财务努森数：连续价格动态和

2022-5-9 02:34:10

直到现在，对于美元/日元和欧元/美元汇率等大型流动性市场，我们还没有提出质疑。我们表明，当努森数如此之高，以至于离散粒子效应占主导地位时，存在区域性，例如在市场震荡和崩盘期间。我们记录了与高努森数和剧烈的方向性价格变化相关的买卖双方粒子消耗率的不平衡。该指标可以在早期检测价格运动的方向，而通常的波动性风险度量对价格方向是盲目的。I.简介平均自由程长度，也就是运动粒子在连续碰撞之间的平均移动距离，是描述流体特征的一个重要量[1]。在统计物理学中，尤其是在流体力学中，努森数[2–4]被定义为平均路径长度与代表性粒子长度标度的比率，用于确定系统是否可以在连续介质极限中描述，或者是否需要解释离散或粒子效应的描述。通常，当Knudsen数低于0.1时，流体可以用连续的数学方程很好地近似，因此在一个颗粒大小内发生大量碰撞，以消除任何离散性的影响。因此，对于小于0.1的努森数，通常使用纳维-斯托克斯方程，而对于大于1的努森数，则需要使用波尔兹曼方程，两者之间有复杂的转换。存在以高努森数为特征的长期存在的问题，包括通过低层大气的尘埃粒子运动、通过外大气层的卫星运动、微流体[5]和微机械系统。

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nandehutu2022

2022-5-9 02:34:13

这些“高努森数流体”具有低努森数流体所不具备的新特性，目前正在使用新仪器和理论方法对其进行研究[6-9]。在平均自由程的范围之外，粒子遵循随机路径，其中一大类称为布朗运动。后一个概念描述了液体介质中小物体的随机运动，Jan Ingenhousz在1784年观察酒精表面煤尘颗粒的不规则运动[10]时发现了这一点，植物学家R.Brown在1827年在显微镜下观察花粉粒时发现了这一点。爱因斯坦和斯莫卢乔夫斯基最终独立地阐明了这种现象的机制，解释了布朗粒子的随机运动是由于与嵌入流体粒子的不断碰撞，从理论上证明了物质的粒子性质[11,12]。这个想法是统计物理学的基本出发点之一，它将微观尺度和宏观尺度联系起来。在爱因斯坦提出随机游走理论的几年前，巴切利尔引入了随机游走模型来描述股票市场交易资产的价格动态[13]。事实上，由于所有交易者决策的汇总，交易资产的价格会不断地、随机地上下波动。随机游动的概念描述了积极和勤奋的投资者的聚集行为，这是一个重大突破，进一步发展为“有效市场假说”（见[14]的简短历史和观点），它构成了金融工程的基础[15]。金融学和物理学都是建立在随机游动理论和它们的许多概括上的，可以追溯到一百多年的相互交织的历史[14]。

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2022-5-9 02:34:17

然而，努森数在本质上的意义直到现在还没有阐明，这将是本文的主要内容。1963年，Mandelbrot证明了波动的规模（定义为给定时间间隔内的绝对价格变化）是非平稳的，价格变化的概率分布由幂律尾渐近描述[16]。这两处房产现在被认为是金融价格系列的基本类型化事实。基于与物理学中许多幂律分布的类比，这后来激发了统计物理学家的兴趣，利用大量可用数据进一步分析金融时间序列。最近，金融价格序列的几个新特性被记录下来，例如短期内价格变化的负自相关、价格的异常差异[17–19]、波动性的长自相关[20]、订单信号的长记忆过程[21,22]、以及，该属性隐含了当前考虑因素的基础，如金融多重现实[23,24]，以有限订单簿缺口为特征的大幅价格变化（价格之间不包含报价）[25]，自激霍克斯模型[26]充分体现的内生反馈机制的存在，提交订单引起的非线性价格变化[27–29]和订单排队动态的福克-普朗克描述[30]揭示了丰富的市场影响动态。在本文中，我们从交易者的微观角度分析金融市场[31–33]，我们关注外汇市场，即交易者可以通过与另一个交易者的交易将其货币兑换为另一种货币的地方。例如，在美元兑日元的货币市场上，我们把一个想把日元换成美元的交易者称为买方，把美元换成日元称为卖方。

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2022-5-9 02:34:19

每个交易者都可以采取两种可能的行动。第一种是提交一份市场订单，该订单在提交时立即以市场上的最佳价格执行。第二种可能的行动是限价订单，使买方能够以特定的价格和数量在市场上预订订单，如果他愿意，可以稍后取消。如果两个限价订单的价格相同，则以先到先得的方式成交。所有限价订单的汇总被称为订单簿，其中买方（bids）和卖方（ASK）的限价订单都放在价格轴上，而与每个限价相关的交易量则以二维图形表示，稍后显示。当市场指令或限价指令满足现有限价指令的需求/供应时，交易发生。订单簿中的价格和数量，以及由此产生的市场价格时间序列，是所有交易者决策过程的集合。详细描述订单流程的全部动态是一项具有挑战性的任务，可以从统计物理应用于金融市场的角度获益。最近，人们发现，著名的波动耗散定理（FDT）适用于订单簿[36]中有限阶曲线的平均动力学，该定理指出，处于平衡状态的系统对小作用力的响应与其对连续波动的响应相同[34,35]，提出了一种新的方法来更好地理解贸易商的决策过程。从订单簿中订单的位置来看，确实可以观察到交易者对价格变化的即时反应。

