为此目的，设∧wt为四维维纳过程，c:=（g-, g+，K，d）一个四维向量∈ C和σ是一个恒定的挥发性矩阵，因此当我们用σ替换σtby时，与第4.1节中定义的λmint类似的λmin严格大于0和g∈ G（c）一个常数网格函数。与网格函数gtin（A3）的定义类似，我们假设可以用两种资产的上下函数来表示，即g:=（~g（1），~g（2）），其中每个k=1，2我们有~g（k）：=（~d（k），~u（k））。此外，我们还引入了SGT定义的asSg的子空间：={（y，v）∈ R×R+s.t.~d（2）（v）≤ Y≤ ~u（2）（v）}。如果我们设置X=σW和两个资产的相应采样时间T:=（T（1），T（2）），其中对于k=1，我们有T（k）：={τi}i≥0时，我们将FirstAsset的观测时间定义为τ（1）：=0，并递归地定义为i任何正整数τ（1）i:=inft>τ（1）i-1: ~X（3）t/∈ [d（1）（t）- ■τ（1）i-1） ，u（1）（t）- ■τ（1）i-1)].当我们保持波动率矩阵σ和网格常数时，这些停止时间将被视为Firstaset观察时间的近似值。我们将始终从1相关观测时间τ1Ci，n开始近似，该时间对应于第一个资产的观测时间。由于第二个资产的采样时间与第一个资产的采样时间不同步，我们还需要两个数量（x，u）∈ Sgto近似第二个资产的观察时间。它们分别对应于第二个资产的最后一次观测发生后第二个资产的时间过程X（t，2）的增量，以及自第二个资产的最后一次观测时间以来经过的时间。

我们定义了△τ（2）：=0，△τ（2）：=inft>0:x+~X（4）t/∈ [d（t+u），~u（t+u）],对于任何整数，我≥ 2τ（2）i:=inft>τ（2）i-1: ~X（4）t/∈ [~d（t）- ■τ（2）i-1） ，u（t）- ■τ（2）i-1)].类似地，我们将（17）-（18）、（19）、（20）、（22）、（23）-（24）、（25）、（26）和（28）的类似物分别定义为△τ-我-1，ττ+i-1.~X（2）~τ-,+i、 τ1C，-我-1，△τ1C，+i-1.~X（2）~τ1C，-,+我可以在定义中的数量上铺上瓷砖。8.2初步引理在不丧失一般性的情况下，我们选择在第2节定义的第三种情况下工作。4，即资产价格与两种资产的时间过程不同。因为weshall证明了稳定收敛，并且由于σ的局部有界性（因为by（A1）σ是连续的），这影响了∈（0,1]λmint>0我们可以在不损失一般性的情况下，对所有t∈ [0,1]存在一些非随机常数σ-σ+对于任何本征值λtofσtwe，都有0<σ-< λt<σ+，（51），通过使用标准本地化参数，例如在Mykland and Zhang（2012）第2.4.5节中使用的参数。我们可以像Mykland and Zhang（2009）的第2.2节（第1407-1409页）那样进一步对u求幂，并将X当作鞅。我们定义了维数为4×4的矩阵的子空间M，从而M∈ M、 对于任何本征值λMof M，我们有σ-< λM<σ+（52）和（MMT）3,4（MMT）4,4∈ [ρ3,4-, ρ3,4+]. 根据（A2）和（51）中的（8），我们将在下面假设：T∈ [0,1]，σt∈ M.我们在R+上定义σp过程（尺寸为4×4），使得（σp=σt）T∈ [0,1]，σpt=σT∈ [1, ∞).现在确定流程，以便≥ 0（dXpt=σptdWt，Xp=X。因为Xp和X具有相同的初始值，并且遵循[0，1]上相同的随机微分方程，所以它们对于所有t都是相等的∈ [0, 1]. 为了简单起见，我们从现在开始保留Xp的符号X。在下文中，C将定义一个常数，该常数不依赖于i或n，但可以随线变化。

此外，我们将使用符号τθi，τθi的nasa替代物，αn，其中θ可以取各种名称，例如（1）、（2）等等。Leth:N→ N（不严格）增加非随机序列→ +∞, （53）hnαn→ 0.（54）为了使符号尽可能简单，我们定义τhi，n:=τ1Cihn，n，τh，-i、 n:=τ1C，-ihn，n，τh，+i，n:=τ1C，+ihn，n。我们还让An:={i≥ 1 s.t.τhi-1，n≤ t} ，t在哪里∈ [0, 1]. 此外，我们还重新定义了θ的符号（X（3）t，X（4）t）：=（X（t，1）t，X（t，2）t）∈ {（1），（2），1C，h}，我们定义了θn=supτθi，n<Tτθi，n。我们证明，在下面的引理中，这些量几乎肯定趋于0。引理5。我们有sθna。s→ 0.证明。我们可以遵循Robert and Rosenbaum（2012）中引理4.5的证明来证明k∈ {1,2}，s（k）na。s→ 0.然后，我们可以注意到a.s.s1Cn<s（1）n+s（2）n推导出s1Cn。s→ 0.为了证明shn→ 0，定义过程Z，使Z=0，并且我们有=X（2）[τ1Ci-1，n，t]+Zτ1Ci-1，nT∈ [τ1Ci-1，n，τ1C，+i-1，n]，X（1）[τ1C，+i-1，n，t]+Zτ1C，+i-1，nT∈ [τ1C，+i-1，n，τ1Ci，n]。用Z代替罗伯特和罗森鲍姆证明中引理4.5中的X，我们可以遵循同样的推理。唯一的主要变化是它们的符号Mn≤ Chnαn，但这趋于0乘以（54）。假设f是一个随机过程，s是一个随机数，我们定义（f，s）：=sup0≤u、 五≤1 | u-五|≤s傅- fv.引理6。设f为有界随机过程，使得对于所有非随机序列（qn）n≥0，如果qn→ 0，那么S（f，qn）P→ 0.还设一个随机序列（sn）n≥0这样的SNP→ 0.那么我们有L≥ 1那是（f，sn）Ll→ 0.证明。由于f是有界的，P中的收敛意味着l中的收敛≥ 1.因此，有必要证明S（f，sn）P→ 0.让η>0，然后 > 0，我们想展示这一点N>0以至于N≥ N，我们有p（S（f，sn）>η<. 非随机χ>0，使得P（S（f，χ）>η）<. 而且N>0以至于N≥ N、 P（sn）≥ χ) <.

