买入并持有策略是超级复制的唯一选择，然后是超级复制的价格。在这一节中，我们将展示这个属性仍然保持近似超级对冲。当%是n.命题4.1的函数时，下面的观察结果是定理3.2的直接结果。在条件（C）下- （C），P- 画→∞越南≥ h（S）。同样的属性也适用于伊皮内特的策略。证据首先请注意，J*（十）≤ 最小值（x，K），对于所有x>0。因此，根据定理3.2，P- 画→∞（越南）- h（S））≥ (1 - κ*) min（S，K）。

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2022-5-8 05:06:40

（29）左侧明显为非负性，如κ*< 1.结论来自理论3。3.4.2渐进分位数pricingAs在存在交易成本的情况下，超级套期保值会导致期权价格较高。实际上，人们可以问，在最后一刻，初始资本可以减少多少，以换取空头概率。更准确地说，对于给定的重要级别0≤ ε ≤ 1.卖方可能会寻找初始成本最低的套期保值∈ Rπ ∈ A（x）：P（Vπ，xT≥ H）≥ 1.- ε}.这种构造是由分位数套期保值理论推动的，该理论可以追溯到[10,33]。有关相关讨论，请参考[10,33,34,5,7,6]。在这里，我们将这个想法应用于套期保值问题。再次证明Leland算法的超级套期保值价格为s。在卖方方面，我们提出了一个δs<s的价格，对于正确选择的0<δ<1。然后我们遵循Leland的复制策略。为确保终端时刻的安全，我们需要选择%以使终端投资组合的概率超过实际目标（即支付）和额外金额（1）之和- δ） Sis大于1- ε. 这里，ε是卖方预先确定的重要水平。根据提案4.1，这一目标可以以相当大的比例实现。为了确定期权价格，现在仍然需要选择δ的最小值。受（29）的启发，我们通过Δε=inf{a>0:Υ（a）来定义这一点≥ 1.- ε} ，Υ（a）=P（1- κ*) 最小（S，K）>（1）- a） S）。（30）因此，期权价格的减少由（1）给出- Δε）S。显然，Δε屈服值越小，选项越便宜。接下来，我们证明，与参数ε的幂相比，期权价格显著降低。提议4.2。假设σmax=supy∈Rσ（y）<∞. 然后，对于任何r>0和由（30）定义的Δε，limε→0(1 - δε)ε-r=+∞. （31）证据。我们首先观察到0<Δε≤ 1和Δε趋向于1作为ε→ 0.设置b=1- κ*.

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2022-5-8 05:06:43

然后，对于足够小的ε，使得Δε>a>1- bK/S，一个有一个- ε>P（b min（S，K）>1- a） S）=1- P（S/S）≤ (1 - a） /b）。因此，ε<P（S/S≤ (1 - a） /b）≤ P（X）≤ -其中Xt=Rtσ（yt）dW（1）和za=ln（b/（1）- a） )- σmax/2。为了估计这个概率，我们注意到对于任何整数m≥ 1，E（X）2m≤ σ2mmax（2m- 1)!! （见[29，引理4.11，第130页]）。对于任何0<1/2σmax，EεX=∞Xm=0碜mm！E（X）2m≤∞Xm=0碜mm！σ2mmax（2m- 1)!! ≤1.- R（γ）。因此，对于足够小的ε>0，我们有ε≤ P（X）≤ -za）=P(-十、≥ za）≤ E-~nzaE e~nX≤E-~nza1- R（γ）。然后，1- A.≥ b e-ε（Ⅴ），式中ε（Ⅴ）=p|lnε（1- R（Γ））|/Γ+σmax/2。让→ Δε，我们得到1- δε≥ 是-ε（Γ），这意味着（31）。波动率函数的有界性对于上述比较结果至关重要。如果我们希望放宽这一假设，那么降价幅度将小于提案4.2中的降价幅度。提案4.3。假设E exp{αRσ（ys）ds}<∞, 对于某些常数α>1/2。那么，对于rα=（2√2α+1）/2α，lim-infε→0ε-rα（1）- δε) > 0 . （33）证据。对于任何正常数L，我们设置τ=τL=inft>0:Ztσ（ys）ds≥ L∧ 1，（34）这是原木价格的方差首次超过L级。然后，从（32）开始，ε≤ PE-1(σ) ≥ ua，Zσ（ys）ds≤ L+ PZσ（ys）ds≥ L, 其中Et（σ）=eRtσ（ys）dW（1）s-Rtσ（ys）ds，ua=（1）- κ*)/(1 - a） Δε>a>1- bK/S.注意，对于任何p>0的情况，停止的过程χt=Eτ∧t(-pσ）是鞅，Eχt=1。因此，（35）右侧的第一概率可以估计为（ua）-体育-pτ（σ）=（ua）-pEχeˇpRτσ（ys）ds≤ （ua）-peˇpL，其中ˇp=（p+p）/2。根据这个假设和切比雪夫不等式，我们得到了Zσ（ys）ds≥ L≤ Cαe-αL，Cα=E expαZσ（ys）ds.因此，ε≤ （ua）-peˇpL+Cαe-αL.通过选择L=α-1ln（2C/ε）和→ Δε，对于任何p>0和某些正常数Cα，1- δε≥~Cαεγ*（p），γ在哪里*（p） =（p+1）/（2α）+p-1.注意rα=minp>0γ*（p） =γ*(√2α).

