不完全市场中多种商品的最优消费

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Optimal consumption of multiple goods in incomplete markets》
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作者：
Oleksii Mostovyi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We consider the problem of optimal consumption of multiple goods in incomplete semimartingale markets. We formulate the dual problem and identify conditions that allow for existence and uniqueness of the solution and give a characterization of the optimal consumption strategy in terms of the dual optimizer. We illustrate our results with examples in both complete and incomplete models. In particular, we construct closed-form solutions in some incomplete models.
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中文摘要：
研究了不完全半鞅市场中多商品的最优消费问题。我们描述了对偶问题，确定了允许解存在唯一性的条件，并用对偶优化器描述了最优消费策略。我们用完全模型和不完全模型的例子来说明我们的结果。特别地，我们在一些不完备模型中构造了闭式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Optimal_consumption_of_multiple_goods_in_incomplete_markets.pdf
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能者818

2022-5-31 11:45:12

不完全市场中多种商品的最优消费Soleksii MOSTOVYIAbstract。研究了不完全半鞅市场中多商品的最优消费问题。我们建立了对偶问题，确定了允许解的存在性和唯一性的条件，并用对偶优化器对最优消费策略进行了表征。我们用完全模型和不完全模型的例子来说明我们的结果。特别地，我们在一些不完全模型中构造了闭式解。1、导言【Fis75，Bre79】研究了多种商品的最优消费问题。对于连续时间环境下的单一消费品，首次在[Mer69]中制定。从那时起，大量论文在完全和不完全环境下分析了这一问题，采用了一系列基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程、后向随机微分方程和凸对偶的技术进行分析。在本文中，我们在金融市场的一般不完全半鞅模型中建立了一个多商品的最优消费问题。我们构造了对偶问题，并根据对偶问题的解刻画了最优消费政策。我们还确定了允许解的存在性和唯一性以及对偶特征的数学条件。我们用例子来说明我们的结果，特别是在不完全市场中我们得到了闭式解。

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何人来此

2022-5-31 11:45:15

我们的研究成果依赖于Carath’eodory函数弱可测对应关系的某些结果、多维凸分析技术，以及数学金融中随机分析的一些最新进展，尤其是，根据【CCFM17，KKS16】中等价局部鞅定义集的非空性，以及【Mos15】中预期效用最大化问题在单一良好条件下可解的尖锐条件，对“无无界利润有界风险”条件进行了表征。日期：2022年3月8日。2010年数学学科分类。91G10、93E20。JEL分类：C61、G11。关键词和短语。最优消费、多种商品、效用最大化、无界利润和有界风险、第一类套利、局部鞅定义、du-ality理论、半鞅、完全市场、最优投资。作者要感谢R obert C.Merton提出这个问题并对本文主题进行了讨论。作者还感谢一位匿名裁判的宝贵评论。作者的研究得到了NSF拨款DMS-1600307的支持。本材料中发表的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、结论和建议，不一定反映国家科学基金会的观点、发现和结论或建议。2 OLEKSII MO Stovyi本文的主要内容如下：在第2节中，我们指定了模型设置，阐述了问题，并陈述了主要结果（在定理2.4中）。在第3节中，我们讨论了各种特殊情况。特别是，我们在那里给出了完整模型中的解的结构，以及一些不完整模型中的加性效用情形以及闭式解（有和没有加性效用结构）。我们用第4节来结束这篇文章，其中包含证明。设置和主要结果2.1。背景

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mingdashike22

2022-5-31 11:45:18

删除=（eSt）t≥0一个Rd值半鞅，表示d风险资产在完全随机基础上的贴现价格(Ohm, F、（Ft）t∈[0，∞), P），其中fB是平凡的σ-代数。我们假设一个随机时钟k=（k t）t≥0，这是一个非减量的c\'adl\'ag适应过程，如（2.1）κ=0，P（κ∞> 0）>0和κ∞≤其中A是一个正常数。随机时钟κ指定消费发生的时间。通过适当地指定时钟过程κ，可以从当前的一般设置中恢复各种最优投资消耗问题。例如，在某个有限的投资期限T<∞可以通过简单地让κ，I[[T，∞[[.同样，消费的预期效用最大化仅在有限的范围内T<∞ 可以通过将κt，min（t，t）用于≥ 0.其他规范包括效用形式终身消费的最大化、在一组固定停止时间的消费的最大化、以及在随机范围内的终端财富的最大化，有关时钟过程κ的可能标准选择的描述，请参见【Mos15，示例2.5-2.9】。我们假设有m种不同的消费品，其中SKT在时间t表示商品k的折扣价格。我们假设对于每个k∈ {1，…，m}，Sk=（Skt）t≥0上的可选进程为绝对正(Ohm, F、（Ft）t∈[0，∞), P）。投资组合由三元组∏=（x，H，c）定义，其中e x∈ R表示初始资本，H=（Ht）t≥0是一个d维可积过程，HJT表示在时间t，j时持有的j-thrisky资产∈ {1，…，d}，t≥ 0，c是一个m维消耗过程，whoseevery component（ckt）t≥0是一个非负可选过程，表示商品k的消耗率，k={1，…，m}。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:45:21

