尽管如此，瞬态冲击的比例几乎是准确的，主要的时间尺度是确定的。模拟2是用一个mo no指数传播器生成的，弹性速度ρmonoiss被略微低估；然而，这个参数不如λ稳定，我们认为bta的精度是合理的。在第二种情况下，我们发现的波动率和回归值分别非常接近于0%和100%。4.3法国巴黎银行表4、5和6以及图1、2和3显示了我们对2012年2月至2013年9月期间法国巴黎银行股票的估计结果。Ladj（sec）0 2 4 6rmulti（2012）24.572%24.675%24.677%24.672%rmulti（2013）10.607%10.674%10.668%10.649%表4：对法国巴黎银行的多指数弹性曲线进行了重新评估，评估结果为几次市场调整滞后Ladj=0,2,4,6秒。马克类型单位成交量价格跳跃LMONO（2012）2.6804 2.6826 2.6791Lmono（2013）2.5772 2.5794 2.5750表5：法国巴黎银行股票的单指数霍克斯模型的每点对数可能性，针对几种类型的标记进行评估：单位、成交量和价格跳跃（见等式（34））。2012年2013Ladj（sec）4 2。69 2.99ρmulti60 60/360λmulti0。61 0.30/0.53ν0。39 0.17σ0。22530.2153rmulti24。677%10.674%γ-mono2。70 2.56ρmono60。8116.5λmono0。620.80σmono0。22530.2153rmono24。2012年678%10.688%2013年市场类型交易量βmulti6/360 6/360WMULIT0。010/0.990 0.011/0.989κ∞15。1 12.1φsmulti112。8/18.4 115.4/15.7φcmulti50。4/2.1 46.4/0.9Lmulti2。7720 2.6708β-73。0 114.1κ∞13。9 14.0φsmono38。3/6.2 58.5/8.0φcmono17。1/0.7 23.5/0.5Lmono2。6826 2.5794BR 0.820 0.810DBR 0.351 0.380表6:2012年9月1日至2013年9月1日上午11点至下午1点期间法国巴黎银行股票弹性（左）和强度（右）的校准。

对于φ，第一个是常数项，第二个是线性项。让我们首先看看传播者的估计结果。表4和图2显示，第3.3.1节中定义的调整滞后是正的，因此传播因子在接近零的位置增加。估计结果为Ladj=4秒。2012年，Ladj=2秒。2013年，图2（a）中增加的部分持续时间比图2（b）中更长。表6中给出的参数γ调整了propa gator在增加阶段结束时达到的最大值。我们发现结果介于2和3之间。这意味着，平均而言，在大宗交易之后，不仅出价接近受影响的价格（这将产生γ）≈ 2） ，但新的最佳排队的取消也将价格推向与交易相同的方向。在其短增量部分之后，传播器切换到表6和图1所示的恢复模式。无约束弹性曲线非常平滑，从图1可以看出，它变得更加精确，让我们考虑一个购买订单，它增加了一个勾号的要求。然后，中间价跳了半个基点。如果出价很快跟随ask并增加一个滴答声，这将再次向上移动半滴答声的中间，这将给出γ=2.0 2 4 6 8 100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（min）弹性曲线（a）20120 2 4 6 8 100.0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 3滞后（min）弹性曲线（b）2013图1:BNP Paribas的估计传播者。平面线是无约束传播子，（蓝色）虚线是单指数弹性曲线，（绿色）点线是多指数弹性曲线。对永久性影响的非零比例(≈ 2012年和2012年为40%≈ 2013年为20%）。

此外，表6中给出的结果表明，在该数据集上，恢复力的mo no指数效应良好。对于2012年，在多指数估计中仅选择SP eedρ=60（即一分钟的特征时间尺度）。另一方面，2013年，有两种选定的速度（对应于1分10秒），但ρmono=116.5（约30秒）的单指数函数产生了更高的回归r。这些主要特征时间尺度促使使用第2.3节中考虑的优化策略的特定情况。现在我们重点讨论霍克斯参数的估计结果。表5对体积标记的选择进行了调整：事实上，与单位标记和价格标记相比，它们每点产生的可能性更高。单位标记是霍克斯流程的基准模型，但它们无法再现大订单引发市场更多活动的事实。实际上，我们在表6中看到，自激参数φ和交叉激振参数φchave是不可忽略的线性部分（10- 自励15%，自励2%- 5%用于交叉激励）。至于价格标记，我们认为它们提供的信息比数量标记多，因为价格跳跃集中在几个值上（大多数情况下是一个或两个刻度），而数量的分布则更宽。霍克斯参数似乎相当稳定，尤其是在多指数情况下，2012年和2013年的估计结果非常相似。为强度选择了两种衰减速度，它们是两种极端的：长程β=6（10分钟）和短程eβ=360（10秒）。每个时间尺度β的重要性可以通过它所占的范数的比例来衡量，给定nbywi/βiPjwj/βj。这里，长程分量β=6表示≈ 正常值的40%，剩下的60%为短程1β=360。