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2022-5-8 05:06:46

然后，包括上一个不等式p=√2.获得性质（33）。备注10。很明显，rα<1表示α>3/2+√2.命题4.3中使用的条件，当σ线性有界且Yt遵循Orstein-Uhlenbeck过程时（见附录C）。同样的分位数定价结果也适用于伊皮内特策略。5个例子和数值结果在本节中，我们列出了一些著名的SV模型，其中条件（C）已完全满足。为此，我们需要一些一般SDE解的矩估计，dyt=F（t，yt）dt+F（t，yt）dZt，y（0）=y，（36），其中Z是标准的维纳过程，F是两个光滑函数。我们首先回顾了SDE理论中众所周知的结果（参见示例[12，定理2.3，第107页]）。定理5.1。假设F（t，y）和F（t，y）在（t，y）中是可测的∈ [0，T]×R，线性边界和局部Lipschitz。如果E|y|2m<∞ 对于某些整数m≥ 1，则存在（36）andE | yt | 2m<（1+E | y | 2m）Eαt，E sup0的唯一解（yt）≤s≤t | ys | 2m<M（1+E | y | 2m），其中α，M是依赖于t，M的正常数。在定理5.1的上下文中，如果波动函数及其导数具有多项式增长|σ（y）|≤ C（1+| y | m），对于某些正常数C和m≥ 1.Hull-White模型：假设yt遵循几何布朗运动Dst=（yt+σmin）stdwand dyt=yt（adt+bdZt），（37），其中σmin>0，a和b是一些常数，Z是与WT相关的标准布朗运动。放马过来*= sup0≤T≤1 | yt |。然后，根据定理5.1，我们得到了（y）*)2米≤ C（1+E|y|2m）<∞, M≥ 1.只要E|y|2m<∞. 因此，条件（C）已在（37）中完全填写。均匀椭圆波动率模型：假设波动率是由均值回复的奥斯汀-乌伦贝克过程驱动的，dST=（yt+σmin）StdWtand dyt=（a- byt）dt+dZ。（38）在这种情况下，σ（y）=y+σmin。

