未完成率的CVa R（95%置信区间）。pn平均CV-aRαCV-aRαCV-aRα半C I宽度宽半CI宽度宽半CI宽度w I下半CI宽度×10-32 10 0.2109 0.6181 0.6722 0.76114.20×10-37.30×10-38.40×10-31.06×10-22 100 0.4875 0.6078 0.6253 0.65851.50×10-33.60×10-34.30×10-36.30×10-32 10000 0.4598 0.4975 0.5039 0.5174.70×10-45.90×10-37.00×10-39.80×10-33 10 0.6743 0.8665 0.8845 0.91283.00×10-32.60×10-32.70×10-33.80×10-33 100 0.2207 0.3999 0.4265 0.47472.10×10-34.20×10-35.20×10-38.10×10-33 10000 0.3508 0.394 0.4014 0.41595.30×10-45.10×10-36.10×10-38.60×10-34 10 0.1201 0.5167 0.583 0.68733.40×10-39.10×10-39.90×10-31.32×10-24 100 0.3674 0.5163 0.5394 0.57951.80×10-34.00×10-34.90×10-37.50×10-34 10000 0.235 0.2834 0.2918 0.30765.80×10-44.10×10-35.00×10-37.20×10-35 10 0.1371 0.5336 0.5982 0.69913.60×10-38.40×10-39.60×10-31.35×10-25 100 0.1128 0.3012 0.3328 0.39271.90×10-34.70×10-35.90×10-39.80×10-35 10000 0.008 0.1419 0.1515 0.16926.10×10-42.80×10-33.50×10-35.50×10-注：实验参数为∧o=5，Mo=2，N=10000，M=2000，α=0.90，α=0.95，α=0.99。（1） 在所有的thr ee图中，随着n的增加，平均值、VaR和CVaR接近真正的非理想线（蓝色实线）。（2） 显然，VaR和CVaR的所有曲线图都高于真实未完成率，表明存在由输入不确定性引起的风险，不可忽略。如果不仔细考虑输入的不确定性，我们发现的价格将与实际最优价格相差很大。在这种情况下，主办方将因为价格低或订单少而失去自己的优势。（3） 在相同价格下，输入不确定性将极大地影响VAR和CVaR的CI宽度。特别是，当我们使用更多的观测来估计∧o和Mo时，CIs将更窄。

结合第一次观察，我们可以通过收集更多的输入数据来最小化输入不确定性的影响。（4） 由于4.8到5.1之间的价格范围很小，因此该图不清楚价格如何影响CIs的宽度。但从之前的结果中，我们可以知道，在某些情况下，长度（平均值的半宽度，VaR和CVaR的更宽半CI宽度）随着价格的增加而增加。我们最后研究了相关的预算分配问题。注意，对于VaR估计和CVaR估计，预算分配问题可能会产生不同的最优分配方案。设C（N，M）=NM+N，CB=5×10。我们使用Npilot=100外部场景和Mpilot=50内部样本来指导实际实验中的预算分配。总的来说，只消耗了总budg et的0.1%，因此实际实验的预算受到的影响最小。为了显示试点实验的有效性，我们在图2中绘制了不同选择N的较宽半宽度，其中蓝色曲线是使用试点实验中估计的项计算的较宽半宽度，以及《建模与计算机模拟的CM交易》，第0卷，第0期，第0篇，发表日期：2017年。输入不确定性下随机模拟的风险量化0:174.8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——意味着无输入不确定性n=100n=1000n=10000期望费率4。8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——VaRNo输入不确定性n=100n=1000n=10000期望费率4。8 4.85 4.9 4.95 5.05 5.1价格。050.10.150.20.250.30.35输入不确定性下的定价——CVaRNo输入不确定性n=100n=1000n=10000N期望费率图。1.

