实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法

2022-5-9 04:49:41

对RealOption PricingEdgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza、，Jorge P.Zubelli在这项工作中，我们关注的是，当提供给经理的可用信息来自历史（或主观）指标下的现金流模拟数据时，与投资或延迟投资项目相关的期权价值。我们的方法也适用于整合管理层或市场专家的主观观点和随机投资成本。它基于Potters等人（2001）提出的对冲蒙特卡罗策略，期权定价与相应对冲的确定同时进行。该方法特别适合于评估与商品相关的项目，因为定价公式的可用性非常罕见，场景模拟通常仅在历史测量中可用，现金流可能是价格的高度非线性函数。1简介RealOption Analysis（ROA）是一种使用定量融资技术来评估项目，同时试图获取积极管理和灵活性的价值的方法。在决定在aEdgardo Brigattif、UFRJ、Av的投资时，获取项目“非被动”价值的重要性可能是一个决定性因素。A.da Silveira Ramos，149，里约热内卢，RJ 21941-972，巴西。电子邮件：edgardo@if.ufrj.brMaxO.SouzaDMA，UFF，巴西。巴西RJ 22240-120尼特罗伊南区R.M.S.布拉加。电子邮件：msouza@mat.uff.br，菲利佩·马西亚斯和豪尔赫·P·祖贝利姆帕，美国东部。D.卡斯托里纳110，里约热内卢，RJ 22460-320，巴西。电子邮件：fmacias，zubelli@impa.br2Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli的项目组合。

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2022-5-9 04:49:45

ROA的大多数经典应用都涉及美国选项，例如推迟或放弃项目的选项。然而，当考虑与产能规划、化工厂或石化厂、炼油或任何基于商品的项目相关的项目时，复杂性会显著增加。在这种情况下，在实物期权中遇到的反复出现的问题，如处理市场的不完全性，变得尤为尖锐。在许多情况下，该公司可以使用与项目密切相关的金融工具，有时，就像大宗商品公司一样，甚至可以使用其最终产品。因此，公司可以通过适当的对冲组合对冲一个项目产生的部分风险，但通常不是全部。这表明，基于蒙特卡罗模拟的套期保值方法可能是对此类实物期权进行定价的合理替代方法。事实上，一方面，在不完全市场中，二次定价被用来为金融期权定价，它基于方差代理的局部最小化，这很容易被管理者视为阿里斯克测度。另一方面，在处理涉及篮子、彩虹等多种资产的期权时，或者在资产价格模型不可用时，经常使用蒙特卡罗方法。这项工作的目的是建议使用所谓的套期蒙特卡罗定价法，即通过二次套期来对此类复合期权定价的蒙特卡罗定价法。本文的计划如下：我们在结束这一介绍部分时，描述了我们正在考虑的项目评估问题，对实物期权的不同方法进行了简短的方法回顾，并通过金融工具进行套期保值进行了分析。

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2022-5-9 04:49:48

在第2节中，我们介绍了一种基于Potters等人（2001）的对冲蒙特卡罗（HMC）方法的实物期权评估方法。它有许多可取的特点：它使用历史/主观衡量下的动态；它可以很容易地确定最佳练习边界，方差很低，并且可以评估不可对冲的风险。此外，oracle方法很容易将管理视图整合到许多不同的级别：它既可以容纳相关项目的不同经理的视图，也可以容纳更全局的公司视图和场景。第3节通过一些例子和一些案例研究探讨了所开发的方法。我们在第4节中总结了一些关于进一步发展的最终意见和建议。1.1实物期权分析近年来，数学融资技术作为一种工具，在项目中捕捉灵活性的价值，其使用一直在不断增长。Dixit和Pindyck（1994年）和Trigeorgis（1999年）的书中有一个经典的解释。这个主题以不同的名字出现，但通常被称为实物期权。SeeA套期蒙特卡罗实物期权定价方法3also Myers（1977）；图林霍（1979）；Titman（1985）；布伦南和施瓦茨（1985）；麦克唐纳和西格尔（1986）；Trigeorgis和Mason（1987）；帕多克等人（1988年）；迪克西特（1989）；平迪克（1991）；英格索尔和罗斯（1992）。最初的框架将该项目的净现值确定为与可交易风险资产相关的不稳定过程。风险资产被称为孪生资产或跨越资产，而项目价值有时被称为剩余资产。随后的方法将这种识别发挥到了极致。

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2022-5-9 04:49:51

事实上，人们不能期望交易资产与项目具有完美的相关性，因为这意味着项目风险完全可以分散，因此可以通过金融市场进行复制。另一种观点是寻找与项目回报率高度相关的资产，通常是指数。这就是所谓的现代方法。还有其他方法。参见Borison（2005）中的分类、Jaimungal和Lawryshyn（2011）中的讨论以及第1.4节中的备注。Hubalek和Schachermayer（2001）对实物期权方法提出了非常强烈的批评。在那里，他们通过一个简单的例子表明，对不可交易的替代资产使用无套利技术可能会导致任意（非常高或非常低）无套利期权价格。这反过来表明，在不完全市场的情况下，实物期权的经济用途是非常值得怀疑的。在同一项研究中，他们还表明，套期保值误差的方差最小化可能是走出因市场缺乏完整性而导致的经济僵局的一条途径。1.2复杂结构实物期权考虑到项目的灵活性和金融工具部分对冲的可能性，我们关注的是在不同场景的不确定性下定量评估项目的实际问题。我们假设我们有一个时间序列中组织的相当多的场景，并且连接到不同的场景，我们有一个oracle，它产生与每个场景相关的现金流。这些情景反过来又与交易资产或金融工具有关，这些交易资产或金融工具可用于对冲项目。图1描述了这种情况。Xit-交易资产Yit-非交易资产Oracle for Cash Flow Generation C（t，Xit，Yit）图。