财富过程X=（Xt）t≥0投资组合的∏=（x，H，c）定义为（2.2）Xt，x+ZtHudeSu-mXk=1ZtckuSkudκu，t≥ 0.由于我们允许偏好是随机的（见下面的定义），因此假设资产价格被贴现不会失去一般性，有关这一观察结果的更详细解释，请参见[Mos15，备注2.2]。多种商品的最佳消费32.2。无套利。本部分的主要目的是指定以下无套利类型条件（NUPBR）。正如文献中通常所做的那样（例如，参见[KS99]），webegin将X定义为∏=（1，H，0），即X形式的投资组合相关的所有非负财富过程的集合，十、≥ 0：Xt=1+ZtHudeSu，t≥ 0.本文假设如下无套利pe条件：（NUPBR）集合XT，XT:X∈ 十、概率有界，对于每T∈ R+，其中（NUPBR）表示无无界利润和有界风险。这种情况最初是在[KK07]中提出的。[Kar10，命题1]证明，（NUPBR）相当于另一个（弱）无套利条件，即在[0，T]上不存在第一类套利，参见[Kar14，定义1]。（NUPBR）的一个有用特征是通过一组等价的局部鞅函数（ELMD）给出的，该局部鞅函数定义如下：（2.3）Z，Z>0:Z是一个c\'adl\'ag局部鞅，使得Z=1，zx=（ZtXt）t≥0是每X的局部鞅∈ 十、.只有当Z 6=. 这一结果先前是在【Kar12，定理2.1】中有限时间范围内的一维情况下建立的。此外，[TS14，定理2.6]包含严格σ-鞅密度方面的密切相关结果（在有限的时间范围内），有关相应的定义和详细信息，请参见[TS14]。备注2.1。

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kedemingshi

2022-5-31 11:45:24

条件（NUPBR）弱于等价鞅测度的存在（例如，关于等价鞅测度的定义，请参见[DS94，p.463]），另一个经典的无套利类型假设，在有限的时间范围内甚至强于（2.4）{Z∈ Z:Z是鞅}6=.请注意，在有限时间范围设置中，（2.4）相当于存在一个等价的可变度量。此外，（2.4）明显强于（NUPBR）（通过（2.3）和（2.4）与[CCFM17，命题2.1]相结合的比较）。我们还想指出，（2.4）在[Mer69]的每一个原始公式中都适用，其中引入了投资（在单一消费良好环境下）的最优消费问题，包括即时范围案例。一般来说，（2.4）可以是在ger上的str，而不是（NUPBR）。一个经典的例子，其中（NUPBR）成立，但（2.4）失败，对应于驱动股票价格的三维贝塞尔过程，参见示例【KK07，示例4.6】。4 OLEKSII MO STOVYI2.3。容许消耗量。对于给定的初始资本x>0，如果存在Rd值可预测积分过程H，使得（2.2）中的财富过程x对应于投资组合∏=（x，H，c）是非负的，则称m维期权消费过程c是x-容许的；对应于离散时钟κ的x-容许消耗过程集用A（x）表示。为简洁起见，我们表示A，A（1）。2.4。理性经济主体的偏好。

