霍克斯过程 - 外文文献专区

2022-5-8 12:40:40

霍克斯过程帕特里克·J·劳布·托马斯·泰姆雷·菲利普·K·波莱特拉斯特编辑：2015年7月13日摘要霍克斯过程是一类特别有趣的随机过程，已应用于从地震建模到金融分析的各个领域。它们是点过程，其定义特征是“自我激励”，这意味着每次到达都会在一段时间内增加未来到达的速率。霍克斯过程已经很成熟，尤其是在金融文献中，但许多治疗方法对于不熟悉该主题的人来说都是无法实现的。这项调查提供了背景，介绍了该领域和历史发展，并触及了霍克斯过程的所有主要方面。1.在时间上观察到的事件通常是自然聚集的。地震通常会增加其发生地区的地质张力，随后可能会发生余震[1]。竞争之间的争斗可能会引发一连串的刑事报复[2]。大量抛售股票可能会引发交易流，或者在更大范围内，华尔街投资银行的倒闭可能会给世界金融中心带来冲击波[3]。霍克斯过程（HP）是这些“自激”过程的数学模型，以其创造者艾伦·G·霍克斯[4]的名字命名。HP是一个计算过程，它模拟了随着时间推移某种类型的“到达”序列，例如地震、帮派暴力、交易订单或银行违约。每一次旅行都会激发这一过程，因为在最初到达后的一段时间内，后续到达的机会会增加。因此，它是泊松过程的非马尔可夫扩展。一些数据集，如每年拖欠贷款的公司数量[5]，表明潜在的过程确实令人兴奋。

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mingdashike22

2022-5-8 12:40:43

此外，使用基本泊松过程建模表示股票交易订单的到达是非常不合适的，因为股票市场的参与者抑制了羊群行为，这是经济波动的标准例子[6]。本次调查考察了HPs优度的生成、模型拟合和测试过程。由于惠普在金融领域的文献尤其发达，因此在这些领域的应用被认为是最重要的。昆士兰大学数学系，昆士兰州4072，澳大利亚；奥胡斯大学数学系，丹麦奥胡斯C区DK-8000，纽约蒙克加德。电子邮件：昆士兰大学数学系，昆士兰州4072，澳大利亚邮政：T。taimre@uq.edu.auP.昆士兰大学数学系，昆士兰，昆士兰4072，澳大利亚邮政：pkp@maths.uq.edu.au2Patrick J.Laub等人t1t2t3t4t5t6t7N（t）T1234567图。1：一个示例点过程实现{t，t，…}背景在讨论HPs之前，必须阐明一些关键概念。首先，我们简要地给出计数过程和点过程的定义，从而设置基本符号。其次，我们讨论了鲜为人知的条件强度函数和补偿器，这两个概念都是清晰理解HPs的核心概念。2.1计数和点数过程我们从计数过程的定义开始。定义1（计数过程）计数过程是一个随机过程（N（t）：t）≥ 0）在满足N（0）=0的情况下，取N的值几乎肯定是（a.s.）有限的，是一个右连续阶跃函数，增量为+1。此外，表示为（H（u）：u≥ 0）直到美国的入境历史。

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2022-5-8 12:40:47

（严格地说，H（·）是一种过滤，即σ-代数的递增序列。）计数过程可以被视为截至当前时间系统中“到达”数量的累积计数。描述这种过程的另一种方法是考虑随机到达时间T={T，T，…}计数过程N（·）跳到该点。定义为这些到达时间的过程称为点过程，如定义2中所述（改编自[7]）；参见图1以获取示例点过程及其相关计数过程。定义2（点过程）如果随机变量序列T={T，T，…}，取[0]中的值，∞), 有P（0≤ T≤ T≤ . . . ) = 1，并且有界区域中的点的数量是有限的，那么t是一个（简单的）点过程。计数和点处理术语通常可以互换。例如，如果提到泊松过程或HP，那么读者必须从上下文中推断出是在讨论计数过程n（·）还是时间T的点过程。霍克斯过程3描述特定点过程的一种方法是指定以过去为条件的下一个到达时间的分布函数。根据上一次到达之前的历史，确定（根据[8]）下一次到达时间Tk+1asF的条件c.d.f.（和p.d.f.）*（t | H（u））=ZtuP（Tk+1∈ [s，s+ds]|H（u））ds=Ztuf*（s|H（u））ds。然后，根据链式规则，实现{t，t，…，tk}的联合p.d.f等于f（t，t，…，tk）=kYi=1f*（ti | H（ti-1)) . （1）在文献中，符号很少明确指定H（·），而是使用上标星号（参见示例[9]）。我们遵循这个惯例，缩写为F*（t | H（u））和f*（t|H（u））豆腐*（t）和f*（t）分别为。备注1功能f*（t）可用于对某些类别的点过程进行分类。

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2022-5-8 12:40:51

例如，如果一个点进程有一个f*（t）它独立于H（t），那么这个过程就是一个更新过程。2.2条件强度函数：很难使用条件到达分布f*（t）。相反，使用了点过程的另一个特征：条件强度函数。事实上，如果条件强度函数存在，它唯一地表征了点过程的有限维分布（见[9]第7.2.IV节）。最初，该函数被称为危险函数[10]，定义为λ*（t） =f*（t）一,- F*（t）。（2）虽然这一定义是有效的，但我们更倾向于直观地表示条件强度函数，作为以H（t）为条件的预期到达率：定义3（条件强度函数）考虑计数过程N（·）与相关历史H（·）。如果a（非负）函数λ*（t）存在λ*（t） =林↓0E[N（t+h）- N（t）|H（t）]H过去只依赖于N（·）的信息（即λ*（t）是H（t）-可测的，则称为N（·）的条件强度函数。通过使用条件强度函数，术语“自激”和“自我调节”可以变得精确。如果到达导致条件强度函数增加，则该过程称为自激。这种行为导致T的时间聚集。在此设置中λ*（t）必须选择以避免爆炸，其中我们使用爆炸的标准定义为N（t）- N（s）=∞对于t- s<∞. 关于这种λ的示例实现，参见图2*（t）。或者，如果条件强度函数在到达后下降，则该过程称为自我调节，到达时间在时间上非常规则。

