使用OCMat从0D到1D空间模型

nandehutu2022

712

收藏 2022-05-08

英文标题：
《From 0D to 1D spatial models using OCMat》
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作者：
Dieter Grass
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We show that the standard class of optimal control models in OCMat can be used to analyze 1D spatial distributed systems. This approach is an intermediate step on the way to the FEM discretization approach presented in Grass and Uecker (2015). Therefore, the spatial distributed model is transformed into a standard model by a finite difference discretization. This (high dimensional) standard model is then analyzed using OCMAT. As an example we apply this method to the spatial distributed shallow lake model formulated in Brock and Xepapadeas (2008). The results are then compared with those of the FEM discretization in GRass and Uecker (2015)
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中文摘要：
我们证明了OCMat中的标准类最优控制模型可以用于分析一维空间分布系统。该方法是格拉斯和尤克（2015）提出的有限元离散化方法的中间步骤。因此，通过有限差分离散化将空间分布模型转换为标准模型。然后使用OCMAT分析该（高维）标准模型。作为一个例子，我们将该方法应用于Brock和Xepapadeas（2008）提出的空间分布浅水湖泊模型。然后将结果与GRass和Uecker（2015）中的有限元离散结果进行比较
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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From_0D_to_1D_spatial_models_using_OCMat.pdf
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可人4

2022-5-8 05:19:55

使用OCMatD从0D到1D空间模型。GrassORCOS，维也纳理工大学经济数学方法研究所，奥地利维也纳A-1040。电子邮件：迪特。grass@tuwien.ac.atJuly7，2021摘要我们证明了OCMAT中的标准类最优控制模型可用于分析一维空间分布式系统。这种方法是格拉斯和尤克[2015]提出的离散化方法的中间步骤。因此，通过有限差分离散化将空间分布模型转换为标准模型。然后使用OCMat分析该（高维）标准模型。作为一个例子，我们将该方法应用于Brock和Xepapadeas[2008]提出的空间分布浅水湖泊模型。然后将结果与Grass和Uecker[2015]中的有限元离散结果进行比较。关键词：空间分布最优控制模型、有限差异离散化、浅水湖模型、模式差异阈值点1简介（在有限时间范围内）对空间分布最优控制问题的分析成为经济建模中的一个重要问题，参见Brock and Xepapadeas[2008]，Brock等人[2014]。从技术角度来说，这意味着空间分布态的时间演化可用抛物线偏微分方程描述。在Brock和Xepapadeas[2008]中，作者提供了平衡的局部稳定性分析，即与导出的正则系统相关的椭圆偏微分方程的解。他们提出了一组条件，导致这些平衡的图灵不稳定性，并称之为分岔模式平衡POSS解，即。

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能者818

2022-5-8 05:19:58

与均匀或平坦的最佳稳态（FOSS）相比，图形化/非均匀的最佳稳态。但是，正如Grass和Uecker[2015]所示，局部稳定性分析不足以证明非均相平衡解的合理性。为了回答最优性问题，必须比较收敛到不同平衡点的路径的目标值。该分析还为关于差异阈值和阈值的讨论提供了新的思路，参见Kislega和Wagner[2010]，Kislega[2011]。因此，我们引入了一个新的术语缺陷和非缺陷平衡。这种性质区分了稳定或不稳定的最优平衡。由于一般情况下，偏微分方程无法解析求解，因此我们必须求助于数值方法。在Grass和Uecker[2015]中，我们提出了一个数值程序，该程序依赖于衍生标准系统的有限元离散化，并结合延拓策略，类似于OCMat中的方法，参见Grass[2012]。作为一个例子，我们使用了分布式浅水湖泊模型等式（19）。OCMat是一个MATLAB软件包，为（非分布式）最优控制问题的数值分析提供工具，特别是在有限的时间范围内。可从以下网站下载：http://orcos.tuwien.ac.at/research/ocmat_software.This允许我们识别存在无缺陷POS的参数区域，以及缺陷POS和相应的稳定流形将FOSS和POS的吸引区域分开的参数区域（阈值点/流形）。

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何人来此

2022-5-8 05:20:01

此外，我们能够证明同质/异质差异阈值（Skiba）点的存在，并计算了差异阈值点的连接流形。在本文中，我们对规范系统进行了一个完全有限元近似的中间步骤，以证明OCMat标准最优控制类的能力，即有限时间水平问题，其中状态的时间演化由ODE描述。为了直接将OCMat过程用于初始化和文件生成，我们通过有限差分格式（FD）离散状态方程的偏微分方程。这就产生了许多可以由OCMat处理的ODE。然后将该方法的数值结果与Grass和Uecker[2015]的类似结果进行比较。本文的结构如下。我们首先讨论和介绍了generalterms，并在第2节简要介绍了有限的差异离散化。在第3节中，我们总结了0D（非分布）浅湖模型的重要性质和结果，该模型在Scheffer[1998]，M¨aler等人[2003]，Carpenter和Brock中介绍和分析。[2004]和瓦格纳[2003]。在接下来的第4节中，将建立一维空间分布的浅水湖泊模型及其离散化模型。然后对后一种模型进行了详细的数值分析。2一般定义2。1个空间尺寸为0（0D模型）最大（·）Z的模型∞E-ρtg（x（t），u（t））dt（1a）s.t.˙x（t）=f（x（t），u（t））（1b）x（0）=x∈ 注册护士。（1c）带f∈ C（Rn×Rm，Rn），g∈ C（Rn×Rm，R）。让（x）*（·），美国*（·））是式（1）的最优解。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:20:05

