这是因为对于OTM期权，相关数量的远期路径对支付没有贡献，并且为了提高Euler方案MC的定价精度，有必要强制路径对支付不同于零的区域进行采样，即在罢工K和障碍B之间。5%10%15%20%参数σ12345678910错误率OUP和障碍外看涨期权TM Euler-BacwardATM Euler-BacwardOTM Euler-BacWard图4：在向上和向上看涨期权时，CEV模型的错误率随参数σ变化的曲线图。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的配对交易壁垒分别设置为（1.35,1.39）、（1.36,1.39）、（1.37,1.39）。在表2中，我们比较了在LV和CEV模型中，欧拉方案蒙特卡罗和反向蒙特卡罗在亚洲看涨期权定价时的性能。我们将¨X=1.36。与向上和向外障碍呼叫一样，我们在对ITM（K=1.35）、ATM（K=1.36）和OTM（K=1.37）期权定价时测试了我们新算法的效率。

1.063E-3（3.8E-5）4.54E-3（3.8E-5）4.54E-4（2.2E-5）2.2E-4（2.2E-5）2.2E-5）2.2E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-4（1E-5）1（1E-5）1（1E-5）5）1（1E-4（1E-5）5）1（1E-4（1E-5）5）5）1（1E-4（1E-5）1）1（1（1E-4（1E-5）5）5）5）1（1.41E-4（1E-4（1E-4（1E-4（1E-4（1E-5）1（1 5）1.116E-3（1.6E-5）3.49E-4（6E-6）基准3.53E-4（3.0E-5）1.86E-4 1.70E-4 1.70E-4 4 1.70E-4 5.49E-4 5 5.49E-5 5 5.49E-5 5 5 5 5 5.49E-5 5 5 5 5 5.49E-5 5 5 5.49E-5 5=15%5.5 5 5 5.31E-5 E-5（7.5E-5）5（7.31E-5（7.5E-5）5（7.5E-5（7.5E-6）6）5 5（7.5E-6）5（7.5E-6）5（7.5（7.5E-6）6）6）5（7.5（7.5E-6）6）6）6）6（7.5（7.5（7.5E-6）6）6）6）6）6（7.5（7.5（6）6）57E-5（2.3E-6）1.64E-5（8E-7）基准1.19E-4 5.56E-5 1.64E-5σ=20%欧拉方案4.85E-5（9.3E-6）2.91E-5（6.8E-6）6.2E-7（4.4E-7）向后5.80E-5（2.6E-6）2.53E-5（1.2E-6）8.1E-7（5E-8）基准5.52E-5 2.43E-5 7.5E-7表1：低压和CEV模型的欧拉方案的数值和向上和向外障碍墙方案的向后价格。误差对应一个标准差。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的配对履约门槛分别设置为（1.35,1.39）、（1.36,1.39）、（1.37,1.39）。T为6个月，n=51。同样在这种情况下，对于CEV模型，我们确定了无风险利率r=0.32%和α=0.5的值，并逐步将σ的值从5%变为20%σ = 5%. 左室动力学的结果在表2的A组中报告，而B组报告了CEV的结果。表2表明，对于亚洲看涨期权，将MC路径还原并模拟其从到期日回到起始日期的策略是EulerMC的有效替代方案。

在这种情况下，效率的提高源于这样一个事实，即使用向后MC，我们决定从Γn的每个终结点取样的路径数，同时有效地取样那些由于价格过程的不同行为而很少被探索的区域。图5表明，在为OTM期权定价时，这一特性的重要性更为明显。此外，对于固定场景（ITM、ATM或OTM），错误率几乎恒定在σ值上。亚洲callAlgorithm ITM ATM OTMPanel A本地波动率模型欧拉方案0.013628（0.000161）0.009444（0.000142）0.006194（0.000142）向后0.013582（0.000107）0.009384（0.000092）0.006124（0.000090）基准0.01590 0.009398 0.006170B面板CEV模型σ=5%欧拉方案0.015964（0.000174）0.009851（0.000143）0.005826（0.000321）0.024927 0.014927 0.014927 0.014927 0.019448 0.014948 0.014921σ=15%欧拉计划0.019681（0.000288）0.019681（0.000288）0.019681（0.00028288）0.019681（0.000288）0.019681（0.000288）0.0.019681（0.000288）0.0.0.019681（0）0）0.019681（0.000288）0）0（0）0.019681（0.019681（0（0.000288）0）0）0.0）0.0.0.0）0（0）0（0）0）0）0（0）0.019681（0（0）0）0）0.0.0.019681（0（0（0（0.01基准0.0339910.028867 0.024011σ=20%欧拉方案0.043553（0.000604）0.037880（0.000554）0.033989（0.000542）向后0.043117（0.000363）0.037653（0.000341）0.033234（0.000317）基准0.043276 0.033366 0.033367表2：LV和CEV模型的欧拉方案数值和亚洲看涨期权的向后价格。误差对应一个标准差。在表3中，我们报告了LV自动赎回期权的价格。在这种情况下，我们将向后MC与向前MC进行比较。

