完全不完全市场中的超级复制

2022-5-9 02:13:27

SUPER–在完全不完整的市场上复制扬·多林斯基*和阿里尔·纽菲尔德+希伯来大学和苏黎世理工大学。在这项工作中，我们引入了完全不完全市场的概念。我们证明，对于这些市场，超级复制价格与无模型超级复制价格一致。也就是说，对模型的了解不会降低超级复制的价格。我们提供了两类完整的模型：随机波动率模型和粗糙波动率模型。此外，我们还给出了几个算例。我们的方法纯粹是概率的。1.导言我们考虑一个只有一项风险资产的金融市场，它是通过过滤概率空间上定义的半鞅建模的。我们引入并研究了一个新概念，即完全不完全市场的概念。粗略地说，一个完全完整的市场是一个金融市场，对于这个市场，一组绝对连续的局部鞅测度在某种意义上是稠密的，这将在该问题中得到正式解释。我们证明了广泛的随机波动率模型（参见instanceHeston（1993）、Hull and White（1987）和Scott（1987））和粗糙波动率模型（参见Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014））是完全不完整的。这项工作的主要贡献是在无模型环境下的超级复制和完全不完全市场中建立了惊人的联系。也就是说，我们证明了对于完全不完全市场，概率模型的知识不会降低超级复制价格，即经典超级复制价格等于无模型超级复制价格。我们处理两种主要的超级复制设置。

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2022-5-9 02:13:30

第一种设置是欧洲期权的半静态对冲，第二种设置是游戏期权的超级复制。在第一种情况下，我们假设除了交易股票外，投资者还可以以最初已知的价格在一定数量的期权（写在标的资产上）中持有静态头寸。这种假设的财务动机是，普通期权（如看涨期权）是流动的，因此应被视为一级资产，其价格在市场中给出。我们考虑有界（路径依赖）欧式期权的超级复制。我们在定理3.1中的主要结果表明，对于完全不完全市场，超级复制价格与无模型设置中的价格相同。此外，日期：2016年9月13日。2010年数学科目分类。91G10，91G20。关键词和短语。鞅测度，超复制，随机波动*部分由爱因斯坦基金会柏林项目A 2012 137号和玛丽-库里卡里尔整合项目618235号资助+在瑞士国家基金会资助的SNF 200021 153555.2 Y.Dolinsky和A.Neufeld概率模型的部分支持下，我们在定理3.3中给出了一个新的结果，即存在一个使超级复制策略的成本最小化的对冲，即存在一个最优对冲。这是通过应用Koml’os紧性原理实现的，参见Delbaen和Schachermayer（1994）中的引理A 1.1。这个紧性原则需要一个潜在的概率空间。因此，在连续时间模型自由设置下，最优套期保值的存在性是一个有待进一步研究的开放问题。在Bouchard和Nutz（2015）中，作者证明了一般准确定设置（包括无模型设置）中存在最优对冲。

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2022-5-9 02:13:33

在非平凡证明中，他们首先考虑了单周期情况，然后通过归纳将其推广到多周期情况。显然，这种方法仅限于离散时间设置。具有半静态套期保值的模型独立方法近年来受到了广泛关注。这方面的第一项工作是霍布森（Hobson，1998）的开创性贡献。如需了解更多最新的研究结果，请参见例如（Acciaio等人（2015年）、Beiglboeck等人（2015年）、Dolinsky和Soner（2014年、2015年（a））、Galichon、HenryLaborder和Touzi（2014年）、郭、谭和Touzi（2015年）、Hou和Ob l\'oj（2015年）以及Henry Laborder等人（2014年）。我们的第二个设置涉及游戏选项的超级复制。Kifer（2000）中引入的博弈未定权益（GCC）或博弈期权被定义为卖方和买方之间的合同，双方都有权在到期日（期限）前的任何时间行使该权利。如果买方在时间t行使合同，则他收到付款Yt，但如果卖方在买方之前行使（取消）合同，则后者收到付款Xt。差异t=Xt- Yt≥ 0是卖方因解除合同而向买方支付的违约金。针对GCC的对冲策略定义为一对（π，σ），由自筹资金组合π和代表卖方取消时间的停止时间σ组成。套期保值策略是对博弈期权的超级复制。如果无论买方选择什么行使时间，卖方都可以承担其对买方的责任（概率为1）。

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2022-5-9 02:13:36

超级复制价格V*定义为超级复制战略所需的最低初始资本，即任何Ξ>V*有一种超级复制战略，初始资本为Ξ。对于上述两种设置（欧式期权的半静态对冲和博弈期权的混合），我们证明了对于完全不完全市场，超级复制价格是一个微不足道的超级复制策略的最便宜成本，并且与无模型超级复制价格相一致。对于博弈期权，一个微不足道的对冲策略是一对由买入持有组合和股票价格过程的击中时间组成的组合。我们证明了对于路径无关的支付函数Xt=f（St）和Yt=f（St），超级复制价格等于g（s），其中g（由f，f决定）可以被视为凹包络的博弈变量。我们给出了最优套期保值策略的一个特征，并提供了几个例子来明确计算上述情况。我们注意到，最近针对股票套期保值受制于比例交易成本的情况研究了上述两种设置（参见Dolinsky（2013）中的博弈期权设置，以及Dolinsky and Soner（2015b）中的欧洲期权半静态混合）。在这两篇论文中，研究表明，如果贴现股价过程的对数满足条件完全支持性质（CFS）完全不完全市场3，则超级复制价格与无模型超级复制价格一致。因此，我们在本文中的结果表明，完全不完全市场（无交易成本）中的超级复制价格行为与满足CFS属性的市场中存在比例交易成本时的行为相似。直觉上，人们可能会认为完全市场的概念比CFS属性更强大。

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能者818

2022-5-9 02:13:40

然而，正如我们将在Remark 2.4中看到的，这两个属性通常是不可比较的。在Cvitanic、Pham和Touzi（1999）中，作者研究了存在投资组合约束和随机波动的欧式期权的超级复制。他们的一个结果是，如果随机波动率是无界的（并且满足一些连续性假设），那么，即使在无约束的情况下，超级复制价格也是买入持有超级复制投资组合的最便宜成本，并以支付的凹形包络线表示。这些结果很容易推广到美式期权的情况。作者使用的主要工具依赖于马尔可夫过程控制理论（贝尔曼方程）的偏微分方程方法。我们的结果是Cvitanic、Pham和Touzi（1999）结果的扩展。我们提出了一种纯粹的概率方法，它基于测量值的变化。我们方法的主要思想是，在一个充分丰富的概率空间中，等价鞅测度下贴现股价过程的分布集在所有鞅测度集中是稠密的。我们在引理8.1中给出了这个陈述的确切含义。使用计量变更构建密集定价分布的想法可以追溯到Kusuoka（1992年）。在这篇未发表的工作论文中，Kusuoka研究了存在比例交易成本的Black-Scholes模型中欧洲期权的超级复制价格。作者利用Girsanov定理构造了一组影子价格，使得任何布朗鞅（具有一些正则性假设）都是该集合的一个簇点。几个重要的问题仍然悬而未决，有待于未来的研究。