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能者818

2022-5-31 11:45:27

根据[Mer09]的公式，我们假设理性经济主体的偏好由可选效用值过程（或简单的效用过程）U=U（t，ω，x）：[0，∞) ×Ohm ×[0，∞)m级→ R∪ {-∞},其中for every（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, U（t，ω，·）是一个INDA类型的U效用函数，即U（t，ω，·）满足以下（技术）假设。假设2.2。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 功能RM+ x 7→ U（t，ω，x）∈ R∪ {-∞}是严格凹形的，每个成分都严格增加，在正正正态的内部具有有限的价值和连续的差异，并且满足INDA条件SLIMXI↓0xiU（t，ω，x）=∞ 和limxi↑∞xiU（t，ω，x）=0，i=1，m、在哪里秀（t，ω，·）：Rm++7→ R是U（t，ω，·）对第i个空间变量的偏导数。在第一个正态的边界上，通过上半连续性，我们假设u（t，ω，x）=lim supx′→xU（t，ω，x′）（注意，其中一些值可能是-∞ U（t，ω，x）=limt↓0U（t，ω，x+t（x′）- x），其中x′是第一个正方体内部的任意元素，参见【HUL04，命题B.1.2.5】）。最后，对于每个x∈ Rm+，我们假设随机过程（·，·，x）是可选的。备注2.3。假设2.2中的INDA条件在【Ina63】中介绍。这些是具有自然经济解释的技术假设，允许问题具有更深层的可扩展性（例如，在[KS99]中）。同样，U的半连续性也是出于正则性目的而施加的。它也用于例如[Sio15、Sio16]。特别是，通过效用过程对偏好进行建模，可以考虑在num'eraire变化下的效用最大化问题（例如，参见[Mos17，示例4.2]）。

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大多数88

2022-5-31 11:45:31

这就是为什么我们假设交易股票的价格被贴现的主要原因，因为这允许简化符号而不损失任何普遍性。还请注意，假设2.2没有对[KS99]中介绍的U的渐近弹性提出任何要求。对于满足假设2.2的效用过程U，我们将原始值函数关联起来，定义为（2.5）U（x），supc=（c，…，cm）∈A（x）EZ∞U（t，ω，ct）dκt, x>0。对于下面的结果，我们只需要指定第一个正弦波内部的U（t，ω，·）梯度，即在点x处∈ Rm，其中U（t，ω，x）是（有限值和）可微分的。多种商品的最佳消费5为了确保上述积分得到很好的定义，我们使用约定（2.6）EZ∞U（t，ω，ct）dκt, -∞ 如果EZ∞U-（t，ω，ct）dκt= ∞,其中U-（t，ω，·）是U（t，ω，·）的负部分。请注意，公式（2.5）是[Mer09，第205页]中公式的推广，在形式（2.5）中，我们考虑了随机偏好，并将几个标准公式作为特殊情况包含在内。2.5。双重问题。为了指定确保（2.5）解的存在性和唯一性的模型假设，并给出该解的特征，我们需要制定适当的对偶问题。让我们定义（2.7）U*（t，ω，x），sup（x，…，xm）∈Rm+：mPk=1Skt（ω）xk≤徐t、 ω，x，xm公司, （t，ω，x）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞).让我们设置一系列变换a：[0，∞) ×Ohm ×Rm7→ R、 asA（t，ω，x，…，xm），St（ω）x+···+Smt（ω）xm，（t，ω，x，…，xm）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞)m、注意，对于every（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, A（t，ω，·）是从rm到R和u的线性变换*（t，ω，·）是U（t，ω，·）在A（t，ω，·）下的图像（关于线性映射下函数图像的定义和性质，请参见[HUL04，p.96]）。

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mingdashike22

2022-5-31 11:45:35

我们定义了一个随机场V*作为U的逐点共轭*（相当于A下U的镜像函数的逐点共轭）在v的意义上*（t，ω，y），supx>0（U*（t，ω，x）- xy），（t，ω，y）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞),其中supx>0和supx≥0将k和s连接到U的连续性*建立在引理4.1中。我们还产生了如下一组du-al过程：Y（Y），clY:Y为c\'adl\'ag自适应，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）-a.e.对于某些Z∈ Z,其中在实值可选过程测度空间上的测度收敛拓扑（dκ×P）中取闭包(Ohm ×[0，∞), O、 dκ×P），其中O是可选的σ场。为了简洁起见，我们写Y，Y（1）。请注意，Y与-b密切相关，但与[KS99]中同名的集合不同。然后，将对偶优化问题的值函数或等效的对偶值函数定义为（2.8）v（y），infY∈Y（Y）EZ∞五、*（t，ω，Yt）dκt, y>0，使用约定E[R∞五、*（t，ω，Yt）dκt]，∞ 如果E[R∞五、*+（t，ω，Yt）dκt]=∞, 其中V*+（t，ω，·）是V的正部分*（t，ω，·）。我们现在可以陈述以下定理，这是本文的主要结果。等效地，参见【Roc70，定理5.2】，其中U*（t，ω，·）是U（t，ω，·）在线性变换A（t，ω，·），（t，ω）下的图像∈ [0，∞) ×Ohm.6 OLEKSII MO Stovyi定理2.4。假设条件（2.1）和（NUPBR）成立，并让U满足假设2.2。让我们也假设（2.9）v（y）<∞ 对于每y>0和u（x）>-∞ 对于每x>0。那么我们有（i）u（x）<∞, 对于x>0和v（y）>-∞, 对于每y>0，即。

