HP的许多方面仍然可以通过选择任何激励函数获得；例如，随机时间变化定理完全解决了测试模型的优缺点的问题。在金融中使用HPs本身似乎是一个自我激励的过程。Ait-Sahalia等人[28]、Filimonov和Sornette[6]以及Da Fonseca和Zaatour[20]构成了第3节财务部分的主要来源；这些论文出人意料地是最新的（考虑到该模型是在1971年引入的），代表了惠普研究的当前激增。额外的证明细节在本附录中，我们收集了定理2.26的证明中省略的额外细节Patrick J.Laub等人A.1补充定理2（第一部分）R（τ）=EdN（t）dtλ+Zt+τ-∞u（t+τ）- s） dN（s）！- λ*= λEdN（t）dt+ EdN（t）dtZt+τ-∞u（t+τ）- s） dN（s）！- λ*= λλ*+ E“dN（t）dtZt+τ-∞u（t+τ）- s） dN（s）#- λ*.引入变量v=s的变化- t乘以dvdv:R（τ）=λ*+ E“Zτ-∞u(τ - v） dN（t）dtdN（t+v）DVD电视#- λ*= λλ*+Zτ-∞u(τ - v） EdN（t）dtdN（t+v）dvdv- λ*.期望值是（a）R（c）（v）。将其和（8）代入：R（τ）=λ*+Zτ-∞u(τ - v）R（c）（v）+λ*dv- λ*= λλ*+Zτ-∞u(τ - v）λ*δ（v）+R（v）dv+λ*Zτ-∞u(τ - v） dv- λ*= λλ*+ λ*u（τ）+Zτ-∞u(τ - v） R（v）dv+nλ*- λ*= λ*u（τ）+Zτ-∞u(τ - v） R（v）dv+λ*(λ - (1 - n） λ*) .使用（7）得到λ- (1 - n） λ*= λ - (1 - n） λ1- n=0。∴ R（τ）=λ*u（τ）+Zτ-∞u(τ - v） R（v）dv。A.2对定理2（第二部分）的补充将方程的右侧拆分为三个函数g、g和g:R（τ）=λ*u（τ）|{z}g（τ）+z∞u（τ+v）R（v）dv |{z}g（τ）+zτu（τ）- v） R（v）dv |{z}g（τ）。

（23）取每个项的拉普拉斯变换g（τ）（s） =Zse-sτλ*αe-βτdτ=αs+βλ*,Lg（τ）（s） =Z∞E-sτZ∞αe-β（τ+v）R（v）dvdτ=αZ∞E-βvR（v）Z∞E-τ（s+β）dτdv=αs+βZ∞E-βvR（v）dv=αs+βL{R}（β），Hawkes过程27andLg（τ）（s） =Lu(τ)（s） LR（τ）（s） =αs+βLR（τ）（s） 。因此，（23）L的拉普拉斯变换R（τ）（s） =αs+βλ*+ LR（τ）（β） +LR（τ）（s）. （24）替换s=β并重新排列得到R（τ）(β) =αλ*2(β - α). （25）因此，将R（τ）（β） 变成…的意思R（τ）（s） =αs+βλ*+αλ*2(β - α） +LR（τ）（s）=> LR（τ）（s） =αs+βλ*+αλ*2(β-α)1.-αs+β=αλ*(2β - α)2(β - α） （s+β）- α).参考文献1。《美国统计协会杂志》83（401），9（1988）2。G.O.Mohler，M.B.Short，P.J.Brantingham，F.P.勋伯格，G.E.Tita，《美国统计协会杂志》106（493），100（2011）3。S.Azizpour，K.Giesecke，G.Schwenkler。探索默认集群的来源。http://web.stanford.edu/dept/MSandE/cgi-bin/people/faculty/giesecke/pdfs/exploring.pdf (2010). 工作文件，检索日期：20154年2月10日。A.G.霍克斯，《生物计量学》58（1），83（1971）5。D.兰多，M.S.尼尔森，金融中介杂志19（3），355（2010）6。V.Filimonov，D.Sornette，《物理评论》E 85（5），056108（2012）7。L.Carstensen，霍克斯过程和组合转录调控。哥本哈根大学博士论文（2010）8。T.Ozaki，《统计数学研究所年鉴》31（1），145（1979）9。D.Daley，D.Vere Jones，《点过程理论导论：第一卷：基本理论和方法》（Springer，2003）10。D.R.考克斯，《皇家统计学会杂志》。B辑（方法学）17（2），129（1955）11。M.S.Bartlett，《皇家统计学会杂志》。B辑（方法学）25（2），264（1963）12。《印度统计杂志》a辑25（3），245（1963）13。硕士。

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