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2022-5-9 02:13:43

第一个问题是，我们的结果是否可以扩展到更一般的超级复制设置，即我们超级复制美式期权或博弈期权，并允许在欧洲和美国期权中的固定位置。最近，有几篇论文研究了离散时间背景下美式期权（含欧式期权/美式期权）的静态套期保值，见Bayraktar，Huang and Zhou（2015），Bayraktar and Zhou（2015，2016），Deng and Tan（2016），以及Hobson and Neuberger（2016）。第二个问题是，是否可以将结果推广到多个风险集的情况。我们对完全不完全市场的定义似乎也适用于这种情况。但在这种情况下，我们不清楚凹形封套的游戏差异和一个微不足道的超级复制策略的最低成本是什么。我们把技术细节留给未来的研究。另一项任务是提供一个有趣的计算示例，用于无模型半静态套期保值，包含大量期权。到目前为止还没有这样做，即使是在一项风险资产的情况下。我们在第3节和第6节中标记了更多开放性问题。论文的结构如下。在下一节中，我们将介绍完全不完全市场的概念，并论证各种随机波动模型和粗糙波动模型是完全不完全的。第5节证明了这一点。在第3节中，我们阐述并证明了我们关于欧洲期权半静态套期保值的主要结果。在第4节中，我们给出了博弈选择的主要结果。4 Y.Dolinsky和A.Neufeld此外，我们还提供了几个例子，明确计算了超级复制价格和相应的最优对冲策略。在第6节中，我们证明了博弈选择的结果。为此，我们在第7节中证明了一些辅助定理。在最后一节中，我们给出了不完全市场的确切含义。2.

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能者818

2022-5-9 02:13:46

完全不完整的市场无法在限定的时间范围内(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）是一个完全概率空间，它具有满足通常条件的过滤{Ft}Tt=0。我们考虑的金融市场由储蓄账户B={Bt}Tt=0和股票a={St}Tt=0组成。储蓄账户由（2.1）dBt=rtBtdt，B=1给出，其中{rt}Tt=0是一个非负适应随机过程，代表利率。我们假设{rt}Tt=0是一致有界的。（2.2）dSt=St（rtdt+νtdWt），S>0给出的风险资产，其中ν={νt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，给定的起点ν>0满足rtνsds<∞ P-a.s.，其中W={Wt}Tt=0是关于过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。设C（ν）是所有连续的严格正随机过程α={αt}Tt=0的集合，这些过程与由空集完成的W生成的过滤相适应，并满足：i.α=ν。二、α和α一致有界。定义2.1。由（2.1）-（2.2）给出的金融市场被称为完全不完全市场（如果有） > 0和任何进程α∈ C（ν）存在一个概率测度Q Psuch认为：i.{Wt}Tt=0是关于概率测度Q和过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。二、（2.3）Q（kα）- νk∞> ) < ,库在哪里- vk∞:= sup0≤T≤T|ut- vt |是u和v之间相对于统一标准的距离。让我们简要地解释一下完全不完全市场定义背后的直觉。考虑贴现股价St:=StBt，t∈ [0，T]。从（2.1）-（2.2）中，我们得到了dSt=νtStdWt。因此，定义2.1表示，对于完全不完全市场，对于任何波动过程∈ C（ν），我们可以找到一个绝对连续的局部鞅测度Q P，在此情况下，贴现股价的波动率接近α。

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能者818

2022-5-9 02:13:49

事实上，使用密度参数，我们将看到（引理8.1）在完全不完全市场中，绝对连续局部鞅测度下的贴现股价分布集在所有局部鞅分布集中是稠密的。备注2.2。注意概率测度P已经是一个局部鞅测度。因此，通过从λP+（1）中取- λ）其中λ>0是“小”且Q是绝对连续的局部鞅测度，我们完全不完全市场5推导如下。如果定义2.1满足，那么如果我们改变条件Q P到更严格的条件Q~ P对于等效概率度量，修改后的定义也将得到满足。本文的主要结果（见第3-4节）表明，对于完全不完全市场，超级复制价格与路径模型自由设置的价格相同。也就是说，概率模型的知识不会降低超级复制的价格。我们将为两个设置制定并证明这个结果。第一种设置是半静态欧洲期权套期保值模型。第二个设置处理游戏选项。以下命题（将在第5节中得到证明）提供了两类完全不完备的随机波动率模型。提议2.3。I.考虑以下随机波动率模型：（2.4）dνt=a（t，νt）dt+b（t，νt）d^Wt+c（t，νt）dWt，ν>0，其中^W={Wt}Tt=0是关于{Ft}Tt=0的布朗运动，与W无关。假设SDE（2.4）有唯一的强解，且解是严格正的。如果函数a，b，c:[0，T]×（0，∞) → R是连续的，对于任何t∈ [0，T]，x>0我们有b（T，x）>0，那么（2.1）-（2.2）给出的金融市场是完全不完整的。二、

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2022-5-9 02:13:52

设{Ft}Tt=0是由W和ν生成的过滤的通常增强。假设一个分解νt=ν（1）tν（2）tw，其中ν（1）适用于由W生成的过滤，而ν（2）独立于W。此外，假设ν（1），ν（2）是严格正的连续过程。如果lnν（2）具有条件完全支持（CFS）性质，那么（2.1）-（2.2）给出的市场是完全不完整的。回想一下，一个随机过程∑={∑t}Tt=0对于allt具有CFS属性∈ （0，T]supp（σ|[T，T]|∑|[0，T]）=C∑T[T，T]a.s.，其中Cy[T，T]是所有连续函数f:[T，T]的空间→ R+和f（t）=y。换句话说，CFS属性规定，从任何给定时间开始，资产价格路径可以以正条件概率继续任意接近任何给定路径。备注2.4。完全不完全市场的概念和CFS属性通常是不可比的。众所周知，带漂移的布朗运动满足CFS性质。因此，例如，Black-Scholes模型的原木价格满足CFS属性，但作为完整的，它显然不是完全不完整的。让我们举一个完全不完全市场的简单例子，它不能满足CFS属性。考虑一个概率空间，它支持两个独立的布朗运动W和^W以及一个伯努利随机变量ξ~ Ber（0.5），它独立于W和^W。考虑一下（2.1）-（2.2）中给出的市场，其中有r≡ 0和νt=e^WtIξ=0，t∈ [0，T]。通过观察事件{ξ=0}支持的概率测度，我们从命题2.3（通过应用两种陈述中的任何一种）推断出该市场是完全不完整的。另一方面，我们观察到它不满足CFS性质。实际上，请考虑事件D={St=ST≤ T/2}。显然，D={ξ=1}。