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大多数88

2022-5-31 11:45:39

，值函数的值是有限的。（ii）功能u和-v在（0，∞), 严格凹，严格递增，满足INDA条件（2.10）limx↓0u′（x）=∞, 石灰↓0- v′（y）=∞,林克斯→∞u′（x）=0，石灰→∞- v′（y）=0。（iii）对于每x>0和y>0，解bc（x）=（bc（x），bcm（x）到（2.5）和by（y）到（2.8）存在且唯一，如果y=u′（x），我们有最优性特征（2.11）bYt（y）（ω）=秀t、 ω，bct（x）（ω），bcmt（x）（ω）Sit（x）（ω），（dκ×P）-a.e.，i=1，m。和（2.12）^Yt（y）（ω）=U*x个t、 ω，mXi=1^cit（x）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，带U*xdenoting U的偏导数*关于第三个论点。（iv）对于每个x>0，约束x在（2.13）E“Z”的意义上具有约束力∞mXi=1bcit（x）SitbYt（y）ydκt#=x，其中y=u′（x）。（v）函数u和v是勒让德共轭的，即（2.14）v（y）=supx>0u（x）- xy型, y>0，u（x）=infy>0v（y）+xy, x>0。（vi）双值函数v可重新表示为（2.15）v（y）=infZ∈ZE公司Z∞V（t，ω，yZt（ω））dκt（ω）, y>0。备注2.5（关于（2.9）有效性的充分条件）。如果存在一个原始元素c，则条件（2.9）成立∈ A和一个双元素Y∈ 是这样的Z∞Ut、 ω，zct，zcmtdκt> -∞ 和EZ∞五、*（t，ω，zYt）dκt< ∞, z>0。特别是，对于每x>0，作为具有常量值的m维可选过程上午十点，上午十点属于A（x），是（2.9）中关于用途完整性的有效条件Z∞Ut、 ω，x？Am，上午十点dκt> -∞, x>0，多个商品的最佳消费7，如果U是非随机的，则通常成立。同样，Z 6= （根据（NUPBR）和[CCFM17，命题2.1]），如果对于一个等价的局部鞅deflicator Z，我们有Z∞五、*（t，ω，yZt）dκt< ∞, y>0.3。

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kedemingshi

2022-5-31 11:45:42

示例完整的市场解决方案和双重特征如果模型是完整的，最优消费政策的双重特征有一个特别好的形式，因为Z包含一个独特的元素Z。对应于双重p问题（2.8）中不同y的解决方案是yZ，y>0。因此，在（2.12）和（2.11）中，我们得到（y）=yZ，y>0。特例：添加剂效用*对应于相对于其空间分量具有加法形式的U，即，whenU（t，ω，c，…，cm）=U（t，ω，c）+···+Um（t，ω，cm），（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm,其中，对于每k=1，m、 UK是【Mos15，假设2.1】意义上的效用过程，是m=1的假设2.2意义上的效用过程。在这种情况下，对于every（t，ω）∈ [0，∞)×Ohm, U*（t，ω，·）由Uk（t，ω，·）的整数卷积给出，参见定义，例如，【Roc70，第34页】。设Vi（t，ω，·）表示Ui（t，ω，·）的凸共轭，i=1，m、然后U的凸共轭*（t，ω，·）是V*（t，ω，·）由V给出*（t，ω，·）=V（t，ω，·）+Vm（t，ω，·）。这一结果是在【Roc70，定理16.4，第145页】中建立的。在这种情况下，最佳bc（x）=（bc（x），bcm（x））通过Ii（t，ω，·）具有更明确的表征，Uix公司-1（t，ω，·），Ui（t，ω，·）关于第三参数的偏导数的点态逆e，如（2.11），可用于bci（x），i=1，m、如下（3.1）bcit（x）（ω）=Iit、 ω，bYt（y）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，i=1，m、使用（2.12），我们可以重述（3.1）asbcit（x）（ω）=Iit、 ω，U*x个t、 ω，bc*t（x）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，i=1，m、 bc所在地*（x）是对应于初始财富x>0的辅助问题（4.2）的优化器。备注3.1。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:45:46