VaR、CVaR、最优价格附近的平均值的行为实验参数为∧o=5，Mo=2，α=0.95，N=2500，M=2000。红色曲线是使用蛮力模拟获得的真实值（即使用非常大的样本量）计算的较宽半CI宽度。不。0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.0550.060.065先导运行V.S.蛮力运行---变宽半CI宽度先导运行蛮力运行0。020.030.040.050.060.070.08先导运行V.S.蛮力运行--CVaR较宽半CI宽度先导运行蛮力运行图。2.VaR和CVaR较宽的半CI宽度：先导运行V.S.蛮力运行实验参数为∧o=5，Mo=2，p=4，α=0.95，d输入数据的大小n=100。ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0篇，出版日期：2017.0:18 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou我们有以下观察结果：（1）在bo th图中，尽管使用飞行员实验估算的术语计算的较宽宽度（蓝曲线）与真实较宽宽度（r ed曲线）之间存在不可忽略的差距，这些曲线遵循相同的趋势，它们的极小值几乎重合。这意味着解决制定的预算分配问题可以确定最优的预算分配方案。鉴于只使用了总模拟预算的0.1%，我们可以说我们的预算分配问题及其解决策略为确定良好的预算分配方案提供了有效的指导。（2） 通过比较红色曲线的最大值和最小值之间的差异，我们可以看到，使用最优预算分配方案可以将CI缩小至少2倍。

当总仿真预算有限时，解决预算分配问题是非常有益的。（3） VaR和CVaR估计的预算分配方案非常相似。特别是，构建VaR和CVaR的CI的最佳时间N约为2×10。（4） 值得一提的是，VaR和CVaR估计的更宽宽度似乎在N中首次减小，因为当N不够大时，输入不确定性主导了模拟误差。当N接近一定水平时，随机不确定性开始发挥更重要的作用。总之，共享经济模型的模拟结果提供了经验证据，证明了在输入不确定性下随机模拟中风险量化的重要性和必要性，以及有效嵌套模拟解决关联预算分配问题的优势。6.结论在本论文中，我们在随机模拟中引入了输入确定性下的风险量化，这严格限制了所有可能输入模型的平均响应的极端情况。特别是，我们提出了嵌套蒙特卡罗模拟来估计平均响应w.r.t.输入不确定性的VaR或CVaR。在不同的正则性条件下，我们证明了在不同的极限意义下所得的嵌套风险估计的渐近性质（一致性和正态性）。我们进一步利用已建立的属性构造（渐近有效）CI，并提出了一个优化预算分配的实用框架，以提高NesteDisk模拟的效率。最后，我们研究了一个共享经济的例子，以说明获取和控制风险数据对输入不确定性的重要性，并证明我们的预算分配方案的有效性。

本文的工作可以作为研究输入不确定性下风险量化的更一般风险度量的起点。另一方面，由于朴素罕见事件模拟的效率不高，本文考虑的朴素风险估计器在大规模系统输入不确定性下的风险量化可能会受到限制。本文中解决的预算分配问题部分解决了这个问题，因为它在减少CI宽度方面导致了良好的外部和内部样本量权衡。开发更复杂的预算分配方案将是未来研究的一个有希望的方向。附录A。定理的证明？？为了简单起见，让我们分别使用bvNα、bcNα、evN、Mα和ecN，Mα来表示bvα、bcα、evα和ecα。因此，我们需要证明Limn→∞林姆→∞evN，Mα=vα，w.p.1和limN→∞林姆→∞ecN，Mα=cα，w.p.1。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。基于误差分解evn，Mα，输入不确定性为0:19的随机模拟中的风险量化- vα=evN，Mα- bvNα+bvNα- vα和ecN，Mα- cα=ecN，Mα- bcNα+bcNα- cα,这足以证明Limn→∞bvNα- vα= 0，w.p.1。还有limN→∞bcNα- cα= 0，w.p.1。（A.1）对于固定N和θ。。。，θN，limM→∞evN，Mα- bvNα= 0，w.p.1。还有林姆→∞ecN，Mα- bcNα= 0，w.p.1。（A.2）为了建立（A.1），我们需要以下引理，其pro of可以在在线附录中找到。引理A.1。根据假设3.1。(ii)，bvNα- vα=f（vα）α-NNXi=11{H（θi）≤ vα}！+安（A.3）bcNα- cα=NNXi=1vα+1- α（H（θi）- vα）+- cα！+BN，（A.4），其中AN=Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4，BN=Oa。s、 （N）-1日志N）。她的e注意到声明g（N）=Oa。s、 （h（N））表示g（N）≤ C·h（N）对ntC的一些反对者来说几乎是肯定的。注意nnpi=11{H（θi）≤ vα}是α的无偏样本估计量。

