相反，Sγ=10（ω）和γ=10（ω）都有指数α≈ 2，大于1，因此表示Vγ（γ=10，t）和Vγ（γ=10，t）的非平稳性行为-0.3-0.2-0.10.10.20.3（a）-0.6-0.30.6-30-30.30.150γ（d）-0.3-0.2-0.10.10.20.3（b）-0.9-0.6-0.30-0.30.60.9-30-30-30-30-60-150γ（e）-0.3-0.2-0.10.20.3（c）-0.6-0.30.6-30-30-30-150γ（f）图3。研究限价指令数量随时间变化的动态与价格变化之间的关系：（a）互相关函数Cor（v（t），Nγ（γ，t；k）t） ）美元/日元作为γ的函数，显示文本中用黑点线定义的临界深度γcde；（d） 互相关函数Cor（v（t），Vγ（γ，t；k）t） ）美元/日元作为γ的函数，其中临界深度γCI用黑色虚线表示；面板（b，e）与欧元/美元汇率的面板（a，b）相同。关于欧元/日元汇率，面板（c，f）与面板（a，b）相同。蓝色和红色圆圈对应于- 和+边。图4。金融布朗粒子（FBP）由大小为{x的黄色圆盘表示+- 十、-+x}/x、 ，被对应于时间t存在的不同限制订单的粒子流包围。（a）FBP和周围粒子的配置沿订单价格的水平位置x和计算粒子（订单）的纵轴N（x，t）表示。绿色的垂直虚线表示位置γ-C从世界上最好的价格- 一边橙色一表示γ+c的位置从+侧的最佳价格中选择x。黑色虚线显示FBP中心的位置x（t）。（b） 配置chan geN（x，t+t） 发生在t和d+t、 N（x，t+t） 给出了新的限价单数量作为价格x的函数。

γ面上新产生的粒子≥ 0和γ<0）以黑色和灰色表示。湮没顺序s以白色显示。向上和向下的彩色箭头表示每个范围内粒子数的增加和减少。（c） 新FBP位置和配置N（x，t+t） t+时周围粒子的由于最佳价格x的调整，t点彩色垂直线在t时（面板（a））已从之前的位置移动-（t） 和x+（t）。相应地，相互作用范围也被更新，从而改变了粒子的颜色-40-20-100-50 100fi（t；k）t） （a）-40-20-100-50 100fi（t；k）t） （b）-150-100-50-100-50-100fi（t；k）t） （c）图5。公式（15）的经验证据：（a）对于美元/日元，v（t；k）的散点图t） 作为fi（t；k）的函数t） ，k=20。中间值是蓝色圆点，误差条是四分位数。用最小二乘法估算虚线。（b） 与（a）外汇/美元相同。（c） 与（a）欧元/日元相同。（a） 1.381.41.42（b）（c）-2-13/1312:003/1400:003/1412:003/1500:003/1512:003/1600:003/1612:003/1700:003/1712:003/1800:003/1812:003/1900:00T（d）图6。FBP的位置x（T）与Knudsen numberKn（T）的时间演变，使用三个市场中的k=4和S=100作为日历时间T的函数。（a） 美元/日元，x（T）（红色）；（b） 欧元/美元，x（T）（绿色）；（c） 欧元/日元，x（T）（蓝色）；（d） Kn（T）表示与（a）、（b）和（c）中颜色代码相同的三种货币对。彩色虚线表示Kn的平均值。黑色虚线水平线显示了0.1.80.581.582.5（a）-2-13/1320:003/1400:003/1404:003/1408:003/1412:003/1416:003/1420:003/1500:00T（b）80.581.582.53/133/133/133/133/133/133/14（c）80.581.582/143/143/143/143/143/14（d）图7。

