资本配置的风险管理方法

2022-5-8 08:52:12

在这种情况下，风险的多变量分析似乎是相关的。多元背景下的资本分配问题源于各种风险活动之间的依赖关系，这可能会产生多元化效应。文献中的几种分配方法是基于单变量风险度量和分配原则的选择。另一些是基于优化多变量破产概率或一些多变量风险指标。在本文中，我们通过最小化一些风险指标来研究分配技术。关于资本配置方法的文献非常丰富。在过去的二十年里，人们提出了一些原则。最重要和研究最多的是Shapley方法、Aumann-Shapley方法和Euler方法。Shapley方法基于合作博弈论。Denault\'spaper（2001）[10]对此进行了详细描述。Denault证明，该方法最初用于在联盟博弈环境中分配参与者之间的总成本，可以很容易地适应于解决分段之间的总体风险分配问题。塔什用了两篇论文[21]和[22]来描述欧拉的方法。欧拉的方法也成立日期：2015年6月15日。2010年数学学科分类。62H00，62P05，91B30。关键词和短语。多元风险指标、偿付能力2、偿付能力资本要求SCR、自有风险和偿付能力评估ORSA、相关性建模、一致性属性、风险理论、最优资本配置。在以g射线法为名的文献中。它基于根据每个风险的微小边际影响来分配资本的理念。这种影响对应于总体风险的增加，从而产生边际风险的微小增加。欧拉方法在文献中非常常见。

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2022-5-8 08:52:15

几篇论文分析了它的性质（相容性[6]，[23]，[5]，…）在不同的假设下（Tasche（2004）[20]，Balog（2011）[2]）。它之所以出名，是因为存在可以证明其用于制定分配规则的经济论据。最后，Aumann-Shapley方法是Shapley方法的一个连续推广。它的原理基于奥曼和沙普莱在博弈论中提出的价值观。Denault[10]分析了该方法及其在资本配置中的应用。这三项资本配置原则依赖于不同的风险度量。分配方法的一致性取决于所选风险度量的属性。一些pap根据所用风险度量的性质处理资本配置一致性。我们引用了一个例子，Fischer（2003）[12]、Bush and Dor Fleitner（2008）[5]和Kalkbrener（2009）[16]。最近，通过最小化一些多元破产概率，特别是蔡和李（2007）[7]定义的那些概率，或者通过最小化一些新的多元风险指标，提出了其他技术来构建最优分配方法。在这种情况下，Cénac等人[8]，[9]定义了三种类型的指标，既考虑了分支机构层面的破产严重性，也考虑了依赖结构对其局部严重性的影响。在一个周期的情况下，这些指标可以被视为Dhaene等人提出的一般指标的特例。(2012) [11]. Cénac et a l.（2014）[8]在双变量维度研究了通过最小化这些指标进行的分配，Maume Deshamps et al.（2015）[17]在更高维度研究了通过最小化这些指标进行的分配。在[17]中，我们研究了它的行为及其对一些特殊分布族的渐近行为。我们在同一篇论文中也研究了依赖性对分配构成的影响。

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2022-5-8 08:52:19

本文主要研究这种分配方法的相干性。通过最小化一些真实的多元风险指标进行分配，可以在系统风险建模的更一般框架中使用。在再保险中，在某些特殊情况下，它还可以用于确定最佳止损协议。这种分配技术也有助于衡量瑞士偿付能力测试（SST）中计算集团资本要求的表现，该测试为法定分支机构和集团偿付能力资本要求提供了一致的框架。这篇文章的结构如下。在第一部分中，我们通过最小化多变量风险指标，提出了最优分配方法。使用公理化方法，我们在第2节中定义了多变量环境下分配方法的一些一致性特性。第三部分是关于最优分配一致性的研究。第四部分是关于保险集团最佳分配方法选择的讨论。1.最优分配表示在多元风险框架中，我们考虑向量风险过程Xp=（Xp，…，Xpd），其中xpk对应于pth期间KTH业务线的损失。我们用时间p时kthline的Rpkthereserve表示，所以：Rpk=uk-pXl=1Xlk，其中英国∈ R+是KTH业务线的初始资本。u=u+··+u是集团的初始资本，d是业务线的数量。Cénac等人（2012）[9]在给定惩罚函数gk，k的情况下，定义了以下两个多变量风险指标，分别针对d r Isk和N期∈ {1，…，d}：o指标I:I（u，…，ud）=dXk=1EnXp=1gk（Rpk）11{Rpk<0}{Pdj=1Rpj>0},o 指示器J:J（u，…，ud）=dXk=1EnXp=1gk（Rpk）11{Rpk<0}{Pdj=1Rpj<0},gk:R-→ R+是C，gk（0）=0的凸函数，gk（x）≥ 0表示x<0，k=1。

