高频金融数据中与时间相关的标度模式

2022-5-9 03:10:50

高频金融数据中的时间相关标度模式Noemi Navaa，1，T.Di Matteob，Tomaso Astea，1伦敦大学学院计算机科学系，Gower Street，London，WC1E 6BT，UKbDepartment of Mathematics，King’s College London，The Strand，London，WC2R 2LS，UK AbstractWe测量不同时间标度对金融市场数据动态的影响。这是通过将金融时间序列分解为与不同时间尺度相关的简单振荡来实现的。我们提出了两种新的时变测度：1）振幅标度指数和2）类熵测度。我们将这些度量应用于各种股票指数的日内30秒采样价格。我们的结果揭示了日内趋势，即在交易日的过程中，不同时段的相对振幅不同。我们的发现表明，我们分析的时间序列具有非平稳多重分形性质，在交易时段中期主要表现为持续性行为，在开盘和收盘时表现为反持续性行为。我们证明，这些偏差在统计学上是显著且稳健的。关键词：标度指数、熵、希尔伯特-黄变换、市场效率。1.简介金融市场是一个复杂的动态系统，会产生非平稳、非线性和噪声的时间序列。这些时间序列不是由单一的驱动力组成，而是由几个叠加在一起的组成部分组成：n.莫拉莱斯。11@ucl.ac.uk（诺埃米·纳瓦），蒂齐亚纳。dimatteo@kcl.ac.uk（T.迪马特奥）。aste@ucl.ac.uk（Tomaso Aste）2015年12月16日提交给爱思唯尔的预印本arxiv:1508.07428v2[q-fin.ST]2015年12月16日，以分层形式相互印在一起。

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2022-5-9 03:10:53

振荡成分是由许多参与者产生的，他们有着不同的兴趣和投资范围，这些参与者相互作用，产生的影响似乎在不同的特征周期内循环重复[1]。通过查看不同时间尺度下财务数据的统计特性，可以检索和量化这些影响。金融市场建模的经典方法是有效市场假说（EMH）[2]，该假说指出，如果金融市场反映了所有可用信息，则金融市场是有效的，因此套利条件会迅速消除。根据这个理论，股票价格是不可预测的。有效市场假说的弱形式允许快速的价格调整过程[2]。然而，在实践中，价格往往不会如此迅速地适应新信息，需要一定的时间。在此期间，投资者可以采取行动，利用新信息带来的临时有利机会[3,4]。根据分形市场假说（FMH）[5]，如果有不同时间范围的投资者创造流动性，金融参与者是异质的，市场稳定存在。市场参与者的投资期限从几秒钟到几年不等（做市商、噪音交易员、对冲基金）。他们对到达的信息有不同的处理方式，并根据交易时间尺度以不同的方式影响价格动态[6]。不同投资领域的投资者的存在会导致市场稳定，当一个领域成为主导时，市场就会变得不稳定。FMH预测，关键事件与主要投资层有关，通常与自相似性、分形或多重分形有关。

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mingdashike22

2022-5-9 03:10:56

Mandel brot[7,8]首先研究了金融数据中的自相似性，并发现其存在于具有复杂属性的金融市场中，这些属性与市场的经济和金融特征显著相关[9,10,11,12,13]。自相似性与相似模式在不同时间尺度上的出现有关。从这个意义上说，当在不同的时间尺度上观察过程时，自相似过程的概率特性保持不变[7,14]。随机过程X（t）在统计上是自相似的，其标度指数为0<H<1，如果对于任何reala>0，它遵循标度律：X（at）d=aHX（t）t∈ R、（1）其中等式（d=）在概率分布[15]中。2自相似过程的一个例子是分数布朗运动（fBm），这是一个具有平稳增量的高斯过程，其特征是正标度指数0<H<1[16]。当0<H<1/2时，fBm的增量呈现负自相关。案例1/2<H<1对应于fBm，增量过程表现出长程依赖性，即增量过程的自相关性为正。当H=12时，FBM导出布朗运动（BM），这是一个具有独立增量的过程[15]。已经观察到，金融回报分布的每一时刻都随着时间范围的幂律变化，具有不同的H指数[14]。这种现象被称为多尺度现象，反映了不同时间尺度上不同动态的发生，可归因于市场参与者的异质性。在金融时间序列中也观察到了与时间相关的标度行为[17,18]，粗糙度的局部变化可以通过允许H指数随时间变化来描述[19]。熵测度也被用来衡量金融时间序列的复杂性[20,21,22]。

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2022-5-9 03:10:59

熵的低值表明存在更可预测的模式，因此与财务效率相关。相反，当时间序列表现出更不规则、更不可预测的模式时，不确定性水平更高，这样的周期由更大的熵值来描述。在本文中，我们基于金融时间序列的标度特性提出了两种新的时间相关度量。通过希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang transform）[23]获得了这些新的度量值。作为第一步，该方法通过经验模式分解（EMD）将分析的时间序列分解为若干振荡模式。其次，将希尔伯特变换应用于这些振荡，以获得时变属性。金融时间序列的时间相关标度特性与特征频率下振幅的相对权重有关。我们在本文中介绍的第一个度量是一个标度指数，它量化了成分振幅相对于其相关时间标度的相对层次变化；第二种是一种熵测量，用于量化分量振幅的色散。本文的剩余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了用于识别数据振荡分量的方法，即希尔伯特-黄变换。第3节介绍了拟采用的缩放测量方法，以及对自相似过程的一些应用。在第4节中，我们提出了一个类似熵的比较度量。在第5节中，我们将建议的措施应用于日内财务数据。最后，在第6节中，我们将给出结论和未来展望。2.Hilbert Huang变换Hilbert Huang变换（HHT）[23]是一种用于分析非线性和非平稳时间序列的技术。

