对于引理5.2的x（m），我们有m、 1/x（米）= 0; 0<m<c/r，当z>1/x（m）时，H（m，z）>0（分别为H（m，z）<0）（分别为z<1/x（m））。引理B.2。假设ξ（z）：=g（z）/g（z）+c/r，那么我们有（i）gξ（z），z= 对于0<z<c/r，G（m，z）>0（分别为G（m，z）<0）对于m<ξ（z）（分别为m>bm（z）），（ii）ξ（z）≤ bm，对于0<z<1，（iii）ξ1/x（bm）= bm，即函数z=1/x（m）和m=ξ（z）的图形相交于bm，1/x（bm）; 和（iv）ξ（z）>x(-1） （1/z）为1/x（bm）<z<1/x（0）。0 5 10 15 bm 20crm00。20.41=x（bm）0.811.2Z F（m；z）=G（m；z）=H（m；z）m=9（z）z=1x（m）0 bm 5 10 15 20crm00的符号。图9：矩形（m，z）中F（m，z）=H（m，z）的符号∈ [0，c/r]×[0，1]。阴影区（分别为未阴影区）是指F（m，z）<0（分别为F（m，z）>0）的区域。引理B.3。F（m，z）=H（m，z）/G（m，z）在点（bm，1/x（bm））和（c/r，0）处没有限制。图6展示了第5节数值例子中引理B.1-3的结果。特别注意，函数H（m，z）/G（m，z）或G（m，z）/H（m，z）中的至少一个在任意点（m，z）是连续的∈ D \\{（bm，1/x（bm）），（c/r，0）}。因此，关于D引理B.4中（5.3）解的存在性和唯一性，普通微分方程的经典理论得出以下结果。对于任何（m，z）∈ D \\{（bm，1/x（bm）），（c/r，0）}，在满足z（m）=z时，ODE（5.3）存在唯一的解。此外，这种解在左上边界的左侧延伸D∪ -从右到右下边界D∪ +D.我们现在可以证明命题5.4。引理B.4，对于任何m∈ （m）*, M*), 在初始条件z（m）=1/x（m）下，存在满足ODE（5.3）的唯一函数z（·；m）。

根据普通微分方程的比较定理（沃尔特（Walter，1970）第65页的定理V），对于m的值，必须有z（m）<~z（m；m）<z（m），其中定义了z（·；m）、z和z。因此，z（·；m）必须延伸到右下边界D∪ +D.现在，定义常数m*比姆*= supnm∈ （m）*, M*) : ~z（·；m）从右侧延伸至+做通过ODE（5.3）的解相对于初始数据z（m）=1/x（m）的连续性，可以很容易地得出z（c/r；m）*) = 0.最小水位下降概率的唯一性和定理5.6则表示z（·；m）*) 是满足终端条件z（c/r）=0的唯一解决方案。最后，注意引理B.1和B.2。（i） ，ODE（5.3）的右侧在（m）附近为负值*, 1/x（米）*)). 因此，通过点（m）的积分曲线*, 1/x（米）*)) 螺旋状地回到原点bm，1/x（bm）, z（·；m）*) 未定义形式<m*.附录C：定理5.10的证明必须证明φ满足定理3.1的条件。因为ψ和Φ都是下降的概率，分别如命题5.5和命题5.9所示，因此推论3.3得出φ是D上下降的最小概率。定理3.1的条件已经为m验证*≤ 在命题5.5的证明中，m<c/r。仍需验证它们是否为0<m<m*.首先，我们证明φ在m=m时是连续的*. 从（5.19）和（5.30）可以得出：^yαm（m）BBB- Bx（m）1-B- x（m）1-B=铬- M-铬- αmB（1）- B） B- Bx（m）1-B+B（B）- 1） B- Bx（m）1-B.（C.1）根据m的定义*在命题5.4中，我们有z（m）*) = 1/x（米）*).

