通过有界回归组合Alpha

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Combining Alphas via Bounded Regression》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We give an explicit algorithm and source code for combining alpha streams via bounded regression. In practical applications typically there is insufficient history to compute a sample covariance matrix (SCM) for a large number of alphas. To compute alpha allocation weights, one then resorts to (weighted) regression over SCM principal components. Regression often produces alpha weights with insufficient diversification and/or skewed distribution against, e.g., turnover. This can be rectified by imposing bounds on alpha weights within the regression procedure. Bounded regression can also be applied to stock and other asset portfolio construction. We discuss illustrative examples.
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中文摘要：
我们给出了通过有界回归组合alpha流的显式算法和源代码。在实际应用中，通常没有足够的历史来计算大量字母的样本协方差矩阵（SCM）。为了计算alpha分配权重，可以对SCM主成分进行（加权）回归。回归通常会产生阿尔法权重，其多样性不足和/或分布不均，例如营业额。这可以通过在回归过程中对alpha权重施加限制来纠正。有界回归也可以应用于股票和其他资产组合的构建。我们讨论说明性的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Combining_Alphas_via_Bounded_Regression.pdf
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何人来此

2022-5-9 01:04:38

通过有界回归组合alpha Zura Kakushadze§+1§QuantigicSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，Stamford，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，David Agmashenebile Alley，第比利斯，0159，乔治亚州（2015年1月7日；2015年10月22日修订）摘要我们给出了结合alpha streamsvia有界回归的显式算法和源代码。在实际应用中，通常无法计算大量阿尔法的样本协方差矩阵（SCM）。为了计算alpha分配权重，可以对SCM主成分进行（加权）回归。回归通常会产生差异不足和/或分布不均的α权重，例如营业额。这可以通过在回归过程中对α权重施加界限来纠正。有界回归也可以应用于股票和其他资产组合的构建。我们讨论说明性的例子。关键词：对冲基金、阿尔法流、阿尔法权重、投资组合周转率、投资分配、加权回归、多元化、界限、优化、因子模型Szura Kakusha dze博士是QuantigicSolutions LLC的总裁，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：本地址由相应的作者使用，其目的仅为表明其在出版物中的职业职责。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions LLC网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介随着技术的进步，阿尔法流的数量不断增加。其中许多是昙花一现的，寿命相对较短。

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可人4

2022-5-9 01:04:41

因此，在实际应用中，通常没有足够的历史来计算大量阿尔法流的样本协方差矩阵（SCM）——SCM是奇异的。因此，在lpha投资组合优化中直接使用SCM不是一种选择。规避这一困难的一种方法是为alphastreams建立f-actor模型[56]。由于alpha业务的高度保密性，此类f-actor模型必须在内部构建——没有针对alpha流的“标准化”FactorModel的商业供应商。与股票的因子模型一样，Alpha的这种模型构建需要一定的专业知识和时间开销。因此，在实践中，人们往往会选择一条更简单的道路。正如[56]中更详细地讨论的那样，可以对SCM进行变形，使其成为非奇异的，然后将如此变形的SCM用于（比如）Alpha组合的Sharpe比率优化。对于小变形，这将减少到阿尔法流预期收益的横截面加权回归[56]。积分权重是α的倒数示例方差。荷载矩阵中的列，在这些列上，经验返回一个重新回归的值，它们只是对应于其正（即非消失）特征值的前K个主成分[56]。回归通常会产生阿尔法权重，其多样性和/或分布不充分，例如营业额。因此，如果一些预期收益被接受，那么，尽管非均匀回归权重（抑制更易波动的alpha），相应的alpha权重可能比多样化考虑所期望的更大。此外，主成分对营业额等数量一无所知。获得更“全面”的投资组合组合的一个简单方法是设置alpha权重的界限。