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2022-5-9 03:11:02

它最初设计用于研究水波演变，但已被证明是其他复杂信号的有用工具，包括金融时间序列[24、25、26、27、28]。HHT由两个步骤组成：即经验模态分解（EMD）和希尔伯特变换（HT）。EMD将时间序列分解为一组窄带本征模函数（IMF），这些IMF的希尔伯特变换提供局部频率和振幅。EMD是一种完全自适应分解，与Fourierand小波变换相比，它不需要任何先验基础系统[29]。此外，它还可以用来分析非平稳时间序列，它假设任何时间序列都由超强振荡组成。该方法的目的是用数据本身的局部极大值和极小值定义的尺度识别这些振荡。因此，给定一个时间序列x（t），t=1，2。。。，T，EMD过程将其分解为有限数量的IMF，表示为ck（T），k=1。。。，n和一个留数函数r（t）。MFS的数量n大约为log2（T）[23]的数量级。IMF是在零附近振荡的元件，通过筛选过程获得，该过程利用局部极值分离从最高频率开始的振荡。在筛选过程结束时，时间序列x（t）可以表示为：x（t）=nXk=1ck（t）+r（t）。（2）剩余函数r（t）是数据的非振荡漂移。有关此分解的更多详细信息，请参阅[23]。EMD是一种在应用希尔伯特变换之前对时间序列进行预处理的方法。

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2022-5-9 03:11:05

它生成时间序列的分量，希尔伯特变换可以对瞬时振幅和频率进行有物理意义的定义。每个函数ck的希尔伯特变换定义为：^ck（t）=1π∞Z-∞ck（τ）t- τdτ，（3）其中积分在τ=t处有一个奇点，并定义为高次主值。每个函数及其希尔伯特变换，^ck，产生一个复函数zk，由zk（t）=ck（t）+^ck（t）定义，其振幅峰值（t）=pck（t）2+^ck（t）2，（4）和相位θk（t）=tan-1^ck（t）ck（t）。（5）瞬时频率定义为相位对时间ωk（t）=dθk（t）dt的导数。（6）瞬时振幅产生了一个平滑函数，即“包络”，它呈现时间序列的整体形状，最大值和最小值从不与时间序列本身相交。该振幅函数表示该分量中所有频率的组合振荡，但删除所有频率信息。3.时间相关标度指数——建议的时间相关标度指数，表示为H*（t）通过观察局部振幅ak（t）（方程式4）相对于局部周期τk（t）=ωk（t）的变化方式来构造-1（方程式6）对于所有k=1，2。

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2022-5-9 03:11:09

，n.我们首先将该方法应用于fBm，并观察到通过HHT获得的振幅函数遵循幂律行为，并观察到瞬时周期：ak（t）2∝ τk（t）2H*（t），（7）其中指数H*（t）描述IMFamplitudes的局部缩放特性，在量级上与自相似指数H.5Logτk（1326）100101102103104105log ak（1326）10-210-1100101102H*（1326）=0.62646Logτk（2252）100101102104log ak（2252）10-210-1100101102H*（2252）=0.56627Logτk（3421）100101102104log ak（3421）10-1100101102H*（3421）10-1100101102H*（3421）1001011027 logτk（5405）100101104105log ak（5405）10-11001025*（5405）10-410591）图对于fBm，局部振幅ak（t）和周期τk（t）遵循方程7:ak（t）2∝ τk（t）2H*（t）。曲线图报告了以下四个随机选择时间的瞬时振幅随时间的变化：t=1326、2252、3421、5405。模拟过程为自相似指数H=0.6、长度T=10000点的fBm。直线是最佳线性回归。在图1中，我们报告了方程7的一个具体实例，显示了四次随机选择的自相似指数H=0.6、长度t=10000的afBm的对数ak（t）和对数τk（t）之间的线性关系。H的价值*（t）图中报告的数据是从回归线的斜率获得的。我们观察到，它们都始终接近自相似值H=0.6。对于选定的t值，我们通过估算测定系数R2[30]来计算线性系数的优度（该系数的值范围为0到1，1表示数据和线性模型之间的完美匹配）。