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2022-5-9 04:49:55

1对甲骨文在时间t和情景i时产生现金流的描述。4 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli在规划化工厂或炼油厂时可能会出现这种框架。例如，见Moro等人（1998年）、Papageorgiou等人（2009年）、Sahinidis等人（1989年）、Shapiro等人（2009年）、Oldenburg等人（2007年）。当使用实物期权技术进行产能规划时，它也会自然而然地出现。见米塔尔（2004年）、诺瓦斯和苏扎（2005年）、切纳等人（2007年）。在大多数这些问题中，除非在非常简单的假设下，市场总体上是不完整的。此外，这种不完整性还意味着数据将仅在历史测量下可用。我们现在将考虑在这种复杂的选择中使用不同的成分。本文的结论源于这样一个事实：许多公司使用黑匣子（甲骨文）以相当精确的方式预测它们的资本流动，黑匣子的随机性仅来自不同资产、供求曲线和生产曲线的投入。然而，这种预言依赖于许多（随机）资产的价格以及不可交易的数量。如图1所示。更一般地说，现金流可能是由包含算法或分析程序的简化模型产生的。在评估不确定性项目（尤其是与大宗商品企业相关的项目）时面临的挑战中，我们特别指出以下几点：o历史衡量：模拟通常以历史衡量方式呈现。此外，方案由管理层提供，并载入顾问或行业专家的意见。事实上，一些公司将场景生成委托给部分董事会或独立部门管理观点：将管理观点纳入现金流以及自动化决策中至关重要。

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2022-5-9 04:49:58

例如，一家商品贸易公司对不同产品的存储容量有限。根据相对价格和利润，它可以自动确定每种产品的存储量市场不完全性：套期保值是在不完全金融市场中进行的。事实上，有时企业无法获得金融市场提供的流动性。在其他情况下，监管可能会阻止管理层持有一些投机头寸，以充分对冲市场变化不可对冲的风险：与商品相关的项目的投资决策不仅要考虑可对冲的风险，还要考虑不可对冲的风险。例如，勘探油田的决定在很大程度上取决于其生产曲线以及与作业相关的生态风险多重资产：投资决策可能取决于几个分级基础资产的相对价值。这些资产可能具有从低到高的一般相关性结构。因此套期保值可能必须非常广泛。实物期权定价的套期蒙特卡罗方法51.3通过套期保值进行实物期权分析本文提出的解决上述一般问题的方法可以粗略地描述为风险最小化方法，其中项目估值是通过构建一个包括项目延迟可选性和可能性的投资组合进行的通过可交易资产对该项目进行套期保值。通过Potters等人（2001）介绍的方法（另见Grasselli和Hurd（2004））可以通过历史测量模拟路径的递归风险最小化来计算不同的财务选项（包括美国和百慕大的选项）。

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2022-5-9 04:50:01

在解决这个问题时使用历史模拟的重要性在于，管理者通过观察不同商品和资产的观察价格来考虑他们的决策。我们将参考Potters等人（2001年）通过对冲蒙特卡洛方法（HMC）开发的方法。本文提出的方法的另一个动机是对Hubalekand Schachermayer（2001）工作中实物期权理论的传统无套利论点的批判。在后者中，最小化方差的思想被认为是对市场不完全性所造成的缺点的替代。为了应对不完全市场，人们已经开发了许多不同的方法。举几个例子：无差异定价、最小鞅测度和最小熵测度。使用HMC或蒙特卡罗算法计算不完整市场中的期权价格的想法并不新鲜。例如，请参阅Primbs和Yamada（2008）的著作及其参考文献。它也可以追溯到格拉塞利和赫德（2004）的预印本。本文提出的方法的新颖之处在于，在评估中纳入了不同的现金流，产生了可能有助于管理者的不同统计数据，并允许在模拟中纳入管理观点。事实证明，HMC方法相当于选择Schweizer和F¨ollmer（1988）的最小鞅测度。有关此类连接的详细信息，请参见Lipp（2012）和Gastel（2013）及其参考文献。1.4关于替代方法的评论我们现在将简要回顾可用于实物期权定价的各种方法。对冲公共和私人风险：正如Borison（2005）和Jaimungal and Lawryshyn（2011）的著作所述，评估不同类型项目的主要问题之一是风险源是公共的还是私人的。