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2022-5-9 02:34:23

值得注意的是，交易者的订单可能在未来通过交易实现，其行为类似于实物流体分析中布朗粒子（其位置为中间价，定义为最佳出价和最低价的平均值）前面或后面的流体粒子。因此，FDT表达了中间价格波动与订单簿中不同位置的限价订单施加的有效阻力之间的显著关系。朗之万方程很好地描述了这些性质。这些结果为随机游走理论的概念基础及其在物理学和股市金融中对布朗粒子的推广提供了一座桥梁。自Bachelier认为无套利条件（在数学金融中称为鞅性质）和有效市场假设的可观察体现的结果以来，金融价格的随机游走模型一直存在。相比之下，我们的模型[36]根据分层有序液体中的金融布朗粒子和流动耗散定理的存在，提供了一种新的图景，其中随机价格行走就像液体中的粒子一样，是与不断抖动、出现和消失的有限阶数“碰撞”的结果。根据潜在的随机游走行为，解开膨胀现象的物理基础，可以对各种系统提供直观和更深入的理解[37,3,8]。在这里，我们使用这种对金融价格动态的新理解，来研究使用维纳过程（随机游动的连续极限）和随机演算对金融价格动态进行标准数学描述[39]的条件。

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nandehutu2022

2022-5-9 02:34:26

根据影响嵌入流体颗粒的极限顺序的基本离散性质，我们引入了一个财务克努森数，目的是测试财务连续数学模型的有效性[40]。在第2节中，我们将介绍外汇数据集的数据分析。在第3节中，我们介绍了市场的Knudsen编号。在第4节中，我们将历史时间序列中观察到的努森数与市场价格呈现弹道式运动的时期联系起来。第5节结束。二、极限订单动态的初步分析我们分析了EBS（ICAP）提供的现货外汇市场数据数据库，该公司被称为主要面向银行间交易商的最大外汇市场之一。它包括2011年3月14日开始的一周内美元/日元、欧元/美元和欧元/日元的订单信息。在数据中，每毫秒记录一次订单，美元/日元和欧元/日元的最低价格单位固定为0.01[日元]，欧元/美元的最低价格单位固定为0.00001[美元]。在下文中，最低价格单位表示为：x（因此美元/日元和欧元/日元x=0.001[JPY]，x=0.00001[美元]兑换欧元/美元。）为了分析财务时间序列，我们使用事件时间而不是日历时间。事件时间在事务发生后计算。在第k个事务之后，事件timet因此是kt（k=1，2，…），哪里t是两次连续传输之间的平均等待时间。A.数据分析变量的定义现在让我们介绍相关变量的定义。在时间t（=kt），价格a xis x上的限价订单数量由N（x，t）给出(≥ 0).

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2022-5-9 02:34:29

N（x）的最小值和单位为100万美元（美元/日元），表示为n（100万欧元，欧元/日元/欧元/美元）。我们在正（+）面表示最佳价格，即订单中的最低售价，如x+（t），在负（+）面表示最佳价格(-) 侧面，如x-（t）最高购买价格，市场价格定义为中间价格x（t）≡ {x+（t）+x-（t） /2。（1）在时间间隔内- t、价格的速度（即单位时间内的价格变化）定义为asv（t）≡ {x（t）- x（t）- t） }/t、（2）引入市场深度来描述限价单相对于其最佳价格的位置。在时间t，在j（=+/-) 侧面，极限指令的位置x表示为Qj（t）。特定限价指令的市场深度γ（Qj，t）与t次t的最佳价格有关- t定义为γ（Qj，t）≡ 符号（j）Qj（t）- xj（t）- （t）十、, （3）其中，深度被计算为最小单位的倍数x、和号（+）=1和号(-) = -1.在不需要显示位置x和时间t的情况下，γ（Qj，t）被简单地描述为γ，当我们需要指定侧面j时，γ被显示为γj- 需要等式（3）中的边来确定市场的深度。深度γ处的极限阶数用Nγ（γ，t）表示。接下来，沿市场轴深度从0到γ的订单累积量定义为asVγ（γ，t）≡γXγ′=0Nγ（γ′，t）。（4）最后，我们考虑了深度γ沿市场轴线的极限订单配置的变化。在时间间隔内- t、 t]，在位置QJI处，j侧的限额订单变更数量定义为：Nγ（γ（Qj，t），t）≡ N（Qj，t）- N（Qj，t）- t）（5）其中l.h.s.中的Nγ由γ和Qj之间的关系式（3）得出。类似地，累计限额订单数量的变化（直至γ）由Vγ（γ（Qj，t），t）≡γXγ′=0Nγ（γ′，t）。

