分数阶过程的仿射表示及其应用

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Affine representations of fractional processes with applications in
mathematical finance》
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作者：
Philipp Harms and David Stefanovits
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
Fractional processes have gained popularity in financial modeling due to the dependence structure of their increments and the roughness of their sample paths. The non-Markovianity of these processes gives, however, rise to conceptual and practical difficulties in computation and calibration. To address these issues, we show that a certain class of fractional processes can be represented as linear functionals of an infinite dimensional affine process. This can be derived from integral representations similar to those of Carmona, Coutin, Montseny, and Muravlev. We demonstrate by means of several examples that this allows one to construct tractable financial models with fractional features.
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中文摘要：
分数过程由于其增量的依赖结构和样本路径的粗糙性，在金融建模中得到了广泛应用。然而，这些过程的非马尔可夫性给计算和校准带来了概念和实际困难。为了解决这些问题，我们证明了一类分数过程可以表示为无限维仿射过程的线性泛函。这可以从类似于卡莫纳、库廷、蒙塞尼和穆拉夫列夫的积分表示中推导出来。我们通过几个例子证明，这允许我们构造具有分数特征的可处理金融模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Affine_representations_of_fractional_processes_with_applications_in_mathematical.pdf
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可人4

2022-5-9 07:24:44

分数过程的仿射表示及其在数学金融中的应用Philipp HARMS和DAVID STEFANOVITSAbstract。由于增量结构的依赖性和样本路径的粗糙性，分数过程在金融建模中得到了广泛应用。然而，这些过程的非马尔可夫性给计算和校准带来了概念和实践上的困难。为了解决这些问题，我们证明了一类分数过程可以表示为有限维过程的线性泛函。这可以从类似于卡莫纳、库廷、蒙塞尼和穆拉夫列夫的积分表示中推导出来。我们通过几个例子证明，这允许我们构建具有分数特征的可处理金融模型。1.引言经验证据表明，低维马尔可夫模型可能无法很好地捕捉某些金融时间序列。特别是，这适用于短期利率，它往往具有长范围依赖性[1]，以及股票价格的波动性，它们具有粗糙的样本路径，可以用小赫斯特指数的分数布朗运动很好地描述[15]。然而，相依增量和粗糙样本路径是分式过程的特征。在本文中，我们证明了某些分数过程，包括分数布朗运动和一些相关过程（见备注3.9），允许表示为有限维过程的线性泛函。

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可人4

2022-5-9 07:24:47

其关键思想可以追溯到Carmona、Coutin、Montseny和Muravlev[6,7,25]，即通过Laplacetransform来表示分数布朗运动的Mandelbrot-Van-Ness表示中的分数积分：对于每个H<1/2，通过随机Fubini定理Zt（t- s） H-dWs∝ZtZ∞E-x（t）-s） dxxH+dWs=Z∞中兴通讯-x（t）-s） dWsdxxH+。如[6,7,25]所述，右侧是众多Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的叠加，平均值回复速度各不相同。我们的贡献是双重的。首先，我们介绍了从另一个角度研究分式过程的思想。具体地说，我们证明了OU进程的集合是一个在LOR L函数状态空间上的有效进程。H>1/2的情况需要函数（t）的一个新的积分表示- s） H-1/2（见备注3.6）。其次，我们用过程语言建立了几个具有分数特征的财务模型。具体而言，我们构建了一个分数短期利率模型，与[27]和[4]相比，折扣债券息票价格是鞅。我们还构建了Stein和Stein[31]提出的随机波动率模型的分数版本。我们的结果与数学财务和概率相关，原因如下。首先，分数过程的a ffine表示提供了一种将著名a ffine模型从半鞅推广到分数设置的自然方式。这有助于将不受无套利理论限制的数量建模为半鞅（例如股票价格的波动率[15]）。在目前的高斯背景下，2010年数学学科分类的全部力量。60G22，60G15，60J25，91G30。关键词和短语。