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mingdashike22

2022-5-8 12:40:54

尽管一个说明性的例子是，随着时间的推移，超速罚单会到达驾驶员手中（假设每次到达都会导致驾驶时一段时间的高度谨慎）。4 Patrick J.Laub et al.λ*（t） TT1T4T5λT6T7图。2：自激过程的条件强度函数示例。2.3补偿器通常需要综合条件强度函数（例如，在参数估计和拟合优度测试中）；定义如下。计数过程N（·）的定义4（补偿器）非递减函数∧（t）=Ztλ*（s）数字信号被称为计数过程的补偿器。事实上，补偿器的定义通常更为普遍，即使λ*（·）不存在。从技术上讲∧（t）是唯一的H（t）可预测函数，其∧（0）=0，并且是非递减的，因此N（t）=M（t）+∧（t）几乎肯定是t的≥ 其中M（t）是H（t）局部鞅，其存在性由Doob–Meyer分解定理保证。然而，对于HPsλ*（·）总是有性别歧视者（事实上，正如我们将在第3节中看到的，HP是根据这一功能定义的），因此定义4对我们来说是足够的。3文献综述在第2节概述了基本背景和核心概念之后，我们现在开始讨论HPs，包括其有用的移民-出生表征。在转向用于金融应用的HPs说明性说明之前，我们简要地讨论了一般性。3.1 20世纪50年代和60年代，霍克斯过程点过程在统计领域获得了大量关注。首先，Cox[10]引入了双随机泊松过程（现在称为Coxprocess）的概念，Bartlett[11,12,13]研究了基于功率谱密度的点过程统计方法。

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2022-5-8 12:40:58

在IBM研究实验室，刘易斯[14]制定了一个点过程模型（用于计算机故障模式），这是朝着惠普的方向迈出的一步。这项活动在Cox和Lewis[15]关于时间序列分析的重要专著中达到高潮；现代研究人员认为霍克斯过程5这篇文章是点过程理论的一个重要发展，因为它展示了它们的广泛应用[9，第16页]。正是在这种背景下，霍克斯[4]开始将巴特利特的光谱分析方法引入一种新的过程：自激点过程。霍克斯描述的过程是一个一维点过程（尽管最初是为t∈ R与t相对∈ [0, ∞)), 定义如下。定义5（霍克斯过程）考虑（N（t）：t≥ 0）一个计数过程，以及相关的历史（H（t）：t≥ 0），表示满足（N（t+h）- N（t）=m | H（t））=λ*（t） h+o（h），m=1o（h），m>11- λ*（t） h+o（h），m=0。假设过程的条件强度函数的形式为λ*（t） =λ+Ztu（t- u）对于某些λ>0和u：（0，∞) → [0, ∞) 分别称为背景强度和激发函数。假设u（·）6=0，以避免常见情况，即齐次泊松过程。这样的过程N（·）是霍克斯过程。备注2上述定义将t视为非负面，但HP的另一种形式是考虑t的到达∈ R并将N（t）设置为（0，t）中的到达人数。通常，HP结果对这两种定义都有效，但我们将指定第二个t∈ 定义在需要时使用。（a） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000020406080100t计数（t）E[N（t）]（b）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000123色度λ*（t） E[λ*（t） ]无花果。

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2022-5-8 12:41:01

3：（a）典型的霍克斯过程实现N（t）及其相关λ*（t）在（b）中，两者都根据其预期值绘制。注释3在现代术语中，定义5描述了线性HP，非线性版本在定义6中给出。除非另有限定，本文中的HPs将指这种线性形式。HP的实现如图3所示，带有条件强度处理的相关路径。霍克斯[16]很快将这一单点过程扩展为一系列自我和相互激励的点过程，在详细阐述了这一一维过程之后，我们将讨论这些点过程。6 Patrick J.Laub等人3.2 Hawkes条件强度函数（3）中Hawkes条件强度函数的形式与文献一致，尽管它在一定程度上掩盖了其背后的直觉。用{t，t，…，tk}表示观测到的时间t点过程的最后到达时间序列，霍克斯条件强度为λ*（t） =λ+Xti<tu（t- ti）。这个λ的结构*（·）非常灵活，只需要指定背景强度λ>0和激发函数u（·）。激励函数的一个常见选择是指数衰减；霍克斯[4]最初使用这种形式，因为它简化了他的理论推导[17]。在这种情况下，u（t）=αe-βt，由常数α、β>0和λ参数化*（t） =λ+Zt-∞αe-β（t-s） dN（s）=λ+Xti<tαe-β（t-ti）。（4）常数α和β具有以下解释：系统中的每个到达瞬间都会增加α的到达强度，然后随着时间的推移，该到达的影响以β的速率衰减。u（·）的另一个常见选择是幂律函数，给出λ*（t） =λ+Zt-∞k（c+（t- s） pdN（s）=λ+Xti<tk（c+（t- ti）p带有一些正标量c、k和p。