因此，衰减速度很重要，这也反映在从单指数模型的对数似然每点到多指数模型的对数似然每点显著增加上。可以推断，与传播子相反，霍克斯核至少包含两个指数分量。图3给出了数据、单指数霍克斯模型和多重0 5 10 15 200.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（秒）缩放传播者（a）20120 5 10 15 200.0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（秒）缩放传播者（b）2013图2:BNP Paribas传播者曲线前20秒的Zoo m。平面线是无约束曲线，（蓝色）虚线是无指数曲线，（绿色）点虚线是多指数曲线。在恢复力效应开始之前的几秒钟内，传播速度不断增加。通过事件数量的自相关指数。经验自相关函数bc（k）的公式由等式（35）给出。利用方程（12）和（14），我们得到，如果h>0为小且τ>0，则bC（τ/h）近似于总强度过程∑t的自相关函数C（τ）/C（0）。对于多指数Hawkes核，一个hasbC（τ/h）≈C（τ）C（0）=pXj=1ajPkakexp(-bj |τ|），其中系数a，···，ap，b，···，bp>0由命题2.1确定。从图3可以看出，mo-no-expo指数模型很好地拟合了曲线的末端，但其初始衰减太慢。另一方面，多指数模型确实显示了两种衰减速度之间的过渡，并且更好地捕捉了曲线的短程行为。

尽管如此，该函数的精度仍不太令人满意，而且自相关函数形式似乎比多指数函数形式更微妙。最后，我们将校准结果与第2.2节中因模型中没有价格操纵策略而得出的条件相比较。用方程式（16）来确定我们的参数集与平衡的偏差在实践中是复杂的。另一方面，方程式（18）给出了一个更简单的标准：方向分支比DBR和比例1-瞬时冲击的ν应相等，以排除PMS。这里，标准分支比率BR≈ 80%是高的，但定向分支比率DBR≈ 4 0%相当低，这是由于订单流中不可忽略的交叉激励部分。这意味着平衡条件是从1开始的-ν ≈ 2012年和2012年为60%-ν ≈ 2013年为80%。从1-在这两种情况下，我们发现价格过程平均而言是均值回复，而不是差异。这将导致PMS在实践中的存在，这是第5.4.4节总计的目标。表7、8和9给出了我们对2012年1月至9月和2013年1月至9月期间法国股票总计的估计结果。结果的定性解释与第4.3节类似。然而，我们应该注意以下几点。2事件数的0.5 1.0 2.0 5.00.01 0.02 0.05 0.10 0.20滞后（分钟）AC函数（a）20120.2 0.5 1.0 2.0 5.00.01 0.02 0.05 0.10 0.20滞后（分钟）AC事件数的函数（b）2013图3:BNP Paribas在对数标度内由交易（平线）触发的中点移动数的自动关联函数。

（蓝色）虚线是由mono-e xponentialHawkes模型生成的自相关，（绿色）点虚线是由多指数Hawkes模型生成的。Ladj（sec）0 2 4 6rmulti（2012）23.093%23.166%23.137%23.108%rmulti（2013）11.604%11.613%11.608%11.606%表7：多指数弹性曲线的回归，针对多个市场调整进行评估总存量的Ladj=0,2,4,6秒。表9中可观察到的点。首先，我们注意到，单指数传播子和多指数传播子之间没有显著差异。在这里，与法国巴黎银行的情况相反，在两个时间尺度下，情况稍好一些。第二，分支比率BR≈ 60%和定向分支比DBR≈ 总的来说，30%的比例较小，而1- 瞬时影响（2012年为84%，2013年为92%）更高，这意味着价格具有更强的均值回归趋势。马克类型单位数量价格跳跃LMONO（2012）2.2981 2.3034 2.2965Lmono（2013）2.2065 2.2127 2.2063表8：单指数霍克斯模型的每点对数可能性，针对几种类型的市场进行评估：单位、数量和价格跳跃（见等式。

（34）），用于股票总额。2012年2013Ladj（sec）2。72 2.21ρmulti60/360 6/120/360λmulti0。29/0.55 0.004/0.651/0.268ν0。16 0.08σ倍数0。1400 0.1124rmulti23。166%11.613%γ-3。842.65ρ187。2191.3λmono0。840.93σmono0。1399 0.1123rmono23。132%2012年11.586%2013年市场类型交易量βmulti120/360 6/60/360WMULIT0。052/0.948 0.010/0.035/0.955κ∞多重21。0.9.7φ98。7/21.7 84.5/18.5φcmulti44。3/3.9 36.5/0.7L倍数2。3801 2.2842β-93。0 109.1κ∞mono9。2.9.0φsmono43。5/9.6 47.4/10.4φcmono19。5/1.7 20.4/0.4Lmono2。3034 2.2127BR 0.517 0.688DBR 0.222 0.323表9：2012年1月至9月至2013年1月至9月期间，上午11点至下午1点，库存总量的恢复力（左）和强度（右）校准。对于φ，第一项为常数项，第二项为线性项。5.对一些价格操纵策略的测试在本节中，我们将[1]和定理2.2中导出的最优策略应用于我们的数据集，并使用我们的校准协议获得的参数。基本上，我们每天都以零初始和最终位置运行策略。如果模型是相关的，那么平均而言，这应该会带来一些好处。此回溯测试用于实际评估我们的校准结果和模型本身。5.1最优策略的缩放和离散化最简单、最自然的方法是使用最优策略（23），即考虑[0，t]的离散子集Θ（可能由停止时间组成），并为每个时间t进行交易∈ Θ量ξst，T=-[1+ρ（T）-t） [qsDt+Xt2+ρ（t）- t） +m2ρ×(1, ··· , 1) .Ip+ρ（T）-t） 2+ρ（t）-t） ×[ζ（（t- t） H）+νρ（t）- t） ω（（t）- t） H）]. sδt, （36）如果s=1，则（23）在t+中保持不变。

