不完全市场中美式期权的极大极小定理

2022-6-1 07:15:23

不完全市场中美式期权的极大极小定理*Tobias HübnerVolker Kr"atschmer§Sascha NolteP摘要在本文中，我们给出了关于一系列绝对连续概率测度，保证下Snell包络的著名最小极大定理有效性的充分条件。这种极大极小结果在描述不完全市场中美国未定权益的无套利价格方面起着重要作用。我们的条件不依赖于粘贴下的稳定性或时间一致性的概念，并且揭示了极大极小结果与相应密度过程的路径属性之间的一些意外联系。关键词：极大极小、下斯奈尔包络、时间一致性、近亚高斯随机场、度量熵、西蒙引理。1引言let 0<T<∞ 然后让(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）是过滤概率空间，其中（Ft）0≤t型≤这是一个完全连续的过滤，其中F仅包含概率0或1的集合以及所有零FT集合。在后半部分中，我们将假设F=FT，但不失一般性。此外，让Q表示F上的一组非类概率测度，所有都是绝对连续的w.r.t.P。我们将用L（Q）表示所有随机变量X的集合(Ohm, F、 P）对于每个Q都是Q-可积的∈ Q、这样supQ∈QEQ[| X |]<∞. 设S=（St）0≤t型≤Tbe半鞅w.r.t.（Ft）0≤t型≤t这些轨迹是右连续的，并且有有限的极限（cádlág）。还考虑另一个右连续（Ft）自适应随机过程˙=（Yt）0≤t型≤T表示所有有限停止时间τ的集合≤ T w.r.T.（英尺）0≤t型≤T、我们还假设这个过程是准左上半连续的。r、 t.P，即lim supn→∞Yτn≤ YτP-a.s.适用于任何序列（τn）n∈对于某些τ，满足τnτ的Nin T∈ T

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2022-6-1 07:15:26

所谓Y（w.r.t.Q）的下斯奈尔包络是随机过程（U↓,Yt）0≤t型≤T、定义的viaU↓,Yt˙=ess infQ∈Qess supτ∈T，τ≥tEQ[Yτ| Ft]（t∈ [0，T]）。我们工作的主要目标是为以下minimax结果pτ的有效性找到充分的条件∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=U↓,Y、（1.1）*杜伊斯堡-埃森大学数学系，丹尼斯。belomestny@uni-到期日。杜伊斯堡大学数学系-埃森，托拜厄斯。huebner@stud.uni-到期日。德国杜伊斯堡-埃森大学数学系，沃尔克。kraetschmer@uni-到期日。杜伊斯堡大学数学系-埃森，萨沙。nolte@stud.uni-到期日。在金融数学中，这类结果似乎有助于描述不完全市场中美国未定权益的无障碍价格。如果M代表等价局部鞅测度的族w.r.t.S，即M={Q~ P | S是Q}下的局部鞅，那么Y关于M的所谓无套利价格集∏（Y）可以定义为所有实数的集，其中包含两个性质：（i）c≤ 某个停止时间τ的等式[Yτ]∈ T与鞅测度Q∈ M（ii）对于任何停车时间τ′∈ T存在一些Q′∈ M使c≥ 公式′[Yτ′]。上述定义意味着∈ π（Y），它保持ssupτ∈TinfQ公司∈MEQ[Yτ]≤ c≤ supτ∈TsupQ公司∈MEQ[Yτ]。特别是，时间0时的斯内尔包络线下限给出了美式期权无套利价格的最大下界。集合∏（Y）的以下重要特征可在[23]（定理1.2 0）或[24]中找到。定理1.1。假设{Yτ|τ∈ T}对于y Q是一致Q可积的∈ M、 Y=（Yt）0≤t型≤从左w.r.t.开始，每Q上半连续∈ M、即。

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何人来此

2022-6-1 07:15:29

lim支持→∞公式[Yτn]≤ 任意递增序列（τn）n的等式[Yτ]∈n接近τ∈ T如果M表示等价局部鞅测度w.r.t.S的se t，则对应于M的Y的无轨道价格集∏（Y）是一个端点为πinf（Y）的实区间。=infQ公司∈Msupτ∈TEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈MEQ[Yτ]和πsup（Y）。=supQ公司∈Msupτ∈TEQ[Yτ]=supτ∈TsupQ公司∈MEQ[Yτ]。一个自然的问题是，对于严格“小于”M的等价测度集Q，是否可以证明类似的特征。这个问题之所以有趣，至少有两个原因。首先，期权的买方（或卖方）可能对一组定价指标Q有一些偏好，从而对Q产生一些额外的限制，使得Q M、其次，所有鞅测度M的集合可能很难用构造性的方法来描述，因为通常只有关系Q的有效条件∈ M可用。仔细检查定理1.1的证明可以发现，它本质上依赖于Q=M的极小恒等式（1.1），这在文献中经常使用所谓的M粘贴下的稳定性来证明。回想一下，一组Q的概率测度onF在粘贴w.r.t下称为稳定的(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P），如果它们中的每一个都等价于P，并且对于每一个Q，Q∈ Q和τ∈ T粘贴Qand Qinτ，即通过粘贴程序确定的概率测量QdReq（A）˙=等式[Q[A | Fτ]]（A∈ F），属于Q。粘贴下的稳定性意味着，如果我们排除Q由一个元素组成的特殊情况，则集Q相当“大”，并且基本上与M相交。让我们提到粘贴下的稳定性与时间一致性的概念密切相关。如【10】中所述，我们将F上的概率测度集Q称为时间一致性W。r、 t。

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kedemingshi

2022-6-1 07:15:32

(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P），若为任何τ，σ∈ 带τ的T≤ σ和P-本质有界随机变量X，Z，我们有以下含义infQ∈QEQ[X | Fσ]≤ ess infQ∈QEQ[Z | Fσ]=> ess infQ∈QEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈QEQ[Z | Fτ]。对极大极小关系（1.1）的其他贡献使用递归函数s的性质（参见[3]、[4]、[5]、[9]）ess infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fσ]Fτ= ess infQ∈QEQ[X | Fτ]保持停车时间σ，τ∈ 带τ的T≤ σ和任何P-基本上是边界随机变量X。可以很容易地验证递归性和时间一致性是等价的（参见[1 0]中定理12的证明）。此外，粘贴下的稳定性通常意味着时间一致性（参见下面的命题4.1，对于时间离散的情况，也可参见[11，定理6.51]）。据我们所知，到目前为止，对极大极小关系（1.1）的所有研究都考虑了时间一致集Q（有关此问题的进一步讨论，请参见第4节）。在本文中，我们对其他类型的族Q建立了条件，这些条件不依赖于一致性或稳定性的概念，但仍然保证了极大极小关系（1.1）。关键是对映射uQ:F的范围施加一定的条件→ l∞（Q），uQ（A）（Q）：=Q（A），其中l∞（Q）表示Q上所有有界实值映射的空间。这是满足uQ（a）的所谓向量测度∪ A） =uQ（A）+uQ（A），对于不相交集A，A∈ F、我们应参考uQas，即与Q相关的向量度量。本文组织如下。在第2节中，我们给出了关于集合Q的主要结果，这些集合Q的相关向量测度具有相对紧凑的范围。接下来，我们根据相应密度过程（dQ/dP）Q的路径性质推导出另一个判据∈Q、后一种特征对于适当参数化的局部鞅测度族特别有用。

