另一个重要的定性结论是，通过非平凡的全参数模型（如§3.4中的方差伽马模型）进行定价，并根据观察到的期权价格进行校准，不会产生可靠的估计，即使该模型允许收益的倾斜和（中等）重尾分布。（绝对）定价误差的emp IRIC分布清楚地表明，平均误差受到相对较少的大值的严重影响。这一观察结果既适用于整个数据集，也适用于缩减后的数据集。例如，卖出期权的平均价格误差分别为12%和9.5%，而在这两种情况下，超过75%的误差都小于10%。特别是，通过直接检查随机选择的几个日期的结果，观察到高相对误差主要是一种价格低廉的ict选项。因此，分析“expens-ive”期权（即（观察到的、未估计的）价格分别高于1美元的各种估值器的定价表现似乎很有趣。表5给出了相应的结果：BS估计器仍然表现出相当强劲的表现，平均绝对误差在2-3%左右，超过85%的期权定价误差在5%以内。另一方面，其他估计器的性能也有一定的一致性：看跌期权的LI估计器的平均价格误差约为7%，看涨期权的平均价格误差增加到12%以上，而BS-NW估计器则表现出完全对称的行为。

在这种情况下，上述主要定性结论也得到了证实：在基于新方法的方法中，在某些情况下，只有BS NWCVI是可接受的，而基于简单线性插值的BS估计器仍然优于（到目前为止）所有其他方法。此外，对相对定价误差（绝对值）的累积分布函数的比较表明，BS估计量随机支配所有其他估计量（见图3）。这一结论也得到了两样本Kolmogorov-Smirnov检验结果的支持，该检验在5%的置信水平上否定了任何两个估计值的误差可能来自同一分布的假设。表4：修剪数据集的定价误差该表显示了基于修剪数据集的各种估计器的经验定价误差（百分比）的描述性统计数据。还报告了定价误差的一些经验分布点。第19页定义了用于不同估算值的标签。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。定价误差是根据4021个看涨期权和2496个看涨期权计算得出的。卖出期权错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 9.5 4.8 151.4 20.8 22.8 17.9 38.5St。5.8.10.10.10.10.10.5 5.5.5.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0%93.6 96.4 50.2 73.0 78.3 82.3 31.930%94.6 97.1 55.7 77.4 83.0 85.240.050%97.6 98.7 68.9 87.6 91.6 91.9 72.5呼叫选项错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 14.4 5.2 138.4 14.3 31.3 9.3 49.6St。德夫。

7.6.6.6.6.6.6.6.6.7.6.6.6.6.6.6.6.6.8.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3.3.1.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 87.3 96.0 46.4 82.6 65.6 91.2 23.230%89.5 96.4 53.6 86.1 72.5 93.2 27.250%94.2 98.4 69.0 93.7 86.2 97.0 45.0表5：价格大于1美元的期权的定价错误（完整数据集）该表显示了关于价格大于1美元的完整数据集中限于期权的各种估值器的经验定价错误（百分比）的描述性统计。还报告了定价误差的经验分布的一些要点。不同测试者使用的标签在第19页定义。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。定价误差是根据3222个看跌期权和2137个看涨期权计算的。卖出期权错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 7.4 2.4 37.9 20.4 17.8 12.3 47.7St。7.6.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.98.9 62.9 75.5 83.2 88.9 19.430%96.6 99.1 68.8 79.6 87.4 91.1 24.450%98.0 99.6 84.2 90.0 94.4 95.3 54.2呼叫选项错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 12.7 3.4 43.4 13.6 25.1 6.8 61.6 ST。德夫。