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2022-5-8 08:52:23

，d.当集团对I指标有偿付能力时，或当集团对J指标也有偿付能力时，各分支机构必须支付的成本合计。他们建议通过最小化这些指标来分配一些资金。我们的想法是找到一个位置向量（u，…，ud），该向量将u=u+·ud等指标最小化，其中u是需要在所有分支机构之间共享的初始资本。指标I代表当地废墟的预期罚款金额，知道该集团仍有偿付能力。在指标J的情况下，仅在集团破产的情况下才考虑当地破产严重程度。通过使用优化随机算法，我们可以估计这些风险指标的最小值。Cénac等人（2012）[9]在一般假设下，提出了镜像算法的Kiefer-Wolfowitz版本，作为收敛算法，以找到最小化指标I的最优分配。该算法有效地解决了最优分配问题，尤其是对于大量业务线，以及多个时期的分配。1.1. 定义和符号。由于新的监管规则（如偿付能力2）只要求在一年内进行合理的分配，因此本文将重点放在单期（n=1）的分配情况上。这一选择的另一个目标是提出第一种计算方法。对于保险公司来说，年度分配似乎是一个更有效的决定；在一年的手术期间，这将使他能够整合风险港及其附属结构中发生的变化。使用以下符号： u是公司的初始资本。 Udu={v=（v，…，vd）∈ [0，u]d，Pdi=1vi=u}是初始资本u的可能分配集。尽管我∈ {1，…，d}设αi=uiu，那么，如果（u。

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2022-5-8 08:52:27

，ud）∈ 乌杜。 11du={α=（α，…，αd）∈ [0,1]d，Pdi=1αi=1}是一组可能的分配百分比αi=ui/u。风险XK对应于kthbranch在一段时间内的损失。在我们的语境中，这是一个积极的变量。对于（u，…，ud）∈ Udu，我们在期末确定kthbusiness line的储备：Rk=uk- Xk，其中UK代表分配给kthbranch的部分资本。风险的总和是：S=Pdi=1Xi，让我们-i=Pdj=1；j6=IXJI∈ {1，…，d}。 Fzi是随机变量Z的累积分布函数，\'Fzi是其生存函数和fZits概率密度函数。定义1.1（最佳分配）。设X是Rd，u的正随机向量∈ R+和KX:Udu→ R+一个与X和u相关的多变量风险指标。风险向量X的资本u的最佳分配定义为：（u，…，ud）∈ arg inf（v，…，vd）∈Udu{KX（v，…，vd）}。对于KX（v）=E[S（X，v）]形式的风险指标，对于评分函数S:R+d×R+d→ R+，这一定义可以被视为启发性概念多元框架的延伸。Gneiting（2011）[14]引入了可激发性，最近Bellini和Bignozzi（2013）[3]，Ziegel（2014）[24]和Steinwa r t等人（2014）[19]对univa r ia t e风险度量进行了研究，例如。假设。在本文中，我们将使用以下假设：H1：风险指标KX在Udu中具有唯一的最小值。在这种情况下，我们表示byAX，。。。，Xd（u）=（u，…，ud）在Udu中d风险分支上的金额u的最优分配。H2：函数gk是可微分的，因此对于所有k∈ {1，…，d}，g\'k（英国）- Xk）允许一阶矩，并且（Xk，S）有一个由f（Xk，S）表示的联合密度分布。H3:d风险具有相同的惩罚函数gk=g，K∈ {1, . . .

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2022-5-8 08:52:31

，d}。当指示器严格凸时，第一个假设得到验证，当至少有一个k∈ {1，…，d}，gk是严格凸的；节理密度f（Xk，S）包含[0，u]（见[9]）1.2。最优性条件。在本节中，我们重点讨论指标I和J的最优性条件。对于初始资本u，以及最小化多元风险指标I，weseek u的最优配置*∈ Rd+这样：I（u）*) = infv+··+vd=uI（v），v∈ Rd+。在假设H2下，风险指标I和J是不同的，在这种情况下，我们可以计算以下梯度：(I（v））I=dXk=1Z+∞vkgk（vk- x） fXk，S（x，u）dx+E[g′i（vi）- Xi）11{Xi>vi}{S≤u} ]而且(J（v））i=dXk=1Z+∞vkgk（vk- x） fXk，S（x，u）dx+E[g′i（vi）- Xi）11{Xi>vi}{S≥u} ]。在H1和H2条件下，利用拉格朗日乘子方法，我们得到了一个由该优化问题唯一解验证的最优性条件：（1.1）E[g′i（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}。惩罚函数的一个自然选择是破产严重度：gk（x）=| x |。在这种情况下，如果连接密度f（Xk，S）支持[0，u]，则至少有一个k∈ {1，…，d}，我们的优化问题有唯一的解。我们可以这样写指标：I（u，…，ud）=dXk=1E|Rk | 11{Rk<0}{Pdi=1Ri≥0}=dXk=1E（Xk）- 英国）11{Xk>uk}{Pdi=1Xi≤u}=dXk=1E（Xk）- 英国）+{S≤u},J（u，…，ud）=dXk=1E|Rk | 11{Rk<0}{Pdi=1Ri≤0}=dXk=1E（Xk）- 英国）11{Xk>uk}{Pdi=1Xi≥u}=dXk=1E（Xk）- 英国）+{S≥u}.这些指标的梯度的各个组成部分的形式如下：- P十> u，dXj=1Xj≤ U, . . . , 基- PXd>ud，dXj=1Xj≤ U,还有，KJ- P十> u，dXj=1Xj≥ U, . . .