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2022-5-9 02:13:57

因此，P（D）=P（ξ=1）=1/2，6y.Dolinsky和A.Neufeld条件支持支持支持P（S |[T/2，T]| D）只包含一个函数f:[T/2，T]→ R由f定义≡ 这与CFS的财产相矛盾。即使我们坚持严格的正波动率，我们仍然可以构造类似的例子，产生原子鞅，这样，在正概率下，条件支持集supp（S |[T/2，T]|[S |[0，T/2]）是一个有限集。这显然是对CFS财产的侵犯。因此，在不增加额外假设的情况下（理解这些假设是什么是一个有趣的问题），完全不完全性通常并不意味着CFS属性。在本节的结尾，我们举几个完全不完全市场的例子。例2.5。随机波动模型。一、赫斯顿（1993）模型：dSt=St（rtdt）+√UtdWSt）dUt=κ（θ- Ut）dt+ξ√UtdWUt，其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1, 1). 此外，κ、θ、ξ>0是满足2κθ>ξ的常数。最后一个条件保证U是严格正的。因此，应用It^o的νt公式：=√Utand使用WS=W和WU=ρW+p1的关系- ρ^W，我们得到了ν是（2.4）的解，a（t，x）=κθx- 十、-ξ8x，b（t，x）≡ξp1- ρ和c（t，x）≡ξρ.二、Hull–White（1987）型号：dSt=St（rtdt+√UtdWSt）dUt=Ut（κdt+θdWUt），其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1，1）和κ，θ∈ R是常数。显然，ν：=√美国满足提案2.3（第一部分）的假设。三、斯科特（1987）模型：dSt=St（rdt+λeUtdWSt）dUt=-κUtdt+θdWUt，其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1，1）和λ，κ，θ>0是常数。通过应用它的ν：=λeU的^o公式，该模型可以被视为赫斯顿模型。例2.6。

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2022-5-9 02:14:00

粗略波动率模型。考虑一个模型，其中对数波动率是一个分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程（见Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014））。形式上，波动过程由νt=νeκUt给出，其中κ>0是一个常数，Ut=e-λtRteλudBHu。这里，BH={BHt}Tt=0是一个带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0,1）且λ>0是常数。上述积分由partsZteλudBHu=eλtBHt积分确定- λZtBHueλudu。设{Ft}Tt=0是由W和ν生成的过滤的通常增强。假设我们有表示BH=ρBH，1+p1- ρBH，其中ρ∈(-1，1）是常数，而BH，1，BH，2是独立的分数布朗运动。完全不完全市场7此外，假设伯克希尔哈撒韦1已适应W产生的过滤。那么这里的νt=ν（1）tν（2）tw这里的ν（1）t=νexpκρe-λtZteλudBH，1u,ν（2）t=expκp1- ρe-λtZteλudBH，2u.由Guasoni、Rasonyi和Schachermayer（2008年，命题4.2）提出，分数布朗运动具有CFS性质。这与Pakkanen（2010，Theorem3.3）一起给出了lnν（2）具有CFS性质。因此，由于命题2.3中第二个陈述的假设成立，市场是完全不完整的。3.半静态Hedging在本节中，我们讨论欧洲期权的超级复制。由于欧式期权的行使时间是固定的（与博弈期权相比），那么对于确定的利率，可以对资产价格和欧式期权的支付进行贴现。因此，在这种情况下，我们可以在不失去普遍性的情况下直接假设利率为r≡ 0.对于随机利率，根据贴现资产价格对欧洲期权的贴现支付进行冲销并不总是可能的，即使可能，新的支付函数也会失去其连续性。因此，在随机利率的情况下，假设r≡ 这不是自然现象。

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2022-5-9 02:14:04

然而，为了使事情更简单，我们在本节中假设≡ 0.用C[0，T]表示所有连续函数的空间f:[0，T]→ R具有统一的拓扑结构。考虑一个路径依赖的欧式期权，其payo off X=H（S），其中H:C[0，T]→ R是一个有界且一致连续的函数。我们假设有N≥ 0个静态位置，可在零时间以给定价格购买。形式上，静态头寸的收益由xi=hi（s）给出，其中h。。。，hN:C[0，T]→ R是有界且一致连续的。静态位置xi的价格用Pi表示。因此，初始股价和价格P。。。，在选项h中。。。，H是市场上可用的数据。首先，考虑投资者有概率信念的情况，由给定的过滤概率空间建模(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）之前介绍过。在此设置中，套期保值策略是一对π=（c，γ），其中c=（c，…，cN）×RN+1和γ={γt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，其中rtγtνtStdt<∞ P-a.s.，使得随机积分rγdS从下面一致有界。到期日对应的投资组合价值由zπT=c+NXi=1cihi（S）+ZTγudSu给出。套期保值策略的初始成本π为（3.1）C（π）=C+NXi=1ciPi。策略π是一种超级复制策略ifZπT≥ H（S）P-a.S.8 Y.Dolinsky和a.Neufeld然后，超级复制价格由VPH确定，。。。，hN（H）=inf{C（π）：π是一种超级复制策略。接下来，考虑这样一种情况：投资者没有概率信念，只有作为信息提供的市场数据。这种投资者是通过稳健对冲方法建模的。设{St}Tt=0是空间C[0，T]上的正则过程，即St（ω）=ω（T），ω∈ C[0，T]。考虑相应的规范过滤ft=σ{Su:u≤ t} 。

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nandehutu2022

2022-5-9 02:14:07

用M表示C[0，T]上的所有概率测度Q的集合，使得在Q下，过程{St}Tt=0是一个严格正的局部鞅（关于其自然过滤）和S=SQ-a.S。在鲁棒设置中，对冲策略是一对π=（C，γ），其中C∈ RN+1和γ={γt}Tt=0是一个具有左连续路径的有界变化的自适应过程（w.r.t.标准过滤），使得过程rγdS从下方均匀有界，这里我们定义了γudSu:=γTST- γS-ZTStdγt最后一个积分使用标准Stieltjes积分。到期日T的相应投资组合价值与之前一样由zπT（S）=c+NXi=1cihi（S）+ZTγudSu给出。此外，与之前一样，对冲策略的成本π由（3.1）给出。Therobust super–复制价格由VH确定，。。。，hN（H）=inf{C（π）：π使得ZπT（S）≥ H（S）S严格正，S=S}。以下定理表明，如果金融市场完全不完整，则相应的超级复制价格与无模型设置中的价格相同。也就是说，对于完全不完全市场，概率模型的知识不会降低超级复制的价格。定理3.1。假设{St}Tt=0给出的金融市场是完全不完整的。然后VPh，。。。，hN（H）=Vh，。。。，hN（H）。（可能是-∞).证据显然，VPh，。。。，hN（H）≤ 嗯，。。。，所以我们需要建立不等式VPh，。。。，hN（H）≥ 嗯，。。。，hN（H）。对于可测函数^H:C[0，T]→ R分别用VP（^H）和V（^H）、经典（即w.R.t.概率置信P）和N=0情况下索赔^H（S）的稳健超复制价格表示。