这里，δt=κ+t（i）- κ-t（i）iI强度不平衡的矢量，并使用以下公式计算D dt=Xτ≤TMτ[G（t）]- τ) - G(∞)].为了调整战略的杠杆作用及其在市场上的离散性，我们引入了一个比例因子s∈ [0,1]乘以δtand Dt。通过这样做，我们将整个战略与标准d Obizhaeva和Wang[24]清算方案的偏差乘以s。后者是静态的，因为它假设观察到的价格过程总是鞅。因此，极限s=0对应于静态策略，而s=1是定理2.2给出的最佳策略，在标准市场条件下可能非常激进。事实上，使用s=1的最优策略可能会导致买卖数量超过第一个队列的s ize，这是不现实的。5.2方法为了在实践中对策略进行回溯测试，我们在观察中间价变动时选择更新我们的头寸。让我们定义Θ={θ∈ (RW，T），θ- τ（θ）>Ladj}，其中θ对应于由于取消和被动限价指令而导致的价格上涨的时间，τ（θ）是由于θ之前的交易而导致的最后一次价格上涨的时间，RW是第3.3节中定义的回归窗口，Ladjis是市场调整滞后。时间t时s策略的位置∈ [0，T]由xst=Xθ给出∈Θξsθ，T.在时间T，我们用交易结束头寸XsT=-XsT。时间范围仍然是T=2小时，其中T=0对应于上午11点，T=T对应于下午1点。我们选择在[RW，T]而不是[0，T]，因此δ和dt的值≥ 可以准确地计算。此外，对于每一次τ∈ (RW，T）在这里，价格因为交易而上涨，我们不在时间间隔[τ，τ+Ladj]上交易。

事实上，市场调整的滞后时间与在交易清空最佳出价或最佳出价后，出价-要求成交所需的时间大致相当。在买卖成交之前，以中间价（甚至是中间价±1.5分）交易是没有意义的，如果我们允许的话，我们会特别提高策略的表现。然而，模拟数据不需要这个约束，我们为其设置了Θ={θ∈ (RW，T）}。我们假设，由于该策略对市场价格的有效影响可以忽略不计，扩展s很小。虽然这是一个近似的假设，但它允许我们在假设我们可以以观察到的价格进行交易的情况下，对策略进行回溯测试。在本节的后续部分中，我们将为单指数和多指数Hawkes decaykernels以及几种股票应用最优策略。我们用一张表格和几张图表总结了每种股票的结果。Wenote Yi是策略在第一天制定的绩效∈ {1，···，n}，Yn=nPni=1yi经验平均值，sn=n-1Pni=1[Yi-Yn]每日利润的经验方差。表ar e中给出的值o战略夏普的年度夏普比率=√n×YnpSn.o日增益概率的经验正概率、偏斜和峰度=nnXi=1{Yi>0}，Skew=nPni=1[Yi-恩，库托=nPni=1[Yi-Yn]Sn。sca ling s的选择对这些结果没有影响，因为上面的所有值对于策略乘以一个正常数是不变的。因此，只有图形的单位会因缩放而改变，我们fix s=0.001。

通过这种选择，单个交易的交易量永远不会超过最佳出价/请求队列平均交易量的5%，这使得我们的玩具回溯测试没有影响是合理的。对于每个股票和每个时期，我们还评估了如果用两个独立的复合泊松过程对交易进行建模所得到的“泊松策略”，这相当于施加κ+t≡κ, κ-T≡ κ，因此κ+t-κ-T≡ 0 . 更准确地说，我们用t交换∈ Θ（与霍克斯模型的时间网格相同）量ξst，T=-[1+ρ（T）-t） [qsDt+Xt2+ρ（t）- t） 。该策略完全基于均值回归，趋势跟踪部分消失。对于Hawkes和Poisson策略，我们在ta-bles中给出了半滴答的买卖成本对结果的影响。这与该策略的更现实的实施相对应（该策略应在最佳状态下交易，而不是在中点），我们认为，在大多数情况下，这有助于防止价格操纵策略（夏普比率接近于零，甚至为负）。作为b enchmark，我们还在表10和11中展示了这些策略对模拟数据的结果。从理论上讲，这些策略可以达到什么样的效果。我们的发现如下。在模拟数据上，这些策略所产生的效果是明显的，并且仍然显著，只需半个勾号。在实际数据上，所有测试的夏普比率均为正值，这表明该模型并未超出预期范围，并捕捉到了实际市场流动的一些特征。然而，这些比率低于模拟数据的比率，当我们考虑到任务差价时，这些比率可能会变为负值。

不同的是，使用均值回复和趋势跟踪策略的市场参与者已经利用了我们的模型描述的大部分套利机会，并且在现实市场条件下对我们的最优策略进行回溯测试不会产生显著的收益。在处理市场影响和买卖价差时，这从某种程度上证明了理论假设的正确性，即考虑一个没有PMS的市场。现在，让我们比较一下表12和表13中使用的不同策略。这三种策略的结果非常相似，而且没有一种策略的表现优于其他策略。直觉上，这意味着该策略的主要组成部分是均值回复策略（这在泊松和霍克斯策略中很常见），而紧随其后的策略贡献较小。表6和表9中的统计事实证实了这一点，其中方向分支比DBR远低于瞬态冲击λmono=1的比例- ν、 5.3模拟数据表10和11给出了应用于模拟数据的最佳策略的结果。模拟参数与第4.2节相同（见表2和表3），两个数据集由150个独立的两小时窗口组成。在表10和表1中，第一列和第四列分别包含使用霍克斯模型的真实模拟参数计算的策略结果，第三列和第四列包含霍克斯参数估计的结果。在这两种情况下，弹性都是估计的单指数曲线，因为只有在这种情况下才明确知道最优策略。西木年+出价要求Calib+投标文件askSharpe（Multi）6.759 3.225 6.764 3.176 Proba。（多重）74.0%63.3%74.0%63.3%倾斜（多重）0.55 0.23 0.57 0.24峰度（多重）4.19 4.03 4.22 4.05夏普（单声道）- - 6.308 3.371概率。（单声道）- - 74.0%62.7%倾斜（单声道）- - 0.47 0.20Kurto。

