基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

2022-5-8 11:15:59

基于霍克斯的最优执行模型的扩展和校准*2015年6月30日摘要我们为之前的动态执行模型提供了一些理论扩展和校准协议。霍克斯参数和传播因子是根据CAC40股票的财务数据独立估计的。有趣的是，传播者呈现出一种平稳衰减的形式，有一个或两个主要的时间尺度，但只有在几秒钟后，市场才需要在大规模交易后进行调整。基于我们的估计结果，我们推导了多指数H-awkes核的最优执行策略，并在往返数据上进行了回溯测试。我们发现，当以中间价交易时，该策略平均是可预测的，这符合违反的鞅条件。然而，在大多数情况下，当我们将买卖成本考虑在内时，这些利润就会消失。关键词：校准、霍克斯过程、回溯测试、市场影响模型、最优执行、市场微观结构、高频交易、价格操纵。AMS（2010）：91G99、91B24、91B26、60G55、49J15。1简介在过去的五年里，定量金融方面的文献因许多关于执行问题的研究而丰富。其原理如下：考虑一个特定的交易者，他想在时间间隔[0，T]上清算资产的数量。因此，如果XT是时间t的位置，那么X=X且XT+=0:X>0（相应X<0）对应于卖出（相应买入）程序。交易者使用最小预期成本的执行策略，这应该考虑到大型交易对市场价格有影响的事实。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:02

Bertsimas和Lo[8]以及Almgren和Chriss[5]的作品是这一领域的先驱。随后，几位作者提出了对其框架的扩展，如Obizhaeva和Wang[24]，他们考虑了一个包含瞬时价格影响的模型。这一特征允许复制日内价格中观察到的mea n回归。平均而言，当大宗交易影响市场价格时，这种影响的一小部分会随着时间的推移而消失。在阿方西和布兰科[1]中，我们引入了一个模型，其他流动性接受者将同一资产作为largetrader进行交易，并与她分享相同的价格影响。在该模型中，传入交易量由cádlág（rig ht continuous le ft limits）纯跳跃过程Nt描述，市场价格Ptat时间由pt=Xτ<t给出Nτ×νq+1- νqe-ρ（t）-τ ), (1)*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MATHRISK ENPC-INRIA-UMLV，布莱斯帕斯卡大道6号和8号，法国塞德克斯2号马恩拉瓦莱77455号，电子邮件：alfonsi@cermics.enpc.fr, blancp@cermics.enpc.fr.P.Blanc感谢Natixis基金会授予他的博士学位。这项研究还得益于“Risque主席金融家”Risque基金会的支持。其中，时间τ是过程N的跳跃时间，且Nτ=Nτ- Nτ-是时间τ时的有序体的符号体积。因此，q>0是衡量市场流动性的一个指标，ν∈ [0,1]永久影响的比例，ρ>0表示价格瞬时部分的恢复速度。在[1]中，订单流由二维霍克斯过程建模，该过程允许买卖订单之间的自我激励和相互激励。该模型的一个有趣的特点是，它解释了羊群行为和元秩序的分裂，见Bacryand Muzy[7]。也就是说，让N+和N-这是两个不减损的cádlág纯跳跃过程，分别描述了传入买卖订单的数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:06

我们有N=N+- N-, 我们在[1]中提出了N±κ+t=κ的跳跃强度的以下模型∞+Xτ<t{Nτ>0}~nsNτm+{Nτ<0}~nc-NτmE-β（t-τ ), (2)κ-t=κ∞+Xτ<t{Nτ<0}~ns-Nτm+{Nτ>0}~ncNτmE-β（t-τ），（3）其中κ∞≥ 0是N+和N+的共同基线强度-, β是强度的回弹速度，φs，φc:R+→ R+是编码强度反馈的可测量正函数。我们假设阶数是根据平方可积概率定律uonR+分布的独立变量，m=R∞xu（dx）是N跳跃的平均振幅。该价格模型称为MIH，即混合冲击霍克斯。在该模型中，我们为最优清算策略提供了一个封闭形式的解决方案，并确定了一组条件，这些条件包括从模型中排除价格操纵策略（如[20]所述）。这些被称为MIHM（混合冲击霍克斯-马尔廷格尔）条件。[1]中介绍的框架的一个好处是，可以根据财务数据校准模型，而无需进行有效交易（这可能会很昂贵）。人们只需观察市场的指令流和价格过程，并估计其他参与者发布的交易的价格影响，预计这与清算交易者将产生的影响类似。本文的目的是对真实股票数据进行这种校准。这使我们能够评估[1]的理论定价模型的现实性，以及最佳策略在实际环境中的性能。由于我们的主要目标是面对市场数据的模型，我们在模拟上测试我们的校准协议的有效性，并将其数学调整留待进一步研究。许多研究在不同的背景下对霍克斯参数的估计进行了探索（例如，见Bacryet等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:16:10

[6] ，Bouchaud和Hardiman[17]，Reynaud Bouret[26]，Lemonnier和Vayatis[23]）。本文重点介绍了用于模拟金融市场交易引发的价格上涨的标记霍克斯过程，在金融市场中，价格上涨的标记是交易量或价格上涨。与金融中的莫斯-萨维奇模型不同，与交易不对应的价格变动通过传播函数单独处理。传播者价格模型在Gathereal[15]、Alfonsi等人[4]和Gathereal等人[16]、Bouchaud等人[9]和Farmer等人[14]等理论框架中得到了广泛研究。然而，就我们所知，很少有实证研究描述了传播曲线的形式，或者只是渐进的。在这里，我们建议传播子使用Timation协议，并讨论指数和多指数衰减的性质。我们还描述了曲线在第一秒的行为，发现曲线的比例在增加。论文结构如下。首先，我们在第2节中介绍了模型。它将[1]中考虑的方法扩展到了一般的衰变核，同时保留了它的大部分性质。然后，在第3节中，我们描述了我们的数据集和校准方法。特别是，我们将解释如何根据实际考虑稍微修改原始模型。第4节通过模拟验证了我们的校准程序，并讨论了真实股票数据的校准结果。最后，我们在第5节中测试了第2节中描述的最优执行策略的相关性，并讨论了它是否可能构成价格操纵策略，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:13