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可人4

2022-5-9 07:24:50

分数过程，马尔可夫表示，有效过程，有限维马尔可夫过程，分数利率模型，分数波动率模型。部分由SNF赠款149879和ETH基金会支持。我们非常感谢约瑟夫·泰奇曼、马里奥·乌思里希和克里斯塔·库奇罗的宝贵意见和建议。不可否认，分数过程的仿射表示并不起作用，因为条件期望也可以直接从积分表示中计算出来。然而，非高斯分数过程的情况并非如此[18]。其次，最近人们对非有效的分数波动率模型，如分数Bergomiand-SABR模型，产生了极大的兴趣[24,15]。推导这些模型的短时、大时和机翼渐近性，以及开发定价和校准的数值方案，是一个重大挑战。希望马尔科夫的观点将有助于实现这些目标。第三，马尔可夫结构有助于刻画突变时间后分数布朗运动的行为。这些特征对于理解具有分馏价格过程的模型中的套利机会至关重要（c.f.[17,9]中的粘性属性和[28]中的套利时间概念）。此外，马尔科夫性质带来了模型状态的明确概念，这使得以有意义的方式谈论校准成为可能。我们的一些结果可以通过用L’evy过程代替布朗噪声来推广到非高斯环境。这将导致将分数L’evy过程[23,13,21]表示为L’evy驱动的Ornstein–Uhlenbeck过程的叠加。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:24:53

同样有趣的是，我们可以推导出[18]中所述的沃尔特拉过程的类似表示，其中沃尔特拉过程的结构比高斯环境更重要。本文的结构如下。在第2节中，我们证明了OU过程的集合确实是aBanach空间值的有效过程。在第三节中，我们推导了分数布朗运动的有效表示。第4节致力于利率建模的应用，第5节致力于Stein和Stein[31]的随机波动率模型的分数版本。第6.2节收集了一些辅助结果和证据。无限维Ornstein–Uhlenbeck过程2。1.设置和符号。让(Ohm, F、（Ft）t∈R、 Q）是一个满足通常条件的过滤概率空间，设W=（Wt）t∈Rbe上的双边（Ft）-布朗运动Ohm, 让P表示可预测的sigma代数Ohm ×R+。定义2.1（OU流程）。给定一组F-可测R-值随机变量Yx，Zxindexedby x∈ (0, ∞), 让我们为每一个t≥ 0Yxt=Yxe-tx+Zte-（t）-s） xdWs，Zxt=Zxe-tx+Zte-（t）-s） xYxsds，（2.1）并让Yt=（Yxt）x>0和Zt=（Zxt）x>0表示由均值回归速度x索引的OU过程集合。备注2.2。每x∈ (0, ∞), 过程（Yxt，Zxt）t≥0解算SDEdYxt=-xYxtdt+dWt，dZxt=(-xZxt+Yxt）dt。（2.2）因此，这是一个双变量OU过程，变量x与过程的均值回归速度有关（详见引理6.8）。Ornstein–Uhlenbeck过程。在本节中，我们展示了过程（Yt，Zt）t≥0取L（u）×L（ν）中的值，其中u和ν的测量值受以下条件的影响。假设2.3（可积条件）。

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可人4

2022-5-9 07:24:56

u和ν是（0，∞) 例如，对于u和每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-)u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-)ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)p（x）e-tx<∞.我们赋予空间L（u）、L（ν）和L（u）×L（ν）范数拓扑，并用B表示相应的Borel-sigma代数。因此，一个过程（X，Y）：Ohm ×R+→ L（u）×L（ν）是可预测的，当且仅当它是P/B（L（u）×L（ν））可测的，这相当于X是P/B（L（u））可测的，而Y是分数过程3P/B（L（Ⅴ））可测的仿射表示，因为L空间的范数拓扑具有可数基[12，定理III.5.10]。空间L（u）和L之间的配对∞（u）用h·、·iu表示，类似地，用L（ν）和L表示∞(ν). 这些空间的复杂性用L（u；C）等表示。定理2.4（L中的OU过程）。设u，ν满足假设2.3，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。然后过程（Yt，Zt）t≥0具有可预测的L（u）×L（ν）值版本，并且是高斯型。备注2.5。Carmona和Coutin[6]表明，对于每个固定的t≥ 0，随机变量以L（u）为单位。证据引理6.8显示，对于每个x∈ (0, ∞) 过程（Yxt，Zxt）t≥0可以用asYxt=Yxe表示-tx+Zte-（t）-s） xdWs，Zxt=Zxe-tx+Yxte-tx+Zt（t- s） e-（t）-s） xdWs。（2.3）根据假设2.3，上述表示中的确定性部分分别是L（u）和L（ν）值的连续函数。因此，我们可以假设Yand Zare为零，而不失普遍性。引理6.9表明，对于每个固定的≥ 0，（Yt，Zt）∈ L（u）×L（ν）几乎肯定成立。此外，对于任何（u，v）∈ L∞（u）×L∞（ν），随机变量hYt、uiu和hZt、viν为中心高斯分布，如图6.10所示。