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2022-5-9 02:14:10

用Q表示所有概率测度的集合 P使得{Wt}Tt=0是关于Q和过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。对于任意对冲策略，Q=（c）∈ Q、随机积分ZtγudSu=ZtγuνuSudWu，t∈ [0，T]是一个从下方有界的局部鞅，因此是一个上鞅。因此，从引理8.1和H（S）-PNi=1cihi（S）是一个有界且连续不完全的市场函数，我们得到Vph，。。。，hN（H）=inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+VPH-NXi=1cihi≥ inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈QEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）]≥ inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈MEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）].将Hou和Ob l\'oj（2015，定理3.2）应用于有界且一致连续的权利要求H（S）-PNi=1cihi，我们得到inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈MEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）]= inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+VH-NXi=1cihi= 嗯，。。。，hN（H），结果如下。接下来，我们证明了概率模型存在一个最优的超复制策略，即一个成本最小的策略。为此，我们需要一个排除套利机会的额外假设，即，假设VPh，。。。，hN（H）=Vh，。。。，hN（H）=-∞. 因此，正如Hou和Ob l\'oj（2015）（见假设3.7和备注3.8）所述，我们假设如下。假设3.2。ε>0，对于任何（y，…，yN）∈QNi=1[Pi-ε、 Pi+ε]我们可以找到一个概率测度Q∈ M的等式[hi（S）]=yi，i=1。。。，N定理3.3。考虑过滤概率空间上的超级复制问题(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）如上所述。如果假设3.2成立，那么存在一个超级复制投资组合策略^π，使得C（^π）=VPh，。。。，hN（H）。证据设π（n）=（c（n），γ（n）），n≥ 1、为哪一个limn制定一系列超级复制策略→∞C（π（n））=VPh，。。。，hN（H）。显然VPh，。。。，hN（H）≤ ||H||∞.

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2022-5-9 02:14:14

因此，在不损失一般性的情况下，我们假设对于任何n，C（π（n））<|H||∞+ 1.让我们证明序列c（n）∈ RN+1，n∈ N、是有界的。选择n∈ N.我们从假设3.2中得出，存在一个概率测度Q∈ 对于任何i=1，N，等式[hi（S）]=（Pi- ε如果c（n）i≥ 如果c（n）i<0，则为0Pi+ε。引理8.1意味着存在一个概率测度Q∈ Q使eq[hi（S）]<Pi- ε/2如果c（n）i≥ 当c（n）i<0时，0和EQ[hi（S）]>Pi+ε/2。因此，10y.Dolinsky和A.neufeld利用Q下每一个γ（n）dS的上鞅性质，我们得到了| | H||∞+ 1.≥ C（π（n））（3.2）≥ c（n）+EQ[NXi=1c（n）ihi（S）]+εNXi=1 | c（n）i|≥ 等式[H（S）-ZTγ（n）tdSt]+εNXi=1 | c（n）i|≥ -||H||∞+εNXi=1 | c（n）i |。从（3.2）中，我们得出| c（n）i |≤2（1+2 | | H）||∞)ε表示所有n∈ N、 i=1，N此外，通过再次应用（3.2），我们得到c（n）一致有界（in n）。我们根据需要得出了c（n）的一致有界性。因此，存在一个子序列（为了简单起见，我们仍然用n表示它），使得limn→∞c（n）=^c=（^c，…，^cN）。接下来，我们应用Koml’os定理。设置Zn=RTγ（n）tdSt，n∈ N.克利里兹≥ H（S）- C-PNi=1cihi（S），因此序列Zn，n∈ N、是从下面统一起来的。因此，由Delbaen和Schachermayer（1994，引理A1.1）我们得到了序列^Zn的存在性∈ conv（锌，锌+1，…），N∈ N、使^Zn，N∈ N、收敛a.s.用^Z表示极限。利用一个事实，即由局部鞅的随机积分控制的随机变量集是Fatou闭的，见Delbaen和Schachermayer（2006，备注9.4.3），我们可以找到一个交易策略^γ={^γt}Tt=0，使得RT^γudSu，t∈ [0，T]是从下方和RT^γtdSt的统一边界≥^Z.最后，我们认为^π：=（^c，^γ）是一种非最优的超复制策略。

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2022-5-9 02:14:17

显然，C（π）=limn→∞C（πn）=VPh，。。。，hN（H）。此外，很容易看出RT^γtdSt≥^Z≥ H（S）-^c-PNi=1^cihi（S）a.S.，结果如下。备注3.4。先验地，我们似乎使用了比假设3.2更弱的假设。实际上，我们只使用ε>0的存在，使得对于任何（j，…，jN）∈ {-存在一个概率测度Qj，。。。，jN∈ 我是为了什么，。。。，jN[hi（S）]=Pi+εji，i=1。。。，N然而，通过对这些概率测度进行凸组合，我们发现较弱的条件实际上等价于假设3.2。备注3.5。让我们注意一下，对于无模型套期保值，华硕是否存在成本最低的复制策略是一个悬而未决的问题。备注3.6。通常，常见的静态头寸是看涨期权。然而，由于看跌期权与看涨期权的平价，我们可以用看跌期权和henceh等替代看涨期权。。。，Hn可以假设为有界的。一个自然的问题是，如果H是无界的，例如如果H（S）=max0，该怎么办≤T≤这是一个回望选项。在这种情况下，我们可以证明，如果h。。。，HNA是有界的，那么对于完全不完整的市场，超级复制是完整的。也就是说，如果静态位置是有界的，我们就不能超级复制回望选项。因此，为了有一个合理的超级复制价格，我们需要假设其中一个HI也是无界的。例如，我们可以选择功率选项hi（S）=SpT，p>1。在这种情况下，定理3.1更加不完备，尤其需要一些一致的可积条件。因此，定理3.1是否可以推广到无界情形的问题仍然悬而未决。在游戏的第四部分中，我们使用了期权。以（2.1）-（2.2）给出的金融市场为例。