ThusP（S（f，sn）>η）=P（S（f，sn）>η，sn>χ）+P（S（f，sn）>η，sn≤ χ)≤ P（sn>χ）+P（S（f，χ）>η）<.我们的目标是确定区块上观测时间的近似值Ki，n:=[τhi，n，τhi+1，n]我≥0.我们首先需要一些定义。让（C（i）t）i≥一系列独立的四维布朗运动（即，对于每个i，C（i）都是四维布朗运动），与我们迄今为止定义的一切无关。我们定义i、 n≥ 0，Si，nt:=(W[τhi，n，τhi，n+。]T∈ [0, τhi+1，n]，W[τhi，n，τhi+1，n]+C（i）t-τhi+1，nT≥ τhi+1，n和τki，j，nJ≥0;k=1,2=~TSi，n，στhi，n，αngτhi，n，X（4）[τh，-i、 n，τhi，n]，τhi，n- τh，-i、 n.为了保持符号的对称性，我们定义了所有整数i和n个正整数，τ（1）i，j，nJ≥0在τhi，n之后，减去τhi，n的值，即τ（1）i，j，n=τ（1）i后，计算过程1的观察时间*+j、 n- τ（1）i*,我在这里*是过程1原始网格上对应于τhi，n（τ（1）i）的（随机）指数*,n=τhi，n）。对于过程2，我们定义了τ（2）i，0，n=0和整数j≥ 1，τ（2）i，j，n=τ（2）j*+J-1，n- τ（1）i*,n、 j在哪里*过程2原始网格上对应于过程2最小观测时间的指数是否大于τhi，n（不一定严格）。我们还定义了τ-i、 j，n，τ+i，j，n，τ1Ci，j，n，τ1C，-i、 j，n，τ1C，+i，j，n，~τ-i、 j，n，τ+i，j，n，τ1Ci，j，n，τ1C，-i、 j，n，△τ1C，+i，j，n按照我们用来定义（17）、（18）、（19）、（22）、（23）、（24）和（25）的结构。我们还设置了（∧πi，j，n）j≥0= ΠSi，n，στhi，n，αngτhi，n，X（4）[τh，-i、 n，τhi，n]，τhi，n- τh，-i、 n.引理7。对于θ∈ {（1），（2），1C}，任何实l>0，任何正整数i和n，任何非负整数j，我们有0<C-l<C+l如此-lα2ln<Eh■τθi，j，n锂≤ C+lα2ln，（55）式中ττθi，j，n:=ττθi，j，n- ■τθi，j-1、nandC-lα2ln<Eτ（k）i，nL≤ C+lα2ln。（56）证据。

对于θ∈ {（1），（2）}，由于（7）和（51），我们可以使用布朗运动出口区的众所周知的结果来推断（55）（参见Borodin和Salminen（2002））。（56）可以使用连续局部鞅的Dubins-Schwarz定理推导（参见Revuz和Yor（1999）中的Th.V.1.6）。如果θ=1C写入■τθi，j，n=§τθ，+i，j-1，n- ■τθi，j-1，n+§τθ，+i，j，n- §τθ，+i，j-1，n通过这两个术语，我们可以得到（55）和（56）。现在，我们定义θ∈ {（1），（2），1C，h}t asNθt之前的观察次数，n=sup{i:τθi，n<t}。我们有下面的lemmaLemma 8。对于θ∈ {（1），（2），1C}，我们有序列αnNθt，nN≥太紧了。证据这里是θ∈ {（1）、（2）}我们可以遵循Robert andRosenbaum（2012）中引理4.6和引理5的证明。此外，根据定义，我们有N1Ct，n≤ N（1）t，nsowe还可以推断αnN1Ct，nN≥1.引理9。让（Ui，n）i，n≥1正随机变量数组和θ∈ {（1），（2），1C}。如果u>0，Pxuα-2nyi=1Ui，nP→ 0（57）n n nθt，ni=1Ui，nP→ 0.如果u>0，Pxuα-2nh（n）-1yi=1Ui，nP→ 0，然后是PNHT，ni=1Ui，nP→ 0.证明。允许 > 0和u>0。PNθt，nXi=1Ui，N>= Pxuα-2nyXi=1Ui，n+nθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}-许α-2nyXi=Nθt，N+1Ui，N{xuα-2ny>Nθt，N}>!≤ P许α-2nyXi=1Ui，n+nθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}>≤ P许α-2nyXi=1Ui，n>+ PNθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}>≤ P许α-2nyXi=1Ui，n>+ P许α-2ny<Nθt，N.我们坐火车→∞并使用（57）。我们得到了支持→∞PNθt，nXi=1Ui，N>≤ 林尚→∞P许α-2ny<Nθt，N.我们现在照顾你→ ∞ 用引理8总结。第二种说法也是这样证明的。引理10。对于任何大于0的α，σ∈ M、 g∈ G、 （x，u）∈ 我们有ψAV（σ，g，x，u）=α-4ψAVσ、 αg，αx，αu,ψAC1（σ，g，x，u）=α-3ψAC1σ、 αg，αx，αu,ψAC2（σ，g，x，u）=α-3ψAC2σ、 αg，αx，αu,ψτ（σ，g，x，u）=α-2ψτσ、 αg，αx，αu.证据

对于任意布朗运动（Wt）t≥0，根据比例特性，我们得到（Wt）t≥0L=（α）-1Wαt）t≥因此，如果我们定义τ=inf{t>0 s.t.Wt/∈ [d（t），u（t）]}和τα=inf{t>0 s.t.Wt/∈ 【αd（t），αu（t）】，我们有τL=inf{t>0s.t.Wαt/∈ [αd（t），αu（t）]L=α-2τα.我们推导出（τ，Wτ）L=α-2τα，Wα-2ταL=α-2τα，αWτα. （58）我们可以根据我们证明（58）的方式证明引理，代价是二维定义，这将更加复杂，更直接地应用布朗运动的强马尔可夫性质，我们不会写，这样我们就不会迷失在这个证明的技术性中。我们在第k个过程中引入第i个块中的点数，如下n（k）i，n=max{j≥ 0 s.t.τhi，n+τ（k）i，j，n≤ τhi+1，n}。我们还介绍了第i块Ni中的总点数，n=n（1）i，n+n（2）i，n。我们现在表明，我们可以统一控制观测时间近似值的误差。引理11。让我≥ 1.我们有苏比≥0, 2≤J≤赫内τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL= opα2ln（59）和苏比≥0, 2≤J≤赫内τ1C，-,+i、 j，n- τ1C，-,+i、 j，nL= opα2ln. （60）证据。我们引入符号OUP，其中U代表“在i中一致”≥ 0”，这意味着剩余部分的sup是给定顺序的第一步：我们定义shn=supi∈An)τ1Ci，hn，n.我们在这一步中表明)shnP→ 0.（61）我们使用引理7和引理8定义了近似持续时间的累积时间，即τhi，n=l=iXl=0τ1Cl，hn，n，M>0这样的~τhNhn，n≤ M→ 1.我们确定Zn=0，并且T∈ [~τhi-1，n，﹪τhi，n]，Znt=Zn﹪τhi-1，n+Si-1，新界-~τhi-1，n.对引理5的证明稍加修改即可得出结论。第二步：我们证明我们可以对第i个区块的观测数量进行定位，即。

