让τ≤ 是时候停下了∈˙X（T，X），并用（3.20）Rζs表示，T=ZTs（XζT）σdBt+ZTsb·Xζtdt-ZTsf(-ζt）dtζ在时间间隔[s，t]内产生的收入。InSchied等人（2010年），V的另一个方便公式是：对于每个ω∈ Ohm,V（T）- τ（ω），Xζτ（ω），Rζτ（ω））=exp- ARζτ（ω）+A infeζ∈˙Xdet（T-τ（ω），Xζτ（ω））ZTτL（Xeζt，eζt）dt.让我们下一个setYζ=e-艺术τ（Xζt）σdBt-RTτA（Xζt）∑Xζtdt。然后我们得到了每ζ∈˙X（T，X）和几乎所有ω∈ Ohm:进出口(-ARζτ，T）|Fτi（ω）=EYζexpAZTτL（Xζt，ζt）dtFτ(ω)≥ EYζexpA感染ζ∈˙Xdet（T-τ（ω），Xζτ（ω））ZTτL（Xeζt，eζt）dtFτ（ω） =EhYζeARζτ（ω）V（T）- τ（ω），Xζτ（ω），Rζτ（ω）|Fτi（ω）=expARζτ（ω）V（T）- τ（ω），Xζτ（ω），Rζτ（ω））EYζ| Fτ(ω).在这里，我们使用（3.20）表示不等式的第一个性质和条件期望的单调性。（3.21）EYζ| Fτ= 1个P-a.s。。事实上，这将证明结果，因为我们也有经验(-ARζT）|Fτ（ω） =E经验- A.Rζτ，T+Rζτ（ω）Fτ（ω） =exp- ARζτ（ω）E经验- ARζτ，T（ω）Fτ（ω） ，通过使用（3.17）。为了证明（3.21），让我们定义以下过程ssZζt=e-艺术（Xζu）σdBu-RtA（Xζu）∑Xζudu，根据Girsanov定理（Xζfull fills（2.3），由于ζ的假设），这是一个真正的马尔代尔。因此，我们有ZζT | Fτ= EYζZζτ| Fτ= ZζτEYζ| Fτ= Zζτ，它证明了（3.21），因此也是我们的引理。我们现在想证明以下基本命题：命题3.21。让ξ∈˙X2A（T，X）和τ是一个停止时间，其值为[0，T[。那么我们有（3.22）V（T，X，R）≥ E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ.这个命题来自于随后的引理和关于有界区域ε-极大值存在性的定理。后者将在不使用可测量选择参数的情况下，通过使用值函数的连续性和最大化问题（2.8）的最优策略的存在性来证明。

下一个引理允许我们将问题限制在一个参数t、X和稀有有界的区域。事实上，在该区域之外（必须充分考虑参数的界限），以下结果证明，可以选择小于ε的右侧项（3.22）。引理3.22。让ξ∈X2A（T，X）。根据命题3的假设和符号。21，存在sn=Nε∈ N以至于（3.23）呃V（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）|Xξτ|∨|Rξτ|>N我≤ ε.证据我们首先证明（3.24）E|V（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）|< ∞,这里我们有| V（T，X，R）|=infζ∈˙X（T，X）E经验(-ARζT）. 这是外稃3的直接结果。20.的确，我们可以写|V（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）|≤ EE经验(-ARξT）|Fτ= E经验(-ARξT）< ∞.在这里，First不等式是由（3.19）引起的，最后一个是由ξ引起的∈X2A（T，X）。因此（3.24）如下，因此存在N∈ 是这样吗|V（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）|+1/A|Xξτ|∨|Rξτ|>N我≤ ε.使用| V（T，X，R）|≤ |V（T，X，R）|+1/A（T，X，R）∈ ]0, ∞[×Rd×R，这是由于（2.10），我们推断（3.23）。我们现在可以陈述并证明本小节的以下基本定理。定理3.23（有界区域上ε-ma ximizers的存在性）。用命题3的符号。21，外稃3。16和引理3.22，存在一个逐步可测的过程ξ=eξ。，τ,ε∈˙X2A（T-τ(.), Xξτ（）这样对于P-a.e.ω∈Xξτ∧Rξτ≤ N,（3.25）VT- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω）≤ 埃胡Rξτ（ω）+Reξω，τ，ετ（ω），Ti+ε。证据这个结果的证明分为几个步骤。让我们首先考虑一个简单的过程ξ，它只允许取可数个值和一个离散的停止时间τ。在这种情况下，ε-最大化子的存在更容易证明，因为我们不面临任何可测性问题。在第二步中，我们考虑一个任意过程ξ∈˙X2A（T，X）和停止时间τ取[0，T]中的值。