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2022-5-9 04:50:04

对于回报与市场高度相关的项目，通过使用交易资产进行对冲，几乎完全可以实现风险缓解。在大多数方法中，项目被认为与单个资产完全相关，因此是可复制的。请注意，对于产品种类繁多的项目，可能有必要使用一篮子对冲资产。6 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli另一方面，主要存在私人风险的项目，例如研发，不太可能通过使用交易资产进行对冲。此外，在某些情况下，项目的估值可能高度依赖于管理层的估计。因此，人们可以将此类估算视为对项目价值有贡献的非交易资产。从效用理论的角度来看，这可以通过效用函数指定企业的偏好来更精确地衡量，因此可以考虑使用无差异定价。这种方法在许多作品中得到了应用，尤其是亨德森和霍布森（2002年）、格拉塞利和赫德（2004年）以及格拉塞利和赫德（2007年）的作品。经典方法：如引言中所述，实物期权定价的经典方法假设存在与项目净现值（NPV）高度相关的跨期资产。这种方法的一个例子是所谓的市场化资产免责声明（MAD）方法，它基于将净现值分布作为项目价值和基础（可交易）资产的想法。然后，用随机动力学和性能风险中性定价对资产进行建模，可能考虑非交易问题。例如，参见Copeland and Antikarov（2001）和Copeland and Tufano（2004）。

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2022-5-9 04:50:08

我们提到的优点之一是，它模仿了标准的数学金融方法，理论相当简单，并且有许多现成的数值方法可用。至于缺点，除了前面提到的关于Hubalek和Schachermayer（2001）工作的一般性批评之外，我们还应该注意到，通常很少有数据可用于校准。这使得对潜在动力的选择有些随意。此外，对于每个项目，都需要校准/选择底层动力学。这种模糊性通常通过对动态的简化假设来解决，这将有望与市场情景相一致。基于蒙特卡罗的方法：在许多情况下，项目或公司都有一个模拟器，我们从现在起将其称为甲骨文。此类甲骨文提供了与不同项目或期权相关的现金流信息，用于不同的场景，而这些场景又是由可交易资产的投入产生的。然后，我们的想法是将甲骨文的产出作为回报分布，并使用Longstaff和Schwartz（2001）的方法，根据交易资产价格计算相应的条件预期值。这需要在风险中性度量中模拟基础，或在最终结果中考虑风险的市场价格。在这种方法的优点中，我们应该提到的是，它在期权评估中充分利用了oracleinformation，很容易与oracle集成并自动化，从而形成了独立于项目的定价机制。此外，这也是一个很好的管理吸引力。至于缺点，由于模拟是在oracle数据上执行的，所以实现仅限于oracle生成的实现。这可能会影响所获得结果的质量。

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2022-5-9 04:50:11

此外，场景生成的风险中性校准将为Oracle提供输入，这可能非常麻烦，需要额外的工作。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法7Datar Mathews（DM）方法：在Mathews等人（2007）提出的方法中，我们假设它是NPV分布（通常由管理层提供）。然后，执行蒙特卡罗模拟，以复制给定时间的分布，并生成基础资产的模拟过程。在这些优点中，我们可以提到它易于实施，并且具有巨大的管理吸引力。然而，缺乏理论来证明这种方法的合理性。Jaimungal-Lawryshyn（JL）：Jaimungal和Lawryshyn（2011）的工作包括对DM方法的扩展，如下所示：他们采用净现值分布，并选择与现金流高度相关的可观察行业指数（不在其票据上交易）。他们为该指数选择了一个动态，并根据该动态，找到产生NPV分布作为该市场指数函数的回报函数。然后，他们将项目的价值确定为这些收益的预期值（在DM的方法中非常接近）。最后，他们选择相关（如果可能的话）交易资产或指数，并使用最小鞅测度进行风险中性估值。在这种方法的优点中，我们可以指出，与DM方法一样，它将管理观点与实物期权分析相结合。因此，它具有良好的管理吸引力。此外，这一理论更为合理。然而，市场指数可能并不容易获得，人们仍然需要根据指数校准模型。如果数据不丰富，这一步可能会很困难。2模糊蒙特卡罗方法和最小鞅测度由于该方法使用的典型数据来自模拟，因此在时间上自然是离散的。

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mingdashike22

2022-5-9 04:50:15

因此，采用离散时间算法是很自然的。在这方面，我们首先回顾离散时间二次套期保值的理论，以及如何将其用于对未定权益进行定价。这将紧跟福尔默和希德（2004）的论述。然后，我们继续讨论该算法本身，并对其与问题的连续版本的关系进行简要说明。2.1不完全市场中的离散时间套期保值：回顾不完全市场环境，从其定义来看，自我融资复制策略通常不可用。在这种情况下，人们可能会放弃复制资产，寻找自我融资的对冲策略，通过风险度量来控制下行风险。例如，参见F¨ollmerand Schied（2004）的工作。或者，你可以实施一个复制策略，并用这个属性寻找最便宜的策略。在后一种情况下，实践者中非常流行的策略是最小化二次跟踪误差Schweizer8 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli（2008）。这种选择导致了在非常小的假设下平均自我融资的策略，我们现在简要回顾一下。和往常一样，我们假设处于一个经过过滤的概率空间中(Ohm,FT，P）和writeL（P）=L(Ohm,FT，P），其中P表示历史度量。在下面的内容中，ξ表示对num’eraire资产的投资（短期或长期），ξ表示对d风险资产的头寸，价格由d维随机过程X给出。此外，X和V表示无风险过程的贴现价格。定义2.1交易策略是一对随机过程（ξN，ξ），其中ξN是一个适应过程，ξ是一个d维可预测过程。