在下面的三个示例中，我们考虑了一些不完整的模型，这些模型为一种产品采用了封闭的形式解决方案，并展示了这些结果如何应用于多个良好的环境。8 OLEKSII-MO-Stovyi不完全模型中封闭形式解的示例，具有可加性协整效用。假设d交易贴现资产采用Ito过程建模，其形式为（3.2）deSit=Esitbidt+eSitnXj=1σijtdWjt，i=1，d、 eS公司∈ Rd，其中W是Rn值标准布朗运动，bi，σij，i=1，d、 j=1，n、是可预测的过程，因此存在（3.2）的独特强大解决方案，参见[KS98]。假设有m种消费品，理性经济主体的价值函数由UPC给出∈A（x）E中兴通讯-νtlog（c…cm）dt, x>0（与（2.5）之后规定的约定相同），其中不耐烦率ν和耐烦时间范围T为正常数。注意，在这种情况下，κt=1-e-νtν，t∈ [0，T]，即κ是确定的。我们还假设存在一个Rd值过程γ，例如bt- σtσTtγt=0（dκ×P）- a、 e.设e表示Dol’eans Dade指数。然后，使用[GK00，定理3.1和示例4.2]和定理2.4，我们得到bc*t（x）=xν1- e-νTEZ·γTsdeSst、 x>0，bcit（x）=bc*t（x）SitM，i=1，m、 x>0，bYt（y）=yER·γTsdeSst、 y>0，t∈ [0，T]。不完全加性caseLet中的闭式解和对偶特征示例我们定义了一个过滤概率空间(Ohm, F、 P），其中（Ft）t≥0是二维布朗运动（W，W）产生的过滤增强。

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kedemingshi

2022-5-31 11:45:49

让我们假设有两种交易证券：一种是无风险资产B，例如Bt=ert，t>0，其中r是一个非负常数，另一种是动态测试=eStutdt+eStσtdWt，t≥ 0，eS∈ R+，其中过程u和σ为θt=ut-rσt，t≥ 0，风险过程的市场价格，遵循Ornstein-Uhlenbeck过程dθt=-λθ（θt-\'θ）dt+σθρdWt+p1- ρdWt, t型≥ 0，θ∈ R+，多种商品的最优消费9，其中λθ、σθ和‘θ为正常数，ρ∈ (-1，1）。我们还假设κ对应于终端财富的预期效用最大化，即κ=i[[T，∞[[，T∈ R+，即有m种消费品，其中Si，i=1，m、是确定性的，andU（T，ω，c，…，cm）=cpp+···+cpmp，（c，…，cm）∈ Rm+，ω∈ Ohm,其中p<0。让我们看看etq，p1- p、 A，mXi=1（SiT）-q、和B，A1-p、然后，通过直接计算，我们得到*（T，ω，x）=xppB，x>0。使用[KO96]中的参数，可以用（非线性）常微分方程组的解（见[KO96，p.147]）以封闭形式表示最优交易策略isbH（x），其中BHT（x）是时间t，t时投资组合中风险资产的股份数∈ [0，T]。Bx（x）s uch thatdbXt（x）=bHt（x）deSt+（bXt（x）-bHt（x）eSt）rdt，bX（x）=x，利用定理2.4，我们得到bc*T（x）=bXT（x），x>0，bYT（y）=yE卑诗省*T（1）p（不列颠哥伦比亚省*T（1））p-1，y>0，bciT（x）=bc*T（x）A（SiT）-（1+q），x>0。不完全非加性情形下的闭式解和对偶特征的示例在这里，我们将假设κ=I[[T，∞[[，其中T∈ R+，和letU（t，ω，c，c）=-cppcpp，p<0，p<0，即有两种消费品。可以看到U（t，ω，·）是联合凹的，因为-U（t，ω，·）是R++上的正定义。我们还将U（t，ω，·）扩展到r+的边界-∞.