存在一个非随机的MNP最大值N（1）i，N，N（2）i，N> 锰（62）一致地（在i中）向0收敛，Mn最多与hn线性增加，即我们有Mn≤ βHn，其中β>0。为了证明（62），我们需要一些定义。为我定义≥ 0观察次数Oi，k，和近似观察次数Oi，k，n的顺序如下。让TOi，n：=τOi，j，nJ≥0所有观测时间（对应于过程1和2）的排序集严格大于τhi，n。然后是j≥ 1.如果第j个观察时间（单位：TOi，n）与第一个过程的观察结果相对应，我们将设置Oi，j，n=1，如果它与第二个过程的观察结果相对应，我们将设置Oi，j，n=2。类似地，我们设置了TOi，即所有近似时间的排序集ττ（k）i，j，nJ≥0，k=1,2。~Oi，j，nar的定义与此相同。存在一个p>0，对于所有整数i，j，n:pOi，j+1，n=1Oi，j，n=2≥ p和pOi，j+1，n=2Oi，j，n=1≥ p、 （63）事实上，让l表示（随机）指数，使得τ（1）i，l，n=τOi，j，n。条件为noi，j，n=1o，我们知道如果X（4）[τhi，n+τli，j，n.]交叉g+或-g+之前X（3）[τhi，n+τOi，j，n.]十字架g-或-G-. 利用（A2）和（51）中的（8），我们可以很容易地从0这个概率中分离出来，因此我们推断出（63）。现在，利用（22）和（63）以及布朗运动的强马尔科夫性质，我们推导出（62）。第三步：让g=（d，u）使得（g，g）∈ G、 σ∈ [σ-, σ+]和 ≤G-. 我们定义τ（g，σ，) = inf{t>0:σWt=u（t）+ 或σWt=d（t）- }, 这里是标准布朗运动。我们证明了这一点τ（g，σ，) - τ（g，σ，0）L≤ γ（l）() （64）式中γ（l）()→0→ 0.为了表示（64），让τ（g，σ，) = inf{t>0：σWt+τ（g，σ，0）=minu（τ（g，σ，0））+Kt+, g+或σWt+τ（g，σ，0）=maxd（τ（g，σ，0））- Kt- , G-}.通过（A3）的（9）和（11），我们得到了τ（g，σ，) - τ（g，σ，0）≤ τ（g，σ，).

有条件的nτ（g，σ，)o、 利用布朗运动的强马尔可夫性，我们可以证明Eτ（g，σ，)τ（g，σ，)L→0→ 0使用Potzelberger和Wang（2001）中的定理2。第四步：让k∈ {1, 2}. 我们在这里展示的是XJ≤MnEτ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL= 欧α2ln. （65）这个想法是通过在j，E中的重复来证明τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL当n增长时可以任意变小。然后是一个简单的分析练习，使用本地化Unsecond步骤，并在必要时选择不同的序列h，该序列仍然是非随机递增的，并遵循（53）和（54），因此（65）中的总和也将是任意整数。让我们从j=1和k=1开始。Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，nL= Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n雷，n+ Eτ（k）i，1，n- τ（k）i，1，n莱奇，n,式中，Ei，n=E（1）i，n∩ E（2）i，n（1）i，n=（sups）∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]X（1）[τhi，n，s]- ~X（1）[τhi，n，s]< η1，n），E（2）i，n=（sups∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]g（1）s- g（1）τhi，n∞< η1，n），η1，n=qnαn，qn=maxαd-1/2n，z1/2nzn=sup1≤u、 五≤4.嗯sσu，v，shn∨ ~shn我1/2. 通过（58）和（64），Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n雷，n≤ Cα2lnγ（l）（2qn）+γ（l）(-2qn）.利用柯西-施瓦兹不等式和引理7，Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n莱奇，n≤ Cα2lnPECi，n1/2≤ Cα2lnPE（1）i，nC+ PE（2）i，nC1/2.一方面，PE（1）i，nC≤ （η1，n）-1E小吃∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]X（1）[τhi，n，s]- ~X（1）[τhi，n，s]≤ C（η1，n）-1max1≤u、 五≤4EZτhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，nτhi，nσu，vs- σu，vτhi，nds！1/2≤ C（η1，n）-1max1≤u、 五≤4Eτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，nsσu，v，shn∨ ~shn1/2≤ C（η1，n）-1.Ehτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，ni1/2zn≤ Cz1/2n。我们在第一个不等式中使用马尔可夫不等式，在第二个不等式中使用条件Burkholder-Davidsgundy不等式，在第四个不等式中使用Cauchy-Schwarz不等式，在最后一个不等式中使用引理7。

另一方面，PE（2）i，nC≤ （η1，n）-1E小吃∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]g（1）s- g（1）τhi，n∞≤ C（η1，n）-1Eτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，nD≤ Cαd-1/2n。我们在第一个不等式中使用了马尔可夫不等式，在第二个不等式中使用了（A3）中的（12），在最后一个不等式中使用了引理7。总之，我们有τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL≤ Cα2lnγ（l）（2qn）+γ（l）(-2qn）+z1/2n+αd-1/2.我们可以任意缩小，因为→ 0与引理6以及σ（A1）的连续性一起。k=2的情况非常相似。最后，对于j>1，同样的计算技术，使用（A3）的加法（11）也可以。第五步：证明一致（在i）PJ≤ Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n→ 为了表示，让j≤ 明尼苏达州。我们定义（随机）指数v，使得τOi，v，n=τ（k）i，j，n。如果需要适当修改h，则存在（使用第四步）序列(n） 如此τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，n≤ αnN→ 1，（67）PτOi，v+1，n- τOi，v，n≤ αnN→ 使用（67）和（68），我们可以通过重复验证（66）。第六步：我们在这里证明（59）和（60）。利用引理7和（66）我们得到τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL= Eτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}+ 欧α2ln.不等式右边的第一项可以用ce来限定τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}+Eτ1Ci，j-1，n- ■τ1Ci，j-1，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}!.这两个术语可以用相同的技巧处理。使用第二步和引理7，第一项等于toXv≤MnEτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}{τ1Ci，j，n=τ（1）i，v，n}+ 欧α2ln.这个总和显然是以xv为界的≤MnEτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL.利用（65），我们证明（59）。

