在（7.1）中，如果我们把ζ≡ 我们得到了G≤ 对α的狂热≡ 我们得到了G≥ f、 因此，f≤ G≤ f、 接下来，我们证明了G的连续性。表示z=maxxy，yx. 与（6.8）类似，我们得到了任何α∈ A和t∈ [0，T]fi（Sα，yt）≥(1 - L（z）-1） ）fi（Sα，xt）- LSα，xt（z）-1） 1+L（z）-1） ，i=1，2。再加上{Sα，xt}Tt=0是一个超鞅givesG（y）≥(1 - L（z）-1） ）G（x）- Lx（z）- 1） 1+L（z）-1).由于x，y是任意的，我们得出结论G（y）≥ 林尚→∞G（xn）对于任何序列xn→ y、 这就产生了上半连续性。类似地，对于任何序列→ 我们有G（x）≤ 林恩芬→∞G（yn），它产生了下半连续性并完成了证明。iii.让我们来看看D (0, ∞) 是一个开放区间，使得G<find.Fix x，x，x∈ 假设0<x<x<x，设0<λ<1，使x=λx+（1）-λ） 我们需要证明（7.2）G（x）≥ λG（x）+（1）- λ） G（x）。让我们∈ R是一个常数，使得P（WT>a）=λ。定义鞅mt=EPhxIWT>a+xIWT<aGti，t∈ [0，T/2]。观察M=x，我们从它的公式中推导出mt=xeRtαvdWv-Rtαvdv，完全不完全市场，其中t<tαt=MtWtxZ∞A.-Wtexp-v2（T-（t）q2π（T）- t） dv+xZa-Wt-∞经验-v2（T-（t）q2π（T）- t） dv=十、- xMtexp-（a）-Wt）2（T-（t）q2π（T）- t） >0，对于t=Tde fineαt≡ 0.下一步，选择 > 0.存在α（1），α（2）∈ A使得（7.3）G（xi）< + infζ∈TTEPhf（Sα（i），xiζ）iζ<T+f（Sα（i），xiT）iζ=Ti，i=1，2。关于过滤{Gt}Tt=0，过程α（i）是逐步可测量的，因此存在逐步可测量的映射图φi:C[0，T]→ C+[0，T]（即[i（y）][0，T]仅依赖于y[0，T]），因此α（i）=i（W）a.s。。考虑布朗运动Wt=W（2）t+t- W（2）T，0≤ T≤T.我们通过设置αT+T=IWT>a[ν（W）]T+IWT将过程α扩展到区间（T/2，T）≤a[~n（W）]t，0<t≤T.很明显，过程{αT}Tt=0是非负的，并且相对于过滤{Gt}Tt=0可逐步测量。

鞅{Mt}T/2t=0satis fies 0<x≤ M≤x、 再加上α（1），α（2）∈ A产生α∈ A.因此，（7.4）G（x）≥ infζ∈TTEPhf（Sα，xζ）Iζ<T+f（Sα，xT）Iζ=Ti。现在，我们使用G<fin D.定义过程zt=ess infζ∈T[0，T]，ζ≥tepf（Sα，xζ）Iζ<T+f（Sα，xT）Iζ=TGti，t∈ [0，T]和停止时间η∈ T[0，T]by，η=inf{T:Zt=f（Sα，xt）}∧ T.根据最佳停车的一般理论（见Peskir和Shiryaev 2006，第三章），可以得出z=EPhf（Sα，xη）Iη<T+f（Sα，xT）Iη=Ti。对于这一性质，布朗运动意味着≤ G（Sα，xt，T）- t） =G（Mt）<f（Mt），其中最后一个不等式由Mt∈ D.我们得出结论η≥助教。s、 从{Wt}T/2t=0和{W（2）T}T/2t=0Z=EPZT=λinfζ的独立性来看∈TTEPhf（Sα（1），xζ）Iζ<T+f（Sα（1），xT）Iζ=Ti+（1- λ） infζ∈TTEPhf（Sα（2），xζ）Iζ<T+f（Sα（2），xT）Iζ=Ti。26 Y.Dolinsky和A.Neufeldsg以及（7.3）-（7.4）yieldsG（x）≥ Z≥ λG（x）+（1）- λ） G（x）- ,通过让 ↓ 我们得到（7.2），这就完成了证明。回想在第2节开始时引入的集合C（ν），即所有连续的严格正随机过程的集合α={αt}Tt=0，它根据由零集完成的W生成的过滤进行调整，并满足：i.α=ν。二、α和α一致有界。定义函数F：（0，∞) ×（0，T]→ R byF（x，u）=supα∈C（ν）infζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui。引理7.2。对于任何x>0和u∈ （0，T），F（x，u）≥ G（x）。证据修正x>0，u∈ （0，T）并选择 > 0.让α∈ A使得（7.5）G（x）< + infζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui。注意dSα，xt=αtSα，xtdWt，等等，从C≤ Sα，x≤ 对于某些常数，我们推导出Ruαtdt< ∞.