（单声道）- - 4.11 3.97夏普（泊松）- - 6.630 3.735罗伯。（泊松）- - 73.3%64.0%倾斜（Po isson）- - 0.43 0.18库托。（泊松）- - 3.88 3.80表10：应用于模拟1数据的最优策略的结果统计（表2的模拟参数）。西木年+出价要求Calib+投标书askSharpe（Multi）33.268 27.095 32.302 25.769Proba。（多）100.0%100.0%100.0%99.3%倾斜（多）0.50 0.51 0.52 0.54峰度（多）3.22 3.35 3.25 3.40夏普（单）- - 34.940 28.605概率。（单声道）- - 100.0%100.0%倾斜（单声道）- - 0.45 0.46库托。（单声道）- - 3.19 3.31夏普（泊松）- - 34.986 28.681概率。（泊松）- - 100.0%100.0%倾斜（Po isson）- - 0.44 0.45库托。（泊松）- - 3.12 3.25表11：在模拟2数据上应用的最优策略的结果统计（表3的模拟参数）。5.4巴黎银行年份为2012年+bid ask IS 2013年+bid ask OS 2013年+bid as kSharpe（Multi）1.382- 0.6752.4540.7252.2480.418Proba。（多元）65.9%56.5%61.3%47.1%58.1%48.2%倾斜（多元）-2.02-2.40 3.65 3.34 4.48 4.14峰度（多峰）19.02 19.94 29.40 27.71 36.96 34.65夏普（单峰）1.26 3-0.7132.5360.7712.4300.563概率。（单声道）62.9%57.1%62.3%48.2%58.1%49.7%倾斜（单声道）-1.89-2.30 2.94 2.61 3.5 6 3.21Kurto。（单声道）16.64 17.68 23.27 21.90 26.74 24.87夏普（泊松）1.056-0.849 2.5888 0.8077 2.513 0.630概率。（泊松）65.3%55.9%61.3%49.7%60.2%49.2%歪斜（Po-isson）-2.72-3.07 3.09 2.76 3.94 3.58库托。（Poisson）23.46 24.68 24.41 22.82 31.13 28.86表12:2012年2月至2013年1月至9月期间，法国巴黎银行在11.30 A之间每天应用的最佳策略的结果统计。m、 1便士。m、 前两列为样本结果，即用于校准模型的数据与评估数据相同。第三列给出了样本外结果，即。

我们根据2012年的数据对模型进行了校准，以将该策略应用于2013年的数据。0 50 100 150-1000-500 500 1000天策略（a）在mi dprice0 50 100 150交易的累积收益-1000-500 500 1000天该策略的累积收益（b）半滴答罚款图4：2012年2月至9月期间，法国巴黎银行在11.30 A之间每天应用该策略的累积收益。m、 1便士。m、 （红色）长虚线表示泊松模型的性能，（蓝色）虚线表示单指数霍克斯模型，（绿色）点虚线表示多指数霍克斯模型。左图：我们允许策略以中间价交易。右图：我们采用半个勾号的后验线性成本惩罚来解释买卖价差。收益直方图策略频率的每日收益-100-50 0 500 10 20 30 40 50 60 70（a）收益的单指数霍克斯直方图策略频率的每日收益-150-100-50 0 500 20 40 60 80（b）多指数鹰派图5:2012年2月至9月期间，在11.30a之间，法国巴黎银行采用的策略的每日收益直方图。m、 1便士。m、 左：单指数霍克斯模型。右图：多指数霍克斯模型。0 50 100 150-2000-1000 1000 2000天策略（a）在mi dprice0 50 100 150交易的累积收益-2000-1000 0 1000 2000天该策略的累积收益（b）半滴答罚款图6：法国巴黎银行在2013年1月20日期间，每天11:30之间，应用于该策略的累积累积收益。m、 1便士。m、 （红色）长虚线表示泊松模型的性能，（蓝色）虚线表示单指数霍克斯模型，（绿色）点虚线表示多指数霍克斯模型。左图：我们允许策略以中间价交易。

右图：我们采用半个勾号的后验线性成本惩罚来解释买卖价差。收益直方图策略频率的每日收益-100-50 0 50 100 1500 20 40 60 80（a）收益的单指数HawkesHistogram战略频率的每日收益-100-50 0 50 100 150 2000 20 40 60 80（b）多指数鹰派图7:2013年1月至9月期间，在11.30 A之间，法国巴黎银行采用的策略的每日收益直方图。m、 1便士。m、 左：单指数霍克斯模型。右图：多指数霍克斯模型。5.5 TotalYear为2012年+bid-ask为2013年+bid-ask OS 2013年+bid-ask为kSharpe（Multi）0.067- 0.763 2.697 1.016 2.794 1.224概率。（多元）57.8%44.3%66.0%51.8%65.4%51.8%倾斜（多元）-9.34-9.62 6.38 6.37 5.94 5.97峰度（多峰）114.76 117.75 62.86 65.85 53.84 57.93Sharpe（单峰）0.12 6-0.770 2.795 1.191 2.76 0 1.099概率。（单声道）59.4%44.8%66.0%52.4%65.4%52.4%倾斜（单声道）-9.52-9.82 6.01 6.02 6.1 8 6.18库托。（单声道）118.29121.7755.5459.3059.2062.65Sharpe（泊松）0.001-0.810 2.807 1.259 2.790 1.224概率。（泊松）57.8%43.8%65.4%50.8%65.4%50.8%歪斜（Po-isson）-9.33-9.59 5.96 6.00 6.04 6.08库托。（泊松）11 4.39 116.97 53.37 57.35 54.90 58.87表13:2012年1月至9月期间，在11.30 A之间每天对Total应用的最佳策略的结果统计。m、 a和1p。m、 前两列为样本结果，即用于校准模型的数据与评估数据相同。第三列给出了样本外结果，即我们在2012年数据上校准模型，在2013年数据上应用s策略。6结论在本文中，我们通过允许传播子和Hawke核的更一般形式，扩展了[1]的理论模型。