根据强大的大数定律，limN→∞NNXi=11{H（θi）≤ vα}- α=0，w.p.1。结合limN的事实→∞AN=0，w.p.1，limN→∞bvNα- vα= 0，w.p.1。要显示（A.1）的后半部分，请注意NNPI=1hvα+1-α（H（θi）- vα）+iis是cα的无偏样本估计量。此外，根据假设3.1。（i） ，E[H（θ）]=E[E[H（θ；ξ）|θ]=ZE[H（θ；ξ）|θ]f（θ）dθ≤ZE[h（θ；ξ）|θ]f（θ）dθ<∞.因此，V ar（H（θ））是有限的，V ar（Vα+1-α（H（θ）- vα）+）也是有限的。根据强大的大数定律，limN→∞NNXi=1vα+1- α（H（θi）- vα）+- cα=0，w.p.1。结合limN的事实→∞BN=0，w.p.1，limN→∞bcNα- cα= 0，w.p.1。（A.1）已被删除。对于固定N和场景θ，…，仍需确定（A.2）。。。，θN。也就是说，我们需要展示固定N和场景θ。。。，θN，limM→∞bHM（θ（αN））- H（θ（αN））=0，w.p.1，（A.5）关于建模和计算机模拟的ACM交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:20 H.Zh u，T.Liu和E.Zhoulim→∞(1 - α） NNXi=αNbHM（θ（i））-(1 - α） NNXi=αNH（θ（i））！=0，w.p.1。（A.6）回想一下，对于任何θi，i=1。。。，N、 E[h（θi；ξ）|θi]=h（θi）和var[h（θi；ξ）|θi]=τi<∞,在这里，我们使用τito表示τθi，略微滥用符号。根据强大的拉格朗伯定律，对于i=1。。。N、 bHM（θi）M→∞→ H（θi），w.p.1。允许Ohm我 Ohm 是i=1的一组收敛场景。。。，N、 在哪里Ohm 是底层的样本空间。因此P(Ohmi） =1。德诺·特”Ohm :=TNi=1Ohmi、 所有收敛场景集的交集。显然，根据布尔不等式POhm) = 1.对于任何情况，让我们也表示w∈Ohm,bHwM（θ）作为BHM（θ）的样本实现，i=1。。，因此，W∈Ohm林姆→∞（bHwM（θ）。。。，bHwM（θN））=（H（θ）。。。，H（θN））。（A.7）设：=min{H（θi）- H（θj）：H（θi）6=H（θj）i6=j，i，j=1。。。，N} 。根据定义，（A.7）意味着存在一个足够大的MM≥ M，|bHwM（θi）- H（θi）|<，i=1。。。，N

因此，M≥ M，i，j，使得H（θi）6=H（θj），bHwM（θ（i））<bHwM（θ（j））如果存在i<j，使得H（θi）=H（θj），我们简单地写出bHwM（θi）<bHwM（θj），不管它们的真实顺序是什么。我们可以在这里做这个假设，因为我们只关心不同H的顺序。无论这两个估计中哪个更大，因为它们都收敛到同一个H，H的顺序不会改变。然后我们有bHwM（θ（1））<bHwM（θ（2））<·bHwM（θ（N））。就是，M≥ M，采样误差很小，平均响应的顺序不受干扰。因此M≥ M，（θ（1）w。。，θ（N）w）=（θ（1）。。。，θ（N）），其中θ（i）是θ（i）在场景w中的样本实现。因此，对于任何场景w∈Ohm,林姆→∞bHwM（θ（αN）w）=limM→∞bHwM（θ（αN））=H（θ（αN）），和limm→∞(1 - α） NNXi=αNbHwM（θ（i）w）=limM→∞(1 - α） NNXi=αNbHwM（θ（i））=（1）- α） NNXi=αNH（θ（i））。注意P（“”Ohm) = 1、（A.5）和（A.6）自然保持。B.定理的证明？？回想一下，我们需要证明Limn，M→∞evN，Mα=vα，w.p.1和limN，M→∞ecN，Mα=cα，w.p.1。除了之前在附录A中介绍的符号，让我们进一步使用vMα和cMα分别表示vα（bHM（θ））和cα（bHM（θ））。也就是说，vMα和cMα分别是带噪me和响应Bhm（θ）的精确α级VaR和CVaR。如orem 3.4之后所述，鉴于evα（H（θ））=bvα（bHM（θ））和ECα（H（θ））=bcα（bHM（θ）），evN、Mα和ecN，Mα可被视为建模和计算机模拟的单层蒙特卡罗模拟交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性下随机模拟中的风险量化分别为vMα和cMα的0:21估计量。这一观察结果启发我们考虑以下误差分解vn，Mα-vα=evN，Mα- vMα+vMα- vα和ecN，Mα-cα=ecN，Mα- cMα+cMα- cα.