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2022-5-9 02:14:20

我们假设定义2.1保持不变，即市场完全不完整。考虑一个到期日为T且支付金额为byYt=f（St）和Xt=f（St），T的博弈期权∈ [0，T]，其中f，f:R+→ R+是f的连续函数≤ f、此外，我们假设存在L>1，因此对于所有x，y>0（4.1）|fi（x）- fi（y）|≤ L | x- y|1+fi（x）x+fi（y）y, i=1,2。条件（4.1）弱于假设Lipschitz连续性，并允许考虑电力期权（除看涨期权和看跌期权外）。我们从（4.1）推导出，对于任何x>0fi2L2L- 1x≤ 2.L2L- 1x+1+L2L- 1.fi（x）, i=1,2。对于^fi（x）：=max（x，fi（x）），i=1，2，我们得到^fi2L2L- 1x≤ 2.L2L- 1+1+L2L- 1.^fi（x）=8L- 22L- 1^fi（x）和so^fi（x）≤ max0≤Y≤1^fi（y）8L-22L-1.n2L2L-1.N-1.≤ 十、≤2L2L-1.n、 n∈ N.我们得出结论，对于任何x>0（4.2）的fi（x），存在L，N>1≤^fi（x）≤L（1+xN），i=1,2。接下来，我们介绍套期保值的概念。回想一下St=StBt，t∈ [0，T]，折扣股票价格，由（2.1）–（2.2）决定，具有动态dSt=νTStdWt。初始资本为z的自融资投资组合是一对π=（z，γ），其中{γt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，满足γtνt＠Stdt<∞ a、相应的投资组合值由（4.3）Zπt=Bt给出zB+Ztγud~Su= 英国电信zB+Ztγu~SuνudWu, T∈ [0，T]。与通常的博弈期权一样，套期保值策略包括一个自我融资的投资组合和一个取消时间。因此，从形式上讲，套期保值策略是一对（π，σ），因此π是一个自我融资的投资组合，σ≤ T是一个停止时间。

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2022-5-9 02:14:23

套期保值策略（π，σ）是超级的——如果对任何t∈ [0，T]（4.4）ZπT∧σ≥ f（Sσ）Iσ<t+f（St）It≤σa.s.投资组合价值过程{Zπt}Tt=0是连续的，因此，如果（4.4）对anyt成立∈ [0，T]，然后T∈ [0，T]，ZπT∧σ≥ f（Sσ）Iσ<t+f（St）It≤σ= 1.12如果Y.Dolinsky和A.NeufeldA套期保值策略（π，σ）的形式为（4.5）γ，则称其为平凡策略≡ γ、 σ=inf{t:St/∈ D}∧ 太棒了 R是一个区间（不一定是有限的）。定义超级复制价格v=inf{Zπ：对冲策略（π，σ）超级复制期权}。另外，setV=inf{Zπ：平凡对冲策略（π，σ）超级复制期权}。显然，投资者可以在σ=0时取消，因此V≤ 五、≤ f（S）。引入所有连续函数的集合H：（0，∞) → R使得f≤H≤ fand h在h<f的每个区间都是凹的。我们从Ekstr¨omand Villeneuve（2006，引理2.4）推断，h中存在一个最小的元素，它等于（x）：=infh∈Hh（x）。在本节中，我们将假设以下内容。假设4.1。至少保持以下条件之一。i、利率为零，即r≡ 0.ii。对于初始股价，我们假设如果g（S）<f（S），那么g（S）- s+g（S）≥ 0，在哪里+g（S）是S上的右导数（之所以存在，是因为g在S的一个高边上是凹的）。在第4.1小节中，我们详细分析了假设4.1中的第二个条件。特别是，我们将看到它对大多数常见的支付函数都是满意的。接下来，对于任何x∈ R+介绍开放式intervalKx=sup{z≤ x:g（z）=f（z）}，inf{z≥ x:g（z）=f（z）}通常，空集上的上确界和内确界等于-∞ 和∞, 分别地确定停止时间^σ=inf{t:St6∈ KS}∧ T、其中，如果集合k为空，则设置^σ=0（其中（a，a）：= 康斯坦塔∈ R）。以下定理是本节的主要结果。

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2022-5-9 02:14:26

它说，在完全不完备的市场中，一个博弈期权的超级复制价格是一个微不足道的超级复制对冲策略的最便宜成本，可以明确计算。定理4.2。上面介绍的游戏选项的超级复制价格是V=V=g（S）。此外，通过^γ定义买入持有组合策略^π=（g（S），γ）≡+如果g（S）<f（S），则为0。那么（π，σ）是最便宜的套利策略，它是期权的超级复制。完全不完整的市场证明。作为V≥ 定理4.2将遵循不等式（4.6）V≥ （π，σ）是一种超级复制策略。不等式（4.6）是困难的部分，将在第6节中得到证明。（π，σ）是一种超复制策略的事实更简单，我们在这里提供了它的证明。首先，如果g（S）=f（S），那么这个语句是微不足道的。因此，假设g（S）<f（S）。让我们∈ [0，T]。观察事件^σ<t时，g（S^σ）=f（S^σ）。根据假设4.1，ifBt∧ ^σB>1然后g（S）-s+g（S）≥ 0.这与g在区间KSyieldsZ^πt中是凹的这一事实一起∧^σ=Bt∧^σBg（S）- s+g（S）+ +g（S）街∧^σ(4.7)≥ g（S）++g（S）（圣∧^σ- （S）≥ g（圣∧^σ) ≥ f（S^σ）I^σ<t+f（St）It≤^σ.备注4.3。让我们注意到（4.7）在路径上是正确的，因此hedgingstrategy（π，σ）是无模型意义上的超级复制策略。因此，根据定理4.2，我们得出结论，对于完全不完全市场，超级复制价格与无模型超级复制价格一致。备注4.4。在例4.7中，我们将看到，如果没有假设4.1的第二部分，对冲（^π，^σ）可能不是超级复制的，因此定理4.2可能不成立。4.1. 例子。在本小节中，我们给出了几个应用程序示例。在扇形和扇形都是凸的情况下，我们可以计算g（S）和+g（S）明确。