然后存在λ（·），使得（x*（·），美国*λ（·）是正则系统˙x（t）=f（x）的解*（t），u（t））（2a）˙λ（t）=ρλ（t）- H（x）*（t），u*（t），λ（t），λ）（2b）x*（0）=x（2c）带U*（t） =argmaxuH（x）*（t），u，λ（t），λ）（2d）和h（x，u，λ，λ）：=λg（x，u）+λ>f（x，u），（2e）为了简化符号，我们做出以下假设假设假设2.1。问题等式（1）是正常的，即λ=1。因此，我们省略了参数λ。假设2.2。让（x）*（·），美国*（·））是最优解，λ（·）是相应的协态。然后，存在一个显式函数uo（x，λ）∈ C（Rn×Rn，Rm），使得每tH（x*（t），uo（十）*（t），λ（t）），λ（t））=maxuH（x*（t），u，λ（t））。然后是一个最优解（x*（·），美国*（·））可以在满足˙x（t）=f（x（t），λ（t））（3a）˙λ（t）=ρλ（t）的解中找到-\'Hx（x（t），λ（t））（3b）x（0）=x（3c）与\'f（x（t），λ（t））：=f（x（t），uo（x（t），λ（t））和‘H（x（t），λ（t））：=H（x（t），uo（x（t），λ（t）），λ（t），1）。（3d）随后我们将省略酒吧标志。定义2.1（OSS）。让（x）*（·），美国*（·））与x*(·) ≡ ^x∈ Rnand u*(·) ≡ ^u∈ 用x（0）=^x求问题（1）的最优解。然后（^x，^u）被称为最优平衡，并表示为asOSS。Let（^x，^λ）∈ R2nbe正则系统的平衡式（3）。然后（^x，^λ）∈ R2nis表示CSS和j（^x，^λ）：=df（x，λ）dxdf（x，λ）dλ-dHo（x，λ）dxr-dHo（x，λ）dλ（^x，^λ）（4）是相应的雅可比矩阵，如果没有歧义，我们只写^J。响应于J（^x，^λ）的本征空间表示为asEs（^x，^λ）：={ξ∈ C:J（^x，^λ）v=ξv，Reξ<0}，ns:=dim Es（^x，^λ）（5a）Eu（^x，^λ）：={ξ∈ C:J（^x，^λ）v=ξv，Reξ>0}，nu:=dim-Eu（^x，^λ）（5b）Ec（^x，^λ）：={ξ∈ C:J（^x，^λ）v=0}，nc:=dim Ec（^x，^λ）。（5c）定义2.2（鞍点特性）。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）的平衡。如果dim Es（^x，^λ）=n（6），那么可以说，平衡满足鞍点性质（SPP）。

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kedemingshi

2022-5-8 05:20:08

平衡（^x，^λ）表示为CSS。否则表示为CSS-. 数字（^x，^λ）：=ns- 怒族- nc（7）称为（^x，^λ）的缺陷。缺陷d（^x，^λ）<0的平衡称为缺陷平衡，否则称为无缺陷平衡。如果（^x，^λ）有缺陷，且符合（^x，uo（^x，^λ））是OSS，那么（^x，u）o（^x，^λ））被称为有缺陷，否则称为无缺陷。提议2.1。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）和ρ>0的平衡。然后（^x，^λ）满足相应雅可比J（^x，^λ）满足| Reξ的每个特征值ξ的鞍点性质-ρ|>ρ（8）证明。Grass等人[2008]证明存在n个（不一定是不同的）复数“ξ”∈ C带Re′ξ≥ 0，使得相应雅可比矩阵的任何特征值ξ满足ξ=ρ+ξ或ξ=ρ-ξ.这种对称性与SPP一起产生| Reξ-ρ|=Re|ξ>ρ，最后一个不等式是相同的。因此，n个特征值有一个负实部来完成证明。备注2.1。命题2.1允许我们通过等效公式（8）制定SPP。根据等式（8）对SPP的定义有一个优点，即它也可以应用于分布式系统的平衡。依赖于稳定歧管尺寸的定义失效。2.2空间维度1的模型（1D模型）我们假设空间分布的模型是通过引入一个扩散项导出的，而函数f和g与模型（1）的函数相同。这个yieldsmaxu（·，·）Z∞ZL-乐-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdts。Ttx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+Dx（z，t）Zx（z，t）Z±L=0x（z，0）=x（z），z∈ [-五十、 L]。或者改变[-五十、 L]变成[0,1]yieldsmaxu（·，·）Z∞泽-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdt（9a）s.t。tx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+D（2L）x（z，t）z（9b）x（z，t）Z0,1=0（9c）x（z，0）=x（z），z∈ [0, 1].

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能者818

2022-5-8 05:20:11

（9d）应用Pontryagin的偏微分方程最大值原理，如Tr¨oltzsch[2009]，我们可以推导出（9）的标准系统，类似于公式（3），如下所示：tx（z，t）=f（x（z，t），λ（z，t））+Dx（z，t）x（10a）tλ（z，t）=ρλ（z，t）-H（x（z，t），λ（z，t））十、- Dλ（z，t）x（10b）nx（z，t）|0,1=0（10c）nλ（z，t）|0,1=0（10d）x（z，0）=x（z），z∈ [0, 1]. （10e）对于数值分析，我们可以使用有限元法（FEM）对公式（10）进行离散化。对于分布式浅水湖泊模型（参见第4节），这已在Grassand Uecker[2015]中进行。在本文中，我们将演示OCMat的功能，并将其转换为高维0D模型。对于FDM离散化，我们使用长度为h、Nh=1和N的等距网格∈ N.ddzx（z）子≈x（zi+h）- x（子）- h） 2h（11a）ddzx（z）子≈x（子）- h）- 2x（zi）+x（zi+h）h（11b）Zg（z）dx≈ 嗯-1Xi=1g（zi）+g（z）+g（zN）！（11c）因此，模型（9）近似为maxu（·），。。。，N（·）N（Z）∞E-ρtN-1Xi=1g（xi（t），ui（t））+g（x（t），u（t））+g（xN（t），uN（t））！dt）（12a）s.t.˙xi（t）=f（xi（t），ui（t））+DN（2L）（xi-1（t）- 2xi（t）+xi+1（t））（12b）x（t）- 十、-1（t）=xN+1（t）- xN-1（t）=0，t≥ 0（12c）xi（0）=xi，0。（12d）其中zi=iN，i=0，Nxi（t）：=x（zi，t），ui（t）：=u（zi，t）xi:=x（zi，·），ui:=u（zi，·）注意，我们不考虑模型（12）在什么条件下近似（9）的问题。Werather认为，在空间浅水湖模型的特殊情况下，模型（12）理所当然地看到ifOCMat可以处理这样的问题，并将结果与Grass和Uecker[2015]的结果进行比较。模型（12）的正则系统变成˙xi（t）=f（xi（t），λi（t））+D（x）i（t）（13a）˙λi（t）=ρλi（t）- Hx（xi（t），λi（t））- D（λ）i（t）（13b）xi（0）=xi，0。（13c）安度oi=ui（xi，λi）~D:=DN（2L）D（x）i:=~D（x）- x） i=0~D（xi-1.- 2xi+xi+1）i=1，N- 1~D（xN）-1.- xN）i=ND（λ）i：=~D（λ）- 2λ）i=0~D（2λ）- 2λ+λ）i=1D（λi-1.- 2λi+λi+1）i=2。