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kedemingshi

2022-5-9 07:24:59

让Pt:L∞(u) → L（u）和Qt:L∞(u) → L（ν）是相关的协方差算子，在引理6.11中明确计算。为了证明Y有一个可预测的L（u）值版本，让T∈ (0, ∞), 让我们 L（u）是PT的再生核希尔伯特空间（见第6.2节）。HTin L（u）的包含是γ辐射化（见定义6.3），因为Yt提供了一个具有协方差算子PT的高斯随机变量的实例（见定理6.4）。对于每个人来说∈ （0，T）定义∈ L（u）和Θ*（s）：L∞(u) → R乘以Θ（s）（x）=e-sx，Θ*（s）（u）=hΘ（s），uiu。（2.4）然后*每个t的满意度∈ [0，T]和u∈ L∞（u）ZtΘ*（t）- s）（u）ds=ZtZ∞E-x（t）-s） u（x）u（dx）ds=hPtu，用户界面u<∞,其中积分顺序可以交换，因为条件（6.1）满足方程式（6.24）。根据定理6.5，存在一个可预测的过程：Ohm ×[0，T]→ L（u）满足所有s，t∈ [0，T]和allu，v∈ L∞（u）thateheyt，uiuheYs，viui=Zt∧shΘ（t）- r）*u、 Θ（s）- r）*viHTdr。根据定理6.5，该方程可唯一确定，直至修正。因为这个方程由Y和T满足∈ (0, ∞) 是任意的，我们已经证明Y有一个可预测的L（u）值版本。我们使用相同的参数来证明Z有一个可预测的L（ν）值版本。这一次，为了每一个人∈ (0, ∞), 设Ht为QT的再生核希尔伯特空间（见第6.2节）。然后，qtl（ν）的嵌入是γ射线化的（见定义6.3），因为zt提供了一个具有协方差算子QT的高斯随机变量的实例（见定理6.4）。对于每个人来说∈ （0，T）定义∈ L（ν）和Θ*（s）：L∞(ν) → RbyΘ（s）（x）=se-sx，Θ*（s）（v）=hΘ（s），viν。（2.5）然后*每个t的满意度∈ [0，T]和v∈ L∞（ν） ZtΘ*（t）- s）（五）ds=ZtZ∞（t）- s） e-x（t）-s） v（x）ν（dx）ds=hQtv，viν<∞,其中积分顺序可以交换，因为条件（6.1）满足方程式（6.25）。

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kedemingshi

2022-5-9 07:25:02

通过与上述相同的参数，Z有一个可预测的版本：Ohm ×R+→ L（ν）。分数过程的仿射表示42.3。一种新的结构。我们推导了测试函数u的条件本征矩hY、uiu和hZ、viν的有限维a ffine变换公式∈ L∞（C）和v∈ L∞（ν；C）。定理2.6（有效结构）。设u，ν满足假设2.3，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。那么过程（Y，Z）是一个函数，在这个意义上，对于每个0≤ T≤ T和（u，v）∈ L∞（u；C）×L∞（ν；C），关系ehyt，uiu+hZT，viνFti=eφ（T-t、 u，v）+hYt，φ（t）-t、 u，v）iu+hZt，φ（t-t、 u，v）iν以概率1成立，其中函数（2.6）（φ，φ，φ）：[0，∞) ×L∞（u；C）×L∞（ν；C）→ C×L∞（u；C）×L∞（ν；C）由（2.7）φ（τ，u，v）=Zτ给出Z∞φ（s，u，v）（x）u（dx）ds，φ（τ，u，v）（x）=e-τxu（x）+τv（x）p（x）,φ（τ，u，v）（x）=e-τxv（x）。证据引理6.10表示，对于每个≤ T≤ T，随机变量hYT，uiu+hZT，viν为高斯分布，给定nft，带均值z∞Yxte-（T）-t） xu（x）u（dx）+Z∞Zxte-x（T）-t） +Yxt（t- t） e-x（T）-（t）v（x）ν（dx）=hYt，φ（T）- t、 u，v）iu+hZt，φ（t- t、 u，v）iν。通过它的等距图，给出了给定FtisZTt的hYT、uiu+hZT、viν的条件方差Z∞E-（T）-s） xu（x）u（dx）+Z∞（T）- s） e-x（T）-s） v（x）ν（dx）ds，等于2φ（T- t、 u，v）。因此，ehyt，uiu+hZT，viνFti=eVar（hYT，uiu+hZT，viν| Ft）+E[hYT，uiu+hZT，viν| Ft]=Eφ（T-t、 u，v）+hYt，φ（t）-t、 u，v）iu+hZt，φ（t-t、 u，v）iν。证据到此结束。系数函数（φ，φ，φ）是有限维Riccati方程组的解。为了计算方程，我们需要引入一些拓扑结构。我们赋予空间L∞（C）和L∞（ν；C）具有弱星型拓扑。然后它们是局部凸可分Hausdorff向量空间。特别是，这些空间中具有值的曲线的可微性得到了很好的定义。定义2.7（Riccati方程）。