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2022-5-9 03:11:12

以下四个随机选择的时间：t=1326、2252、3421、5405的结果如下：R2（1326）=0.99、R2（2252）=0.90、R2（3421）=0.98、R2（5405）=0.99，因此，对于这些时间瞬间，数据由等式7的对数线性模型很好地表示。在所有时间段都可以得到类似的线性标度结果，但每个时间步的标度指数都不同，使得H*（t）与时间相关的估计器。H的值*（t）当时间t左右，长周期的振幅大于纯随机游动时，获得>0.5。这可以被解释为过程振幅的持续行为，这意味着在时间t的一个邻域内，该过程处于一个可与趋势区分的周期中。相反，H的值*（t） <0.5代表时间t前后更粗糙、更混乱的行为。这些过程由跨时间尺度的振幅比布朗运动中的振幅更相似的振荡组成，产生了复杂且不确定的行为。在这种情况下，高频成分更活跃，它们对总方差的贡献比随机游走过程中更显著。3.1. 自相似和长记忆过程的扩展模拟为了测试方程7的幂律关系，我们扩展了fBm的模拟集，并考虑了其他两种不同的自相似过程，即α-稳定的L’evy运动（SLM）[15]和积分滑动平均（ARFIMA）过程中的分数自回归[31]。对于每个随机过程，我们模拟了m=1000条路径，长度t=10000个点1。我们估计H*（t）并计算了模拟次数的时间依赖性样本平均值，即我们计算了hH*（t） i=1mPmi=1H*i（t）。我们还估计了H的样本平均值*（t）随着时间的推移和模拟次数的增加*ii=1TPTt=1hH*（t）我。

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2022-5-9 03:11:16

h的标准差*（t）计算公式为：stdH*=qPTt=1Pmi=1（H*i（t）- 啊*ii）2/（T·m）- 1).对于每个过程，还估计了测定系数随时间和模拟次数的平均值，并表示为AsHr2II。我们比较了估计的H*（t）用q=1表示的广义Hurst-expo-Nt[33]表示，表示为HG。1 LFSM的长度设置为T=216- 6000，遵循[32]7t0 2000 400010000<H中提出的算法*（t） >00.20.40.60.81（a）HH*GHE（1）hhH*二、stdH*hhR2ii hHGi标准差0。1 0.07 0.08 0.20 0.15 0.010.2 0.18 0.08 0.39 0.22 0.010.3 0.28 0.08 0.59 0.31 0.010.4 0.38 0.09 0.73 0.40 0.010.5 0.50 0.09 0.81 0.50 0.010.6 0.60 0.09 0.86 0.60 0.010.7 0.70 0.10 0.10 0.89 0.70 0.010.8 0.10 0.10 0.90 0.92 0.79 0.010.9 0.90 0.11 0.93（0.87 b）图为FBA指数的标度图*（t）平均接近自相似指数H。该图报告了H的样本平均值*（t），表示为Ash*（t）在自相似指数H=0.1,0.2，0.9（从下到上），长度T=10000点。b） H的样本平均值*（t）随着时间的推移和模拟次数的增加，表示为hhH*ii，H的标准偏差*（t）以及测定系数的样本平均值，R2.GHE（1）的值表示q=1的广义赫斯特指数分数布朗运动。标度分量在H=0.1，0.2。。。，模拟0.9。所有的模拟都是用MatlabR完成的小波工具箱。不同H值的结果如图2（a）所示。

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2022-5-9 03:11:19

我们观察到*（t） i始终围绕H的输入自相似值变化。由于EMD的边界效应，在该时间序列的开始和结束时可以观察到一些扰动[34]。在表2（b）中，我们报告了hhH*ii和H的标准偏差*（t）。我们观察到与自相似参数H的良好一致性，但stdH的值较大*这可以归因于H*（t）。我们注意到，对于标度指数H<0.3的fBm，hhR2ii系数很小，表明与方程7的标度定律存在显著偏差。当与估计的H进行比较时，我们得到了一致的结果*（t）用广义赫斯特指数。此外，我们还考虑了长度较短的fBm路径，T=1000和T=500点，我们不报告这些结果，但我们注意到时间序列越长，标度分量H的估计越好。同样，标准偏差和8 fit的优度随着时间序列的长度而提高。然而，对于长度T=10000，所有结果与本文报告的结果一致α-稳定的L′evy运动（SLM）。这个过程是布朗运动推广到0<α的α稳定分布≤ 2.酶α=2对应于布朗运动。SLM是一个1/α自相似过程（H=1α），具有平稳和独立的增量[15]。类似地，将fBm扩展到α稳定分布就是线性分数稳定运动（LFSM），这是一种既表现出重尾又表现出序列相关性的自相似过程。当H>1/α时，LFSM的增量具有长程依赖性，当H<1/α时，LFSM的增量具有负相关性[15]。虽然α稳定的L’evy运动与H是自相似的∈ [1/2, ∞), lfsm的自相似参数在（0，1）中变化。

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2022-5-9 03:11:23

有关这些过程的更多详细信息，请参阅[15]。我们使用[32]提供的工具箱生成了SLM进程，采样路径的长度为T=10384，生成的参数为M=128和M=6000，使得M（M+T）为2的幂，更多细节请参见[32]。我们考虑了H=1/α的情况下，H=0.5，0.55，0.95.图3（a）显示了模拟次数的时间相关样本平均值。我们观察到了一个比fBm更具噪声的估计器。在表3（b）中，我们报告了hhH*（t）注意到自相似参数H的近似，对于H<0.7的过程，结果更好。测定系数的平均值表明，方程7的标度关系确实是令人满意的。我们将提出的估计值与q=1的广义赫斯特指数进行了比较，得到了一致的结果，即HG=1/α[35]。o阿菲玛。我们测试了方程7在FIMA（p，d，q）过程中与高斯新息p，q的对数线性关系∈ N、分别为自回归系数和移动平均系数[31]。该模型是ARIMA（p，d，q）模型的扩展，允许差异指数d取分数，-1/2<d<1/2。两个参数H和d之间的对应关系由H=d+1/2给出。长程依赖的0<d<1/2区间对应于1/2<H<1[36]。我们考虑了ARFIMA（0，d，0）9t2000<H的简单情况*（t） >0.40.50.60.70.80.9（a）HH*GHE（1）hhH*二、stdH*hhR2ii hHGi标准差0。5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0指数H*（t）平均接近值H=1α。