（B.1）因此，充分证明LIMM→∞vMα=vα和limM→∞cMα=cα（B.2），且对所有M，limN一致→∞evN，Mα=vMαw.p.1和limN→∞ecN，Mα=cMαw.p.1。（B.3）让我们先建立（B.2）。下面的引理会很有用，我们可以参考lineappendix上的证明。引理B.1。在假设3.2下，如果序列tM→ t as M→ ∞, thenefM（tM）→ f（t）和f′M（tM）→ f′（t）作为M→ ∞, 式中，recallefM（·）是在sebHM（θ）上的噪声平均响应的p.d.f。引理B.2。在假设3.2下，vMα=vα+-∧′（vα）Mf（vα）+oM（M），其中函数∧（t）=1/2f（t）E[τθ| H（θ）=t]和oM（M）意味着该量比M快（几乎可以肯定）归零。引理B.3。在假设3.2下，cMα=cα+λ（vα）（1）- α） M+oM（M）。（B.4）引理B.4。根据假设3.2，evN，Mα- vMα=ef（vMα）α-NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}！+Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4），（B.5）ecN，Mα- cMα=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα！+Oa。s、 （N）-日志N），（B.6）其中Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）和Oa。s、 （N）-1日志N）在所有M中保持一致。根据引理B.2和引理B.3，（B.2）自然成立。此外，Lemm a B.4意味着（B.3）。C.定理的证明？？按照附录A和B中的符号，我们需要证明在假设3.2下，极限K=limN，M的存在性→∞N/Mis为Limn，M提供了充分且必要的条件→∞√NevN，Mα- vαD=σvN（0,1）+|K|uv，（C.1）limN，M→∞√NecN，Mα- cαD=σcN（0，1）+| K |uc.（c.2）ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017.0:22 H.Zh u，T.Liu和E.ZhouBy引理B.2，B.3和B.4，我们已经evN，Mα- vα= 误差+偏差=ef（vMα）α-NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}+-∧′（vα）Mf（vα）+oM（M）+Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4），ecN，Mα- cα= 误差+偏差=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα+∧（vα）（1）- α） M+oM（M）+Oa。s、 （N）-1日志N）。注意vMα→ vα，cMα→ cα，andef（vMα）→ f（vα）为M→ ∞.

我们有→∞ef（vMα）α - 1{bHM（θ）≤ vMα}=f（vα）（α）- 1{H（θ）≤ vα}）、w.p.1和limm→∞vMα+1- αbHM（θ）- vMα+- cMα=vα+1- α（H（θ）- vα）+- cα, w、 第1页。更重要的是，σv=varf（vα）（α）- 1{H（θi）≤ vα}）=f（vα）va r[1{H（θ）≤ vα}]=α（1）- α） f（vα），σc=v a rvα+1- α（H（θi）- vα）+- cα=(1 - α） Vαrh（H（θ）- 因此，根据中心极限定理m，（C.1）和（C.2）当且仅当K=limN，m时成立→∞不适用于马克思主义者。D.定理的证明？？当N=o（M）时，与o相比，偏差项将渐近不显著(√N） 错误术语。（3.6）和（3.7）中的CI将成为evα+tβ/2，N-1bσv√N、 evα+t1-β/2，N-1bσv√N（D.1）和ecα+tβ/2，N-1bσc√N、 ecα+t1-β/2，N-1bσc√N.（D.2）所以我们只需要显示以下限制画→∞林姆→∞P{|Err|≤ 2t1-β/2，N-1bσv√N} =1- β、 林恩→∞林姆→∞P{|Err|≤ 2t1-β/2，N-1bσc√N} =1- β.《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性为0:23的情况下，随机模拟中的风险量化，其中（3.3）和（3.4）中定义了错误、勘误。鉴于学生的t分布随自由度的增加而变为标准正态分布，方差e估计的大数强律几乎肯定的收敛性，以及核密度估计的一致性，这些限制自然符合定理3.6。参考资料布鲁斯·安肯曼、巴里·纳尔逊和杰里米·斯塔姆。2010.模拟元建模的随机克里金法。运筹学58,2（2010），371-382。菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。1999.一致的风险度量。数学金融9（1999），203-228。悉达多·班纳吉、卡洛斯·里克尔梅和拉梅什·乔哈里。2015.乘车共享平台的定价：问答理论方法。(2015).拉塞尔·巴顿。2012.教程：输出分析中的输入不确定性。