因此，通过应用标准密度参数，我们可以找到一系列随机过程（α（n）） C（ν）使limn→∞EP祖（α（n）t- αt）+（α（n）t）- （αt）|dt= 0.我们从伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式推导出→∞EP“sup0≤五、≤UZv（α（n）t- αt）dWt#= 因此，我们得出以下结论≤T≤u | ln Sαn，xt- lnsα，xt|→ 概率为0。接下来，选择δ>0。存在n∈ 就是这样sup0≤T≤u | ln Sαn，xt- lnsα，xt |>δ< δ.设置X=sup0≤T≤uf（Sα，xt）与事件U=sup0≤T≤u | ln Sαn，xt-lnsα，xt |>δ.生长条件（4.2）表明EP[X]<∞. 与（6.8）-（6.9）类似，wegetF（x，u）≥ infζ∈图菲Ohm\\Uf（Sα（n），xζ）Iζ<u+f（Sα（n），xu）Iζ=u我≥1.- L（e2δ）- 1） 1+L（e2δ）- 1） infζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui-1.- L（e2δ）- 1） 1+L（e2δ）- 1） EP[秀]-L（e2δ）- 1） 1+L（e2δ）- 1） supζ∈TuEP[Sα，xζ]≥1.- L（e2δ）- 1） 1+L（e2δ）- 1)G（x）-  -pδEP[X]-L（e2δ）- 1） 1+L（e2δ）- 1） X完全不完全市场27，其中最后一个不等式来自（7.5），柯西-施瓦兹不等式和Sα，xis是一个超鞅的事实。通过让δ↓ 0我们得到F（x）≥ G（x）- ,通过让 ↓ 我们完成证明。接下来，回顾假设4.1之前定义的术语H和g。根据引理7.1，我们得出结论，G∈ H、 尤其是G≥ g、 这与引理7.2一起给出了以下直接推论。推论7.3。对于任何x>0和u∈ （0，T]，（7.6）supα∈C（ν）infζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui≥ g（x）。我们以以下评论结束。备注7.4。让我们以r为例≡ 然后，通过遵循（4.6）的证明并应用引理7.1–7.2，我们得到了任何u∈ [0，T]V≥ F（S，u）≥ G（S）≥ g（S）。这与不等式V一起≤ 五、≤ g（S）（假设4.1成立）给定sf（S，u）=g（S）=g（S），即我们得出结论，F（x，u）=g（x）=g，g是H中的最小元素。

观察函数F，G与利率无关，因此这个结果可以看作是一个一般结论，它提供了凹包络G的博弈变量与波动不确定性下最优停止问题的值G之间的联系。8.鞅测度的密度结果调用过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）和（2.2）中引入的价格过程S={St}Tt=0。对于任何概率测度Q P、 我们用qs表示贴现股价过程的分布St=StBt，t∈ 规范空间C[0，T]上的[0，T]。也就是说，QS（A）=Q（~S∈ A） 对于任何一个博雷尔来说∈ C[0，T]。定义MS={QS:Q∈ Q} ，其中Q是所有概率测度的集合 P使得{Wt}Tt=0是关于Q和过滤{Ft}Tt=0的布朗运动，如第3节所定义。很明显，女士 M、 其中M表示所有严格正局部鞅测度的集合，如第3节所示。引理8.1。如果（2.1）-（2.2）给出的金融市场完全不完整，则MSI是M.证明的弱稠密子集。第一步：用mb表示所有概率测度^Q的集合∈ 因此，正则过程S是一个满足条件的^Q-鞅≤ s≤ ^Qa。s、 对于某些常数C>0（取决于^Q）。让我们证明M.Let Q的Mbis非常稠密的子集∈ M.对于任何C>0，确定停止时间τC=T∧ min{t:St≤科斯特≥ C} 。观察到S的连续性意味着τCis是一个关于标准过滤Ft=σ{Su:u的停止时间≤ t} 。考虑SCt=St给出的截断随机过程SCt∧τC，t∈ [0，T]。设QC是由QC（a）=Q（SC）定义的C[0，T]上的概率度量∈ A） ，为anyBorel设定一个∈ C[0，T]。观察qc是概率测度Q下的过程分布。显然，limC→∞max0≤T≤T | SCt-St |=0 Q-a.s。