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mingdashike22

2022-5-8 05:20:15

N- 2~D（λN）-2.- 2λN-1+2λN）i=N- 1~D（λN）-1.- 2λNi=N）我们引入的缩写符号xd:=（x>，…，x>N）>∈ Rn（N+1）λd:=（λ>，…，λ>N）>∈ Rn（N+1）ud:=（u>，…，u>N）>∈ Rm（N+1）。定义2.3（自由和开放源码软件和POSS）。让（xd，*（·），ud，*（·））与xd，*(·) ≡ ^xd∈ Rn（N+1）和ud，*(·) ≡^ud∈ Rm（N+1）是xd（0）=^xd的问题（1）的最优解。如果^x=^x=···=^xN=^x∈ Rnthen（^xd，^ud）被称为FL（同质）最优稳态（FOSS），否则它被称为模式化（异质）最优稳态（POSS）。定义2.4（FCSS和PCSS）。Let（^xd，^λd）∈ R2n（N+1）是正则系统的平衡。(13). 然后（^xd，^λd）被称为fl（齐次）稳态（FCSS）i ff^x=^x=····=^xN=^x（14），否则它被称为模式化（非齐次）稳态（PCSS）。如果FCSS（PCSS）满足PP，则表示为FCSS（PCSS），否则表示为FCSS-（PCSS）-).定义2.5（州共州空间）。设（xd（·），λd（·））为正则系统方程（13）的解。然后用kydjk（t）表示（kxdk（·），kλdk（·））=NN-1Xi=1kyj（t）k+kyj（t）k+kyNj（t）k！，y=x，或y=λ，j=1，n、（15）被称为状态共状态空间中的解路径。备注2.2。在Brock和Xepapadeas[2008]中，FOSS（POSS）被介绍为满足SPP的规范系统的有限（模式化）最优平衡。我们出于两个原因加强了这个术语1。为了更清晰，我们决定进一步区分规范系统和优化系统。2.存在不满足SPP的最佳平衡，参见第4.4.1.3节无空间差异的浅水湖模型。浅水湖模型的一个著名版本，见Wagner[2003]，可以用asmaxu（·Z）表示∞E-ρtln（u（t））- cP（t）dt（16a）s.t.˙P（t）=u（t）- 血压（t）+P（t）1+P（t）（16b）P（0）=P>0。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:20:18

（16c）我们有时将模型（16）称为0D浅水湖模型。根据庞特里亚金的最大值原理，我们找到了标准系统˙P（t）=uo（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（17a）˙λ（t）=2cP（t）+λ（t）ρ+b-2P（t）（1+P（t））（17b）P（0）=P（17c）带uo（t） =-λ（t）。（17d）让（P*（·），美国*（·））是式（16）的最优解；然后P*（·）是IVP的唯一解决方案˙P（t）=u*（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（18a）P（0）=P（18b）常微分方程（18a）被称为u的最优系统*（t）。Wagner[2003]证明了每个最优解（P*（·），美国*（·））对于任意P>0，收敛到^u>0的最优系统的平衡点（^P，^u），通常取决于P。参数空间（b，c）中的详细分岔分析，见Wagner[2003]等，揭示了参数空间中存在区域，其中最优系统由一个全局稳定的最优平衡点（^P，^u）组成两个局部稳定平衡（^Po，^uo）和（^Pe，^ue）。这些由以下状态值之一分隔——不稳定最优平衡的状态值^Pu（^Pu，^uu）。-一个被称为Skiba point的差异阈值PIalso。因此，我们可以对最优解进行全面分类。在存在三个最优平衡点的情况下，我们选择^Po和^Pesuch，即^Po<^Pu<^Pe。有一些中间案例（分歧案例）没有特别提到平等性。我们还将^豌豆称为富营养化，将^po称为寡营养平衡。全局稳定：对于任何初始状态P>0，存在唯一解（P*（·），美国*（·））收敛到（^P，^u），独立于P。见图2c。局部稳定I：对于任何初始状态，存在唯一解（P*（·），美国*（·））收敛到（^Po，^u），与P无关。对于P>P，存在唯一解（P*（·），美国*（·））收敛到（^Pe，^u），它独立于P。

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可人4

2022-5-8 05:20:21

对于P=^put，最优解是（P*（·），美国*(·)) ≡ （^Pu，^uu）。参见图3c。^pu被称为临界点。局部稳定II：前一个病例的前两个陈述仍然正确，取代了^Puby-PI。这里存在两个最优解（P*i（·），u*i（·）），i=1，2收敛于（^Po，^u）和（^Pe，^u），且^Po<PI<^Pe。参见图4c。Pi被称为差异临界点或Skibapoint。从最优控制理论的角度来看，最后两种情况具有特殊的意义。FirstCase通常被称为历史依赖，即最佳解决方案取决于其初始起始点。在第二种情况下，我们还观察到最优解的非唯一性，即差异。关于潜在分支的详细讨论和描述，我们参考toKiseleva和Wagner[2010]，Kisleva[2011]。这两种典型情况的参数值如表1所示。在第一种情况下，我们找到了一个差异阈值，在第二种情况下，我们找到了一个阈值。模型（16）模型（19）规格ρc b D L NI 0.03 0.5 0.65*0.52π/0.44 50II 0.33.5*0.55 0.5 2π/0.44 50表1：0D和1D模型的两种考虑方案的参数值。带有上标的值*表示自由参数。分叉分析无论如何，这种分类是对正则系统方程（17）进行密集数值分析的结果。该分析包括其平衡点的分岔分析（见图1），以及相关稳定路径及其目标值的计算。数值计算是必要的，因为等式（17）中平衡点（^P，^λ）的局部性质。我们不要推断，与^u=1/^λ对应的平衡点（^P，^u）是最优系统等式的最优平衡点。（18a）。

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可人4

2022-5-8 05:20:25

这在规范体系存在多重平衡的情况下尤其如此。因此，最优系统和规范系统的分支之间不存在一一对应关系。唯一最优平衡在b=0.75的情景I中，对稳定路径进行数值分析的重要性尤为明显。在图2中，我们看到，在标准系统中存在三个平衡点（两个鞍座和一个不稳定焦点），而最优系统只包含一个全局稳定平衡点。b=0.65的差异阈值标准体系的平衡点数量和性质保持不变，但最佳体系由两个局部稳定的平衡点组成，由差异阈值PI分离，见图3。因此，平衡的局部稳定性分析必须得到相应稳定流形的全局分析的支持。即使可以解析地实现FirstTask，也只能在极少数情况下解析地计算稳定路径。通常，特别是在我们的情况下，我们必须诉诸数值方法来解决后一个任务。在c=3.5的情况下，场景II的差异点——典型系统展示了两个鞍座和一个不稳定节点（参见图4a）。计算稳定路径并比较目标值，我们发现不稳定平衡是一个阈值（见图4b）。这种不稳定平衡将两个局部稳定平衡的吸引区域分开，这两个平衡对应于两个鞍座（参见图。