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2022-6-1 07:15:35

具体而言，在第3节中，我们为密度过程对应于局部鞅的近似次高斯族的情况制定了一个易于检查的准则。在第4节中，我们将讨论文献中的相关结果。第5节包含较低Snell信封的generalminimax结果。第6节收集了所有相关结果的结果，而附录中给出了近亚高斯随机场路径特性的一些辅助结果。2主要结果在本文中，我们假设(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是无原子的。（2.1）关于过程Y，我们假设Y*:= 支持∈[0，T]| Yt |∈ L（Q）。（2.2）此外，空间l∞（Q）将被赋予sup norm k·k∞. 使用符号co（Q）表示Q的凸包，我们的主要minimax结果如下所示。定理2.1。设uq的范围为相对k·k∞-契约如果Y=（Yt）0≤t型≤FILLS（2.2）和supQ∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0表示→ ∞, 如果（2.1）成立，则SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。（2.3）定理2.1的证明见第6.4节。备注2.2。设Q为相对紧凑的w.r.t.总变化的拓扑，即由DTV（Q，Q）定义的m度量dtvde的拓扑：=supA∈F | Q（A）- Q（A）|。那么已经知道{uQ（A）| A∈ F} 相对k·k∞-紧凑型（参见[2]）。此外，如果Q的每个成员都等价于P，则集Q不是时间约束w.r.t(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）当其含有多个元素时(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子ndL(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是弱可分的。第6.9节将对此进行说明。

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2022-6-1 07:15:38

过滤（Ft）0的上述条件≤t型≤如果假设皮重是某个d维右旋连续随机过程引起的自然过滤的标准增强，则皮重始终满足Z=（Zt）0≤t型≤t概率空间(Ohm, F、 P）对于任何t>0、Zis con s tan t P-a.s.和Fis平凡，m arginals zt具有绝对连续分布（见[7，Re mark 2.3]或[8，备注3]）。现在，让我们提出一个简单有效的标准来保证MinimaxRelationship（2.3）的有效性。结果表明，在这些条件下，Q不能是时间一致的。定理2.3。让条件（2.2）和（2.1）完全满足，并让supQ∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0作为→ ∞. 此外，设d表示Q和let（dQ/dP）Q上的全有界半度量∈Qhave P-几乎肯定d-一致连续路径。If（dQ/dP）Q∈由so me可积随机变量控制的QI，然后是SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。如果加上L(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是弱可分离的，那么Q不是时间一致的。r、 t(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）当它由多个元素组成时，q的所有元素都等价于P。定理2.3的证明被委托给第6.5.3节参数化族的应用固定一个具有有限直径的半度量空间（Θ，dΘ）. 此外，让我们假设Q={Qθ|θ∈ 对于θ6=θ，Qθ6=Qθ。（3.1）然后，dΘ以自然的方式导出Q上的半度量d，当且仅当dΘfull满足此性质时，该半度量d是完全有界的。我们希望找到Q满足定理2.3要求的条件。为此，我们将考虑一种情况，其中与Q的概率测度相对应的密度过程与局部鞅（Xθ˙=（Xθt）0的近似次高斯族相关≤t型≤T、 θ∈ Θ），即。

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2022-6-1 07:15:41

每个Xθ都是一个中心局部鞅，我们假设其中有一些C≥ 1此类支持∈[0，T]E经验值λ（Xθt- Xθt≤ C·exp公司λdΘ（θ，θ）/2对于θ，θ∈ Θ和λ>0。尤其是这意味着对于固定的∈ [0，T]，任意过程（XθT）θ∈Θ是附录中考虑的近似亚高斯随机场。在C=1的情况下，我们最终得到了局部鞅的次高斯族的概念。下面的结果要求dΘ是完全有界的，它依赖于度量熵w.r.t.dΘ。这些是数字{ln（N（Θ，dΘ；ε））|ε>0}，其中N（Θ，dΘ；ε）表示覆盖w.r.t.dΘ所需的ε-球的最小数量。此外，我们定义了（δ，dΘ）˙=Zδpln（N（Θ，dΘ；ε））dε。提案3.1。让Q满足（3.1），让条件（2.2）和（2.1）充分满足∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0 f或a→ ∞. 此外，设dΘ是完全有界的，并且存在一个近似次高斯的局部鞅族（Xθ=（Xθt）0≤t型≤T、 θ∈ 使得二次变分过程（[Xθ]t）θ∈对于每t，Θ具有dΘ-一致连续路径∈ [0，T]，并且使得来自Q的概率测度的密度过程可以用以下方式表示dqθdPFt=exp（Xθt- [Xθ]t/2）t的逐点∈ [0，T]和θ∈ Θ. （3.2）如果支持∈[0，T]E[exp（2XθT）]<∞ 对于某些θ∈ Θ，如果D(, dΘ）<∞, thensupτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。此外，Q不是时间一致的w.r.t(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）如果其每个成员与P等价，则Q有多个元素，L(Ohm, Ft，P | Ft）是弱可分f或everyt>0。第6.6节中可以找到提案3.1的证明。下面的例子描述了一种典型的情况，即命题3.1可以直接应用，特别是出现了表述（3.2）。示例3.2。

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2022-6-1 07:15:43

设Z˙=（Zs）s≥0是上的布朗运动(Ohm, F、 P）使（Zt）0≤t型≤t适应（Ft）0≤t型≤T、设V˙=（Vt）0≤t型≤t某些Rd值过程（波动率）调整为（Ft）0≤t型≤T、考虑一类Borel可测函数ψ：[0，T]×Rd→ R这样的结果ψ∈ ψ它保持着这个supx∈RdZTψ（u，x）du<∞. （3.3）Thendψ：ψ×ψ→ R、（ψ，φ）7→ supx公司∈RdsZT（ψ- φ）（u，x）du是ψ上定义良好的半度量。假设，对于每个ψ∈ ψ，过程（ψ（t，Vt））0≤t型≤组织进步是可衡量的。然后是过程族（Xψ，ψ）∈ ψ）带xψt˙=Ztψ（u，Vu）dZu（t∈ [0，T]）定义良好，Xψ的二次变化过程由[Xψ]T=Ztψ（u，Vu）du（T）给出∈ [0，T]）。因此，根据假设（3.3），每个过程exp（Xψt- [Xψ]t/2）t型∈[0，T]满足Novikov的条件。特别地，它是一个鞅，是概率测度的密度过程，对于任意ψ，ψ，φ，它是绝对连续的w.r.t.p∈ ψ我们可以通过Cauchy-Sch-warz不等式观察每个t∈ [0，T]|[Xψ]T- [Xφ]t |≤dψ（ψ，ψ）+dψ（φ，ψ）· dψ（ψ，φ）。因此（[（Xψ）]t）ψ∈当dψ完全有界时，ψ具有dψ-Lipschitz连续路径。此外，可以证明（Xψ，ψ∈ ψ）是一个近似次高斯的局部鞅族。r、 t.dψ，C=2。第6.7节提供了该结果的证明。4讨论让我们讨论一下文献中的一些相关结果。在[13]和[1 4]中，研究了概率测度的一般凸集Q的极大极小关系（1.1），该关系等价于P，在粘贴或时间一致性下不显式施加稳定性。

