每0≤ T≤ T，积分方差IV（T，T）的第一和第二Ft条件矩通过[IV（T，T）|Ft]=ZTt给出2φ（s）- t、 λ，0）+πt，φ（s）-t、 λ，0）2.u2.D，EIV（t，t）英尺= 4ZTtZTtφ（s）∨ s- s∧ s、 λ，0）φ（s）∧s- t、 λ，0）+2φ（s）∨ s- s∧ s、 λ，0）πt，φ（s）∧ s- t、 λ，0）2.u2+Ehh∏s∧s、 w（s，s）iu2.Ftidsds，其中w（s，s）=λφ（s）∨s-s∧s、 λ，0）+φ（s）∨s-s∧s、 λ，0）λ是对称的双张量，最后一个期望由引理6.24给出。证据我们使用引理6.23得到了条件平均数的公式。注意，我们可以交换条件期望和积分，因为被积函数是正的。第二步，我们使用条件期望的tower性质和引理6.23作为条件平均值：EIV（t，t）英尺=ZTtZTtEhπs，λ2.u2.πs，λ2.u2.Ftidsds=zttzthπs∧s、 λ2.u2Ehπs∨s、 λ2.u2.财政司司长∧硅Ftidsds=4ZTtZTtφ（s∨ s- s∧ s、 λ，0）φ（s）∧ s- t、 λ，0）+2φ（s）∨ s- s∧ s、 λ，0）πt，φ（s）∧ s- t、 λ，0）2.u2+嗯πs∧s、 λ2.u2.πs∧s、 φ（s）∨s- s∧s、 λ，0）2.u2.Ftidsds。分数过程的仿射表示∧ 砂τ=s∨ s- s∧ s、 注意πs，λ2.u2.πs，φ（τ，λ，0）2.u2=Y2s，λ2.u2.Y2s，φ（τ，λ，0）2.u2=hYs，λiuhYs，φ（τ，λ，0）iu= h∏s，λ φ（τ，λ，0）iu2=h∏s，wiu2，其中w=λφ(τ, λ, 0) + φ(τ, λ, 0) λ是一个对称的双张量。结果来自引理6.24。6.证明和辅助结果6。1.随机富比尼定理。我们参考了[32]中证明的定理的版本。设u为（0，∞). 修正T≥ 用Pr表示[0，T]×上的σ-代数Ohm 由所有渐进的可测量过程生成。定理6.1（随机富比尼定理）。让G:（0，∞) ×[0，T]×Ohm → R可以相对于Produ ctσ-代数B（0，∞)  公共关系。

定义过程ζ1,2:（0，∞) ×[0，T]×Ohm → R和η：[0，T]×Ohm → R乘以ζ（x，t，ω）=ZtG（x，s，ω）ds，ζ（x，t，ω）=ZtG（x，s，·）dWs（ω） η（t，ω）=Z∞G（x，t，ω）u（dx）。（i） 假设几乎所有ω的G s aties∈ Ohm（6.1）Z∞ZT|G（x，s，ω）|dsu（dx）<∞.那么，对于几乎所有ω∈ Ohm 尽管如此，t∈ [0，T]我们有ζ（·T，ω）∈ L（u）和z∞ζ（x，t，ω）u（dx）=Ztη（s，ω）ds。（ii）假设几乎所有ω的G满足∈ Ohm（6.2）Z∞sZTG（x，s，ω）dsu（dx）<∞.那么，对于几乎所有ω∈ Ohm 尽管如此，t∈ [0，T]我们有ζ（·T，ω）∈ L（u）和z∞ζ（x，t，ω）u（dx）=Ztη（s，·）dWs(ω).备注6.2。请注意∞中兴通讯[G（x，s）]dsu（dx）<∞ 安兹∞EsZTG（x，s）dsu（dx）<∞暗示条件（6.1）和（6.2）以概率1成立。6.2. 再生核希尔伯特空间。我们对[26，第8节]的论述进行了调整，以适应我们的环境，并参考本参考文献了解更多细节。让P:L∞（C）→ L（u；C）是正对称有界线性算子，即hP u，uiu≥ 0和hP u，viu=所有u，v的hP v，uiu∈ L∞（C）。双线性形式（pu，pv）7→hP u，viu在P的图像上定义了一种内部产品。关于这个内积，P的映像的完成是一个希尔伯特空间，我们将其表示为byim（P）。在L（u；C）中包含P的映像扩展到有界内射算子i:im（P）→ L（u；C）。空间H=im（i） L（u；C）具有由双射i:im（P）诱导的希尔伯特结构→ H称为P的再生核Hilbert空间。如果你∈ L∞（u；C），然后pu，pv∈ H和hP u，P viH=hP u，viu，其中包含i从符号中删除。在[26]中，空间im（P）被称为P的再生核希尔伯特空间。分数过程的仿射表示226.3。Banach空间上的高斯测度。我们介绍了在定理2.4的证明中使用的γ射线化算子理论的那些部分。