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大多数88

2022-5-8 05:20:28

4c）。c=3.0825的第二种情况在定性上产生了相同的结果，未进行描述。4具有空间差异的浅水湖模型Maxu（·，·）Z给出了浅水湖模型（16）到空间分布模型类别的扩展，inBrock和Xepapadeas[2008]提出∞E-ρtZOhmln（u（x，t））- cP（x，t）dx dt（19a）s.t。tP（x，t）=u（x，t）- bP（x，t）+P（x，t）1+P（x，t）+DxP（x，t）（19b）nP（x，t）|Ohm= 0（19c）P（x，t）| t=0=P（x），x∈ Ohm = [-五十、 L] R.（19d）与Brock和Xepapadeas[2008]相反，我们提出了Neumann条件方程（19c）的问题，即所谓的零流边界条件，而不是周期性边界条件。从解释的角度来看，我们假设这些湖泊是连续排列的，有0个。55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80.20.40.60.811.21.41.61.8b | P | CSS0CSS-（a）平衡分岔图2。4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40.40.50.60.70.80.911.11.21.3c | P |（b）平衡分岔图图图1：表示满足SPP和表示不满足SPP的平衡。第一行中的图表显示了分叉参数与（绝对）状态值的关系。在第二行中，绘制了平衡范数与分叉参数的关系图。图（a）（ρ=0.03，c=0.5，b）表明存在两个分离的平衡分支。在区间[0,0.727]中存在三种平衡。图（b）（ρ=0.3，b=0.55，c）显示了一个平衡分支的存在。

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可人4

2022-5-8 05:20:31

在区间[2.566,3.556]中存在三个平衡。0 0.5 1 1.5-7.5-7.-6.5-6.-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5PλCSS0CSS-（a）州成本0.5 1 1.5-72-71-70-69-68-67-66-65-64PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.4P˙P OSS0（c）最优系统图2：对于ρ=0.03，c=0.5和b=0.75，标准系统（a）中存在三个平衡。最优系统（c）只包含一个全局最优平衡点。在面板（a）中，规范系统的鞍座不稳定的焦点。在图（c）中，o表示全球稳定平衡。0 0.5 1 1.5-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3PλCSS0CSS-（a）州成本0.5 1 1.5-81-80-79-78-77-76-75-74-73-72-71-70PsPJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3PsP˙P OSS0ITP（c）最优体系图3：对于ρ=0.03，c=0.5和b=0.65，标准体系（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由一个独立阈值点（Skiba点）PI分离，在PI处有一个不连续的动力学。在图（a）中，表示规范系统的鞍座不稳定的焦点。在图（c）中，表示局部稳定平衡。0 0.5 1 1.5-25-20-15-10-50PλCSS0CSS-（a）州成本0.5 1 1.5-35-30-25-20-15-10-5PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3P˙P OSS0OSS-（c）最佳体系图4：对于ρ=0.3，c=3.5和b=0.55，标准体系（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由最优不稳定平衡^Pu分离。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座，不稳定的节点。在图（c）中，表示局部稳定的最优平衡和表示最优不稳定节点。湖里没有水流。

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可人4

2022-5-8 05:20:35

周期性边界条件指的是一个湖泊环。Brock和Xepapadeasargue认为，他们使用周期性边界条件来排除端点条件引起的影响。无论如何，由于这一点没有触及我们的论点，即有必要分析最优控制系统的全局行为，因此我们在这方面修改了模型公式。使用第2.2节中提出的（FDM）离散化，我们发现最大值（·），。。。，联合国（·）Z∞E-rtG（P（t），PN（t），u（t），uN（t））dt（20a）s.t.˙Pi（t）=ui（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））（20b）P（t）- P-1（t）=PN+1（t）- PN-1（t）=0，t≥ 0（20c）Pi（0）=Pi，0>0（20d），其中xi=iN，i=0，N、 ~D:=DN2LPi（t）：=P（xi，t），ui（t）：=u（xi，t）Pi:=P（xi，·），ui:=u（xi，·）G（P，…，PN，u，…，uN）：=NN-1Xi=1g（Pi，ui）+g（P，u）+g（PN，uN）g（Pi，ui）：=ln（ui）- 将庞特里亚金最大值原理应用于等式。（11）产生标准系统˙Pi（t）=uoi（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（P）i（t）（21a）˙λi（t）=ciPi（t）+λi（t）ρ+b-2Pi（t）（1+Pi（t））- D（λ）i（t）（21b）Pi（0）=Pi，0>0，i=0，N（21c）uoi（t）=-2λi（t）i=0，N-λi（t）i=1，N- 1（21d）ci:=（ci=0，N2c=1，…，N- 1D（P）i（t）：=~D（P（t）- P（t））i=0D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））i=1，N- 1~D（PN-1（t）- PN（t））i=ND（λ）i（t）：=~D（λ（t）- 2λ（t））i=0D（2λ（t）- 2λ（t）+λ（t））i=1D（λi-1（t）- 2λi（t）+λi+1（t））i=2，N- 2~D（λN）-2（t）- 2λN-1（t）+2λN（t））i=N- 1~D（λN）-1（t）- 2λN（t））i=N附录B解释了OCMat中模型（20）的实施细节。4.1标准/最优系统的平衡标准系统方程式（17）的CSS和标准系统方程式（21）推论4.1的FCSS之间存在密切关系。让（^Pd，^ud）∈ R2N+2be-FOSS（^Pd，1/（2u））是标准体系等式（17）的平衡。推论4.2。