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大多数88

2022-5-9 01:04:44

这就是我们在这里讨论的方法。当单个alpha流在单独的执行平台上交易时，alpha权重为非负。通过在同一执行平台（我们在此采用的框架）上组合和交易多个alpha流，可以通过在不同alpha流之间进行内部交叉交易（与上市相反）来节省交易成本。那么阿尔法权重可以是负数。当alpha权重可以同时取正值和负值时，边界回归问题就简单了。它归结为一种我们在第2节讨论的迭代算法。这个算法hm实际上可以从一个优化算法中派生出来，这里的“alpha”——遵循常见的交易者行话——通常意味着人们可能希望交易的任何合理的“预期回报”，不一定与“学术”alpha相同。在实践中，通常关于alpha如何构造的详细信息可能不可用，例如，唯一可用的数据可能是头寸数据，因此“alpha”是一系列指令，用于在某些时间t，t。有关对冲基金知识的部分列表，请参见[1]-[20]以及其中的参考文献。有关投资组合优化和相关文献的参与者，请参见[21]-[55]及其参考文献。纠正这种情况的一种方法是在负荷矩阵中添加基于周转率的系数[56]。有关最近的讨论，请参见[57]。[58]中讨论的边界（在因子模型上下文中），采用o优化的回归极限。我们还在附录A中给出了有界回归算法的R源代码。附录B包含一些法律术语。我们在第3节中得出结论，在第3节中，我们还讨论了[59]之后交易成本的有界回归。1符号我们有N个字母αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1。

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可人4

2022-5-9 01:04:47

，M，这是最近的一次。低于αi指αi（t）。让Cijbe计算N个时间序列αi（ts）的样本协方差矩阵（SCM）。如果M<N，那么只有M个Cijare的特征值是非零的，而其余的特征值是“小”值，这些值是由于计算舍入而扭曲的零。Alphasαi与重量wi相结合。任何杠杆都包括在αi的定义中，也就是说，如果给定的α被j标记∈ {1，…，N}在杠杆是α′j（这是一个原始的、无杠杆的α）和相应的杠杆是Lj:1之前，我们定义αj≡ Ljα′j.根据这一定义，权重满足条件nxi=1 | wi |=1（1）。这里我们允许权重为负值，因为我们感兴趣的是阿尔法在同一执行平台上交易，阿尔法之间的交易是交叉的，所以我们实际上是在交易合并的阿尔法α≡PNi=1αiwi。2.2加权回归当SCM CIJI是单数且没有其他矩阵（例如，因子模型）来替代它时，可以对SCM进行变形，使其非单数，然后将变形后的SCM用于（比如）阿尔法组合的夏普比率优化[56]。对于小变形，这将简化为alphastream预期收益的横截面加权回归[56]。回归权重zi（不要与α权重wi混淆）是α：zi的逆样本方差≡ 1/Cii。荷载矩阵∧iA，A=1，K、对预期回归进行回归的，只不过是对应于其正（即非消失）特征值的SCMC的前K个主成分。然而，f或现在我们将保持∧i一般（例如，人们可能希望在∧iA[56]中包含其他风险因素）。实际上，这假设在任何alpha时间序列中都没有N/As。