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2022-5-9 03:11:26

曲线图显示了H的样本平均值*（t），表示为hH*（t） iand计算了m=1000个SLM模拟，自相似指数H=0.5，0.55，0.95（从下到上），长度T=10000点。b） H的样本平均值*（t）随着时间的推移和模拟次数的增加，表示为hhH*ii，H的标准偏差*（t）以及测定系数的样本平均值，R2.分数阶d=-0.4, -0.3, . . . , 0.4，长度T=10000。我们计算了H*（t）用于综合ARFIMA时间序列。从图4（a）中，我们观察到估计量hH*i是指数H的良好近似值。在表4（b）中，我们报告了hhH*ii、H的标准偏差*（t）以及测定系数的样本平均值hhR2ii。与fBm情况类似，H>0.3时的估计更准确，测定系数更接近1。通过对这三个不同过程的分析，我们观察到我们提出的方法对自相似参数产生了一个公平的近似。然而，让我们注意到，这个标度指数并不是用来估算H的替代方法，而是可以用更可靠的工具获得[11,37,38]。

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2022-5-9 03:11:30

该方法的目的是计算时间序列中普遍波动的时间相关振幅贡献，区分高频或低频对布朗运动的贡献大于或小于预期值的时段。10t0 2000 4000 8000 10000<小时*（t） >0.10.20.30.40.50.60.70.80.9（a）HH*GHE（1）hhH*二、stdH*hhR2ii hHGi标准差0。1 0.14 0.09 0.29 0.21 0.010.2 0.23 0.09 0.48 0.27 0.010.3 0.32 0.09 0.64 0.34 0.010.4 0.40 0.09 0.74 0.42 0.010.5 0.49 0.09 0.81 0.50 0.010.6 0.57 0.09 0.85 0.59 0.010.7 0.65 0.09 0.88 0.68 0.010.8 0.73 0.10 0.90 0.77 0.09 0.9 0.81 0.10 0.10 0.91 0.01（ARB）图4 0.90 0.90 0.80:0.84 0.0.0.0.01表示FIH指数为0,0.0.1.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.01的标度*（t）平均值接近H=d+0.5。曲线图显示了H的样本平均值*（t），表示为Ash*（t）在自相似指数H=0.1，0.2，…，的ARFIMA（0，d，0）的m=1000次模拟中，0.9（从下到上），长度T=10000点。b） H的样本平均值*（t）随着时间的推移和模拟次数的增加，表示为hhH*ii，H的标准偏差*（t）以及测定系数的样本平均值，R2.4.与时间相关的复杂性度量基于IMF振幅的平方定义一个与时间相关的香农熵类度量。该度量提供了复杂度的时变量化，为衡量金融时间序列中周期强度的标度指数提供了替代方法。利用方程4中描述的函数ak，我们将振幅的时间尺度相对分布定义为：pk（t）=a2k（t）nPk=1a2k（t），（8），其中n是不含残余的imf数。与Shannonentropy[39]类似，我们将依赖时间的复杂性度量定义为：*（t） =-nXk=1pk（t）ln pk（t）。（9）等式9提供了振荡分量之间振幅分布的测量值。

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2022-5-9 03:11:33

如果时间t的总振幅集中在一个振荡模式中，我们观察到一个较低的复杂度值，这意味着在时间t左右，该过程遵循一个普遍趋势。相反，如果所有的振荡模式都有相似的振幅，我们会得到一个更大的复杂度值，这表明一个更不稳定和不可预测的行为。因此，C*（t）提供了一个随时间变化的紊乱评估，并能紧密适应我们对复杂性的视觉感知。此外，等式9比方差更能衡量一般的不确定性，因为后者测量的是平均值周围的离散度，而C*（t）测量不同IMF周围的能量分散。与熵度量类似，如果一个imf支配过程的能量，则在时间t处提出的复杂度的值在零之间变化，如果能量在n个imf之间均匀分布，则在log（n）之间变化。等式8中振幅平方的权重选择是任意的，尽管它与其他熵的度量是一致的，例如[40]。我们测试了替代选择，如线性权重ak（t），获得了与本文报告的结果类似的结果。让我们注意到，尽管不是独立的，但这两个指标传达了不同的信息。估计量C*（t）是一个不确定性的信息量化器，它是从振幅的分布中获得的，不考虑其时间尺度，它只量化成分的同质性。另一方面，标度指数H*（t），测量振幅在时间尺度上的变化，测试方程7中的标度律。恕我直言，H*（t）是一种更严格的测量方法，假设振幅和周期之间存在对数线性关系。5.