2012年冬季模拟会议记录。IEEE，德国柏林，1-12。罗素·R·巴顿、巴里·L·纳尔逊和谢伟。2013.通过计算置信区间量化输入不确定性。《计算机杂志》第26期，第1期（2013），第74-87页。Russell R Barton和Lee W Schruben。1993.经验分布的均匀和b ootstrap重抽样。1993年冬季模拟会议记录。IEEE，加利福尼亚州洛杉矶，503–508。拉塞尔·R·巴顿和李·W·施鲁本。2001.输入建模的重采样方法。在2001年冬季模拟会议记录中。IEEE，弗吉尼亚州阿灵顿，372-378。Bahar Biller和Canan G Corlu。2011.考虑具有相关输入的大规模随机模拟中的参数不确定性。运筹学59,3（2011），661-673。马克·布罗迪、杜一平和夏马克·C·莫阿莱米。2011.通过嵌套顺序模拟进行有效的风险估计。《管理科学》57,6（2011），11,72-1194。罗素·陈和韦恩·霍洛兰德。1997.计算机模拟实验对输入数据误差的敏感性。《统计计算与模拟杂志》57，1-4（1997），219-241。斯蒂芬·奇克。200 1. 模拟实验的输入分布选择：考虑输入不确定性。运筹学49,5（2001），744-758。扬尼克·德盖尔和乔治·格罗斯。2015.具有集成可再生资源的电力系统中公用事业规模存储资源的随机模拟。IEEE电力系统交易30，3（2015），1424–1434。保罗·格拉斯曼、菲利普·海德堡和佩韦兹·沙哈布丁。2000.方差减少技术预防风险价值。管理科学46,10（2000），1349-1364。迈克尔·高迪和桑德普·朱内加。2010.投资组合风险度量中的嵌套s i计算。《管理科学》第56期，第10期（2010），1833-1848年。谢恩·G·亨德森。2003

输入模型不确定性：我们为什么关心它？我们应该怎么做？。2003年冬季模拟会议的筹备工作。IEEE，新奥尔良，洛杉矶，90-100。L洪杰夫、胡兆林和刘广武。2014.风险价值和风险左值条件的蒙特卡罗方法：综述。ACM建模和计算机模拟交易24,4（2014），1-37。海兰、巴里·L·纳尔逊和杰里米·斯塔姆。2010.通过两级模拟进行预期空头风险度量的置信区间程序。运筹学58,5（2010），1481-1490。李成海。1998.条件期望的蒙特卡罗计算。博士论文。斯坦福大学，斯坦福，美国。刘明和杰里米·斯塔姆。2010.有效嵌套模拟预期短缺的随机克里格法。《风险杂志》12,3（2010），3-27。R Tyrrell Rockafellar和Stanislav Uryasev。2000.条件风险值的优化。《风险2》杂志（2000），21-42页。克里斯托弗·鲁维内斯。1997年，与h var.Risk 10，2（1997），57-63一起进入希腊。罗伯特·J·瑟林。2009.数学统计的近似定理。第162卷。约翰·威利父子公司。恩海·桑格和巴里·纳尔逊。2015.快速评估输入不确定性的贡献。IIE交易47（2015），893–909。G.斯特克利。2006.估计条件期望的密度。博士学位。康奈尔大学，纽约州伊萨卡。孙丽华和我是杰夫·洪。2010.风险价值和条件风险价值的重要性抽样估计的渐近表示。运筹学通讯38,4（2010），2 4 6–2 5 1。ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年0月24日。Zh u，T.Liu和E.周云鹏孙，Daniel W Apley和Jeremy Staum。2011.估算条件期望方差的有效嵌套模拟。

