如果我们用Vt（Aij）表示债务的市场价值，那么上述论点意味着，对其贷款人i造成的损失可以用相对于原始面值Aij的相对损失来表示-Vt（Aij）Aij=f（hj（t- 1)). 通过对所有债务人求和，每个银行i在t=2，3。描述为：hi（t）=min1，Xj∈SA（t）lijf（hj（t）- 1))（4） 其中，SA（t）是活动节点集，即在时间t发送遇险信息的节点。时间t时活动节点集SA（t）的选择是DebtRank的一个特点。事实上，等式4是我们假设外部资产价值的减记完全被股权吸收；推导很简单：hi（1）=min1，Ei（0）- Ei（1）Ei（0）= 闵1，PkAeik（0）rk（1）Ei（0）= min（1，Xk（leik×rk（1）））。从资产负债表的角度来看，Aijis是指j的负债方的要素（即在时间0时确定的面值），而Vt（Aij）是在时间t时写在i的资产方的价值（按市值计价），具有递归性质，因此需要在每个时间t通过考虑前一时间处于困境的节点来计算。由于杠杆网络可以呈现周期，压力可能会通过特定链路传播不止一次。虽然这一事实并不能用数学术语来描述一个问题，但它的经济学解释确实更具问题性。为了克服这个问题，DebtRank排除了多个混响。从网络的角度来看，通过选择集合SA（t），我们排除了多次计算特定链接的行走。该过程在特定时间T结束，此时节点不再处于活动状态。f（·）的函数形式。函数f（·）的选择值得进一步讨论。

事实上，对其形式的正确估计需要一个经验框架，该框架应考虑到j违约的概率和i持有的资产的回收率。然而，f（·）需要满足的最低要求是，在H与其债务价值损失之间保持非递减关系。更具体地说，我们可以假设，HIM的较小值可能对i义务的市场价值几乎没有影响，而巨大的损失将使i义务的价值接近于零：因此，这种关系必然是非线性的，f（·）可能是一种s型函数。有鉴于此，虽然进一步的工作将涉及对更明确的功能形式的分析，但我们在此提出了两种主要形式，即以下两种特定的困境动态：违约传染。在这种情况下，根据特定的文献流（Eisenberg和Noe，2001），只有违约事件才会引发传染。因此，函数f（·）被选为默认f（hi（t））=χ{hi（t）=1}情况下的指示函数。债务等级。f（·）的特征意味着存在一个中间层，其中f（·）可以用线性函数近似。通过选择恒等式函数f（hi（t））=hi（t），我们得到了原始的DebtRank公式（Battiston等人，2012b）。这个函数形式将是我们在框架和练习中使用最多的形式。为了清楚起见，在本节的其余部分中，我们只考虑后一种函数形式。然而，在这个框架中，两种情况下都可以轻松地进行压力测试。弱点我们现在已经准备好计算脆弱性（个人和全球）和影响（个人层面）。通过设置方程式4中的f（hj（t））=hj（t），可以很容易地计算出单个漏洞hi（t）。

然后通过H（t）=Pihi（t）wi给出全局漏洞。尽管该框架可以将任何类型的冲击作为输入，但我们将重点放在所有银行的外部资产都受到冲击的情况上：在这种情况下，所有银行都在时间T=1时发送遇险信息，并且考虑到设置SA（1）的选择，该过程确实在时间T=2时结束。在第二轮之后，我们可以推导出针对个人脆弱性的封闭式解决方案：hi（2）=min（1，leir（1）+Xjlbijlejr（1）），（5），它阐明了外部杠杆和银行间杠杆的复合效应。如果冲击r（0）足够小，不会导致任何违约，那么5可以重写为：hi（2）=leir（1）+Xjlbijlejr（1）=r（1）lei+Xjlbijlej！影响DebtRank在其原始公式（Battiston et al.，2012b）中，通过假设每家银行单独违约并计算此类违约导致的全球相对权益损失，需要进行压力测试。这确实是我们定义为一个机构对整个系统的影响。正式地说，这可以写成：DRk=Xihi（T）Ei（0）。（6） 网络效应：脆弱性方程4的一阶近似值清楚地显示了DebtRank捕捉到的困境动态的主要特征：杠杆网络与从该网络中的邻居引入的困境之间的相互作用。此外，等式5阐明了杠杆在第二轮结束时决定困境的倍增作用。我们现在对方程5进行一阶近似，这将有助于进一步澄清外部杠杆和银行间杠杆在确定困境中的复合效应。为了简单起见，我们假设没有默认值，这允许我们删除“min”操作符。