此外，我们还推导了在传播子和霍克斯部分都具有多指数衰减的情况下，Huberma n和Stanzl[20]中排除价格操纵策略的条件。这使我们能够推导出一般完全单调核的传播子和Hawkes核之间的一些有趣的联系。此外，当价格传播子为单指数且Hawkes核为多指数时，我们仍然可以作为一个闭合公式得到最优策略。这有一些实际意义，因为pr-opagator似乎很好地近似于一个指数，而hawkes-dec-ay内核显然包含几个特征时间序列。我们还介绍了模型的校准协议，该协议适用于法国股票的逐点数据。结果表明，该模型在很大程度上解释了价格差异。长程传播因子是一条平滑衰减的曲线，但短程部分在几秒钟内增加（这与大交易后买卖需要结束的时间相对应）。关于霍克斯过程（Hawkes process）对交易流量建模的估计，我们得到了显著偏离零的激励参数，这尤其表明流量不是泊松的。此外，我们还发现，交易间激励的主要驱动力是交易量，而不是价格波动。在实践中违反了预防PMS的鞅条件，特别是定向分支比瞬时价格影响的比例小。因此，在我们的数据集中，价格具有显著的均值回复趋势。一系列回溯测试表明，往返旅行使用的最佳策略平均而言是可支持的，因此该模型对中价变动做出了相关预测。

然而，交易成本水平与竞价价差的宽度相适应，使得利润接近于零。这证实了一个自然的观点，即在这种频率下，价格操纵策略的存在源于市场影响和买卖成本。我们最终在研究中得出了一些应用和观点。第一个简单的应用是通过使用给定（可能是随机）时间gΘ上的大宗交易（36），使用校准模型进行最佳执行。与大多数现有模型相反，该策略考虑了交易流量。该模型的另一个可能用途是检测交易感兴趣的瞬间。事实上，等式（46）给出了无n交易的（理论）瞬时成本。例如，只有当成本高于某个阈值时，才可以决定交易，或者优化成本和交易成本之间的权衡。这种策略在实践中可能会很有趣，但需要根据市场数据进行彻底调查。现在让我们考虑一下我们工作的一些可能扩展。首先，在一整天而不是两小时的时间内处理模型的校准是很有趣的。由于开盘和收盘之间交易活动的日内变化，这当然很困难。第二，将买卖价差等成本纳入我们的模型交易中会很好。les的雄心勃勃的目标至少是修改我们的最佳执行策略，以一种巧妙的方式降低交易成本，或许可以使用上述等式（46）。参考文献[1]奥列恩·阿方西和皮埃尔·布兰科。混合市场影响霍克斯价格模型中的动态最优执行。arXiv预印本arXiv:1404.0648v2，即将出版的《金融与随机》，2014年。[2] 奥列安·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·席德。具有一般形状函数的极限顺序优化执行策略。

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那样的话^G≡ 0，因此^Pθ（π）≡ 0和E（π）=2XRW<θ<T^Pθ（π）。^Pθ（π）对于任何π都是正定义。而且，在这种情况下，^G不依赖于参数π的当前值，π=π-E（π）-1.E（π）是任意π的误差E（π）的最小值。因此，当传播子线性化时，算法的起点并不重要，一步就足以找到最优值。A.1无约束传播子我们考虑无约束传播子^G（t）=gl[tl，RW[（t）+l-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t），带l≥ 2,0=t<t<···<tl固定椎间盘再结晶时间，g=1和π=（g，··，gl）∈ [0, +∞)l需要估计的一维参数。^G w.r.t.π的依赖性是线性的，我们只需要计算梯度：^G（t）gi=ti+1- tti+1- ti[ti，ti+1[（t）+t- 钛-1ti- 钛-1[ti-1，ti[（t）代表1≤ 我≤ L- 1.^G（t）gl=[tl，RW[（t）+t- 热释光-1tl- 热释光-1[tl-1，tl[（t）.A.2多指数曲线在本节中，我们考虑多指数弹性曲线^R（t）=ν+pXi=1λiexp(-ρit）和传播子^G（t）=1+（^R（Ladj）- 1） 特拉德{t≤Ladj}+R（t）{t>Ladj}，由Ladj的R决定≥ 0预先确定。^G的依赖性是线性的w.r.t.参数如果且仅当ρi是固定的。A.2.1单位多指数曲线“单位”多指数回弹曲线是指ν=1的情况-Ppi=1λ。这就产生了^R（t）=1-pXi=1λi（1- 经验(-ρit），参数π=（λ，···，λp，ρ，··，ρp）是2p维的。一个是给我的，j∈ {1，··，p}，^R（t）λi=-{1 - 经验(-ρit）}，^R（t）ρi=-tλiexp(-ρit），^R（t）ρi=tλiexp(-ρit），^R（t）ρiλi=-经验(-ρit），^R（t）λiλj=0，^R（t）ρiρj=0，^R（t）λiρj=0，如果i6=j.A.2.2一般多指数曲线，如果我们放松条件，则ν=1-Ppi=1λiso如果^R（0）c可以大于1，我们得到^R（t）=ν+pXi=1λiexp(-ρit），带ν≥ 0，λi≥ 0