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2022-5-8 12:41:05

幂律形式由名为Omori定律的地质模型推广，该模型用于预测地震引起的余震率[18]。与这两种激励函数相比，更具计算效率的是分段线性函数，如[19]所示。然而，剩下的讨论将集中在激发函数的指数形式上，有时被称为强度呈指数衰减的HP。可以考虑设置初始条件λ的影响*（0）=λ，可能是为了在流程启动后的某段时间对其进行建模。在这种情况下，条件强度过程（使用u（·）的指数形式）满足随机微分方程dλ*（t） =β（λ）- λ*（t） dt+αdN（t），t≥ 0 .应用随机微积分得到λ的通解*（t） =e-βt（λ）- λ） +λ+Ztαeβ（t-s） dN（s），t≥ 0，这是（4）[20]的自然延伸。3.3移民——出生代表性如果被视为一个分支过程，HP的稳定性通常更容易预测。想象一下，在一个人口通过移民或出生到达的国家，计算人口。假设移民流以λ的速率形成同质泊松过程。然后，每个个体独立地产生零个或多个孩子，而婴儿的到来形成了一个非均匀的泊松过程。霍克斯处理7tFig。4:Hawkes过程表示为一系列家谱（移民-出生表示）。方格() 表示移民，圆圈（）表示春天/后代，十字架（×）表示生成的点过程。这种解释的说明如图4所示。

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2022-5-8 12:41:08

在分支理论术语中，这个移民-出生表征描述了一个具有修改的时间维度的高尔顿-沃森过程。霍克斯[21]使用这种表示法来推导过程的渐近特征，例如下面的结果。定理1（霍克斯过程渐近正态性）如果0<n:=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞那么（0，t）中的HP到达数是渐近的（t→ ∞) 正态分布。更准确地说，写N（0，t]=N（t）- N（0），PN（0，t]- λt/（1）- n） pλt/（1）- n）≤ Y→ Φ（y），其中Φ（·）是标准正态分布的c.d.f。备注4：更现代的工作使用移民出生表示法来应用贝叶斯技术；例如，参见[22]。对于在ti时进入系统的个人∈ R、在未来时间t>Ti时，它们产生反作用力的速率为u（t- ti）。说这个人的直接影响包括第二代，他们的影响包括第二代，以此类推；这几代人的联盟成员被称为这个皇室的后裔。使用[23，第5.4节]中的符号，将Zito定义为第三代中弹簧的随机数（Z=1）。随着第一代OFF-spring从泊松过程中诞生~ Poi（n），其中平均值n称为分支比。这个分支比率（可以取（0，∞)) 在定理1和指数衰减强度isn=Z的情况下定义∞αe-βsds=αβ。（5）分支比的知识可以为仿真算法的开发提供信息。对于每一位移民来说，第一代春天到来的时间取决于他们的总数量Z-是每个i.i.d.的密度u（t-ti）/n.第6节更详细地探讨了由移民-出生描述激发的HP模拟方法。8 Patrick J.Laub等人。n的值也决定了HP是否会爆炸。

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2022-5-8 12:41:12

要看到这一点，让g（t）=E[λ*（t） ]。将为g构造一个更新型方程，然后确定其极限值。第一次跳跃时的条件作用，g（t）=Eλ*（t）= E“λ+Ztu（t- s） dN（s）#=λ+Ztu（t- s） E[dN（s）]。为了计算这个期望值，从λ开始*（s） =林↓0E[N（s+h）- N（s）|H（s）]H=E[dN（s）|H（s）]ds并取期望值（并应用塔的特性）g（s）=E[λ*（s） [E[dN（s）|H（s）]ds=E[dN（s）]dsto see[dN（s）]=g（s）ds。因此，g（t）=λ+Ztu（t- s） g（s）ds=λ+Ztg（t- s） u（s）ds。这个更新型方程（在卷积表示法中是g=λ+g？u）根据n的值有不同的解。Asmussen[24]将情况分为：缺陷情况（n<1）、适当情况（n=1）和过度情况（n>1）。阿斯穆森的命题7.4指出，对于缺陷情况g（t）=E[λ*（t） ]→λ1 - n、作为t→ ∞. （6）然而，在过度情况下，λ*（t）→ ∞ 以指数速度增长，因此N（·）最终会爆炸。s、通过将到达视为一个分支过程来支持n>1的爆炸。由于E[Zi]=ni（见[23]第5.4节引理2），一个isE的预期后代数∞Xi=1Zi=∞Xi=1E[Zi]=∞Xi=1ni=（n1）-n、 n<1∞, N≥ 1.因此n≥ 1意味着一个移民平均会产生很多后代。当n∈ （0，1）分支比率可以解释为一种概率。它是一个移民的后代数量与整个家庭（所有后代加上原移民）的比例；那是伊瑟P∞i=1Zi1+EP∞i=1Zi=n1-n1+n1-n=n1-n1-n=n。因此，随机选择的任何HP入境者都是以概率（w.p.）n或概率（w.p.）1的内生（儿童）或外生（移民）产生的-N

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nandehutu2022

2022-5-8 12:41:16

HP的大多数特性都依赖于过程是静止的，这是另一种坚持n∈ （0,1）（第3.4节给出了严格的定义），因此在下文中进行假设。霍克斯过程93.4协方差和功率谱密度HPS源于一般平稳点过程的谱分析。根据备注2定义时，HP对于t的固定值是平稳的，因此我们将对第3.4小节的剩余部分使用该定义。找到HP的功率谱密度可以使用光谱分析领域的许多技术；例如，模型拟合可以通过使用观察到的实现周期图来实现。功率谱密度根据协方差密度定义。通过使用缩写thatdN（t）=limh，再次简化了说明↓0N（t+h）- N（t）。不幸的是，“平稳”一词在概率论中有许多不同的含义。在这种情况下，当跳转过程（dN（t）：t≥ 0）-取{0，1}中的值-是弱平稳的。这意味着E[dN（t）]和Cov（dN（t），dN（t+s））不依赖于t。平稳性在这个意义上并不意味着N（·）的平稳性或到达间隔时间的平稳性[25]。平稳性的一个结果是λ*（·）将具有长期平均值（如（6）所示）λ*:= E[λ*（t） ]=E[dN（t）]dt=λ1- n、（7）对于τ>0，将（自）协方差密度定义为beR（τ）=CovdN（t）dt，dN（t+τ）dτ.由于协方差的对称性，R(-τ）=R（τ），但是R（·）不能扩展到整个rb，因为在0处有一个原子。