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能者818

2022-5-9 07:25:05

（2.6）中的映射φ，φ，φ称为Riccati方程的解，如果它们在区间[0]的t上是连续的，∞), 在时间间隔（0，∞), 并满足（2.8）τ（φ，φ，φ）（τ，u，v）=（R，R，R）φ（τ，u，v），φ（τ，u，v）,（φ，φ，φ）（0，u，v）=（0，u，v），其中映射（R，R，R）：L∞（u；C）×L∞（ν；C）→ 由（u，v）给出了分式过程的C×L（u；C）×L（ν；C）仿射表示=Z∞u（x）u（dx）,R（u，v）（x）=-xu（x）+p（x）v（x），R（u，v）（x）=-xv（x）。引理2.8（Riccati方程）。方程（2.7）中定义的函数（φ，φ，φ）是Riccati方程（2.8）的唯一解。证据很容易验证方程（2.7）给出的函数（φ，φ，φ）在定义2.7的意义上解决了Riccative方程。设（φ，φ，φ）为任何其他解。然后ext（φ-φ）具有消失导数和初始条件，这意味着它是常数且φ=φ。这同样适用于ext（φ）- φ），表示φ=φ，和φ- φ、表明φ=φ。2.4. 采样路径的连续性。在度量u和ν的以下条件下，过程（Y，Z）相对于范数拓扑在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。假设2.9（可积条件）。u和ν是（0，∞) 例如，对于u和每个t>0Z，ν具有密度p∞日志（1+tx）1/2x-u（dx）<∞,Z∞日志（1+tx）1/2x-ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)p（x）e-tx<∞.备注2.10。与假设2.3相比，假设2.9相当于接近于零，并且从极限可以看出，假设2.9更接近于零t>0:limx→0+对数（1+tx）1/2x-1.∧十、-=√t、利克斯→∞日志（1+tx）1/2x-1.∧ 十、-= ∞.定理2.11（样本路径的连续性）。在假设2.9下，如果初始条件（Y，Z）位于该s步，则过程（Y，Z）在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。备注2.12。

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能者818

2022-5-9 07:25:08

注意，定理2.11不能保证（Y，Z）是L（u）×L（ν）中的高斯过程；这源自假设2.3下的定理2.4。证据Yxe的表达-TX和Zxe-tx+Yxte-txde分别定义连续L（u）和L（ν）值函数。因此，根据等式（2.3）中（Y，Z）的表示，我们可以假设（Y，Z）=0，而不丧失一般性。根据引理6.12和关于u的假设2.9，关于uyieldsE“Z的积分∞小吃∈[0，t]| Yxs |u（dx）#≤ CZ∞日志（1+tx）1/2x-u（dx）<∞,我们可以交换积分的顺序，因为被积函数是正的。这意味着[t:是的∈ L（u）]=1。此外，利用以Y的sup过程为主的控制收敛定理，Q[Y]∈ C（[0，∞); L（u））]=1。对于过程Z，引理6.12和假设2.9对ν的估计表明Q[t:Zxt∈ L（ν）]=1。如前所述，以Z的sup过程为主的支配收敛定理暗示了Q[Z]∈C（[0，∞); L（ν））]=1。2.5. 半鞅性质。在这一节中，我们研究过程（Y，Z）的线性泛函是半鞅的条件。我们考虑与时间相关的线性泛函，因为这将在以后的应用中需要。分数过程的仿射表示6Theorem 2.13（半鞅性质）。让假设2.3就位。