参数π=（ν，λ，··，λp，ρ，··，ρp）是（2p+1）维的。gradientand Hessian由以下公式给出：^R（t）ν= 1 ,^R（t）ν= 0,^R（t）νλi=0，^R（t）νρi=0，^R（t）λi=exp(-ρit），^R（t）ρi=-tλiexp(-ρit），^R（t）ρi=tλiexp(-ρit），^R（t）ρiλi=-经验(-ρit），^R（t）λiλj=0，^R（t）ρiρj=0，^R（t）λiρj=0如果i 6=j.B霍克斯强度的最大似然估计霍克斯参数的估计，如第3.4节所示，采用最大似然估计。霍克斯过程中使用MLE是众所周知的，例如见Ozaki[25]，Da Fonseca和Zaatour[12]最近在类似的财务框架中考虑了hasbee n。在这一节中，我们给出了Hawkes过程的对数似然公式，并导出了它的梯度和Hessian矩阵，这是使用Newton-Raphson算法所必需的。我们定义了跳跃过程J+t=P0<τ<t{Nt>0}和J-t=P0<τ<t{Nt<0}，即J+（分别为J-)当N+时使单位跳跃（分别为N-) 跳跃。假设我们在时间间隔[0，T]上观察这个过程的实现，并且我们希望在[T，T]上最大化它的对数可能性，使用T∈ [0，T）.有条件地（κ±T）T∈[0，T]，轨迹的对数似然（J±T）T∈时间间隔[t，t]上的[t，t]是（见[13]，第三节命题7.2）ln L（J±|κ±）=ZTtln（κ±）-) dJ±t-ZTtκ±tdt+T.（37）此外，有条件地到（κ+T，κ-t） t∈[0，T]，模型isln L（J |κ）=ln L（J+|κ++ln L（J）的全局对数似然-|κ-). （38）我们现在计算ln L（J+|κ+）。由于我们不知道时间t=0之前过程的历史，因此不可能使用方程（5）计算κ+t，因为它需要知道所有的跳跃。然而，合理的近似是选择t∈ （0，T）使U≥ t、 K（u）<< 1，哪个是雅思κ+t≈ κ∞+X0<τ<tK（t- τ ){Nt>0}~ns(新台币（元）+{Nt<0}~nc(-新台币（元）（39）对于t∈ [t，t]。

让我们在本节的续集中假设（39）可以被认为是一种品质。我们定义τ=0和τi，i≥ 1 N+和N的有序组合跳跃时间-关于[0，T]，且χ（T）=max{i≥ 0，τi≤ t} 弗特∈ [0，T]。我们还定义了≥ 1θ+i=~ns(N+τi/m）k+i+c(N-τi/m）k-i、 其中，如果τ是N+的跳跃时间，k+i=1，否则k+i=0，k-iis的定义与N类似-. 一个是哈斯特∈ [t，t]κ+t=κ∞+χ（t）Xj=1θ+jK（t- τj）。区分t前后的跳跃，我们得到zttκ+tdt=κ∞（T）-t） +χ（t）Xj=1θ+j[K（t）-τj）- K（t）- τj）]+χ（T）Xj=χ（T）+1θ+j[K（T）-τj）- K（0）]，（40）其中Kis是K的反义动词。让我们转向log likeliho od的另一项。我们为i设置A+=0≥ 2A+i=i-1Xj=1θ+jK（τi）- τj），我们有zttln（κ+t）-) dJ+t=χ（t）Xi=χ（t）+1k+ilnκ∞+ A+i. （41）我们有来自（38）、（37）、（40）和（41）的对数似然ln L（J+|κ+）的显式表达。因此，可以在一组离散的点上进行评估，例如通过网格搜索来估计一个或多个参数。现在，为了使用牛顿-拉斐逊算法最大化可能性，还必须确定LNL（J+|κ+）的梯度和海森矩阵。对于给定的φs，φc和K的参数化，我们注意到π是一个任意参数，我们有 ln L（J+|κ+）κ∞=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iκ∞+ A+i- （T）- t） ,， ln L（J+|κ+）π=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iπA+iκ∞+ A+i-χ（t）Xj=1π{θ+j[K（T）]-τj）- K（t）- τj]}-χ（T）Xj=χ（T）+1π{θ+j[K（T）]-τj）- K（0）]}，它产生对数似然的梯度。对于Hessian矩阵，让我们注意到π，π′的两个参数（不同的或不不同的）。我们有ln L（J+|κ+）κ∞= -χ（T）Xi=χ（T）+1k+i[κ∞+ A+i]，ln L（J+|κ+）κ∞π= -χ（T）Xi=χ（T）+1k+iπA+i[κ∞+ A+i]，ln L（J+|κ+）ππ′=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iππ′A+iκ∞+ A+i-πA+iπ′A+i[κ∞+ A+i]-χ（t）Xj=1ππ′{θ+j[K（T）]-τj）- K（t）- τj]}-χ（T）Xj=χ（T）+1ππ′{θ+j[K（T）]-τj）- K（0）]}。一旦K已知，且φs、φc、K、K是两倍可区分的w.r.t。