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2022-5-9 03:11:37

金融市场的时间依赖性标度我们对四种股票指数的日内价格应用了建议的措施：（1）标准普尔500指数（美国），（2）IPC指数（墨西哥），（3）日经225指数（日本）和（4）徐100指数（土耳其）。我们特意选择了两个被归类为发达国家（美国和日本）的金融市场和两个新兴市场（墨西哥和土耳其），另外一个特点是，日本和土耳其的股票交易所有两个交易日，中间有午休时间。从彭博社获得的数据集包括每隔30秒记录的价格。从2014年1月15日到2014年6月16日，为期5个月。每个交易日的天数和数据点数量取决于每个证券交易所的开放时间。1215/01/14 13/02/14 17/03/14 15/04/14 15/05/14 16/06/14原木价格7。467.487.57.527.547.567.58（a）标准普尔50015/01/14/02/14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14原木价格10。5210.5410.5610.5810.610.6210.6410.6610.68（b）IPC15/01/14 13/02/14/03/14 15/04/14 16/05/14 16/06/14原木价格9。529.549.569.589.69.629.649.669.68（c）日经22515/01/14 13/02/14 14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14原木价格1111。0511.111.1511.211.2511.311.35（d）XU 100图5:2014年1月15日至2014年6月16日期间不同股票指数的30秒采样原木价格。（a）标准普尔500指数（b）IPC指数（c）日经225指数（d）徐100指数。每个金融指数的对数图为5。表1显示了每个时间序列的天数和长度。国家指数天数标准普尔500 105 81900日本日经225 104 62400墨西哥IPC 101 7878780土耳其XU 100 106 78440表1：每个金融时间序列的天数和长度。H的时间演化*（t）图6（深蓝色线）显示了五个月期间四项社会指数。

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2022-5-9 03:11:40

我们注意到H*（t）有13个较大的日内变化，很难识别较长时期内的任何趋势。因此，我们报告了H的移动平均值*（t） de标注为“H”*（t）（同一图中的浅蓝色线）。更具体地说*（t）根据关系式“ak（t）2”计算∝ \'τk（t）2\'H*（t）式中，ak（t）和τk（t）是一个交易日大小的滚动窗口上的平均值。此图中的虚线表示值H=0.5.15/01/14 13/02/14 17/03/14 15/04/14 15/05/14 16/06/14H*（t） 0.20.30.40.50.60.70.80.91小时*（t） \'H*（t）（a）标准普尔50015/01/14/02/14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14H*（t） 0.20.30.40.50.60.70.80.91小时*（t） \'H*（t）（b）IPC15/01/1413/02/1414/03/1415/04/1416/05/1416/06/14H*（t） 0.20.30.40.50.60.70.80.91小时*（t） \'H*（t）（c）日经22515/01/14 13/02/14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14H*（t） 0.20.30.40.50.60.70.80.91小时*（t） \'H*（t）（d）XU 100图6：2014年1月15日至2014年6月16日期间不同股票指数的时间相关标度指数。标度指数H*（t）由深蓝色线条描绘。浅蓝色线代表“H”*（t），一个交易日的滚动平均值。红线表示H=0.5。（a）标准普尔500指数（b）IPC指数（c）日经225指数（d）徐100指数。通过比较H的值*（t）和“H”*（t）对于四种不同的股票指数，我们观察到标准普尔500指数最接近14h=0.5，假设高斯分布将意味着BM行为，见图6（a）。在这个图中，\'H*（t）在H=0.5左右波动，仅暴露出一些短暂的偏离。例如，我们可以检测到2014年2月左右的一段时间，在这段时间里，缩放参数会产生显著更大的值。在这段时间里，标准普尔500指数确实处于上升趋势，见图5（a）。

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mingdashike22

2022-5-9 03:11:44

因此，这表明，与纯随机行走相比，识别出的持续行为可归因于识别出振幅更大的长时间尺度循环。在图6（c）中，我们报告了日经225指数的标度动态。我们观察到*（t）其值持续高于0.5，尤其是在分析期结束时。需要注意的是，该市场的午休时间会影响“H”的日内价值*（t）。对于IPC指数，H的值*（t）和“H”*（t）始终接近H=0.6，而不是BM值H=0.5，见图6（b）。这表明IPC返回显示间隔，其中振幅显示持续行为。类似地，土耳其标度指数取大于H=0.5的值，见图6（d）。当应用于金融数据时，我们通过计算每次t的确定系数R2（t）来测试方程7的有效性。整个期间的平均值见表2第二列。我们还考虑了三个案例：H*（t） <0.45，约0.45<H的窗口*（t） <0.55和H*（t） >0.55。我们观察到，对于H来说，它的好处通常更好*（t） >0.5，当财务数据显示趋势行为时，有趣的情况见表2。索引hR2iAllhR2iH*<0.45hR2i0。45小时*<0.55hR2iH*>0.55S&P 500 0.8753 0.825 0.8716 0.8916IPC 0.8812 0.7971 0.8703 0.8915日经225 0.8072 0.7345 0.7829 0.8198XU100 0.9196 0.7987 0.8737 0.9209表2：不同金融指数的振幅与周期对数线性模型的平均优度系数（R2）。首先，计算所有时间t的平均值，然后分别计算H所在时间的平均值*（t） <0.45,0.45<H*（t） <0.55和H*（t） >0.55。为了进行比较分析，我们计算了复杂性度量C*（t）由等式9描述。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:11:47