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nandehutu2022

2022-5-31 11:45:54

然后，当p，p+p<0，U*由U提供*（t，ω，x）=xpp(-p） p-1个(-p） p-1个(-p） p-1（St）-p（St）-p、 x>0。让我们定义一下(-p） p-1个(-p） p-1个(-p） p-1（ST）-p（ST）-p、然后U（T，ω，x）=xppG（ω），x>0。假设Wand Ware两个布朗运动具有固定的相关性ρ，使得0<ρ<1。Let（Ft）t≥0be通常是对Wand Wand（Gt）t生成的过滤的增强≥0是美国对W产生的过滤的放大。我们还假设市场上有债券B和a股。它们的动力学由dest=eSt（utdt+σtdWt），eS给出∈ R、 10 OLEKSII MO STOVYIdBt=Btrtdt，B=1，其中漂移u、波动率σ和运动利率R有界，可逐步测量（Gt）t的过程∈ [0，T]，σ是严格正的。让我们假设STand STare是具有异序矩的可测随机变量。那么G也是GT可测的随机变量，具有所有阶矩（通过H¨older\'sinequality）和函数u的辅助值*（4.2）中的定义满足【Teh04】的设置。此外，作为u*（十）≥xppE[G]>-∞ 因为V（T，ω，·）是负值（因此，V（y）≤ 0），假设（2.9）成立。设λt，ut- rtσt，δ，1- p1级- p+ρp，dQdP，exp-ρp2（1- p） ZTλsds+ρp1- pZTλsdWs,Kt，p（1- p） λt+ρΔβtEQ[exp（RT（rs/δ）ds）| Ft]！，t型∈ [0，T]。然后，利用g[Teh04，命题3.4]和定理2.4，我们推导出bc*T（x）=x expZT公司r+Ksλs-堪萨斯州ds+ZTKsdWs, x>0，bYT（y）=yE卑诗省*T（1）p经验值ZT（p- （1）r+Ksλs-堪萨斯州ds+ZT（p- 1） KsdWs公司, y>0，bciT=bc*T（x）pipSiT，i=1，2，x>0，分别是（2.8），（4.2）和（2.5）的优化器。根据定理2.4，我们得出结论，对于每个x>0，bciT（x），i=1，2和byt（u′（x））通过（2.11）和（2.12）进行关联。4、证明从实用性过程的表征开始*定义见（2.7）。引理4.1。让U满足假设2.2和U*详见（2.7）。

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kedemingshi

2022-5-31 11:45:58

然后，U*在假设2.2的意义上，是m=1的阿尼达型效用过程，即u*满足条件：（1）对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 函数x 7→ U*（t，ω，x）是（0，∞),严格凹，严格递增。（2）对于每个（t，ω）∈ [0，∞ ) ×Ohm, 函数x 7→ U*（t，ω，x）连续可微分（0，∞) 并满足Inada条件Slimz↓0件*x（t，ω，z）=∞ 和limz↑∞U*x（t，ω，z）=0。（3）对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, z=0时，我们有*（t，ω，0）=limz↓0件*（t，ω，z）（注意，该值可能为-∞).（4）对于每个z≥ 0，随机过程U*（·，·，z）是可选的。多种商品的最佳消费证明。永远y（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 作为U*（t，ω，·）是凹函数U（t，ω，·）的近似三次线性变换下的图像函数，因此使用例如[HUL04，TheoremB.2.4.2]，可以表明*（t，ω，·）是凹的。为了显示U的严格凹度*（t，ω，·），可以如下进行。首先，对于一些正数x6=x，设ci=（ci，1，…，ci，m）为（4.1）mPk=1Sktci，k≤ 安度xi*（t，ω，xi）=U（t，ω，ci，1，…，ci，m），i=1，2。这种ci的存在源于U的定义中优化问题域的紧性*（t，ω，x）（对于每x>0）和U的上半连续性（t，ω，·）。自（4.1）起，Cinecessical satifies inequalitymPk=1Sktci，k≤ xi通过等式，i=1，2，从每个空间分量中U（t，ω，·）的严格单调性和x6=x，我们推导出c6=c。因此，从U（t，ω，·）的严格凹性，我们得到*t、 ω，x+x= sup（c，…，cm）∈Rm+：mPk=1ckSkt（ω）≤x+xU（t，ω，c，…，cm）≥ Ut、 ω，c1,1+c2,1，c1，m+c2，m>Ut、 ω，c1,1，c1，m+Ut、 ω，c2,1，c2，米=U*（t，ω，x）+U*（t，ω，x）。因此，U*（t，ω，·）是严格凹的。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:46:03