运筹学59,4（2011），998-1007。谢伟、巴里·L·纳尔逊和拉塞尔·R·巴顿。2014.在随机模拟中量化不确定性的贝叶斯框架。运筹学62,6（2014），1439-1452。韦克西、巴里·L·纳尔逊和拉塞尔·R·巴顿。2015.随机模拟的统计不确定性分析。技术报告。伦斯勒理工学院，纽约，美国。Faker Zouaoui和James R Wilson。2003.考虑仿真输入建模中的参数不确定性。IIE交易35、9（2003）、781-792。冒牌货Zouaoui和James R Wilson。2004.计算中输入模型和输入参数的不确定性。IIE交易36，11（2004），11 3 5–1151。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。在线附录：输入不确定性下随机模拟中的风险量化朱鹤林，乔治亚理工学院刘天一，乔治亚理工学院周恩禄，G乔治亚理工学院Lemma A.1。证据在假设3.1下，渐近表示（A.3）正是[Ser fling 2009]中的定理2.5.1。（二）。渐近表示（A.4）是[Sun and Hong 2010]中定理2的特例，当重要性抽样测度L≡ 1.引理B.1的证明。证据这个结果正是[Gordy and Juneja 2010]中的引理1。为方便起见，我们将简要介绍证据。回想一下thatbHM（θ）=H（θ）+EM/√M、 其中（H（θ），\'EM）具有联合分布pM（H，e）。因此e，efM（tM）=ZRpM（tM- e/√M、 e）de和f（t）=ZRpM（t，e）de。它遵循efm（tM）- f（t）=ZRpM（t）- e/√M、 （e）- 下午（t，e）通过泰勒级数展开，这等于（tM）- t） 锆tpM（ˇtM，e）de-√MZRetpM（ˇtM，e）de，其中ˇtM位于t和t之间。根据假设1和tM→ t asM→ ∞, 这两项都以M的形式收敛为零→ ∞.引理B.2的证明。证据

这一结果与[Gordy and Juneja 2010]中的命题1非常相似。这里的预测将主要遵循[Gordy and Juneja 2010]的证据。回想一下，efm（·）是带噪平均r响应bHM（θ）的c.d.f.，vMα是bHM（θ）的精确α级VaR。因此，eFM（vMα）=α。通过泰勒展开，我们得到了α=eFM（vMα）=eFM（vα）+（vMα）- vα）efM（vα）+（vMα- vα）ef′M（71vmα），其中71vmα位于vMα和vα之间。因此，α-eFM（vα）=（vMα- vα）efM（vα）+（vMα- 此外，请注意efm（vα）=Zvα-∞efM（t）dt=ZRZvα-e/√M-∞pM（t，e）dtde，（.4）c 2017年ACM。10 4 9-3301/2017/-ART0$15.00DOI:0000001.0000001ACM建模与计算机模拟交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。App–2 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou和α=F（vα）=Zvα-∞f（t）dt=ZRZvα-∞pM（t，e）dtde。（.5）结合（.4）和（.5），我们有α-eFM（vα）=ZRZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde。（6）通过泰勒展开，我们得到了pM（t，e）=pM（vα，e）+（t）- vα）tpM（vα，e）+（t- vα）tpM（ˋvα，e），其中ˋvα位于vα和t之间。因此，α-eFM（vα）=ZRZvαvα-e/√MpM（vα，e）dtde+ZRZvαvα-e/√M（t）- vα）tpM（vα，e）dtde+ZRZvαvα-e/√M（t）- vα）tpM（ˋvα，e）dtde。（.7）满足Zrzvαvα右侧的第一项-e/√MpM（vα，e）dtde=ZRe√MpM（vα，e）de=f（vα）√ME[\'EM|H（θ）=vα]=0。（.7）satieszrzvαvα的第二项-e/√M（t）- vα）tpM（vα，e）dtde=-2MZRetpM（vα，e）de=-2米tZRepM（vα，e）de=-2米tf（vα）E[τθ| H（θ）=vα]=-M∧′（vα）。根据假设3.2，（.7）的第三项的顺序为OM（M）-). 因此，α-eFM（vα）=-M∧′（vα）+OM（M-). （.8）结合（.8）和（.3），我们有（vMα）- vα）efM（vα）+（vMα- vα）ef′M（ˇvMα）=-M∧′（vα）+OM（M-),注意，根据假设3.2，很容易看出ef′M（t）对于所有t和dm是一致有界的。结合引理B.1，引理B.2成立。引理B.3的证明。证据