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大多数88

2022-5-9 07:25:12

设fx和gxt在（x，t）中是实值的、确定性的、联合可测的∈ (0, ∞) × [0, ∞), 不同的，不同的T≥ 0:kftkL∞(u)< ∞ 和kgtkL∞(ν)< ∞.假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν），a.s.，以及每t≥ 0Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）<∞,（2.9）Z∞sZt（fxs）dsu（dx）<∞,（2.10）Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,（2.11）Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.（2.12）然后（hYt，ftiu）t≥0and（hZt，gtiν）t≥0是分解为（2.13）hYt，ftiu=hY，fiu+ZtZ的半鞅∞(sfxs- xfxs）Yxsu（dx）ds+ZtZ∞fxsu（dx）dWs，hZt，gtiν=hZ，giν+ZtZ∞(sgxs- xgxs）Zxsν（dx）ds+ZtZ∞gxsYxsν（dx）ds。证据首先观察thathYt，ftiu=Yt- Yxe-xt，ftu+Yxe-xt，ftu，hZt，gtiν=Zt- Zxe-xt- Yxte-xt，gtν+Zxe-xt，gtν+Yxte-xt，gtν.自从海克斯-xt，ftiu，hZxe-xt，gtiν和hYxte-gtiν是我们假设的有限变化过程，不损失Y=Z=0的一般性。通过（Y，Z）的SDE（2.2）及其公式，过程（fxtYxt，gxtZxt）的半鞅分解由fxtYxt=Zt给出(sfxs- xfxs）Yxsds+ZtfxsdWs，gxtZxt=Zt(sgxs- xgxs）Zxsds+ZtgxsYxsds。因此，hYt，ftiu=Z∞Zt(sfxs- xfxs）Yxsdsu（dx）+Z∞ZtfxsdWsu（dx），hZt，gtiν=Z∞Zt(sgxs- xgxs）Zxsdsν（dx）+Z∞ztgxsyxsdν（dx）。根据定理6.1，我们得到了hYt，ftiu和hZt，gtiν的半鞅分解。通过引理6.13和方程（2.9）-（2.12），满足条件（6.1）和（6.2）。2.6. 平稳分布。我们证明了（Y，Z）的平稳分布一般不是L（u）×L（ν）上的高斯分布，而只是在更大的空间L（u）上∞)×L（ν）∞) 对应于度量上更强的可积性条件∞和ν∞.分数过程的仿射表示7假设2.14（可积条件）。u∞, ν∞sigma-有限度量是否在（0，∞) 以至于∞阿登普∞关于Tou∞安兹∞十、-1/2u∞（dx）<∞,Z∞十、-3/2ν∞（dx）<∞, 好的∈(0,∞)P∞（x） e-tx<∞.备注2.15。假设2.14比假设2.3更严格。

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大多数88

2022-5-9 07:25:16

差异在于接近零的测量值的衰减：u，ν满足假设2.3当且仅当测量值为u∞（dx）=（1）∧ x1/2）u（dx），ν∞（dx）=（1）∧ x1/2）ν（dx）（2.14）满足假设2.14。在这种情况下，L（u）×L（ν） L（u）∞) ×L（ν）∞).定理2.16（平稳分布）。随机变量Y∞= （Yx）∞)x> 0和Z∞= （Zx）∞)x> 0definedbyx∞=Z-∞esxdWs，Zx∞= -Z-∞SexSDW（2.15）正态分布在L（u）上∞) ×L（ν）∞). 它们的分布在（Yt，Zt）等于（Y）的意义上是稳定的∞, Z∞) 如果（Y，Z）的分布与（Y）相等∞, Z∞).证据（Y）∞, Z∞) ∈ L（u）∞) ×L（ν）∞) 几乎可以肯定，因为基尼∞吉隆坡（u）∞)=Z∞EZ-∞esxdWsu∞（dx）=Z∞rπxu∞（dx）<∞,EkZ∞kL（ν）∞)=Z∞EZ-∞sesxdWsν∞（dx）=Z∞r2πxν∞（dx）<∞.对于每个u，v∈ L∞(u∞) ×L∞(ν∞), 随机变量hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞可以用Fubini（定理6.1）表示为（2.16）hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞=Z-∞Z∞esxu（x）u∞（dx）dWs+Z-∞Z∞sesxv（x）ν∞（dx）dWs。Fubini定理的条件（6.2）满足，因为∞sZ-∞e2sxu（x）dsu∞（dx）≤ 库克尔∞(u∞)Z∞r2xu∞（dx）<∞,Z∞sZ-∞se2sxv（x）dsν∞（dx）≤ kvkL∞(u∞)Z∞r4xν∞（dx）<∞.因此，hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞是L（u）上的中心高斯随机变量∞) ×L（ν）∞). 表明（Y）的分布∞, Z∞) 是静止的，假设（Y，Z）=（Y∞, Z∞). 那么引理6.8意味着yxt=Zt-∞E-（t）-s） xdWs，Zxt=Zt-∞（t）- s） e-（t）-s） xdWs，其分布与Y相等∞还有Z∞, 分别地定理2.17（收敛到平稳分布）。对于任何初始条件（Y，Z）∈ L（u）∞) ×L（ν）∞) 还有什么t≥ 0，我们认为（Yt，Zt）是一个随机变量，其值在空间L（u）中∞) ×L（ν）∞),我们赋予它弱拓扑。然后（Yt，Zt）在分布上收敛到（Y）∞, Z∞) 作为t→ ∞.8.分数仿射过程的证明。让（u，v）∈ L∞(u∞) ×L∞(ν∞).