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2022-5-9 04:50:19

投资组合的贴现值为vt:=ξNt+ξt·XT收益过程为gt:=t∑s=1ξs·（Xs-Xs-1).成本过程定义为asCt:=Vt-Gt。让H表示一个随机声明，并假设1。H∈ L（P）；2.Xt∈ L(Ohm,FT，P；Rd），对于所有t.定义2.2，H的可接受L-策略是一种交易策略，使其简单，即VT=H P a.s，并且使价值过程和收益过程都是平方可积的，即VT，Gt∈ L（P），T∈ [0，T]。我们现在可以引入一个合适的风险过程定义2.3，让（ξN，ξ）成为L-容许策略。相应的局部风险过程由loct（ξN，ξ）=E[（Ct+1）给出-Ct）|英尺]。设（^ξN，^ξ）是一个具有值过程的L-容许策略。该策略被称为局部风险最小化策略，如果对于每个t，我们都有（^ξN，^ξ）≤ Rloct（ξN，ξ），P a.s.对于每个L-容许策略，其值过程Vt满足Vt+1=^Vt+1。定义2.4如果交易策略的相应成本过程是鞅，即实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法9E[Ct+1]，则交易策略是平均自我融资策略-Ct | Ft]=0。定义2.5我们说两个适应过程U和V是强正交的FCOV（Ut+1-Ut，Vt+1-Vt | Ft）=0，其中cov表示条件协方差，即cov（A，B | Ft）=e[AB | Ft]-E[A | Ft]E[B | Ft]。以下结果（见F¨ollmer and Schied（2004））保证了相应对冲的存在：定理2.1。当且仅当L-容许策略是平均自融资且其成本过程是强正交do X.2时，L-容许策略是局部风险最小化的。

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大多数88

2022-5-9 04:50:23

存在一个局部风险最小化策略，当且仅当H接受所谓的Foller-Schweiser分解：H=c+T∑t=1ξt·（Xt）-Xt-1） +LT，P-a.s.，其中c是常数，ξ是d维可预测过程，因此ξt·（Xt-Xt-1) ∈ 对于每一个t，L是一个与X强正交的平方可积鞅，满足L=0。在这种情况下，局部风险最小化策略（^ξN，^ξ）由以下公式给出：^ξ=ξξξNt=c+t∑s=1ξs·（Xs-Xs-1） +Lt-ξt·Xt。请注意，相关的成本过程是Ct=c+Lt.2.2风险最小化定价定理2.1的证明实际上是建设性的，并产生以下算法：算法2.11。设置^VT:=H；2.对于t=t-1下降到t=0 doa。集合（Vt，ξt+1）：=argmin（Vt，ξt+1）EbVt+1-（Vt+ξt+1·（Xt+1）-Xt）英尺; （1） 10埃德加多·布里加蒂、菲利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利3。设置^Ct:=^Vt-∑ts=1^ξs·（Xs）-Xs-1），t=0，··，t；4.设置^c:=^c；5.设置^Lt:=^Ct- ^c，t=0，·t；6.设置^ξNt:=^c+∑ts=1^ξs·（Xs）-Xs-1） +^Lt-^ξt·Xt，t=0，·t。注意，如果P是风险中性度量，那么Xt是平方可积鞅。在这种情况下，Galtchouk Kunita Watanabe分解（Choulli and Stricker（1996））产生[H | Ft]=^V+t∑s=1^ξs·（Xs）-Xs-1） +lt，因此我们有[H | Ft]=Vt。这允许将局部风险最小化策略的价值一致地解释为H的无套利价格。然而，一般来说，X在P下不是鞅，在不完全的情况下，会有许多鞅测度，相当于P。事实证明，其中一个测度特别适用于局部风险最小化下的套期保值。定义2.6让P表示等价于toP的鞅测度集。

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2022-5-9 04:50:27

我们说^P∈ P是最小鞅测度d^PdP！< ∞,如果P下的每个平方可积鞅，它是强正交toX，也是^P下的鞅。定理2.2如果存在一个最小鞅测度^P，并用^Vt表示局部风险最小化策略的值过程，那么我们得到了^Vt=^E[H | Ft]。我们用一些实际的评论来结束这一部分。第一个是算法2.1的关键部分，就或有权益的估值而言，由步骤1和2组成。第二个问题是，对于实物期权和数值模拟，使用资产和合同的未贴现价格更方便。因此，从现在起，我们将回到实际价格，并使用ρ=exp（r）的折扣因子t）其中r是无风险利率。如果我们收到现金流的支付流，ctfor t=t，·TF≤ ∞, 在最小鞅测度^P和按恒定利率贴现的情况下，预期值vt由vt=bE“TF给出∑s=tcs/ρs-T英尺#。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法11在这种情况下，算法2.1的推广非常简单。假设我们是在马尔可夫环境下工作，这样的值变为“TF”∑s=tcs/ρs-TXt=x#。（2）现在我们将讨论从历史模拟中计算这种条件期望的问题。如果我们对过程{Xt}t=0,1，···有大量的模拟，我们可以近似地计算局部风险项rloctbyroct的R.H.S.上的项≈NN∑i=1ρ-1Vt+1（Xit+1）-Vt（Xit）-ξt+1（Xit）ρ-1Xit+1-退出.下一步是使问题在数值上易于处理。但是，遵循Longstaff和Schwartz（2001）以及Potters等人（2001）的思想，可以通过为未知函数ξt+1（x）（分别为Vt（x））引入函数基并考虑有限元展开来实现。