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能者818

2022-5-9 01:04:49

如果某些或所有阿尔法时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则产生的相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值不是因计算舍入而扭曲的零。权重wi由以下公式给出：wi=γziεi（2），其中εi是αiover∧iA（不含截距，除非截距包含在∧iA中，即–见下文）的横截面回归的残差与回归权重zi：εi=αi-NXj=1zjαjKXA，B=1∧iA∧jBQ-1AB（3）其中Q-1与Qab相反≡NXi=1zi∧iA∧iB（4），且（2）中的整体rγ通过（1）固定。注意我们有A.∈ {1，…，K}:NXi=1wi∧iA=0（5），因此，权重wi为中性w.r.t。由荷载矩阵∧iA列定义的风险因素。2.3边界由于权重wi可以有任意一个符号，我们将假设权重的上下界为sw-我≤ wi≤ w+i（6）满足条件SW-我≤ 0（7）w+i≥ 0（8）w-i<w+i（9）最后一个条件不是限制性的：如果对于i标记的某些α，我们有w-i=w+i，那么我们可以简单地设置wi=w-我在下面的有界回归过程中完全排除了这个α。此外，如果出于任何原因，我们希望给定wi没有上限/下限，我们可以简单地设置w±i=±1。界限可用于多样化目的：例如，人们可能希望要求没有α的权重大于某个固定（小）百分位ξ，即| wi |≤ ξ、所以w±i=±ξ。人们也可能希望抑制高周转率阿尔法的贡献，例如，通过要求| wi |≤eξifτi≥ τ*, 式中，τ是营业额，τ*是一些削减营业额，而ξ是一些（小）百分位数。边界也可用于限制低容量相位的权重。Etc.2.4运行有界回归so，我们如何在回归的上下文中施加界限？这里有两个微妙之处。

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mingdashike22

2022-5-9 01:04:52

首先，我们希望保留事实上的r中立性性质（5），它在同时重新校准wi下不变→ ζwi（其中ζ为常数）。如果我们简单地将一些变量设置为它们的上界或下界，这通常会破坏它们的标度不变性，因此属性（5）将丢失。其次，我们必须保持正规化条件（1）。事实上，正是这种标准化条件允许有意义地设置边界w±i，因为回归本身并不能将整体标准化系数γ定义为（2），因为重新缩放不变性→ ζwi。这里我们讨论有界回归算法。为了节省空间，我们跳过了详细的推导过程，因为它是在一个因子模型的上下文中采用带界优化的回归极限，这两个问题在[5-8]中都有详细讨论。让我们定义指数i的以下子集∈ J≡ {1, . . .

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何人来此

2022-5-9 01:04:55

N}:wi=w+i，i∈ J+（10）wi=w-i、我∈ J-（11） J≡ J+∪ J-（12） eJ≡ J\\J（13）进一步，删除αi≡ γαi（14）yA≡xi∈eJzieαi∧iA+Xi∈J+w+i∧iA+Xi∈J-W-i∧iA（15）这里的营业额（每iod超过一个月，例如每日营业额）定义为比率τi≡ i在对应的totaldollar holdings Ii（long plus shor t）上标记为d的阿尔法交易的总美元Di（多头加空头）的Di/Ii。作者：亚太城市I*对于给定的α，我们指的是P&L Pi（Ii）最大化的投资水平Ii的值（考虑非线性影响）。由于我们在这里考虑的回归是用回归权重zi=1/Cii加权的，这已经控制了α波动的风险敞口，因此，只有当希望进一步抑制波动性α时，基于波动性施加界限才会产生差异。o优化的回归极限实质上等于极限ξi≡ ηeξi，η→ 0，eξi=固定，其中ξi是因子模型中的特定（特殊）风险，因子载荷矩阵与回归载荷矩阵∧iA（以及K×K因子协方差矩阵在回归极限中无关紧要）一致——详情见[5 8]。其中γ将被确定（见下文）。然后我们有wi=zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！，我∈eJ（16）我∈ J+：zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≥ w+i（17）我∈ J-: zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≤ W-我（18）在哪里-1是K×K矩阵的逆q:eQAB≡xi∈eJzi∧iA∧iB（19）这里的载荷矩阵∧i必须是Eq可逆的。另外，请注意，我∈eJ由（16）和wi=w+i，i给出∈ J+和wi=w-i、我∈ J-满足（5），因为他们应该满足。注意，对于给定的γ值，（15）求解雅吉文J+和J-. 另一方面，（17）和（18）确定J+和J-就你而言。然后对整个系统进行迭代求解，在初始迭代时，取sej（0）=J，因此J+（0）和J-（0）是空的。然而，我们仍然需要对γ进行放大。