为了本节的目的，设E为可分离的Banach空间，设H为可分离的Hilbert空间，我们用它的对偶表示，设T为∈ (0, ∞).定义6.3（[26，定义3.7]）。从H到E的γ射线化算子的Banach空间γ（H；E）被定义为代数张量积H的完成 E关于规范NXn=1hn xnγ（H，E）=EnXn=1γnXn,假设h，H和γ是正交的，γnare i.i.d.标准正常。定理6.4（[26，定理7.4]）。让我∈ L（H；E）。然后我∈ γ（H；E）当且仅当存在一个中心高斯E值随机变量hX，x*伊恩*= 基*十、*kH，x*∈ E*.在这种情况下，我们有kikγ（H，E）=E[kXkE]。强可测函数的Bochner空间Θ：（0，T]→ 令人满意的（0，T]kΘ（s）kHds<∞ 由L（（0，T]；H）表示。定理6.5。让Θ：（0，T]→ L（H；E）是一个函数，对于所有x*∈ E*函数t7→ Θ（t）*十、*属于L（（0，T]；H）。那么以下陈述成立：（i）对于每个t∈ （0，T]存在唯一的正对称线性算子Pt∈ L（E）*; E） 这样对allx来说*, Y*∈ E*,hPtx*, Y*伊恩*=ZthΘ*（s） x*, Θ*（s） y*iHds。（ii）让HT E是PT的重编程核希尔伯特空间。那么HTE中包含γ-radonifyingif且仅当存在可预测的过程X时：Ohm ×[0，T]→ E哪一项能满足所有s，t∈ [0，T]与x*, Y*∈ E*thatE[hXt，x*伊恩*hXs，y*伊恩*] =Zt∧shΘ（t）- u）*十、*, Θ（s）- u）*十、*伊赫杜。在这种情况下，X被称为与Θ相关的OU进程。证据（i） 如[5，引理2.1和命题2.2]所示。（ii）的必要部分见[5，命题2.8]，有效部分见[5，定理3.3]。6.4. 基本估计。我们收集了本文中使用的一些不等式和估计。引理6.6（初等不等式）。

以下不等式适用于所有x，y>01∧xy≤ (1 ∨x） （1）∧ y） ，（6.3）y∧ 十、-1.≤ (1 ∨ y）1.∧ 十、-1.,（6.4）分数过程23的仿射表示，对于所有α，τ>0和0<<1，e-xτ≤1.∨τα-α1.∧ 十、-α,(6.5)1 - E-τxx≤ (1 ∨ τ)1.∧十、-1.,(6.6)1 - E-τx（1+τx）x≤1.∨τ1.∧ 十、-2.,(6.7)1 - E-τx1+τx+τx十、≤1.∨ τ1.∧十、-3.,（6.8）Zts-e-2xsds≤-1Γ(1 - ) ∨t1-1 - 1.∧ x-1..（6.9）证明。对于不等式（6.3）-（6.4），分别考虑以下四种情况。（1） 如果0<x，y≤ 1.然后，1∧ xy=xy≤ y=（1）∨ x） （1）∧ y） 还有y∧ 十、-1=y≤ 1 = (1 ∨ y）1.∧十、-1..（2） 如果0<x≤ 1.≤ y、 然后，1∧ xy≤ 1 = (1 ∨ x） （1）∧ y） 还有y∧ 十、-1.≤ y=（1）∨ y）1.∧ 十、-1..（3） 如果0<y≤ 1.≤ x、 然后，1∧ xy≤ xy=（1）∨ x） （1）∧y） 还有y∧十、-1.≤ 十、-1= (1 ∨ y）1.∧ 十、-1..（4） 如果1≤ x、 y.那么，1∧ xy=1≤ x=（1）∨ x） （1）∧ y） 还有y∧ 十、-1=x-1.≤ yx-1= (1 ∨ y）1.∧ 十、-1..考虑函数f（x，τ）=e-xτ和g（x，τ，α）=xαf（x，τ）。显然，f（x，τ）≤ 对于所有x，τ>0。注意xg（x，τ，α）=xα-1e-xτ（α）- τx）和g在ατ处达到最大值。因此，方程式（6.5）遵循f（x，τ）=g（x，τ，α）xα≤Gατ, τ, αxα=ταx-αe-α≤ταx-α、 方程（6.3）。定义k（x，τ）=1-E-τxx，k（x，τ）=1-E-τx（1+τx）x和k（x，τ）=1-E-τx（1+τx+τx）x。计算关于x的导数表明，对于所有τ>0，k1,2,3（·τ）都是x中的递减函数。不等式（6.6）-（6.8）从limx开始→∞k1,2,3（x，τ）=0，limx→0+ki（x，τ）=τ、 i=1，τ，i=2，τ，i=3和等式（6.4）。方程式（6.9）如下所示：-e-2sxds=Z2tx（2x）-1s-e-sds，并根据以下两个估计：Z2tx（2x）-1s-e-十二烷基硫酸钠≤Z∞（2x）-1s-e-sds=（2x）-1Γ(1 - ），Z2tx（2x）-1s-e-十二烷基硫酸钠≤Z2tx（2x）-1s-ds=t1-1 - .证据到此结束。引理6.7（初等表达式的可积性）。假设2.3成立，τ，α>0。