5.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.3.4.3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 798.257.085.771.395.214.530%92.098.763.987.781.96.416.650%95.7 99.3 80.4 93.6 90.6 98.6 27.5图3：定价误差的累积分布函数该图显示了基于完整数据集的各种估值器的定价误差的累积分布函数。第26页定义了用于不同估算值的标签。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。定价误差是根据2732个看涨期权（A组）和4460个看跌期权（B组）计算的。面板A面板Bx0.5 1 1.5 2 2.5 30.10.20.30.40.50.60.70.80.9CALLLIBSNWBS-NWNWCVBS-NWCVVGx0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.10.20.30.50.60.70.80.9PUTLIBSNWBS-NWNWCVBS-NWCVVG5。2.如上图所示，基于NW的估值器和VG估值器可以（原则上）估计参数为K和t的期权在t时的价格- t不属于（Kk，Tk- t） k∈Jt。然而，让我们回顾一下，NW非参数回归暗示产生的估计值是加权平均值，因此，正如§3.2中所述，对于属于JT凸包之外的参数的估计值，应格外小心。关于参数不在Jt凸壳内的期权的经验定价误差的结果，t=1。

表6和表7中报告了250个：如果平均误差超过30%，且50%或以上的期权定价错误至少为20%，那么BS NWCVestimator（在这种情况下，其性能也优于所有其他基于NW的估值器以及VG估值器）最多只能用于获得正确价格的粗略估计。一种扩展基于线性插值的估计器定义域的方法，用一组有效参数和相应的期权价格增加Jt、f或每个t。特别是，在e上，可以添加到期时间等于0的合成期权，因此其价格等于其支付。对于每个t，用30对（Kk，0）k=1，。。。，30，当（Kk）在Jt中所有期权中最小和最大的执行价格之间等距递增时，我们得到一个“增强”的LIestimator。这扩大了LI，s o的定义范围，即不能定价的期权比例在看跌期权中降至2%，在看涨期权中降至3.3%。刚才描述的扩展过程可以应用于任何数据集，因为实际价格稳定6：凸包外的定价错误（完整数据集）。该表显示了基于完整数据集的各种估值器的经验定价错误（百分比）的描述性统计数据，这些估值器仅限于未定义LI估值器的选项。还报告了定价误差的经验分布的一些要点。第19页定义了用于不同估算值的标签。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。对241个看跌期权和217个看涨期权计算定价误差。卖出期权错误NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 996.3 50.7 1945.7 49.8 62.9St。德夫。

5.5.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8呼叫选项错误NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 1527.5 39.9 2110.3 36.453.6街。7.6.5.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7在0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 51.6表7：凸包之外的定价错误（修剪数据集）该表显示了基于修剪数据集的各种估值器的经验定价误差（百分比）的描述性统计数据，这些估值器仅限于未定义LI估值器的期权。还报告了定价误差的一些经验分布点。第19页定义了用于不同估算值的标签。样本期为2012年1月3日至12月31日。定价误差是根据251个看跌期权和225个看涨期权计算得出的。卖出期权错误NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 682.9 51.5 414.5 46.1 58.0St。4.3.3.3.3.3.3.3.3.3 7 7 7.3.7 7 7 7.7 7 7.7 7 7.7 7 7 7.7 7 7.7 7 7.6 6 6.6.6.6.6.6.6.6.6.3.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 OnError NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 650.2 34.3 321.7 32.846.3St。德夫。

7.6.6.6.6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6 6.6 6 6.4 4.4 4.4 4 4.3.4 4.4 4 4.4 4 4.4 4 4.4 4.4.4.4.4.4.4.4 4.4 4.4 4 4.6.4 4 4.3 3 3.4 4.4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.7.7 7 7 7 7 7.7.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8：线性估计器，带有表格显示的有效选项在完整数据集的基础上，对§5.2中定义并标记为LIB的“增强”标准化线性估计量的经验定价误差（以百分比为单位）进行描述性统计。为了进行比较，第一列报告了归一化线性插值（LI）的统计数据。样本期为2012年3月1日至2012年12月31日。看跌期权看涨期权错误LI LIB LI LIB Mean 11.9 14.0 30.1 30.4St。开发49.0 47.5 418.0 211.6 Median 3.1 3.5 5.0 5.3分钟0.0 0.0 0 0.0最大2027.0 1167.4 16075.0 8860.8定价选项4460 4607 2732 2851是通用的。然而，由于观察到的价格在很短的时间内往往高于理论价格，因此从价格较低的数据集期权中剔除价格似乎是不合理的，因为在大多数情况下，数据集期权的到期时间也很短，然后再加上到期时间等于零的期权。换句话说，扩展过程应该只在必要时应用于完整的数据集，这就是我们要做的。经验结果如表8所示。附录。1隐含波动率对分割的敏感性我们将自己置于著名的Black-Scholes环境中。