通过参数化，可以直接从递减方程推导出对数似然的梯度和海森矩阵的解析表达式。C多指数Hawkes核函数的最优执行。1定理的证明2.1首先，让我们注意到EhRTWtdXt- WTXTi=0，我们可以在不损失一般性的情况下假设σ=0。我们将价格过程分解如下。我们引入dSNt=νqdNt，dDN，it=-ρiDN，itdt+λiqdNt，dSXt=νqdxt和dDX，它=-ρiDX，itdt+λiqdXt，其中SN=S，DN，i=Di，SX=DX，i=0。我们有pt=PXt+PNt，其中PNt=SNt+pXi=1DN，it，PXt=SXt+pXi=1DX，it。然后，我们可以写出成本（15）asC（X）=Z[0，T）PNudXu- PNTXT+\'C（X），其中\'C（X）=R[0，T）PXudXu+2qPτ∈DX∩[0，T）(Xτ）-PXTXT+2qXT。我们注意到，`C（X）是X的一个确定性函数，并且正是[3]中考虑的成本函数。此外，它还满足了C（cX）=C（X）对C的要求∈ R.通过与[1]中定理2.1的证明相同的论证，我们得到当任意t的Xt=0时，当且仅当PTI为（Ft）-鞅时，不存在PMS。我们现在考虑X≡ 0并在霍克斯模型（9）、（10）和（11）下写出P的鞅条件。我们有dpt=dSt+dDt+σdWt=qdNt-pXi=1ρiDitdt+σdWt=qdNt+σdWt+dtpXi=1Ait，其中it=mqδit- ρiDit，δit=κ+t（i）- κ-t（i）和Nt=Nt- mRtδudu是一个鞅。那么，（Pt）是一个鞅当且仅当几乎肯定是几乎处处的nddt，Ppi=1Ait=0。我们有- ρiAitdt+mqwidIt-λiρiqdNt，其中=Zt（~ns）- νc）（dN+u/m）- （~ns）- νc）（dN-u/m）. （42）特别是dAit=-N的两个连续跳跃τ和τ′之间的ρiAitdt。因此，我们有Ppi=1Ait=Ppi=1Aiτe-ρi（t）-τ=0表示t∈ [τ，τ′），因此所有i的Aiτ=0（t=τ+k（τ′）的等式- τ） p，k∈{0，…，p- 1} 给出了Vandermonde系统）。因此，对于t，我们必须有Ait=0≥ 任何i都是0。

然后，dAit=0给出SMQwi[（s- νc）（dN+t/m）- （~ns）- νc）（dN-t/m）]=λiρiq[dN+t- dN-t] 尽管如此，t≥ 0和我所有的∈ {1，··，p}。因此- 在N±跳跃定律的支持下，c必须是线性的，此外，我们必须i、 （ιs）- ιc）wi=λiρi。这精确地给出了（16）。相反，（16）通过同样的计算确保P是鞅。C.2定理2.2的证明在第（C.1）节中，我们假定σ=0，但不丧失一般性。我们首先介绍一些注释来表示关于最优执行的主要结果。我们定义δit=κ+t（i）- κ-t（i）和∑it=κ+t（i）+κ-t（i）。Fr om（9）、（10）和（20），我们得到δit=-βiδitdt+widIt，d∑it=-βi∑it- 2κ∞/p） dt+widIt，（43）表示所有i∈ {1，···，p}，式中，它=Rt[（~ns+~nc）（dN+u/m）+（~ns+~nc）（dN-[u/m]），并由（42）定义。我们现在完全按照附录B中的[1]进行，这里只给出主线和类似的注释。Weassume不丧失通用性q=1。对于t∈ [0，T]，x，d，z∈ R和δ，∑∈ Rp，我们用C（t，x，d，z，δ，∑）表示当Dt=d，St=z，δt=δ，∑t=δ时，在时间间隔[t，t]内清算Xt=x的最小cos t。我们寻找一个具有以下形式的函数c（t，x，d，z，δ，∑）=a（t- t） （d）- (1 - ν） x）+（z）- νx）+（d- (1 - ν） x）（z）- νx）-（d+z）+（d）- (1 - ν） x）pXi=1bi（T-t） δi+pXi=1pXi=1ci，j（t-t） δiδj+pXi=1ei（t-t） ∑i+g（t）-t） ，（44）带a，bi，ci，j，ei，g:R+→ R连续可微函数。我们有极限条件C（T，x，d，z，δ，∑）=-（d+z）x+x/2=（d+z）- 十）- （d+z）/2，这是签署交易量的成本-x、 我们认为a（0）=，bi（0）=ci，j（0）=e（0）=g（0）=0。对于随机策略X，我们定义了∏t（X）=RtPudXu+P0≤τ<t(Xτ）+C（t，Xt，Dt，Stδt，∑t）。这是策略的成本，在时间t之前等于X，然后是最优的。因此，∏t（X），t∈ [0，T]）必须是次鞅，且当且仅当X是最优的。