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2022-5-8 08:52:34

，KJ- PXd>ud，dXj=1Xj≥ U,式中，KI=KJ=dXk=1Z+∞英国（x）- 英国）fXk，S（x，u）dx。利用拉格朗日乘子求解凸优化问题，在唯一约束tu+u+···+ud=u的情况下，从1.1中得到以下最优性条件，其中gk（x）=| x |：：（1.2）P（Xi>ui，S≤ u） =P（Xj>uj，S）≤ u） ,，（i，j）∈ {1,2，…，d}。对于J指示器，这个条件可以写成：（1.3）P（Xi>ui，S）≥ u） =P（Xj>uj，S）≥ u） ,，（i，j）∈ {1,2，…，d}。利用这个最优性条件，可以得到一些显式和半显式的最优分配公式。我们的问题归结为对这种分配的研究，这取决于风险分布的性质以及它们之间的依赖程度。2.多元背景下资本分配的一致性在他的文章[10]中，德诺引入了一致性分配的概念，提出了四个公理，这些公理必须通过资本分配原则验证，才能被定性为一致性。根据Artzner等人（1999）[1]定义的标准，Denault的定义只能用于由单变量风险度量驱动的分配方法，尤其是多变量风险度量。我们的最优资本分配不是直接从单变量风险度量中得出的，即使它是通过最小化多变量风险指标得到的。在本节中，我们将在更一般的多元语境中重新表述连贯性公理。我们还定义了其他一致性属性，并从经济角度为每一个属性证明为什么它是一个可取的属性。2.1. 一致性。我们遵循德诺的想法，在多变量文本中定义一致的资本分配。定义2.1（一致性）。A资本分配（u，…，ud）=AX，。。。，初始资本的Xd（u）∈ 如果R+满足以下特性，则R+是一致的：1。

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2022-5-8 08:52:38

全部分配：所有的资本∈ R+必须在分支之间分配：dXi=1ui=u.2。对称性：如果向量（X，…，Xd）的联合分布通过风险xAnd Xj的排列保持不变，则分配也通过该排列保持不变，并且ITH和JTH业务线对风险资本的贡献相同：If（X，…，Xi-1，Xi，Xi+1，Xj-1，Xj，Xj+1，Xd）L=（X，…，Xi-1，Xj，Xi+1，Xj-1，Xi，Xj+1，Xd），然后ui=uj。3.无风险分配：对于确定性风险X=c，其中常数c∈ R+：AX，X，。。。，Xd（u）=（c，AX，…，Xd（u）- c））。该属性意味着分配方法仅与风险分支相关，确定性风险的存在对分配给风险分支的份额没有影响。4.次可加性：M {1，…，d}，让（u）*, U*, . . . , U*r） =APi∈MXi，Xj∈{1，…，d}\\M（u），其中r=d- 卡（M）和（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）：u*≤xi∈梅。该属性意味着分配考虑了多元化收益。它与Denault定义的无底价资产有关，这在我们的环境中毫无意义。5.共单调可加性：对于r 6 d共单调风险，AXii∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）=（uii∈{1，…，d}\\CR，Xk∈其中（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）是u在d风险（X，…，Xd）上的分配，crr表示r共单调风险指数的集合。共单调随机变量的概念与霍夫丁（1940）[15]和弗雷切特（1951）[13]的研究有关。这里我们使用Borch（1962）[4]精算文献中对共单调风险的定义。随机变量向量（X，X，…，Xn）是共单调的当且仅当存在随机变量Y和非递减函数φ，确保：（X，…，Xn）=d（ν（Y），~nn（Y））.2。其他理想的性能。