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能者818

2022-5-9 02:34:32

（6）图1解释了上述变量。在图1（a）中，在时间t（=kt），订单簿的结构沿水平轴x和垂直轴N（x，t）绘制。蓝色和红色的圆圈代表订单中的限额- 一边和另一边。蓝色和红色的点线代表该区域的限额订单边界- 边和+边，也就是x-（t）在图1（b）中，订单的配置沿水平轴γ和垂直轴Nγ（γ，t）绘制。因此，图1（b）是从图1（a）中通过将水平轴从价格x改变为市场深度γ而得出的。水平轴下方显示的数字是每个位置的γ值。在图1（c）中，配置att+t显示在水平轴γ和垂直轴Nγ（γ，t+t）。黑色和灰色圆圈代表时间间隔[t，t+t] 。白色圆圈表示已取消或执行的限额订单。黑色和灰色圆圈对应γ≥ 0和γ<0。在图1（d）中，t和t+之间订单簿的配置变化t显示在水平轴γ和垂直轴上Nγ（γ，t）。图1（b）和（c）中沿水平轴γ显示的极限顺序的变化，在每个深度γ处以圆形颜色编码。γ处的灰色圆圈=-1在图1（c）中，（d）需要一些解释。这个负γ对应于一个价格位置Q-= 十、-（t） +t+xt在时间t的最佳出价和最佳购买订单确定的之前区间内。时间t+的新订单出现t corr对应于N（Q）的关系-, t） =0，N（Q）-, t+t） =1和Nγ（γ（Q-, t），t）=1。而新阶γ（Q）的深度-, t）由γ（Q）给出-, （t）=-{（x）-（t） +十）- 十、-（t） }/x=-1根据定义式（3），在时间t+时测量为γ=0T

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2022-5-9 02:34:35

一般来说，当γ（Qj，t）<0时，新注入的极限顺序对j=+放低，对j=- 在相应的竞价区域中，价格高于之前的最佳价格。B.累积极限阶的性质s作为深度的函数，研究累积极限阶的一些性质，直到深度γ，Vγ（γj，t）由等式（4）定义，在两侧j=+和-. 图2（a）显示了vγ（γ+，t）的时间演化（其中t（=nt））表示γ=0、10、10（分别为红色、绿色和蓝色）。虽然时间序列f或γ=0有许多脉冲状峰值，但γ=10和10的峰值似乎表现得像随机游走者。为了判断这些时间序列的平稳性，研究了这些时间序列的功率谱。在图2（b）中，功率谱以对数刻度显示（颜色代码与图2（a）中相同）。用幂律S（ω）逼近给定的谱~ 1/ωα，回想一下，在小ω（大倍）范围内大于1的值α诊断为非平稳性。对于γ=0，我们观察到α接近于0，相应的时间序列可视为平稳的。相反，对于γ=10和10，α≈ 2.信号处理类似于随机游动的非平稳时间序列。这种非平稳性意味着，作为深度函数的平均极限阶结构是没有意义的。深度γ=0时的限价订单数量是固定的，这意味着以最佳买入价和卖出价下的限价订单可以具有明确的分布和时间依赖性结构。

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2022-5-9 02:34:39

相比之下，大深度极限阶的累积数量遵循类似于随机游动的动力学，并且是非平稳的，这一事实意味着第一个近似值是阶数作为随机加法，取消和执行没有明显的聚合策略，以防止totalorder book累积订单，就像做市商试图管理和限制其库存规模的策略一样。尽管如图2（b）所示，限制指令累积数（等式（4））的时间序列是非平稳的，但我们检查了等式定义的增量。（5）（6）在弱意义上是静态的（一阶矩和自方差不随时间变化）。这使我们能够研究在给定的时间间隔内，由于γ深度的新注入、取消和执行的订单相对于价格变化而导致的限额订单的配置变化。让我们用cor（A（t；k）定义两个变量A（t）和b（t）之间的粗粒度互相关函数t），B（t；k）t） )≡σAσBh（A（t；k）（t）- hAi）（B（t；k）（t）- hBi）i，（7）其中hAi和σ表示变量a的平均值和标准偏差（变量B也是如此），以及a（t；k）t）由a（t；k）给出（t）≡kXs=0ktA（t+s）t）。（8）其中s和k是整数。在时间尺度k上执行的反向颗粒化操作（8）t使人们能够在很短的时间尺度上消除锯齿形和噪声行为，以提取稳健的大规模相关系数（7）。

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2022-5-9 02:34:43

注意A（t+k）TKt） A（t；k）之后t）因为我们不使用相同的数据点来估计两个粗颗粒变量。替换v（t；k）t）及Nγ（γj，t；k）t）为了（t；k）t）和B（t；k）t）在式（7）中，价格变化和深度γ处有限订单数量变化之间的交叉相关系数如图3（a、b、c）所示（a:USD/JPY，b:EUR/USD，c:EUR/JPY）。蓝色和红色的圆圈指向- 和+边。对于这三个市场，我们观察到限价单的配置变化与价格变化的相关性有一个共同的函数形式。特别是，互相关函数在某些临界值γcde处改变符号，定义如下：γ+c≡ Inf{γ>0:Cor（v（t），Nγ（γ，t））<0，Cor（v（t），Nγ（γ+1，t））>0}（9）γ-C≡ Inf{γ>0:Cor（v（t），Nγ（γ，t））>0，Cor（v（t），Nγ（γ+1，t））<0}。（10）图3（a，b，c）显示γ+c和γ-注意本质上不可区分，确认购买中限制订单簿结构的对称性- 边卖边卖。替换v（t；k）t） ,，Vγ（γj，t；k）t）为了（t；k）t）和B（t；k）t）在等式（7）中，图3（d，e，f）显示了Vγ（γj，t；k）t）和v（t；k）t），其中蓝色和红色对应- 和+方（d:USD/JPY，e:EUR/USD，f:EUR/JPY）。我们可以观察到这些相关函数的最大值Cor（v（t；kt） ,，Vγ（γj，t；k）t））发生在之前定义的临界值γ+，-c（9,10）。因此，确定CO（v（t；k）的峰值t） ,，Vγ（γj，t；k）t））为γ+，的数值模拟提供了一种方便而可靠的方法，-cfrom the data:γjc=sup{γj>0:|Cor（v（t；kt） ,，Vγ（γj，t；k）t））|}。