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2022-5-8 12:41:21

对于简单点过程E[（dN（t））]=E[dN（t）]（自dN（t）∈ 因此对于τ=0E[（dN（t））]=E[dN（t）]=λ*dt。完全协方差密度（完全的，因为它的域都是R）定义为R（c）（τ）=λ*δ（τ）+R（τ）（8），其中δ（·）是狄拉克δ函数。备注5通常，R（0）的定义为R（c）（·）处处连续。Lewis[25，p.357]指出，严格来说R（c）（·）“在τ=0时没有‘值’”。详见[12,15]和[4]。相应的功率谱密度函数为thenS（ω）：=2πZ∞-∞E-iτωR（c）（τ）dτ=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#。（9）到目前为止，讨论（不包括（7）的最终值）考虑了一般平稳点过程。为了将该理论具体应用于HPs，我们需要以下结果。10 Patrick J.Laub等人定理2（霍克斯过程功率谱密度）考虑了α<β的指数衰减强度的HP。然后，强度过程具有协方差密度，对于τ>0，R（τ）=αβλ（2β- α)2(β - α） e-(β-α)τ.因此，其功率谱密度为，ω ∈ R、 S（ω）=λβ2π（β- α)1 +α(2β - α)(β - α)+ ω.证据（改编自[4]。）考虑τ的协方差密度∈ R\\{0}:R（τ）=EdN（t）dtdN（t+τ）dτ- λ*. （10）首先要注意的是，通过塔楼物业dN（t）dtdN（t+τ）dτ= E“E”dN（t）dtdN（t+τ）dτH（t+τ）#= E“dN（t）dtEdN（t+τ）dτH（t+τ）#= EdN（t）dtλ*（t+τ）.因此，可以将（10）与（3）结合起来，得出R（τ）等于dN（t）dtλ+Zt+τ-∞u（t+τ）-s） dN（s）！- λ*,哪个yieldsR（τ）=λ*u（τ）+Zτ-∞u(τ -v） R（v）dv=λ*u（τ）+Z∞u（τ+v）R（v）dv+Zτ（τ）-v） R（v）dv。（11）详见附录A.1；这是一个维纳-霍普夫型积分方程。采用（11）givesL的拉普拉斯变换R（τ）（s） =αλ*(2β - α)2(β - α）（s+β）- α).详见附录A.2。

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大多数88

2022-5-8 12:41:24

注意，（5）和（7）提供λ*= βλ/(β - α），这意味着R（τ）（s） =αβλ（2β- α)2(β - α）（s+β）- α).因此，R（τ）=L-1.αβλ(2β - α)2(β - α）（s+β）- α)=αβλ(2β - α)2(β - α） e-(β-α)τ.霍克斯处理λ的值*我呢R（τ）（s）然后代入（9）中给出的定义：s（ω）=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#=2πλ*+Z∞E-iτωR（τ）dτ+Z∞eiτωR（τ）dτ=2πhλ*+ LR（τ）（iω）+LR（τ）(-iω）i=2π“λ*+αλ*(2β - α)2(β - α）（iω+β）- α)+αλ*(2β - α)2(β - α)(-iω+β- α)#=λβ2π(β - α)1 +α(2β - α)(β - α)+ ω.注6：定理2中出现的功率谱密度是一个移位标度的Cauchy p.d.f。注7：由于R（·）是实值对称函数，其傅里叶变换S（·）也是实值对称的，即S（ω）=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#=2π“λ*+Z∞-∞cos（τω）R（τ）dτ#，andS+（ω）：=S(-ω） +S（ω）=2S（ω）。通常，绘制S+（·）而不是S（·），如[15]第4.5节所示；这相当于将负频率覆盖到正半线。3.5概论移民-出生代表在理论和实践上都很有用。然而，它只能用来描述线性HPs。Br’emaud和Massouli’e[26]将HP推广到其非线性形式：定义6（非线性Hawkes过程）考虑具有λ形式的条件强度函数的计数过程*（t） =ψZt-∞u（t）- s） N（ds）！式中ψ：R→ [0, ∞), u:(0, ∞) → 那么N（·）是一个非线性的霍克斯过程。选择ψ（x）=λ+x可将N（·）降低为定义5的线性HP。关于非线性HPs的现代研究比最初的线性情况少得多（对于[7]第96-116页的模拟，以及[27]中的相关理论）。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:41:27

这是多种因素共同作用的结果；首先，归纳法是最近才引入的，其次，复杂性的增加阻碍了七项简单的调查。现在回到前面提到的扩展，即自我激励和相互激励的HPs集合。正在研究的过程是一维HPs的集合，它们会“激发”自身和彼此。12 Patrick J.Laub等人定义7（相互激励的Hawkes过程）考虑了一组m计数过程{N（·），…，Nm（·）}表示N。说{Ti，j:i∈ {1，…，m}，j∈ N} 是每个计数过程的随机到达时间（以及观察到的到达时间的ti，jj）。如果每个i=1，那么Ni（·）具有λ形式的条件强度*i（t）=λi+mXj=1Zt-∞uj（t）- u）对于某些λi>0和ui:（0，∞) → [0, ∞), 然后N被称为相互激励的霍克斯过程。当激励函数设置为指数衰减时，（12）可以写成λ*i（t）=λi+mXj=1Zt-∞αi，je-βi，j（t）-s） dNj（s）=λi+mXj=1Xtj，k<tαi，je-βi，j（t）-tj，k）（13）对于非负常数{αi，j，βi，j:i，j=1，…，m}。注8:HPs模型中的点本身是多维的，例如空间HPs或时空HPs[2]。人们不应将相互激励的HPs与这些多维HPs混淆。3.6财务应用本节主要回顾了Ait-Sahalia等人[28]和Filimonov和Sornette[6]的工作。它假设读者熟悉数学金融和随机微分方程的使用。3.6.1金融传染我们将注意力转向HPs最新的应用。自我激励和相互激励过程的一个主要领域是财务分析。通常可以看到，一个主要股市的大幅波动在国外市场传播，这是一个被称为金融传染的过程。