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2022-5-8 05:20:38

设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的平衡。然后，^Pd:=（^P，…，^P）和^λd:=（2^λ，^λ，…，^λ，2^λ）是一个FCSS。推论4.3。设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的鞍。然后对于足够小的^D（^Pd，^λD）∈ 推论4.2中定义的R2N+2为FCSS。PCS通常不能用解析方法计算，因此我们必须采用数值方法。利用推论4.2，我们可以用等式（17）的平衡来开始等式（21）的分岔分析。PCS从分叉曲线的分支点出现。Grass和Uecker[2015]使用pde2path进行了相应的分岔分析，pde2path是一个用于椭圆偏微分方程分岔分析的MATLAB软件包，参见Uecker等人[2014]和Dohnal等人[2014]。由于实际模型（16）是一个具有有限状态数（N+1）的0次最优控制模型，因此等式（21）的分叉分析是使用CL MATCONT的修改版本进行的。我们分析了表1中规定的两种不同情况。图5a中描述了第一种情况，即与b相关的分叉分析。黑色曲线代表FCS的分叉曲线。这些曲线的形状与图1a中0D模型对应的分叉曲线相同。对于较低的分支，我们还发现了四个分支点o, PCS的分支（红色、绿色、品红和青色）散发的地方。沿着PCS的分叉曲线，我们找到了额外的分叉点，并计算了相应的分叉曲线（棕色、深绿色和橙色）。因此，对于b=0.65，我们总共发现两个FCS（对应于0D模型中的寡营养和富营养平衡），一个FCS-,十三厘-还有一个PCS。

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可人4

2022-5-8 05:20:42

事实上，棕色和深绿色分支由两条具有空间对称平衡的明显分叉曲线组成。第二种情况是，图5b描述了与c相关的分叉分析。FCSS的黑色分叉曲线由一个分支组成，显示出两个分支和六个分支点o. 这六个分支点由PCS的三条分支曲线（红色、品红和绿色）连接。红色和绿色曲线由两个空间对称的分支组成。从品红的PCSS分叉曲线中，还有两条PCSS分支（棕色和橙色）。在第4.4节中，我们考虑了c=3.5和c=3.0825的两种特殊情况。在第一种情况下，存在两个FCS（对应于0D模型中的寡营养和富营养平衡），一个FCS-, 十厘-和两个PCS。在后一种情况下，存在两个FCS，一个FCS-还有四个-.4.2第一种方案——两种情况下的最佳解决方案——具体情况b=0.75和b=0.65的大多数结果已经在Grassand Uecker[2015]中讨论过。因此，我们只做了一个简短的总结，并将重点放在使用OCMat更容易获得的一些方面。对于b=0.75，存在一个FOSS，在结构上再现了相应0D模型的结果。对于b=0.65，主要结果是：作者可提供此修改版本。0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.760.20.40.60.811.21.41.6^Pd，oFSS0^PdHSS0^Pd，eFSS0^PdFSS0b||Pd|2 FSS0FSS-BPHSS0HSS-（a）第一种情况b，ρ=0.03，c=0.52.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60.30.40.50.60.70.80.911.11.21.3^PdHSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，oFSS0^PdHSS-^PdHSS-c | | Pd | 2（b）第二种情况c，ρ=0.3，b=0.55图5：正则系统方程（21）的分岔分析如（A）和（b）所示。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:20:45

符号：o表示满足SPP的平衡，不满足SPP和o 平衡流形的分支点。FOSS曲线为黑色，HOSS曲线为彩色。沿着红色HOSS曲线出现两次分叉，这些分叉之间的HOSS候选符合SPP。没有一个PCS是最优的这两个FCSSA是最优的相应的景点由一个差异阈值流形分隔在Grass和Uecker[2015]中，我们计算了一个同质且有模式的差异阈值点。同质差异阈值与模型（16）中差异阈值的值一致。接下来，我们详细解释了收敛到满足SPP的平衡点的解的计算。随后解释了检测差异阈值的必要步骤。OCMat中的计算详情见附录B.4.3 A局部最优模式平衡。为了证明PCSS（^PdPCSS，^λdPCSS），见图5a，是一个最优平衡，我们必须证明不存在其他解（Pd（·），ud（·）），Pd（0）=^PdPCSS产生更大的目标值。满足SPP的还有另外两种平衡，即两种FCS，即贫营养（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和富营养化FCS（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）（见图5a）。对于这些平衡中的每一种，都可能存在Pd（0）=^Pdpcss的路径，并收敛到寡营养/富营养平衡。为了确定这些路径，我们考虑相应的同伦问题等式（25），其中x分别从平衡点（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）开始替换为^pdpcs。4.3.1与平衡溶液的比较这些计算结果如图6所示。图6a说明了“嵌入”等式。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:20:48

（25b）。绿色流形从富营养状态^Pd、efc开始，蓝色流形从富营养状态^Pd、ofcss开始，直至模式化状态^pdpcs。在κ从零延续到一的过程中，初始状态位于这些流形中。无花果。6b和6c显示了κ=0.5的溶液路径的状态及其范数（绿色和蓝色）。此外，还描述了平衡解的状态和范数。图6d至6f显示了κ=1的最终结果，还包括控制路径的图。此外，图6g和图6e揭示了共状态的值，以及Pd（0）=^Pdpcssa的三种溶液的控制值是不同的。图6h显示了状态共状态空间中的切片流形（见定义A.1）。每个标记×表示一个连续步骤。在图6e中，沿切片流形绘制了目标值，即根据初始点的（范数）绘制了目标值。我们发现，κ=1的最终解具有更高的目标值，而收敛到FCSS的富营养化解则主导了其他解。另一方面，曲线的梯度表明它们最终相交。这种交点代表了一个差异阈值点（0D模型参见图3b）。4.3.2差异阈值点的检测和延续它沿着切片流形找到目标值的可能交点，我们必须确保切片流形具有可比性，并且必须检查它们是否相交（见定义a.2）。例如，图6h中所示的片状流形是不可比较的，仅仅是因为流形{^Pd，oFCSS+（1- α）（^PdPCSS）-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {^Pd，eFCSS+（1）- α）（^PdPCSS）-^Pd，eFCSS）：α∈ R} 。它们是不同的。参见图6a），其中绿色和蓝色曲线描绘了这些歧管的（部分）。