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2022-5-9 02:34:46

（11）图3（d，e，f）中的垂直线显示了γ共获得的f r om（1）的位置：（γ-c、 γ+c）=（18,18）美元/日元（γ-c、 γ+c）=（17,18）欧元/美元（γ）-c、 γ+c）=（22,24）欧元/日元，其中k等于20。这些结果量化了价格增量和限制指令数量变化之间的相关性，作为深度的函数，表达了一种跟随交易者行为的集体趋势。随着价格上涨，他们倾向于以略高于最佳出价的价格重新报价限价订单。三、 KNUDSEN金融市场编号a。金融布朗粒子在之前的著作中已经提到了一个类比，一方面是订单配置和演化，另一方面是相互作用的粒子流。特别是裁判。[41–44]注意物理和金融[14]之间的相似性，即物理中的nParticle碰撞和o r book中记录的交易之间的相似性。在Bak等人的观点[42]中，顺序是粒子，事务是碰撞。在Challet和Stinchcombe的观点[43]中，订单是粒子，提交限制订单是粒子沉积，取消限制订单代表蒸发，交易对应于粒子湮灭。参考文献[36]将此类定性类比推到了定量水平。我们介绍了金融市场订单簿动态的描述，即嵌入在流入、流出和湮灭粒子流中的布朗粒子，如图所示。4.金融布朗粒子（FBP）由黄色圆盘表示，由与时间t存在的不同极限顺序相对应的粒子流体包围。用绿色和橙色着色的垂直虚线表示位置γc从世界上最好的价格- 和+边。射程x--γ-C十、≤ 十、≤ x++γ+cx被称为内部。

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nandehutu2022

2022-5-9 02:34:49

范围x>x++γ+cx、 x<x--γ-Cx被称为外层。间隔x+≤ 十、≤ x++γ+cx a ndx-- γ-C十、≤ 十、≤ 十、-被称为“相互作用范围”，在此范围内，FBP与其周围的粒子相互作用。黄色圆圈描绘了金融布朗粒子所占据的空间，其大小为{x+- 十、-}/x、图4（b）显示了t和t之间发生的构型变化+t、旁边新创建的物品≥ 0和γ<0）用黑色和灰色表示。湮没顺序显示为白色。向上和向下的彩色箭头表示每个范围内车辆数量的增加和减少，这得到前面图3所示统计分析的支持。图4（c）显示了新的FBP位置和周围颗粒的配置，特别是与x+或x+位置变化相关的市场深度γ的更新-从t到t+t、在分层订单流体模型[36]中的金融布朗粒子中，正相关系数Cor（v（t；kt） ,，Nγ（γj，t；k）t））如图3（a，b，c）（a:USD/JPY，b:EUR/USD，c:EUR/JPY）所示，γ<γ-c（黑色虚线左侧的蓝色曲线）被解释为是由将价格推向+侧的力造成的。对称地，负相关Cor（v（t；kt） ,，Nγ（γj，t；k）t））对于γ<γ+c（黑色虚线左侧的红色曲线），被解释为从一个推动价格的力产生的结果- 一边Cor（v（t；k）符号的变化t） ,，Nγ（γj，t；k）t））当γ穿过γ+，-C对应于限价指令变化所施加的力的逆转，该力对价格变化方向起阻力作用。B

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2022-5-9 02:34:52

平均自由程的定义利用上述FBP的理论，我们现在将粒子数的变化与FBP的运动联系起来，FBP的运动由其速度v（t）表示。由新产生的粒子引起的属于内层的粒子数量变化记为ci（t）（>0），由新湮灭的粒子引起的变化记为ai（t）（>0）。内层颗粒数量的变化fji（t）（因此j侧的指数i）定义为fji（t）≡γjcXγ=0Nγ（γj，t）（12）≡ cji（t）- 阿吉（t）。（13）在图4中，c-i（t）对应于绿色内层的部分。c+i（t）对应于橙色内层的粒子。这些添加的颗粒由黑色特殊标识。如图4所示，a-i（t）和a+i（t）对应于内层绿色和橙色颗粒中被去除的颗粒。这些去除的微粒在内圈以白色表示。那么，fji（t）是来自tto t+的粒子的总流量t、如图3（d，e，f）所示，fji（t）和v（t）之间的互相关系数取最大可能（绝对）值，而v（t）和粒子数变化之间的相关性将被计算为与γc不同的值γ。事实上，与v（t）具有最高互相关系数的变量fi（t）是从fji（t）推导出来的，其中j=+，- （12） asfi（t）≡ F-i（t）- f+i（t）。（14）优化ansatzαf的系数α和β-i（t）+βf+i（t）最大化与v（t）的相关性得到的结果在统计学上并不明显优于表达式（14）（对应于α=-β = 1).使用公式（8），我们接下来研究粗粒度变量SFi（t；k）之间的关系t）和v（t；k）t）。