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2022-5-8 05:06:49

因此，条件（C）在定理5.1中得到验证。Stein-Stein模型：假设DST=qyt+σminstdwt和dyt=（a- byt）dt+dZt。（39）我们有σ（y）=py+σm，条件（C）也由定理5.1验证。Heston模型：Heston[16]提出了一个SV模型，其中波动性由CIR过程驱动，该过程也称为平方根过程。这个模型可以在我们的环境中使用。事实上，假设价格动态如下所示：dSt=pyt+σminstdwt和dyt=（a- byt）dt+√ytdZt，y≥ 0.（40）对于任何a和b>0的方程，最后一个方程允许一个唯一的强解yt>0。注意，定理5.1中的利普斯奇兹条件被违反，但通过使用停止时间技术，我们坦率地证明了*< ∞. 因此，这意味着模型（40）满足条件（C）。类似地，我们可以检查（C）是否适用于Ball-Roma模型[3]，或者更一般地，适用于满足以下条件的一类有界扩散过程。（A）存在正常数A、b和M，使得yf（t，y）≤ A.- byand | F（t，y）|≤ M、对于所有t>0，y∈ R.提案5.1。在条件（A）下，存在α>0使得Eeαy*2< ∞.证据该证明使用了与[20]中命题1.1.2相同的方法。Scott模型：假设波动率遵循Orstein-Uhlenbeck，就像Stein-Stein模型一样，函数σ采用指数形式DST=（eδyt+σmin）StdW（1）和dyt=（a）- byt）dt+dZt，（41），其中a、b和σmin>0是常数。这里，δ>0的选择使得2δ≤ α、定义为第5.1条。显然，σ（y）=eδy+σm，条件（C）已满，因为sup0≤T≤1 |σ（y）|≤ 2σmin+2E（e2δ{yt|≤1} +e2δ| y |{| yt |>1}）<∞.赫尔-怀特模型的数值结果：我们提供了一个赫尔-怀特模型中L’epinette策略近似结果的数值例子（37）。

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2022-5-8 05:06:53

根据定理3.3，修正的损益修正误差下限价格策略10 0.1523845-0.2225988-0.2363122-0.2088854 0.7914033 0.901390150 0.2966983-0.0596194-0.0670452-0.0521936 0.9399330 0.97066068100.3086120-0.0288526-0.0350141-0.0226911 0.9746527 0.9875094500 0.5755 0.0032387-0.0005821 0.0070594 0.93993300.976068100.3086120-0.02885260.9999652表1：带κ的L’epinette策略的收敛性*= 0.01, % = 2.n损益修正误差下限上限价格策略10 0.2859197-0.0744180-0.0813544-0.0674816 0.9246420 0.965970050 0.3172523-0.0069238-0.0115426-0.0023049 0.9921661 0.9962377100.3033519 0.0007474-0.0030916 0.0045864 0.9984346 0.9992385500.3618707 0.0001296-0.0024741 0.002733 0.99970.999970.99950-0.999952-0.999930-0.999950.9999伊皮内特与κ的策略*= 0.001, % = 4.复制错误由Vn给出-麦克斯（S）-K、 0）-ηmin（S，K），其中η=1-κ*σ（y）%-1p8/π。差异-麦克斯（S）-K、 0）可以被视为策略γn的增益/损失。对于一个数值估值，我们用粗糙的蒙特卡罗方法模拟n=500个轨迹，其中两个布朗运动的相关系数为0.05，其他初始值为S=K=1，y=2，σmin=2，a=-2和b=1。对于每一个n值，我们估计校正误差的平均值，并给出相应的95%区间，由上下限定义。表1和表2的最后一列给出了所持股份的初始数量。事实证明，该策略收敛于买入并持有策略，期权价格接近超级对冲价格。

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2022-5-8 05:06:56

我们还看到，修正后的复制错误收敛到零的速度有点慢。事实上，增加%的值可以提供更快的收敛，但这意外地导致超级复制更快。我们现在为命题4.2的分位数套期保值结果提供一个数值说明。对于隐式，假设σ（y）=sin（y）+0.1，并且y遵循上述几何布朗运动。比较折减系数1- Δε与显著水平ε的幂，我们计算（1- δε)ε-rfor 0.001≤ ε ≤ 0.1和0≤ R≤ 0.1，带κ*= 0.001. 然后，（31）由模拟结果证实（见图2a）。模拟还表明，包含交易成本的期权价格为1-0.385=0.615，这比超级套期保值价格S=1便宜，因为下跌概率小于0.1%。当然，用期权价格代替SBC是合理的，包括交易成本SBC（0，S）。期权价格的模拟降低（1-Δε）bC（0，S）如图2b所示。6高频市场我们现在假设风险资产的购买以较高的要价St+εt进行，而销售以较低的要价St进行- εt.这里的中间价STI如模型（19）所示，ε是买卖价差的半宽度。然后，对于任何有限变量ψt的交易策略，财富过程可以由vt=V+ZtψsdSs确定-Ztεsd |ψs，（42）（a）折减系数1- Δε和ε（b）的幂减少量和ε，其中|ψ|是ψt的总变化量。观察到前两项是无摩擦框架中的经典组成部分，分别描述了初始资本和交易收益。