平均而言，往返旅行是一种可重复使用的旅行。2模型设置鉴于[1]对市场数据的估计，我们通过添加更多参数使模型更具一般性。首先，即使将价格视为过去交易的纯粹结果是有吸引力的，等式（1）可能过于严格，应该增加一些噪音。此外，我们知道，在价格过程中加入鞅不会改变模型的主要结果，见[1]中的备注2.6。第二，我们选择价格和强度的概率为指数，我们可以考虑一个先验的更一般的衰减函数。因此，我们考虑以下价格传播子模型：Pt=qXτ<tNτG（t）- τ） +σWt.（4）过程W是一个独立于N的布朗运动，它考虑了极限阶和对消中的非确定性噪声。参数σ>0调整了该噪声的波动性。函数G:R+7→ R是市场的传播函数，它对两个市场指令之间价格的平均演变进行编码，通过限价指令和取消形成。与之前一样，q>0描述了市场流动性，并允许将G正常化，使G（0）=1。传播子模型与Alfonsi等人[4]和Gatheral等人[16]所考虑的模型相同，并进行了推广（1）。例如，Bouchaud等人[9]和Gathereal[15]都考虑过类似的模型。同样地，我们考虑了广义衰变函数K:R+7→ R+表示N+和N+的强度-. Na mely，我们假设N+和N的跃迁强度-分别由κ+t=κ给出∞+Xτ<t{Nτ>0}~nsNτm+{Nτ<0}~nc-NτmK（t）- τ ), (5)κ-t=κ∞+Xτ<t{Nτ<0}~ns-Nτm+{Nτ>0}~ncNτmK（t）- τ ).K（0）=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 11:16:16

我们还引入了平均自激和平均交叉激∞ιs（v/m）u（dv）和ιc=Z∞νc（v/m）u（dv）。因此，在[1]中提出的模型与指数衰减函数G（t）=e对应-ρtandK（t）=e-βt.通过估计续集中的更多一般函数G（t）和K（t），我们能够评估指数衰减假设的相关性。2.1从建模的角度来看，考虑一般衰变核的模型的马尔可夫规范是非常自然的。不幸的是，它通常倾向于放弃价格过程的马尔可夫性，这在最优执行的环境中很重要。尽管如此，对于完全单调的衰变核，仍然有可能以价格获得马尔可夫动力学。Alfonsi和Schied[3]已经对价格传播者模型进行了研究。考虑到完全单调的核，就等于在R上存在概率测度∧（dρ）和∧w（dρ）*+这样g（t）=ν+（1- ν） ZR+e-ρtλ（dρ），K（t）=ZR+e-ρt~w（dρ）。（6）这里，为了简单起见，我们考虑具有有限支持的概率度量。然后，我们可以假设g（u）=ν+pXi=1λiexp，没有普遍性(-ρiu），K（u）=pXi=1wiexp(-ρiu），（7）注意G和K可能仍然包括不同的衰减速度：只需包括ρi中的所有速度，并在必要时设置一些权重λi，其中为零。0<ρ<·ρp，ν，λi，wi≥ 0，使得ν+Ppi=1λi=1，Ppi=1wi=1。因为我∈ {1，…，p}，我们介绍以下过程Ddit=- ρiDitdt+λiqdNt，（8）dκ+t（i）=-ρi（κ+t（i）- κ∞/p） dt+wi[~ns（dN+t/m）+~nc（dN-t/m）]，（9）dκ-t（i）=-ρi（κ）-t（i）- κ∞/p） dt+wi[~nc（dN+t/m）+~ns（dN-t/m）]。（10）我们还定义了描述价格中的风险影响部分的过程dSt=νqdnt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:19

然后，很容易从（7）、（4）和（5）中检查pt=St+pXi=1Dit+σWt，κ±t=pXi=1κ±t（i）、（11），并且过程（P，S，Di，κ±i））满足马尔可夫性质。备注2.1。在一般设置（4）和（5）中，我们隐式地假设平稳性条件（ιs+ιc）R∞满足K（s）ds<1，G可积，因此可以很好地定义和。自（Pt，St，Dit，κ±t（i）法）以来，在马尔可夫案中不再需要这一点；T≥ 0）由初始条件（P，S，Di，κ±（i））决定。在特殊情况下，对于所有i，Di=0，只有在这种情况下，我们才有Pt=P+qP0<τ<tNτG（t）- τ）+σWt。因此，如果| Di |[G（t）- G(∞)] << 尽管如此∈ {1，··，p}和所有t≥ t、然后是近似值≈ P+qP0<τ<tNτG（t）- τ） +σwtt对于t是合理的≥ t、除了马尔可夫性质，特殊的形式（7）使我们能够明确地计算跳跃次数的自协方差函数，正如霍克斯在[19]第3节中所解释的那样。这种自协方差结构具有经验性，并作为我们校准程序的起点，参见第3.4节。总强度∑t=κ+t+κ-动力学∑t=2κ∞+ ιZt-∞K（t）- s） dJs，其中ι=ιs+ιcis为∑t的平均跳跃大小，dJt=[（ιs+ιc）（dN+t/m）+（ιs+ιc）（dN-t/m）]/ι的跳跃已正常化为统一。我们假设平稳性条件ιR∞K（s）ds<1成立，见[10]中的定理1，强度过程（κ+t，κ-t）处于静止状态。我们考虑了J的微小增量的对称自协方差函数C。它定义为τ>0×C（τ）=limh→0+hE[（Jt+h- Jt）（Jt）-τ+h- Jt-τ)] - 4κ=limh→0+hE，∑t（Jt-τ+h- Jt-τ)] - 4κ，（12）其中κ=κ∞/(1 - ι/β）是κ+和κ的共同平稳平均值-. 正如在[19]中推导的，我们得到了关于C的自洽方程：对于τ>0，C（τ）=2κιK（τ）+ιZτ-∞K（τ）- u） C（u）du。（13）提议2.1。让我们假设K满足w。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:23