我们可以用同样的计算来推断（60）。设Mnt为插值归一化误差，即Mnt=α-1nXi≥1.X（1）[τ1Ci-1，n∧t、 τ1Ci，n∧[t]X（2）[τ1C，-我-1，n∧t、 τ1C，+i，n∧[t]-Ztσ（1）sσ（2）sρ1,2sds！。如果我们观察t时两种资产的价格，则MNT与Hayashi Yoshida估值器的标准化误差完全相关。我们回忆起NI的定义，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nσ（1）sσ（2）sρ1,2sds。引理12。我们有XI∈你好-1，nMnτhi，n= α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）。证据我们得到这个等式，注意（Ni，n）n≥0居中且1相关，左项概率收敛为0。我们在块体开始时引入观测时间，其中“s”代表“开始”τsi，n=sup{τhj，ns.t.τhj，n<τ1Ci，n}。引理13。我们有α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nvdπi-1，j，n（x，v）+op（1）。证据第一步：保持波动率不变。设置Ni，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2)-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-这里A（i）是向量A的第i个分量。我们想证明：α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~N（i）-1） hn+u+ 2~N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）。注意Fi，n=（Ni，n）+2Ni，nNi+1，nandFi，n=~Ni，n+ 2~Ni，n~Ni+1，n，α-2nXi≥1Eτsi-1，n菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}P→ 0，我们可以重写为α-2nPN（1）t，ni≥1Eτsi-1，新罕布什尔州菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}iP→ 0.使用引理9，可以很好地证明u>0:a-2nuα-2nXi=1Eτsi-1，新罕布什尔州菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}iP→ 因此，有必要证明这个量的收敛性，即α-2nuα-2nXi=1Eh菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}i→ 0.我们有菲，n-~Fi，n≤ B（1）i，n+2B（2）i，n，其中B（1）i，n=倪，n-~Ni，nB（2）i，n=镍-1.nNi，n-~Ni-1，nNi，n.

我们有B（1）i，n≤ C（1）i，n+C（2）i，n+C（3）i，n，其中C（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2),C（2）i，n=Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2sds！-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-1，nds！,C（3）i，n=2X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2sds-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n（2） Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-1，nds.让我们展示一下-2nPuα-2ni=1EhC（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 我们可以把它写成C（1）i，n≤ D（1）i，n+D（2）i，n，其中（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 nστsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n,D（2）i，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n--στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2).我们想证明这一点-2nPuα-2ni=1EhD（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0.我们定义：E（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n，E（2）i，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n.利用Cauchy-Schwarz不等式，我们推导出：EhD（1）i，n{τsi-1，n<t}i=EhE（1）i，n+E（2）i，nE（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}i≤EE（1）i，n+E（2）i，nEE（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}1/2.利用Cauchy-Schwarz不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和引理7，我们得到：E（1）i，n+E（2）i，n= 欧点αn.其中U代表“1中的一致”≤ 我≤ uα-2n”。

CauchySchwarz不等式的另一个应用是E（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}≤E“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1){τsi-1，n<t}#E“X（2）τ1C，-,+i、 n#!1/2.再次使用Cauchy-Schwarz不等式、Burholder-Davis-Gundy不等式和引理7，我们得到：X（2）τ1C，-,+i、 n#= 欧点αn.同样，我们使用第一个不等式中的条件Burkholder-Davis-Gundy、第三个不等式中的Cauchy-Schwarz、引理5、引理6和引理7以及最后一个等式中σ（A1）的连续性进行计算。E“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1){τsi-1，n<t}#=E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，n“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)##= E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nσs- στsi-1，ndWs(1)!≤ C sup1≤j、 l≤4E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nσj，ls- σj，lτsi-1，nds！= C sup1≤j、 l≤4E{τsi-1，n<t}Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nσj，ls- σj，lτsi-1，nds！≤ C sup1≤j、 l≤4Eτ1Ci，nSσj，l，shn+ 欧点αn≤ C嗯τ1Ci，niEsup1≤j、 l≤4.sσj，l，shn1/2+oUαn= 欧点αn.通过同样的计算，我们证明了α-2nPuα-2ni=1EhD（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0，我们也可以显示α-2nPuα-2ni=1EhC（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0, α-2nPuα-2ni=1EhC（3）i，n{τsi-1，n<t}i→0（因此我们还有α-2nPuα-2ni=1EhB（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0）和α-2nuα-2nXi=1EhB（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0.第二步：使用（△τi，j，n）i，j，n近似≥0而不是（τi，n）i，n≥0.我们设置▽Ni，j，n=στhi，nWτ1Ci，j，n(1)στhi，nW|τ1C，-,+i、 j，n(2)-Z~τ1Ci，j，n~τ1Ci，j-1，nζ1,2τhi，nds。我们想证明这一点-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~N（i）-1） hn+u+ 2~N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~Ni-1，联合国+ 2/Ni-1，u，n?Ni，u+1，n#+op（1）。使用与第一步相同的计算方法，结合引理11，我们得出结论。第三步：将结果表示为ψAV的函数。

利用lastequality中的引理10，我们推导出任意整数u的2≤ U≤ hnthatEτhi-1，n~Ni-1，联合国+ 2/Ni-1，u，nNi-1，u+1，n=ZRψAVστhi-1，n，αngτhi-1，n，x，vdπi，u-2，n（x，v）=αnZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nvdπi，u-2，n（x，v）。引理14。σ ∈ M、 g∈ Gπ（σ，g）分布使得：αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nudπi-1，j，n（x，u）=αnXi∈AnhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，n+ 作品（1）。证据我们定义了马尔可夫链的转移函数~Zi（σ，g）我≥定义（33）。对于（x，u）∈ 秘书长，B∈ B（Sg）（Sg的borelians）P（σ，g）（x，u，B）=P~Z（σ，g）∈ B~Z（σ，g）=（x，u）.第一步：我们证明这一点σ ∈ MG∈ G、 状态空间sg是ν-小的，即B（R）上存在一个非平凡测度，使得（x，u）∈ Sg，B∈ B（Sg），P（σ，g）（（x，u），B）≥ ν（B）。设B=[xa，xb]×[ua，ub]。我们选择的是ν，使得在外部，ν=0[-G-,G-] × [3, 4]. 因此，在不丧失一般性的情况下，我们得到了[xa，xb]×[ua，ub] [-G-,G-] × [3, 4]. 我们想证明这一点c>0，使得uniformlyP（σ，g）（（x，u），B）≥ c（xb）- xa）（ub- ua）。有两种有用的重写方法（~X（3），~X（4））。第一种是：~X（3）t:=σ（3）~B（3）t，（69）~X（4）t:=ρ3,4σ（4）~B（3）t+1.-ρ3,41/2σ（4）~B3，⊥t、 （70）其中B（3）和B3，⊥是独立的，ρ3,4∈ [ρ3,4-, ρ3,4+]和最大值-ρ3,4-, ρ3,4+< 1（因为σ∈ M） ，δ=1.- 最大值ρ3,4-,ρ3,4+1/2. （71）重写它的另一种方法是：~X（4）t:=σ（4）~B（4）t，（72）~X（3）t:=ρ3,4σ（3）~B（4）t+1.-ρ3,41/2σ（3）~B4，⊥t、 （73）其中B（4）和B4，⊥他们是独立的。对于（Bt）t≥0a标准布朗运动，a<x<b，我们表示布朗运动的出区时间τa，bx=inf{t>0s.t.x+Bt=a或x+Bt=b}，p（x，a，b，t）τa，bx的密度。我们还定义了p（x，a，b，s，y）以{τa，bx为条件的bs+x的分布≥ s} 。最后，设p（x，a，b，t）τa，bxc在{bτa，bx=b}上的分布。