美元/日元汇率的典型时间演变和相应的克伦民族联盟数据编号：（a）汇率时间序列x（t）（FBP的位置）；红色在面板（c）中放大，蓝色在面板（d）中放大。（b） 与面板（a）所示时间序列对应的估计克努森数。（c） 放大了汇率x（t）的时间序列，对应于高于0.1的估计克努森数。（d） x（t）的放大时间序列，对应于远低于0.1的估计克努森数-3-2-1/ （<I+（t；k）t） >S+<I-（t；k）t） >S）（a）-2-1（b)0.10.20.30.40.520  40  60  80  100/ （<I+（t；k）t） >S+<I-（t；k）t） >S）（b）)图8。克努森数与内层粒子数的函数关系。（a） 平均努森数Kn（t；kt） 在对称情况下，使用表达式（20）作为平均数（hI+iS+hI）的函数进行估计-是两个侧面上的粒子的/2，S=100。我们使用与图6相同的颜色代码来表示三对货币：美元/日元（红色）、欧元/美元（绿色）、欧元/日元（蓝色）。（b） （a）中数据点的中位数和四分位数，以及表达式（23）（蓝色虚线）κ=0.72的最佳fit。（b） log p lot of（b）表示反向关系（23）-2-1（a）)0.10.20.30.40.520 40 80 100<I-（t；k）t） >S（a）)-2-1（b）)0.10.20.30.40.520 40 80 100<I+（t；k）t） >S（b）)图9。Knudsen数与内层粒子数的函数关系，分别为+和- 边：（a）千牛的中位数和四分位数-（t；k）t） 作为hI的函数-（t；k）t） 如图8所示，对于相同的三种货币对，为（S=100）。表达式（26）（虚线）的最佳fit为κ-= 0.69. （a） （a）的对数刻度说明了反向关系（26）。（b） 对于+侧，与（a）相同，κ+=0.71。

（b） 对数刻度为（b）。（a） -0.1-0.05 0.05 0.1λ-（t）-0.1-0.050.050.1-4-3-2-1-0.09-0.06-0.03θ（b）图10。（a） 粒子数λ变化率的联合直方图-内层的λ+表现出-0.58. （b） θ的累积分布定义为λ-< θ和λ+<θ同时出现。水平虚线显示了5%的置信水平，在θ=-0.044.（a） （a）（b）-2-1（c）-0.10.10.2115000 120000 125000 130000 135000吨（d）图11。2011年3月16日（GMT+0）美元兑日元汇率崩盘前后，Knudsen Number的时间动力学和内层粒子数的变化率。在水平轴上，时间以滴答时间的多个单位表示。（a） 美元/日元汇率的红色位置wh enλ+<θ0.05=-0.044，同时Kn+大于θKn=0.1。（b） 当λ-< θ0.05= -0.044和同时kN-大于θKn=0.1。对于时间t的给定值，这些变量的计算在相应的时间间隔[t，t]内进行- （S·k）- 1)t] ，k=2，S=100。（c） 非对称K-nudsen数Kn+（t；K）的时间依赖性t） （红色）和Kn-（t；k）t） （蓝色）用黑色水平虚线表示阈值θKn=0.1。（d） C对应速率λ+（t）（红色）和λ的时间依赖性-（t） （蓝色）颗粒在每一侧的变化，黑色水平虚线表示阈值水平θ0.05=-0.044.77.582.50 50000 150000吨（a）（b）（c）)（c）)（c）)124000 126000 128000吨（日）（丙）)（c）)（c）)110 100 1000 10000γ（c)（c）)（c）)图12。在图11中检测到的异常时间内的颗粒结构。（a） 美元/日元汇率x（t）（黑色）的整个时间序列，以及红色的金融崩溃。

（b） Timeseries x-（t） （蓝色）和x+（t）（红色）在面板（a）中以红色表示的时间间隔内。（c） ，（c）和（c）显示了在图12（b）所示的三个时间点，分别位于t=124000（c）、t=126000（c）和t=126803（c）时，以最佳价格计算的颗粒累积数量的曲线。Vγ（γ-, t） 以蓝色显示，Vγ（γ+，t）以红色显示。（d）C umu Lativen粒子数Vγ（γ-, t） （蓝色）和Vγ（γ+，t）（红色），以对数标度表示，作为限额指令簿中γ对数标度的函数。