然后∞E-xτu（dx）<∞,（6.10）Z∞E-xτν（dx）<∞,（6.11）分数过程的仿射表示24Z∞xαe-xτu（dx）<∞,（6.12）Z∞xαe-xτν（dx）<∞,（6.13）Z∞r1- E-2τxxu（dx）<∞,（6.14）Z∞r1- E-2τx（1+2τx+2τx）xν（dx）<∞,（6.15）Z∞r1- 2e-τx（τx+1）（1）- τxe-τx）+e-2τxxu（dx）<∞.（6.16）此外，每0≤ 我们有∞sZTte-2x（T-s） dsu（dx）<∞,（6.17）Z∞sZTt（T）- s） e-2x（T-s） dsν（dx）<∞,（6.18）Z∞中兴通讯-x（T）-s） dsu（dx）<∞,（6.19）Z∞ZTt（T- s） e-x（T）-s） dsν（dx）<∞,（6.20）Z∞ZTt1- E-x（T）-s） x（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,（6.21）Z∞sZTt1.- E-x（T）-s） xdsu（dx）<∞,（6.22）Z∞sZTt1.-E-x（T）-s） （1+x（T）- s） ）xdsu（dx）<∞,（6.23）Z∞Z∞中兴通讯-（x+y）（T）-s） dsu（dx）u（dy）<∞,（6.24）Z∞Z∞ZTt（T- s） e-（x+y）（T）-s） dsν（dx）ν（dy）<∞.（6.25）证据。对于α=和α=，方程式（6.10）和（6.11）分别直接来自（6.5）。应用方程（6.5）得到β>α∞xαe-xτu（dx）≤泽-xτu（dx）+Z∞xαe-xτu（dx）≤Z1∨τβ-β!u（dx）+Z∞xα-β1 ∨τβ-β!u（dx）=1∨τβ-β!Z∞1.∧ xα-βu（dx），分数过程的仿射表示∞xαe-xτν（dx）≤ (1 ∨ (τβ)-β） R∞1.∧ xα-βν（dx）。设置β=α+和β=α+一分别证明（6.12）和（6.13）。

通过方程（6.6），我们得到方程（6.14）（6.26）Z∞r1- E-2τxxu（dx）≤1.∨ (2τ)Z∞1.∧ 十、-u（dx）<∞.通过方程（6.14），我们得到方程（6.17）Z∞sZTte-2x（T-s） dsu（dx）=Z∞r1- E-2（T）-t） x2xu（dx）<∞.通过方程（6.8），我们得到方程（6.15）（6.27）Z∞r1- E-2τx（1+2τx+2τx）xν（dx）≤ (1 ∨ （2τ）Z∞(1 ∧ 十、-)ν（dx）<∞.方程式（6.16）如下所示：∞r1- 2e-τx（τx+1）+2τxe-2τx（τx+1）+e-2τx4xν（dx）≤Z1/τrτ6xν（dx）+Z∞1/τrxν（dx）≤√2(τ ∨1） Z∞（十）-∧十、-)ν（dx）<∞.方程式（6.15）暗示方程式（6.18）Z∞sZTt（T）- s） e-2x（T-s） dsν（dx）=Z∞r1- E-2（T）-t） x（1+2）t- t） x+2（t）- t） x）4xν（dx）<∞.方程（6.19）是使用（6.5）得到的α=Z∞中兴通讯-x（T）-s） dsu（dx）≤ZTt（1∨ （T）- （s）-)dsZ∞(1 ∧ 十、-)u（dx）=T∨ （T）- 1) - t+2pT- （t）∨ （T）- 1))Z∞(1 ∧ 十、-)u（dx）<∞.方程（6.20）是使用（6.5）得到的α=Z∞ZTt（T- s） e-x（T）-s） dsν（dx）≤ZTt（T- （s）1.∨ （T）- （s）-dsZ∞(1 ∧ 十、-)u（dx）≤ZTt（T- s） ds∨ZTt（T- （s）-ds！Z∞(1 ∧ 十、-)u（dx）=（T）- （t）∨ 2.√T- TZ∞(1 ∧ 十、-)u（dx）<∞.方程式（6.6）直接暗示方程式（6.21）Z∞ZTt1- E-x（T）-s） x（1）∧ 十、-)dsν（dx）≤Z∞1.∧ 十、-ν（dx）ZTt（1）∨ （T）- s） ）ds<∞,方程（6.22）Z∞sZTt1.- E-x（T）-s） xdsu（dx）≤sZTt（1）∨ （T）- s） ）dsZ∞1.∧十、u（dx）<∞.分数阶过程的仿射表示式（6.7）直接暗示方程式（6.23）Z∞sZTtE-x（T）-s） （1+x（T）- s） )- 1xdsu（dx）≤sZTt（1）∨ （T）- s） ）dsZ∞1.∧ 十、-2.u（dx）<∞.方程（6.24）来自方程（6.17），应用柯西-施瓦兹不等式∞Z∞中兴通讯-（x+y）（T）-s） dsu（dx）u（dy）≤Z∞Z∞sZTte-2x（T-s） dssZTte-2y（T-s） dsu（dx）u（dy）=Z∞sZTte-2x（T-s） dsu（dx）< ∞.等式（6.25）与等式（6.18）Z的推导方式相同∞Z∞ZTt（T- s） e-（x+y）（T）-s） dsν（dx）ν（dy）≤Z∞sZTt（T）- s） e-2y（T-s） ds< ∞. 6.5. 第2节的辅助结果。引理6.8（条件矩（Y，Z））。