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2022-6-1 07:15:47

然而，这里隐含的是（见[13，引理B.1的证明]和[14，命题3.1的证明]），对于每个τ∈ T和anyQ∈ Q、 a序列（Qk）k∈从Fτ上的Q与Q的概率测度，从而得到supσ∈T，σ≥τEQk[Yτ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Yσ| Fτ]P-a.s。。结果表明，一般情况下，只有对于时间一致集Q，上述关系才能成立。提案4.1。LetbQ表示F上所有概率测度的集合，使得等式[X]≥infQ′型∈QEQ′[X]h表示每个P-本质有界随机变量X。此外，让Q的每个成员都等价于P，并定义集S（Q）由所有一致有界的自适应cádlág过程Z=（Zt）0组成≤t型≤t每一个单站ping问题都是supτ∈TEQ[Zτ]（Q∈ Q）有一个解决方案。考虑以下陈述：（1）Q是时间约束。（2） infQ公司∈QEQ【X】≤ infQ公司∈QEQ[ess infQ∈QEQ[X | Fτ]]适用于每个P-本质有界随机变量X和每个停止时间τ∈ T（3） bQe˙={Q∈bQ | Q≈ P} 粘贴时稳定，ndess infQ∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈P-本质y有界X，τ的bQeEQ[X | Fτ]∈ T（4）对于任意进程Z=（Zt）0≤t型≤T∈ S（Q），对于任何τ∈ T和Q∈ Q、有一些序列（Qk）k∈Nin Q，其成员在Fτ上与Q一致，因此应为supσ∈T，σ≥τEQk[Zσ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]P-a.s。（5） Q在粘贴下是稳定的。然后是陈述（1）-（3）与（5）中的（4）相同。此外，应用程序（4）=> （1）持有。命题4.1的proo f委托给第6.8.5小节，一个关于较低Snell包络的抽象极大极小结果让我们定义所有随机变量X的集合X(Ohm, F、 P）满足| X |≤ CY*+ 1.某些C>0的P-a.s。注：X是一个Stonean向量格，包围集合{Yτ|τ∈ T}和空间L∞(Ohm, F、 P）所有P-本质有界随机变量的。

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可人4

2022-6-1 07:15:50

此外，X L（Q）在假设（2.2）下有效，在这种情况下，我们可以引入以下映射ρQ:X→ R、 X 7→ supQ公司∈QEQ【X】。如果ρQ（Xn）0表示Xn0 P-a.s，则我们将ρQto从上边的0处连续。。在这一节中，我们想给出一个一般的抽象极大极小关系（1.1），它将是导出主要结果定理2.1的起点。它依赖于以下关键假设。（A）存在一些λ∈]0，1[对于每个τ，τ∈ Tf \\{0}infA∈Fτ∧τρQ（（A- λ）（Yτ）- Yτ））≤ 0，其中tf表示从t开始的具有有限范围的停止时间集。定理5.1。如果Y=（Yt）0≤t型≤完整填充（2.2），如果ρq从0开始连续，则在假设（A）supτ下∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。定理5.1的证明委托给第6.2节。在这里，我们可以引用定理2.1的假设，即与Q相关的向量测量uqa的范围应相对紧凑w.r.t。sup范数k·k∞. 如下结果表明，该条件本质上暗示了假设（A）。提案5.2。设Y=（Yt）0≤t型≤t满足（2.2），并使ρq0在0处从上方连续。进一步假设t{uQ（A）| A∈ F} 相对k·k∞-契约若为τ，τ∈ Tf \\{0}概率速度(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）是无原子的，theninfA∈Fτ∧τρQ（（A- 1/2）（Yτ- Yτ））≤ 命题5.2的证明见第6.3.6节，证明（2.2）已填写完毕。注意，在（2.2）Yτ下∈ L（Q）表示τ∈ T（6.1）条件（6.1）意味着对于任何Q∈ co（Q）其Radon-Nikodym导数qdpsatis函数τdQdPis P-可积于每个τ∈ T（6.2）让集合X和映射ρqe在第5.6.1节开始时定义QLet M的拓扑闭包(Ohm, 十）表示F上的概率测度Q的集合，使得X是Q-可积的X∈ 十、

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可人4

2022-6-1 07:15:53

SetQ˙=Q∈ M级(Ohm, 十） | supX∈十、等式[X]- ρQ（X）≤ 0.明显co（Q）Q、 andQ是凸的，supQ∈QEQ[X]=ρQ（X），对于所有X∈ 十、（6.3）我们赋予Q最共价拓扑σ（Q，X），使得映射φX:Q→ R、问题7→ 等式[X]（X∈ 十）是连续的。在下一步中，我们将研究σ（Q，X）何时是紧的，co（Q）是稠密子集。引理6.1。如果（2.2）成立，并且如果ρQis从abov e到0是连续的，那么σ（Q，X）是紧的。此外，co（Q）是Q的σ（Q，X）-稠密子集，dq是由P证明支配的。让我们装备代数对偶X*具有最粗糙拓扑σ（X*, 十）这样映射shx:X*→ R、 ∧7→ ∧（X）（X）∈ 十）是连续的。函数ρQis次线性。然后通过Banach-Alaoglutheorem的一个版本（参见[19，定理1.6]）集合Q˙=Λ ∈ L（Q）*| supX公司∈L（Q）（λ（X）- ρQ（X））≤ 0是紧凑的w.r.t.σ（X*, 十）。此外，假设ρQis在0处从上方连续。这意味着每个∧∈ 当Xn0时，qsaties∧（Xn）0。因为X是Stoneanvector格，其中包含Ohm, 它生成σ-a代数F，应用Daniell-Stone表示定理得到每个∧∈ cl（{∧Q | Q∈ Q} ）唯一可由概率测度Q∧表示，即Q∧：F→ [0，1]，A 7→ ∧（A）。因此，通过定义Q，我们可以得到Q={∧Q | Q∈Q} ，且∧Q6=∧eQfor Q 6=eQ，（6.4），其中∧Q:X→ R、 X 7→ Q的等式【X】∈Q、显然，我们可以从QontoQ w.r.t.马球σ（X*, 十）和σ（Q，X）。特别地，Q是紧w.r.t.σ（X*, 十）。接下来，{∧Q | Q∈ co（Q）}是X的凸子集*. 我们可以利用双极性定理的一个版本（参见[19，结果1.5]）来观察σ（X*, 十） -闭包cl（{∧Q | Q）∈ {∧Q | Q的co（Q）}）∈ co（Q）}与Q、因此（6.4）使我们能够从cl（{∧Q | Q）定义同胚∈ co（Q）}）ontoQ w.r.t.拓扑σ（X*, 十）和σ（Q，X）。

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kedemingshi

2022-6-1 07:15:57

因此co（Q）是σ（X*, 十） -Q的稠密子集，根据拓扑σ（Q，X）的定义，Q很可能由P支配。这就完成了证明。现在考虑以下新的优化问题maximize infQ∈QEQ[Yτ]在τ上∈ T，（6.5）和最小化supτ∈Q上的TEQ[Yτ]∈Q、（6.6）鉴于（6.3），我们得出（6.5）与相应的w.r.t.Q和co（Q）具有相同的最优值。提案6.2。在假设（2.2）下，我们有SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]。将问题（6.6）的最优值与相应的w.r.t.co（Q）进行比较更难处理。为了准备，让我们生成一个序列（Yk）k∈Nofstochastic processesYk˙=（Ykt）0≤t型≤TviaYkt˙=（Yt∧ k）∨ (-k）。它们都适用于（Ft）0≤t型≤T、引理6.3。如果满足（2.2），并且如果ρQis从0开始连续，则Limk→∞supQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]= 0.证明。对于τ∈ T和k∈ N我们可以观察到Y*∈ X乘以（2.2）和| Yτ-Ykτ|≤{Y*>k}Y*- k.然后是SUPQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]≤ supQ公司∈Qsupτ∈TEQ[| Yτ-Ykτ|]≤ supQ公司∈量化宽松{Y*>k}Y*- k（6.3）=ρQ{Y*>k}·Y*- k适用于任何k∈ N、最后，{Y*>k}·Y*- k0，因此引理6.3的陈述紧随其后，因为ρQis假设从0开始是连续的。在下一个提供步骤中，我们将用过程Yk替换（6.6）中的过程Y。我们想看看o最优值何时与相应问题w.r.t.co（Q）的最优值重合。引理6.4。如果（2.2）保持不变，且i fρQis在0处从上方连续，则infq∈Qsupτ∈TEQ[Ykτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]f或每k∈ N、证明。让k∈ N、和fix Q∈Q、鉴于引理6.1，其Radon-Nikodym导数dQ/dPis在{dQ/dP | Q的弱闭包中∈ co（Q）}，被视为上L-空间的子集(Ohm, F、 P）。此外，通过引理6.1，集合{dQ/dP | Q∈ co（Q）}是（Ohm, F、 P）。