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2022-5-9 02:14:29

为此，我们在本小节中假设fand fare是凸函数。集合（4.8）A=（infy>0:f（y）-f（0）y≤ +f（y）如果f（0）<f（0）如果f（0）=f（0），以及β=f（A）-f（0）友邦保险<∞+ ∞IA=∞如果f（0）<f（0）+f（0）如果f（0）=f（0）。此外，setm:=limt→∞+f（t），ρ：=inf{t:+f（t）>m}。观察A，β，m，ρ可以取这个值∞. 此外，如果m=∞, 特林姆→∞+f（t）=∞ 也在这种情况下，从flimt的凸性→∞f（t）- T+f（t）≤ 极限→∞f（1）+（t）- 1)+f（t）- T+f（t）=-∞.因此A，β<∞. 我们得出结论，在任何情况下∧m<∞.定义函数g:R+→ R+乘以（4.9）克（x）=（f（0）+βx）Ix<A+f（x）IA≤x<ρ+（f（ρ）+m（x- ρ））九≥ρifβ<mf（0）+mx if m≤ β、 14 Y.Dolinsky和A.NeufeldLemma 4.5。如果扇形和扇形都是凸的，那么（4.9）中定义的函数g是H证明中的最小元素。根据定义，我们看到∈ H.用g表示H的最小元素。然后，gmin（0）=f（0）=g（0）。自相矛盾地假设存在x>0，其中gmin（x）<g（x）。Set，y=inf{t<x:gmin（t）<g（t）在区间（t，x）}上，z=sup{t>x:gmin（t）<g（t）在区间（x，t）}。通过gmin，g的连续性，我们得到y<x<z。通过定义H，gminis concaveon I:=（y，z）为gmin<g≤ fon I.观察g在R+上是凸的。因此，如果z<∞ 我们会得到那个g-Gmini是一个凸函数，它在I和g（z）上是严格正的-gmin（z）=g（y）-gmin（y）=0。但这是不可能的，我们的结论是z=∞. 因此，gmin<fon I=（y，∞) 所以gminis concaveon（y，∞). 再加上gmin≥ fgives inft>y+gmin（t）≥ m、我们从（4.9）中得出supt>0+g（t）≤ m、因此，gmin- g在区间（y，∞), 所以从等式g（y）开始- 我们的结论是≥ g on（y，∞), 这是一个矛盾。我们从（4.9）中得出，如果初始股价满足≤ ρ、那么假设4.1中的第二个条件就满足了。

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2022-5-9 02:14:32

特别是，如果ρ=∞ 这件事微不足道。观察ρ=∞ <=> 支持>0+f（t）=支持>0+f（t）。这给我们带来了以下直接的推论。推论4.6。如果以下至少一个条件成立：i.f（x）=f（x）+ 为了某个常数 > 0（即恒定惩罚），ii。支持>0+f（t）=0（例如看跌期权），iii.支持>0+f（t）=∞ （例如幂选项），则假设4.1中的第二个条件满足。接下来，我们给出几个定理4.2应用的明确示例。给定f（x）凸，设f（x）=cf（x）+, c在哪里≥ 1. ≥ 0.回想一下定理4.2中定义的游戏交易策略（π，σ）。示例4.7（看涨期权）。设K>0为常数。考虑一个游戏呼叫选项f（St）=（St- K） +，f（St）=c（St- K） ++.我们区分两种情况。(1) < K:在这种情况下，A=如果 > 00如果 = 0,β =K<m=1和ρ=∞ 如果c>1，则c=1K。完全不完全市场15因此，见图1I和图1II，我们有=KSIS<K+s- K+是≥K.此外，（a）如果≤ K、然后（π，σ）=(KS，K），inf{t:St=K}∧ T如果 > 0(0, 0), 0如果 = 0.（b）如果S>K，那么（π，σ）=s- K+, 0, 0如果c=1s- K+, 1., inf{t:St=K}∧ T如果c>1。注意，对于c>1和S>K的情况，假设4.1中的第二个条件不满足。因此，为了使定理4.2成立，我们需要取利率r≡ 实际上，当r>0时，我们得到^π的投资组合值等于Z^πt=St-BtB（K）- ). 因此，ifBtB（K-) > 然后Z^πt<St-K、所以（π，σ）不是一种超级复制策略。(2) ≥ K：在这种情况下，A=K，β=K≥ m=1。因此，见图1III，我们有g（S）=S。此外，（π，σ）=（S，1），T.（一）如果 > 0, < K（II）如果 = 0，c>1（III）如果 ≥ K图1。看涨期权示例4.8（看跌期权）。设K>0为常数。

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2022-5-9 02:14:35

考虑一个游戏看跌期权f（St）=（K）- St）+，f（St）=c（K- St）+.我们区分两种情况。(1) < K：在这种情况下，A=K，β=-KK<m=0，ρ=∞. 因此，请参见图2I和图2II，超级复制价格为g（S）=K-K- KS是<K+ 是≥K.（a）如果S<K，那么（π，σ）=（K）-K-KS，-K-K），inf{t:St=K}∧T.（b）如果是≥ K、然后（π，σ）=(, 0), 0.16 Y.多林斯基和A.纽菲尔德（2） ≥ K在这种情况下，A=如果 = K∞ 如果 > K、和β=0如果 = K∞ 如果 > K.β≥ m=0。因此，请参见图2III，超级复制价格等于g（S）≡ K、和（π，σ）=（K，0），T.在这种情况下，超级复制的价格与比例因子c无关≥ 1.（I）如果 > 0, < K（II）如果 = 0，c>1（III）如果 ≥ 图2。放置选项示例4.9（电源选项）。设p>1，考虑对策p次幂选项f（St）=Spt，f（St）=cSpt+.我们有ρ=m=∞ 什么时候 > 0，A=c（p-1)1/p，β=cpc（p-1)1.-1/p。因此，参见图3I和图3II，超级复制价格等式g（S）=βSIS<A+（cSp+) 是≥A.最便宜的超级复制策略是：如果S<A，那么（π，σ）=（βS，β），inf{t:St=A}∧ T.如果是≥ A、然后（π，σ）=（cSp+, 0), 0.（一）如果 > 0（II）如果 = 0，c>1图3。权力选择完全不完整的市场175。2.3号提案的证明。让α∈ C（ν）和 > 0.我们将证明（对于设置I和II）存在概率度量Q P使定义2.1的属性成立。I.有一个常数C>0，这样C≤ α ≤ C.在不丧失普遍性的情况下，我们假设 <2C。确定停止时间Θ=inf{t:|αt- νt|≥ }∧ T.显然，0<2C≤ inf0≤T≤Θνt≤ sup0≤T≤Θνt≤ C+2C。通过对函数a，b，c的假设，我们得到存在一个常数c>0，使得（5.1）sup0≤T≤Θ|a（t，νt）|+|b（t，νt）|+|c（t，νt）|+|b（t，νt）|≤~C.Fix n>~CT。