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2022-5-9 04:50:30

更准确地说，让我们写出t（x）=b∑a=1γatKa（x）和ξt+1（x）=b∑a=1ψat+1Ha（x），其中Ha（respec.Ka）构成函数空间ξt+1（respec.Vt（x））的基础。然后，可以用极小化来代替等式（1）中的极小化问题：argminnγjt，ψjt+1obj=1N∑i=1“ρ-1Vt+1（Xit+1）-B∑a=1γatKa（Xit）-B∑在+1Ha（Xit）·（ρ）下，a=1ψ-1Xit+1-Xit）#（3）换句话说，通过展开函数inL来计算期望值(Ohm,Ft，dbP），并在适当的基础上截断。不用说，这里有很多相关的问题，从进程上的条件到近似空间。对非马尔可夫情形和这种近似空间进行更详细的分析会让我们走得太远。例如，见利普（2012）著作第1.3节。12埃德加多·布里加蒂、费利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利2。3实数期权的HMC算法我们现在将提出一种用于评估项目延迟期权的拟议算法，该项目可以在时间T之间的任何时间启动≥ 0和T。在财务方面，这包括一个百慕大期权，可以在两个交易日之间的任何时间行使。显然，如果T=0是当前时间，它就变成了美式选项。在数学上，这相当于自由边界问题的离散形式。我们进一步假设，我们的现金流可能会在任何时候出现。我们算法的主要组成部分是回归不等式（3）。我们假设我们得到了以下输入：o交易资产的向量时间序列xit，时间段t=t，·t，以及场景i=1，·N.o与不同场景cit=t，·TF和i=1，·N相关的相应现金流。

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2022-5-9 04:50:34

这种现金流将由一个考虑到不同交易资产价值和非交易对象的Oracle产生项目价值或现金流的长期行为（可能在不同情况下）选择权的行使期T，··，T，其中0≤ T<T≤ TF。我们现在执行以下算法：算法2.2（实物期权的HMC）1。使用t=t··t.2的方程式（2）初始化不同情况i=1、·N的项目值VT（XiT）。为t=t初始化支付bvt（XiT）=（VT（XiT）-K） +对于不同的场景，i=1，·N.3。对于t=t-1、··、Tdo:a.定义功能：Vt（x）：=∑ba=1γatKa（x）和ξt+1（x）：=∑ba=1ψat+1Ha（x）b.根据系数γat，ψat+1:argmin{γat，ψat+1}ba=1N求解二次极小化问题∑i=1“ρ-1bVt+1（Xit+1）-B∑a=1γatKa（Xit）-B∑在+1Ha（Xit）·（ρ）下，a=1ψ-1Xit+1-Xit）#c.definebvt（Xit）：=max{（Vit）-K） +，bVt（Xit）}.4。输出：x的bVT（x）值∈xiNi=1和运动区域内的点。原则上，它也可能与时间有关，甚至与场景有关。此外，它还可以通过强调概率空间的特定区域来整合管理观点。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法13It T=0我们可以在不进行比较的情况下继续向下循环，Vw中的计算值将给出初始时间T=0时期权价值和不同情景的近似值。如果我们在一个完整的市场中使用风险中性模拟，这个算法将简化为著名的Longstaff和Schwartz（2001）算法的变体。备注2.1在实际实施中，用户可能有兴趣通过使用不同的统计数据访问演习区域，以及了解有关投资适用性的更多信息。因此，定义它们3可能很有趣。c、该算法的实现如下：3。C

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2022-5-9 04:50:37

definebvt（Xit）：=max{（Vt（Xit）-K） +，bVt（Xit）}和store:i.It:={i∈{1，··，N}/bVt（Xit）≤ （Vt（Xit）-K） +}ii。νt:=min{（Vt（Xit）-K） /我∈It}iii.Prt:=P（（Vt（Xt）-（K）+≤ νt）≈#{i∈ {1，··，N}/（Vt（Xit）-（K）+≤νt}·N-1 i的点（t，bVt（Xit））的存储值∈ 它与运动区域的大致描述相对应。数量Vt（Xit）-在续集中，K将被称为投资期权的内在价值。它指的是在假设情景i减去投资K的情况下，根据最小鞅测度对现金流的最佳估计。这些统计数据的管理用途源自这样一个事实，即在许多情况下，随机产生的现金流继承了企业对市场情景的看法。因此，这些统计数据提供了管理者对投资情景的主观看法。实施注意事项细心的读者会注意到，整个过程的主要瓶颈恰恰在于将3最小化。（b）。在实际应用中，一个快速稳定的算法将带来不同。通过使用QR算法求解超定线性方程组，可以非常有效地实现这种最小化。有关数字分析背景，请参见Golub and Van Loan（2013）的文本。然后，可以使用标准Linpack包在matlablike环境中实现该方法（正如我们所做的那样）。它可以很容易地移植到更流行的编程语言，如R和Java。即使在Longstaff和Schwartz（2001）的经典LSM算法中，基函数的选择也是许多作者研究的主题。我们遵循Potters等人（2001）的工作中的建议，将套期保值基础的元素作为期权基础的衍生元素。我们还考虑了Glasserman和Yu（2004）中提出的基础。