每x∈ (0, ∞) 和0≤ T≤ 过程（Yx，Zx）可以表示为（6.28）YxT=Yxte-（T）-t） x+ZTte-（T）-s） xdWs，ZxT=Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） x+ZTt（t- s） e-（T）-s） xdWs。随机变量YxT和ZXT具有[YxT | Ft]=Yxte给出的条件均值-（T）-t） x，E[ZxT | Ft]=Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） 此外，对于x，x∈ (0, ∞) 我们有条件协方差cov（YxT，YxT | Ft）=1- E-（T）-t） （x+x）x+x，Cov（YxT，ZxT | Ft）=1- E-（T）-t） （x+x）（1+t）- t） （x+x））（x+x），Cov（ZxT，ZxT | Ft）=2- E-（T）-t） （x+x）2+2（T- t） （x+x）+（t）- t） （x+x）（x+x）。证据方程（6.28）中的表示可以使用定理6.1（ii）ZxT=Zxte从（Yx，Zx）的SDE（2.2）中推导出来-（T）-t） x+ZTte-（T）-s） xYxte-（s）-t） x+Zste-（s）-u） xdWuds=Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） x+ZTtZste-（T）-u） xdWuds=Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） x+ZTtZTue-（t）-u） xdsdWu=Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） x+ZTt（t- u） e-（T）-u） 吴先生。分式过程的仿射表示条件（6.2）满足，因为-2（t）-u） xduds<∞. 条件平均值可以直接从（Yx，Zx）的表示中读取。通过计算以下积分COV（YxT，YxT | Ft）=ZTte，使用T | o等距获得条件协方差的公式-（T）-s） （x+x）ds，Cov（YxT，ZxT | Ft）=ZTt（T- s） e-（T）-s） （x+x）ds，Cov（ZxT，ZxT | Ft）=ZTt（T- s） e-（T）-s） （x+x）ds。引理6.9（Y，Z）的可积性）。让假设2.3就位，并假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）a.s.然后，对于每个t≥ 0，Yt∈ L（u）和Zt∈ L（ν）以概率1成立。证据通过引理6.8我们得到了（Yx，Zx）Yxt=Yxe-tx+Zte-（t）-s） xdWs，Zxt=Zxe-tx+Yxte-tx+Zt（t- s） e-（t）-s） xdWs。确定性部分是可积的，因为∞|Yx|e-txu（dx）≤ kYkL（u）<∞,Z∞|Zx | e-txν（dx）≤ kZkL（ν）<∞,Z∞|Yx|te-txν（dx）≤ 好的∈(0,∞)p（x）e-xttkYkL（u）<∞,其中，假设2.3用于最后一行。因此，我们可以假定（Y，Z）消失，而不丧失普遍性。

然后每个t≥ 0，EkYtkL（u）=Z∞E[|Yxt |]u（dx）=√√πZ∞pVar（Yxt）u（dx）=√√πZ∞r1- E-2tx2xu（dx）<∞,EkZtkL（ν）=Z∞E[|Zxt |]ν（dx）=√√πZ∞pVar（Zxt）ν（dx）=√√πZ∞r1- E-2tx（1+2tx+2tx）4xν（dx）<∞,由方程式（6.14）和（6.16）得出。因此，Yt∈ L（u）和Zt∈ L（ν）几乎肯定成立。引理6.10（Y，Z的线性泛函）。让假设2.3就位，并假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）a.s.然后过程（Y，Z）满足每0≤ T≤ T和（u，v）∈ L∞（u；C）×L∞（ν；C）hYT，uiu=Z∞Yxte-（T）-t） xu（x）u（dx）+ZTtZ∞E-x（T）-s） u（x）u（dx）dWs，hZT，viν=Z∞Zxte-（T）-t） x+Yxt（t- t） e-（T）-t） xv（x）ν（dx）+ZTtZ∞（T）- s） e-x（T）-s） v（x）ν（dx）dWs。特别是，给出了Ft证明，随机变量hYT，uiu+hZT，viν是高斯的。这个陈述来自引理6.8和6.9以及定理6.1。托卡斯蒂克-富比尼定理的条件（6.2）由方程（6.17）和（6.18）满足。分数过程的仿射表示28Lemma 6.11（协方差算子）。假设2.3已经到位，并且（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）a.s.然后适用于所有（u，u）∈ L∞（u；C）×L∞（u；C），（v，v）∈ L∞（ν；C）×L∞（ν；C）和所有0≤ T≤ TCovhYT，uiu，hYT，uiu英尺= hPT-tu，uiu，CovhZT，六u，hZT，六u英尺= hQT公司-tv，viν，其中Pτ：L∞（C）→ L（u；C）和Qτ：L∞（ν；C）→ L（ν；C）是由pτu（x）=Z给出的有界线性算子∞1.- E-τ（x+y）x+yu（y）u（dy），Qτv（x）=Z∞2.- E-τ（x+y）（2+2τ（x+y）+τ（x+y））（x+y）v（y）ν（dy），对于u∈ L∞（u；C），v∈ L∞（ν；C）和τ≥ 特别是，Yt和Zt是高斯随机变量，给定Ft，具有协方差算子PT-tand QT-t、 分别。证据