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kedemingshi

2022-5-9 07:25:21

通过等式（2.16）及其等距计算中心高斯随机变量hY的方差∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞伊西∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞)i=Z-∞Z∞esxu（x）+sv（x）p∞（十）u∞（dx）ds。假设（Y，Z）=0。随着时间的推移∞和ν∞满足定理2.6 limt的条件→∞Ehyt，uiu∞+hZt，viν∞i=极限→∞eφ（t，u，v）+hY，φ（t，u，v）iu∞+hZ，φ（t，u，v）iν∞= 呃∞（R）∞E-sx（u（x）+sv（x）p∞（x））u∞（dx））ds=eVar（hY∞,uiu∞+赫兹∞,viν∞)= 嘿嘿∞,uiu∞+赫兹∞,viν∞i、这表明（Yt，Zt）的特征函数向（Y）的特征函数的逐点收敛∞, Z∞). 通过引理6.14，随机变量（Yt，Zt）的定律≥0紧挨着空间L（u∞) ×L（ν）∞)具有弱拓扑。因此，（Yt，Zt）在分布上收敛于L（u）∞) ×L（ν）∞) 到（Y）∞, Z∞) （参见E.g.[11，定理9]）。考虑任意初始条件（Y，Z）∈ L（u）∞) ×L（ν）∞), 我们需要添加确定性函数Yxe-TX和Zxe-tx+Yxte-上述过程yx和zx（见引理6.8）。要塞→ ∞, 这些函数在相应的lspace中收敛到零。因此，收敛不分布于（Y）∞, Z∞) 无论初始条件如何，都保持不变。2.7. Ornstein–具有L值的Uhlenbeck过程。我们将（Y，Z）定义为L值过程，因为第3节中分数布朗运动的构造涉及（Y，Z）与恒常函数1的配对。然而，很高兴知道（Y，Z）也可以理解为一个L值过程。假设2.18（可积条件）。u和ν是（0，∞) 使得ν具有相对于u的密度p，并且对于每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-1） u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-3） ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)E-txp（x）<∞.定理2.19（L中的OU过程）。设u，ν满足假设2.18，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:25:23

然后过程（Yt，Zt）t≥0有一个可预测的L（u）×L（ν）值版本，并且是一个仅为L（u）×L（ν）的高斯过程。这个定理可以按照定理2.4和2.6来证明。在这里，我们提出了另一种证明，它使用希尔伯特空间值随机卷积理论。证据我们希望将方程（2.3）中的随机卷积分别构造为L（u）和L（ν）值过程。[10，第5.1.1–5.1.2节]的设置不直接适用，因为作为常数函数1的挥发性不属于L（u）。然而，我们可以根据我们的设置调整[10，定理5.2和命题3.6]的论点。每个t∈ [0, ∞) letBt:R→ L（u），u7→ （x 7→ E-txu）。然后是L（u）值卷积RTBT-SDW通过[10，定理5.2]存在，因为EzTkbskhs（R，L（u））ds=ZtkBs（1）kL（u）ds=ZtZ∞E-2sxu（dx）ds=Z∞1.- E-2tx2xu（dx）<∞通过等式（6.6）和假设2.18，其中HS表示希尔伯特-施密特算子。卷积与[10，定理5.2]的证明中的参数相同，是均方连续的。因此，这是可以预测的[10，命题3.6]。类似地，可以证明Z有一个可预测的L（ν）值版本。有效结构可按第2.3节推导。分数过程的仿射表示9假设2.20（可积条件）。u和ν是（0，∞) 使得ν相对于u有p。有∈ （0，1）使得对于每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-1+）u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-3+）ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)E-txp（x）<∞.定理2.21（样本路径的连续性）。在假设2.20下，如果初始条件（Y，Z）位于该s步，则过程（Y，Z）在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。证据设B为定理2.19的证明。