，wp>0且平稳性条件ιPpi=1wiρi<1。然后，自协方差函数由c（τ）=pXj=1ajexp给出(-bj |τ|）。τ ∈ R*. （14）系数a，···，Ap和b，···，Bp是正的，确定如下：b<···<Bp是多项式函数P（X）=Qpi=1（ρi）的区别- 十）- ιPpi=1wiQk6=i（ρk- 十）和（ab，··，apbp）=κB-1(1, ··· , 1), 其中B是柯西矩阵Bi，j=ρi-北京。证据然后，方程（13）得出τ>0pXj=1aExp的结果(-bjτ）=2ιpXi=1wiκ -pXj=1ajbj（ρi+bj）（ρi）- （北京）经验(-ρiτ）+ιpXj=1aj“pXi=1wiρi- 北京#经验(-bjτ）。因此，（13）如果我们有j、 ι“pXi=1wiρi- bj#=1，i、 pXj=1ajbjρi- bj=κ。第一个方程式给出了精确的P（bj）=0。因为P（0）>0来自平稳性条件和P（ρl）=-ιwlQk6=l（ρk- ρl）的符号与(-1）通过中值定理，我们得到了0<b<ρ<b<ρ<···<ρp-1<bp<ρp。这些系数是不同的，因此柯西矩阵B是不可测的。设v=B-1(1, ··· , 1): Vi是B的第i行s um-1.根据[27]中的定理2，vi=-A（bi）/B′（bi），其中A（x）=Qi（x）- ρi），B（x）=Qi（x）- bi）。这使得vi>0，因此ai>0。最后，很容易检查（14）是否满足（13）的唯一函数。在单指数情况下，p=1，命题2.1给出了ι=ρ- b、 ab=（ρ+b）（ρ- b） κ，其中yieldsC（τ）=ι（2ρ- ι)2ρ×2κ∞(1 - ι/ρ）×exp(-(ρ - ι） |τ|），正如霍克斯在[19]中发现的那样。2.2交易策略和广义无套利条件我们现在在我们的模型中规定了交易规则。我们用（Ft）表示该过程产生的自然过滤（P，S，Di，κ±（i））。如[1]中所述，我们考虑了一个名为“战略交易员”的特定交易员，并用XT表示她在t时持有的资产数量。我们假设战略X是（Ft）适应的，cáglád，平方可积且有界变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:27

cáglád（左c连续-右限制）假设意味着战略交易者能够立即对交易流做出反应。为了简单易懂，我们假设战略交易者的交易与其他交易一样影响价格，但不改变订单流量。更准确地说，我们现在假设dst=νq（dNt+dXt），dDit=- ρiDitdt+λiq（dNt+dXt），但强度κ+t（i）和κ-t（i）仍然如（9）和（10）所定义。价格以及强度κ+和κ-tof买卖订单仍由（11）定义。最后是交易成本Xt=Xt+- 假定Xtat timet由Pt+Pt给出+Xt=PtXt+2q(Xt）。这就产生了[0，T]上清算策略X的以下成本（即XT+=0）C（X）=Z[0，T）PudXu+2qXτ∈DX∩[0，T）(Xτ）- PTXT+2qXT，（15），其中dx是X的（可数）不连续集。在考虑高频交易时，标准方法是将套利定义为能够平均赚钱的策略，没有特定的外溢信号。粗略地说，人们可能会认为，通过使用这种策略，一个人可以获得一种经典的几乎确定的套利。因此，Huber man和Stanzl在[20]中提出了价格操纵策略的以下定义：这是一种策略X，使得X=XT+=0，E[C（X）]<0。定理2.1。当且仅当任意t的Xt=0时，Ptis a（Ft）-鞅，该模型排除价格操纵策略。在这种情况下，最优策略是阿方西和希伊德[3]中定理2（另见第1.3节）给出的策略。此外，根据订单（9）、（10）和（11）的规定，流量N=N+-N-, 当且仅当：，我∈ {1, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:30

，p}，（ιs- ιc）wi=λiρi，mq（κ+（i）- κ-（i） )- ρiDi=0，（16）和аs（y/m）- ιc（y/m）=（ιs）- ιs）y/M对于所有y≥ 0以至于>0，u（y- ，y+））>0。该定理将[1]的定理2.1和命题5.1推广到完全单调核G和K。其证明依赖于我们在附录C.1中回忆的相同参数。（16）的一个有趣结论是价格传播子和强度的衰变核之间的联系。对于一般完全单调函数（6），这会产生以下条件：ρ>0（ιs）- ιc）~w（dρ）=（1- ν） ρ∧（dρ）。（17）因此，为了排除pm，w（dρ）必须与ρλ（dρ）成正比，因此K的衰减速度应高于G的衰减速度，无论其函数形式如何（只要它们完全单调）。此外，我们可以提出以下两点意见。首先，通过将等式（17）的两边除以ρ，在（0）上积分+∞) 利用富比尼定理，我们得到了必要的（但不充分的）鞅价格条件1- ν=（ιs）- ιc）Z∞~w（dρ）ρ=（ιs）- ιc）Z∞Z∞经验(-ρt）dt~w（dρ）=（ιs- ιc）Z∞Z∞经验(-ρt）~w（dρ）dt=（ιs）- ιc）Z∞K（t）dt=：DBR。（18）这个等式意味着瞬态冲击的比例应等于方向分支，我们将其定义为DBR=（ιs）- ιc）Z∞K（t）dt=ιs- ιcιs+ιc×BR，（19）其中BR是基于霍克斯的模型的通常分支比率，该模型正计算b符号的价格变化（例如，参见Hardiman和Bouchaud[18]）。这个结果是直观的，因为DBR代表了每笔交易的“相同符号的子交易”的平均数量，为了获得不同的价格过程，应该等于价格影响随时间消失的比例。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:33