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2022-5-8 05:06:59

（42）中的最后一个积分通过将策略的总变化与价差的半宽度加权，来说明交易活动产生的交易成本。对于交易成本较小的最优投资和消费[21]，应在Vt的公式中加入附加项。在这种情况下，通常通过半宽度扩展ε零附近的渐近展开来确定近似解，其中通过收集无摩擦问题的输入来获得引导修正。在本节中，我们只对利兰精神中使用离散策略的复制感兴趣。假设对于复制，期权卖方采用离散对冲策略ψn，εt，修正后的atn日期，由第3节中定义的ti=g（i/n）确定。相应的财富过程现在由Vn，εt=Vn，ε+Ztψn，εsdSs给出-nXi=1εti |ψn，εti- ψn，εti-1|. （43）为了处理交易成本的风险，我们再次应用波动性增加原则。请注意，在高频市场中，买卖价差通常与价格上涨的幅度相同。因此，εt的形式应为κ*N-1/2St，对于某些正常数κ*. 然后，这个例子对应于Leland Lott框架，α=1/2。在我们的上下文中，当ψn，εt被Leland的orL’epinette策略取代时，第3节中的方法仍然有用。提议6.1。设εt=κ*N-1/2St，并假设调整后的波动率的形式为bσ=%pnf（t），如（20）所示。对于Leland和L’epinette的策略，复制投资组合值Vn，ε的序列以概率收敛到h（s）+min（s，K）=s。特别是，nβ（Vn，ε-S）收敛到混合高斯变量n→ ∞.证据

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2022-5-8 05:07:03

这个证明是定理3.1的直接结果，因为总交易成本现在收敛到零。注意，第3节中研究的情况α=0对应于假设εt=κ*St，对于某些常数κ*. 这种特殊形式意味着市场流动性更差，买卖价差更大。重要的是要知道，经典的Black-Scholes策略不是有限的变化。我们感谢一位匿名仲裁人指出了案件α=1/2与这种情况的对应关系。现在与每笔交易的现货价格成正比。因此，这种情况下的近似套期保值结果与第3节中的结果相同。在这一部分的结尾，我们假设无论当前股价如何，股价利差始终保持不变。换句话说，εt=κ*对于某些正常数κ*.直观地说，交易成本现在是基于交易股份的数量，而不是文献和第3节中的交易金额。有趣的是，我们的方法在这种情况下仍然有效。以下结果与定理3.1类似，对交易成本的极限值进行了微小修改，定义为j（x，y，%）=Z+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+ln（x/K）2λ-dλ，（44）其中Z~ N（0，1）独立于S，y位置6.2。假设εt=κ*> 0和bσ=%pnf（t）。对于Leland在条件（C）下的策略，序列nβ（Vn，ε- h（S）- min（S，K）+κ*J（S，y%）弱收敛于n为中心的混合高斯变量→ ∞. 此外，对于伊皮内特的策略，nβVn，ε- h（S）- (1 - η） min（S，K）弱收敛于中心混合高斯变量，其中η=σ（y）%-1S-1p8/π。证据该证明类似于定理3.1（见第7节）。备注11。