设置m=m*在（5.7）和（C.1）中，得到了yαm（m*) = ^yαm（m）*) 反过来，由（5.4）和（5.29）得出的结果是∧φ（y，m*) =^φ（y，m）*) 尽管如此∈ [~ym（m）*), ~yαm（m）*)] = [^ym（m）*), ^yαm（m）*)].因此，（5.23）和（5.33）屈服Φ（w，m*) = ψ（w，m）*) 对于αm*≤ W≤ M*, 这意味着φ在m=m时是连续的*.同样地，φ（y，m）*) =^φ（y，m）*) 尽管如此∈ [~ym（m）*), ~yαm（m）*)] = [^ym（m）*), ^yαm（m）*)]得到φw（w，m*) φww（w，m）*) 对于αm是连续的*≤ W≤ M*, 除了w=m时的二阶导数*limw在哪里→M*-φww（w，m）=+∞. 另一方面，对于m=m，φmdoes不存在*, 因为z（m）的右导数和1/x（m）的导数在m=m时不匹配*（见图3）。尽管如此，对于正确的导数，因为ψ解BVP（5.1），我们有h+m（m）*, M*) = ψ+m（m）*, M*) = 0; 正如我们将要展示的那样，h-m（m）*, M*) = Φ-m（m）*, M*) > 0.注意，定理3.1考虑了这些不规则性。也就是说，条件（i）允许limw→M-φww（w，m）=+∞ 条件（ii）允许φ（w，·）在m=m时不可微*.接下来，我们考虑0<m<m的情况*式中φ=Φ。显然，Φ满足定理3.1的条件（i）和（ii）。此外，从（5.34）中，我们可以看到Φ（αm，m）=1，所以条件（iv）成立。Φ满足条件（vi），因为它求解HJB方程minπLπΦ=0。条件（v）是没有意义的，因为m<c/r。只有当m≤ M*. 现在，Φm（m，m）≥0当且仅当^φm（^ym（m），m）≥ 0.可以证明^φm（^ym（m），m）=c- rmλ^ym（m）+λ- rλ^ym（m）。经过长时间的计算，我们得到了^ym（m）=^ym（m）c/r- M1.- ^yαm（m）cr（1）- α),由此得出Φm（m，m）≥ 0当且仅当^yαm（m）≤λc（1）- α). （C.2）我们接下来证明不等式（C.2）在m≤ bm，有bm∈ （0，c/r）asin引理5.2（注意，根据命题5.4，m*< bm）。

为此，我们首先证明了^yαm（m）相对于（0，c/r）上的m严格增加，随着^yαm（0+）≤λc（1）-α） 和^yαm（（c/r）-) >λc（1）-α). 首先，通过替换c/r重写（5.30）中^yαm（m）的表达式- αm来自（5.19），然后简化为^yαm（m）=铬- M（B）- 1)(1 - B） B- Bx（m）B-1B-x（m）B-1B. （C.3）对m进行微分（C.3），得到^yαm（m）∝x（m）B-1B-x（m）B-1B-铬- MB- 1Bx（m）B-1+1 - BBx（m）B-1.x（m）x（m），（C.4）（C.4）其中∝ 表示与…成正比例。我们通过微分（5.19）得到x（m）。x（m）x（m）=B- B（B）- 1)(1 - B） 一,- αx（m）B-1.- x（m）B-1c/r（c/r）- m） 。将该表达式替换为（C.4），通过（5.19）消除m，并简化为^yαm（m）∝ αB- 1Bx（m）B-B+1- BB-B- BBBx（m）B-1.（C.5）当x=1时，（C.5）的右边等于-B-BBB（1）- α) > 0. （C.5）的右边对x的导数也是正的。因此，因为x（m）>1表示所有m∈ （0，c/r），由此得出，在这个区间上^yαm（m）>0。换句话说，^yαm（m）相对于（0，c/r）上的m严格增加。现在，x（0+）=1；因此，^yαm（0+）=-rcBB（B）- 1)(1 - B） =λc≤λc（1）- α).还有，x（（c/r）-) = ∞, so^yαm（（c/r）-) 这是不确定的。当我们取极限m时，应用L\'H^opital法则→ （c/r）-, 我们得到了^yαm（（c/r）-) =rc（1）- α） BB- 1> λc（1）- α).因此，对于任何固定的α∈ [0,1]，存在唯一的bm∈ [0，c/r），使得^yαm（bm）=λc（1- α). （C.6）我们只剩下证明解（C.6）的bm也解（5.20）。将（C.6）中^yαm（bm）的表达式代入（C.3），求解（5.19）代入x（bm）B-1，将该表达式代入（C.3），解出x（bm）B的结果-1获取X（bm）B-1=αB+cr（1- α） 铬- bm。（C.7）通过对称，x（bm）B的类似表达式-1同样成立，即用B代替B，当我们将这两个表达式等同于x（bm）时，（5.20）紧随其后。