虽然这只是一个必要的条件，但方程式（18）给出了一个相当普遍的数值标准，用以从经验上评估观测到的价格过程是否与鞅性质相容，或者更持久（DBR>1）- ν）奥曼回复（DBR<1- ν）。其次，幂律核函数g（u）=ν+（1）- ν）（1+cG×t）-a、 K（u）=（1+cK×t）-（1+）是（6）的特例，其中∧（dρ）=ρa-1exp(-ρ/cG）Γ（a）caGdρ，~w（dρ）=ρexp(-ρ/cK）Γ（1+）c1+Kdρ。方程（17）则yieldsa=，cG=cK=c，ιs- ιcc=1- ν.让我们回顾一下，如果K是幂律，则必须>0才能获得可积性，这是霍克斯过程平稳的必要条件。此外，在这种情况下，如果Hawkes范数等于1且如果∈ （0,1/2），见[11]中的Brémaud and Massoulié，定理m 1。在这种情况下，自协方差渐近衰减为t-(1-2). 因此，我们得出的结论与Bouchaud等人[9]完全相同，他们给出了不同的价格条件β=（1）-γ） /2，其中γ是贸易符号自相关的衰减指数，β=a是传播子的衰减指数。请注意，我们使用了完全不同的方法（没有价格操纵策略），等式（17）可能是在霍克斯框架内将其结果推广到更广泛类别的内核。第4节中给出的校准结果允许我们将实际库存数据与上述市场价格条件进行对比。特别是，很容易检查瞬态碰撞1的比例- ν=Pλiis小于、等于或大于定向分支比DBR。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:36

虽然我们并不期望在实践中完全满足该条件，但我们发现评估实际数据与理论平衡之间的偏差（以及偏差的方向）很有趣。2.3最优执行策略在[1]中，我们得到了最优执行策略的一个显式特征，该策略使E[C（X）]最小化，其中X∈ 当G（t）=e时，R和XT+=0-ρtand K（t）=e-βt。将这个结果推广到多指数核（7）是有意义的。原则上这是可能的。事实上，对于状态变量（Xt、Pt、St、Dit、κ±（i）t），该模型仍然是马尔可夫的，且成本仍然是二次的。如[1]中所述，我们应该首先猜测成本函数的二次型，然后导出其系数的必要条件，最后运行验证参数。然而，我们从阿方西和希德[3]那里知道，没有交易流动的最佳策略（即≡ 0）已经相当复杂，并通过矩阵Riccati方程表征。在我们的背景下，表征成本函数的普通微分方程系统将更加复杂，人们可能必须用数值方法来解决它，而对于高频交易，数值方法的效率低于封闭公式。然而，在传播子保持指数g（u）=ν+（1）的特殊情况下- ν）经验(-ρu），K（u）=pXi=1wiexp(-βiu），（20）带0<β<··<β和w，wp>0时，仍然可以显式地导出最佳执行策略。事实上，我们可以处理与[1]中相同的参数，并得到以下结果，如附录C.2所示。定理2.2。设αi=wi（ιs）- ιc）和H，由1定义的p阶方阵≤ i、 j≤ p、嗨，j={i=j}βi- αj.（21）我们还通过ζ（M）=Xk定义了两个连续矩阵函数ζ，ω≥0(-1） kMk（k+1）！ω（M）=Xk≥0(-1） kMk（k+2）！。（22）我们指的是Hardiman等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:40

[17] 在市场数据上测试该属性，以及Jaisson和Rosenbaum[21]研究霍克斯过程，霍克斯范数接近1。当M可逆时，ζ（M）=M-1[Ip- 经验(-M） ]和ω（M）=M-2[exp(-M）- Ip+M]。然后是战略X*这使得预期成本E[C（X）]在（0，T），（1）上满足a.s.和dt-a.E.的要求最小化- ν） X*t=- [1+ρ（T）-t） ]Dt+m2ρ[2+ρ（t-t） ]（23）×δTIp+ρ（T）-t） 2+ρ（t）- t） ×[ζ（（t-t） H）+νρ（t）- t） ω（（t）- t） H）]. (1 , ··· , 1 ),式中δit=κ+t（i）- κ-t（i）代表我∈ {1，·，p}是强度不平衡。此外，方程（23）充分描述了最优策略。虽然仅限于（20），但我们认为[1]结果的扩展可能与应用有关。事实上，在我们的数据集上，使用多指数价格传播因子而不是单指数价格传播因子并没有多大收益，见图1。相反，对于强度的衰减核，考虑指数混合可以产生更丰富的自协方差函数，见图3.3校准方法3。1数据说明我们考虑法国投资银行Natixis提供的逐点数据，对此我们表示感谢。该数据包含两支交易活跃的nch股票：法国巴黎银行（BNP Paribas）和道达尔（Total）的最佳买入价和最佳卖出价的价格和成交量的所有变化。数据选择在上午11点到下午1点之间。m、 2012年1月至9月和2013年之间的每一个运输日。我们不包括一年中最后三个月的活动平均减少，以及蜱虫大小偏离0.005欧元的月份。选择中午前后两个小时的窗口是为了获得相当稳定和统一的市场活动行为，参见Lehalle and Laruelle[22]，第112页。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:44

