然后我们证明J（x（t），\'p（t，dx））t∈[0，T]= 我（x（t），\'x（t））∈[0，T]因此I（x，\'x）=I（x，\'x）。引理9。设p在（37）中定义，h=0。然后J（x（t），\'p（t，dx））t∈[0，T]=对于σ=0和J，I（x，`x）in（23）（x（t），\'p（t，dx））t∈[0，T]= I（x，`x）in（33）表示σ>0。因此，\'p（t，dx）是一个极小值，对于σ=0或σ>0，I（x，\'x）=I（x，\'x）。证据通过使用[10，命题5.3]中的相同参数，如果φ（t，dx）对于光滑密度函数φ（t，x）的勒贝格测度是绝对连续的，那么ztsupf（x）：hφ，（f（x））i6=0hφt-σφxx- θx[（x- x（t）φ），f（x）ihφ，（f（x））idt=ZThφ，（g（t，x））idt，其中g（t，x）满足φt（t，x）-σφxx（t，x）- θx[（x- x（t））φ（t，x）]=x（φ（t，x）g（t，x））。如果φ（t，x）=p（t，x），那么通过使用`pt=-˙\'x（t）\'px和σ\'pxx+θx[（x-x（t））\'p]=θ[（\'x（t）- x（t））-px]，对应的g（t，x）满足-˙x（t）px- θ[（\'x（t）- x（t）\'-px]=x（g（t，x）`p）。那么g（t，x）=-˙x（t）-θ（x（t）-x（t）和rthφ（g（t，x））idt=RT（˙x（t）+θ（˙x（t）-x（t））dt。因此，我们获得了预期的结果。最后，我们证明了极小值（`p（t，dx））t∈[0，T]是唯一的。引理10。极小值（`p（t，dx））t∈infφ（T，dx）J的[0，T]（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]对所有（φ（t，dx））t都是唯一的∈[0，T]使得所有T的hφ（T，dx），xi=(R)x（T）∈ [0，T]和φ（0，dx）=p（0，dx）。26 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI YANGProof。

根据前面的引理，我们得出结论，如果（φ（t，dx））t∈[0，T]是一个极小值，那么x=arg supf（x）：hφ，（f（x））i6=0hφT-σφxx- θx[（x- 因此对于任何扰动^f（x），dd=0hφt-σφxx- θx[（x- x（t））φ]x+^f（x）ihφ（1+^f（x））i=0，这导致φt-σφxx- θx[（x- x（t））φ]=hφt-σφxx- θx[（x- x（t））φ]，xiφ=[？\'x（t）+θ（？\'x（t）- x（t））]φ。换句话说，一个极小值（φ（t，dx））t∈[0，T]必须满足上述线性抛物线，其在给定初始条件φ（0，dx）=p（0，dx）下具有唯一解。附录C.命题7的证明我们可以用矩阵形式重写问题：min（α（t））t∈[0，T]E“ZTα（T）TRα（T）+X（T）TQX（T）dt#，dX=∑dW+AX+Bαdt，其中∑=σ√N0uT0uσI, A=-θ- Hθ螺母θu-θI, B=0uT0u I,Q=θcN-美国犹他州-尤伊, R=θc10UT0U I, 我们应用标准理论[24，定理6.1]，我们发现最优控制是α（T）=-R-1BTS（t）X（t），其中S（t）是矩阵Riccati方程的解-滴滴涕=ATS+SA- 丁苯橡胶-1BTS+Q，终端条件S（T）=0。我们发现这是（t）=Na（t）b（t）uTb（t）ud（t）I+e（t）NJ,式中，J是N×N矩阵，由1和（a（t），b（t），d（t），e（t））组成∈[0，T]是˙a（T）=2（θ+H）a（T）的解- 2θb（t）+θcb（t）- θc，˙b（t）=（θ+H+θ）b（t）- θd（t）- θa（t）+θcb（t）d（t）+θc- θe（t）+θcb（t）e（t），˙d（t）=2θd（t）+θcd（t）- θc，˙e（t）=-2θb（t）+2θe（t）+θc（2d（t）e（t）+e（t）），一个由中央代理稳定的系统的风险分析（A（t），b（t），d（t），e（t））=（0，0，0）。因此，最优控制为αj（t）=-θc（b（t）X（t）+d（t）Xj（t）+e（t）`XN（t）），j=1，参考文献[1]李俊波和阿戈斯蒂诺·卡波尼。银行间网络中的系统性风险。暹罗金融数学杂志，6（1）：386-4242015。[2] A.Budhiraja、P.Dupuis和M.Fischer。利用弱收敛方法研究弱相互作用过程的大偏差性质。安。

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