每个t≥ 0和任何u1,2∈ L∞（u）和v1,2∈ L∞（ν） 我们使用引理6.10Cov的表示进行了讨论hYT，uiu，hYT，uiu英尺=Z∞Z∞Cov（YxT，YyT | Ft）u（x）u（y）u（dy）u（dx）=Z∞Z∞中兴通讯-（T）-s） xe-（T）-s） ydsu（x）u（y）u（dy）u（dx）=hPT-tu，uiu，CovhZT，六u，hZT，六u英尺=Z∞Z∞Cov（ZxT，ZyT | Ft）v（x）v（y）u（dy）u（dx）=Z∞Z∞ZTt（T- s） e-（T）-s） xe-（T）-s） ydsv（x）v（y）ν（dy）ν（dx）=hQT-tv，viν通过方程（6.24）和（6.25）我们得到kpτukL（u）=Z∞Z∞Zτe-s（x+y）| u（x）| dsu（dx）u（dy）≤ CkukL∞(u)< ∞,kQτvkL（ν）=Z∞Z∞Zτse-s（x+y）|v（x）|dsν（dx）ν（dy）≤ CkukL∞(u)< ∞,对于某些常数C，后两个不等式意味着Pτ：L∞（C）→ L（u；C）和Qτ：L∞（ν；C）→L（ν；C）是有界线性算子。引理6.12（OU过程的最大不等式）。存在一个常数C>0，因此对于每个t≥ 0和x>0E“sups∈[0，t]| Yxs|#≤ C（对数（1+tx））1/2x-1/2，E“sups∈[0，t]| Zxs|#≤ C（对数（1+tx））1/2x-3/2.对初始值（Yx，Zx）=（0，0）的进程（Yx，Zx）保持。证据yx的不等式源自Graversenand Peskir[16]提出的OU过程的最大不等式。对于过程Zx，我们估计每个t≥ 0和x>0E“sups∈[0，t]| Zxs|#≤ E中兴通讯-（t）-s） x | Yxs | ds≤ CZte-（t）-s） x（对数（1+sx））1/2x-1/2ds=Che-（t）-s） x（对数（1+sx））1/2x-3/2它-CZte-（t）-s） x（对数（1+sx））-1/2（1+sx）-1x-1/2秒≤ 胆碱酯酶-（t）-s） x（对数（1+sx））1/2x-3/2it=C（对数（1+tx））1/2x-. 分式过程的仿射表示29引理6.13（半鞅分解的辅助估计）。设G（x，t）在（x，t）中是确定的和可联合测量的∈ (0, ∞) × [0, ∞). 假设Y=Z=0。然后，概率为1，Z∞Zt | G（x，t）Yxs（ω）| dsu（dx）≤ (1 ∨ t） Z∞Zt | G（x，t）|（1）∧ 十、-)dsu（dx），Z∞Zt|G（x，s）Zxs（ω）|dsν（dx）≤ (1 ∨ t） Z∞Zt | G（x，s）|（1）∧ 十、-)dsν（dx）。证据