通过这种方式，对于每只股票，我们可以合理地假设每两个小时的交易都是相同随机价格过程的实现。在初始数据集中，对于每种股票，每一行分别响应最佳队列之一的价格和/或数量更新（由市场事件触发，如市场订单、限价订单或取消），或以给定价格针对给定数量执行的新交易。这些数据的时间戳精确到毫秒。我们通过聚合在同一毫秒上发生的事件来减少这些数据：我们只跟踪每个时间戳开始和结束时的最佳价格，这会产生“同时”发生的事件的聚合价格影响，即在同一毫秒上。同样，我们对在s ame时间戳上执行的所有卷求和。我们获得了一系列市场事件，其中少数与交易量和/或价格变化有关。应澄清[1]和第2节模型的理论项目与实际财务数据之间的对应关系。不同的可能性可能是相关的，但我们的选择如下：o我们将“市场价格”定义为中点价格，即任何时间t的最佳买入价和最佳卖出价的平均值。o我们只考虑中点价格上涨的时间戳。换言之，我们忽略了既不清空最低价也不清空最低价的交易和取消，以及不确定新最低价的被动限价订单。对于我们考虑的股票，这给出了两个连续时间戳之间的平均延迟时间为1到4秒。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:16:47

这与[1]的理论模型中所考虑的时间尺度有关，它不是超高频我们用小时表示时间，并注意T=2我们考虑的每个交易日的窗口长度。在本文中，我们注意到τ∈ （0，T）时间戳，对应于交易的中点跳跃，即通过跨越价差的限额或指令或市场指令。这些与理论模型的过程N的跳跃相对应：它们都以价格跳跃为标志Mτ（一个或几个半刻度），以及一个已执行的卷Vτ>0，以股份数表示。其他价格上涨的时间戳标注为θ∈ （0，T）。它们由取消和被动提交订单触发，没有执行量，并且假设它们平均执行[9]中的确定性弹性效应。在两次交易之间，价格与这个确定性平均值的偏差被认为是一个噪声过程，使用算术B罗文运动建模。法国巴黎银行和道达尔银行的表1给出了这些项目的一些关键统计数据。Sto ck BNP Paribas TotalYear 2012 2013 2012 2013 2013平均中位价格32.44.9 38.2 39.0厚度0.005 0.005 0.005 0.005每小时中位变化数量1909 1699 1209 929因交易产生的比例10.0%7.9%7.6%6.9%m776 636 978 963m/m3。38 4.69 4.30 6.72第一队的平均规模1398 1136 1710 1779表1：法国巴黎银行股票统计表和2011年1月至9月期间总计，即2012年1月11日上午11点至下午1点之间。法国巴黎银行不包括在内，因为其股票规模降至0.005以下。我们给出了由交易触发的中点变化的比例，剩余的比例由取消或被动限价指令触发。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:16:51

mis——触发价格波动的平均交易量，以及这些交易的平均平方交易量。比率/m越大，交易量分布的差异越大。3.2校准过程概述等式（4）给出的价格模型的一个特点是，它由两个独立的部分组成：o触发价格变动的交易的点过程，时间戳τ和标记（价格跳变）Mτ和执行体积Vτ）是联合建模和估计的，opropag-ator模型是一个连续的时间线性回归模型，有条件地考虑交易的中点跳变，具有高斯噪声过程σWt。因此，交易使用标记的Hawkes过程建模，并且有条件地，价格是高斯的。这种细分至少有三个优点。首先，校准过程更简单，因为这两个部分可以独立估计，这显著降低了问题的规模。其次，每一方的估计结果对另一方的选择都是稳健的。例如，如果想要修改交易的霍克斯模型，那么传播子的结果仍然有效，反之亦然。最后，第2.2节的结果包含了霍克斯参数和播放机之间的一些理论联系，当两个部分分别进行估计时，将这些联系与我们的校准结果进行对比似乎更为重要。我们的校准协议总体上有点复杂，我们通过在模拟数据上运行它来测试其有效性和鲁棒性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:54

在第4节和第5节中，我们给出了这些模拟以及真实财务数据的分析结果。3.3传播因子的估计3。3.1框架在本节中，我们将解释第2节中介绍的传播器模型如何适用于实际应用，尤其是其校准。这需要考虑以下两点：o在实践中，交易的价格影响与交易量不成正比。它通常只有几个滴答声，而卷的范围更广。因此，我们必须在“价格弹性”和“数量弹性”之间做出选择，就像阿方西等人[2]所说的那样。第一种选择对应于对市场价格的均值回归特性进行建模，第二种选择描述了流动性在交易结束后如何“再生”，而这两种选择仅在线性价格影响下等效两个事务之间的pric e的演化非常嘈杂，传播子模型只解释了它的一部分方差。因此，我们需要控制估计的方差以获得满意的校准结果。对于第一点，我们选择对价格弹性进行建模，这在实践中更容易衡量，在文献中也更经常被考虑。这归结为替换Nτ/q由中间价格跳变Mτ不等式（4）。对于第二点，直观的可能性在于将传播者回归限制在有限的时间窗口内RW>0，并假设模型预测价格增量Pt- Pt-RWT≥ 而不是Pt-P.如果噪声是一个加法布朗数mσWt，则将预测变量的方差固定为σrw而不是σt，t∈ [RW，T]。我们得到了修改后的价格模型Pt=Pt-RW+Xt-RW<τ≤TMτG（t）- τ） +σ（Wt）- Wt-RW）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:16:57