因此，作为C→ ∞, qc弱收敛于Q.28 Y.Dolinsky和A.Neufeld根据Doob可选停止定理，参见Liptser和Shiryaev（2001，定理3.6），因此在概率测度Q下，随机过程是一个满足≤ 联合国安全理事会≤ C Q-a.s.因此，对于anyC>0，我们有QC∈ 所以我们得出结论，Q是Mb的一个聚类点，根据需要。第二步：选择Q∈ 姆班德菲克斯 > 0.存在n∈ N使得（8.1）等式sup | u-五|≤T/n|Su- Sv|< .从正则分布函数的存在（参见Shiryaev（1984，第227页））来看，任何1≤ k<na函数ρk:R×Rk-1.→ [0,1]对于任何y。。。，yk-1.∈ Rk-1，ρk（·，y，…，yk）-1） ，是R上的一个分布函数，对于任意y，ρk（y，·）：Rk-1.→ [0,1]是可测量的满意度QSkTn≤ YSn。。。，S（k）-1） Tn= ρky、 Sn。。。，S（k）-1） Tn, Q-a.s.回忆概率空间(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）和过滤{Gt}Tt=0，由W生成，由P-null集完成。设置Zi=WiTn- W（i）-1） Tn，i=1。。。，n、 递归确定随机变量（8.2）M=s和1≤ K≤ n Mk=sup{y|ρk（y，M，…，Mk）-1） 其中Φ是qtnw的累积分布函数。由于ρkis是第一个变量中的连续非递减函数，我们得到{Mk≤ x} ={ρk（x，M，…，Mk）-1) ≥ Φ（~Zk）}。因此（通过归纳），我们得出以下结论：。。。，它们是可测量的。此外，由于Φ（~Zk）是均匀分布在[0,1]上的随机变量，我们得到p（Mk）≤ y | M。。。，Mk-1） =ρk（y，M，…，Mk）-1).因此，M的联合分布。。。，P下的mn等于S，STn。。。，特技Q。特别是，我们有（8.3）C≤ 锰≤ C P-a.s.对于某些常数C.此外，对于任何k，都有一个可测函数gk:Rk→ 第三步：定义布朗鞅^Mt=EP（Mn | Gt），t∈ [0，T]。

由于布朗运动的独立增量，对于任何k，^MkTn=mk。定义随机变量X=max0≤k<n | Mk+1-Mk |。现在，让k<n和t∈ [kT/n，（k+1）T/n]。从詹森的不等式|^Mt-^MkT/n |≤ EP（X | Gt）。因此，应用不完全市场29Doob鞅不等式和（8.1）yieldP（max0≤k<nmaxkT/n≤T≤（k+1）吨/吨-^MkT/n |>√)(8.4)≤ Pmax0≤T≤TEP（X|Gt）>√≤√EPX=√情商max0≤k<n | S（k+1）T/n- SkT/n|≤√.对于k<n和ktn≤ T≤（k+1）Tn，我们从布朗运动的马尔可夫性质中得到：^Mt=ψk（~Z，~Zk，t，Wt- WkT/n），其中ψk（~Z，~Zk，t，y）=Z∞-∞gk+1（~Z，~Zk，v+y）e-v（2k+2）T/n-2tp2π（（k+1）T/n- t） dv。从（8.2）中，我们看到函数gk+1（y，…，yk+1）在yk+1中是非递减的。因此，函数ψk（~Z，~Zk，t，y）在y中是非递减的∈ [0，T]，带βT=ψ[nt/T]（~Z，~Z[nt/T]，T，y）y |{y=Wt- W[nt/T]T/n}，T∈ [0，T]，是一个非负过程。最后，设置αt=βt^Mt。然后，通过构造α∈ A、 其中A是第7节中定义的集合，这意味着α是一个非负的{Gt}Tt=0-渐进过程，使得^Mt=SeRtαvdWv-Rtαvdv，t∈ [0，T]，令人满意≤^M≤ C、 最后一个不平等性来自（8.3）。第四步：考虑C[0，T]上所有概率测度的空间。重新调用L’evy Prokhorov度量（P，P）=inf{δ>0:P（A）≤ δ+P（Aδ）和P（A）≤ δ+P（Aδ）A} 式中，Aδ是所有函数的集合，它们到集合A的距离（在统一度量中）小于δ。由于C[0，T]是一个波兰空间，L′evy-Prokhorov度量导出了弱收敛的拓扑。定义线性外推法St:=（[nt/T]+1- nt/T）S[nt/T]T/n+（nt/T）- [nt/T]）S（[nt/T]+1）T/n，T≤ T、 ~Mt:=（[nt/T]+1- nt/T）M[nt/T]+（nt/T）- [nt/T]）M[nt/T]+1，T≤ T.作为第二步的结果，我们得到S（在q下）的分布等于M（在P下）的分布。