请注意，对于每个≥ 0随机变量| Yxs |和| Zxs |为半正态分布，平均值[|Yxs |]=r1- E-2sxπx和E[|Zxs |]=r1- E-2sx（1+2sx+2sx）2πx.By（6.6）我们有∞中兴通讯[|G（x，s）Yxs |]dsu（dx）=Z∞Zt | G（x，s）| r1- E-2sxπxdsu（dx）≤ (1 ∨ t） Z∞Zt | G（x，s）|（1）∧ 十、-)dsu（dx）。到了（6.8），我们有了∞中兴通讯[|G（x，s）Zxs |]dsν（dx）=Z∞Zt | G（x，s）| r1- E-2sx（1+2sx+2sx）2πxdsu（dx）≤ (1 ∨ t） Z∞Zt | G（x，s）|（1）∧ 十、-)dsν（dx）。那么这些不等式在概率为1时成立。引理6.14（紧密性）。让我们∞, ν∞满足假设2.14。然后是随机变量（Yt，Zt）t的规律≥0紧挨着空间L（u∞) ×L（ν）∞) 具有弱拓扑。证据我们将[6，命题2]的证明推广到我们的环境中。我们赋予L（u）∞) ×L（ν）∞) 假设（Y，Z）=0。我们将使用[11，定理IV.8.9]证明，对于任何M≥ 0，setKM=n（y，z）∈ L（u）∞) ×L（ν）∞): kykL（x1/2u）∞)+ kzkL（x1/2ν）∞)≤ 在L（u）中预压缩的MOI∞) ×L（ν）∞). 对于任何可测集E [0, ∞) 和（y，z）∈ KM，柯西-施瓦茨不等式意味着k1eykl（u∞)≤ kykL（x1/2u）∞)k1EkL（x）-1/2u∞)≤√Mk1EkL（x-1/2u∞),k1EzkL（u）∞)≤ kzkL（x1/2u）∞)k1EkL（x）-1/2u∞)≤√Mk1EkL（x-1/2u∞).设置E=[0，∞) 表明Km以L（u）为界∞) ×L（ν）∞). 此外，如果 [0, ∞) 是一个可测集序列，它减少到空集，那么上面的估计表明limn→∞sup（y，z）∈Kk1EnykL（u）∞)+ k1EnzkL（u）∞)= 0.因此，满足了[11，定理IV.8.9]的条件，并且KMis是预紧的。根据普罗霍罗夫定理，证明了（Yt，Zt）t的定律≥你很紧吗→∞监督≥0Q[（Yt，Zt）/∈ 公里]=0。分数过程的仿射表示30这来自估计q[（Yt，Zt）/∈ 公里]≤MEhkYtkL（x1/2u）∞)+ kZtkL（x1/2ν）∞)i=MZ∞冠状病毒（Yxt）√xu∞（dx）+Cov（Zxt）√xν∞（dx）=MZ∞冠状病毒（Yx）∞)√xu∞（dx）+Cov（Zx）∞)√xν∞（dx）=MZ∞2x√xu∞（dx）+Z∞4x√xν∞（dx）,其中右侧由假设2.14确定。6.6.

第4.1节的辅助结果。引理6.15（可积条件）。根据假设4.1，满足以下条件：supx∈(0,∞)p（x）Ztse-sxds<∞.证据假设存在β∈ （0，2）使得p（x）（1）∧ 十、-β） 有界于x。因此，以下估计的右侧有界于x，Ztse-sxds≤Zts1∨sβ-β!1.∧ 十、-βds≤中兴通讯+sβ1.-β!ds1.∧ 十、-β=t+2- βtβ2.-β!1.∧十、-β,引理如下。引理6.16（Y，Z）的时间积分）。假设4.1到位，并假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）a.s.然后，每0≤ T≤ T代表所有人（u，v）∈ L∞（u；C）×L∞（ν；C）一个hasZTthYs，uiu+hZs，viνds=-hYt，Φ（T）- t、 u，v）我- hZt，Φ（T）- t、 u，v）iν-ZTthΦ（T）- s、 u，v），1iudWswithΦ，Φ，如定理4.2所示。特别是，随机变量rtt（hYs，uiu+hZs，viν）ds是高斯的，给定nft。证据Φ，Φ的时间导数由下式给出：τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxu（x）+τp（x）v（x）, τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxv（x）。从引理6.10可知，对于任何0≤ T≤ s、 hYs，ui+hZs，vi=-海特，τΦ（s）- t、 u，v）我- hZt，τΦ（s）-t、 u，v）我-ZsthτΦ（s）- r、 u，v），1iudWr。结果通过对s积分得出∈ [t，t]并将富比尼定理（定理6.1）应用于上述三个总和。

对于第一个求和，定理6.1的条件（6.1）由引理6.15和分式过程的仿射表示满足∞ZTt | YxtτΦ（s）- t、 u，v）| dsu（dx）≤ 库克尔∞（u）kYtkL（u）+kvkL∞（ν） Z∞|Yxt | ZTt（南）- t） e-（s）-t） xdsp（x）u（dx）=kukL∞（u）kYtkL（u）+kvkL∞（ν） Z∞|Yxt | ZT-谢-sxdsp（x）u（dx）<∞.对于第二个求和，条件（6.1）为asZ∞ZTt | Zxte-（s）-t） xv（x）|dsν（dx）≤ （T）- t） kvkL∞（ν） kZtkL（ν）<∞.对于第三个求和，我们首先使用富比尼定理来交换有关u（dx）和dWr:Zsth的积分阶τΦ（s）-r、 u，v），1iudWr=-Z∞Zste-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dWru（dx）。这是允许的，因为等式（6.2）满足等式（6.14）和（6.18）：Z∞sZste-2（s）-r） x|u（x）|u（dx）<∞,Z∞深圳科技大学（南）- r） e-2（s）-r） x|v（x）|ν（dx）<∞,然后，我们交换积分的顺序，相对于dWrand和乘积度量u（dx）ds，从而将第三个和转化为形式-ZTtZ∞Zste-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dWru（dx）ds=-ZTtZTrZ∞E-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）u（dx）dsdWr。这是允许的，因为条件（6.2）由等式（6.26）和（6.27）满足：ZTtZ∞sZste-2（s）-r） dr|u（x）|u（dx）ds<∞,ZTtZ∞深圳科技大学（南）- r） e-2（s）-r） dr|v（x）|ν（dx）ds<∞.最后，我们交换最里面的积分u（dx）和ds，它们由条件（6.1）和方程（6.19）和（6.20）调整。然后第三个和由-ZTtZ∞中兴通讯-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dsu（dx）dWr=-ZTthΦ（T）- r、 u，v），1iudWr。引理6.17（半鞅性质）。在假设4.1下，表达式hYt，Φ（T- t、 u，v）iu和hzt，Φ（t- t、 u，v）iν是t中的连续半鞅∈ [0，T]，对于每个固定的T>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据我们验证了定理2.13的条件。在下面的估计中，可以假定函数u和v等于1，因为它们是有界的，而不损失一般性。