（24）当然，rwg必须是这样的(RW）- G(∞) 与G相比是小的(∞) 对于原始模型（4）的有意义的近似模型，见备注2.1。该条件还允许避免传播子G估计中的偏差RW=0.5小时（30分钟）贯穿本文的整个续篇，基于我们在这里没有详述的初步观察。注意，在这个范围内RW∈ [0.1,1]，该参数的选择对结果几乎没有影响。我们可以事后证实我们对G的估计与G（0.5）是一致的- G(∞) << G(∞).预计价格在t- RWand t由^Pt给出- Pt-RW=Xt-RW≤τ ≤TMτG（t）- τ）（25）Pt在哪里-rw是时间t的实际中点价格- RW，直接取自数据。方程（24）bec omesPt=^Pt+σ（Wt- Wt-RW）。（26）有条件地-到进程M，一个有Pt~ N（^Pt，σ）RW）。本文将G的极大似然估计等价于最小二乘s估计。因此，我们在数值上最小化了G参数的二次误差e（G）=XRW<θ<T[Pθ（G）- Pθ]，（27），其中θ是由于取消或被动限价订单而出现的价格上涨。为了更好地理解传播子的形状，我们首先以“无约束”的方式估计G，即离散点集的线性插值。因此，我们建立了G asG（t）=gl[tl，RW[（t）+l-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t），其中t，···，t是先验确定的，并且（g，···，gl）是估计的参数。我们看到，第4节给出的股票数据的结果曲线，有一个增加的短程部分，几秒钟后切换到增加模式。一个是g（0）=1，但G在进入递减区之前达到了一个高于单位的点。让我们回忆一下，在一个理想化的无标无求的模型中，阿方西等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:01

[4] andGatheral等人[16]表明，为了排除经前综合症和一些市场不稳定性，t G必须在零附近递减和凸出。我们的数据集并非如此。我们将其解释为，交易结束后，新的买卖通常围绕受影响的价格形成。因此，在几秒钟内，限价订单和取消往往会对中间价产生与交易相同的影响。这促使我们区分传播子G（t）及其长程衰减的函数形式，我们称之为弹性，注R（t）。这样，我们就可以允许R（0）≥ 1，并强制要求R减小。然后，我们可以用t=0和t=Ladj之间的简单线性插值将G和R联系起来，Ladj>0表示市场（t）的“调整滞后”=1+（R（Ladj）- 1）特拉德{t≤Ladj}+R（t）{t>Ladj}。这种选择的优点是，一旦Ladjis fix e d，只需要估计弹性曲线，因为G以R为特征。在此之前，为了用强制递减函数形式估计R，我们将自己放在以下版本的价格模型Pt=Pt中-RW+Xt-RW≤τ<t-拉杰MτR（t）-τ） +Xt-拉杰≤τ ≤TMτ1+（R（Ladj）- 1） t- τLadj+σ（Wt）-Wt-RW）。我们考虑弹性R（t）的两种参数化：o单指数曲线（t）=γ[1]- λ(1 - 经验(-ρt））]，（28）具有三个参数γ，ρ>0，λ∈ [0 , 1]. γ是一个放大系数，ρ是市场的恢复速度，λ是交易价格影响的瞬时部分，而ν=1-λ是永久部分。单指数曲线是[1]的理论模型中考虑的弹性类型多指数曲线（t）=γ“1-pXi=1λi（1- 经验(-ρit）#，（29）是前一个的推广，具有2p+1参数γ，ρ，···，ρp>0，λ，··，λp∈ [0,1]，πλi≤ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:05

一个人≤ 我≤ p、 λiI——以ρi速度衰减的瞬态冲击比例，且ν=1-Piλi表示永久性冲击的比例。对于这两种参数化，我们用^σ=Vuutnpi=1来估计布朗噪声的波动性σ的后验概率矿井- 圆周率-P0<τ<TMiτG（T）- τ )n×T，（30），其中n是样本的天数，对于i∈ {1，··，n}，pian和Mi分别是第一天的真实价格和中间价格跳跃过程，τ是Mi的跳跃时间。此外，由于（25）和（26）定义的预测模型可以被视为一个连续的时间线性回归，其中解释变量是价格增量- Pt-R和回归系数是过去的价格上涨通过交易，我们可以使用方差分析来评估其交易质量。我们定义了右值asr=1-nPi=1PRW<θ<T[^Piθ- Piθ]nPi=1PRW<θ<Tπθ- πθ-RW-P, （31）我在哪里∈ {1，··，n}，^Pi是第一天的定价过程，以及P=Pni=1#θinXi=1XRW<θ<Tπθ- πθ-RW平均价格在θ之间移动吗- R和θ，其中θ是未执行量的价格变化次数，而#θ是第一天此类价格变化的次数。请注意，由于回归模型（26）中没有常数，因此从理论上讲，R应该是负数，但实际情况并非如此。RCR在不同的估计传播子之间建立了一个有用的比较标准，我们在第4节中使用了它。既然全球实践框架已经确定，就需要确定G的估算方法。这是以下第n.3.3.2节估算协议的目标。我们使用多步估算协议，主要采用（27）中定义的二次误差最小化。当G（t）与其参数成线性关系时，E是二次的，牛顿-拉斐逊算法的一步足以找到最小值（见附录A）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:08

当参数的相关性是非线性的时，我们首先使用网格最小化为算法找到合适的起始点。作为第一步，我们估计“无约束”传播子曲线。然后，我们使用第3.3.1节中给出的两个参数估计回弹曲线。无约束传播子曲线的估计t通过线性插值^G^G（t）=gl[tl，t[（t）+l估计G-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t）。对于t，···，tl，先验地，^G相对于（G，···，gl）是线性的。因此，牛顿-拉斐逊方法（见附录a.1）的一步确定了使二次误差E（^G）最小化的参数。为了近似长程传播子，我们选择了一个均匀的网格ti=i/l，在区间[0，0.2]上的l=20。另一方面，为了在曲线的开始处进行缩放，我们将ti集中在接近零的位置。多指数恢复力曲线的估计由于多个ρi的同时估计过于不稳定，我们选择将四个分量与四个简单的特征时间尺度（ρi以反小时表示）相关联：ρ=6（十分钟）、ρ=60（一分钟）、ρ=120（三十秒）和ρ=360（十秒）。然后我们假设向量（ρ，···，ρ）足够丰富，可以在我们的框架中代表所有相关的时间尺度，并且我们关注与每个曲线相关的权重λ，···，λ来描述曲线的衰减。由方程（29）给出的多指数弹性变成sr（t）=ν+Xi=1λiexp(-ρit），其中我们重新参数化ν=γ（1）-Pi=1λi）>0，λi=γλi>0。反过来，一个具有γ=ν+Pi=1λi和λi=λi/γ。由于ρi是固定的，弹性电流R（t）是线性的w.R.t。参数（ν，λ，···，λ）仍有待估计，因此牛顿-拉斐逊算法（见附录A.2）通过单次迭代收敛。然后，我们选择信号ρi，如下所示：1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:12