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2022-6-1 07:16:00

然后根据Eberlein-Smulian定理（参见例[20]），我们可以选择一个序列（Qn）n∈Nin co（Q）使LIMN→∞方程n【X】=limn→∞EhXdQndPi=EhXdQdPi=EQ[X]（6.7）适用于每个P-本质有界随机变量X。让我们介绍F上与P等价的概率测度集。然后，对于任何Q∈ Petheσ-代数F包含F和Q（A）的所有空集∈ {0，1}对everyA有效∈ F、特别是，设置所有停止时间的tqw.r.t(Ohm, 英尺，（英尺）0≤t型≤T、 Q）与Q的T重合∈ 体育课。还要注意（Ykt+k）0≤t型≤这是一个非负、有界、右连续和（Ft）自适应过程，它是准左上半连续的w.r.t.每Q∈ 体育课。这里必须理解准左上半连续性w.r.t.Q，因为我们定义了它w.r.t.t oP。因此，由Fatou引理lim supm→∞公式[Ykτm+k]≤ 等式[Ykτ+k]对每个Q有效∈ pem（τm）m∈对于某些τ满足τmτ的T中的Nis a序列∈ T然后我们可以利用[16，提案B.6]得出结论 Q∈ 体育课 τ ∈ T：等式[Ykτ+k]=supτ∈TEQ[Ykτ+k]。（6.8）让我们表示Q∈ co（Q）和λ∈]0，1[由Qλ定义的viaP Radon-Nikodym导数的概率测度t ivedQλdP˙=λdQdP+（1- λ).通过这种构造，我们可以引入setsQλ˙={Qλ| Q∈ co（Q）}（λ）∈]0，1[）。显然，这些集合包含在Pe中。现在，定义λ∈]0，1[序列（fn，λ）n∈Nofmappingsfn，λ：T→ R、 τ7→ 公式λn【Ykτ+k】。注意序列（fn，λ）n∈λ的Nis一致有界∈]0，1[因为| Ykτ+k |≤ 每τ2k∈ T（6.9）我们想将Simons引理（参见[22，引理2]）应用于每个序列（fn，λ）n∈N、为此，需要显示固定λ∈]0，1[我们可以找到（fn，λ）n的任何可数凸组合∈Nsome最大化器。So let（λn）n∈Nbe[0，1]中的一个序列，带P∞n=1λn=1。我们可以通过以下方式确定∞Xn=1λnQλn（A）=Q（A），每A∈ F上属于Pe的Fa概率测度。

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2022-6-1 07:16:03

然后利用单调收敛定理∞Xn=1λnfn，λ（τ）=∞Xn=1λnZ∞Qλn（{（Ykτ+k）>x}）dx=Z∞Q（{（Ykτ+k）>x}）dx=τ的等式[Ykτ+k]∈ T（6.10）此外，根据（6.8），存在一些τ*∈ T因此∞Xn=1λnfn，λ（τ*) = 公式[Ykτ*+ k] =supτ∈TEQ[Ykτ+k]=supτ∈T∞Xn=1λnfn，λ（τ）因此，满足了Simons引理（参见[2 2，引理2]）的假设，因此我们可以得出上τ∈Tlim支持→∞fn，λ（τ）≥ inff公司∈co（{fn，λ| n∈N} ）supτ∈Tf（τ），其中co（{fn；λ| n∈ N} ）表示{fn，λ| N的凸包∈ N} 。对于任何凸组合f=Pri=1λifni，λ，概率测度Q˙=Pri=1λiqni是co（Q）的一个成员，f（τ）=等式λ[Ykτ+k]表示τ∈ T因此，在一次上举τ∈Tlim支持→∞公式λn【Ykτ+k】≥ infQ公司∈Qλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]。另一方面，通过（6.7）supτ∈Tlim支持→∞公式λn【Ykτ+k】=supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k].因此由（6.9）和（Ykt+k）0的非负性得出≤t型≤Tλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]+（1- λ） 2公里≥ supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k]≥ infQ公司∈Qλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]=infQ∈co（Q）supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k]≥ λinfQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ+k]。然后通过发送λ1supτ∈TEQ[Ykτ+k]≥ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ+k]和thussupτ∈TEQ[Ykτ]≥ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]。这就完成了证明，因为Q是从Q和co（Q）中任意选择的 Q保持不变。我们准备提供以下标准，以确保（6.6）的最优值与相应问题w.r.t.co（Q）的最优值一致。提案6.5。填写Le t（2.2）。如果ρQis从0开始连续，则infq∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。证据首先infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]≤ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]因为co（Q）Q

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2022-6-1 07:16:06

然后我们通过引理6.4得到每k∈ N0号≤ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]- infQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]引理6.4=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]- infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]+infQ∈Qsupτ∈TEQ[Ykτ]- infQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]≤ 2·supQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]命题6.5的陈述紧接着引理6.3.6.2定理5.1的证明，如前一小节所定义。证明的思想是首先验证问题（6.5）和（6.6）的双重性，然后应用命题6.2和命题6.5。关于问题（6.5）和（6.6）的极大极小关系，如果ρQis在0以上连续，我们可以将考虑减少到具有有限范围的停止时间。引理6.6。如果Y全填充（2.2），并且如果ρQis从0开始连续，则（i）supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]；（二）infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。此处，TF表示从T到有限范围的所有停车时间集。证据对于τ∈ 我们可以通过τ[j]（ω）：=min{k/2j | k来定义∈ N、 τ（ω）≤ k/2j}∧ Ta序列（τr[j]）j∈Nin tf满足τ[j]τ逐点，并通过Ylimj路径的右连续性→∞Yτ[j]（ω）（ω）=任何ω的Yτ（ω）（ω）∈ Ohm. （6.11）为了证明声明（i），让我们确定任何τ∈ T然后| Yτ-Yτ[j]|→ j为0点→ ∞由于（6.11）。SetbYk˙=supj≥k | Yτ- Yτ[j]|对于k∈ N、这定义了序列（bYk）k∈Nof随机变量BYKON(Ohm, F、 P）满足| bYk |≤2支持∈[0，T]| Yt |因此它们属于L（Q）。从k0开始，由于ρQis在0处从上方连续，我们得到0≤ ρQ（| Yτ）- Yτ[j]|）≤ ρQ（bYj）→ j为0→ ∞.因此（6.3）0≤ | infQ公司∈QEQ[Yτ]- infQ公司∈QEQ[Yτ[j]]|（6.3）≤ ρQ（| Yτ）- Yτ[j]|）→ j为0→ ∞,和thussupτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ 林姆杰→∞infQ公司∈QEQ[Yτ[j]]=infQ∈QEQ[Yτ]。停止时间τ是任意选择的，因此我们可以得出upτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]，其中最后一个不等式由于Tf而明显 T

