短期相对套利的一个例子奥伯特·费恩霍尔茨2018年7月4日摘要长期相对套利存在于市场投资组合超额增长率偏离零的市场中。本文证明，在时间同质性假设下，这个条件也意味着在任意短的时间间隔内存在相对套利。假设我们有一个股票市场X，xn由满足log Xi（t）=γi（t）dt+dXν=1ξiν（t）dWν（t）的正连续半鞅表示，对于i=1，n、 d在哪里≥ N≥ 2，（W，…，Wd）是一个d维布朗运动，且过程γi和ξiν相对于γi可积和ξiν局部平方可积的基础滤波是渐进可测的。过程Xi代表第i家公司的总资本，因此市场总资本为X（t）=X（t）+··+Xn（t），市场权重过程由ui（t）=Xi（t）/X（t）定义，对于i=1，n、 第ij个协方差过程σij由σij（t），dXν=1ξiν（t）ξjν（t）定义，对于i，j=1，n、 投资组合π由其权重π定义，πn，这是有界过程，对于布朗过滤是渐进可测量的，加起来就是一。投资组合价值过程Zπ为π满足对数Zπ（t）=nXi=1πi（t）d对数Xi（t）+γ*π（t）dt，a.s.，其中过程γ*由γ定义的π*π（t），nXi=1πi（t）σii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）σij（t）被称为π的超额增长率过程。可以证明，如果πi（t）≥ 0，对于i=1，n、 然后γ*π（t）≥ 0，a.s.市场权重u定义了市场投资组合u，如果市场投资组合价值过程Zu被初始化为Zu（0）=X（0），那么对于所有t≥ 0，a.s.由于市场权重均为正，γ*u（t）≥ 0，a.s。

这些介绍性材料可以在Fernholz（2002）中找到。设我们是由S（x）定义的熵函数=-nXi=1xilog xi，对于x∈ n、 单位为Rn。我们看到0≤ S（x）≤ 对数n，其中最小值仅出现在单纯形的角上，最大值仅出现在所有i的xi=1/n处。对于常数c≥ 0，广义熵函数由新泽西州普林斯顿帕尔默广场1号INTECH的c（x）=S（x）+c定义，邮编：08542。bob@bobfernholz.com.作者感谢Christa Cuchiero、IoannisKaratzas、Constantinos Kardaras、Johannes Ruf和Walter Schachermayer对本研究的宝贵评论和建议。为了x∈ n、 可以证明，SCC生成了一个权重为πi（t）=c的投资组合π- 对数ui（t）Sc（u（t））ui（t），对于i=1，n、 投资组合的价值过程Zπ将满足logZπ（t）/Zu（t）= d对数Sc（u（t））+γ*u（t）Sc（u（t））dt，a.s.（1）（参见Fernholz（1999）、Fernholz（2002）和Fernholz and Karatzas（2005））。定义1。对于T>0，如果存在π这样的投资组合，则在[0，T]上存在相对套利Zπ（T）/Zu（T）≥ Zπ（0）/Zu（0）= 1，PZπ（T）/Zu（T）>Zπ（0）/Zu（0）> 0.如果PZπ（T）/Zu（T）>Zπ（0）/Zu（0）= 1，那么这种相对套利是很强的。提议1。对于T>0，假设对于市场X，存在一个常数ε>0，使得γ*u（t）>ε，a.s.，适用于所有t∈ [0，T]，对于熵函数Sess-infS（u（t））：t∈ [0，T/2]≤ ess infS（u（t））：t∈ [T/2，T]. （2） 然后在[0，T]上存在相对套利。证据LetA=ess infS（u（t））：t∈ [0，T/2].