第一次估计产生一个“完整”参数（ν，λ，·λ）。一些结果λi可能是非正的，这与模型不兼容。2.当存在i时，λi≤ 0时，我们移除与最小λi相关的ρi，并使用一个较少的参数再次启动算法。3.最终，我们选择了一到四个相关权重λi为正的“重要”ρi，估计过程完成。由于这些步骤中的每一步只需要牛顿-拉夫算法的一次迭代，因此多指数曲线的整个估计协议相当快。因此，为了估计市场调整滞后Ladj，我们可以对一些圆盘网进行多次估计，并比较（31）定义的回归。结果与最大rgives相关，参数γmulti、λmulti和ρmultiforthe多指数弹性，以及调整滞后Ladj。单指数恢复力曲线的估计上述多指数估计可作为以下情况的起点。市场调整滞后Ladjis已经估计，以及相关参数集γmulti、λmulti、ρmultiforth多指数弹性曲线。我们将γ=γmulti，λ=Xiλimulti，ρ=Xiλimultiλρimulti（32）设置为单指数估计的起始参数。与多指数情形一样，我们重新参数化了（28）asR（t）=ν+λexp(-ρt），其中ν=γ（1- λ） >0且λ=γλ>0。然后，我们将按照以下步骤进行1。我们使用Newto n-Raphson算法来最小化整个参数（ν，λ，ρ）的二次误差（p=1指数分量见附录A.2.2）。如果起点是凸的，算法收敛到一个满意的水平，我们直接进入步骤6。否则，我们进入步骤2.2。保持ρ固定在其起始值（32）上，R（t）对ν和λ的依赖性是线性的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:15

因此，通过牛顿-拉斐逊算法的一步，我们得到了ρ3当前值的ν和λ的最佳值。对于第2步确定的γ=ν+λ，λ初始化为λ/γ和ρ，如（32）所示，我们最小化二次误差（λ，ρ）7→ E（λ，ρ）在起始点附近的局部二维网格上。4.在第3步达到误差网格最小值的一对，再次用作牛顿-拉斐逊算法的起点，以确定当前固定值γ的最佳值（λ，ρ），使用附录a.2.1中的“单位”单指数参数化。我们将（λ，ρ）与ν=γ（1）一起实现到这个最佳值- λ） λ=γλ。参数（ν，λ，ρ）现在位于二次误差r更可能是凸的区域。因此，我们使用牛顿-拉斐逊算法对整个参数进行误差最小化的新起点。6.我们得到了单指数寿命曲线的参数γmono，λmono，ρmono。上述单指数寿命曲线的估计方案可能看起来很复杂：尤其是，它比多指数估计更微妙。原因是我们想通过参数ρ来确定弹性的最重要特征时间尺度。二次误差E对该参数的依赖是非线性的，没有任何东西可以先验地保证牛顿-拉斐逊算法（或者更简单地说是梯度算法）有一个凸起点，这是确保其收敛的必要条件。因此，我们必须更加谨慎地进行，并引入几个中间步骤。3.4霍克斯参数的估计3。4.1框架独立于传播者，我们还估计了第2节中基于霍克斯的模型的参数，用于交易导致的价格上涨。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:19

我们选择自激函数φsandφcto bea ffine，即φs（x）=φs+φsx，φc（x）=φc+φcx。（33）在标准Hawkes框架中，未标记流动顺序中的自激，即只有常数项φs，φcappear In洎sand洎c。尽管结构简单，但有效结构允许我们强调与标准Hawkes基准的偏差，并检测自激函数中增加的部分。正如第3.3.1节所指出的，对于与N跳跃相关的标记，有两种可能的解释。由于每一个跳跃都与交易导致的价格跳跃相关，因此它们都与两个正变量相关：一方面是价格影响，另一方面是交易量。因此，我们估计了霍克斯模型不同版本的三组参数（单位标记、体积标记和价格标记），每个参数对强度跳跃项有不同的实际解释。准确地说，我们用三种可能性φs/c，单位，φs/c，体积+φs/c，体积中的任意一种，在（9）和（10）的跳跃时间t处替换φs/c（dN±t）|Vt |/m，φs/c，价格+φs/c，价格|Mt |/m，（34）其中mis是平均执行量，m是平均价格。3.4.2模型霍克斯部分的估计原色估计协议如下：我们首先估计单指数霍克斯模型K（u）=exp(-βu），这使我们能够根据自激和交叉激励来估计Hawkes nor m及其重复性，并为跳跃选择最佳标记类型。然后估计多指数霍克斯模型K（u）=Ppi=1wiexp(-βi是先验的。单指数核函数我们考虑方程（2）的单指数霍克斯模型，其中霍克斯衰减核函数K（u）=exp(-βu），β>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:25