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2022-5-8 08:52:41

我们还定义了一些理想的特性，这些特性是分配自然应该满足的。这些属性基于Artzner et al.（1999）[1]提出的一致性风险度量思想，以及Kalkbrener（2009）[16]给出的一致性资本分配公理化特征。定义2.2（正同质性）。一个分配是正齐次的，如果有α的话∈R+，它满足：AαX，。。。，αXd（αu）=αAX，。。。，Xd（u）。换句话说，如果资本分配方法对现金变化不敏感，那么它就是正同质的。定义2.3（翻译不变性）。如果对所有（a，…，ad）而言，分配是平移不变的∈ Rd，它满足了：AX-A.除息的-ad（u）=AX，。。。，Xdu+dXk=1ak！- （a，…，ad）。平移不变性性质表明，风险的增加（减少）对其资本u分配份额的影响，归结为其在资本u分配份额的增加（减少）减少（增加）的影响。定义2.4（连续性）。分配是连续的，如果我∈ {1，…，d}：林→0AX，。。。，（1+）Xi，。。。，Xd（u）=AX，。。。，xiXd（u）。这一特性反映了这样一个事实，即业务线风险的微小变化，对我们归因于它的资本部分的影响有限。让我们回顾一下随机支配秩序的定义，如Shaked and Shanthikumar（2007）[18]所述。对于随机变量X和Y，Y在随机支配下的第一个当且仅当：`FX（X）≤“FY（x），十、∈ R+，在这种情况下，我们表示为：X≤猪圈。这个定义也相当于以下定义：X≤猪圈<=> E[u（X）]≤ E[u（Y）]，对于所有u递增函数定义2.5（单调性）。如果（i，j）的分配满足单调性∈{1, . . .

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2022-5-8 08:52:44

，d}：Xi≤stXj=> 用户界面≤ uj。单调性是一个自然要求，它反映了一个事实，即如果分支XJI的风险高于分支Xi。然后，自然会向风险Xj分配更多资本。Dirk Tasche[21]定义的RORAC兼容性属性在构建分配方法时没有使用风险度量时失去了意义。3.最优配置的一致性在下文中，我们表明，最小化指标I的资本配置满足定义2.1的一致性公理，但次可加性除外。我们还表明，在第二小节中，它满足了其他期望的性质。指示器J.3.1也是如此。一致性。首先，完全分配公理通过构造进行验证，因为任何最优分配都满足等式：dXi=1ui=u。命题3.1表明，最优分配满足对称性。命题3.1（对称性）。在H1下，如果用于（i，j）∈ {1,2，…，d}，i6=j，夫妻（Xi，S-i）和（Xj，S）-j）分布相同，惩罚函数gi和gj是相同的gi=gj，然后：ui=uj。证据Let（i6=j）∈ {1，2，…，d}是这样的（Xi，S-i）和（Xj，S）-j）具有相同的分布和相同的惩罚函数gi=gj=g。如果ui6=uj，我们可以假设i<j，并表示：（u，…，ui，…，uj，…，ud）=AX，。。。，xiXj，。。。，Xd（u），那么，I（u，…，ui，…，uj，…，ud）=infv∈UduI（v）=infv∈Udxk=1Egk（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤u}.另一方面，由于gi=gj=g和（Xi，S-（一）~ （Xj，S）-j），然后：I（u，…，ui-1，uj，ui+1，uj-1，ui，uj+1，ud）=dXk=1，k6=i，k6=jEgk（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u}+ Eg（用户界面）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u}+ Eg（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u}= I（u，…，ui，…，uj，…，ud）。根据H1，指标I在Udu中允许一个唯一的最小值，我们推断：（u，…，ui，…，uj，…，ud）=（u，…，ui）-1，uj，ui+1。