所有公式都可以在Borodin和Salminen（2002）中找到。考虑空间C=C={（x，a，b，t）∈ 技术援助≤ 十、≤ b、 t>0}，C={（x，a，b，t，y）∈ 技术援助≤ 十、≤ b，a<y<b，t>0}。这些功能是连续的，呈阳性。因此，对于所有紧集Ki Ci，我们有INFK∈Kipi（k）>0。（74）我们可以在（σ，g）（（x，u），B）下进行约束≥ PE\\E\\E\\E\\E~Z=（x，u）,式中e=nsup0≤s≤~τ(2)~X（3）s<σ-最小（σ）-, 1)15σ+, ~τ(2)≤ Ko，E=nsup|τ（2）≤s≤K+1~X（3）s<σ-10σ+，supτ（2）≤s≤K+1■B3，⊥[■τ（2），s]<G-σ-4（σ+）o，E=nsupK+1≤s≤~τ(2)~X（3）s≤, ~τ(2)∈ [K+2，K+3]o，E=ns∈ [)τ（2），K+4])X（3）s∈ [d（K），u（K）]，~X（3）K+4∈ [u（K）- 2., u（K）- ]o\\nsup)τ（2）≤s≤K+4~X（4）[~τ（2），s]<G-o、 E=n)τ（1）∈ [ua+＠τ（2），ub+＠τ（2）]，infK+4≤s≤~τ(1)~X（3）[K+4，s]>-2.o\\nsupK+4≤s≤~τ(1)~X（4）[~τ（2），s]< G-, ~X（4）[~τ（2），~τ（1）]∈ [xa，xb]o，在哪里 =G-σ-24σ+. 利用贝叶斯公式，我们可以重写E\\E\\E\\E\\E\\{Z∈ B}~Z=（x，u）= I×II×III×IV×V，其中I=PE{Z=（x，u）}, II=PEET{Z=（x，u）}, 也就是III=PEETET{Z=（x，u）}, IV=PEETETET{Z=（x，u）}V=PEetetet{Z=（x，u）}.我们证明了I是一致有界的。利用（52），（69），（70）和（71），我们推导出E（1）TE（2） 式中e（1）=nsup0≤s≤K~B（3）s<σ-最小（σ）-, 1） 15（σ+）o，E（2）=nsup0≤s≤Kxσ（4）1.- (ρ3,4)1/2+B3，⊥s≥g+Δσ-+σ-最小（σ）-, 1） 在{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。因此，我们推断≥ PE（1）{Z=（x，u）}PE（2）{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔柯夫性质，我们得到了它们的右部分等于1.-ZKp0, -σ-最小（σ）-, 1)15 (σ+),σ-最小（σ）-, 1） 15（σ+），tdtZKpy（1），-y（2），y（2），t式中y（1）=xσ（4）（1）-（ρ3,4））1/2，y（2）=g+Δσ-+σ-最小（σ）-,1） 15（σ+），它（在x中，σ和g）使用（52）和（74）与0一致地有界。我们证明了II在远离0的地方是一致有界的。

有条件地，在ET{Z=（x，u）}上，Eare的两个量是独立的。因此，我们以1的速度在II（我们为I所做的相同路线）下方行进-ZK+1τ（2）p~B（3）~τ（2），-σ-10σ+σ(3),σ-10σ+σ（3），tdt！1.-ZK+1τ（2）p0, -G-σ-4σ+σ（4），g-σ-4σ+σ（4），tdt！，使用（52）和（74）使其与0一致有界。我们证明了III在远离0的地方是一致有界的。利用（52），（69），（70）和（71），我们推导出E（1）TE（2） 其中E（1）=nsupK+1≤s≤K+3~B（3）s≤5σ+o，E（2）=nsupK+1≤s≤K+2■B3，⊥[■τ（2），s]<G-2σ+，supK+2≤s≤K+3■B3，⊥[■τ（2），s]≥g+Δσ-+5σ+δo。在ETET{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。因此，我们教育≥ PE（1）E\\E\\{Z=（x，u）}PE（2）E\\E\\{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔可夫性质，我们得到了{B（3）K+1条件的内质的右部分，■B3，⊥[■τ（2），K+1]ETET{Z=（x，u）}}等于1.-Zp■B（3）K+1，-5σ+,5σ+，tdt1.-Zp■B3，⊥[■τ（2），K+1]，-g+2σ+，g+2σ+，tdt×Zg-2σ+-G-2σ+ZpY-g+Δσ-+5σ+δ,g+Δσ-+5σ+δ，tdtdq（y），其中q是■B3，⊥[)τ（2），K+1]+b条件为τ-G-2σ+，g-2σ+■B3，⊥[■τ（2），K+1]≥ 1..使用Etogether与（52）和（74）的定义，我们得到了III，它与0有统一的边界。我们证明了IV在远离0的地方是一致有界的。使用（72）和（73），我们得出E（1）TE（2） 式中e（1）=nsupτ（2）≤s≤K+4~B（4）[τ（2），s]<σ-5σ+σ（4）o，E（2）=ns∈ [■τ（2），K+4]■B4，⊥[■τ（2），s]∈ [y（1），y（2）]，■B4，⊥[■τ（2），K+4]∈ [y（3），y（4）]o，其中y（1）=d（K）+2/5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，y（2）=u（K）-2./5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，y（3）=u（K）-8./5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，以及asy（4）=u（K）-7./5σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 在ETETET{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。