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2022-6-1 07:16:10

因此，见表（一）。为了证明陈述（ii），让我们对任何ε>0进行拟合。然后对于任意Q∈Q我们可能会发现一些τ∈ T使SUPτ∈TEQ[Yτ]- ε<等式[Yτ]。（6.12）我们有Yτ[j]→ j的点方向Yτ→ ∞, 和| Yτ[j]|≤ 支持∈[0，T]| Yt |对于每个j∈ N、因此，在（2.2）中，我们可以应用支配收敛定理得出结论→∞EQ[Yτ[j]]=EQ[Yτ]，因此由（6.12）supτ∈TfEQ[Yτ]≥ 林姆杰→∞EQ[Yτ[j]]=EQ[Yτ]>supτ∈TEQ[Yτ]- ε.让ε0，我们得到supτ∈TfEQ[Yτ]≥ supτ∈TEQ[Yτ]≥ supτ∈TfEQ[Yτ]，其中，由于Tf，la st不等式是平凡的 T由于Q是任意选择的，所以语句（ii）紧随其后。证明是完整的。在下一步中，我们要显示supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。提案6.7。让（2.2）充满。如果ρQis从0开始连续，则根据第5supτ节的假设（A）∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。证据按假设1/k→ k的Y点方向→ ∞.然后是SUPL≥千日元/升- k的Y |0点方向→ ∞,和supl≥千日元/升-Y |∈ L（Q）由于（2.2）和supl≥千日元/升-Y |≤ 2支持∈[0，T]| Yt |。由于ρQis从0开始连续，我们可以得出0≤infQ公司∈QEQ【Y1/k】- infQ公司∈QEQ[年]≤ supQ公司∈QEQ[| Y1/k- Y |]≤ ρQsupl公司≥千日元/升- Y型|→ k为0→ ∞.特别是SUPτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈Tf \\{0}infQ∈QEQ[Yτ]，（6.13）和infq∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈Tf \\{0}EQ[Yτ]。（6.14）我们想将K"onig的极大极小定理（参见[17，定理4.9]）应用于映射：Q×Tf \\{0}→ R、（Q，τ）7→ 均衡器[-Yτ]。为了准备，我们赋予Q第6.1小节中定义的拓扑σ（Q，X）。然后通过σ（Q，X）和（6.1）的定义，我们可以观察到（·，τ）是连续的w.r.t。σ（Q，X）对于τ∈ Tf \\{0}。（6.15）通过Q的凸性（见（6.3）），我们也可以观察到Q，Q∈ Q、 λ∈ [0, 1], τ ∈ Tfh（λQ+（1- λ） Q，τ）=λh（Q，τ）+（1- λ） h（Q，τ）。

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2022-6-1 07:16:13

（6.16）鉴于K"onig的minimax结果以及（6.15）、（6.16）和引理6.1，当满足以下性质时，仍需进行研究。 λ ∈]0, 1[ τ, τ∈ Tf \\{0}：infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）≤ 0（6.17）根据假设（A），存在一些λ∈]0，1[对于τ，τ∈ Tf \\{0}infA∈Fτ∧τρQ（（A- λ）（Yτ）- Yτ））≤ 0。（6.18）接下来，定义任意τ，τ∈ Tf \\{0}和A∈ Fτ∧τ映射τA˙=Aτ+Ohm\\Aτ。SinceFτ∧τ Fτ∩ Fτ，我们得到∈ Fτifor i=1、2和{τA≤ t}=A.∩ {τ≤ t}∪Ohm \\ A.∩ {τ≤ t}∈ Ftfor t∈ [0，T]。尤其是τA∈ Tf \\{0}用于∈ Fτ∧τ、因此，根据（6.3）和（6.18）infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）≤ infA公司∈Fτ∧τsupQ∈Qh（Q，τA）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）（6.3）=infA∈Fτ∧τρQ（A）- λ）（Yτ）- Yτ）(6.18)≤ 这显示了（6.17），并且通过K"onig极小极大定理，我们得到了infτ∈Tf \\{0}supQ∈量化宽松[-Yτ]=infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）。鉴于（6.13）和（6.14），这就完成了命题6.7的论证。现在，我们准备好展示定理5.1。定理5.1的证明：在定理5.1的假设下，我们可以应用命题6.2和命题6.5来获得supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]和infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。此外，根据引理6.6和命题6.7，我们有SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]。现在，定理5.1的陈述紧随其后。6.3命题5.2的证明充分满足命题5.2显示的假设。固定任意ε>0。观察| Yτ- Yτ|{| Yτ-k的Yτ|>k}1409; 0→ ∞. 由于ρQis从0开始连续，我们可以选择一些k∈ N使得ρQ|Yτ- Yτ|{| Yτ-Yτ|>k}≤ ε/3. （6.19）随机变量| Yτ- Yτ|{| Yτ-Yτ|≤k} 是有界的，因此我们可以在(Ohm, F、 P）具有满足SUPω的有限范围∈Ohm（Yτ（ω）- Yτ（ω））{| Yτ-Yτ|≤k} （ω）- X（ω）≤ ε/3（参见例如。

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2022-6-1 07:16:17

【18，提案22.1】）。尤其是Y˙=Yτ- YτρQeY{| eY|≤k}- 十、≤ supω∈Ohm|eY（ω）{| eY|≤k} （ω）- X（ω）|≤ ε/3. （6.20）由于X的范围有限，因此存在沿方向不相交的B，Br公司∈ F和λ，λr∈ 例如X=Pri=1λiBi。现在，让（Ak）k∈Nbe F中的任何序列。我们可以通过假设uQ（Ak∩ Bi）k∈Nis相对k·k∞-i=1时紧凑，所以存在一个子序列（aφ（k））k∈Nand f，fr公司∈ l∞（Q）使|uQ（AД（k）∩ Bi）- 菲克∞---→k→∞每i 0∈ {1，…，r}。然后是SUPQ∈Q | EQ[AИ（k）·X]-rXi=1λifi（Q）|≤rXi=1 |λi | kuQ（AД（k）∩ Bi）- 菲克∞---→k→∞0。这意味着等式【A·X】Q∈Q | A∈ F相对k·k∞-契约（6.21）接下来，让我(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）表示上的L-空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ），而我们使用符号L∞(Ohm, Fτ∧τ、 PF |τ∧τ）对于所有P | Fτ的空间∧τ-本质有界随机变量。后一个空间将配备弱*-拓扑σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ). 由于概率空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）假设是无函数的，我们已经从[15，引理3]知道{A | A∈ Fτ∧τ} 是σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ） -密集子集由allZ组成∈ L∞(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）满足0≤ Z≤ 每年1次。。特别是，我们可能会发现净（Ai）i∈Isuch that（Ai）i∈I收敛到1/2 w.r.t.σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ). 根据（6.21），有一个子网（Ai（j））j∈Jsuch thatlimjsupQ∈Q | EQ[Ai（j）X]- f（Q）|=0对于某些f∈ l∞（Q）。进一步注意，EXdQdP | Fτ∧τ属于L(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）对于每个Q∈ Q、这意味着任何Q∈ Qf（Q）=limj→∞等式[Ai（j）X]=limj→∞EAi（j）XdQdP= 林姆杰→∞EAi（j）EXdQdPFτ∧τ= EEXdQdPFτ∧τ/2.= 均衡器X/2.亨塞苏普∈Q等式[Ai（j）X]- 均衡器X/2< 对于某些j，ε/3∈ J