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2022-5-9 02:34:55

图5（a，b，c）显示了这些变量之间存在明确的线性关系，可以用v（t；k）表示t） =L（t；k）t） fi（t；k）t） +η（t；k）t）（15）式中η（t；k）t）包含独立的噪声项。这里，我们使用k=20。斯洛佩尔（t；k）t）回归系数的含义是以单位计量的运输系数[x/n] 。在嵌入进、出和湮灭粒子流体中的布朗粒子的物理图像中，L可以解释为订单流体中FBP的平均自由程。实际上，在分子动力学中，平均自由粒子数、碰撞时间τ和短时间“弹道”速度v（碰撞之间）由公式[45]v=Lτ关联。（16）因为有fi（t；k）t）持续时间为k的时间间隔内的碰撞t、通过对持续时间k的时间间隔进行平均得到t）（8），典型碰撞时间（即两次碰撞之间的时间）为τ=ktfi（t；k）t）。（17）当以k为单位计算时间时，将（17）放入（16）中得到表达式（15）（不含剩余项）t、估计L（t；k）t）从图5（a，b，c）所示的回归中，我们分别得到l（t；k）t） =0.38,0.34,1.49美元/日元，欧元/美元，欧元/日元。因此，平均自由路径取决于市场。正如我们将在下面展示的，金融市场往往表现出不对称行为。这促使我们将（15）归纳为+和的两种不同的线性关系- 侧面：vj（t；k）t） =Lj（t；k）t） fji（t；k）t） +ηj（t；k）t），（18）其中j为+或-.C.K nudsen数的定义所有金融市场都以离散的价格增量为特征x和时间戳（对应于我们外汇数据的最小精度时间0.001秒）。因此，问题在于，关于连续随机过程[40]的标准财务数学公式是否成立，以及在什么条件下成立。

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2022-5-9 02:34:58

考虑到流体是由离散分子构成的这一事实，在物理学中，关于流体动力学的连续Navier-Stokes方程的应用条件也经常出现类似的问题。在物理学中，这个问题是通过引入Knudsennumber Kn来解决的，Knudsennumber Kn被定义为流体粒子的平均自由粒子数与特征分子尺度的比值。当Kn充分小于1时，连续极限是动力学的良好近似值。类似地，我们对分层订单簿中金融布朗粒子的模型也提供了定义和估计相应Knudsen数的可能性，该数是给定市场的特征。因此，我们首次获得了解决量化问题的新可能性，即使用连续随机过程来模拟金融价格动态是否合理。我们引入了平均自由路径Ljin表达式（18）。作为特征标度，使用代表性长度标度γjc来表征相互作用范围是很自然的，如图F-ig所示。(4). 然后，考虑到可能的不对称情况，给定金融市场的Knudsen数Kn由KNJ定义~Ljγjc。（19）财务努森数的对称形式由KN表示~L+γ+c+L-γ-C. （20）对于它的经验确定，我们估计了L（t；k）t）在时间窗口[t]中使用最小二乘法- （S·k）- 1)t、 t]，其中包含S点。反过来，我们发现特征标度γcis随时间变化是稳定的，因此我们可以根据图3（d，e，f）中解释的程序在整个周期内使用单个值。图5（a，b，c）显示了平均自由程L（t）的平均值，但这并不意味着L（t）是常数。我们发现事实上L（t；kt）在较短的时间内（涉及S数据），p点取决于时间，因此Kn（t；k）t）成为一个时间相关变量。D

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能者818

2022-5-9 02:35:02

连续时间形式主义有效性的条件：Kn（t；k）t） <θKnFig。图6显示了FBP位置x（T）的时间演变，以及如上所述使用k=4和S=100在三个市场中估算的Knudsennumber Kn（T），作为日历时间T的函数。我们使用日历时间来比较交易不总是同时发生的市场。三种货币分别为美元/日元、欧元/美元和欧元/日元。每个货币对的x（t）和Kn（t）使用相同的色码。图6（d）中的水平直线对应于所示时间段内努森数的平均水平hKn（T）i。对于美元/日元、欧元/美元、欧元/日元，K努森数的平均值分别为{0.046、0.039、0.14}。黑色虚线水平线表示0.1级，这是通常认为有效的连续极限以下的典型阈值。因此，第一个结论是，对于美元/日元和欧元/美元货币对来说，持续限额似乎总体上足够了，但对于欧元/日元货币对来说，则更值得怀疑。对于欧元/日元对，这是因为，FBP（中间价格值）的位置在少量粒子（限制指令）的影响下发生变化，这使得离散性相关。但即使是美元/日元和欧元/美元对，人们也可以观察到，Kn（t）j的涨势有时会出现，表明对价格动态的持续描述变得不正确。考虑图7，比较面板（a）中美元/日元汇率x（t）（FBP的位置）和面板（b）中克努森数的时间序列。该时间段包括一个价格波动较大且努森数高于0.1阈值的制度（用红色表示），以及另一个价格波动较小且努森数远低于0.1阈值的绿色制度。

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2022-5-9 02:35:05

图7（c，d）放大了这两个时期x（t）的动力学。E.平均自由程和粒子密度之间的关系我们现在根据经验证明，当相互作用范围内的粒子数（极限阶数）很小时，就会出现高努森数，这与连续近似分解的物理解释一致。j侧内层粒子总数Ij（t）由Ij（t）=γjcXγ′j=0Nγ（γ′j，t）给出。（21）我们在S个数据点上平均Ij（t），hIj（t；k）t） iS=S·k-1Xt′=0S·ktIj（t）- t′t） kt、（22）其中t′是整数索引。我们还将在以后的其他变量中使用S过去时间瞬间的时间平均值。F IG。8（a）证明Knudsen数Kn与平均粒子数成反比（hI+is+hI）-S=100个数据点上两侧平均的iS）/2，Kn（t；k（t）~ 2κhI+（t；k）t）你好-（t；k）t）是}-1、（23）对于三种货币对（美元/日元、欧元/美元和欧元/日元）。在表达式（23）中，我们使用表达式（20）表示Kn（t；kt）在对称情况下，因此平均数（hI+为+hI-是两个面上的粒子数。我们用最小二乘法估计κ=0.72。给定一个阈值θKn（通常设置为0.1），超过该阈值，连续近似被视为不可靠，离散效应开始变得重要，那么连续近似的有效性条件Kn（t；k）t） <θKn（24）转化为（hI+（t；kt）你好-（t；k）t） iS）>κ/θKn，（25），即每侧内层的平均颗粒数应至少为κ/θKn=7.2（对于θKn=0.1）。综合两个方面，这意味着至少14个粒子应该存在于内层，以保持连续近似。我们注意到，参考文献[46]发现，股票在最佳报价时的平均限价订单数量与价格变化之间存在类似的关系。