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mingdashike22

2022-5-8 12:41:30

这种现象的例子在资产价格的历史序列中清晰可见；图5示出了一种这样的情况。[28]引入的“霍克斯扩散模型”试图扩展以前的股票价格模型，以包括金融传染。现代股票价格模型通常建立在[29]中流行的模型之上，其中股票的对数收益遵循几何布朗运动。虽然这篇开创性的论文受到了经济学界的赞扬，但该模型没有充分捕捉到收益分布的“fattails”，因此交易员并不常用[30]。默顿[31]试图通过加入泊松跳跃过程来模拟股票收益率中的繁荣和崩溃，从而纳入重尾；这种模型通常被称为默顿扩散模型。霍克斯扩散模型通过将泊松跳跃过程替换为相互激励的HP来扩展该模型，从而使崩溃能够在市场中以及全球市场之间自我激励和传播。基本霍克斯扩散模型描述了m个资产{X（·），…，Xm（·）}的对数收益，其中每个资产i=1，m与预期收益ui相关联∈ R、恒定波动率σi∈ R+，和标准布朗运动（WXi（t）：t≥ 0). 布朗运动具有常数相关系数{ρi，j:i，j=1，…，m}。跳跃由一个自激和相互激励的HP（根据定义7，带有一些常数α·、·和β·、·的选择）与随机跳跃大小（Zi（t）：t）相加≥ 0). 然后假设资产动态满足yDxi（t）=uidt+σidWXi（t）+Zi（t）dNi（t）。Hawkes过程13一般的Hawkes扩散模型用Heston模型指定的随机波动率{V（·），…，Vm（·）}代替恒定波动率。每个资产i=1，m有a：长期平均波动率θi>0，回到该平均值的速率κi>0，波动率的波动率νi>0，以及标准布朗运动（WVi（t）：t）≥ 0).

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2022-5-8 12:41:33

WX·（·）之间的相关性是可选的，但效果将由跳跃分量主导。然后用dxi（t）=uidt+pVi（t）dWXi（t）+Zi（t）dNi（t），dVi（t）=κi（θi）捕捉整个动力学- Vi（t））dt+νipVi（t）dWVi（t）。然而，霍克斯扩散模型的附加现实主义代价高昂。恒常波动率模型需要5米+3米的参数（假设Zi（·）具有两个参数的特征），而随机波动率扩展需要额外的3米参数（假设Zi（·））i、 j=1，m E[Wi（·）VWj（·）V]=0）。在[28]中，假设检验拒绝了默顿扩散模型，而支持了霍克斯扩散模型，但是没有对数据进行过度拟合的检验（例如，Akaike-orBayesian信息标准比较）。还记得约翰·冯·诺依曼（据说）说过“有四个参数，我就可以找到一头大象”[32]。出于计算的必要性，作者做出了一些简化假设，将参数的数量减少到fit（例如，所有市场的崩溃背景强度相同）。即便如此，霍克斯扩散模型只能适用于成对的市场（m=2），而不是整个全球。由于该模型根据市场指数的每日回报率进行了校准，因此很容易获得历史数据（对于exmaple，来自谷歌或雅虎金融）；必须小心转换时区，处理不同的市场开盘和收盘时间。[28]使用的参数估计方法是广义矩量法，但推导出的理论矩满足长且卷积的方程。3.6.2中价变化和高频交易一个更简单的系统模型是单个股票的价格随时间的变化，尽管有许多不同的价格需要考虑。

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2022-5-8 12:41:36

对于每只股票，可以使用：最后交易价格、最佳卖出价格、最佳买入价格或中间价格（定义为最佳卖出价格和最佳买入价格的平均值）。最后一个交易价格包括内在的微观结构噪音（例如，买卖反弹），最好的买卖价格不能代表市场上买卖双方的行为。菲利莫诺夫和索内特[6]将中端价格的变化作为惠普的模型。他们特别关注（估计的）分支比率的长期趋势。在这种情况下，n表示价格变动的比例，这些变动不是由外部市场信息引起的，而只是对其他市场参与者的反应。这一比率可视为经济自由原则的量化。作者得出结论，分支比例已从1998年的30%大幅增加到2007年的70%。同年晚些时候[33]批评了该分析中使用的测试程序。Filimonov和Sornette[6]使用了一个时间戳精确到一秒的数据集，这通常会导致名义上同时出现多个事件（对于简单的点过程来说，这是不可能发生的事件）。通过向所有时间戳中添加Unif（0，1）秒的随机分数来实现伪造精度，这一技术也被[34]使用。Lorenzen发现，这种方法为数据添加了一种平滑元素，使其比实际毫秒精度数据更适合模型。随机性也导致了HP参数估计的偏差，尤其是α和β的偏差。Lorenzen对高频交易活动进行了粗略测量，从而在观察期内，这种活动与n之间形成了有趣的相关性。14 Patrick J.Laub等人图5：全球市场中相互激励的例子。