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mingdashike22

2022-5-9 01:04:58

这是通过一个单独的操作程序完成的，我们将在下面描述。因为我们有两次迭代，为了保证（快速）收敛，J±迭代（即对于给定的γ值）可以按如下方式进行。就让我这样吧我∈ J:w-我≤ bw（s）i≤ w+i（20）A.∈ {1，…，K}:NXi=1bw（s）i∧iA=0（21）在第（s+1）次迭代时，设w（s+1）ibe由（16）给出∈eJ（s），w（s+1）i=w±i∈ J±（s）。该解满足（5），但可能不满足边界。乐其≡ w（s+1）i- bw（s）i（22）hi（t）≡ bw（s）i+t qi，t∈ [0,1]（23）然后bw（s+1）i≡ 嗨（t）*) = bw（s）i+t*qi（24）如果∧Ia的列由CM Cijcorres的前K个主成分组成，并与其正特征值相关联，则情况就是这样。然而，正如上文所述，他表示我们将保持荷载矩阵的通用性。t在哪里*是t的最大值，使得hi（t）满足界限。我们有：qi>0:pi≡ 闵w（s+1）i，w+i（25）气<0:pi≡ 最大值w（s+1）i，w-我（26）t*= 明皮- bw（s）iqiqi6=0，i∈ J（27）现在，在每个步骤中，我们可以通过我∈ J+（s+1）：bw（s+1）i=w+i（28）我∈ J-（s+1）：bw（s+1）i=w-i（29），其中bw（s+1）iis按上述方式迭代计算，我们可以取bw（0）i≡ 初始迭代时为0。与（17）和（18），（28）和（29）不同，在每次迭代中向J±一个（或几个）元素添加新元素。收敛准则由J+（s+1）=J+（s）（30）J给出-（s+1）=J-（s）（31）这些标准基于离散量，不受计算（机器）精度影响。然而，在实践中，（28）和（29）中的等式是在一定公差（或机器精度）内理解的——参见附录a中的R代码。

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mingdashike22

2022-5-9 01:05:01

我们将通过ewi在最终迭代中表示bw（s+1）iat的值（对于给定的γ值）。最后，通过另一个迭代程序确定γ，如下所示（我们使用上标a表示γ迭代，以区别于用于J±迭代的上标s）：γ（a+1）=γ（a）PNi=1ew（a）i（32）式中，ew（a）iis的计算公式为γ=γ（a）。为了实现快速收敛，初始值γ（0）可以如下设置：γ（0）=PNi=1zi |εi |（33），其中εi是（3）给出的加权回归（无界）的残差。γ迭代的收敛标准由γ（a+1）=γ（a）（34）给出，在某些预设的计算公差（或机器精度）内理解。附录A中给出了上述算法hm的R代码以及一些额外的解释性文档。请注意，该代码不是为了“花哨”或以任何其他方式优化速度而编写的。相反，它的唯一目的是以一种简单易懂的方式演示上述有界回归算法。附录B.2.5股票投资组合的应用中给出了与该代码相关的一些法律术语。我们在计算lpha流投资组合权重的背景下讨论了有界回归算法。然而，该算法非常通用，并且通过适当的符号识别，可以应用于股票或其他合适工具的投资组合。事实上，它也可以在金融之外应用。这里，为了明确起见，我们将重点关注股票投资组合，事实上，我们将假设它们是美元中性的，因此允许多头和空头头寸。2.5.1建立交易Let us首先讨论建立交易，即我们从零头寸开始，建立N只股票的投资组合。而不是alpha流，我们的索引i∈ {1，…，N}≡ J现在给股票贴标签。