分式过程的石蜡表示的条件（2.9）和（2.10）32fxt=Φ（T- t、 u，v）（x）由方程（6.21）、（6.22）和（6.23）满足：Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=Z∞Zt1 +1 - E-（T）-s） xxp（x）(1 ∧ 十、-)dsu（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）≤Z∞sZtE-（T）-s） x- 1xdsu（dx）+Z∞sZtE-（T）-s） x- 1x+τxe-（T）-s） xdsν（dx）<∞.gxt=Φ（T）满足条件（2.11）和（2.12- t、 u，v）（x）通过等式（6.21）：Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Zt（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Zt1- E-τxx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.因此，我们验证了定理2.13的条件，引理的陈述如下。引理6.18（半鞅性质）。根据假设4.1，表达式hYt，τΦ（τ，u，v）iu和hZt，τΦ（τ，u，v）iν是t中的连续半鞅∈ [0，T]，对于每个固定τ>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据通过验证定理2.13的条件，我们证明了半鞅的性质。我们有τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxu（x）+τp（x）v（x）, τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxv（x）。在下面的估计中，可以假定函数u和v等于1，因为它们是有界的，而不丧失一般性。fxt的条件（2.9）和（2.10）=τΦ（τ，u，v）（x）由方程（6.10）-（6.13）：Z满足∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=Z∞Ztxe-τx1+τp（x）(1 ∧ 十、-)dsu（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）≤Z∞sZt2e-2τxdsu（dx）+Z∞sZt2τe-2τxdsν（dx）<∞.gxt的条件（2.11）和（2.12）=τΦ（τ，u，v）（x）由方程（6.13）满足：Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Ztxe-τx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Ztxe-τx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.因此，我们验证了定理2.13的条件，引理的陈述如下。6.7. 第4.2节的辅助结果。引理6.19（半鞅性质）。

根据假设2.3，表达式hYt，τφ(τ, -U-v） 我和HZT，τφ(τ, -U-v） iν是t中的连续半鞅∈ [0, ∞) 对于每个固定τ>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据我们验证了定理2.13的条件。由于u和v是有界的，我们可以在不损失一般性的情况下，假设u=v=1。fxt的条件（2.9）–（2.12）=τφ(τ, -U-v） （x）分式过程的Andafine表示33gxt=τφ(τ, -U-v） （x）满足方程式（6.10）-（6.13）：Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=tZ∞|十、τφ(τ, -U-v） |（1）∧ 十、-)u（dx）≤ tZ∞xe公司-xτu（dx）+tZ∞xe公司-xτν（dx）+tτZ∞xe公司-xτν（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）=√tZ∞|τφ(τ, -U-v） |u（dx）≤√tZ∞xe公司-xτu（dx）+√tZte-xτν（dx）+√tτZtxe-xτν（dx）<∞,Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=tZ∞|十、τφ(τ, -U-v） |（1）∧ 十、-)ν（dx）=tZ∞xe公司-xτν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=tZ∞|τφ(τ, -U-v） |ν（dx）≤ tZ∞E-xτν（dx）<∞. 6.8. 第5节的辅助结果。引理6.20（协方差算子的内射性）。对于任何τ>0的映射，Pτ都是L∞（u；C）希尔伯特空间Hτ的复杂性。证据为了简单起见，我们为复杂空间Hτ写HτRC（见第6.2节）。如果Pτv=0，则∈ L∞（u；C），然后0=hPτv，PτviHτ=hPτv，viu=ZτZ∞v（x）e-sxu（dx）ds。因此，复测度vu的拉普拉斯变换L（vu）（s）几乎在所有s处消失∈ [0, τ]. AsL（vu）（s）在s中是解析的，它以相同的方式消失。通过拉普拉斯变换的内射性[19，第3.8节]，复测度vu消失，相当于L中的v=0∞（C）。引理6.21（对称双张量的对角化）。对于每个τ≥ 0任意对称双张量w∈L∞（C）2表示为平方sw=nXk=1θkvk之和 vk，带θk∈ C和vk∈ L∞（u；C），使得函数vkar与引理6.11中定义的协方差算子Pτ有关，即hPτvk，vliu=δkl。证据