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2022-6-1 07:16:20

（6.22）我们可以通过ρQalong与（6.19）、（6.20）和（6.22）ρQ的次线性直接观察到（Ai（j）- 1/2）·（Yτ- Yτ）≤ ρQ（Ai（j）- 1/2）·eY>k+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·（eY≤ k- X）+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·X≤ ρQ|eY>k |）+ρQ|eY公司≤ k- X个|+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·X≤ ε/3+ε/3+ε/3=ε，其中eY>k˙=eY·{| eY |>k}andeY≤ k˙=eY·{| eY|≤k} 。因此，我们展示了Ninfa∈Fτ∧τρQ（A）- 1/2）·（Yτ- Yτ）≤ ε，通过发送ε0完成证明。6.4定理2.1的证明首先注意，对于τ，τ∈ Tf \\{0}，有一些t>0使得Ft Fτ∧τ. 因此，假设（2.1）概率空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ）对于τ是无原子的，τ来自Tf \\{0}。然后，根据命题5.2和定理5.1，还需要显示以下辅助结果。引理6.8。充分满足假设（2.2），并将uq的范围设为相对k·k∞契约如果ρQ（Y*{Y*>a} （）→ 0表示→ ∞, 然后ρQis从0开始连续。证据Let（Xn）n∈Nbe X中的任何非递增序列，其中Xn0 P-a.s.，a且ε>0。作为X的成员，我们可能会发现一些C>0，因此0≤ Xn公司≤ 十、≤ C（Y*+ 1） n的P-a.s∈ N、那么对于任何N∈ N和每k∈ N我们可以通过ρQ0的次线性来观察≤ ρQ（Xn）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+ρQ（Xn·{Y*>k} （）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+ρQ（C（Y*+ 1） ·{Y*>k} （）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+2CρQ（Y*·{Y*>k} ）。（6.23）接下来，注意Xn·{Y*≤k}n∈Nis一致有界于某个常数say Ckfor anyk∈ N、然后用xk，N˙=Xn·{Y*≤k} 我们得到k，n∈ N0号≤ ρQ（Xk，n）=supQ∈QZ公司∞QXk，n>xdx公司≤ZCksupQ∈QQXk，n>xdx。（6.24）现在fix k∈ N和x∈]0，Ck[。因为假定uQis的范围相对紧凑w.r.t.k·k∞, 我们可以找到任何子序列uQXk，（i（n））>xn∈Na进一步的子序列uQXk，（j（i（n）））>xn∈Nsuch thatlimn公司→∞supQ公司∈Q |uQXk，j（i（n））>x（Q）- fk（Q）|→ 0对于某些fk∈ l∞（Q）。此外，QXk，j（i（n））>xn为0→ ∞ 如果Q∈ Q、这意味着fk≡ 0，因此supQ∈QQXk，n>xn为0→ ∞.

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2022-6-1 07:16:22

因此，根据（6.24），应用支配收敛定理得到ρQ（Xn·{Y*≤k} （）→ 0 FOR n→ ∞带k∈ 固定。然后乘以（6.23）0≤ lim支持→∞ρQ（Xn）≤ 2 CρQ（Y*·{Y*>k} ）对于k∈ N、最后，通过假设，CρQ（Y*·{Y*>k} （）→ k为0→ ∞ 因此0≤ lim支持→∞ρQ（Xn）≤ 0 .这就完成了proo f。正如引理6.8之前所讨论的那样，定理2.1的陈述紧接着将命题5.2和定理5.1与引理6.8相结合。6.5定理2.3的证明自d是完全有界的（Q，d）的完备（Q，d）是紧的（见[26，第9.2节，问题2]）。自（dQ/dP）Q∈Qhas P-几乎肯定d-一致连续路径，我们可能会发现∈ F，P（A）=1，这样我们可以定义一个非负随机过程（ZˇQ）ˇQ∈71qsuchz˙=Z·（ω）对于ω是连续的∈ A和ZQ=（dQ/dP）保持f或Q∈ Q（见[26，定理11.3.4]）。现在让（Qn）n∈Nbe Q中的任何序列。通过紧性，我们可以选择一个子序列（Qi（n））n∈n收敛到某个ˇQ∈ˇQ w.r.t.ˇd（见[26，定理7.2.1]）。由于过程z在A上有ˇd-连续路径，我们得到dqi（n）dP（ω）=ZQi（n）（ω）---→n→∞ZˇQ（ω）表示所有ω∈ A、此外，根据假设，（dQi（n）/dP）n∈Nis由一些P-可积随机变量控制。然后介绍了支配收敛定理的应用dQi（n）dP- ZˇQ---→n→∞因此，我们已经证明Q是相对紧凑的全变量w.r.t拓扑，如备注2.2所述，并且可以通过将备注2.2与定理2.1相结合得出定理2.3。6.6命题证明3.1Fix t∈ [0，T]。假设（Xθ）θ∈Θ是附录意义上的近似次高斯随机场。

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kedemingshi

2022-6-1 07:16:25

然后通过命题A.2，我们可以确定一些可分离的版本（bXθt）θ∈（Xθt）θ的Θ∈Θ.还假设存在一些θ∈ Θ，使得E[exp（2bXθt）]=E[exp（2Xθt）]<∞ 持有。此外，通过命题A.2，我们还可以发现一个非负随机变量Uθt以及一些∈ F，其中P（At）=1，因此e[exp（pUθt）]<∞ 对于每个p∈]0, ∞[（6.25）supθ∈ΘexpbXθt（ω）≤ 经验值Uθt（ω）经验值bXθt（ω）对于ω∈ 在（6.26）假设和自∈ Ft，对于每个θ∈ ΘMθt.=经验值bXθt- [Xθ]t/2At定义了Qθ| Ft的Radon-Nikodym导数。然后，由于过程的非负性（[Xθ]t）θ∈（6.26）yieldssupθ的应用∈ΘMθt≤ 经验值Uθt经验值bXθt逐点。通过（6.25）以及对Xθt的假设，随机变量exp（2Uθt）和exp（bXθt）是平方可积的。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式exp（Uθt）exp（bXθt）是可积的，因此t hat（Mθt）θ∈Θ由一些P-可积随机变量控制。因此，通过定理2.3，它仍然可以证明（Mθt）θ∈Θ具有dΘ-一致连续路径。对于θ，θ∈ 我们可以从（6.26）和过程的非负性（[Xθ]t）θ得出结论∈Θ| Mθt- Mθt |≤经验值bXθt+ 经验值bXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2在≤ supθ∈ΘexpbXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2At（6.26）≤ 经验值Uθt经验值bXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2在（6.27）鉴于命题A.2过程（bXθt）θ∈Θ具有dΘ-一致连续路径和（[Xθ]t）θ∈Θ通过假设满足该属性。因此由（6.27），（Mθt）θ∈Θ具有dΘ-统一连续路径。6.7示例3.2的证明首先，每个Xψ是一个中心鞅。第二，通过时间的变化，我们可以建立一个大联盟(Ohm, 英尺，（英尺）0≤t型≤T、 P）过滤概率空间的(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）带Ohm = Ohm ×eOhm 对于一些seteOhm 对于每个固定对ψ，φ∈ ψ存在布朗运动Zψ，φ，其中（Zψ，φt）0≤t型≤t适应（英尺）0≤t型≤T、对于每个T∈ [0，T]它保持xψT-Xφt=Zψ，φRt（ψ-φ）（u，Vu）du（参见示例。