用Q表示。从（8.1）和马尔可夫不等式我们得到d（Q，Q）≤√. 不等式（8.4）意味着d（Q，Q）≤ 2.√ 式中，QI表示^M的分布（P下）。因此，我们得到了d（Q，Q）≤ 3.√. 像 > 0是任意的，我们得到S（α）的分布集（回忆公式（6.3）后的定义），α∈ A、 在第一步，我们得到了S（α），α∈ A、 它是稠密的。此外，利用引理7.2中类似的论点，我们得出结论，S（α），α∈ C（ν），以M为单位密集。我们到达最后一步。第五步：从最后一步开始，证明对于任何α∈ C（ν），S（α）的分布在于MS的弱闭合。因此，选择30 Y.Dolinsky和A.Neufeldα∈ C（ν）。我们利用完全不完全市场的性质。根据定义2.1，存在一系列概率测度Qn P、 n∈ N、 使（2.3）保持 =nand W是一个QNBROWN运动。当α适应于{Gt}Tt=0时，（α，W）在Qnis下的分布与在P下的分布相同。因此，（ν，W）在qn下的分布与n弱收敛→ ∞ （在空间C[0，T]×C[0，T]）到（α，W）在P下的分布。回想一下dSt=S+ZtνTStdWt，T∈ [0，T]，Qn-a.s.，dS（α）T=s+ZtαtS（α）tdWt，T∈ [0，T]P-a.s.因此，从Duffee和Protter（1992年，命题4.1和定理4.3-4.4）中，我们得到了在qn下的s的分布弱收敛于s（α）的分布。备注8.2。可以将完全不完全市场定义为一个满足以下条件的市场{Q（S∈ ·) : Q是等价鞅测度}是M的弱稠密子集。这是我们在定理3.1的证明中使用的唯一性质。

然而，在处理博弈选项（或涉及停止时间的任何选项）时，如定理4.2，我们需要一个与过滤{Ft}Tt=0相关的附加结构。该附加结构由（2.2）和定义2给出。1.参考文献[1]ACCIAIO，B.，M.BEIGLBOECK，F.PENKNER和W.SCHACHERMAYER（2015）：资产定价基本定理和超级复制物的无模型版本。数学金融，似乎。[2] BAYRAKTAR，E.，Y.-J.HUANG和Z.ZHOU（2015）：关于模型不确定性下的美式期权套期保值。暹罗金融数学杂志6（1），425-447。[3] BAYRAKTAR，E.和Z.ZHOU（2015）：使用美式期权的半静态交易策略进行套利、对冲和效用最大化。应用概率年鉴。[4] BAYRAKTAR，E.和Z.ZHOU（2016）：使用流动美国期权进行套利和对冲。预印本。arxiv:1605.01327。[5] BEIGLBOECK，M.，A.M.G.COX，M.HUESMANN，N.PERKOWSKI和D.J.PROEMEL（2015）：Vovk的外部测量的路径超级复制。预印本。arxiv:1504.03644。[6] BOUCHARD，B.和M.NUTZ（2015）：非支配离散时间模型中的套利和对偶性。应用概率年鉴25（2），823-859。[7] CVITANIC，J.，H.PHAM和N.TOUZI（1999）：投资组合约束下随机波动模型中的超级复制。J.阿普尔。Probab。36(2), 523–545.[8] DELBAEN，F.和W.SCHACHERMAYER（1994）：资产定价基本理论的一般版本。数学安娜伦。300, 463–520.[9] DELBAEN，F和W.SCHACHERMAYER（2006）：套利的数学。柏林斯普林格。[10] DENG，S.，和X.TAN（2016）：美国非支配离散时间模型中的对偶性。预印本。arxiv:1604.05517。[11] 多林斯基（2013）：存在交易成本的博弈期权套期保值。安。阿普尔。Probab。23(6), 2212–2237.完全不完全市场31[12]纽约州多林斯基和H.M。

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