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nandehutu2022

2022-5-9 01:05:03

我们将通过Hi表示所需的美元（非股票）持有量，并通过I:I表示总美元投资（长加短）≡NXi=1 |嗨|（35）让我们来看看≡ 您好/我。这些是我们的库存权重（与阿尔法权重类似）。然后我们就有了熟悉的标准化条件nxi=1 | wi |=1（36），然而，通常情况下，一个人在Hi上，而不是在wi上。例如，在建立交易的情况下，可能希望对头寸进行限制，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资不超过一小个百分点ξ——这是一个多元化约束；ii）ADDV（平均每日美元交易量）波动率只有一小部分被交易——这是一个流动性约束（见下文）。在这种情况下，我们有以下关于美元持有量的信息：-我≤ 你好≤ H+i（37）H±i=±minξI，eξVi（38）在这种情况下，上下界是对称的。在某些情况下，例如对于难以借入的股票，我们可能会有一些H-i=0。在其他情况下，人们可能无法做出各种概括，有些概括比其他概括更直接。希望在一些股票中有多头仓位。我们只会假设-我≤ 0和H+i≥ 0，与我们上面讨论的权重界限一致，然后给出w±i≡ H±i/i（39）最终的结果是，在股票的情况下，ione使用了一些预期收益，而不是αione。其余部分完全按照f或适当选择的∧iA进行。2.5.2再平衡贸易通过再平衡贸易，我们目前持有美元*我和desireddollar holdings你好。

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能者818

2022-5-9 01:05:06

在这种情况下，人们可能希望限制仓位，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资不超过一个小的百分点ξ——这与上述的多元化约束相同；ii）仅交易ADDV VII的小百分比ξ——这与上述流动性约束相同；Andii）分配给任何已发行股票的ADDV Vi不超过一个小百分比ξ′——这是另一个流动性约束，其原因是，如果必须迅速清算投资组合（例如，由于不可预见的事件），以降低流动性成本，则头寸将根据流动性设定上限。这里的ξ′通常比eξ大几倍——只要每个阶段的界限都满足，投资组合就可以分阶段建立。Hinow上的界限是：|Hi |≤ min（ξI，ξ′Vi）（40）|Hi- H*我|≤eξVi（41）根据美元交易额改写这些界限更为方便≡ 你好- H*i:D-我≤ Di≤ D+i（42）D+i=minmin（ξI，ξ′Vi）- H*i、 eξVi≥ 0（43）D-i=max-min（ξI，ξ′Vi）- H*我-eξVi≤ 0（44），我们假设| H*我|≤ min（ξI，ξ′Vi）。此外，我们假设H*IIT自我满意度（5）：A.∈ {1，…，K}:NXi=1H*i∧iA=0（45），则可直接将bo unded回归算法应用于权重，并定义如下：≡ 你好/我（46）xi≡ Di/I（47）在J±迭代中，我们现在使用xi代替wi，而在γ迭代中，我们仍然使用wi。然后，算法的测试结果不变。

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mingdashike22

2022-5-9 01:05:09

然而，让我们注意到，附录A中给出的源代码在编写时考虑了阿尔法权重，因此，虽然在建立交易的情况下，它可以适用于股票投资组合，但需要进行简单的修改，以适应再平衡。2.5.3示例：日内平均值反转α为了说明算法hm的使用，我们使用它来构建日内平均值反转α的组合，载荷矩阵∧Ia在以下5种情况下：i）仅截取（因此K=1）；ii）BICS（彭博行业分类系统）行业；iii）BICS行业；iv）BICS子行业；[60]加上BICS子行业的4style factors prc、mom、hlv和vol。回归权重是逆样本方差：zi=1/Cii（见下文）。在这种情况下，截距上方的i）-v）包含在荷载ma t rix∧iA中。事实上，我们有爸爸∈G∧iA≡ 1，其中G是∧i列的集合，对应于案例ii）中的部门、案例iii）中的行业以及案例iv）和v）中的子行业。因此，由此产生的投资组合是美元中性的。投资组合构建和回溯测试与[61]中的内容相同，可以在[61]中找到更详细的讨论，因此为了节省空间，这里我们只做一个简要的总结。假设投资组合在当日开盘时建立，在当日收盘时清算，因此它们纯粹是日内和第2节的算法。5.1建立交易适用。每个日期的预期收益Ei被视为Ei=-莉，莉在哪里≡ 自然对数Popeni/Pclosei, 对于每一天，Popenistoday的开盘日，而Pcloseis昨天的收盘日调整为拆分日和股息日（如果截止日期是今天）。这些是日内均值回归阿尔法。ADDV Vi排名世界前2000，其中ADDV是根据21个交易日的滚动周期计算的。