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2022-5-9 02:14:39

对于k=1。。。，n、 letIk=ZkT/n（k-1） T/na（T，νT）dt+ZkT/n（k）-1） T/nc（T，νT）dWt，Jk=αkTn- α（k）-1） Tn.介绍函数Φ（x）=-N∨（十）∧n），x∈ R.设{γt}Tt=0和{Wt}Tt=0是唯一的随机过程，满足以下（递归）关系：^Wt=~Wt+Ztγuduwhereγt=0表示t≤对于k=1。。。，N- 1γt=Φnb（t，νt）tJk- Ik-ZkT/n（k）-1） T/nb（u，νu）d~Wu!,kTn<t≤（k+1）Tn.过程{γt}Tt=0是一致有界的，因此我们从Girsanov定理和Novikov条件推导出存在概率测度Q~ P（它位于n上）使得{（~Wt，Wt）}Tt=0是关于Q和过滤{Ft}Tt=0的二维标准布朗运动。对于任何k=1。。。，n、表示Lk=RkT/n（k-1） T/nb（T，νT）d/wt并引入eventAk={kT/n<Θ}∩ {| Ik |+|Lk |>1}。显然，对于任何k=1。。。，nIkTn<Θ|Ik |≤ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θa（T，νT）dt+ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θc（T，νT）dWt.这与（5.1）和Burkholder–Davis–Gundy不等式一起得出，对于任何p>1，存在一个常数cp>0，使得（5.2）EQhIkTn<Θ| Ik | pi≤ 2p（~CT/n）p+cp（~CT/n）p/2.18 Y.Dolinsky和A.Neufeld（5.3）EQhIkTn<Θ| Lk | pi≤ 情商“ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θb（T，νT）d~Wtp#≤ cp（~CT/n）p/2。通过对p=4应用马尔可夫不等式和（5.2）-（5.3），我们得到了（5.4）Q∪nk=1Ak≤nXk=1Q（Ak）≤Cn表示某些常数c（与n无关）。接下来，让k<n和kT/n≤ t<（k+1）t/n.考虑以下事件：\\∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |>1.回想一下（5.1）中的常数C。作为n>~CT，我们为anyu举办活动≤ n（v，u）=jmu- 伊姆河- Lm）T，formTn<u≤（m+1）Tn，其中我们设置I=J=L=0。

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2022-5-9 02:14:42

因此，关于事件U，我们有νkTn- αkTn=kXm=1[Im+Lm- Jm]+k-1Xm=1[Jm- 伊姆河- Lm]=IkTn<Θ（Ik+Lk）- Jk）以及|νt- νkTn|≤ZtkT/nIu<Θa（u，νu）du+ZtkT/nIu<Θb（u，νu）dWu+ZtkT/nIu<Θc（u，νu）dWu+ IkTn<Θ（|Jk |+|Ik |+|Lk |）。我们得出结论，在事件^U:=Ohm\\∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu-αv |>1sup0≤t<Θ|αt- νt|（5.5）≤ 麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |+2 max1≤K≤NIkTn<Θ（|Jk |+|Ik |+|Lk |）+ max1≤K≤n（Γk+Υk+λk）≤3最大值| u-五|≤Tn |αu- αv |+2 max1≤K≤NIkTn<Ik（|Ik |+|Lk |）+ max1≤K≤n（Γk+Υk+λk），其中Γk=max（k-1）电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θa（u，νu）du,Υk=最大值（k-1）电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θb（u，νu）dWu,∧k=最大值（k-1）电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θc（u，νu）dWu.完全不完全市场19与（5.2）-（5.3）类似，我们得到这个等式max1≤K≤n（Γk+Υk+λk）≤ 3nXk=1EQΓk+Υk+λk≤对于某些常数c，我们从马尔可夫不等式中得到了有效的n（5.6）Qmax1≤K≤n[Γk+Υk+λk]≥<.类似地，（5.2）-（5.3）对于足够大的n（5.7）Q给出2最大值1≤K≤nhIkTn<Θ（|Ik |+|Lk |）i≥<.对于W产生的过滤，随机过程α是逐步可测量的，因此对于足够大的n（5.8）Q，Q下的α分布与P下的α分布相同3最大值| u-五|≤Tn |αu- αv|≥<.最后，通过结合（5.4）-（5.8），我们得到了对于足够大的n，Q（kα- νk∞> )≤ Q∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |>1+ Qsup0≤t<Θ|αt- νt|=∩^U≤cn++3.< ,按要求。二、考虑连续随机过程φt=lnαt- lnν（1）t，t∈ [0，T]。修正δ>0。选择n∈ N足够大以至于（5.9）P麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≥ δ≤ δ.对于k=0。。。，N- 1、定义事件=maxkT/n≤T≤（k+1）T/n | lnν（2）T- lnν（2）kTn- （新界北）- k）（φkTn）- φ（k）-1） Tn）|<δn我们从哪里开始-Tn≡ φ. 首先，我们认为，对于任何k（5.10）P（^Ak | FkTn）>0a.s，用{Gt}Tt=0表示由ν（2）产生的过滤的通常增强。

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2022-5-9 02:14:46

根据我们的假设，ν（2）独立于W和φ。再加上{Ft}Tt=0这一事实，通常是W和ν（2）yieldsP产生的过滤的增强^Ak|FkTn= Ψφ（k）-1） Tn，φkTn，ν（2）a、其中ψ：R×R×C+[0，T]→ R是一个满足a.s.ψ（u，v，ν（2））=P的可测函数maxkT/n≤T≤（k+1）T/n | lnν（2）T- lnν（2）kTn- （新界北）-k）（五）-u） |<δnGkTn.假设lnν（2）满足CFS的自然过滤性能。我们从Pakkanen（2010，引理2.3）推断，lnν（2）也满足CFS属性20 Y.Dolinsky和A.Neufeld关于通常的强化过滤{Gt}Tt=0的要求。因此，我们得到了ψ（u，v，ν（2））>0p-a.s.，对于任何u，v∈ R、因此，我们得出结论（5.10）是正确的。接下来，通过Z=1和Zt=P定义连续鞅Z={Zt}Tt=0^Ak|FtP^Ak|FkTnK-1Xi=0I^AiP^Ai|FiTn, T∈ （kT/n，（k+1）T/n]，0≤ K≤ N- 1.存在一个概率测度Q P使得dqdp | Ft=Zt，t∈ [0，T]。让我们证明（对于非常小的δ>0），Q满足所需的性质。Fixk<n和t∈ [kT/n，（k+1）T/n]。在事件Zt6=0时，使用W（k+1）Tn- WTI独立于Ftand^Ak，yieldsEQW（k+1）Tn- Wt | Ft=ZtEPZ（k+1）总氮（W（k+1）总氮- Wt）|英尺=P（^Ak | Ft）EPI^Ak（W（k+1）Tn- Wt）|英尺= 因此，对于任何k<n，随机过程{Wt}（k+1）T/nt=kT/nis是Q-鞅，而soW={Wt}Tt=0是Q-鞅。作为Q P、我们的结论是≡ t、 Q-a.s.这与L\'evy的特征化定理一起得出W是关于Q的布朗运动，{Ft}Tt=0。我们到达了证明的最后一步。以事件^A为例：=N-1\\i=0^Ai∩nmax | u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δo.随机过程φ适用于W产生的过滤；特别地，φ由{Wt}Tt=0确定。因此（W是P和Q下的布朗运动），φ在P和Q下的分布是相同的。

