来自最大凸度的差额与金利赖斯大学摘要我们回顾了杠杆式交易所买卖基金（LETF）回报的动态，并提出了一种新的已实现波动性衡量标准：来自最大凸度的差额。我们表明，与传统使用的样本标准差相比，当应用于LETF返回时，SMC具有更直观的解释，并提供更多的统计信息，而LETF返回是一个正态性和独立性都不成立的数据集。关键词：交易所买卖基金，已实现波动1杠杆ETF回报的动态1。1 Letfs的宇宙第一只交易所交易基金（ETF）于1993年开始交易，但到2015年，有超过1400只ETF来自超过15个不同的发行人，全球有超过1万亿美元投资于ETF[8]。现有的ETF涵盖所有主要资产类别，如股票、债务、大宗商品和房地产，许多ETF被称为活跃交易期权的基础资产。我们将关注一种称为杠杆式ETF的特定ETF子集，作为其基金结构的一部分，其杠杆率不同于1:1。LETFs的任务是以杠杆率指示的倍数提供基础资产（通常是股票指数）的每日回报。截至2015年，有一些基金的杠杆比率为2:1、-2:1、3:1和-3:1。展望未来，我们将简单地通过其倍数（即2，-2，3，-3）来指代杠杆。例如，如果标的指数当天的回报率为1%，那么杠杆倍数为2、-2、3和-3的LETF将有权在当天分别获得2%、-2%、3%和-3%的回报率。正值表示长期市场敞口，而负值表示短期敞口，或押注市场将下跌。

以负杠杆倍数为特征的基金通常被称为反向ETF，但我们不会进行这种区分，因为回报动态是相同的，除了杠杆期限上明显的负设计。除了包括杠杆之外，为投资者提供轻松获得空头敞口的能力，是LETF发行人的一个重要卖点。在这些LETF于2006年开始交易之前，利用自己的资产或利用昂贵的保证金和抵押品账户押注市场，或应对与交易期权有关的挑战[10]。自那以后，投资者逐渐意识到了LETF结构带来的便利，截至2015年，全球有100多只基金在交易所上市，总名义价值超过200亿美元，其中主要由Direxion、ProShares、瑞士信贷和巴克莱银行发行[4]。出于我们的目的，我们选择了由10对由Direxion和ProShares发行的多头和短头三杠杆ETF（10只基金的杠杆倍数为+3，10只基金的杠杆倍数为-3）所参考的10个股权指数作为基础。我们的数据集包括已建立的美国市场指数（标准普尔500指数、道琼斯工业平均指数、罗素2000指数、纳斯达克100指数）、行业特殊指数（纽约证券交易所阿尔卡黄金矿业公司、道琼斯美国金融公司、标普科技精选公司）和国际股票指数（MSCI发达市场、MSCI新兴市场和俄罗斯市场）。发行人风险敞口LETF LETF名称指数NameProShares Long FINU UltraPro Financials DJUSFN Dow Jones U.S.Financials IndexProShares Short FINZ UltraPro Short Financials DJUSFN Dow Jones U.S。

金融类股指数黄金矿商每日多头3股GDM NYSE Arca黄金矿商每日多头3股GDM NYSE Arca黄金矿商每日多头3股GDM NYSE Arca黄金矿商每日多头3股GDM NYSE Arca黄金矿商每日多头3股Indexhares Long UDOW UltraPro Dow30 Industrial Average Indexhares Short SDOW UltraPro Short Dow30 Industrial Dow30 Industrial DowJones Industrial Average Direxion Long TECL Daily Technology Dow3股IXT S&P科技类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股俄罗斯类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数类股指数市场熊市3股MXEA MSCI EAFE Index Direxion Long EDC Daily Emerging Markets Bull 3股MXEF MSCI Emerging Markets Index Direxion Short EDZ Daily Emerging Markets熊市3股MXEF MSCI Emerging Markets Index Exproshares Long TQQ UltraPro QQ NDX NASDAQ UltraPro Short QQ NDX NASDAQ-100 Indexxion Long TNA Daily Small Capital Bull 2000IndexDirexion Short TZA Daily Small Cap Bear 3x Shares RTY Russell 2000 IndexDirexion Long SPXL Daily S&P 500 Bull 3x Shares SPX S&P 500 IndexDirexion Short SPX Daily S&P 500 Bear 3x Shares SPX S&P 500 IndexTable 1：选定的出租金融工具对的演示集，因为它们的任务是提供标的资产每日回报的倍数，LETF旨在对市场风险进行短期对冲。然而，一些投资者已经制定了买入并持有策略，将长期头寸纳入LETF[5]。我们工作的一个主要动机是，我们认为缺乏对担任LETF职位所涉及风险的理解。

正如我们稍后将展示的那样，杠杆收益的每日复利产生的波动性远大于不进行每日复利的简单杠杆投资。1.2 LETF收益我们使用以下时间序列模型分解每日LETF收益。。。RLET F，t=βLET FRIndex，t- MgmtF eeLET F+LET F，tβLET Findicted leverage multiple（constant）MgmtF eeLET Findicted rate of daily management Expense（constant）设F，t观察日t的跟踪误差（随机变量）r指数，t基础指数在观察日t的总回报（随机变量）。杠杆倍数和年化管理费用在给定的LETF基金招股说明书中显示。如上所述，截至2015年，有杠杆倍数为2、-2、3和-3的商业可供出售的LETF。在我们的示范组中，LETF上显示的所有管理费均列为每年0.95%，或约0.375个基点的日费率[3][2][7]。Direxion和ProShares或其他基金发行人的其他LETF费用相同或可比[4]。每日指数收益率和LETF收益率通常指的是总收益率，或除每日股息收益率外的价格收益率。幸运的是，我们不关心所涉及的计算或ETF股票分割的日期，因为彭博终端可以直接提供每日收益时间序列。我们所有的工作都只涉及每日收益率系列以及基金招股说明书中显示的杠杆率和费用常量。我们包括图1和图2来说明跟踪误差的抽样分布(让F，t）作为我们的示范资金。出于演示目的，这20只基金被分为一个大型跟踪错误组和一个小型跟踪错误组。区别在于最小值（或最大值）小于-0.025（或大于0.025），或样本标准偏差大于0.01。

虽然我们希望这种区别突出了LETF可能遇到的跟踪错误的规模，但我们在建模中没有使用这种区别。它只是用来作为在多页上安排情节的经验法则。总体而言，我们组中的LETF似乎在达到各自的绩效日期方面做了合理的工作。除LETF股票代码RUSS和FINZ外，所有分布的样本均值均为-0.0002或更小（-0.02%或更小）。对于跟踪误差较小的组，10个样本中有4个样本均值为0。回报历史最长的LETF是SPXL和SPXS，这是跟踪Direxion发行的S&P 500指数的长短对，我们有2008年11月的数据。值得注意的是，对于代表MVRSX、MXEA和MXEF索引的大跟踪误差组中的3对LETF，超过+/-5%的跟踪误差并不罕见。有人可能会认为，投资大众不会接受如此严重的错误，但事实并非如此。