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大多数88

2022-5-9 01:05:12

然而，宇宙并不是每天都重新平衡，而是每21个交易日（详情见[61]）。样本方差CIIAR是基于相同的21个交易日滚动周期计算的，不是每天应用，而是每21个交易日应用一次，与宇宙再平衡相同（详情参见[61]）。我们在5年的时间内进行模拟（更准确地说，从2014年9月5日算起，共252×5个交易日）。年化资本回报率（ROC）的计算方法为每日平均损益除以总（长加短）日内投资水平I（无杠杆），再乘以252。年化夏普比率（SR）的计算方法为每日夏普比率乘以√252.每股收益（CPS）计算为总损益除以总交易股份。每一天，每只股票交易的总股份由Qi=2 | Hi |/Popeni给出（详情见[61]）。为便于比较，表1给出了无界回归的结果。有界回归的结果，desiredholdings的界设置为| Hi |≤ 表2给出了0.01 Vi（48），因此每只股票的ADDV中不超过1%的部分被出售或出售，相应的P&L绘制在图1中。因此，正如预期的那样，增加流动性界限会对投资组合产生多元化影响，因此夏普比率得到了实质性改善——与往常一样，其代价是（略微）降低paperROC和CPS。请注意，即使在流动性边界很紧的情况下，[60]中的4个风格因子prc、mom、hlv和vol增加了价值，进一步验证了[60]中的4个因子模型。3结论性意见一——但不是唯一的——思考有界回归的方法是，当后者无法实现时，作为有界优化的替代方法。

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kedemingshi

2022-5-9 01:05:15

事实上，如上所述，有界回归是一种在因子模型中具有界的零特定风险优化极限。因此，当因子模型不可用时，例如在alpha streams的上下文中，可以使用有界回归代替优化。在这方面，我们可以通过包含线性交易成本来进一步扩展上面讨论的有界回归算法，如[59]所示。系统方法是从[58]中因子模型的边界和线性交易成本的优化开始，并采用零特定风险限额。阿尔法权重下的非线性交易成本（影响）可以使用[59]中讨论的t近似，使用营业额减少的特殊模型[62]来处理。在下面的R编码中，我们给出了用于统计计算的R（R）包，http://www.r-project.org)我们在正文中讨论的有界回归算法的源代码。输入函数是计算有界的。lm（），它运行γ迭代循环并调用函数bounded。lm（），它运行J±迭代循环。calc.bounded的args（）。lm（）是：ret，它是alphasαi的N向量（或者更一般地说，是一些其他返回）；载荷，即N×K载荷矩阵∧iA；权重，即回归权重zi的N向量；upper，它是上界w+i的N向量；lower，它是下界w的N向量-我和prec，这是输出权重wi所需的精度，N-向量的计算有界。lm（）返回，必须满足无限制条件（1）。在内部，有界。lm（）调用函数calc.bounds（），该函数在每次迭代时计算bw（s+1）iin（24）。该代码是直截了当的，不言自明。Jp，杰敏。lm（）对应于J±。

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能者818

2022-5-9 01:05:18

一个微妙之处是，当限制∧iAtoeJ时 J、在二元行业分类的情况下（例如，当∧i对应于BICS子行业时，可能很小），受限制的∧i可能有空列，必须省略，下面的代码就是这样做的。

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