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2022-5-9 04:50:40

在多维情况下，我们考虑不同维度元素的张量积。如果已知初始场景，这种不同的场景可能会减少到一个点。14埃德加多·布里加蒂、菲利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利2。4.关于连续限制的备注对于从连续模型模拟或估计的数据，我们可能会考虑具有任意小时间间隔和重新定义的资产价格网格的实现。然后，一个非常自然的问题是离散算法是否有任何形式的极限t&0。这个问题可以分为两部分。首先，离散时间模型的连续极限。其次，介绍了求解极限情况的数值方法及其精度和效率。关于第一个问题，在欧式期权的情况下，很好地证明了F¨olmer和Schweizer的最小鞅测度与倒向随机微分方程（BSDE）有关。例如，参见El Karoui等人（1997年）的早期描述。在Pham（2000）的工作中，回顾了具有半鞅价格过程的一般不完全连续交易模型中二次套期保值理论的主要结果。特别地，研究了两种类型的准则：均值-方差法和（局部）风险最小化，这与本文所考虑的方法的连续极限有关。在Bobrovnytska和Schweizer（2004）的工作中，均值-方差套期保值问题被视为一个线性二次随机控制问题。它们表明，对于一般过滤中的连续半鞅，伴随方程导致二次值过程的三个系数的BSDE。关于第二个问题，像蒙特卡罗方法这样的回归的使用最近受到了很多关注。

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2022-5-9 04:50:43

见Gobet等人（2005年）；Lemor等人（2006年）；Gobeta和Turkedjiev（2013）特别是，在适当的条件下，可以证明HMC方法的收敛性，并在Gobet和Turkedjiev（2013）中进行了误差分析。此外，在Lipp（2012）中，HMC方法已应用于一些奇异期权，并对其数值方面进行了研究。InGastel（2013）HMC方法用于精算问题。3示例和案例研究我们现在将举例说明前几节中提出的方法。第一组示例将是纯粹的说明性示例，旨在举例说明期权评估算法的有效性。它们充当代码的验证和准确性检查。第二组数据来自大量真实数据和实际评估。这些例子在评估能源部门的潜在项目时考虑了大量对冲能源社区。最后，我们对一个涉及天然气数据（Henry Hubindex）和科技股（Google）的实例进行了探索。项目现金流将与添加到不相关且不可对冲的噪声分量中的此类底层（重新标度）值的差异有关。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法。2实际Black-Scholes公式价格与HedgedMonte Carlo算法结果的比较结果。左边显示价格，右边显示对冲价值。3.1说明性理论示例第一个示例涉及算法在经典BlackScholes市场中的运行，采用历史测量中的模拟价格。更准确地说，我们考虑了一个在3个月内到期的欧式期权，行使K=100，当前资产价格在货币价值X（0）=100，波动率σ=0.3，利率r=0.05的情况下变化。

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2022-5-9 04:50:46

在任意（固定）概率度量中，基本元素（单项式1、x和x）的数量为b=3，总共N=5000个模拟。虽然这是一个非常简单的教科书示例，但图2表明了一个事实，即即使对于如此少量的模拟和少量的基本元素，结果也相当准确。在第二个例子中，我们检查了两个可对冲资产X和X之差的算法性能。更准确地说，我们考虑了一个有回报（X1，TF）的65天交换期权-X2，TF）+。变量X和X满足几何布朗运动动力学，σ=0.3，σ=0.2，r=0.05。分析结果使用Margrabe公式得出。在我们的设置中，该公式表明期权的公平价格为：X1,0N（d）-X2,0N（d），其中N表示正态分布的累积分布函数，d1,2=ln[X1,0/X2,0]±σTF/2/σ√TF，带σ=√0.3+ 0.2. 见Musiela andRutkowski（1997）。这里，我们使用了两个单项式，N=10000模拟。结果显示在图3.3.2实践示例第一个示例一家能源公司考虑启动一个持续11年的新项目的可选性。项目价值取决于12种不同的基础。16 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubllifig。3 HMC算法和Margrabe公式之间的比较结果。在前5年内，该期权每年都可行使。该公司还拥有一个交易台，可用于对部分或全部不同资产进行金融投资。使用几套不同的对冲资产对期权性进行了评估。我们现在报告一个套期保值变量（本例中为布伦特价格）获得的结果，并考虑11年内2000条路径（连续复合年化）利率r=0.08。

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2022-5-9 04:50:49

我们还计算了更多对冲变量的例子。在图4中，我们展示了使用一个对冲变量的期权评估。在这个图中。4使用一个对冲变量作为布伦特价值函数进行期权评估。项目与投资之间的差额（Vt=0（X）-K）以（红色）十字表示，而可选性Vt=0（X）以（蓝色）圆圈表示。这里，投资（罢工）为K=10.89，无风险利率r=0.08。该项目是对布伦特原油低价的对冲。项目的内在价值小于可选性这一事实表明，公司应该等待项目启动。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法17秒的例子在这个例子中，我们考虑一个将运行15年的项目，1500个货币单位的投资和8.00%的年自由利率。这一时期的现金流是甲骨文的结果，甲骨文依赖于许多交易和不可交易的变量，反过来又通过运行不同的场景产生。他们的一些描述性统计数据如图5所示。图5描述了不同情况下的现金流。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。图6项目可选性的价值。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。图6和图7显示了不同时间的可选性内在值，包括项目价值的5%和95%分位数。通过应用对冲蒙特卡罗方法，我们计算了考虑3个对冲变量的延迟期权18 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli的值。