因此，我们推断≥ PE（1）E\\E\\E\\{Z=（x，u）}PE（2）E\\E\\E\\{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔可夫性质，我们得到了线性的右部分是以{τ（2）为条件的ETETET{Z=（x，u）}等于1-ZK+4-■τ（2）p0, -σ-5σ+σ(4),σ-5σ+σ（4），tdt！1.-ZK+4-■τ（2）p0，y（1），y（2），tdt！×Zy（4）y（3）p0，y（1），y（2），K+4- ττ（2），ydy，它使用（52）、（71）和（74）一致地有界于0之外。我们证明了V>c（xb）- xa）（ub- ua）。利用（69）和（70），我们推导出（1）TE（2） 式中，e（1）=nτ∈ [ua+~τ（2），ub+~τ（2）]，~X（3）~τ=u（K）o，E（2）=nsupK+4≤s≤~τ■B3，⊥[K+4，s]<5g-6σ(4)1.- (ρ3,4)1/2, ■B3，⊥[L+4，τ]∈ [y（1），y（2）]o，τ=inf{t>K+4:X（3）t=u（K）或~X（3）[K+4，t]=-2.},y（1）=xa- ~X（4）[~τ（2），K+4]- ρ3,4σ(4)σ(3)-1.u（K）-~X（3）K+4σ(4)1.- (ρ3,4)1/2，y（2）=xb-~X（4）[~τ（2），K+4]-ρ3,4σ(4)(σ(3))-1.u（K）-~X（3）K+4σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 我们有v=P~X（3）~τ=u（K）×PE（1）\\E（2）E\\E\\E\\E\\{Z=（x，u）}{x（3）~τ=u（K）}.方程右侧的第一项一致有界，远离0（Borodin和Salminen（2002））。因为τ是X（3）和B3的函数，⊥独立于∧X（3）、τ和∧B3，⊥他们是独立的。因此，右条件上的第二项是{y（1），y（2），X（3）K+4，＠τ（2）E\\E\\E\\E\\{Z=（x，u）}}可以表示为：Zub+~τ（2）-（K+4）ua+＠τ（2）-（K+4）Zy（2）y（1）pX（3）K+4σ（3），X（3）K+4- 2.σ（3），u（K）σ（3），t！p0，-5g-y（3），5g-y（3），t，y！dtdy，其中y（3）=6σ（4）1.- (ρ3,4)1/2. 我们知道y（1）和y（2）由3G主导-4σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 结合（52），（71）和（74），我们推断出≥c（xb）- xa）（ub- ua）。第二步：我们证明这一点ψAV∞:= supσ∈M、 g∈G、 （x，u）∈SgψAV（σ，g，x，u）< ∞. 为了展示这一点，我们将术语绑定为asE~X（1）~τ1C~X（2）~τ1C，-,+-~ζ1,2τ1C≤ 2E~X（1）~τ1C~X（2）~τ1C，-,++~ζ1,2τ1C.不等式右侧的第二项使用（52）和引理7一致有界。

依次使用Cauchy-Schwarz和Burholder-Davis-Gundy不等式，（52）和引理7，我们也可以统一地约束第一项。（29）的另一项也可以用同样的方式限定。第三步：定义q=（σ，g，x，u）和q={（σ，g，x，u）s.t.σ∈ M、 g∈ G、 （x，u）∈ Sg}。证明Q∈ Q、 存在这样一个测度∧π（σ，g），即supq∈QN-1Xl=0ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）- nZRψAV（σ，g，y，v）d∧π（σ，g）（y，v）= 没有（1）。为了证明这一点，我们将第一步与T h.16.0.2（v）（Meyn和Tweedie（2009））结合使用。我们得到存在∧π（σ，g），其中Pn（σ，g）（（x，u），）- ~π（σ，g）电视≤ 2R与r=1- ν（R）。因此，我们推断：ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）-ZRψAV（σ，g，y，v）dπ（σ，g）（y，v）≤ψAV∞πl（σ，g，x，u）- ~π（σ，g）电视≤ 2.ψAV∞rl。（75）我们想证明这一点 > 0, N>0以至于N≥ N:N-1Xl=0ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）- nZRψAV（σ，g，y，v）d∧π（σ，g）（y，v）< n、 （76）剩下的是一个简单的分析练习。允许 > 0N> 0这样的<. 选择N>8N-1kψAVk-1.∞, 我们首先使用三角不等式，然后将（76）的左部分之和分成两部分，一部分到N，另一部分到N。我们在第二部分使用（75）得到（76）。第四步：证明引理。让w>0。从引理9，我们只需要展示αnxwα-2nh（n）-1yXi=1嗯-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1ny，α-2nvdπi-1，j，n（y，v）-hnφAVστhi-1，n，gτhi-1，n概率趋于0。将第三步与常规条件分布的标准结果结合使用（例如，参见第4.3节（第77页- 80）在Breiman（1992）中，我们证明了引理。引理15。我们有αnXi∈你好-1，nσ（1）τhi-1，nσ（2）τhi-1，nhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.=xi∈你好-1，nφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nφττhi-1，n-1.+ 作品（1）。证据

第一步：定义ui，n:=Phn-2j=0RXψτστhi-1，n，gτhi-1，n，x，udπi-1，j，n（x，u），A:=αnPi∈你好-1，nhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.,A:=αnPi∈你好-1，nhhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτhi，n（ui，n）-1i。我们有A=A+op（1）。为了证明这一点，根据引理11，我们有Eτhi-1，nτ嗨，n- ui，n≤ h（n）Cn，其中Cntends的概率为0。由此，我们可以很容易地证明A=A+op（1）。第二步：我们有That a=Xi∈你好-1，nφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1.+ 作品（1）。为了证明这一点，我们可以模拟引理14的证明，以及引理11.8.3计算hMnit，hMn，X（1）Itan和hMn，X（2）ithMnit=Xi的极限∈你好-1，nMnτhi，n+ op（1）=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）=αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nudπi-1，j，n（x，u）+op（1），其中我们在第一等式中使用了Jacod和Protter（2012）的引理2.2.11，在第二等式中使用了引理12，在第三等式中使用了引理13。我们推导出（在第一等式中使用引理14，在第三等式中使用引理15）hMnit=αnXi∈AnhnφAVτhi-1，n+op（1）=αnXi∈你好-1，nhnφAVτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.+ op（1）=Xi∈你好-1，nφAVτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1.+ 作品（1）。再次使用Jacod和Protter（2012）的引理2.2.11，我们推导出Hmnit=Xi∈AnφAVτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1+op（1）。使用引理5和道具。I.4.44（第51页）在Jacod和Shiryaev（2003）中，我们获得了Hmnit→ZtφAVs（φτs）-1ds。（77）使用相同的近似和计算，我们也计算hmn，X（1）it→ZtφAC1s（φτs）-1ds，（78）hMn，X（2）it→ZtφAC2s（φτs）-1ds。（79）8.4渐近偏差和方差的计算我们遵循Mykland and Zhang（2012）第155-156页中的一维思想，定义了一个辅助鞅Mnt=Mnt-Ztk（1）sdX（1）s-Ztk1，⊥sdX1，⊥s、 其中X1，⊥定义见（39）。