每种金融股票指数的获得值1515/01/14 13/02/14 17/03/14 15/04/14 15/05/14 16/06/14C*（t） 00.511.52（a）标准普尔50015/01/14/02/14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14C*（t） 00.511.52（b）IPC15/01/1413/02/1414/03/1415/04/1416/05/1416/06/14C*（t） 00.511.52（c）日经22515/01/14 13/02/14/03/14/04/14 15/05/14 16/06/14C*（t） 00.511.52（d）XU 100图7：与时间相关的复杂性度量，C*（t），以获取2014年1月15日至2014年6月16日期间的不同股市指标。（a）标准普尔500指数（b）IPC指数（c）日经225指数（d）徐100指数。如图7所示。标准普尔500指数（图7（a））的复杂度值总体上是四个指数中最大的。IPC指数显示C*（t），表明2014年初的振幅分布更加均匀，见图7（b）。相反，日经225指数呈现出复杂度的递减度量，表明在样本期开始时，复杂度较高，见图7（c）。最后，XU100指数呈现出高复杂度和低复杂度的交替区间，在样本期的最后两个月显示出规律性的大值。这种更高的随机性也可以从标度指数中看出，该指数显示相对较低的“H”值*（t），图7（d）。16总体而言，功能H*（t） C*（t）朝相反的方向变化。对于每个市场，这两个指标之间的相关性为负值，ρS&P=-0.21，ρIP C=-0.23，ρ日经=-0.28，ρXU=-0.15. 我们注意到，这些相关值很小，表明这些变量之间存在弱线性依赖关系。这是可以预期的，因为基础测量与相当不同的属性相关。5.1. 标度模式的日内分析我们通过分离H的路径来研究日内模式*（t） C*（t）进入日常窗口。

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2022-5-9 03:11:50

以时间序列H为例*（t）对于标准普尔500指数，图6（a），我们将该时间序列划分为构成数据集的then=105天，见表1。在图8（a）中，我们展示了这些每日时间序列（一天在另一天之上）。色条代表H的值*（t）。这种图形表示法允许我们在一天中的特定时间比较交易时段并识别模式。我们估计了H的统计平均值*（t）在交易日的每一个时间t，得出一个平均值。这个平均值表示为hH*（t） idays描述了H*（t）在交易时段，参见图8（b）。为了验证观测到的hH动力学*（t） Iday统计意义重大，我们将这些动力学与标度指数H进行了比较*BM（t），从lengthequal的布朗运动到分析的金融时间序列的若干实现中获得，见表1。h的时间序列*BM（t）被分成n个等长的窗口。n天的平均值表示为hH*BM（t）艾迪斯。图8（b）中报告的粉色带对应于hH经验分布的第5和95个百分位*BM（t）由100次模拟计算得出。我们比较了H的值*（t）通过hH获得每个财务指数*BM（t）idaysband。在交易时段的每个时间t，我们估计H的相对分数*（t）不在粉色范围内的值。在图8（c）中，我们将这些结果报告为带外天数除以总天数的比率。这个比率被称为可能性。图中的颜色条表示平均缩放比例的值，即hH*（t） idays（图8（b）中绘制的值）。

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2022-5-9 03:11:53

从这张图中，我们观察到，在一天中，有一段时间内，观察标度指数值的经验概率非常高，与从纯布朗运动中提取的相应值有显著差异。17复杂性度量的平均值，C*（t）图8（d）显示了每次交易时段的t。和H一样*（t）指数，C的平均值*（t）在所有n天内计算，并表示为hC*（t）艾迪。图9、图10和图11分别显示了其余三项财务指数的每日分析结果。总的来说，从日内标度和复杂性度量中，我们观察到以下模式：o对于每个选定的财务指数，日均hH*（t） Idays展示了一个倒U形形状，反映了交易日开始和结束时更混乱的行为。观察到复杂性度量hC的相反行为*（t） idays，呈现出U形形状标准普尔500指数显示了H的最大值*（t）（一种更强的持续性行为）在交易日中间。从图8（a）中，我们观察到，大多数日子的H值都很大*（t）大约中午。此时，平均指数hH*（t） Idays的值达到0.6，见图8（b）。这些值与布朗运动的预期值显著不同，超过80%的观测值不在图8（c）的第5和第95百分位。一致地，复杂性度量在交易时段的同时达到其最低值，见图8（d）墨西哥证券交易所的特点是在一天的中间有一些大规模的价值。然而，最值得注意的模式是交易日结束前的大值，见图9（a）。