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2022-5-8 12:41:39

该图描绘了2008年10月3日至2008年10月10日期间美国国际股票市场经历的一连串下跌；拉丁美洲（洛杉矶）；英国；欧洲发达国家（欧盟）；太平洋发达国家的数据是每小时一次的。每个价格指数系列的第一次观察值被标准化为100，以下观察值被同一因子标准化。来源：彭博社MSCI MXRT国际股票指数（转载自[28]）。备注9幸运的是，我们收到了裁判的意见，建议考虑其他非常重要的工作，我们将在此简要列出。Bowsher[34]的重要性得到了强调，查韦斯·德穆林等人[35,36]的系列文章也是如此。他们指出McNeil等人[37]的书中有一节专门讨论HP应用，并强调巴黎学派在应用HPs微观结构建模方面的相关性，例如，Bacry等人[38]的论文[4]参数估计本节研究了在假定来自HP的到达时间t={t，t，…，tk}的有限集合中生成参数估计sbθ=（bλ，bα，bβ）的问题。为了简洁起见，这里的符号将省略函数中的bθ和t参数：L=L（bθ；t）、L=L（bθ；t）、λ*（t） =λ*（t；t，bθ）和∧（t）=∧（t；t，bθ）。为了简单和缺少相关数据，在模拟数据上对估计器进行了测试。

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2022-5-8 12:41:44

不幸的是，这种方法绕过了RealDataSet提出的许多重大挑战，这些挑战导致[39]指出霍克斯过程15“我们的总体结论是，霍克斯过程的校准类似于胺领域内的偏移，在采取任何结论性步骤之前，需要专家和仔细的测试。”所考虑的方法是最大似然估计，该方法首先确定似然函数，并将模型参数估计为使该函数最大化的输入。4.1似然函数导数Daley和Vere Jones[9，命题7.2.III]给出了以下结果。定理3（霍克斯过程似然）设N（·）是[0，T]上的正则点过程，对于某些正T，设T，[0，T]上N（·）的一种实现。然后，N（·）的似然L可表示为L=hkYi=1λ*（ti）iexp-ZTλ*（u）杜.证明首先假设该过程在第k次到达时被观察到。（1）isL=f（t，t，…，tk）=kYi=1f的节理密度函数*（ti）。这个函数可以写成条件强度函数。重新排列（2）以找到f*（t）关于λ*（t）（根据[40]）：λ*（t） =f*（t）一,- F*（t） =ddtF*（t）一,- F*（t） =-d日志（1）- F*（t））dt。在间隔（tk，t）内整合两侧：-Zttkλ*（u） du=log（1- F*（t）（）- 日志（1）- F*（tk））。HP是一个简单的点流程，这意味着不能同时发生多次到达。因此F*（tk）=0表示tk+1>tk，依此类推-Zttkλ*（u） du=log（1- F*（t））。（14）进一步重新安排产量*（t） =1- 经验-Zttkλ*（u）杜, F*（t） =λ*（t）经验-Zttkλ*（u）杜. （15）因此，可能性变为l=kYi=1f*（ti）=kYi=1λ*（ti）exp-Ztiti-1λ*（u）杜=hkYi=1λ*（ti）iexp-Ztkλ*（u）杜. （16） 16 Patrick J.Laub等人现在假设在一段时间内观察到该过程[0，T] [0，tk]。

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2022-5-8 12:41:47

然后，可能性将包括在时间间隔（tk，T）内没有到达的概率：L=hkYi=1f*(ti)i(1)- F*（T））。使用F的公式*（t）从（15）开始，thenL=hkYi=1λ*（ti）iexp-ZTλ*（u）杜.这项研究完成了证明。4.2指数衰减的简化利用（16）中的似然函数，区间[0，tk]的对数似然可导出为l=kXi=1log（λ*（ti）-Ztkλ*（u） du=kXi=1log（λ*（ti）- ∧（tk）。（17）注意，[0，tk]上的积分可以分解为[0，t]，（t，t]，…，（tk-1，tk]，因此∧（tk）=Ztkλ*（u） du=Ztλ*（u） du+k-1Xi=1Zti+1tiλ*（u）杜。如果λ*（·）指数衰减：∧（tk）=Ztλdu+k-1Xi=1Zti+1tiλ+Xtj<uαe-β（u）-tj）du=λtk+αk-1Xi=1Zti+1tiiXj=1e-β（u）-tj）du=λtk+αk-1Xi=1iXj=1Zti+1tie-β（u）-tj）du=λtk-αβk-1Xi=1iXj=1he-β（ti+1）-（tj）- E-β（ti）-最后，这个二次求和的许多项抵消了∧（tk）=λtk-αβk-1Xi=1he-β（tk）-（ti）- E-β（ti）-ti）i=λtk-αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（18）请注意，这里的最终总结是不必要的，尽管它通常包括在内，请参见[33]。替换λ*（·）和∧（·）转化为（17）givesl=kXi=1loghλ+αi-1Xj=1e-β（ti）-tj）我- λtk+αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（19） Hawkes过程17这种直接方法在计算上是不可行的，因为第一项的二次求和需要如此（k）的复杂性。幸运的是，内部求和的类似结构允许l以O（k）复杂度计算[41,42]。因为我∈ {2，…，k}，设A（i）=Pi-1j=1e-β（ti）-tj），所以a（i）=e-βti+βti-1i-1Xj=1e-βti-1+βtj=e-β（ti）-钛-1)1+i-2Xj=1e-β（ti）-1.-（tj）= E-β（ti）-钛-1）（1+A（i）- 1)) .（20）加上A（1）=0的基本情况，l可以重写为l=kXi=1log（λ+αA（i））- λtk+αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（21）Ozaki[8]也给出了该对数似然函数的偏导数和Hessian函数。