我们首先关注总强度∑t=κ+t+κ的参数-tbyaggre将所有因交易而导致的价格上涨，无论其迹象如何。在单指数情形下，onehasd∑t=-β∑t- 2κ∞) dt+ιdJt，其中ι是平均激励，因此J的跳跃平均为1。我们使用广义矩法（GMM）来估计β，κ∞以及ι。我们将长度为T=2小时的时间窗口[0，T]除以长度为h=1/360（即10秒）的720个箱子。然后，我们计算这个数字■由于时间仓位中的交易，Jilof价格上涨[（l）- 1） h，lh]，l∈ {1, ··· , T/h} 在我∈ {1，··，n}，每一次和每一天。如果l是行索引，i是列索引，我们得到T/h ×n矩阵，其中心为正数~Jil。我们也不会通过将每列除以其平均值并将整个矩阵乘以原始全局平均值来对该数据集进行恶意化，从而使全局平均值保持不变，且每列具有相同的测量值。我们首先计算经验平均值离散过程的J和方差V~J~J=n×T/hnXi=1T/hXl=1~Jil，V=n×T/h- 1nXi=1T/hXl=1h~Jil-~Ji。用公式2κ=~J/h.此外，经验自相关函数~J是由K∈ {1，··，kmax}，bC（k）=V×n×(T/h - （k）nXi=1T/hXl=k+1~Jil~Jil-K-~J, （35）其中kmax=36是最大滞后（因此最大范围kmax=0.1等于六分钟）。利用Da Fonseca和Zaatour[12]对单指数Hawkes过程的结果，我们得到了BC（k）decaysas exp(-(β -ι） k）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:28

因此，经验曲线B（k）的指数函数得出d:=β的估计值-ι.然后，我们也从[12]V=2κ得到βhd+1.-βd1.- 经验(-dh）d.如果我们注意到zh=（1），这个关系可以颠倒，从而得到β的估计值- 经验(-dh））/d，我们认为tβ=dsV/（2κ）- zhh- zh。那么，ι=β- d和κ∞= (1 - ι/β）κ可以从上述方程推导出来。我们还得到了单指数分支比率=ι/β。保留β、ι和κ∞固定这些GMM估计，我们现在转向二维强度模型（2）。我们在一维网格上使用最大似然估计（见附录B）来确定ELFS和交叉激励参数：1。我们确定u的比例∈ [0，1]这样的tιs=uι，ιc=（1）- u） ι最大化二维强度的可能性（κ+，κ-), 式中，ι和ι分别表示平均自激和交叉激励参数。2.对于批量标记和价格标记，我们分别确定我们的比例∈ [0，1]使得φs=usιs，φs=（1-us）ιs最大化（κ+，κ）的可能性-), 式中φs，φ在等式（33）中定义。同样，我们确定了φc=ucιc，φc=（1）的最佳方案-uc）ιc。对于ι和ιc固定，我们获得了两种可能的标记类型的自激和交叉激励的最佳常数和线性部分。3、然后比较三种模型的可能性，以确定哪种单位/数量/价格标记产生最佳模型。最后，我们得到了所有参数βmono，κ的估计∞mono指数Hawkes模型的mono，φsmono，φsmono，φcmono，φcmono，以及最佳的分数类型。多指数核我们转向多指数霍克斯模型K（u）=Ppi=1wiexp(-βiu）。与第3.3.2节中的多指数弹性估计一样，我们将四个βi与四个简单的特征时间尺度相关联。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:31

事实上，我们选择了与弹性相同的时间尺度：β=6、β=60、β=12 0和β=3 60。然后，我们校准与每个βi相关的wi，这些权重调整霍克斯核的形状。单指数估计的结果用于选择市场类型（单位、数量或价格），并获得κ的起点∞, φs，φs，φc，φc和分支比br。选择的wi’的起始点是均匀分布的wi=brmonoi=11/4βi×，具有与初始分支比匹配的刻度。然后，我们在参数（κ）上最大化模型的可能性∞, w、 w，w，w）使用牛顿-拉斐逊算法，如附录B所述。我们使用与第3.3.2节中的多指数弹性估计相同的选择方法：如果至少有一个wi为非正，我们删除与最小wi相关的βi，并再次启动算法，只需少一个参数。最后，我们将（φs，φs，φc，φc）乘以剩余wi的sum，并将后者缩放为1。在不改变整体模型的情况下，对霍克斯衰变核鹿施加K（0）=1。我们得到了参数βmulti，wmulti，κ∞multi，φsmulti，φsmulti，φcmulti，φcmulti用于多指数霍克斯模型。4校准结果4。1结果说明本节专门介绍我们的校准结果。第3节的c校准方法首先应用于模拟数据以测试其有效性，然后应用于法国股票的实际财务数据。我们还提供了一些定性评论。对于每个模拟数据集和每个股票，结果汇总在表格中，再加上法国巴黎银行的一些gra phs。这些表格的内容解释如下。调整滞后表：该表给出了多指数弹性曲线的回归r\'s，即市场调整滞后Ladj的几个值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:17:34

它用于选择Ladjon a离散网格的最佳值。弹性表：弹性表给出传播因子的估计结果。我们给出了两种回弹曲线的选定调整滞后ladjan和估计参数ermono（t）=γmono[1]- λmono（1）- 经验(-ρmonot]），Rmulti（t）=γmultih1-Xλjmulti（1）- 经验(-ρjmulti）i，以及噪声和回归r的估计波动率σ，分别由方程（30）和（31）确定。标记表：在这个表中，我们给出了每点Lunit，Lvol的最大对数概率。在单指数霍克斯模型中，每一个马克的价格（单位、数量和价格跳跃）。它可以作为最佳标记类型的选择标准。强度表：该表给出了第2.1节所述霍克斯模型的估计参数，即单指数衰变核K（u）=exp(-βu）和多指数函数K（u）=Ppi=1wiexp(-βiu）。我们还给出了每点lmono和Lmulti的最大对数概率，可以相互比较或在数据集之间进行比较，以量化霍克斯模型的质量。最后，我们给出了由方程（19）定义的分支比BR和方向分支比DBR，它们是通过多指数参数化得到的。4.2模拟数据我们首先在表2和表3中给出了使用pricemodel（4）模拟的两个数据集的校准结果。在每个表格中，第一列给出了“真实”的模拟参数，第二列给出了估计的参数。这两个数据集都由两个小时内150个独立的价格过程实现组成，我们选择与股票数据更接近的模拟参数，以获得相关的分数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