利用（78），我们推导出h＠Mn，X（1）it=hMn，X（1）it-Ztk（1）sdhX（1）isP→ZtφAC1s（φτs）-1ds-Ztk（1）sσ（1）sds。因此，我们选择K（1）s=σ（1）s-2φAC1s（φτs）-1.通过我们用来计算（78）的相同技术，我们得到了thathMn，Z.ρ1,2sσ（2）sdB（1）sit→Ztσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s（φτs）-1ds。（80）使用（79）和（80）我们计算hMn，X1，⊥它=hMn，X1，⊥信息技术-Ztk1，⊥sdhX1，⊥is=hMn，X（2）-Z.ρsσ（2）sdB（1）sit-Ztk1，⊥sdhX1，⊥is=hMn，X（2）i- hMn，Z.ρsσ（2）sdB（1）sit-Ztk1，⊥sdhX1，⊥isP→ZtφAC2s-σ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s（φτs）-1ds-Ztk1，⊥s1.-ρ1,2sσ（2）sds。因此，我们选择K1，⊥s=1.-ρ1,2s-1.σ（2）s-2φAC2s-σ（1）sσ（2）s-1ρ1,2sφAC1s（φτs）-1.通过（A4），存在S>0，使得S布朗运动{D（1），…，D（S）}产生过滤（Ft）t≥0.为了证明h)Mn，D（s）在概率上等于0，我们将（s）=Ds，1+Ds，其中Ds，1延伸到由{X（1），X（2）}，Ds，2所跨越的空间，或与该空间正交。根据前面的内容，我们清楚地知道hMn，Ds，1的概率为0。同样，Ds，2是一个鞅，它是有条件地依赖于两个过程的观测值，独立于＠Mn。因此，我们还推导出hMn，Ds，2it在概率上收敛于0。我们现在可以计算hMnit=hMn-Z.k（1）sdX（1）s-Z.k1，⊥sdX1，⊥sit=hMnit+Ztσ（1）sk（1）sds+Ztσ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥sds- 2Ztk（1）sdhX（1），Mnis- 2Ztk1，⊥sdhX1，⊥, MnisP→ZtφAVs+2k（1）sσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s-ks+k1，⊥sφAC2s（φτs）-1+σ（1）sk（1）s+σ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥sds。通过出租=φAVs+2k（1）sσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s-k（1）s+k1，⊥sφAC2s（φτs）-1+σ（1）sk（1）s+σ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥s,我们使用Mykland和Zhang（2012）中的定理2.28推导出，在定律中稳定为αn→ 0,α-1n[RCVt，n]- RCVt→Ztk（1）sdX（1）s+Ztk1，⊥sdX1，⊥s+Zt（AVs）1/2dWs。我们刚刚展示了定理1。

现在，我们表示渐近偏差ABt=Rtk（1）sdX（1）s+Rtk1，⊥sdX1，⊥sdi不同的是asABt=Ztk（1）sdX（1）s+Ztk1，⊥s（1）-ρ1,2s)1/2σ（2）sdB1，⊥s=Ztk（1）sdX（1）s-Ztk1，⊥sρ1,2sσ（2）sdB（1）s+Ztk1，⊥sρ1,2sσ（2）sdB（1）s+Ztk1，⊥s1.-ρ1,2s1/2σ（2）sdW1，⊥s=Ztk（1）s- k1，⊥sρ1,2sσ（2）sσ（1）s-1.dX（1）s+Ztk1，⊥因此我们推导出AB（1）和AB（2）的表达式。推论4的证明与定理1的证明相同。我们在大小为hn的块上保持不变的渐近方差和渐近偏差。此外，我们可以看到，在常数模型下，dAB（1）i，α，dAB（2）i，α和davi，α是一致相合的估计量。8.5关于定理1证明适用于更一般模型的讨论我们将在本节讨论如何在考虑示例3到示例6时适用定理1的证明。在这种情况下，可以将每个k=1，2的HBT定义为τ0，n:=0，并递归定义为τ（k）i，n:=infnt>τ（k）i-1，n：X（t，k）[τ（k）i-1，n，t]/∈αnd（k）t，nT- τ（k）i-1，n, αnu（k）t，nT- τ（k）i-1，no（81）对于任何正整数i.在（81）中，网格g（k）t，n:=（d（k）t，n，u（k）t，n）依赖于n，因此在定理1中获得的渐近方差中的项g（k）将具有不同的解释。实际上，g（k）twill可以看作是一个（可能是多维的）连续时变参数，它生成（81）而不是标度网格函数本身。特别是，近似值不会在每个块上保持gt恒定，而是在每个块上保持gt恒定。此外，对于任何固定的t∈ [0,1]，g（k）不是R+上的函数，而是一个简单的向量。读者可以参考Potiron（2016）了解时变参数的概念。注意，假设（A3）只在引理11和引理14中使用。

因此，引理11和引理14是证明中唯一需要修改的部分。8.5.1示例3（达到跳跃大小的恒定边界）对于每个资产k=1，2我们将跳跃大小定义为L（k）i，n。我们假设L（1）i和L（2）i相互独立。我们有g（k）t，n（s）：=(-L（k）i-1，n，L（k）i-1，n）代表t∈ （τ（k）i-1，n，τ（k）i，n]。我们还有一个非时变参数gt:=1。由于跳跃大小L（k）i，nare IID与其他量无关，我们在进行局部近似时可以考虑相同的L（k）i。注意，在引理11中，对块的每个观察时间进行递归证明。因此，只要在近似块中也进行了相同的跳变，当它恰好发生在观测时间时，就不成问题。由于L（k）i，nis被假定为有界的，因此直接采用引理11的证明。我们现在讨论如何修改引理14的证明。为此，我们考虑马尔可夫链：=~X（2）[~τ1C，-i、 §τ1Ci]，§τ1Ci- τ1C，-i、 L（1）i，L（2）j, 式中，iis为＠τ（1）i=＠τ1Ci，jis为＠τ（2）j=＠τ1C，-i、 L（1）和L（2）是相互独立的IID序列，分别遵循L（1）i，1和L（2）i，1的分布。然后，所有事情都遵循与引理14.8.5.2示例4（带不确定区的模型）证明相同的方式。该模型与示例3非常相似，除了序列L（k）i，nis是作为χ（k）τi，n的函数获得的，其中χ（k）t与Robert和Rosenbaum（2012）第5页中引入的第k个资产的连续时变参数χtof相关。因此，我们考虑了g（k）t:=χ（k）t。引理11的证明可以使用罗伯特和罗森鲍姆（2012）在第11页中提供的L（k）i的方便构造进行扩展。假设（Wt）（1）和（Wt）（2）是独立的，我们将这个构造扩展到二维。