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2022-5-9 02:35:08

实际上，表达式（15）和（23）意味着v（t；k（t）~ （hI+（t；k）t）你好-（t；k）t）是}）-1.关系式（23）可以概括为包括不对称情况，如下所示：（t）~κjhIj（t；k）t）是的。（26）图9显示等式（26）适用于+和- κ+=0.71和κ-= 0.69，表现出几乎对称的行为。将（19）和（26）产量相加（t）~ κj嗨（t；k）t）是γc吗-1.（27）变量hIj（t；k）t） iS/γcis是内层粒子数与该层大小的比值。因此，它是内层粒子的（线性）密度ρo。因此，方程式（27）写道，方程式（15）中定义的平均自由程与粒子密度成反比，这正是流体动力学理论[45]所期望的。回想一下推导这种反向关系的简单参数。在长度和横截面为σ的圆柱体中，有ρLσ部分。通过定义，如果碰撞的横截面为σ，则平均自由程L表示有一个粒子要碰撞。因此，L由ρLσ确定~ 1，这导致了L~ 1/ρσ，其形式与（27）相同，ρ与hIj（t；k）的Heidentificationt） iS/γc。这进一步证实了极限阶流体中金融布朗粒子模型的有效性。此外，系数κjc可以解释为FBP与其周围极限阶粒子碰撞的反截面。把所有这些放在一起，公式（18）可以推广到给出j侧速度asvj（t；k）的依赖关系t） =γjc·κjhIji（t；k）t） iS·fji（t；k）t） +ηj（t；k）t）式中ηj（t；k）t）这是随机噪音。式（28）应力：内层J侧的FBP速度与内层该侧的分子数成反比。

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能者818

2022-5-9 02:35:12

这个表达式捕捉到的结果是，当FBP两侧的粒子数发生不对称变化时，总速度，{v+（t；kt） +v-（t；k）t） }/2将采用非对称值，从而导致定向运动。在下一节中，我们将记录此类不对称市场状态的示例。四、不对称粒子耗尽率、努森数准则和FBPA的大速度。不对称粒子分布率表达式（28）的推广（这也使关系（15）更精确）可以解释+和+上的不对称粒子分布- 两边的读数在平均值hv（t；k）上t） iS={hv-（t；k）t） iS+hv+（t；k）t）是}≈γ-c·κ-你好-i（t；k）t） iShf-i（t；k）t）是吗-γ+c·κ+hI+i（t；k）t） iShf+i（t；k）t）是吗, （29）其中γjc和κjare对于j=+和j=-. 剩余项ηjis为平均值。让我们考虑一下当速度v-取一个正值，由完全耗尽内层粒子数的事务或取消引起。我们想量化清除内层粒子数量所需的平均速度。为此，我们测量变化率hfji（t；kt） i将内层粒子数的单位时间乘以总平均数hIji（t；k）t）内层中的iSof颗粒，均位于j侧λj（t；k（t）≡hfji（t；k）t）石井（t；k）t）是的。（30）与表达式（28）和（29）相比，可以看出λj（t；k）t）与j侧的时间平均速度成正比，直到常数参数γjc和κj。通过定义，λj（t；kt）是j侧内层中粒子数量的变化率。在连续极限下，这转换为int-oIdIdt=λ。对于λ<0的情况，用ln 2/|λ|滴答声将内层的粒子数减半。当某一价格水平的商品数量完全耗尽时，价格会跳到下一个水平。

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2022-5-9 02:35:15

发生这种情况的典型时间尺度是~ 1/λj（t；k）t）。图10显示了λ的二维联合概率密度分布-λ+。近似椭圆形状符合二元高斯分布，具有负互相关-通过椭圆长轴沿反对角线的倾斜可以看到0.58。这意味着λ-λ+倾向于使用相反的符号。当粒子堆积在一边时，它们往往会在另一边消失。这体现了购买订单和取消订单的暂时主导地位。由于两侧的变化率不平衡，经常出现FBP的不对称方向运动，这是由两侧的克努森数变化的不对称性引起的。由于大的对称损耗率（λ的不平衡-λ+通常会导致强烈的定向价格波动，量化这种情况发生的频率很有用。作为基准，图10（b）显示了θ的累积分布，定义为所有时刻的总和，其中λ和-< θ和λ+<θ同时出现。我们发现，在5%的时间序列中，λ-λ+小于θ0.05=-0.044. 在这种速度下，粒子数在大约6.8个滴答声（平均10.9秒）内衰减2倍。然而，当λ-< θo或λ+<θ，但并非两者都在一起，表示一侧存在强烈的不对称粒子耗尽。B.非对称颗粒损耗率和努森数的联合条件为了检测异常市场区域，根据图10（a）中记录的负相关系数，我们预计损耗率通常一侧较高，另一侧较低或平均。图11（a）显示了当λ+<θ0.05=-0.044.