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2022-5-8 08:52:49

，uj-1，ui，uj+1，ud）。我们得出的结论是ui=uj。推论3.2。在假设H1和H3下，如果（X，…，Xd）是一个可交换的随机向量，那么通过最小化I和J指标得到的分配是相同的，由以下公式给出：，。。。，Xd（u）=乌德，乌德，ud.以下命题表明，最优配置验证了无风险配置公理。提案3.3（无风险分配）。在假设H1和H3下，对于1-齐次罚函数，对于任何c∈ R:Ac，X，。。。，Xd（u）=（c，AX，…，Xd（u）- c），其中（c，AX，…，Xd（u）- c））是c和向量AX的串联向量，。。。，Xd（u）- c）。证据离散分布的存在使得指标I不可区分，因此我们既不能使用梯度，也不能使用在存在j联合密度的情况下获得的最优性条件。让（你）*, U*, · · · , U*d） =Ac，X，。。。，Xd（u）和（u，··，ud）=AX，。。。，Xd（u）- c）。我们表示S=Pdi=1Xi，公共惩罚函数g=gk，K∈ {1，…，d}，R上的凸函数-并且g（0）=0，我们推断g也是正齐次的。我们区分三种可能性：o案例1:u*< 在这种情况下，我（u）*, U*, . . . , U*d） =infv∈Ud+1uI（v）=infv∈Ud+1udXk=0Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}= Eg（u）*- c） 11{S≤U-c}+dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c},尽管如此，k∈ {1，…，d}我们把，例如，αk=u*-cd<0，因为函数g是凸的，且g（0）=0，所以它满足所有实0<β<1，g（βx）≤ βg（x），十、∈ R-. 然后：我（u）*, U*, . . . , U*d）≥ Ed·gU*- 光盘{S≤U-c}+dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c}= Ed·g(-(-α） +）11{S≤U-c}+dXk=1Eg（-（Xk）- U*k） +）11{S≤U-c}=dXk=1E[g](-（Xk）- U*k） +）+g(-(-αk）+]11{S≤U-c},十、→ g(-（x） +）是一个lso 1-齐次凸函数，那么：*, U*, . . . , U*d）≥dXk=1Eg（-（Xk）- （u）*k+αk））+）11{S≤U-c},我们注意到Pdk=1（u*k+αk）=u- c、然后（u）*+ α, . . . , U*d+α）∈ 乌杜-c、所以，我（u）*, U*, . . .

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2022-5-8 08:52:52

U*d）≥dXk=1Eg（（u）*k+αk）- Xk）11{Xk>u*k+αk}{S≤U-c}≥ infv∈乌杜-cdXk=1Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}=dXk=1Eg（英国）- Xk）+{S≤U-c}= I（c，u，…，ud），然后，I（u*, U*, . . . , U*d）≥ I（c，u，…，ud）。这与集Ud+1u上最小值的唯一性相矛盾案例2：美国*> 我们有：I（u）*, U*, . . . , U*d） =dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c},I（c，u，…，ud）=dXk=1Eg（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c}.设α=u*-cd>0，我们注意到*+α, . . . , U*d+α）∈ 乌杜-c、惩罚函数g在R上递减-因为g′（x）≥ 0, 十、∈ R-g′（0+）=0。那么，I（c，u，…，ud）=dXk=1Eg（-（Xk）- 英国）+）11{S≤U-c}= infv∈乌杜-cdXk=1Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}≤dXk=1Eg（-（Xk）- （u）*k+α）+）11{S≤U-c}<dXk=1Eg（-（Xk）- U*k））+{S≤U-c}=dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c}= I（u）*, U*, . . . , U*d）。这与我（u*, U*, . . . , U*d） =infv∈Ud+1uI（v）。我们推断唯一可能的情况是第三种情况*= c、 o案例3：美国*= C最小值的唯一性意味着：*, U*, . . . , U*d） =（c，u）*, . . . , U*d） =arg minUd+1udXk=1E[g（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c} ]=arg minUdu-cdXk=1E[g（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c} ]=（c，u，…，ud）。最后，我们证明了：*, U*, . . . , U*d） =（c，u，…，ud）。引理3.4与次可加性性质有关。它将用于证明共单调可加性性质。引理3.4。假设H1、H2和H3，以及所有（i、j）∈ {1，…，d}，其中，x.ei是向量x的点积∈ Rd和Rd规范基的组成部分。o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei<AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1，…，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek>AX，。。。，Xd（u）。ek，o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei>AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1, . . .

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2022-5-8 08:52:57

，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek<AX，。。。，Xd（u）。ek，o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei=AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1，…，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek=AX，。。。，Xd（u）。埃克。证据为了简化符号，在不丧失普遍性的情况下，我们假设i=d- 1和j=d。我们把（u，…，ud）放在一起-1，ud）=AX，。。。，Xd（u）和（u）*, . . . , U*D-2、美国*D-1） =AX，。。。，除息的-2，Xd-1+Xd（u）。（u，…，ud）的最优性条件-1，ud）是给定的（i，j）∈ {1，…，d}通过方程1.1:E[g′i（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]=λ，对于（u）*, . . . , U*D-2、美国*D-1）是吗我∈ {1，…，d- 2} E[g′i（u）*我- Xi）11{Xi>u*i} {S≤u} ]=E[g′i（u）*D-1.- （Xd）-1+Xd）11{Xd+Xd-1> u*D-1} {S≤u} ]=λ*.现在，我们假设*D-1> ud+ud-1.在这种情况下，存在k∈ {1，…，d- 2} 这样你*k<uk，并且由于函数x→ g′(-（x） +）在R+上减少，然后：E[g′i（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u} ]=λ<E[g′i（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤u} ]=λ*我们由此推断∈ 1.D- 2:u*英国。如果我们假设u*D-1<ud+ud-1，加法情况是前两种情况的推论。命题3.5（共单调可加性）。在假设H2下，对于gk（x）=| x |，对于所有k∈ {1，…，d}，如果r≤ d.风险十二∈克雷·科莫诺尼克：阿西∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）=（uii∈{1，…，d}\\CR，Xk∈其中（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）是u在d风险（X，…，Xd），AXii上的最优分配∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）是u在n上的最优分配-d+1风险（十二）∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk）和CR表示r共单调风险指数的集合。证据对于（i，j）∈ {1，…，d}，如果Xiand Xjare是共单调风险，则存在一个递增的非负函数h，使得Xi=h（Xj），我们注意到h在假设H2下严格递增。