然后，就Lp范数的拓扑而言，过程ξ可以通过简单的过程来近似，其中p的选择必须确保f（x）≤ C（1+| x | p）（见假设3.15）。在第三步中，我们通过紧性参数证明了相应的ε-最大化子序列（如第一步中所述）弱收敛于一个过程ξτ，ε。在最后一步中，我们证明了ξτ，ε是我们要寻找的ε-max imizer。如Rema rk2所述。13，我们将使用一个过程ξ∈˙X2A（T，X）尤其位于常数m>0的集合km（T，X）中，其中km（T，X）=nξ∈˙X（T，X）EZTf(-ξt）dt≤ 第一步：让ε>0。为了我∈ N和我∈ {0，…，2L}，defineti=iTL，和ξ∈˙X2A（T，X）如下：（3.26）ξT（ω）=LXi=1ξi（ω）[ti，ti+1[（T），其中ξi表示集合{zi，p | p中的值∈ N、 zi，p∈ Rd}。此外，设τ是集合{t，t，…，tL}和集合中的停止时间取值Ohmi、 pi:={ξi=zi，pi}，Γj:={τ=tj}。请注意ΓjandOhmi、 皮卡可能是空的。早期的∈ [0，T]，我们有（3.27）XξT=X-K-1Xi=1ξi（ti+1- （ti）- ξk（t）- tk），其中k等于t∈ [tk，tk+1]，因此我们可以为每个ω写∈Tqi=1Ohmi、 圆周率∩ Γq，（3.28）Xξτ（ω）=X-Q-1Xi=1zi，pi（ti+1- ti）。因为V和u是连续的（见定理3.12），所以V在CN上是一致连续的：=[t，t]×B（0，N）×[-N、 N]（其中b（0，N）表示半径为N的d维欧几里德闭球），u在[-N、 N]。因此，我们可以发现δ，对于每个ti，xi，ri，i=1，2，我们有|（t- t、 x- x、 r- r） |<δN=> |V（t，x，r）- V（t，x，r）|∨ |u（r）- u（r）|<ε。更进一步，以L为例∈ N使得nl<δN，并引入：=（（1，p），（q，pq）|q∈ {0，…，2L}，p，pq∈ N.设置rj:=-N+jNL，xg:=X-Q-1Xi=1zi，pi（ti+1- ti），j∈ {1，…，2L+1}，g∈ G、 G=（（1，p）。

，（q，pq）），我们现在可以定义以下网格：ΓN=N（ti，xg，rl）|i∈ {0，…，2L}，j∈ {0，…，2L+1}，g∈ 去∩ 中国。什么时候τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω）∈ {ti}×{xg}×[rl，rl+1[∩ 我们设置γN（ω）：=（T- ti，xg，rl）。注意，tγNis Fτ是可测量的。让我们用ξ来说明*,γN（ω）与V（γN（ω））相关的最优策略（由于orem（2.4））而存在）。然后，过程ξ*,γN（ω）对于每个ω都有很好的定义∈Xξτ∧Rξτ≤ N.此外，它属于集合˙X2A（T- ti，xg）=˙X2A（T- τ（ω），Xξτ（ω））。（注意，如果τ（ω）=T和xg=0，那么对于某些rl，γN（ω）=（0，0，rl），这意味着V（γN（ω））=u（rl），因此ξ*,γN（ω）=0在这种情况下也有很好的定义。）此外，我们还通过构造（3.29）V（T- ti，xg，rl）=Ehurl+Rξ*,γN（ω）τ（ω），Ti、 因此我们获得了Xξτ∧Rξτ≤ N:V（T）- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω））- 埃胡Rξτ（ω）+Rξ*,γN（ω）τ，T（ω）我≤V（T）- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω））- V（γN（ω））+V（γN（ω））- 埃胡Rξτ（ω）+Rξ*,γN（ω）τ（ω），T我=V（T）- ti，xg，Rξτ（ω））- V（T）- ti、xg、rl）+埃胡rl+Rξ*,γN（ω）τ（ω），T我- URξτ（ω）+Rξ*,γN（ω）τ（ω），T我≤ ε+ε=2ε，由于V和u的一致连续性。因此，我们发现了一个过程ξ*,γN（.）=eξ。，τ,ε∈˙X2A（T-τ(.), Xξτ（）这样（3.25）对每ω都成立∈Xξτ∧Rξτ≤ N. 此外，eξ。，τ,ε∈Kmε（T）- τ(.), Xξτ（.），式中，必须选择mε，如（2.23）所示。第二步：让ξ和τ任意。我们可以在第一步中找到一系列过程ξkas，例如ξkc在Lp中收敛到ξ，即ZTξkt- ξtpdt-→ 0，其中p根据假设3选择。15.此外，如假设2中所述，这个过程序列可以选择位于˙X2A（T，X）中。15