我们定义了axt=“Z（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）+tC- ρDtdC-pXi=1βiδitδiC-pXi=1βi（it∑）- 2κ∞/p）∑iC#dt，（45）其中C的导数是taken in（t，Xt，dt，Stδt，∑t）和Z（t，x，d，Z，δ，∑）：=pXi=1[δi+δi]！EC（t，x，d+（1- ν） V，z+V，δ+s-c（Vm）w，∑+~ns+c（Vm）w）- C（t，x，d，z，δ，∑）+pXi=1，∑i- δi]！EC（t，x，d）- (1 - ν） V，z- νV，δ- ~ns-c（Vm）w，∑+~ns+c（Vm）w）- C（t，x，d，z，δ，∑）,和V~ u，~ns-c=νs-νcand k s+c=k s+k c。该过程是连续的，因此∏t（X）-这是一个鞅。给定问题的二次性，我们搜索一个过程AXof the formdAXt=ρ1- νdt×hj（T）- t） （Dt）- (1 - ν） Xt）- Dt+pXi=1ki（T-t） δiti。（46）我们现在引入变量y=d- (1 - ν） x和ξ=z- 用（y，d，ξ，δ，∑）代替（x，d，z，δ，∑）。从（44）和Z的定义，我们有tC（t，x，d，z，δ，∑）=-˙a y- yX˙biδi-XX˙ci，jδiδj-X˙ei∑i- ˙g，- ρddC（t，x，d，z，δ，∑）=-2ρa+ρν1- νdy+ρ1- νd- ρdXbiδi，- βiδiδiC（t，x，d，z，δ，∑）=-βibiδiy- βiδi2ci，iδi+Xj6=ici，jδj,- βi∑i- 2κ∞/p）∑iC（t，x，d，z，δ，∑）=-βiei∑i+2βiκ∞ei/p，Z（t，x，d，Z，δ，∑）=m×2(1 - ν） a+v+v 1- ν+pXk=1αkbk！ypXi=1δi-m1- νdpXi=1δi+pXi=1pXj=1“（1- ν） mbi+2pXk=1ci，kαk#δiδj+pXi=1m×x(1 - ν） a+ν（1）- ν/2) -+ (1 - ν） pXk=1αkbk+αpXk=1pXl=1ck，lwkwl+pXk=1（αk+2wkιc）ek！∑i，其中∧α=E[V×（νs）- ^c（V/m）]，^α=E[（^s]- νc）（V/m）]。现在我们确定方程（45）和（46）的每一项。（等式dy）：-2ρa+ρν1-ν= -2ρ1-νj（等式y）：-˙a=ρ1-νj.这两个方程与[1]中的方程相同，且给定j（u）=2+ρu和a（u）=1- ν2+ρu-ν. （47）（等式δiy）：-˙bi- βibi+Ppk=1αkbk+m×h2（1- ν） a+v+v 1-νi=2ρ1-νjki。（等式δid）：- ρbi-m1-ν= -2ρ1-νki，它产生ki（u）=1-νbi（u）+m2ρ。将其代入（等式δiy），我们得到˙bi=-βibi+Ppk=1αkbk-2ρ1-νj1.-νbi+m2ρ+ mh2（1- ν） a+v+v 1-νi和s ince j/（1）- ν） =a+v/[2（1）- ν） ]我们有˙bi（u）=-βibi（u）+Ppk=1αkbk（u）-ρ2+ρubi（u）+m1-ν×1+νρu2+ρu。

我们把它改写成s˙b（u）=-H-ρ2+ρuIpb（u）+m1- ν×1+νρu2+ρu×（1，·1）, （48）Ip地址∈ Rp×pis单位矩阵与H∈ Rp×pis由（21）给出。为了解方程（48），我们搜索形式为b（u）=2+ρu×[exp(-嗯）。■b（u）]代表u≥ 0.该产量2+ρu×[exp(-嗯）。˙b（u）]=m1- ν×1+νρu2+ρu×（1，·1）,因此，b（u）=m1- ν×（1+νρu）×[exp（uH）。（1，·1）].根据定义（22），我们有经验(-嗯）。Ru（1+νρs）×exp（sH）ds= uζ（uH）+νρuω（uH）表示u≥ 由于b（0）=2b（0）=0，我们得到了b（u）=mu1- ν×2+ρu×[{ζ（uH）+νρuω（uH）}.（1，·1）]. （49）方程（等式：δid）给出了向量函数k（u）k（u）=m2ρ×Ip+ρu2+ρu×[ζ（uH）+νρuω（uH）]. (1, ··· , 1). （50）因此，（46）中涉及的函数j和k是明确的，这保证了最优策略是一个封闭公式。其余的功能ci、j、EIG不在确定最佳策略方面发挥任何作用。通过识别δiδj，∑i中的项和常数项，我们检查它们是否解线性常微分方程组。因此，它们是在R+上唯一确定和定义的，并且成本函数C是定义良好的。这些代码对于运行验证参数也很重要，即检查C是否确实是最佳成本函数，以及策略X是否正确*下面描述的是最佳选项。我们现在确定战略X*使得∏（X）*) 是一个鞅，或等价于*isconstant。方程（46）和（47）YieldAxt=ρ1- νdtדdt- (1 - ν） Xt2+ρ（T）-（t）- Dt+pXi=1ki（T-t） δit#=ρ/（1）- ν） [2+ρ（T）-t） ]dt×(1 - ν） Xt+[1+ρ（T-t） ]Dt- [2+ρ（T）- t） ]pXi=1ki（t-t） δ它.因此，AX*常数为（0，T）当且仅为ifa。s、 ，dt-a.e.on（0，T），（1- ν） X*t=- [1+ρ（T）- t） ]Dt+[2+ρ（t）- t） ]pXi=1ki（t-t） δ。（51）这个方程描述了最优策略。

特别是，我们得到了它的初始跳跃十、*在时间t=0（1）时- ν)十、*= -[1+ρT]qD+x2+ρT+m2ρ×(1, ··· , 1) .Ip+ρT2+ρT×[ζ（th）+νρTω（th）]. δ.式中δ=（δ，··，δp）∈ Rp。