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何人来此

2022-5-9 04:50:52

如果在特定时间和相应情景下，项目的内在价值大于延迟可选性，则应执行该项目。这会产生一条触发曲线，告诉我们在每种情况下是投资还是不投资（图7）。图7不同情景下的项目内在价值（IV）统计数据说明和最低执行值。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。第三个例子与之前的例子不同，实际现金流来自复杂（黑匣子类型）的预言，我们现在的例子涉及一个实际项目，其中现金流来自（相当）简单的数学函数。它涉及对一款天然气驱动汽车的艺术性潜在投资，信息技术公司可以用它来收集地理数据，并在其基于网络的广告中使用。为了简单起见，我们通过公式Ct（X，ε）=H（aX1，t）计算与谷歌股票高度相关的现金流-bX2，t-I+εt，（1）其中Xis是谷歌股票的价格，Xis是亨利中心（HH）天然气指数，I是执行成本，ε是不可对冲的噪音。我们示例中的函数H是definedash（x）=0，x≤0，x，x∈（0,1），1,x≥0 .H背后的基本原理是模拟非常大的库存值给出的饱和，并将这些值限制在零以下。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法19我们使用公共领域R软件下载的公共可用数据进行数据收集。2004年8月19日至2013年11月24日之间的历史结果如图8所示。我们用GARCH（1,1）模型校准了数据的历史收益率，然后对二维创新时间序列进行了主成分分析。

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2022-5-9 04:50:56

由此我们生成了未来情景的模拟。在本例中，我们考虑一个最长运行时间为3天的项目，决策可以每月执行一次。这一时期的现金流是公式（1）中描述的甲骨文的结果，取决于谷歌和HH天然气的价值。最后，我们选择INV=3.5的投资和8.00%的无风险利率。图8 2004年8月19日至2013年11月24日期间资产的时间序列。图9 2004年8月19日至2013年11月24日期间资产的对数收益直方图。例如，参见R Core Team（2013）。20 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubellin图10，我们展示了一些资产模拟，图11中通过显示其平均值、分位数对现金流模拟进行了描述。图10资产模拟。图11等式（1）描述的实际oracle的现金流模拟。使用参数值a=1.2895×10-4，b=-5.3191 ×10-5，I=0.05，εt~ N（0,0.005）图13中的结果显示了内部值（定义为V）的统计数据-一）与在公式（2.1）的定义算法中计算的运动内在值（νt）的最小值曲线有关。随着时间在t=1和t=12之间变化，运动曲线与不同情景下的内在值平均值交叉。νt小于固有值平均值的情况意味着一个小的Prt:=P（NPV<νt）。这些小价值的资产为何时投资提供了一个很好的建议。但投资决策还必须涉及图12所示的期权价值和图13所示的预期内在价值。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法。12不同情景下期权价值统计的说明。无花果

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mingdashike22

2022-5-9 04:50:59

13不同情景下项目内在价值统计的说明，以及练习的最小值。4讨论和结论在这项工作中，我们解决了基于甲骨文预测的现金流估计项目的实物期权定价问题。这种甲骨文通常是用于生产或因工作项目和非交易特定变量而获得的资产价格的组合。它们还可以预测价格或需求，还可以包括管理观点或其他影响项目价值的不可交易信息。这些价格和变量可能会通过优化程序进一步处理，从而导致项目现金流。正如引言中所讨论的，这在许多情况下都会自然而然地出现，尤其是在化工或石油行业。针对这类问题，我们提出了一种基于最小化套期保值跟踪误差方差的方法。这可以解释为假设我们是22个Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubellian不完全市场，并且投资者天生厌恶风险。在这种情况下，这种差异对投资者来说是一种自然的风险度量。在此框架下，weshow如何使用Potters等人（2001）的方法对实物期权进行定价。这导致了一组一致的价格，当市场完全时，价格降低到布莱克-斯科尔斯理论的水平。获得的价格将取决于为对冲选择的资产组。

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2022-5-9 04:51:02

这是很自然的，因为进入不同市场、易受不同情况影响的公司，对同一个项目可能有非常不同的价值。理论上，可以将所有套期保值资产都包含在一个最大集合中，但从实际角度来看，这是不可行的。我们再次强调，我们的模拟都是在模型校准的历史测量中进行的。我们还可以通过强调更有可能利用管理层选择性信息的情景，纳入管理层的观点。另一个极端是，即使决策者和手头的企业能够获得完全相关的资产，可以用来对冲项目价值，与风险中性蒙特卡罗评估相比，当前方法的优势之一是：减少价格估计的方差（对于相同的精度，路径数最多可以减少100倍）。Potterset al（2001）的原著中已经记录了这一点。在每个时间步对对冲策略、剩余风险（以局部方差的形式）以及可能的其他风险度量（如VaR和CVaR）的估计。正如格拉塞利（Grasselli，2011）的研究结论所解释的那样，投资机会的额外价值在于时间灵活性本身，而不是复制的可能性。因此，我们不能复制项目价值的事实不应该成为不尝试量化此类额外价值的原因。格拉塞利（2011）的工作从效用函数和无差异定价的角度出发。与此相反，我们在这里采取的观点是，通过方差来衡量风险最小化。对目前工作的一个非常自然的后续行动是，在现实世界的例子中比较不同的方法，比如本文所述的方法。