我们将证明（3.30）RξkT-→K→∞RξTin概率。因为外稃。9，我们有ztt（Xξks）σdBs-→K→∞ZTt（Xξs）σdBsP-a.s.此外，作为ξktoξ，ZTtb·Xξksds的lp收敛性的直接结论-→K→∞ZTtb·Xξsds P-a.s.和zttf(-ξks）ds-→K→∞ZTtf(-ξs）L中的ds（由于假设3.15中施加在f上的增长条件），因此概率。这建立了（3.30）。第三步：我们可以找到一系列的停止时间（τk）（与第一步中的[0，T[）中的值相同，使得τk↓ τP-a.s.如上文第一步所示，每k∈ N、 我们可以找到ξ。，τk，ε∈ Kmε（T）- τk（.），Xξkτk（）使（3.31）VT- τk（ω），Xξkτk（ω），Rξkτk（ω）≤ 埃胡Rξkτk（ω）+Reξω，τk，ετk（ω），TP-a.eω的i+ε∈Xξkτk∧Rξkτk≤ N. 此外，我们还有eξ。，τk，ε∈Kmε，其中Kmε=nξ∈C˙X2A（T- τk（.），Xξτk（）KEZTτ（.）f(-ξt）dt≤ mεo，其中c（˙X2A（T-τk（.），Xξτk（.））kdenotes集合序列的闭凸包˙X2A（T-τk（.），Xξτk（）k、 回想一下，我们在这里为t设置ζt=0∈ [τ(.), τk（.）]当ζ∈˙X2A（T- τk（.），Xξτk（.），自τ（.）≤ τk（.），P-a.s.因为ekmε是弱序列紧的，如命题3所证明。7，存在ξτ，ε∈ Kmε，如果必要，通过传递到子序列，eξk，τk，ε在L中弱收敛到ξτ，ε。使用现在的引理2。9，我们有ξτ，ε∈|Xξkτk|上的KmεP-a.s∧ |Rξkτk|≤ N} 。最后一步：首先请注意我们有（3.32）lim supkEhuRξkτk（ω）+Reξω，τk，ετk（ω），T我≤ 埃胡Rξτ（ω）+Reξω，τ，ετ（ω），Tifor P-a.eω∈Xξkτk∧Rξkτk≤ N. 实际上，与ξ7的建立过程类似-→ 埃胡RξTi、 我们可以证明（r，η）7→ 埃胡r+rηt，t因此我们可以使用共轧辊。8，这证明了（3.32）。