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2022-5-9 03:11:57

加窗值的平均值达到最大值0.65，此时形成上升的形状，见图9（b）。这可能与交易时段最后几分钟的交易量增加有关，从而导致振幅发生更剧烈的变化。这种模式只出现在墨西哥证券交易所。从图9（c）中，我们观察到，在市场收盘前几分钟，超过90%的局部标度指数落在布朗运动的第5和第95百分位区间之外。复杂性测量也反映了治疗结束时紊乱的急剧增加，见图9（d）日本和土耳其证券交易所的标度指数有两个较大的区域。这些区域由189:30AM 10:48AM 12:06PM 1:24PM 2:42PM 4:00pmdays20406801000.30.40.50.60.70.8H分隔*（t）（a）上午9:30 10:48 12:06下午1:24下午2:42下午4:00PMhH*（t） idays0。350.40.450.50.550.60.650.7hH*（t） idays95%BM百分位数（b）上午9:30 10:48上午12:06下午1:24下午2:42下午4:00pm可能性0。30.40.50.60.70.80.90.40.450.50.550.6hH*（t） i（c）9:30AM 10:48AM 12:06PM 1:24PM 2:42PM 4:00PMhC*（t） idays1。321.331.341.351.361.37（d）图8：标准普尔500指数的日内分析。（a）标度指数H的日内动态*（t），作为日期和时间的函数。颜色栏指示缩放指数H的值*（t）。（b） H的平均值*（t）在105天内，表示为hH*（t）艾迪。粉红色带对应于hH分布的5%和95%*BM（t）i根据100次模拟计算得出。（c） H的可能性*（t）落在布朗运动的第5和第95百分位带之外（图（b）中的粉红色带）。颜色栏显示hH*BM（t）idays，如图（b）所示。（d）窗口复杂性度量的平均值，表示为hC*（t）艾迪。午休时间，分别见图10（a）和11（a）。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:12:00

标度指数的平均值反映了一种准双倒U形形式，与上午和下午会议的开始和结束有关，见图10（b）和11（b）。值得注意的是，199:30AM 10:48AM 12:06PM 1:24PM 2:42PM 4:00PMDays1020304050607080900.20.30.40.50.60.70.80.9H*（t）（a）上午9:30 10:48 12:06下午1:24下午2:42下午4:00PMhH*（t） idays0。350.40.450.50.550.60.650.7hH*（t） idays95%BM百分位数（b）上午9:30 10:48上午12:06下午1:24下午2:42下午4:00pm可能性0。40.50.60.70.80.910.450.50.550.6hH*（t） i（c）9:30AM 10:48AM 12:06PM 1:24PM 2:42PM 4:00PMhC*（t） idays0。9911.011.021.031.041.051.06（d）图9:IPC的日内分析。子图（a）、（b）、（c）和（d）的标题与图8相同。两个交易日的表现并不完全相同。对于日本金融市场，与第二个交易日更对称的形状相比，第一个交易日的倒U形形状略微向右倾斜，见图10（b）对于土耳其证券交易所，我们观察到交易时段的第一部分呈现了更大的H值*（t）。超过90%的分析日呈现的局部标度指数超过了0。6，见图11（c）。一个IMF振幅在首次交易时段的主导地位也反映在复杂度测量的较低值上，与其他209:00AM 10:15AM 11:29AM12:30PM 1:45PM 3:00PM204060801000.30.40.50.60.70.80.91H相比，其达到最低值*（t）（a）上午9:00 10:15上午11:29上午12:30下午1:45下午3:00PMhH*（t） idays0。350.40.450.50.550.60.650.7hH*（t） idays95%BM百分位数（b）上午9:00 10:15上午11:29上午12:30下午1:45下午3:00下午可能性0。40.50.60.70.80.910.40.450.50.550.6hH*（t） i（c）9:00AM 10:15AM 11:29AM 12:30PM 1:45PM 3:00PMhC*（t） idays1。191.21.211.221.231.241.251.26（d）图10：日经225指数的日内分析。

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2022-5-9 03:12:03

子图（a）、（b）、（c）和（d）的标题与图8相同。每个子图中的白色垂直带对应于该证券交易所的闪电突破。股票市场，见图11（d）。总体而言，H的日内模式*（t） C*（t）确认一个众所周知的事实，即金融市场的活动并非全天不变。发现的模式证实了在交易日的开盘和收盘时影响不同市场的疯狂买卖活动[41,42]。H的较小值*（t）（C值较大*（t））意味着一种非持续性的、更高波动性的行为。hH的日常暴露模式*（t）爱达荷州和hC*（t）我与记录市场活动中存在明显U型模式的结果一致，时间为219:35AM11:02AM12:29PM 2:15PM 3:52PM 5:30PM204060801000.30.40.50.60.70.80.91H*（t）（a）上午9:35 11:02 12:29下午2:15下午3:52下午5:30*（t） idays0。350.40.450.50.550.60.650.7hH*（t） idays95%BM百分位数（b）9:35AM11:02AM12:29PM 2:15PM 3:52PM 5:30PM可能性0。40.50.60.70.80.910.450.50.550.6hH*（t） i（c）9:35 AM 11:02 AM 12:29 PM 2:15 PM 3:52 PM 5:30PMhC*（t） idays0。970.980.9911.011.021.03（d）图11:XU 100指数的日内分析。子图（a）、（b）、（c）和（d）的标题与图8相同。每个子图中的白色垂直带对应于该证券交易所的午休时间。一个交易日的波动率，即在开盘和收盘时波动率较高，而在中午时波动率较低，参见示例【43、44、45】。通过比较四个市场的逐日复杂性值，我们观察到标准普尔500指数在所有交易时段显示出最大的值。日经225指数排名第二，其次是IPCC指数，最后是XU100指数，其复杂度值较小。