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2022-5-8 05:07:06

何时%→ ∞ 在条件（C）下，我们得到命题6.2的一个改进的速率版本，如定理3.2.7所示。主要结果在下面的一般过程中得到证明。步骤1：确定套期保值误差的主要期限。特别是，我们将显示伽马项I1收敛到2分钟（S，K），而累积交易成本接近（24）中定义的Jde。两种收敛的速率都是θn=nβ%2β。第2步：将剩余项表示为离散鞅。为此，随机积分将按照第7.2小节中规定的特殊程序进行离散。第3步：应用定理7确定标准化复制错误的极限分布。1.这个结果是关键工具，但事实上我们需要适应我们环境的特殊版本。这些将在第7.3.7.1小节的预备说明中明确说明，首先，BC（t，x）及其导数可以表示为λ和x的函数，其中λt=λ（1- t） 4β：=λν（t）和λ=eu%√n、（45）此外，在所有k-th（k）中出现的函数eа（λ，x）≥ 2）当λ趋于零时，BC相对于x的阶导数以及通过关系式（8）的时间导数呈指数递减至零。这个性质促使我们从变量λ的角度进行分析。特别是，让我们将两个函数*, L*让我≤ m<m≤ n是两个整数*= λν（g（m/n））和l*= λν（g（m/n））。然后，对应于索引j的所有项/∈ [m，m]可以被忽略，这取决于l的选择*我呢*. 为了我们的目的，所需的顺序是θn~ λ2β. 因此，我们以l为例*= 1/lnn，l*= lnn和definem=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i+1和m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i，（46）图2：由（47）定义的序列（λj）和（tj）。其中符号[x]代表实数x的整数部分。

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2022-5-8 05:07:09

下面，我们关注交易时间的子序列（tj）和相应的序列λj, 定义的astj=1- (1 - j/n）u和λj=λ（1- tj）4β，m≤ J≤ m、（47）注意tj是一个递增序列，取[t]中的值*, T*], t在哪里*= 1.-（l）*/λ） 4β和t*=1.-（l）*/λ） 4β，而λj在[l]中减少*, L*]. 因此，我们使用符号tj=tj-tj-1和λj=λj-1.- λj，代表m≤ J≤ m、避免在离散和中重新计算负号。下面，It^o随机积分将通过以下独立的正态随机变量序列sz1，j=W（1）tj离散- W（1）tj-1ptj- tj-1和Z2，j=W（2）tj- W（2）tj-1ptj- tj-1.（48）我们设定p（λ，x，y）=%σ（y）ln（x/K）2λ-（49）并将其缩写为pj-1=p（λj）-1、Stj-1，ytj-1). 这种简化表示法被滥用于近似过程中出现的函数。定义Z3，j=|Z1，j+pj-1| - E|Z1，j+pj-1 | | Fj-1.,Z4，j=|Z1，j |- E|Z1，j | | Fj-1.= |Z1，j|-p2/π。（50）序列（Z3，j）和（Z4，j）将有助于找到近似项的Dood分解。为了表示交易成本的极限，我们引入G（a）=E（|Z+a）=2|（a）+a（2Φ（a）- 1），λ（a）=E（|Z+a |- E | Z+a |）=1+a- G（a），（51）代表a∈ R和Z~ N（0，1）。我们也写o（a）-对于满足P的一般随机变量序列（Xn）- 画→∞arnXn=0.7.2随机积分的近似对于任何L>0，我们考虑停止时间τ*= τ*L=inf{t≥ 0：σ（yt）+|σ（yt）|>L}，（52）并用S表示*t=Sτ*∧坦迪*t=yτ*∧t相应的进程已停止。我们通过序列（Z1，j）和（Z2，j）提供了It^o随机积分的近似过程。

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2022-5-8 05:07:13

离散近似涉及满足技术条件的函数类，（H）A:R+×R+×R→ R是一个连续可微函数，满足以下条件：存在γ>0和正函数U，使得对于任何x≥ 0，y∈ R、 supλ>0min（λγ，1）|A（λ，x，y）|≤ U（x，y）和sup0≤T≤1E（S）*t） mU2r（S）*t、 y*t） <∞,无论如何-∞ < m<+∞, R≥ 0和L>0。备注12。我们可以直接检查k≥ 2.kxbC（λ，x）=xk-1λ-k/2e~n（λ，x）P（ln（x/k）），其中P是一些多项式。因此，以下近似中出现的所有函数均为λ形式-k/2xm′σ（y）P（ln（x/k）），其中′σ可以是σ或其两个一阶导数σ的幂，σ。在有界波动设置中，它可以通过一些支持0的计算功能（例如[9,24,27]）来显示≤T≤1ESmtln2rSt<∞, 对任何人来说∈ R、 R≥ 0.（53）然而，对于波动性无限的SV模型，后一个属性并不总是满的。事实上，在[2,28]中已经证明，在一般SV市场中，股价不允许存在可积矩，除非对相关性和波动动力学系数施加一些自然条件。因此，在一般SV框架中，使用现有工作中的Lestimate进行渐近分析可能是不可能的。然而，注意（53）对于τ停止的过程是正确的*. 下面，近似分析将建立在概率收敛的意义上，以避免这种可积性问题。为了简单起见，我们使用符号ˇS=（S，y）。在我们的渐近分析中经常用到以下技巧。提议7.1。设A（λ，x，y）=A（λ，x，y）e~n（λ，x），其中A=A（λ，x，y）是满足（H）的函数。那么，对于i=1，2，ZbσtZtA（λt，ˇSu）dW（i）udt=%-1mXj=mAj-1Zi，jλj+o（θ）-其中θn=nβ%2β，Aj=A（λj，ˇStj）和A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）dz。证据