（注意，我们不能用Fatou引理来证明（3.32），因为我们不知道是ther还是notlim supku。）Rξkτk（ω）+Reξω，τk，ετk（ω），T≤ URξτ（ω）+Reξω，τ，ετ（ω），T,因为我们只有eξω，τk，εtoeξτ，ε的弱收敛性。）回到（3.31）并考虑不等式两边的极限，我们得到了P-a.e.ω∈ {Xξτ|∧ |Rξτ|≤ N}，VT- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω）= lim supkVT- τk（ω），Xξkτk（ω），Rξkτk（ω）≤ 林素福Rξkτk（ω）+Reξω，τk，ετk（ω），Ti+ε≤ 埃胡Rξτ（ω）+Reξω，τ，ετ（ω），Ti+ε，其中第一个等式是由于V在其参数中的连续性。这表明（3.25）。我们现在可以转向证明命题3。21命题3.21的证明。引理3.22和定理3.23表示ξ∈X2A（T，X）：E[V（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）]=EhV（T- τ、 Xξτ，Rξτ）|Xξτ|∨|Rξτ|>Ni+EhV（T- τ、 Xξτ，Rξτ）|Xξτ|∧|Rξτ|≤N我≤ ε+ZOhm埃胡Rξτ+Reξω，τ，ετ，TFτi（ω）P（dω）+ε=2ε+ZOhm埃胡Rξτ（ω）+Reξω，τ，ετ（ω），TiP（dω）=2ε+EhuRξτ，εT我≤ 2ε+V（T，X，R），由于L和3。16，其中过程ξτ，ε定义为ξτ，εt（ω）=（ξt（ω）表示t∈ [0，τ（ω）]eξω，τ，εt（ω）对于t∈ [τ（ω），T]和V（T，X，R）的定义。在命题3中。21.我们已经证明了不平等”≥ ” 方程（3.16）的形式。现在还需要证明这一点。为此，我们需要以下命题，它使用了由ess supΦ表示的一组Φ的随机变量的本质上确界的概念。提案3.24。用狐猴3的符号。16，我们有（3.33）VT- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω）= ess supξω∈˙X2A（T-τ（ω），Xξτ（ω））Ehu（Rξτ+Rξωτ，T）| Fτi（ω）对于P-a.e.ωXξτ∧Rξτ≤ N.证据我们还记得V（T）填写的P-a.s.平等- τ、 Xξτ，Rξτ），VT- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω）= supξω∈˙X2A（T-τ（ω），Xξτ（ω））EhuRξτ（ω）+Rξωτ，T（ω）iP-a.s.，其中ξω定义为引理3。16.因此，这允许我们写- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω））≥ 埃胡Rξτ+Rξωτ，TFτi（ω）P-a.s.对于所有ξω∈˙X2A（T-τ（ω），Xξτ（ω））。

使用基本上确界的定义（参见F¨ollmer and Schied（2011），定义A.34），它遵循（3.34）V（T- τ（ω），Xτ（ω），RXτ（ω））≥ ess supξω∈˙X2A（T-τ（ω），Xξτ（ω））EhuRξτ+Rξωτ，T|Fτi（ω），这证明了≥ ” 共（3.33）。对于逆性质，定理3.23中的ξω，τ，ε为。我们继续{Xξτ∧Rξτ≤ N:Ehu（Rξτ+Reξω，τ，ετ，T）| Fτi（ω）≥ V（T）- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω））- εP-a.s，因此supξω∈˙X2A（T-τ（ω），Xξτ（ω））Ehu（Rξτ+Rξωτ，T）| Fτi（ω）≥ V（T）- τ（ω），Xξτ（ω），Rξτ（ω））- εP-a.s.让ε等于0，我们就得到了所需的不等式。我们现在可以证明定理3。13.理论证明3。13.多亏了3.21号提案，它仍然只能表明“不平等”≤ ” 在（3.16）中。让ξ∈˙X2A（T，X）和seteξs=ξτ+T∈˙X2A（T- τ、 s的Xξτ）≥ τ和t≥ 0.对基本原则的定义，以及相关建议3。24和引理3.22，yieldsEhuRξTi=EhuRξτ+Reξτ，Ti=EhEhu（Rξτ+Reξτ，T）| Fτii=EEhu（Rξτ+Reξτ，T）|Fτi|Xξτ|∨|Rξτ|>N+|Xξτ|∧|Rξτ|≤N≤ ε+EhV（T- τ、 Xξτ，Rξτ）|Xξτ|∧|Rξτ|≤Ni、 取ξ的上确界，然后将ε发送到零（这意味着将N发送到单位），显示评估。参考资料。阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易风险的最优执行。应用数学金融10，第S1-18页，2003年。阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。D.P.Bertsekas和S.E.Shreve。随机最优控制：离散时间案例，科学与工程数学第139卷。学术出版社[Harcour t B race Jovanovich出版社]，纽约州克朗顿，1978年。ISBN 0-12-093260-1。D.贝尔西马斯和A.W.罗。执行成本的最优控制。金融市场杂志，1（1）：1-501998。B.布查德和M.纳茨。广义状态约束的弱动态规划。暹罗J.ControlOptim。，50(6):33 44–3373, 2012.

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