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大多数88

2022-5-8 05:20:51

只有当切片流形具有可比性且具有非空交点时，这意味着对应于切片流形交点的解从相同的初始状态开始，然后可以比较它们的目标值。无论如何，由于解从^PdPCSS开始并收敛到FCSSis，我们可以用x（0）=^PdPCSS+（1）开始同伦BVP（25）- κ）（^Pd，oFCSS）-^PdPCSS）。在这种情况下，流形{^Pd，oFCSS+（1- α）（^PdPCSS）-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {PdPCSS+（1）- κ）（^Pd，oFCSS）-^PdPCSS）：κ∈ R} 。微小重合，切片流形具有可比性，见图7a。此外，切片manifolds相交，且相应的目标值曲线在不同阈值点Pdi，1处相交（参见图7d）。在图7b和图7e中，示出了相应的状态Pde、o（·）和控制路径ude、o（·））。对三个两个FCS和PCS重复相同的程序，我们发现PCSSI并不理想，我们再次发现另一个差异阈值PdI，2。图7c和图7f中描绘了相应的解决方案。看看我们如何在PdI 1和PdI 2之间找到差异阈值是一个有趣的问题。让我们回忆一下，我们通过n+1维空间（Pd，J（Pd（0））中两个无因次流形（n=n+1状态数Pd）的交点发现了差异阈值点。一般来说，这会产生一个n- 1=N维流形。对于离散化N=50，其维数太大，无法恢复整个差异阈值流形（在原始PDE问题中，维数实际上增加到了完整性）。无论如何，我们可以沿着线性连接PdI 2+（1）搜索差异阈值点- κ）（PdI，1）- PdI，2）。结果显示在嵌入图7e的动画中。

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可人4

2022-5-8 05:20:54

附录A.2.2给出了该问题数值解的相应BVP。-10-5051000.510.60.811.21.4xiuPd0，u（a）初始分布的歧管-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）κ=0.50时的状态路径20 40 60 80 1000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（c）κ=0.5时的状态范数-10-50510001000.60.811.21.4xitPd（d）κ=1时的状态路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（e）控制路径κ=102040601000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（f）状态的范数κ=102040608004567810t |λd | 2（g）范数κ=10.6 0.8 1.2 1.445678910 Pd 1242 1242 | d |。6 0.8 1 1.2 1.4-79-78-77-76-75-74-73 | | | Pd | 2J（i）切片Manifold的目标值图6：该图显示了从atPd（0）=^Pdpcss开始并收敛到贫营养和富营养FCS的连续过程的步骤。颜色指营养（蓝色）、营养（绿色）和图案（品红）溶液。在（a）中，描述了通过延拓的初始分布的流形。对于continuationparameterκ=0.5，状态路径和相应的范数如（b）和（c）所示。最终结果如（d）（状态路径），（e）（控制路径），（f）（共状态路径）和（g）（规范）所示。在（h）中，相应的切片流形显示在状态共状态空间中。

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可人4

2022-5-8 05:20:57

（i）中切片流形解的目标值表明，在所有以Pd（0）=^PdPCSS开始的解中，收敛到寡营养平衡的路径是等时的。-10-5051000.510.60.811.2xiuPd0，u（a）初始分布的流形-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）Skiba解决方案的状态路径-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（c）Skiba解决方案的状态路径0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2JPdI（d）目标值的交叉-10-505100510000.10.150.20.25xitud（e）Skiba溶液的控制路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（f）Skiba溶液的控制路径图7：该图显示检测到有图案的Skiba分布及其在Skiba流形上的不同Skiba分布的延续。要接收与面板（a）、（b）和（e）相关的动画文件，请联系作者。4.4第二种情景在b=0.65的第一种情景中，我们只发现富营养化和寡营养化的平衡为FOSS。这在某种程度上类似于0D模型，其中CSS不会出现在最佳系统中（见图3）。在第二种情况下，0D模型的结果显示，除了富营养化和贫营养化CSS之外，还有不稳定节点（CSS）-) 显示为两个CSS的景点区域限制。因此，我们可以预期FCSS-在模型（20）中是最优的。因此，PCSS也是如此-不能排除为最佳。因此，我们分析了两种不同的情况，c=3.5，其中PCS均不满足SPP，c=3.0825，其中一种PCS满足SPP。对于原始浅水湖模型（16），这两种情况在质量上是相同的（参见图4）。4.4.1模式平衡不满足SPP。对于c=3.5，我们试图找到从FCS状态开始的解决方案-（^PdFCSS）-) 还有一个-并向富营养化（寡营养）FCS汇合。图8描述了该分析的主要结果。

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大多数88

2022-5-8 05:21:01

第一列（a、d和g）中描述的示例与图4所示的0D模型中的情况类似。因此，不可能从FCS的初始状态开始找到解决方案-并汇入富营养化或营养化的FCSS。相反，在延续过程中，^PdFCSS的初始状态-已接近，但无法联系到。在图8a中，绘制了最终结果的相位图，类似于0D中的状态共状态空间（参见图4a）。在图8c中，我们看到均匀初始分布的目标值是连续的（参见图4b）。因此，对于空间均匀的初始分布，最优路径是唯一的，其中^PdFCSS-分离富营养（寡营养）平衡^Pd、eFCSS（^Pd、oFCSS）的吸引区域。精确从^PdFCSS开始的解的最优状态路径-（平衡溶液，黑色）和附近（蓝色和绿色）如图8d所示。对每个PCS重复这些步骤，图8最后两列中描述了两个示例，得出每个平衡都是最优的，即为POSS。因为没有一个PCS满足SPP，所以这些平衡和它们的稳定流形将FOSS的吸引区域分开。目前仍有几个问题没有解决平衡点的缺陷是否不满足状态离散化的SPP常数这对最初的PDE问题意味着什么我们能说不满足SPP的平衡点及其稳定流形将满足SPP的解的吸引区分开吗PDE问题的状态空间是什么？4.4.2图案平衡在本节中，我们通过数值检查，c=3.0825的唯一图案平衡PCSS是否为POSS（参见图5b）。

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大多数88

2022-5-8 05:21:04

由于这个原因，我们必须证明，不存在从^pdpcss开始的正则系统方程（21）的其他解路径，从而产生更大的目标值。唯一的其他候选者是富营养和贫营养FCS的稳定路径。图9d和图9e描绘了寡晶平衡与图案化平衡的数值比较结果。找到满足Pd（0，1）=^PdpcsAndLimt的可行路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））→∞（Pd（t，κ），λd（t，κ））=（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和κ∈ [0，1]我们从常数平衡解（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）开始求解同伦问题等式（25）。延续过程表明，不可能找到κ=1的可行路径，而是接近某个值κ<1。最后计算的路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））与相应的切片流形（黑色虚线）一起显示在图9a中。接下来，我们重复了反向同伦问题的程序，从恒定模式解（^PdPCSS，^λdPCSS）开始，并试图找到一条可行路径（Pd（·1）- κ），λd（·，1- κ））这就满足了Pd（0，0）=^Pd的要求→∞（Pd（t，1）- κ），λd（t，1- κ））=（^PdPCSS，^λdPCSS）带κ∈ [0, 1].继续过程再次表明，不可能找到κ=0的可行路径，而是大约1的某个值- κ被接近。该溶液（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ））在图9b中由蓝色溶液路径和黑色切片流形表示。两个延拓过程的最后两个解路径表明，寡营养FCSS和PCSS的吸引区域存在一个分离流形。该分离歧管的一个可能候选歧管是PCSS的稳定歧管-有缺陷-1（参见在图9c）中。为了验证这个猜想，我们解决了同伦问题（29）的缺陷平衡。