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2022-5-9 03:12:07

这与发达市场和新兴市场报告的结果不一致[11,46,22]。结论我们研究了初始金融时间序列中振荡成分的相对权重及其特征时间尺度。这些成分是通过希尔伯特-黄变换提取的。我们已经证明，EMD及其相关的Hilbert谱分析的结合提供了一个强大的工具，可以揭示金融数据随时间变化的标度模式。我们提出了两个新的时间相关测度：1）振幅标度指数和2）类熵测度。通过这些措施，我们能够识别金融时间序列中的趋势和间歇性行为。我们的度量是非参数的，它们不假设任何先验的匆忙过程。标度指数仅假设瞬时振幅和瞬时周期之间存在幂律关系，经验证明存在这种关系。我们对四个金融市场、两个发达国家（美国和日本）和两个新兴市场（墨西哥和土耳其）的研究采用了标度和类熵指标。我们对比和比较了他们财务指标的分解。通过使用日内数据，我们识别了一些模式，并确定了低复杂度和高复杂度的时段。与其他研究指数相比，标准普尔500指数的结果是最复杂的市场。盘中分析显示，在交易日的开盘和收盘时，与交易日中间的持续行为相比，存在一种独特的反持续行为。其他股票指数也得到了类似的结果。

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2022-5-9 03:12:10

在标度和复杂性度量中观察到的变化远远超出布朗运动预期的第5个百分位到第95个百分位，表明与该模型的强烈偏差可能归因于长程依赖或/和重尾的存在。通过提出的度量，我们能够描述金融时间序列的动态，其规律性随时间而变化。我们的结果表明，金融时间序列具有动态标度特性，这可能归因于过程的自相关性、尾部的存在以及时间序列的非平稳性。鉴于这种动态性的存在，时变标度指数可以更好地反映金融数据的标度行为。23致谢作者感谢彭博社提供的数据。NN感谢墨西哥国家石油公司的财政支持。TDM Wishest感谢成本行动TD1210对这项工作的部分支持。塔塔希望感谢伦敦证券交易所的系统性风险中心。24[1]M.M.Dacorogna，R.Gen,cay，U.M¨uller，R.B.Olsen，O.V.Pictet，《高频金融导论》，学术出版社，圣地亚哥，2001年。[2] E.F.Fama，《有效资本市场：理论与实证工作回顾》，金融杂志25（2）（1970）383–417。[3] T.Chordia，R.Roll，A.Subrahmanyam，关于市场效率收敛速度的证据，金融经济学杂志76（2）（2005）271–292。[4] N.Visaltanachoti，T.Yang，《纽约证券交易所上市外国股票市场效率收敛速度》，银行与金融杂志34（3）（2010）594-605。[5] E.E.彼得斯，《分形市场分析：将混沌理论应用于投资和经济学》，威利，纽约，1994年。[6] A.Weron，R.Weron，《分形市场假说和两个幂律》，混沌、孤子和分形11（1-3）（2000）289–296。[7] B。

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2022-5-9 03:12:14

曼德布罗特，《某些投机价格的变化》，商业期刊36（1963）394。[8] B.Mandelbrot，H.M.Taylor，关于股价差异的分布，运筹学15（6）（1967）1057–1062。[9] M.Bartolozzi，C.Mellen，T.Di Matteo，T.Aste，不同期货市场的多尺度相关性，欧洲物理杂志B 58（2）（2007）207-220。[10] T.Di Matteo，T.Aste，M.Dacorogna，不同发达市场中的标度行为，Physica A：统计力学及其应用324（1）（2003）183–188。[11] T.Di Matteo，T.Aste，M.Dacorogna，《发达市场和新兴市场的长期记忆：使用标度分析来描述其发展阶段》，银行与金融杂志29（4）（2005）827–851。[12] R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《消声经济指数动力学中的标度行为》，《自然》376（6535）（1995）46–49.25[13]S.Drozdz，F.Ruf，J.Speth，M.Wjcik，《股票市场中对数周期自相似的印记》，欧洲物理杂志B-浓缩物质和复杂系统10（3）（1999）589–593。[14] L.E.Calvet，A.J.Fisher，《资产收益的多重分形：理论与证据》，《经济学与统计学评论》84（3）（2002）381–406。[15] G.Samoradnitsky，M.Taqqu，《稳定的非高斯随机过程：具有有限方差的随机模型》，随机建模系列，Taylor&Francis，1994年。[16] B.B.Mandelbrot，J.W.van Ness，《分数布朗运动，分数噪声与应用》，暹罗评论10（1968）422–437。[17] S.Bianchi，A.Pantanella，A.Pianese，《利用多重分数布朗运动对股票价格进行建模：对逐点规律性的改进估计》，定量金融13（8）（2013）1317–1330。[18] S.Bianchi，A.Pantanella，A.Pianese，财务、风险和决策分析中的多部门流程5（1）（2014）1-22。[19] D.O.卡朱埃罗，B.M。

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2022-5-9 03:12:17

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