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何人来此

2022-5-9 07:25:27

然后估计-kBskHS（R，L（u））ds=ZtZ∞s-e-2sxu（dx）ds≤Z∞-1Γ(1 - ) ∨t1-1 - 1.∧x-1.u（dx）<∞通过方程（6.9）对保持∈ （0，1）如假设2.20所示。因此，可以应用[10，定理5.11]，表明Y在L（u）中具有连续的采样路径。（虽然[10，第5.1.1–5.1.2节]的设置未涵盖随机卷积Y，但定理2.19的证明中的相同参数表明[10，定理5.11]成立。）类似地，可以证明等式（2.3）给出的过程Z在L（ν）中具有连续的采样路径。2.8. 空间维度的平滑度。在下面的定理中，我们证明了（Yxt，Zxt）在x中平滑变化。为此，我们将（Yxt，Zxt）的定义2.1扩展到x≤ 显然是0。空间Ck（R），k∈ N∪ {∞}, 是具有高达k阶紧致集的导数一致收敛拓扑的Fr’echet空间。定理2.22（空间维度的平滑度）。每k∈ N∪ {∞} 初始值（Y，Z）∈Ck（R）×Ck（R），过程（Y，Z）是具有连续采样路径的Ck（R）上的高斯过程。证据方程（2.3）中的确定性部分在t和x中是光滑的。我们通过假设（Y，Z）=0而不丧失普遍性，将它们设置为零。通过部分积分，方程（2.3）中的随机积分可以转化为勒贝格积分：Yxt=Wt-ZtWsxe-（t）-s） xds，Zxt=ZtWsE-（t）-s） x- （t）- s） xe-（t）-s） xds。被积函数被视为（s，t）的函数，与C中的值是连续的∞（R）。这表明（Yt，Zt）t≥0在C中具有连续采样路径∞（R）。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:26:17

如果适当选择μn，则从[7]可知，hY，viun在紧集上以概率（ucp）均匀收敛到hY，viu。因此h∏，v2i（un）2=hY，viun将ucp聚合到h∏，v2iu2=hY，viu。让Xnbe得到相应的过程解方程（5.1），其中u被un替换。由于随机积分在ucp拓扑中是连续的，因此XNTP在概率上收敛到XT。这意味着Orem 5.5中对数特征函数的收敛性。对于每个n，对数特征函数由注释5.2和等式（5.1）的性质决定。结果如下。分式过程的仿射表示205.4。不相关的案例。“不相关”指的是dhW，fW it=ρdt=0。在不相关的情况下，Xt的分布直接取决于综合方差，其定义为V（t，t）=t- tZTthYs，λiuds=T- tZTth∏s，λ2iu2秒。在下面的引理中，这种依赖关系是精确的。引理5.6（条件CDF）。在不相关的情况下ρ=0，XTisQ[XT]的Ft条件累积分布函数≤ x |英尺]=√2πZx-∞经验-Y- Xt+T-tIV（t，t）2（T）- t） IV（t，t）！Ft#dy，Ft条件特征函数为hextu+h∏T，v2iu2.Fti=eXtu+h∏t，v2iu2Het-t（u）-u） IV（t，t）Fti，其中0≤ T≤ T，u∈ iR，v2.∈ 伊尔∞(u) sL∞(u).证据这可以在[31]中通过对（hYt，vi）0生成的西格玛代数的条件作用来理解≤T≤利用W和FW的独立性。积分方差过程的傅里叶变换可以使用过程∏的有效结构显式计算。因此，在理论上，可以描述积分方差的条件分布。下一个推论给出了一个例子。推论5.7（条件矩）。

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