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kedemingshi

2022-5-8 05:21:07

对于x（1），我们取Pd（0，κ）（第一个同伦问题的最后一个连续步骤的初始状态）并设置V:=（1，…，1）∈ RN+1，满足秩条件等式（29d）。这个同伦问题的最后一个解（Pd（·，1），λd（·，1））在图9d中被描绘为蓝色虚线曲线，并为我们的猜想提供了大量的数值论证。整体图（图9d）表明，对于每一个ε>0，存在κ和κ，因此存在解（Pd（·κ），λd（·κ））和（Pd（·1）- κ），λd（·，1- κ）关于k（Pd（0，κ），λd（0，κ））的同伦问题- （Pd（0,1），λd（0,1））k<ε和k（Pd（0,1- κ），λd（0,1）- κ)) - （Pd（0,1），λd（0,1））k<ε，甚至更强（Pd（·κ），λd（·κ））- （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε和k（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ)) - （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε。绘制沿相应切片流形的解评估的目标值，表明目标函数在Pd（0，1）附近是连续的，见图9e。类似的结果可用于比较向富营养化FCSS和PCSS收敛的稳定路径。这很好地证明了FCSSA和PCSSA的最优性。同样，根据c=3.5的情况，有缺陷平衡的稳定机制分离出满足SPP的平衡的吸引区域。图9f显示了c=3.0825的状态共状态空间中的相图（部分）。平衡点的下标表示相应平衡点的缺陷。因此，存在两个FCS（^Pd、EFC和^Pd、OFCS）和一个PCS（^PdPCSS）。此外，还绘制了一些路径，这些路径汇聚到^Pd、eFCSS、^Pd、oFCSS和^PdPCSS（纯蓝）以及PCSS-有缺陷-1（蓝色虚线）。图9d和图9分别说明了收敛到寡营养平衡（^Pd、OFCs、^Pd、OFCs）和模式平衡（^PdpCs、^λDPCs）的溶液的具体情况。

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kedemingshi

2022-5-8 05:21:10

9e。5结论本文的目的是展示一个数值框架，使我们能够对一维空间分布的最优控制问题进行数值实验。数值实验在海维塞德的意义上是有意义的，他声称数学是一门实验科学，参见海维塞德[1893]。0.40.50.60.70.80.9 112141618202224 | | Pd | | 2 | | d | 2f SS0F SS-（a）延续到Pd（0）≈^PdFCSS-0.40.50.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | | | 2 | | |λd | 2 F SS0HS S-（b）延续到Pd（0）≈^PdPCSS-0.40.50.6 0.7 0.8 0.9 11213141516171819202122 | | | Pd | | 2 | |λd | | 2 F SS0HS S-（c）延续到Pd（0）≈^PdPCSS--10-5051005001000.50.60.70.80.9xitPd（·）（d）从^PdFCSS附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（e）从^pdpcs附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（f）从^pdpcs附近开始的状态路径-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（g）沿切片的目标值为0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（h）沿切片的目标值为0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（i）图8：该图描述了FCSS最优性的数值证明-和PCSS-在c=3.5时，即不满足SPP的平衡点的最优性，以三个平衡点为例。在第一行（a）-（c）中，相应连续过程的切片流形在赋范状态共状态空间中描述。第二行（d）-（f）显示了从FCS开始并靠近FCS的解决方案的状态路径-和PCSS-, 分别地最后一行（g）-（i）说明了目标函数在FCSS的常数平衡解附近是连续的-和PCSS-.

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何人来此

2022-5-8 05:21:13

因此，不满足SPP的平衡也是最优的。0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.515115.51616.51717.518 | | | | | | | | | | | | 2 FCSS0（Pd1（·，κ0），λd1（·，κ0））S（F（0），H（0），κ）（a）同伦FCSS0到PCSS0。5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | | Pd | | 2 | |λd | | 2 HCSS0（Pd2（·，1- κ0），λd2（·，1）- κ0）S（F（0），H（0），1- κ）（b）同伦PCSSto FCSS0。5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | | |λd | | 2 HCSS-（Pd3（0，1），λd3（0，1））（Pd3（·1），λd3（·1））（c）同伦PCSS-到P（0，κ）0.50.60.70.80.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | 2（d）切片流形和求解路径13 14 15 17 18-19-18-17-16-15-14-13-12-11 | |（Pd，λd）| | 2J（e）目标值0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.213114151617181920F（0）F(-4） F（0）H(-3） H(-2） H(-1） H（0）H(-1） H(-2） | | Pd | | 2 | |λd | | 2（f）相图图9:In（f）描述了状态共状态空间中的一些溶液路径和平衡。（d）和（e）中所示的解决方案是连续过程的结果，当我们试图从POS状态开始找到解决方案，并收敛到寡营养自由/开放源码软件，反之亦然。延续过程接近PCS稳定流形（蓝色虚线）上的状态-有缺陷-1.因此，对于初始状态与有缺陷的稳定流形的状态一致的情况-1沿着稳定流形收敛到有缺陷的POSS是最优的-1.在这些初始状态附近，收敛到寡养自由／开源或满足SPP的POSS是最优的。要接收与面板（d）相关的动画文件，请联系作者。因此，我们能够找到分布式模型中出现（差异）阈值分布的数字证据。

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2022-5-8 05:21:17

此外，这指向了鞍点性质的一种可能的推广，在多个正则稳态（CSS）的情况下，鞍点性质与多个最优解的存在密切相关。尽管这种简单的有限差分法也可以应用于空间二维模型，但这种方法会立即在数值上变得难以处理。因此，它是有限元离散化方法的中间步骤，在Grassand Uecker[2015]中介绍，并在Uecker[2015]中扩展。对于所提出的方法的进一步研究结果，有不同的方向。显而易见的下一步是前面提到的有限元离散化应用。这是作为MATLAB软件包pde2path的附加工具箱（p2pOC）实现的，pde2path是二维椭圆系统中用于延拓和分岔的数值工具，参见Uecker等人[2014]。实际方法的一个主要缺点是难以处理（不平等）约束。为了正确使用所用BVP阀，动力学的rhs必须至少连续可区分。当约束处于活动状态时，将违反此属性。我们通过考虑解路径的不同弧来解决这个问题，其中每个弧都满足可微性条件。对于非分布式模型，这通常是一种可行的方法，但对于分布式模型，这很难实现。因为从一个电弧到另一个电弧的每次转换都必须说明相应的切换条件。