在外部资产受到相对较小冲击的情况下，这是一个合理的假设。我们通过取i银行债务人的外部杠杆的加权平均值（加权wi）来近似i银行债务人的外部杠杆，我们用le表示。AsPjlbij=lbi，我们写了（2）≈ leir+lbiler。通过用lbi的加权平均值表示lbi，我们可以将第二轮结束时的全球权益损失H（2）近似为：H（2）≈ ler+lbler（7），这使得我们可以看到，作为加权平均银行间杠杆率和加权平均外部杠杆率的乘积，如何单独获得第二轮效应。通常，压力测试强调第一轮的影响：正如我们观察到的，这可能会导致严重低估系统风险。A.3第三轮和再融资在第二轮融资之后，银行经历了一定程度的股权损失，这完全超出了t=0时资产负债表的初始配置。银行现在正试图至少部分地存储这种初始配置。特别是，我们假设（Tasca和Battiston，2013年），每家银行我都会尝试将杠杆水平提升到原来的li（0）。这意味着银行将试图出售外部资产，以获得足够的现金来偿还债务，从而缩小资产负债表的规模。由于银行体系总共拥有大量外部资产，因此对外部资产价格的影响也会相应降低。因此，银行将因转售而遭受进一步损失，我们将此类损失列为第三轮影响。这里，我们为上述场景提供了一个最小的模型。考虑t=1，2，…，时的杠杆动态，T、 T+1，T+2。

在t isli（t）=lei（t）+lbi（t）=Aei（t）+Abi（t）E（t）（8）时的杠杆率我们假设，在t=0时，每家银行都有一定数量的外部资产，在不损失一般性的情况下，资产的初始价格是单一的（p（0）=1）。因此，t=0时的资产价值可以写成Ai（0）=Qi（0）=li（0）Ei（0）。因此，第一轮之后的资产价格为p（1）=p（T）=（1）- r） 。回顾第一轮仅影响外部资产，第二轮仅影响银行间资产，第二轮后各银行i的杠杆率可写为：li（T）=（1- r） Qi+Abi（0）- （嗨（2）- 大家好- 嗨（2））Ei（0）=（1- r） 雷伊（0）+lbiEi（0）- （嗨（2）- 嗨（1））Ei（0）（1）- h（2））Ei（0）=（1）- r） lei+lbi- （嗨（2）- 嗨（1）1- 嗨（2）==（1）- r） lei+lbi- 嗨（2）+leir1- hi（2）（9）其中，为了便于记法，lei=lei（0）和lbi=lbi（0）。首先，我们需要证明新的杠杆水平相对于初始条件更高。很容易证明li（T）>li（0）（只要我没有违约）：（1- 嗨（2））（lei+lbi- 嗨（2）+leir）>（1- 嗨（2））（lei+lbi）<==> (1 - 你好（2）莉<莉- hi（2），其中li=li（0）。上述不等式导致了条件hi（2）（li）- 1） >0，这在我们的设置中始终有效。当t=t+1时，银行试图恢复目标杠杆率l*i=li（0）=lei+lbi，通过出售一个实践si∈ [0,1]的外部资产的价格（1- r） 并补充他们对阿纳蒙特齐的股权（1- r） 因此，我们将方程9修改如下：lei+lbi=（1- si）（1）- r） lei+lbi- 嗨（2）+leir（1）- 嗨（2））+si（1）- r） lei（10）经过一些段落，我们得到了si:si=hi（2）（1）的值- r） 雷利- 1li+1∈ （0,1）满足方程10。出售资产的相对金额由ρ=Pisiaepiaei给出。我们进一步假设，在市场上同时出售外部资产会对价格产生进一步的线性影响。

考虑到重新销售的影响，新价格进一步降低如下：p（T+2）=（1- r） （1）- ρη）（11），因此价格的相对变化与通过常数η的索尔达塞特数量的相对变化成正比∈ [0, 1]. 最后，通过计算等式11下的declinein price给出的额外损失，我们得到了t=t+2:hi（t+2）=min{1，hi（t）+lei（1）时的最终个人相对权益损失- r） （1）- si）ρη}==min（1，leir+Xjlbijlejr+lei（1- r） （1）- si）ρη）（12）和第三轮的全球股权损失（假设没有违约）：H（T+2）=H（2）+（1- r） ρηXi（wilei（1- si））=Xiwileir+Xjlbijlejr！+(1 - r） ρηXi（wilei（1- si）A.4损失分布遇险过程允许在每个时间t捕获单个机构和整个系统的相对权益损失。这意味着在每个时间t计算（连续的）相对权益损失分布的可能性，该分布有一定的冲击条件。例如，权益损失分布可以通过两种典型的风险度量来描述：风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）（也称为预期缺口，ES）。因为t（hi）是负变量∈ [0, 1] i、 t时，银行i在α级的个人风险价值定义为1- α分位数（McNeil等，2010；F¨ollmer and Schied，2011）：V aRαi（t）=inf{x∈ [0,1]：P（hi（t）≤ 十）≥ (1 - α） }（13）且银行i在时间t的条件风险价值在α级被定义为超过VaR的损失的预期值，如：CV aRαi（t）=E[hi（t）|hi（t）≥ V aRαi（t）]（14）考虑到系统作为一个整体，我们同样可以分析每个时间t的全局相对权益损失H（t），从而得到一个全局VaR:V aRαglob（t）=inf{x∈ [0,1]：P（H（t）≤ 十）≥ (1 - α） }，（15）和全局CVaR:CVaRαglob（t）=EH（t）| H（t）≥ V aRαglob（t）.