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2022-5-9 02:35:18

图11（b）说明了这一点，以及当λ-< θ0.05= -0.044和同时Kn+（分别为Kn-) 大于θKn=0.1。在该分析中，上述条件在时间t被认为对相应时间间隔[t，t]内的分析有效- （S·k）- 1)t] ，k=2，S=100。图11（c）显示了不对称Knudsen数Kn+和Kn的时间依赖性-黑色水平虚线表示阈值水平θKn=0.1。图11（d）显示了相应的速率λ+（t）和λ的时间依赖性-（t）粒子在每一侧的变化。在t=125,00左右，美元/日元汇率剧烈下跌。在今年秋天之前，伴随着全球范围内极低的锗消耗率- 边（λ）-<-0.044），如图11（b）中青色线的存在以及Knudsen数Kn+和Kn的大幅增加所示-如图11（c）所示。这表明，内层中的部分粒子数由于交换和消去的增加而减少。λ-（青色）变为负值，通常低于阈值θ0.05=-0.044，而λ+（红色）仍为正值，表明内层粒子数的耗尽速度出现了强烈的不平衡，有利于- 一边t=127000后，美元/日元汇率反弹，在+端（λ+<-0.044），如图11（b）中的红线所示，t=127000。图12显示了在图11中检测到的异常时间内的颗粒结构。图12（a）显示了美元/日元汇率x（t）（黑色）的整个时间序列以及红色的汇率崩盘。图12（b）绘制了时间序列x-（t）（蓝色）和x+（t）（红色）在面板（a）中以红色表示的时间间隔内。

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2022-5-9 02:35:21

图12（c）、（c）和（c）显示了在图12（b）所示的三个时间点，分别位于t=124000（c）、t=126000（c）和t=126803（c）时，以最佳价格计算的颗粒数量的结果。我们分别用蓝色表示j=- 红色表示j=+。图12（d）显示了粒子的累积数Vγ（γ-, t）（蓝色）和Vγ（γ+，t）（红色）作为γ的函数，在有限订单中。当t=12400 0（c）时，当汇率开始下降时，FBP前面的一堆粒子对向下移动产生了阻力。在汇率下降期间，集中在特定时间t=126000（c）时，表面上的粒子数- 在时间t=124000（c）时，side的价格下降至约1/8，反映了向下的d价格运动- 堆积在侧面的颗粒导致了- 一边最后，在时间t=126803（c）时，表面上的粒子数- 一方完全消失了。换句话说，市场上没有交易者-一边表面上分子的总数- 图12（d）中所示的和+面，作为限制订单簿中深度的函数，表明- 在飞机坠毁及其爆炸期间，侧面对数刻度保持大致相同。这证实了颗粒数量的变化对崩盘期间的价格信息有很大影响。从理论上讲，克努森数- 侧边在底部t=126803（c）处完整。这是一种非常罕见的情况，市场上没有美元买家，也没有人可以再出售美元。市场功能的暂停发生在一个工作小时的中间。

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2022-5-9 02:35:25

上述分析表明，Knudsen数的高值和内层两侧粒子数变化的不对称特性的发展可以在早期检测到这种特殊事件。V.结论从金融市场订单簿的动力学描述开始，我们将布朗粒子嵌入到流入、流出和湮灭粒子的流体中[36]，通过独立地给出每一个侧面（买入和卖出）的速度模型，对该模型进行了推广。改进后的模型基于内层粒子的时间平均数III及其每单位时间的变化（指数i代表“内层”）。内层是由颗粒分层的特定固体属性定义的，其作为订单簿深度的函数，由价格速度和颗粒数量变化之间的相关性揭示。这使我们得以引入金融布朗粒子（FBP）运动的努森数及其对称形式（在买卖双方）。以前没有考虑过，不对称的努森数在金融中至关重要，以便检测不对称的价格变化。我们甚至发现了罕见的区域，当没有粒子站在一侧时，因此相应的不对称Knudsen数原则上是有限的，如图12所示。这种情况与一种异常的市场机制有关，比如金融崩溃，在这种情况下，市场停止运行。通过测量Knudsen数，我们已经证明，可以通过连续随机过程来描述市场动态的条件。

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2022-5-9 02:35:28

尽管连续体公式通常毫无疑问地适用于美元/日元和欧元/美元汇率等大型流动性市场，但我们已经证明，当克努森数如此之高，以至于离散粒子效应占主导地位时，存在一些机制，例如在市场压力和崩盘期间。此外，我们发现，欧元/日元市场在大部分时间都以相当大的努森数运行，因此应修改连续公式。我们还发现Knudsen数与内层粒子数（极限阶数）成反比。这确定了连续配方分解的条件，即当颗粒数量太小，无法确定局部平均行为时。事实上，小数量的粒子以大的努森数转换，也就是说，平均自由程比典型的粒子尺寸大。如果可以观察到，内层的限价指令数量可以很好地指示金融市场的稳定性和方向性运动。最后，我们记录了买卖双方粒子数量消耗率的不平衡，明显出现了与剧烈的方向性价格变化相关的高努森数。这个指标比大众对称性更有用。有了这些指标，我们可以在即时阶段检测价格运动的方向，而波动性对价格方向是盲目的。[1] S.Chapman和T.Cowling，《非均匀气体的数学理论》，非均匀气体的数学理论（剑桥大学出版社，1990年）。[2] 克努森先生，安。菲斯。（莱比锡）28、75（1909）。[3] E.Cussler，Diffusion:流体系统中的传质，剑桥化学工程系列（剑桥大学出版社，1997年）。[4] J.T.帕丁和A.A.路易斯，物理系。牧师。E 74031402（2006）。[5] T.Niimi，H。