由于示例4比示例3稍微复杂一些，因此马尔可夫链需要包括每项资产之前的价格变化类型（增量或减量）。因此，我们认为Zi：=~X（2）[~τ1C，-i、 §τ1Ci]，§τ1Ci- τ1C，-i、 L（1）i，L（2）j，符号(~X（1）~τ（1）i），符号(~X（2）~τ（2）j）, 并且可以遵循与引理14.8.5.3示例5相同的推理路线（通过撞击不规则网格模型生成的次数）。在这种情况下，参数g（k）t:=1是非时变的。引理11很容易适应。为了证明引理14，需要对q（k）j:=p（k）j给出进一步的条件- p（k）j-1.假设存在一个正数Q（k），对于任何非负数J和任何l∈ {0，··，Q（k）-1} 我们有q（k）jQ（k）+l=q（k）l。我们还定义了马尔可夫链：=~X（2）[~τ1C，-i、 §τ1Ci]，§τ1Ci- τ1C，-i、 l（1），l（2）, 式中，l（1）是指存在一个非负数m和p（1）mQ（1）+l（1）=X（1）~τ1Ci，l（2）是指存在一个非负数m和p（2）mQ（2）+l（2）=X（2）~τ1C，-i、 在这个假设下，我们可以展示引理14.8.5.4示例6（结构自回归条件持续时间模型）。我们假设混合变量d（k）τi，和c（k）τi，由时变连续随机参数（d（k）t，c（k）t）插值。我们有g（k）t:=（~d（k）t，~c（k）t）。例6中的中心极限定理可以作为定理1的直接推论得到。如果我们定义了任何≥ 0网格函数g（k）t（s）：=（~d（k）t，~c（k）t），HBT模型（5）和结构ACD模型（6）之间的唯一区别是，我们在后一个模型中的两个观测值之间保持网格。鉴于这一特定假设暗示近似量比HBT模型下的近似量更接近近似量，引理11的证明变得简单。

引理14的证明保持不变，因为它只处理近似的数量。8.6跳转案例：备注6的证明我们在本节中更新了跳转案例模型中的证明（14）。这个想法是排除我们观察到跳跃的所有区块。此类区块将被完全统计，每个区块最多有一次跳跃（Y（1）或Y（2）t，但不是同时针对两个价格）。这是与一维情况的主要区别。我们介绍符号a（no）n：=我≥ 1 s.t.τhi-1，n≤ 在[τhi]上没有跳跃-1，n，τhi，n].引理5的证明可以改编，因为跳跃的不确定性。引理6的证明保持不变。从跳跃的真实性来看，引理7和引理8仍然成立。引理9和引理10不需要任何改变。我们修改引理11如下。让我≥ 1.我们有苏比∈A（不）n，2≤J≤赫内τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL= opα2ln安苏比∈A（不）n，2≤J≤赫内τ1C，-,+i、 j，n- τ1C，-,+i、 j，nL= opα2ln考虑到跳跃量和其他量之间的独立性假设，证明保持不变。引理12保持不变，没有进一步的变化。在证明中，我们在引理12和引理13之间插入新的引理。引理16。我们有α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=α-2nXi∈A（no）nEτhi-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）证明。这是一个简单的结果，因为我们最多有一次跳转X（1）τ1Ci，norX（2）τ1C，-,+i、 鼻症状，以及跳跃的精确性。从引理13开始，直到定理1的证明结束，考虑到引理16，我们可以使用“i”∈ A（no）n“代替”i∈ 因此，我们证明了定理1是针对跳跃的。参考文献[1]A"it-Sahalia，Y.，J.Fan和D。

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年份估计设置样本偏差RMSE%降低RMSE1 HY 1 5.41e- 07 1.36e- 05 1 BCHY 1 5.43e- 07 1.19e- 05 13%5 HY 1.10e- 07 1.42e- 05 5 BCHY 1 1.07e- 07 1.26e- 05 11%10 HY 1 5.54e- 08 1.39e- 05 10 BCHY 1 5.53e- 08 1.20e- 05 14%1 HY 2 5.47e- 07 1.66e- 05 1 BCHY 2 5.44e- 07 1.50e- 05.9%5 HY 2 1.13e- 07 1.71e- 05 5 BCHY 2 1.15e- 07 1.58e- 05 8%10 HY 2 5.58e- 08 1.70e- 05 10 BCHY 2 5.60e- 08 1.57e- 05 8%1 HY 3 5.61e- 07 1.80e- 05 1 BCHY 3 5.62- 07 1.67e- 05 7%5 HY 3 1.14e- 07 1.81e- 05 5 BCHY 3 1.12e- 07 1.68e- 05 7%10 HY 35.56e- 08 1.80e- 05 10 BCHY 3 5.55e- 08 1.68e- 05 7%1 HY 4.41e- 07 1.10e- 05 1 BCHY 4 4.44e- 07 1.11e- 05-1%5 HY 4 8.81e- 08 1.10e- 05 5 BCHY 4 8.80e- 08 1.09e- 05.1%10 HY 4.39e- 08 1.08e- 05 10 BCHY 4 4.43e- 08 1.08e- 05 0%表1：基于1年、5年和10年模拟内生数据的汇总统计。表中的RMSE对应于估计值与真值6.4e之间平方距离的平方根- 05.HY代表通常的林吉田估计量（4），BCHY代表偏差修正估计量（15）。年份0.5%2.5%5%95%97.5%99.5%1-2.48-1.99-1.59 1.66 2.13 2.575-2.60-1.96-1.64 1.64 2.05 2.6210-2.68-1.98-1.60 1.65 2.01 2.73表2：在该表中，我们报告了设置1中可行标准化统计（50）的有限样本四分位数。基准四分位数是极限分布n（0，1）的四分位数。