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2022-6-1 07:16:28

[21，定理V.1.7的证明]）。这里，我们为每个ω设置=（ω，|ω）∈ OhmXψt（ω）- Xφt（ω）=Xψt（ω，|ω）-Xφt（ω，|ω）˙=Xψt（ω）- Xφt（ω）。然后固定λ>0，t∈ [0，T]和ψ，φ∈ ψwe obtainE[exp（λ（Xψt- Xφt））]=EPhexpλZψ，φRt（ψ-φ）（u，Vu）du我≤ EP公司经验值λmax0≤s≤d（ψ，φ）Zψ，φs.现在我们根据布朗运动的反射原理推导经验值λmax0≤s≤d（ψ，φ）Zψ，φs≤ 2EPhexpλZψ，φd（ψ，φ）i=2 expλd（ψ，φ）.因此（Xψt，ψ∈ ψ）是一个近似次高斯的局部鞅族，C=2。6.8命题4.1的证明ETBQ和BQE如命题4.1所定义。此外，让Lp(Ohm, F、 P）表示上的classicalLp空间(Ohm, F、 P）对于P∈ [1, ∞]. 我们需要以下辅助结果进行准备。引理6.9。设置FbQ˙={dQ/dP | Q∈bQ}关闭w.r.t.L-标准它甚至很紧凑。r、 t.如果Q相对紧，则L-范数w.r.t.全变分拓扑。在这种情况下，fbqe˙={dQ/dP | Q∈bQe}是相对紧凑的w.r.t.L-范数。证据该集fbqi是明显凸的，也是FQw的凸壳co（FQ）的拓扑闭包。r、 t.L上的弱拓扑(Ohm, F、 P）（见【19，定理1.4】）。Thusby凸性，FbQis也是FQw的闭凸包。r、 t.L-范数拓扑。此外，ifQ是相对紧的w.r.t.全变分拓扑，集合FQ是相对L-范数紧的，因此其L-范数闭凸包FBQI是L-范数紧的（参见例[1，Theorem5.35]）。这就完成了证明，因为FbQe FbQ。命题4.1的证明：含义（5）=> （4）已经知道了（关于时间离散的情况，请参见[23，引理5.3]和[11，引理6.48]）。

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2022-6-1 07:16:31

关于含义（1）=> （2） letτ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P）。然后Z˙=ess infQ∈QEQ[X | Fτ]∈ L∞(Ohm, F、 P）并且是Fτ-可测量的，因此ESS infQ∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈QEQ[Z | Fτ]。然后按时间一致性（语句（1））infQ∈QEQ【X】=infQ∈QEQ[Z]，显示（2）。接下来，想说明（3）可以从（2）中得出结论。首先，（2）显然意味着INFQ∈QEQ【X】=infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fτ]对于τ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P），可通过ρ（X）=ρ重写(-ρτ（X））表示τ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P），（6.28），其中ρs（X）。=ess supQ∈量化宽松[-X | Fs]表示X∈ L∞(Ohm, F、 P）（s）∈ {0, τ}, τ ∈ T）。由于Q的每个成员都是等效的t o P，我们可以从（6.2 8）中观察到，对于每个τ∈ 函数ρ，ρτ满足定理11的假设和陈述（a）。2英寸[11]。然后在证明该定理时，显示ρτ（X）=ess supQ∈bQeEQ[-X的X | Fτ]∈ L∞(Ohm, F、 P）以便∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈τ的bQeEQ[X | Fτ]∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.29）为了验证语句（3），留下来表明BQ在粘贴下是稳定的。所以letQ，Q∈bQe，τ∈ T，letQ表示Q，Qinτ的粘贴。然后对于任何P-本质边界随机变量XEQ[X]=等式公式[X | Fτ]≥ 均衡器ess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]（6.29）=等式ess infQ∈QEQ[X | Fτ]≥ infQ公司∈bQeEQess infQ∈QEQ[X | Fτ]（6.29）=infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fτ].因此，等式[X]≥ infQ公司∈QEQ【X】因声明（2）而保持。因此，托布属于托布，图萨尔索属于托布。现在让我们来讨论一下含义（3）=> (1). 让我们假设（3）是有效的andletX，X∈ L∞(Ohm, F、 P）以及σ，τ∈ 带σ的T≤ τ使ESS infQ∈QEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈QEQ[X | Fτ]。鉴于（6.29），这意味着infQ∈bQeEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]。（6.30）设ε>0且| X |≤ εP-a.s.，并定义一致有界、非负的cádlág-processH˙=（Ht）0≤t型≤Tvia Ht˙={T}（T）（ε-十）。

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2022-6-1 07:16:34

由于在粘贴条件下，Emma 4.17是稳定的，因此在[2 3]中的Emma 4.17在H Yieldses supQ中的应用∈bQeEQε -X | Fσ= ess supQ∈bQeEQess supQ∈bQeEQ[ε-X | Fτ]| Fσ.特别是，我们获得了infQ∈bQeEQ[X | Fσ]=ess infQ∈bQeEQess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]Fσ.然后考虑到（6.29）和（6.30），这意味着infQ∈QEQ[X | Fσ]≤ ess infQ∈QEQ[X | Fσ]。关于含义（4）=> （2）让X∈ L∞(Ohm, F、 P）。有一些C>0，这样X+C≥ 每年1次。。然后Zt˙={T}（T）·（X+C）定义了一个一致有界、非负适应的Cádlág过程Z=（Zt）0≤t型≤t来自S（Q）。此外，让我们确定Q∈ Q和τ∈ T通过语句（4），我们将找到一些序列（Qk）k∈其构件与qon Fτ重合，使得eqk[X+C | Fτ]=ess supσ∈T，σ≥τEQk[Zσ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]P-a.s。。此外，ess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]=EQ[X+C | Fτ]适用于每个Q∈ Q、我们得到了支配收敛定理∈QEQ[X+C | Fτ]]=limk→∞等式[EQk[X+C | Fτ]]=limk→∞EQk[EQk[X+C | Fτ]]=limk→∞等式[X+C]≥ infQ公司∈QEQ[X+C]。这里，对于第二个等式，我们调用了Qk | Fτ=Q | Fτ对每个k都有效∈ N、然后陈述（2）是显而易见的，证明是完整的。6.9备注证明2.2如果设置Bq和Bq如第4.1条所述，则考虑到第4条。1它仍然表明，在R标记2.2的假设下，在粘贴w.R.t下，Setbqe不稳定(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）。由于F上的所有概率测度集等价于在粘贴w.r.t下稳定的Pis(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P），随附BQE，我们可以确定在粘贴下稳定且是QE超集的最小值。我们想表明，在备注2.2的设置中，BKEI是BQSTWi的一个适当子集。论证将基于以下观察结果。引理6.10。

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2022-6-1 07:16:37

让Lp(Ohm, F、 P）表示概率空间上的经典Lp空间(Ohm, F、 P）对于P∈ [0, ∞] 让（An）n∈Nbe a序列inF满足LIMN→∞E[安·Z]=·E[Z]表示E非常Z∈ L(Ohm, F、 P）。（6.31）然后对于任何Z∈ L(Ohm, F、 P）\\{0}，序列（An·Z）n∈NDOE在L中没有y累积点(Ohm, F、 P）w.r.t.L-范数。证据假设有一些Z∈ L(Ohm, F、 P）\\{0}这样序列（AnZ）n∈Nhasan累积p点X∈ L(Ohm, F、 P）w.r.t.L-范数。通过传递到子序列，我们可以假设E[| AnZ- X |]→ 0表示n→ ∞. （6.32）因此，根据霍尔德不等式，limn→∞E[| AnZW- XW |]=0表示任何W∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.33）应用（6.31）和（6.33），我们得到对于任何W∈ L∞(Ohm, F、 P），即EZ- 十、W= 0表示任何W∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.34）替换W=Z- 十、∧ 1.∨ -1到（6.34），我们得到X=Z，因此，通过（6.32），E[| Z |]=E一-Z---→n→∞这与sp（{Z 6=0}）>0相矛盾，完成了证明。备注2.2的证明：让我们确定不同的Q，Q∈ QbQe。由于在粘贴下BQ仍然稳定，我们可以定义每个τ∈ T bydQτdP˙=EdQdPFτEdQdPFτ某些概率测度Qτ的dQdPa Radon-Nikodym导数w.r.t.P∈bQst。特别是，Q=Qand QT=Q，并使用密度过程的cádlág修正EdQidP英尺0≤t型≤T（i=1，2）我们导出了qtdp→t0的DQDPF。因此，我们可能会发现一些∈]0，T[使得Qt6=QT。