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2022-5-8 12:41:52

特别值得注意的是，当采用草书方法（类似于（20））时，每个导数计算都可以按O（k）的复杂度进行[43]。注10：递归意味着联合过程（N（t），λ*（t））是马尔可夫的（见[44]的备注1.22）。4.3讨论对HP最大似然估计方法的理解随着时间的推移发生了重大变化。鲁宾[45]知道对数似然函数（17）的一般形式。Ozaki[8]将其应用于HP，他导出了（19）和改进的递归形式（21）。Ozaki还发现（如前所述）一种计算导数和Hessian矩阵的有效方法。Ogata[41]证明了估计量的一致性、渐近正态性和有效性。很明显，最大似然估计通常对模型拟合非常有效。然而，[6]发现，对于小样本，估计器会产生显著偏差，遇到许多局部最优，并且对激励函数的选择高度敏感。此外，当样本变大时，theO（k）复杂度会使该方法变得无用；请记住，任何迭代优化例行程序都可能会计算数千次似然函数。因此，“hawkes”包在C++中实现了这个例程，以减轻性能问题。这种“性能瓶颈”主要是使用广义矩量法进行参数估计的最新趋势的原因。Da Fonseca和Zaatour[20]指出，该过程在他们的测试集上是“瞬时的”。该方法使用样本矩和样本自相关函数，这些函数通过用户选择的（相当任意的）过程进行平滑。5.优度本节概述了确定点数据HPs模型适用性的方法，这是其应用中的一个关键环节。18帕特里克·J。

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2022-5-8 12:41:55

Laub等人5.1将泊松过程转换为Hawkes模型评估某些点数据的拟合优度是一个重要的实际考虑因素。在进行这种评估时，点过程的补偿器是必不可少的，随机时变定理（此处改编自[46]）：定理4（随机时变定理）说{t，t，…，tk}是从具有条件强度函数λ的点过程在时间[0，t]上的实现*(·). 如果λ*（·）在[0，T]和∧（T）<∞ a、然后变换点{∧（t），∧（t），…，∧（tk）}以单位速率形成泊松过程。随机时间变化定理是模型拟合过程（点过程）残差分析的基础。关于残差分析的原始工作[47]可以追溯到[48]、[49]和[50]。Daleyand Vere Jones的7.4提案。IV[9]改写并扩展了定理如下。定理5（残差分析）考虑无界、递增的时间点序列{t，t，…}在半行（0，∞), 和一个单调的连续补偿器∧（·），使得limt→∞∧（t）=∞ a、 s.变换序列{t*, T*, . . . } = {∧（t），∧（t），…}，其计数过程用N表示*（t）是单位速率泊松过程的一种实现，当且仅当原始序列{t，t，…}是从∧（·）定义的点过程实现的。因此，配备了（18）中的闭合形式补偿器，可以使用泊松过程的标准适应性测试来确定统计参考的质量。图6显示了HP的实现和相应的转换过程。在图6中∧（t）与N（t）相同。

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2022-5-8 12:42:00

它们在区域上实际上略有不同（λ（·）是连续的），但由于补偿器的Doob–Meyer分解，预计会有相似之处。5.2泊松过程的测试5。2.1基本测试测试一系列点是否形成泊松过程有许多程序（参见[15]了解广泛的治疗）。作为第一个测试，可以运行假设测试来检查pi{t*我<t}~ Poi（t）。如果初始测试成功，则间隔时间，{τ，τ，τ，…}={t*, T*- T*, T*- T*, . . . },应进行测试，以确保τii。i、 d。~实验（1）。定性方法是使用指数分布创建τi的分位数-分位数（Q–Q）图（例如，见图7a）。否则，quantitativealternative将运行Kolmogorov–Smirnov（或者Anderson–Darling）测试。5.2.2独立性测试确认后，有理由相信τi呈指数分布的下一个测试是检查它们的独立性。这可以通过寻找τ序列中的自相关来实现。显然，零自相关并不意味着独立，但非零量必然意味着非泊松模型。可以通过绘制点（Ui+1，Ui）进行目视检查。如果有明显的模式，则τi是自相关的。否则，这些点应该看起来均匀分散；例如，参见图7b。存在数量扩展；例如，参见[51]第3.3.3节，或[52]中的序列相关性测试。霍克斯过程19（a）02040608010012004006008001000n（t）E[N（t）]（b）02040608010012002040λ*（t） E[λ*（t） [c）0 20 40 60 80 100 12002004006008001000∧（t）（d）200 400 600 800020004006001000N*（t） E[N]*（t）图6：使用随机时变定理将霍克斯过程转换为aunit速率泊松过程的示例。（a）一个Hawkes过程N（t）（λ，α，β）=（0.5,2,2.1），以及相关的（b）条件强度函数和（c）补偿器。

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大多数88

2022-5-8 12:42:03

（d）转化过程N*（t），在哪里*i=∧（ti）。5.2.3 Lewis-testA更具幂次的统计检验为[53]所述的Lewis检验。首先，它依赖于这样一个事实：如果{t*, T*, . . . , T*N} 单位速率泊松过程的到达时间是{t*/T*N、 t*/T*NT*N-1/t*N} 作为均匀[0,1]随机样本的顺序统计量分布。这种观察被称为条件一致性，并形成了测试本身的基础。Lewis检验依赖于应用Durbin的定义（在[54]中介绍，并由[55]进行了广泛适用的处理）。5.2.4布朗运动近似检验泊松性的近似检验可以通过使用泊松过程的布朗运动近似来构造。这就是说，将观测到的时间转化为（近似）布朗运动，然后利用布朗运动样本路径的已知性质来接受或拒绝原始样本。这一系列查询的动机来自算法7.4。[9]中的V，被描述为“近似科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫型式试验”。不幸的是，印刷错误会导致算法（印刷时）为不同的重要级别生成错误的答案。本文提出了一种基于布朗运动近似的测试方法。假设N（t）是速率t的泊松过程。定义M（t）=（N（t）-（tT）/√T代表T∈ [0, 1]. Donsker的方差原理意味着→ ∞, （M（t）：t∈ [0,1]）在分布上收敛于standard20 Patrick J.Laub等人（a）0 1 2 3 401234预期观测值（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81UkUk+1Fig。7：（a）i.i.d.试验的Q–Q测试（1）到达间隔时间。（b）定性自相关测试。Uk值定义为Uk=F（t*K- T*K-1) = 1 - E-（t）*K-T*K-1).布朗运动（B（t）：t∈ [0, 1]). 无花果