为了简单起见，我们为复杂空间Hτ写HτRC。设w=Pmk=1wk工作∈ L∞（C）2beany对称双张量和集合V=spanC{w，…，wm}。根据引理6.20，双线性形式hPτ·，·i是有限维向量空间V上的标积。通过对角化得到w的理想表示∈ 五、2关于这个标量积。引理6.22（一个有效结构）。让u满足假设2.3和Y∈ L（u）。设w=Pnk=1θkv2k∈伊尔∞(u)2b在引理6.21和0的意义下分解为平方和的对称十sor≤ T≤ T，ehh∏T，wiu2.Fti=eψ（T）-t、 w）+h∏t，ψ（t）-t、 w）我2，分式过程的仿射表示，其中（ψ，ψ）：[0，∞) ×L∞（C）2.→ C×L∞（C）2由ψ（τ，w）给出-nXk=1log（1- 2θk），ψ（τ，w）（x，y）=nXk=1θk1- 2θkvk（x）vk（y）e-（T）-t） （x+y）。证据让0≤ T≤ T固定，让w=Pnk=1θkv2K可以是引理6.21意义下w分解成平方和的结果。通过引理6.10，6.11和6.21，随机变量hYT，viu，hYT，vniu是独立的高斯分布，给定Ft，条件均值为hHyt，vkiuFti=hYt，φ（T- t、 vk，0）iu，k∈ {1，…，n}和单位方差。因此，随机变量hY，viu，hY，vniu是独立的非中心χ，给定nft，具有非中心参数shyt，φ（T- t、 vk，0）iu=πt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2，k∈ {1，…，n}。利用非中心χ分布heh∏T，wiu的独立性和特征函数，我们得到了a ffine变换公式2.Fti=nYk=1heθkhYT，vkiuFti=exp-nXk=1log（1- 2θk）+nXk=1θk1- 2θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.我们认识到上面右边的函数ψ和ψ。引理6.23（条件平均值）。每v2.∈ L∞(u) sL∞（u）和0≤ T≤ T，Ft条件平均值πT，v2.u是的πT，v2.u2.Fti=2φ（τ，v，0）+πt，φ（τ，v，0）2.u2.证据。

我们使用定理5.1来计算EhπT，v2.u2.Fti=iq | q=0Eeiqh∏T，v2iu2.英尺=我q | q=0eψ（T-电视2iq）+h∏t，ψ（t）-电视2iq）iu2=iq | q=0e-日志（1）-4φ（τ，v）√智商（0）+πt，φ（τ，v）√智商（0）21-4φ（τ，v）√智商（0）u2=iq | q=0e-日志（1）-4iqφ（τ，v，0））+iqπt，φ（τ，v，0）21-4iqφ（τ，v，0）u2=2φ（τ，v，0）+πt，φ（τ，v，0）2.u2.引理6.24（条件二阶矩）。让我们∈ L∞(u)  L∞（u）是平方和表示W=nXk=1θkv的对称张量2k。如引理6.21。然后每0≤ T≤ T，h∏T的Ft条件二阶矩，wiu2由ehh∏T给出，wiu2.Fti=2nXk=1θk+2nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2+nXk=1θk+nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.证据。在引理6.22的证明中，我们有ψ（T）- t、 iqw，0）=-nXk=1log（1- 2iqθk），ψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=e-（T）-t） （x+y）nXk=1iqθk1- 2iqθkvk（x）vk（y）。对于ψ（T）的导数- t、 iqw，0）关于我们得到的qqψ（T）- t、 iqw，0）=inXk=1θk1- 2iqθk，qψ（T）- t、 iqw，0）=-2nXk=1θk（1- 2iqθk），以及ψ（T）的导数- t、 iqw，0）关于我们得到的qqψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=ie-（T）-t） （x+y）nXk=1θk（1- 2iqθk）vk（x）vk（y），qψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=-2e-（T）-t） （x+y）nXk=1θk（1- 2iqθk）vk（x）vk（y）。利用特征函数，我们得到了h∏T，wiu2.Fti=-q | q=0Eheiqh∏T，wiu2.Fti=2nXk=1θk+2nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2+nXk=1θk+nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.参考文献[1]大卫·K·巴克斯和斯坦利·E·辛。“长期记忆中的不确定性：来自利率期限结构的证据”。摘自：《货币、信贷和银行学杂志》25.3（1993），第681-700页。[2] 安德烈亚斯·巴斯和简·佩德森。“列维驱动的移动平均和半鞅”。《随机过程及其应用》119.9（2009），第2970-2991页。[3] Mikkel Bennedsen、Asger Lunde和Mikko S.Pakkanen。“布朗半平稳过程的混合方案”。《金融与随机21.4》（2017）第页。

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