作为U*（t，ω，·）是递增的且严格凹的，它是严格递增的。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm 并且x>0，使用U（t，ω，·）的INDA条件，可以表明在第一个或第二个的内部存在（c，…，cm），使得mpi=1ciSit（ω）=x和U*（t，ω，x）=U（t，ω，c，…，cm）。因此，U*（t，ω，·）（在第三节中）源自U（t，ω，·）的可微性和图像函数的su B半径的一般性质，参见【HUL04，推论D.4.5.2】。作为U*（t，ω，·）是凹的和可微的，我们推断U*（t，ω，·）在其域的内部是连续可微的，参见【HUL04，定理D.6.2.4】。INDA条件f或U*（t，ω，·）遵循U（t，ω，·）的（版本）INDA条件和[HUL04，定理D.4.5.1，p.192]。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm , 由于U（t，ω，·）是一个闭凹函数，利用[Roc70，定理9.2，第75页]，我们得出*（t，ω，·）也是一个闭凹函数。特别是，我们*（t，ω，0）=limz↓0件*（t，ω，z），（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm.最后，对于每个x≥ 0，U*（·，·，x）是可选的，作为可数多个可选过程的上确界（其中，从U（t，ω，·）在其有效域的相对内部的连续性来看，需要注意的是，一般而言，线性变换下的闭凸或凹函数的图像不需要闭合，见[HUL04，p.97]中的讨论。12 OLEKSII MO STOVYIenough获得最高权力（在美国*（t，ω，·）），其分量仅取有理值）。备注4.2。引理4.1断言U*【Mos15】中的满意度2.1。对于每x>0，我们用A表示*（x）一维可选过程集c*, 其中存在一个Rd值可预测可积过程H，例如xt，x+ZtHudeSu-Ztc公司*udκu，t≥ 0，为非负，P-a.s。

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大多数88

2022-5-31 11:46:07

我们还定义了（4.2）u*（x），supc*∈A.*（x） E类Z∞U（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）, x>0。公约类似于（2.6）：EZ∞U*（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）, -∞, 如果EZ∞U*-（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）= ∞.定理2.4的证明。设x>0为固定值，c∈ A（x）。然后是c*t、 mPk=1cktSkt，t≥ 0，是一个可选进程，因此c*∈ A.*（x）。因此，（4.3）u*（十）≥ u（x）>-∞, x>0。自U起*满足引理4.1的断言，凸分析中的标准技术表明-五、*具有与U相同的属性*. 因此，优化问题（4.2）和（2.8）满足[Mos15，定理3.2]的假设。因此，【Mos15，定理3.2】适用，尤其是在u*v是有限值，并且对于每x>0，存在严格正的可选过程bc*（x），唯一的最大化器为（4.2）。让我们考虑一下（4.4）sup（x，…，xm）∈Rm+：mPk=1xkSkt（ω）≤卑诗省*t（x）（ω）Ut、 ω，x，xm公司, （t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm,并定义一封信函Д：[0，∞) ×Ohm RMA遵循Д（t，ω），（（x，…，xm）∈ Rm+：mXk=1xkSkt（ω）≤卑诗省*t（x）（ω））。从Sk的严格正性、正性和（dκ×P）-a.e.BC的不确定性*（x）（根据[Mos15，定理3.2]），我们推断出Д具有非空紧值（dκ×P）-a.e.让我们考虑由Дl（G），{（t，ω）定义的Д的下逆∈ [0，∞) ×Ohm : Д（t，ω）∩ G 6=} , G Rm。让我们也考虑形式a，[a，b]×······×[am，bm]的RMO的子集，这里ai和bi是实数。鉴于Д的可测量性较弱（见[AB06，定义18.1，第592页]），请注意，每（t，ω）的Rmis原点为Д（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm.多种商品的最佳消费13我们计划如何，考虑bi就足够了≥ 0，i=1，m、此外，设usset？ai=最大值（0，ai）。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:46:11

我们可以看到，对于这样的集合a，当νl（a）=Дl（[\'a，b]×·····×[\'am，bm]），我们得到了Дl（a）=（（t，ω）：mXi=1'aiSit（ω）≤卑诗省*t（x）（ω））。Asbc公司*（x）和Si是可选流程和sin ce^1l序号∈南安=序号∈Nхl（An）（见[AB06，第17.1节]，其中An是Rm的子集），我们推断出∈ O对于rm的每个op-en子集G，即ν是弱可测的。由于U是一个Carath'eod函数（见[AB06，定义4.50，第153页]），我们从[AB06，定理18.19，第605页]得出结论，存在一个可选的Rmvalued过程bct（x），t∈ [0，T]，对于（dκ×P）-a.e.（T，ω）（4.4）的最大值∈ [0，∞) ×Ohm .s uch a最大化子的唯一性源于U（t，ω，·）（对于每个（t，ω））的严格凹性∈[0，∞) ×Ohm). Asbc公司*（十）∈ A.*（x），我们推导出bc（x）∈ A（x）。将其与（4.3）相结合，我们得出结论，bc（x）是（2.5）的唯一最大化器（达到一个等价类）。对于x>0，设bcit（x），i=1，m、表示bct（x）的组件。AsmPi=1bcit（x）（ω）Sit（ω）=bc*t（ω），（dκ×P）-a.e.（此处的论点类似于（4.1）之后的讨论）关系（2.10），（2.12），（2.13）和（2.14）源自【Mos15，定理3.2】，而（2.15）源自【Mos15，定理3.3】（相当于【CCFM17，定理2.4】）。反过来，将（2.12）与[HUL04，定理D.4.5.1]相结合，我们得到byt（ω）=U*x个t、 ω，bc*t（x）（ω）=s（t，ω）∈ R:Sit（ω）s（t，ω）=秀t、 ω，bc（x）（ω），bcm（x）（ω）, i=1，m级（dκ×P）-即（2.11）成立。参考文献【AB06】C.D.Aliprantis和K.C.Border。有限维分析。Springer，2006年。第三版第3版。[Bre79]D.Breden。具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型。《金融经济学杂志》，7（3）：265–2961979。【CCFM17】H.Chau、A.Cosso、C.Fontana和O.Mostovyi。在无无无约束收益且风险有界的情况下，具有中间成本的最优投资。