让我们用C表示欧洲看涨期权在派息股票上的价格，所以C=Se-qtΦ（d+）- 柯-rtΦ（d）-),其中d+：=log S/K+R- q+σ/2tσ√t、 d-:= d+-σ√t、 回想起来-qtφ（d+）=Ke-rtφ（d）-), （4） 立即获得Cq=-谢-qtΦ（d+）。此外，还有一个问题Cσ=√谢-qtφ（d+）。特别是，表示函数（q，σ）7→ 同样，仅通过C（即将所有其他参数视为常数），隐函数定理暗示，对于任何q，σ，都存在一个函数：R+→ R+（被解释为隐含波动率），使得σ=（q），C=C（q，（q）），以及q（q）=-Cq（q，σ）Cσ（q，σ）=√tΦ（d+）φ（d+），其中d±=d±（q，σ）。为了方便读者，我们将证明（4），它显然与ke（r）等价-q） t=φ（d）-)φ（d+）=expD-- d+/2.,因此也有tolog（S/K）+（r- q） t=d-- d+=（d）-- d+（d-+ d+。这个恒等式可以通过直接计算进行验证，从而显示（4）的有效性。参考文献[1]Y.Ait Sahalia和A.W.Lo，《金融资产价格中隐含的国家价格密度的非参数估计》，金融期刊53（1998），第2期，499-547页。[2] Brendan K.Beare和Lawrence Schmidt，《定价核心单调性的实证检验》，《应用计量经济学杂志》第31期（2016），第2期，第338–356页。[3] H.J.Bierens，回归函数的核估计，计量经济学进展（T.F.Bewley，ed.），剑桥大学出版社，1987年，第99-144页。[4] P.Carr，H.Geman，D.B.Madan和M.Yor，《列夫过程的随机波动性》，数学金融13（2003），第3期，345-382页。1995年283年（2005年a:91054）[5]吴炳良，有限矩对数稳定过程与期权定价，金融期刊58（2003），第2753-777期。[6] M.Chernov和E.Ghysels，《为期权估值目的对客观和风险中性指标进行联合估计的统一方法研究》，金融经济学杂志第56期（2000年），第。

3, 407 – 458.[7] M.Gr ith，W.K.H¨ardle和M.Schienle，《风险中性密度的非参数估计》，计算金融手册，Sprin ger Handb。计算机。《海德堡斯普林格统计》，2012年，第277-305页。2908476[8]Jens Carsten Jackwerth和Mark Rubin stein，从期权价格中恢复概率分布，金融杂志51（1996），第5期，1611–1631。[9] O.Kallenberg，《现代概率基础》，第二版，斯普林格·维拉格，纽约，2002年。1876169先生（2002m:60002）[10]I.Karatzas和S.E.Shreve，《数学金融方法》，斯普林格·维拉格，纽约，1998年。MR1640352（2000e:91076）[11]D.B.Madan，P.Carr和E.C.Chang，方差伽马过程和期权定价。，《欧洲金融评论2》（1998），第79-105页。[12] E.A.Nadaraya，《关于估计回归、概率论和ITS应用》第9期（1964年），第1期，141-142页。[13] F.P.Preparata和M.I.Shamos，计算几何，斯普林格·维拉格，纽约，1985年。805539【14】J.V.Rosenberg和R.F.Engle先生，《经验定价内核》，金融经济学杂志64（2002），第3341–372期。[15] K.Sato，列维过程和不完全可分分布，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。MR1739520先生（2003b:60064）[16]B.W.Silverman，统计和数据分析的密度估计D，伦敦查普曼和霍尔，1986年。848134先生（87k:62074）[17]A.B.Tsybakov，非参数估计导论，纽约斯普林格，2009年。2724359先生（2011g:62006）[18]G.S.沃森，平滑回归分析，Sankhy\'a：印度统计杂志。A系列26（1964），359-372。