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2022-5-8 12:42:07

图8显示了各种t的M（t）的示例实现，这些t至少在定性上是标准布朗运动的合理近似。另一种测试方法是利用布朗运动的第一个反正弦定律，即随机时间M*∈ [0,1]，由byM给出*= arg最大值∈[0,1]B（s），是反正弦分布的（即M*~ 贝塔（1/2，1/2）。因此，该测试采用在[0，T]和[1]上观察到的到达序列。将到达值转换为{t*/T、 T*/TT*这应该是一个泊松过程，速率为[0,1]，2。如上所述构造布朗运动近似M（t），找到最大值M*, 和3。如果M*位于（α/2,1-β（1/2，1/2）分布的α/2分位数；否则将被拒绝。最后，根据布朗运动的其他性质，可以进行许多其他测试。例如，测试可以简单地基于注意到M（1）~ N（0，1），因此接受ifM（1）∈ [Zα/2，Z1-α/2]，否则拒收。6.模拟方法模拟是概率建模中越来越不可或缺的工具。这里我们详细介绍了实现HPs的三种基本方法。6.1转换方法对于一般点过程，模拟算法是由随机时变定理（见第5.1节）的逆命题提出的。本质上，单位速率泊松过程{t*, T*, . . . } is transformedHawkes流程21（a）0.5 102tM（t）（b）0.5 102tM（t）（c）0.5 1-20tM（t）（d）0.51-20tB（t）图8：泊松过程近似布朗运动的实现。图（a）-（c）分别使用T=10、100和10000的观察窗。图（d）是用于比较的布朗运动的直接模拟。通过逆补偿器∧（·）-1进入该补偿器定义的任何一般点流程。

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2022-5-8 12:42:10

这种方法有时被称为逆补偿器方法，迭代地求解方程*=Ztλ*（s） ds，t*k+1- T*k=Ztk+1tkλ*（s）对于{t，t，…}，所需的点过程（见[56]和[9]中的算法7.4.III]）。对于HPs，该算法最初由Ozaki[8]提出，但没有明确说明与时间变化的任何关系。它转而关注（14），Zttkλ*（u） du=-日志（1）- F*（t）），它将下一次到达的条件c.d.f.与之前的到达历史{t，t，…，tk}和指定的λ相关联*（t）。这种关系意味着下一个到达时间Tk+1可以通过逆变换方法轻松生成，即绘制U~ Unif[0，1]则通过求解ztk+1tkλ找到tk+1*（u） du=-日志（U）。（22）对于指数衰减强度，方程变成slog（U）+λ（tk+1）- （tk）-αβkXi=1eβ（tk-1.-（ti）-kXi=1e-β（tk）-（ti）= 0 .tk+1的求解可以使用（20）的递归在线性时间内实现。然而，如果使用不同的引用函数，则（22）必须进行数值求解，例如使用牛顿法[43]，这需要显著的计算效果。22 Patrick J.Laub等人6.2 Ogata改进的细化算法Hp生成与非均匀泊松过程生成类似。生成由强度函数λ（·）驱动的非均匀泊松过程的标准方法是通过细化。通常，该过程由算法1[57]描述。直觉是生成一个“更快”的均匀泊松过程，并概率地移除点，以便剩余点满足时变强度λ（·）。第一个过程的速率M不能小于λ（·）除以[0，T]。HP也可以使用类似的方法，称为Ogata的改进细化算法[43,44]。条件强度λ*（·）没有a.s.渐近上界，但在没有到达的时段，强度通常不增加。

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2022-5-8 12:42:13

这意味着对于t∈ （Ti，Ti+1]，λ*（t）≤ λ*（T+i）（即Ti之后的时间，即该到达已登记的时间）。因此，可以在每次模拟期间更新MVValue。算法2描述了该过程，图9显示了每个细化过程的示例。算法1通过细化生成非均匀泊松过程。1：程序泊松比稀释（T，λ（·），M）2：要求：λ（·）≤ [0，T]3:P上的M← []，t← 0.4:t<t-do5:E← 实验（M）.6:t← t+E.7:U← Unif（0，M）。8：如果t<t和U≤ λ（t）then9:P← [P，t].10:end if11:end while12:return P13:end ProcedureGorithm 2通过细化生成霍克斯过程。1：程序Hawkesbything（T，λ*（·））2：要求：λ*（·）在未到达期间不增加。3: ε ← 10-10（一些微小值>0）。4:P← []，t← 0.5：而t<t do6：寻找新的上限：7:M← λ*（t+ε）。8：生成下一个候选点：9:E← 经验（M），t← t+E.10：保持一定的概率：11:U← Unif（0，M）。12：如果t<t和U≤ λ*（t）然后13:P← [P，t].14:end if15:end while16:return P17:end ProcedureHowkes Processs 23（a）0 2 4 6 8 10 1201234tUλ（t）MAcceptedRejected（b）0 0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40246tUλ*（t） MAcceptedRejectedFig。9：稀释产生的过程。（a）强度为λ（t）=2+sin（t）的泊松过程，由M=4限定。（b）（λ，α，β）=（1，1，1.1）的霍克斯过程。每个（t，U）点描述了在时间t的估计到达，其U值在算法1和算法2中给出。加号表示弹出的点，圆圈表示接受，绿色正方形表示生成的点处理。6.3泊松过程的叠加移民-出生表示产生了一个简单的模拟过程：生成移民到达，然后为每个移民生成后代。算法3完整地描述了该过程，图。

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