结果她的e与[Gordy and Juneja 2010]中的提案3非常相似，我们的pro of将主要遵循[Gordy and Juneja 2010]的公关。注意，平均值orem，cMα=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vMα}i=1- αZ∞vMαtefM（t）dtACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性条件下随机模拟的风险量化App–3=1- αZ∞vαtefM（t）dt+1- αZvαvMαtefM（t）dt=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i+1- α（vα）- vMα）tvefM（tv），其中tv位于vα和vMα之间。通过引理B.2，我们知道- α（vα）- vMα）tvefM（tv）=vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。因此，cMα=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i+vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。进一步通知1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i=1- α-ZRZ∞vα-e/√M（t+e）/√M） pM（t，e）dtde，cα=1- αE[H（θ）·1{H（θ）≥ vα}]=1- α-ZRZ∞vαtpM（t，e）dtde和zrz∞vαepM（t，e）dtde=Z∞vαE[~EM | H（θ）=t]f（t）dt=0。因此，cMα- cα=1- αZRZvαvα-e/√MtpM（t，e）dtde+√NZReZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde+vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。（.9）类似于从（.6）到（.8）的推导（通过泰勒e展开），我们有1- αZRZvαvα-e/√MtpM（t，e）dtde=-∧（vα）（1）- α） M-vα∧′（vα）（1）- α） M+OM（M-), （.10）和1- α√NZReZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde=2∧（vα）（1）- α） M+OM（M-).（.11）组合（.9），（.10）和（.11），（B.4）成立，引理B.3是引理B.4的证明。证据让我们首先建立（B.5）。为了简单起见，我们分别使用G（·）和deGM（·）来表示F（·）和fm（·）的反函数。此外，deno-teU（θ）=eFM（bHM（θ））。显然，bHM（θ）=eGM（U（θ））和vMα=eGM（α）。很容易看出U（θ）均匀分布在[0,1]上。此外，从HM（θ（1））<·bHM（θ（N））的关系中，我们知道U（θ（1））<·U（θ（N））是NI.i.d.均匀分布随机变量的对应顺序统计量。进一步，ACM建模与计算机模拟事务，第0卷，第2期。

0，第0条，出版日期：2017年。App–4 H.Zh u，T.Liu和E.Zhoulet我们用bFnu（·）表示由u（θ）诱导的样品c.d.f。。。，U（θN）。也就是isbFNu（t）=NNXi=11{U（θi）≤ t} 。通过引理A.1，我们知道u（θ（αN））- α =α -NNXi=11{U（θi）≤ α}!+ Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（12）此外，通过泰勒展开，evN，Mα=bHM（θ（αN））=eGM（U（θ（αN））=eGM（α）+（U（θ（αN））- α） eG′M（α）+（U（θ（αN））- α） eG′M（u）=vMα+efM（vMα）（u（θ（αN））- α) +-ef\'M（eGM（u））efM（eGM（u））！（U（θ（αN））- α） ，其中u位于u（θ（αN））和α之间，我们使用的事实是eGM（α）=vMα，eG′M（α）=1/efM（vMα），andeG′M（u）=ef′M（eGM（u））/efM（eGM（u））。因此，evN，Mα- vMα=efM（vMα）（U（θ（αN））- α) +-ef\'M（eGM（u））efM（eGM（u））！（U（θ（αN））- α).（.13）另一方面，通过[Ser fling 2009]中的引理2.5.4B，我们得到了足够大的| U（θ（αN））- α| ≤ 2N-（日志N）。结合（.12）和（.13），我们得到了evn，Mα- vMα=efM（vMα）（NNXi=11{U（θi）≤ α} - α!+ Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4））=efM（vMα）NNXi=11{U（θi）≤ α} - α!+efM（vMα）Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4）=efM（vMα）NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}- α!+efM（vMα）Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（14）注意efm（vMα）是严格正的，而efm（vMα）是负的→ f（vα）为M→ ∞. 因此，supM1/efM（vMα）<∞. 因此，（B.5）成立。它还有待展示（B.6）。请注意，根据定义CN，Mα- cMα=（1- α） NNXi=1bHM（θi）1{bHM（θi）≥ evN，Mα}- cMα=evN，Mα+（1- α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+- cMαACM建模与计算机模拟交易，第0卷，第1期。