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2022-5-8 08:53:00

设f为函数x→ f（x）=x+h（x），因此Xi+Xj=f（Xj）。我们表示（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）和（u）*, . . . , U*D-1） =AXi∈{1，…，d}\\{i，j}，Xi+Xj（u），然后，AXi∈{1，…，d}\\{i，j}，Xi+Xj（u）。预计起飞时间-1=u*D-1和斧头，。。。，Xd（u）。（ei+ej）=ui+uj。从分配AX的最优性条件，。。。，Xd（u），在方程式1.2中给出：P（Xi≥ 用户界面≤ u） =P（Xj）≥ uj，S≤ u）我们推导出ui=h（uj）和ui+uj=f（uj）。如果存在k∈ {1，…，d}\\{i，j}，因此*那么英国K∈ {1，…，d}\\{i，j}:P（Xk）≥ U*k、 S≤ u） >P（Xk≥ 英国，S≤ u）所以，P（Xi+Xj）≥ U*D-1.S≤ u） =P（Xj）≥ F-1（u）*D-1），S≤ u） =P（Xk）≥ U*k、 S≤ u） >P（Xk≥ 英国，S≤ u） =P（Xj）≥ uj，S≤ u）最后，我们推断：-1（u）*D-1） <uj，然后u*D-1<f（uj）=ui+ujand，Pk∈{1，…，d}\\{i，j}u*k<Pk∈这是荒谬的。同样，英国<u*kfor k∈ {1，…，d}{i，j}导致了矛盾。利用引理3.4，在假设H3下，我们推导出了其他风险的最优分配∈ {1，…，d}\\{i，j}。两个共单调风险的可加性可以简单地推广到几个共单调风险。关于次可加性性质，我们还没有为这个性质建立一个证明。然而，使用Cénac et al.（2012）[9]中提出的优化算法进行的模拟，似乎通过最小化指标I和j来确认分配的次可加性，即使是风险度量VaR的非次可加性的经典示例。备注3.6。通过最小化风险指标I，已经证明了最优分配的先前属性，它们可以通过最小化指标J.3.2，用相同的参数证明最优分配。其他理想的性能。在本节中，我们展示了通过最小化指标I和J实现的最优配置满足一些期望的特性。

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2022-5-8 08:53:05

我们通过最小化多变量风险指标I来考虑分配，在指标J.命题3.7（正同质性）的情况下，证明几乎相同。在假设H1下，对于1-齐次惩罚函数gk，k∈ {1，…，d}，对于任何α∈ R+：AαX，。。。，αXd（αu）=αAX，。。。，Xd（u）。证据由于罚函数是凸的且1-齐次的，那么，对于任何α∈ R*+:AαX，。。。，αXd（αu）=arg min（u*,...,U*d）∈UdαudXk=1E[gk（u*K- αXk）11{αXk>u*k} {αS≤αu}]=arg min（u*,...,U*d）∈UdαudXk=1αE[gkU*kα- Xk{Xk>u*kα}{S≤u} ]=arg最小值（u）*,...,U*d）∈UdαudXk=1E[gkU*kα- Xk{Xk>u*kα}{S≤u} ]=αarg min（u，…，ud）∈Udxk=1E[gk（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u} ]=αAX，。。。，Xd（u）。命题3.8（翻译不变性）。假设H1、H2和所有（a，…，ad）∈Rd，使得关节密度f（Xk，S）支撑包含[0，u+Pdk=1ak]，用于所有k∈ {1，…，d}:AX-A.除息的-ad（u）=AX，。。。，Xdu+dXk=1ak！- （a，…，ad）。证据我们用（u）表示*, . . . , U*d）最优分配-A.除息的-ad（u）和（u，…，ud）最优分配AX，。。。，除息的u+Pdk=1ak.使用最优性条件（1.1），（u*, . . . , U*d）是以下方程组的唯一解：E[g′i（u*我-（十一）-ai）11{Xi-ai>u*i} {S-A.≤u} ]=E[g′j（u）*J-（Xj）-aj））11{Xj-aj>u*j} {S-A.≤u} ]，J∈ {1，…，d}，其中a=Pdk=1ak。然后*, . . . , U*d）同样令人满意的是：E[g′i（u*i+ai- Xi）11{Xi>u*i+ai}{S≤u+a}]=E[g′i（u*i+aj- Xj）11{Xj>u*j+ai}{S≤u+a}]，J∈ {1，…，d}。自从（美国）*+ A.U*d+ad）∈ Udu+a，并根据分配AX的最优性条件（1.1）的解唯一性，。。。，Xd（u+a），我们推断：*k+ak=k代表所有k∈ {1，…，d}。提案3.9（连续性）。假设H1和H2，如果K∈ {1，…，d}，>0以便：，<，E[supv]∈[0，u]| g′k（v）- （1+）Xk）|]<+∞,那么，如果（X，…，Xd）是一个连续的随机向量，对于所有i∈ {1, . . .