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2022-5-8 05:07:16

利用随机Fubini定理，我们得到bin=ZbσtZtA（λt，ˇSu）dW（i）udt=ZZubσtA（λt，ˇSu）dtdW（i）u.然后，改变变量v=λt，对于内积分屈服强度subσtA（λt，ˇSu）dt=ZλλuA（v，ˇSu）dv=A（λu，ˇSu）- A（λ，ˇSu）。换句话说，bIn=bI1，n-其中bi1，n=RˇAudW（i）u，ˇAu=A（λu，ˇSu）和bI2，n=RA（λ，ˇSu）dW（i）u。此外，我们还有bi1，n=Zt*ˇAudW（i）u+Zt*T*ˇAudW（i）u+Zt*ˇAudW（i）u:=R1，n+R2，n+R3，n.（55）设ε>0，b>0。我们观察到P（θn | bI2，n |>ε）以P（τ）为界*L<1）+P（θn | bI2，n |>ε，τ）*L=1）。根据条件（C），我们有lim supL→∞P（τ）*L<1）=0。（56）根据（H），我们推导出A（λ，x，y）|≤ C√KeU（x，y）e-λ/8，其中eu（x，y）=x-1/2U（x，y）。现在，把*u=ˇAu∧τ*安德比*2，n=RˇA*udW（i）u，有P（θn | bI2，n |>ε，τ）*L=1）=P（θn | bI*2，n |>ε）。利用切比雪夫不等式，我们得到了p（θn | bI）*2，n |>ε）≤ ε-2θnE（bI）*2，n）≤ Cε-2θne-λ/8sup0≤T≤1EeU（ˇS）*t）。因此，由于条件（H），bI2，n=o（θ-1n）as n→ ∞. 同样，考虑到*≤ λu≤ λ表示0≤ U≤ T*, 我们得到R1，n=o（θ）-1n）。接下来，让我们展示（55）中最后一个学期的相同行为。事实上，对于某些固定η>0和L>0，一个搭扣θn | R3，n |>ε≤ Pθn | R3，n |>ε，Γ1，η，L+ PΓc1，η，L, （57）式中Γ1，η，L=输入*≤U≤1 | ln（Su/K）|>η，τ*L=1. 然后，通过考虑引理A.3和可积条件（C），得到一个slimη→0limn→∞极限→∞P（Γc1，η，L）=0。关于Γ1，η，L，我们有ˋA=A*和| A*u|≤ U（S）*u） Z∞λu（1+z）-γ） e~n（z，S）*u） dz≤欧盟*u） ˇf*u、 f在哪里*u=pK/（2π）R∞λu（1+z）-γ） e-η/（2z）-z/8dz。集合Γ3，j={|||Au|≤欧盟*u） ˇf*u} ，bA*u=A*uΓ3，jandbR3，n=Rt*文学士*udW（i）u.通过切比雪夫不等式，我们得到θn | R3，n |>ε，Γ1，η，L≤ θnε-2Zt*E（文学士）*u）杜≤ θnε-2sup0≤U≤1EeU（ˇS）*u） Zt*（ˇf）*u） du，它收敛到零asRt*（ˇf）*u）杜≤ Cλ-4βl*. 因此，R3，n=o（θ-1n）。它仍然需要离散序列（Zi，j）中的积分项R2，nvia。实现这一目标的关键步骤如下。

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