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kedemingshi

2022-5-31 11:46:14

《应用概率杂志》，54（3）：710–7192017。【DS94】F.D elbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，300（1）：463–5201994年。【Fis75】S.Fisher。对指数债券的需求。《政治经济学杂志》，83（3）：509–5341975年。[GK00]T.Goll和J.Kallsen。对数效用的最优投资组合。随机过程及其应用，89（1）：31–482000。【HUL04】J-B.Hiriart Urruty和C.Lemar\'echal。凸分析基础。斯普林格，2004年。【AB06，定理18.19，第605页】给出了一个最大化子，它是一个可测多功能，从最大化子的唯一性来看，它是一个单值多功能，对于它，可测性的概念与函数的可测性相一致。14 OLEKSII MO STOVYI【Ina63】Ken Ichi Inada。关于经济增长的两部门模型：评论和概括。《经济研究回顾》，2（30）：119–1271963年。【Kar10】C.Kardaras。有限加性问题与资产定价的基本定理。InC.Chiarella和A.Novikov，《当代定量金融：纪念埃克哈德·普莱滕的论文》编辑，第19-34页。S普林格，柏林-海德堡，2010年。[Kar12]C.Kardaras。缺乏第一类套利的市场生存能力。《金融与随机》，16（4）：651–6672012。【Kar14】C.Kardaras。在此之前，内部人士不会承担风险。在Y.Kabanov、M.Rutkowski和T.Zariphopoulou的《金融启示录》中，编辑们，第349-362页。Springer，2014年。[KK07]I.Karatzas和K.Kardaras。半鞅金融模型中的计价组合。《金融与随机》，11（4）：447–4932007。Y.卡巴诺夫、C.卡达拉斯和S.宋。无第一类套利和局部鞅数。《金融与随机》，20:1097–11082016。[KO96]T.S.Kim和E.Omberg。动态非近视投资组合行为。

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kedemingshi

2022-5-31 11:46:18

《金融研究评论》，9（1）：141–1611996年。【KS98】I.Karatzas和S.Sh reve。布朗运动与随机微积分。斯普林格，1998年。[KS99]D.Kramkov和W.Schachermayer。不完全市场中效用函数的渐近弹性与最优投资。《应用概率年鉴》，9（3）：904–950，1999年。【Mer69】R.C.默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济和统计评论》，51（3）：247–2571969。【Mer09】R.C.默顿。连续时间财务。布莱克威尔出版社，2009年。[Mos15]O.Mostovyi。中间消费最优投资问题的充要条件。《金融与随机》，19（1）：135–1592015。【Mos17】O.莫斯托夫伊。具有中间消费和随机捐赠的最优投资。数学金融，27（1）：96–1142017。【Roc70】R.T.Rockafellar。凸分析。普林斯顿大学出版社，1970年。第十次印刷，1997年。【Sio15】P.Siorpaes。半静态市场中的最优投资与价格依赖。《金融与随机》，19（1）：161–1872015。【Sio16】P.Siorpaes。无套利价格是否来自效用最大化？《数学金融》，26（3）：602–6162016。[Teh04]M.Tehranchi。不完全市场中一些效用最大化问题的显式解。随机过程及其应用，114:109–125，2004。K.Takaoka和M.Schweizer。关于无无界利润和有界风险条件的注记。《金融与随机》，18（2）：393–4052014。Oleskii Mostovyi，美国康涅狄格大学数学系。电子邮件地址：oleksii。mostovyi@uconn.edu

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