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2022-5-9 04:51:06

对与项目基础选择相关的数值问题的探讨也非常受欢迎。确认E.B.根据IMPA和巴西国家石油公司之间的合作协议，在访问IMPA时开发了这项工作。MOS得到了CNPq拨款308113/20128和法佩尔的部分支持。JPZ得到了CNPq拨款302161/2003-1和474085/2003-1以及byFAPERJ通过Cientistas do Nosso Estado和Pensa Rio项目的支持。所有作者都承认IMPA-PETROBRAS合作协议。作者要感谢与费尔南多·阿尤伯（PUC-RJ和Petrobras）的多次讨论。我们还感谢Milene Mondek对HMC算法的一些初步示例的实施，以及Luca P.Mertens对R软件和示例中的校准程序的帮助。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法23参考Bobrovnytska O，Schweizer M（2004）均值-方差对冲和随机控制：超越布朗环境。IEEE Trans Automat Control 49（3）：396–408，doi:10.1109/TAC。2004.824468，网址http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2004.824468BorisonA（2005）实物期权分析：皇帝的衣服在哪里？《应用公司财务杂志》17（2）：17–31，URLhttp://dx.doi.org/10.1111/j.1745-6622.2005.00029.xBrennan《评估自然资源投资》（Schwartz，1985年）。《商业杂志》58（2）：第135-157页，网址：http://www.jstor.org/stable/2352967ChenCC，蒋YS，简CF（2007）半导体制造业产能投资规划的实物期权分析。摘自：半导体制造，2007年。ISSM 2007。国际学术研讨会，第1-3页，内政部：10.1109/ISSM。2007.4446823Choulli T，Stricker C（1996）渡边捷昭（GaltchoukKunita Watanabe）复合材料的双重应用。

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2022-5-9 04:51:09

作者：S\'eminaire de Probabilit\'es，XXX，数学课堂讲稿。，第1626卷，柏林斯普林格，第12-23页，内政部：10.1007/BFb0094638，网址http://dx.doi.org/10.1007/BFb0094638CopelandT，Antikarov V（2001）《实物期权：从业者指南》。W.W.Norton and Company Opeland T，Tufano P（2004）管理实物期权的现实方法。Harvardbusiness review 82（3）：90–99Dixit A（1989）不确定性下的进入和退出决策。政治经济学杂志97（3）：620–638迪克西特A，平迪克R（1994）不确定性下的投资。普林斯顿大学出版社Karoui N，Peng S，Quenez MC（1997）金融中的倒向随机微分方程。数学金融7（1）：1-71，内政部：10.1111/1467-9965.00022，网址http://dx.doi.org/10.1111/1467-9965.00022F¨ollmer H，Schied A（2004）《随机金融》，德格鲁伊特研究第27卷，数学卡斯特尔LV（2013）《对冲之外的风险：不完全市场中人寿保险产品的期权和担保》。Amsterdamglasserman大学硕士论文，P，Yu B（2004）美国期权定价中的路径数与基函数数。Ann Appl Probab 14（4）：2090–2119 Gobet E，Turkedjiev P（2013）一般条件下离散滞后随机微分方程的线性回归MDP格式。出现：Mathematicsof ComputationGobet E，Lemor JP，Warin X（2005）基于回归的蒙特卡罗方法，用于求解倒向随机微分方程。Ann Appl Probab 15（3）：2172-2202，内政部：10.1214/105051605000000412，网址http://dx.doi.org/10.1214/10505160500000041224Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.ZubelliGolub GH，Van Loan CF（2013）矩阵计算，第四版。约翰·霍普金斯数学科学研究，约翰·霍普金斯大学出版社，巴尔的摩，MDGrasselli M，Hurd T（2004）未定权益指数对冲的蒙特卡罗方法。

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大多数88

2022-5-9 04:51:12

未出版的预印本Grasselli先生（2011年）《用实物期权变为现实：不完全市场中有限时间投资的基于效用的方法》。商业财务与会计杂志38（5-6）：740-764，doi:10.1111/j.1468-5957.2010.02232。x、网址http://dx.doi.org/10.1111/j.1468-5957.2010.02232.xGrasselliHurd TR先生（2007年）波动性衍生品的无差异定价和Hedging。Appl Math Finance 14（4）：303–317，doi:10.1080/13527260600963851，URLhttp://dx.doi.org/10.1080/HendersonV，Hobson DG（2002）具有恒定相对风险规避的实物期权。《经济动力学与控制杂志》27（2）：329–355 Hubalek F，Schachermayer W（2001）实物期权无套利论证的局限性。Int J Theor Appl Finance 2（4）：361–373英格索尔·杰，罗斯·萨（1992）等待投资——投资与不确定性。《商业杂志》65（1）：1–29 Jaimungal S，Lawryshyn Y（2011），将管理信息纳入实物期权估值。SSRN eLibraryLemor JP，Gobet E，Warin X（2006）求解广义倒向随机微分方程的经验回归方法的收敛速度。伯努利12（5）：889-916，内政部：10.3150/bj/116164951，网址http://dx.doi.org/10.3150/bj/1161614951LippT（2012）金融优化的数值方法：期权的优化套期保值和期权化套期保值。奥格斯堡大学和皮埃尔和玛丽·居里大学的博士论文，Schwartz ES（2001）通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。金融研究综述14（1）：113–147马修斯S，Datar V，Johnson B（2007）评估实物期权的实用方法：波音方法。《应用公司金融杂志》19（2）：95–104R，西格尔D（1986）等待投资的价值。

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