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mingdashike22

2022-5-8 05:21:20

对于高维离散化系统，这种安萨兹很快变得难以处理。因此，我们将致力于开发基于有限元离散和共轭梯度法并结合延拓步骤的解算器。在本节中，我们阐述了计算收敛到正则系统平衡点的路径的基本方法。A.1核心问题必须解决的核心问题如下。给定一个平衡点（^x，^λ）和一个初始分布x，我们想要找到一条满足等式（3）的路径（x（·），λ（·）），以及边界条件x（0）=x和limt→∞（x（t），λ（t））=（^x，^λ）。（22）相应本征空间的维数0<dimes（^x，^λ）=ns≤ n、然后，等式（22）中的边界条件可以用所谓的渐近边界条件来近似[cf.Lentini，1978，Lentini和Keller，1980]Ohm>^x^λ-x（T）λ（T）= 0∈ R2n-纳什，Ohm ∈ R2n×（2n）-（ns）和Ohm⊥ e（^x，^λ）（23），T>0足够大。对于紧凑的符号，我们介绍X：=xλ式（21）表示为˙X（t）=F（X（t））。它可以从以下网站免费下载：http://www.staff.uni-oldenburg.de/hannes.uecker/pde2path.Then之前的BVP写为˙X（t）=tf（X（t）），t∈ [0,1]（24a）X（i，…，ins）（0）=X（i，…，ins）（24b）Ohm>（^X）- X（1））=0。（24c）如果^X满足SPP，则ns=n，等式（24b）简化为X（1，…，n）（0）=X。为了保持符号简化，我们假设X的坐标已排序，使得（i，…，ins）=（1，…，ns）=：（ns）。然后。当x（ns）（0）=x（ns）（24b\'）一般情况下，BVP（24）无法解析求解时，可以重写（24b），因此必须应用数值方法。这些数值计算方法需要一些初始函数X（·）。

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mingdashike22

2022-5-8 05:21:24

这样一个初始函数不需要满足BVP（24），但根据问题的性质，它必须或多或少地具有良好的近似性。如果没有这样一个初始函数，我们该怎么办？A.2嵌入同伦问题假设等式（24）的解Y（·）为Y（n）（0）=x（n）6=x（n），我们可以将等式（24）嵌入相应的同伦问题˙x（t）=tf（x（t），u），t∈ [0,1]（25a）X（n）（0）=X（n）+（1）- κ）（x（n）- x（n））（25b）Ohm>（^X）- X（1））=0。（25c）然后Y（·）解出等式（25），对于κ=0和κ=1，得到BVP（24）的解。OCMat使用弧长延拓法求解同伦Bvp（25）[Kuznetsov，1998，Allgower和Georg，2003]。因此，在每个同伦步骤i>0时，前面的解（X（i-1）（·），κi-1） BVP（25）与附加方程z（X（i）（t）一起求解（X（i）（·），κi）- X（i）-1）（t）V（i）-1）（t）dt+（κi- κi-1） V（i）-1），κ=0（25d），其中-1）（·），V（i）-1），κ）满足线性化的BVP˙V（i-1）（t）=t FX（X（i）-1）（t），u）V（i）-1）（t），t∈ [0,1]（25e）V（n）（i）-1）（0）=V（i）-1），κ（x（n）- x（n））（25f）Ohm>V（1）=0。（25g）溶液（V（i）-1）（·），V（i）-1） BVP（25e）-（25g）的，κ）在第一步称为切线解- 1.在实际的OCMat实现中，BVP（25a）-（25g）离散化，提供不同的离散化方案，依赖于两个原生的MATLAB BVP解算器bvp4c、bvp5c[cf.Kierzenka and Shampine，2001年、2008年]和适应的解算器bvp6c[cf.Hale，2006年，Hale and Moore，2008年]。离散化切线在每一牛顿步计算。这是一种特殊的弧长延拓，称为MoorePenrose延拓，参见库兹涅佐夫[1998]。随后，我们引入一些术语来明确区分稳定路径和在延拓过程中计算的初始点集。定义A.1（切片歧管）。设X（·，κ（s）），s∈ 我 I为非空区间且κ（·）的R∈C（I，R）是等式（25）对每个s的解∈ 我

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何人来此

2022-5-8 05:21:27

然后（^X，X（ns），X（ns），κ（·））：={X（0，κ（s））：s∈ 一} （26）被称为沿x（ns）的切片流形，x（ns）代表^x和κ（·）。定义A.2（可比切片歧管）。设^X满足SPP和S（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），sj∈Ij，j=1，2是沿着xj，xj的两片流形，对于^Xjandκj（·），xj6=xj，j=1，2。然后（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），j=1，2被称为可比的i{x+（1）- α）（十）- x）：α∈ R} ={x+（1）- α）（十）- x）：α∈ R} （27）持有。如果可比片流形满足{x+（1- κ（s））（x- x）：s∈ 我}∩ {x+（1）- κ（s））（x- x）：s∈ 一} 6= （28）据说切片歧管是相交的。备注A.1。切片流形是通过稳定流形的线性切割。在两个不同切片流形的相交处，给出了相同（初始）状态x的切割。因此，对于x（0）=x的最优控制问题，相应路径是（不同）候选解。对于稳定路径（x（·），λ（·））收敛到（^x，^λ）S（x，x（T），^x，id[0,1]）={（x（T），λT）的单状态自治最优控制问题：∈ [0，T]}。因此，稳定路径的轨道与稳定流形重合。此外，不同鞍座的两片流形具有很小的可比性。有充分的理由考虑BVP（25）而不是BVP（24）。对于任意初始点，xit通常很难为BVP（24）提供初始函数的“好”猜测。由于一般情况下，BVP的解不是唯一的，因此可能无法保证计算出的解是搜索到的解。另一方面，对于初始点^x，平衡解平凡地满足BVP（24）。因此，同伦BVP（25）可以从精确解开始。然后，只要满足某些秩条件，隐函数定理就保证了唯一解的存在。

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