（3） 自从γ*u（t）≥ ε>0在[0，T]上，a.s.，并不是所有的ui都能恒定地等于1/n，so0≤ 因此，我们可以选择δ>0，这样A+2δ<logn和p输入∈[0，T/2]S（u（T））<A+δ> 0，所以如果我们定义停止时间τ=infT∈ [0，T/2]：S（u（T））≤ A+δ∧ T、 然后τ≤ T/2> 0.我们现在可以定义第二个停止时间τ=infT∈ [τ，T]：S（u（T））=A+2δ∧ T、 我们有τ≤ τ、 现在考虑广义熵函数δ（x），s（x）+δ，对于我们上面选择的δ>0，那么sδ（x）≥ δ. 它来自于（1）那篇日志Zπ（τ）/Zu（τ）- 日志Zπ（τ）/Zu（τ）= 对数Sδ（u（τ））- 对数Sδ（u（τ））+Zτγ*u（t）Sδ（u（t））dt，a.S.，（4）对于时间τ和τ。假设我们在τ≤ T/2，soτ<τ，a.s.，考虑两种情况：1。如果τ<T，则记录Sδ（u（τ））- 对数Sδ（u（τ））≥ 对数（A+3δ）- log（A+2δ）>0，A.s.，既然（4）中的积分是正的，A.s.，我们有logZπ（τ）/Zu（τ）- 日志Zπ（τ）/Zu（τ）> 0，a.s.（5）2。如果τ=T，则A+δ≤ 对于t，Sδ（u（t））<A+3δ∈ [τ，T]，a.s.，solog sδ（u（τ））- 对数Sδ（u（τ））+Zτγ*u（t）Sδ（u（t））dt>logA+δA+2δ+εT2（A+3δ），A.S.（6）同样有两种情况：（A）如果A=0，让δ=εT6 log2，（7）所以（6）中不等式的左边是正的，A.S.，和（4）意味着logZπ（τ）/Zu（τ）- 日志Zπ（τ）/Zu（τ）> 0，a.s.（8）（b）如果a>0，则为limδ↓0logA+δA+2δ+εT2（A+3δ）=εT2A>0，（9）所以对于足够小的δ>0，（6）将是正的，（8）将是有效的。现在考虑由以下公式定义的投资组合η：1。对于t∈ [0，τ），η（t）=u（t），市场投资组合。2.对于t∈ [τ，τ），η（t）=π（t），由Sδ生成的投资组合，δ根据（7）或（9）选择，视情况而定。3.对于t∈ [τ，T]，η（T）=u（T）。如果τ=T，则η（T）=u（T）表示所有T∈ [0，T]，sologZη（T）/Zu（T）= 日志Zη（0）/Zu（0）, a、 s.如果τ6=T，则τ≤ T/2和τ<τ，a.s。

通过η的构造，我们得到了logZη（T）/Zu（T）- 日志Zη（0）/Zu（0）= 日志Zπ（τ）/Zu（τ）- 日志Zπ（τ）/Zu（τ）> 0，a.s.，根据具体情况，等式如下（5）或（8）。因为P[τ6=T]>0，P日志Zη（T）/Zu（T）≥ 日志Zη（0）/Zu（0）= 1，P日志Zη（T）/Zu（T）> 日志Zη（0）/Zu（0）> 所以在[0，T]上存在相对套利。让我们回顾一下，如果存在δ>0，使得ui（T）<1，那么市场在[0，T]区间内是多样的- δ、 a.s.，对于i=1，n和所有t∈ [0，T]（例如，见Fernholz（2002））。推论1。设T>0，假设市场在[0，T/2]上没有多样性*u（t）>ε>0∈ [0，T]。然后在[0，T]上存在相对套利。证据在这种情况下，A=0 In（3）。备注1。推论1可以应用于波动稳定的市场，Banner和Fernholz（2008）之前已经证明存在短期强相对套利。备注2。条件（2）可以推广到[0，T]上定义的函数a（T）=ess infS（u（t））.如果A在[0，T]的任何子区间上增加，则命题1中类似于案例1的论点将建立相对套利。此外，Johannes Ruf指出，命题1的证明可以扩展到在[0，T]上A缓慢（足够）下降的情况下建立相对套利。通过一个显著的构造，Karatzas和Ruf（2015）表明，对于任意的a.ReferencesBanner、a.和D.Fernholz（2008），短期相对套利并不存在。波动稳定市场中的短期套利。《金融年鉴》445-454。费恩霍尔茨，R.（1999）。投资组合生成函数。M.Avellaneda（编辑），《金融市场中的定量分析》，新泽西州River Edge。世界科学基金会Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约：斯普林格·维拉格。Fernholz，R.和I.Karatzas（2005年）。

波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》1149-177。Karatzas，I.和J.Ruf（2015年）。李雅普诺夫函数作为投资组合生成器。技术报告，哥伦比亚大学和伦敦大学学院。