0，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性下随机模拟中的风险Qu反定位App–5=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα+evN，Mα- vMα+(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα！+(* ),在哪里(*) :=evN，Mα- vMα+(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+.我们只需要证明这一点(*) 符合Oa的顺序。s、 （N）-1log N）统一适用于所有M。注意，第二项(*)(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+=(1 - α） NNXi=1hbHM（θi）- evN，Mα1{bHM（θi）≥ evN，Mα}-bHM（θi）- vMα1{bHM（θi）≥ vMα}i=（1- α） NNXi=1hvMα- evN，Mα1{bHM（θi）≥ evN，Mα}i+（1）- α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≥ evN，Mα}- 1{bHM（θi）≥ vMα}i=（1- α） NvMα- evN，Mα+(1 - α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i+（1）- α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i=（1）- α） NvMα- evN，Mα+(1 - α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i+(* * *),在哪里(* * *) =(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i.进一步注意evN，Mα- vMα+(1 - α） NvMα- evN，Mα《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。App-6 H.Zh u、T.Liu和E。

周+（1）- α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i=（1）- α)evN，Mα- vMα“NNXi=11{bHM（θi）≤ evN，Mα}- α#=(1 - α)evN，Mα- vMα“NNXi=11{U（θi）≤ U（θ（αN））}- α#=(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））- α△= (**).注意(*) = (**) + (***), 我们只需要证明这一点(**) 及(* * *) 两者都是Oa的理论基础。s、 （N）-1log N）适用于所有M。通过[Ser fling 2009]中的引理2.5.4B，我们知道，对于足够大的N（可以倾斜），这对所有M都是一致的，如（.14））|evN，Mα- vMα|≤efM（vMα）N-（日志N）。（.15）此外，通过应用[Ser fling 2009]中关于U（θ）的定理2.5.1和引理2.5.4B，我们得到了足够大的N | bFNu（α）- α|=2 N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（.16）在[Ser fling 2009]onU（θ）中应用引理2.5.4B和引理2.5.4E（c=2，q=1/2），我们有足够大的N | bFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）|=2N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（.17）结合（.16）和（.17），我们有足够大的N | bFNu（U（θ（αN）））- α| ≤ 4N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。与（.15）相结合，我们有足够大的N（所有M都是统一的）(**) =efM（vMα）N-1（logn）+Oa。s、 （N）-5/4（日志N）5/4）鉴于supM1/efM（vMα）<∞, 我们有(** ) 在Oa的背景下。s、 （N）-1日志N）对所有M都是一致的。剩下的是显示(* * *) 也符合Oa的顺序。s、 （N）-1log N）适用于所有M|(* * *)| =(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i≤(1 - α)evN，Mα- vMαNNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}-NNXi=11{bHM（θi）≤ evN，Mα}=(1 - α)evN，Mα- vMαNNXi=11{U（θi）≤ α} -NNXi=11{U（θi）≤ U（θ（αN））}=(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）.ACM建模与计算机模拟事务，第0卷，第1期。

0，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性App–7By（.15）和（.17）下的随机模拟中，我们有足够大的N（所有M都是均匀的）(**) ≤(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）=efM（vMα）N-1（logn）+Oa。s、 （N）-5/4（日志N）5/4）.同样，考虑到supM1/efM（vMα）<∞, 我们有(* * *) 按照A的顺序。s、 （N）-1log N）适用于所有M。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。