（16） B数据收集和处理银行资产负债表上的详细公共数据不可用，因此我们求助于提供合理细分水平的数据集，即Bureau Van Dijk Bankscope数据库（URL:Bankscope.bvdinfo.com）。我们关注总部位于欧盟的183家银行的子集，这些银行在2008年至2013年期间也在股票市场上市。选择的主要标准是（每年）对总资产、股权、银行间借贷进行详细覆盖。未来的工作将以更高的频率（季度、月度等）处理数据。我们的银行间资产和负债数据包括回购协议项下的到期金额（在经济上类似于担保贷款），因此引发了大量的传染细节：我们记录了字段1“权益”，2“总资产”，3“总负债和权益”，4“对银行的贷款和建议”，5.“其他银行存款”来自Bankscope的通用银行模式（UBM）。seehttps://www.bvdinfo.com/getattachment/a5a81707-c96d-4525-9142-7c7e607abf56/Bankscope和http://www.bvd.co.uk/bankscope/bankscope.pdfe影响。我们进行了一系列的一致性检查。如果一家银行的同业拆借数据缺失不到三年，我们将通过线性插值对其他年份的可用数据进行估计（与可用数据进行比较，误差低于20%）。一般来说，所有银行和年份的银行间借贷之间的相关性约为70%（存在一些显著差异），这意味着存在净贷款者和净贷款者。

有鉴于此，当银行间借贷的数据在三年以上都不可用时，我们只需将它们设置为相等即可。C网络重建关于银行间借贷总额的数据通常是公开的，而详细的双边风险敞口通常是保密的。然而，在本节中，我们概述了框架中采用的估算程序。在每个时间点，我们通过“能力模型”创建了100个网络样本，这是一种最近用于从总风险开始重建金融网络的技术（de Masi et al.，2006；Musmeci et al.，2013；Montaganad Lux，2014）。该程序可概述如下：1。总暴露量重新平衡。由于我们考虑的是整个银行间市场的一个子集，因此我们观察到了一个不一致性：银行间总资产a=Piaiar系统性地大于每年银行间总负债L=PiLifor（欧盟银行是来自世界其他地区的净借款者）。为了采用保守的方案，我们假设网络中的总借出量是两者之间的最小值（在练习中为a）。让Ai/A和Li/PjLjbe分别计算i.2的借贷倾向。曝光链接分配。适用于银行间网络的能力模型（de Masi等人，2006年）将每家银行的能力水平称为第十一级（通常代表其在银行间网络中的规模）。我们可以通过以下公式估算i和j之间存在曝光的概率，pij=zxixj1+zxixj（z是自由参数）。注意pij=pji。与最近的一系列文献（Musmeci等人，2013年；Montagna和Lux，2014年）一致，对于每家银行，我们将其总贷款和借款倾向之间的平均值取为，这意味着，该值越大，交易对手的数量（节点的程度）就越高。

考虑到不同银行间网络密度的经验证据（在tVeld和van Lelyveld，2014年），我们假设平均密度为5%（即当时约为1670）（n- 1） 可能的链接）。由于可以证明链路总数等于IPJ6=izxixj1+z xixj的预期值，我们可以确定参数z并计算链路概率矩阵pij。我们现在生成100个网络实现。对于每一种实现，我们都会用概率pij指定一个到这对银行（i，j）的链接。链接方向（决定i或j是贷方还是借方）随机选择，概率为0.5.3。曝光量分配最后，我们需要为边缘（每次曝光的体积）分配权重。我们施加了一个基本约束，即每家银行的风险敞口之和（超出强度）等于其银行间资产Ai总额。为了实现这一点，我们在银行间风险敞口矩阵aij上实施了迭代比例拟合算法。我们希望估算矩阵πij=Aij/A，即每次暴露相对于银行间总容积的相对值。我们开始估算πij的πij，在每次迭代中：（1）πij=πijPjπijAiA，即πijis divided我们进行了敏感性分析，以评估密度水平的特定选择的作用。将密度增加到10%不会影响运动的整体结果。例如，第二轮的全局脆弱性值仅在第三个十进制数字处有所不同。由其相对借贷倾向乘以i的总相对资产，；（2） πij=πijPiπijLiLπij。我们重复这两个步骤直到jπij- Ai/A和PJ^πji- Li/L低于1%。最后，暴露网络可以通过πij×A.参考Acemoglu，D.，Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.（2013）进行估算。

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