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2022-5-8 08:53:08

，d}：林→0AX，。。。，（1+）Xi，。。。，Xd（u）=AX，。。。，xiXd（u）。证据设（u，…，ud）为d风险（X，…，Xd）上u的最优分配：（u，…，ud）=AX，。。。，xiXd（u），然后（u，…，ud）是Uduof方程组（1.1）中的唯一解：E[g′i（ui）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}。为了∈ R、设（u，…，ud）为u在d风险（X，…，Xi）上的最优分配-1，（1+）Xi，Xi+1，Xd）：（u，…，ud）=AX，。。。，xi-1，（1+）Xi，Xi+1，。。。，Xd（u），然后（u，…，ud）是以下方程组的唯一解：E[g′i（ui- （1＋）Xi）11{（1＋）Xi>ui}{S＋Xi≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S+Xi≤u} ]，J∈ {1，…，d}。由于udui是（R+d）上的紧集，我们可以考虑（uk，…，ud）的收敛子序列（uk，…，ukd）。由于惩罚函数满足：> 0, ，<，E[supv]∈[0，u]| g′k（v）- （1+）Xk）|]<+∞,我们利用勒贝格的支配收敛定理得到：E[g′i（lim→0uki- 十一{Xi>lim→0uki}{S≤u} ]=E[g′i（lim）→0ukj- Xj）11{Xj>lim→0ukj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}，因此（lim→好的，林→0ukd）是方程（1.1）的解，因为epdl=1lim→0ukl=lim→0Pdl=1ul=u（lim）→好的，林→0ukd）∈ 乌杜。从Udu中（1.1）的解的唯一性出发，我们推导出：limk→∞uki=ui∈ {1，…，d}。对于（u，…，ud）的所有收敛子序列，极限点为（u，…，ud），我们推导出：lim→0（u，…，ud）=（u，…，ud）。命题3.10（一对一）。在假设H2下，对于（i，j）∈ {1，…，d}，例如gi=gj=g:Xi≤stXj=> 用户界面≤ uj。证据让我们。

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可人4

2022-5-8 08:53:11

，uj）是最优分配AX，。。。，xiXd（u），在假设H2下，最优性条件（1.1）写为：E[g′（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]。现在如果Xi≤stXj，从那以后，x7→ -g′(-（ui）- x） +）11{S≤u} 是R+上的一个递增函数，那么：E[g′（ui- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]≤ E[g′（ui）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]。我们推断：E[g′（ui- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]≤ E[g′（uj- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} 因为g′是一个增函数，分布都是连续的，这意味着：uj≥ 用户界面。通过结合本节中演示的所有属性，我们证明了在惩罚函数gk（x）=|x |K∈ {1，…，d}，并且对于连续随机向量（X，…，Xd），使得联合密度f（Xk，S）支持至少一个k的[0，u]∈ {1，…，d}，通过最小化指标I和J得到的最优分配是对称的无风险完全分配。它满足了共单调可加性、正同质性、平移不变性、单调性和连续性的性质。因此，从经济角度来看，这些资产是可取的，它们被提出的最优配置所满足，这一事实意味着这种分配方法很可能用于集团不同分支机构之间的经济资本分配，就其对整体风险的分散参与而言，考虑到它们的边际分布和它们与剩余分支的依赖结构。4.讨论：资本配置的最佳选择是什么？在第3节中，我们试图解释为什么从经济学的角度来看，最优分配可以被认为是一致的。