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2022-5-9 02:35:31

Mori，H.Yamaguchi，an d Y.Matsuda，新兴多学科流体科学杂志1213（2009）。[6] 吴志强、E.S.Oran和R.S.Sinkovits，《热物理与传热杂志》11497（1977）。[7] V.库马兰，J.流体机械。561, 43 (2006).[8] W·H·费塞尔、A·T·康利斯克、S·达塔、J·M·马吉斯特雷利、J·T·格拉斯、A·J·弗莱斯曼、安得州。罗伊，微流体纳米流体10425（2011）。[9] J.Ghazanfarian和A.Abbassi，Phys。牧师。E 82026307（2010）。[10] P·W·范德帕斯，《历史科学》第13卷，第127页（1971年）。[11] A.爱因斯坦，安。普希斯。（莱比锡）17549（1905）。[12] 斯莫鲁乔夫斯基先生，安。菲斯。（莱比锡）21756（1906）。[13] L.Bachelier，《高等师范学院科学分析》第17、21页（1900年）。[14] D.索内特，进步党众议员。菲斯。77, 062001 (2014).[15] R.C.默顿，贝尔。J.经济。4, 141 (1973).[16] B.B.Mandelbrot，J.Business 36394（1963年）。[17] M.Takayasu，T.Mizuno和H.Takayasu，Physica A 370，91（2006）。[18] 渡边谦，H.高安和M.高安，Phys。牧师。E 80056110（2009）。[19] Y.Yura、H.Takayasu、K.Nakamura和M.Takayasu，《统计计算与模拟杂志》842073（2014）。[20] T.Bollerslev，《计量经济学杂志》31307（1986）。[21]L.Fabrizio和F.J.Doyne，《非线性动力学与计量经济学研究》8，1（2004）。[22]J.-P.Bouchau d、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart，Quant。财务部。4, 176 (2004).[23]P.Owiecimka，J.Kwapie和S.Drod，Physica A:统计力学及其应用347626（2005）。[24]J.Kwapie和S.Drod，P Physics Reports 51515115（2012），复杂系统的物理方法。[25]F.LILLO和J.DOYNE FARMER，《波动与噪音通讯》05，L209（2005年），http://www.worldscientifi c.com/doi/pdf/10.1142/S0219477505002574。[26]V.菲利莫诺夫和D.索内特，物理系。牧师。E 85056108（2012年）。[J.Orecke，J.Laderie，P\'。

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2022-5-9 02:35:34

布乔德，菲斯。牧师。X1021006（2011年）。[28]I.Mastromateo，B.T\'oth和J.-P.Bouchaud，Phys。牧师。E 89042805（2014年）。[29]V.Plerou，P.Gopikrishnan和H.E.Stanley，Phys。牧师。E 71046131（2005年）。[30]A.Gar`eche，G.Disdier，J.Kockelkoren和J.-P.Bouchaud，Phys。牧师。E 88032809（2013年）。[31]T.F.C.-A.L.Fr\'ed\'er ic Abergel，Jean-Philippe Bouchaud和M.Rosenbaum，《市场微观结构：面对多种观点》，威利金融和ce系列（西塞克斯州奇切斯特：威利，2012）。[32]Z.Eisler，J.-P.Bouchaud，and d J.Kockelkoren，数量金融12（2011），10.1080/14697688.2010.528444。[33]R.Huang和T.Polak，“龙虾：限价订单重组书”（2012），柏林洪堡大学商业与经济学院论文讨论会，http://lobster.wiwi.hu-berlin.de/Lobster/LobsterReport.pdf.[34]R.Kubo，众议员P rog。菲斯。29, 255 (1966).[35]H.Mor i，Prog。理论。菲斯。33, 423 (1965).[36]Y.Yura，H.Takayasu，D.Sornette和M.Takayasu，Phys。牧师。莱特。112, 098703 (2014).[37]D.索内特，欧元。J·P·希斯。11, 334 (1990).[38]H.Takayasu和K.Hiramatsu，Phys。牧师。莱特。53, 633 (1984).[39]J.C.赫尔、期权、期货和其他衍生工具与D erivagem CD（普伦蒂斯·霍尔，2008年）。[40]M.Jeanblanc、M.Yor和M.Chesney，《金融市场的数学方法》（斯普林格，斯普林格金融系列（多德雷赫特，海德堡，伦敦，纽约），2009年）。[41]S.Maslov，Phys ica A 278571（2000）。[42]P.Bak，M.Paczuski和M.Shubik，Phy sica A 246430（1997）。[43]D.Challet和R.Stinchcombe，Physica A 300285（2001）。[44]D.L.C.Chan、D.Eliezer和I.I.Kogan，eprint arXiv:cond mat/0101474（2001）。[45]Y.Sone，基础理论与流体动力学（Birk h–auser，2002）。[46]R.Cont，A.Kukanov和S.Stoikov，《金融计量经济学杂志》第12期，第47期（2013年）。图1。

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