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2022-6-1 07:16:40

假设自(Ohm, Ft，P | Ft）与L无原子(Ohm, Ft，P | Ft）由于是弱可分的，我们可以在[15，引理3]（或[6，推论C.4]）上绘制o，以及[6，引理C.1和命题B.1]，以找到一些序列（An）∈Nin Ftsuch thatlimn公司→∞E[An·Z]=·E[Z]对于每个P | Ft可积随机变量Z。特别是→∞E[安·Z]=limn→∞E安·E【Z |英尺】=· EE[Z | Ft]=· E[Z]（6.35）每Z保持一次∈ L(Ohm, F、 P）。此外，τn˙=t·An+t·Ohm\\定义一个序列（τn）n∈诱导序列（Qτn）n的Nin T∈NinbqSt的Ra-don-Nikodym导数w.r.t.P满足dqτndP=An·dQtdP+Ohm\\An·dQTdP=An·dQtdP-dQTdP+dQTdP。选择dQt/dP- dQT/dP∈ L(Ohm, F、 P | F）\\{0}。所以从引理6.10和（6.35）来看，我们可以观察到An·dQtdP-dQTdPn∈NDOE在L中没有任何累积点(Ohm, F、 P | F）w.r.t.L-范数，因此序列（dQτn/dP）n∈Nhas也没有累积点。因此，我们发现了一个序列inFbQst˙={dQ/dP | Q∈bQst}无任何累积点w.r.t.L-范数。这意味着FBQ不是相对紧凑的L-范数。然而，引理6.9中的集合fbqe被证明是相对紧凑的w.r.t.t L-范数。所以FbQe6=FbQst，thusbqe是FbQst的一个适当子集。因此，通过构建Bqst，在粘贴W下，Setbqe不稳定。r、 t(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）因此Q不是时间一致的w.r.T(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）由于第4.1条的规定。备注2.2的证明是完整的。附录：近似次高斯随机场（Θ，d）的路径是一个具有直径的全有界半度量空间. 对于δ，ε>0，符号D（δ，D）和N（Θ，D；ε）以类似的方式用作第3节中的符号D（δ，DΘ）和N（Θ，DΘ；ε）。我们称之为中心随机过程（Xθ）θ∈如果存在一些C≥ 1这样E经验值λ（Xθ- Xθ）≤ C·exp公司λd（θ，θ）/2对于θ，θ∈ Θ和λ>0。

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2022-6-1 07:16:43

（A.1）注意，根据对称性，条件（A.1）也适用于任意λ∈ R、在C=1的情况下，该定义简化为次高斯随机场的普通概念。有关次高斯随机场的更多信息，请参见[12，第2.3小节]。通过适当改变这些半度量，我们可以将任何近似次高斯的随机场描述为高斯随机场。引理A.1。If（Xθ）θ∈Θ是n个早期次高斯随机场w.r.t.d，然后是s个次高斯随机场w。r、对于某些ε>1的情况，t.d.=ε·d。证据设C>1，使得（Xθ）θ∈Θ满意度（A.1）。然后ε=p12（2C+1）是一个s要求（参见[12，引理2.3.2]）。亚高斯随机场的以下特性是基本的。提案A.2。设X˙=（Xθ）θ∈Θ在某些概率空间上是一个近似次高斯的随机场(Ohm, F、 P）w.r.t.d.如果d(, d） <∞, 然后X允许一个可分版本，X的每个可分版本几乎肯定有界且d一致连续的路径。特别是对于任何可分离版本Bx和每个θ∈ Θ上有一些随机变量Uθ(Ohm, F、 P）使SUPθ∈ΘbXθ≤ Uθ+bXθP-a.s.和EP[exp（pUθ）]<∞ 对于e非常p∈]0, ∞[.证明。根据引理A.1，我们可以假设X是一个次高斯随机域w.r.t.d，但不失一般性。众所周知，X允许一个可分离的版本，并且每个版本几乎肯定有界且d一致连续的路径（见[12，定理2.3.7]）。现在，让我们定义x的任何可分离版本bx和任意θ∈ Θ. 我们有SUPθ∈ΘbXθ≤ supθ∈Θ| bXθ-bXθ|+bXθ和过程|bXθ-bXθ|θ∈Θ是可分离的，因为X是可分离的。然后我们可以找到一些最多可数的子集Θ Θ使得supθ∈Θ| bXθ-bXθ|=supθ∈Θ| bXθ-bXθ| P-a.s。。因此Uθ：=supθ∈Θ| Xθ- Xθ|定义随机变量(Ohm, F、 P）满足uθ=supθ∈Θ| bXθ-bXθ| P-a.s。。它仍然表明EP[exp（pUθ）]<∞ p保持不变∈]0, ∞[.那么让我们来看看∈]0, ∞[.

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2022-6-1 07:16:46

首先，观察BX再次是一个次高斯随机场。因此，通过[12，引理2.3.1]，我们得到了EP“expXθ- Xθ√6 d（θ，θ）!#≤ θ为2，θ∈ Θ，d（θ，θ）6=0。因此，我们可以应用[25]w.r.t.的结果，即总有界半度量d˙=√6d。注意（bXθ）θ∈Θ也是可分离的w.r.t.d，以及 =√6. 直径保持不变 w、 r.t.d.辛森（Θ，d；ε）≤ N（Θ，d；ε）/√6）对于每个ε>0，我们得到zδqln（N（Θ，d；ε））dε≤Zδqln（N（Θ，d；ε/√6））dε=√6D（δ/√6，d）对于每个δ>0。然后，根据[25，推论3.2]，我们可能会发现一些常数C>0，这样pnUθ>xC√6D(, d） o≤ 2经验值-x个对于x≥ 1、进一步设置BC˙=C√6D(, d），我们可以观察到∞PnUθ>xbCoexp（xpbC）dx≤Z∞2经验值-x个exp（xpbC）dx≤ 2.√2πexp（pbC/2）。然后应用变量公式的多次变换，得到Z∞支出（pbC）Pnexp公司pUθ> 哟dy=pbCZ∞PnUθ>bCuoexp（pbCu）du<∞.亨塞普经验值pUθ=Z∞Pnexp公司pUθ> 哟dy<∞这就完成了证明。致谢作者感谢米哈伊尔·乌鲁索夫（Mikhail Urusov）进行了有益的讨论和发表了有益的评论。参考文献【1】Aliprantis，C.D.和K.C.Border（2006）。有限维分析。斯普林格，Berlinet al.（第三版）。[2] Amarante，M.（2014）。精确非原子市场博弈的特征。《数学经济学杂志》54，5 9–6 2。[3] Bayraktar，E.、Karatzas，I.和Yao，S.（2010年）。动态凸风险测度的最优停止。伊利诺伊州J.数学。54, 1025 – 1067.[4] Bayraktar，E.和Yao，S.（2011年）。线性期望下n的最优停止。随机过程。应用程序。121, 185 – 211.[5] Bayraktar，E.和Yao，S.（2011年）。线性期望下n的最优停止。随机过程。应用程序。121, 212 – 264.[6] Belomestny，D.和Kr"atschmer，V.（2016）。模型不确定性条件下的最优停车：随机停车时间法。应用概率年鉴26，1260–1295。[7] Belomestny，D.和Kr"atschmer，V.（20-17）。

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