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大多数88

2022-5-8 08:53:14

现在，最实际的问题是为保险公司确定最佳分配方法。Solvency 2规范的第一个目标是保险公司的保护，而ORSA方法基于本地和全球层面的风险最小化。经典的风险分配方法给出了集团风险中每个业务线的权重。最优分配基于g-lo-bal风险优化。从这个角度来看，最优资本配置似乎更符合O RSA目标。事实上，在偿付能力资本要求确定之后，最优配置提供了第二个风险管理级别。最佳分配方法的选择最终取决于保险公司的风险规避。如果将SCR视为唯一的风险管理级别，则经典的风险分配方法是有效的。如果保险人同意提高其安全级别，因为这是ORSA的目标，那么最优分配可能是满足这一需求的一个很好的实际答案。传统的资本配置方法基于一个选定的单变量风险度量，其属性源自该风险度量的属性。在多变量框架中，直接使用多变量风险指标似乎更为一致，不仅用于风险衡量，也用于资本配置。选择分配方法的另一个重要标准是资本性质。投资资本的配置可能不同于偿付能力资本的配置。结论在本文中，我们已经表明，从经济角度来看，通过最小化多变量风险指标的资本分配方法可以被认为是一致的。

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2022-5-8 08:53:18

该方法还阐明了风险业务组合cho ice的重要性及其对公司整体资本管理的影响。如果可以构建更广泛的多变量风险指标集，就可以开发这种方法，因为单变量风险度量就是这样。最后，选择资本分配方法仍然是一项复杂而关键的工作，因为某些方法可能更适合处理特定问题，而其他方法可能会导致危险的错误财务决策。在拟议的最优资本配置的情况下，风险管理是配置过程的核心，公司可以配置其资本，同时降低其总体风险。通过选择多变量erisk指标来最小化风险，从而反映其风险规避。这就是为什么我们认为从风险管理的角度来看，这种方法更灵活。参考文献[1]P.Artzner、F.Delbaen、J-M.Eber和D.Heath。风险的一致性度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。[2] D.Balo g.金融机构的资本配置：欧拉法。Iehas讨论论文，匈牙利科学院经济研究所，2011年6月。[3] F.贝利尼和V.比格诺齐。可引出的风险措施。可在SSRN 23347462013年12月获取。[4] K。博奇。再保险市场的均衡。计量经济学，（30）：424-44421962。[5] A.B uch和G.Dor Fleitner。一致的风险度量、一致的资本配置和梯度配置原则。《保险：数学与经济学》，42（1）：235–242，2008年。[6] A.Buch、G.Dor Fleitner和M.Wimmer。风险资本分配用于ro rac优化。《银行与金融杂志》，35（11）：3001-3009，2011年8月。[7] 蔡俊杰和李浩。多元复合风险模型中破产概率的相关性质和界。

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能者818

2022-5-8 08:53:21

多变量分析杂志，98（4）：757-773，2007。[8] P.Cénac、S.Loisel、V.Maume Deschamps和C.Prieur。多个业务领域的风险指标：比较、渐近行为和在最优储备分配中的应用。《伊苏年鉴》，第58（3）页，2014年。[9] P·塞纳克、V·毛姆·德尚和C·普里欧。一些多元风险指标：使用aKiefer-Wolfowitz方法最小化镜像随机算法。《统计与风险建模》，29（1）：47–712012年。[10] 德诺先生。协调风险资本的分配。《风险杂志》，4:1-34001年1月2日。[11] J.Dhaene、E.A.Valdez、A.Tsanakas和S.Vandu Affel。最优资本配置原则。《风险与保险杂志》，79（1）：2012年1月至28日。[12] T.费舍尔。通过基于单边矩的一致风险度量进行风险资本分配。《保险：数学与经济学》，32（1）：135–146，2003年。[13] 弗雷切特先生。在合作的舞台上，不要把玛姬的作品放在一边。里昂大学年鉴，章节。A、系列3。，(1 4):53–77, 1951 .[14] T.片麻岩。制定和评估点预测。《美国统计协会杂志》，106（49 4）：746–762，2011年6月。[15] W.霍夫丁。这是一个不变量的关系。S chriften des mathematischen IN TITTUS AND Institutsfür ANGEWANDE Mathematik de Universit"at Berlin，（5）：179–233，1940年。[16] M.Kalkbreneri。一致风险度量的资本分配的公理化描述。量化金融，9（8）：961-9652009。[17] V.毛姆·德尚、D.鲁利埃和K.赛义德。对某些多重风险指标的依赖性的影响。[18] M.和J.G.Shanthikumar摇了摇头。圣奥查斯特教团。2007年《统计》春季e-r系列。[19] I.施坦华、C.帕辛、R.C.威廉姆森和S.张。属性的引出和识别。《车间与会议记录》，34:1-45，2014年。[20] D。

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