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2022-5-9 02:14:50

这个，连同（5.9）和QTn-1i=0^Ai= 1收益率（5.11）Q（^A）=Q麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δ= P麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δ≥ 1.- δ.接下来，让k<n和t∈ [kT/n，（k+1）T/n]。观察φ=lnν（2）。因此，我们对事件^A |lnνt进行了讨论- lnαt |=|lnν（2）t- φt|≤K-1Xi=0lnν（2）（i+1）Tn- lnν（2）iTn- φiTn+φ（i）-1） Tn+ |φkTn- φ（k）-1） Tn |+|φt- φkTn |+|lnν（2）t- lnν（2）kTn|≤δkn+2δ+δn+δ+（nt/T）- k） δ≤ 6δ.来自不平等| ex- |≤ emax（x，y）|x- y|≤ exe | x-y | | x- y | x，y∈ 完全不完全市场21我们得出结论，在事件^A上，（取x=lnαt，y=lnνt）sup0≤T≤T |αT- νt|≤ 6δe6δ| |α||∞.这一点，再加上（5.11）对于非常小的δ>0（回想一下α是一致有界的），我们得到了Q（| |α）- ν||∞< ) > 1.-, 证明已经完成。6.定理4.2的证明在本节中，我们通过证明不等式（4.6）成立来完成定理4.2的证明。必须证明，对于任何超复制策略（π，σ），我们都有不等式（6.1）Zπ≥ g（S）。为此，让（π，σ）成为一种超级复制策略。选择 > 0.随机过程{rt}Tt=0是一致有界的，因此存在T<T使得（6.2）ztrdtt<.设{Gt}Tt=0是由W生成并由空集完成的过滤。用ttt表示关于过滤{Gt}Tt=0的所有停止时间的集合，其值为[0，T]。根据推论7.3，存在一个随机过程α∈ C（ν）使得（6.3）infζ∈TTEPhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti>g（S）- ,式中（α）t=SeRtαudWu-Rtαudu，t∈ [0，T]。选择δ>0。金融市场完全不完整。

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2022-5-9 02:14:54

因此，通过定义，我们得到了一个概率测度Q P使得（6.4）Qkα- νk∞≥ δ< δW是关于Q的布朗运动，{Ft}Tt=0。确定停止时间τ=inf{t:|αt- νt|≥ δ} ∧ T表示π=（Zπ，γ）。由（4.3）-（4.4）可知，随机积分∧σγu~SuνudWu，t∈ [0，T]从下面是一致有界的，因此它是关于概率测度Q的一个上鞅BBσ∧τf（Sσ）Iσ<τ+f（Sτ）Iτ≤σ≤ 情商BBσ∧τZπσ∧τ≤ Zπ，从（6.2）中，我们可以得出（6.5）eZπ≥ 情商f（Sσ）Iσ<τ+f（Sτ）Iτ≤σ.很明显，Zσ∧τ|αt- νt|dt≤ δ(2||α||∞+ δ） T，22 Y.Dolinsky和A.Neufeldand，来自《伊沃的等距旅行》Zσ∧τ（νt）- αt）dWt≤ 因此，从马尔可夫不等式中，我们得到了非常小的δ（6.6）QZσ∧τ|αt- νt|dt+Zσ∧τ（νt）- αt）dWt> 2.√δ< C√δ对于某些常数c>0（这可能取决于所选的 > 0). SDE（2.2）意味着σ∧τ=SeRσ∧τνtdWt+Rσ∧τ（rt）-νt/2）dt。从（6.2）和（6.6）中，我们得到了非常小的δ（6.7）Q|lnsσ∧τ- lns（α）σ∧τ| > 2< C√δ.现在，我们到了证明的最后一步。设置√σ=σ∧T、 X=sup0≤T≤Tf（S（α）t），并引入事件U=（τ<t）∪（| ln Sσ）∧τ-lns（α）σ∧τ| > 2). 我们从（2.4）推导出（6.8）|lnx- 在y|≤ 2. => fi（y）≥(1 - L（e2）- 1））fi（x）- Lx（e2）- 1） 1+L（e2）- 1），i=1，2。从（6.5）和（6.8）我们得到Zπ≥ 情商我Ohm\\U（f（S)σ）I)σ<T+f（ST）I)σ=T）(6.9)≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQhIOhm\\Uf（S（α）σ）Iσ<T+f（S（α）T）Iσ=T我-L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1）等式[S（α）~σ]≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQhf（S（α）~σ）I~σ<T+f（S（α）T）I~σ=Ti-1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQ[IUX]-LS（e2）- 1） 1+L（e2）- 1).生长条件（4.2）意味着等式[X]<∞. 观察（τ<T）（kα）-νk∞≥ δ). 因此，从Cauchy-Schwarz不等式（6.4）和（6.7），我们得到了非常小的δ>0（6.10）EQ[IUX]≤等式[X]1/2δ+c√δ1/2< .最后，我们估计EQhf（S（α）～σ）I～σ<T+f（S（α）T）I～σ=Ti。

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nandehutu2022

2022-5-9 02:14:57

用T表示过滤{Ft}Tt=0的所有停止时间集，其值在[0，T]中。随机过程W是概率测度Q下的布朗运动，完全不完全市场23过滤{Ft}Tt=0。因此，从布朗运动的马尔可夫性质来看，α适应于过滤{Gt}Tt=0，σ∈ T和（6.3），得出eqhf（S（α）～σ）I～σ<T+f（S（α）T）I～σ=Ti≥ infζ∈TEQhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti=infζ∈TTEQhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti=infζ∈TTEPhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti>g（S）- .这与（6.9）-（6.10）一起给出Zπ≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1）（g（S）- ) -1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1) -LS（e2）- 1） 1+L（e2）- 1），让 ↓ 我们得到0（6.1）。备注6.1。一个自然的问题是，对于具有路径依赖性的游戏选项，无模型超级复制价格是否等于完整市场中的价格（见备注4.3）。为了回答这个问题，我们应该为无模型设置中的路径依赖型名称选项的超级复制价格开发一个双重特征。到目前为止还没有这样做。7.定理4.2证明的辅助引理本节的目标是建立推论7.3，它提供了函数g（凹面包络的游戏变量）和（7.6）的左手边之间的联系，这可以被视为一个最优停止问题。考虑概率空间(Ohm, F、 P）以及由零集完成的布朗运动{Wt}Tt=0生成的过滤{Gt}Tt=0。对于任何你∈ [0，T]wedenote by tut关于过滤{Gt}Tt=0的所有停止时间的集合，其值在[0，u]中。

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