欧拉方案MC适用于根据预先设定的日期集（如自动调用和欧洲）观察基础数据的支付规格。多项式树和转移概率矩阵为5%10%15%20%参数σ1.501.551.601.651.701.751.80错误率欧式看涨期权M Euler-BacwardATM Euler-BacWardToTM Euler-BacWard图5:pricingAsian看涨期权时CEV模型的错误率随参数σ变化的曲线图。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的履约价格分别为1.35、1.36、1.37。通过LTSA恢复。为了比较这两种MC方法，我们确定了一组通话日期{tc，…，tc}和一组预先确定的息票{Q，…，Q}，我们改变了屏障b的值。精确地说，{t，…，t}={1,3,6,12}个月，{Q，…，Q}={5%，10%，15%，20%}与单一的名义值，以及b∈ {X，1.05\'X，1.1\'X}。与往常一样，在定价日，欧元/美元的汇率为“X=1.36”。表3中的结果表明，效率的提高与模拟从到期日到开始日期的路径有关，随着屏障b值的增加而增加（在实际市场中，通常有b>X）。特别是，前向MC的估计误差与后向MC的估计误差之间的关系为：≈ 0.8,≈ 2和≈ 5.5对于b=\'X，b=1.05\'X和b=1.1\'X。直觉上，这是因为障碍b的价值增加，使得早期行使期权的可能性降低。

特别是，更多的路径将到达集成的最终领域。因此，由于我们的方法，我们可以在这个领域中预先确定数量的路径区域进行采样，这些区域很少被价格过程探索。自动赎回期权Barrier b b b=\'Xb=1.05\'Xb=1.1\'XAlgorithm局部波动率模型远期0.04107（0.00056）0.01902（0.00074）0.00447（0.00058）远期0.04099（0.00072）0.01856（0.00039）0.00377（0.00011）基准0.04099 0.01820 0.00357表3:LVmodel自动赎回期权的远期和远期价格数值。误差对应一个标准差。5结论在本文中，我们提出了一种新的方法——反向蒙特卡罗法——来模拟连续时间扩散过程。我们利用离散过程量化方面的最新进展，通过定义在有限点网格上的离散时间马尔可夫链来近似连续过程。具体而言，我们考虑了递归边缘量化算法，作为第一个贡献，我们研究了一种定点方案——称为Anderson加速的Lloyd I方法——以稳健的方式计算最优网格。作为一种补充方法，我们考虑了与分段常数波动过程的马尔可夫发生器的显式格式近似相关的网格。后一种方法——被称为大时间步长算法——在定价支付规格方面具有竞争力，这需要在一定数量的预先指定日期上观察价格过程。这两种方法——量化和显式方案——都为我们提供了与近似网格点相关的边缘概率和转移概率。

从离散网格向后采样——从过程的终点到现场值——我们设计了一种简单但有效的机制来绘制蒙特卡罗路径，并实现与蒙特卡罗估值器相关的方差的显著降低。最后一节给出的数值结果广泛支持了我们的结论。参考文献[1]Jean-Philippe Bouchaud和Marc Potters。金融风险和衍生产品定价理论：从统计物理到风险管理。剑桥大学出版社，2003年。[2] 吉姆·加泰尔。《波动表面：从业者指南》，第357卷。约翰·威利父子公司，2011年。[3] 约翰·C·赫尔。期权、期货和其他衍生品。培生教育印度，2006年。[4] 保罗·威尔莫特、杰夫·德温和山姆·豪森。期权定价：数学模型和计算。牛津金融出版社，1993年。[5] Les Clewlow和Chris Strickland。实施衍生模型（金融工程中的威利系列）。1996年[6]布鲁诺·杜皮尔。微笑定价。风险，7（1）：18-202994。[7] E Derman和我Kani。《微笑风险》杂志，7，32-39（1994）。德曼E.，卡尼。，邹JZ，《局部波动表面：解开指数期权价格金融分析师期刊》（1996年7月至8月），第25-36页。[8] 纳比尔·卡哈尔。波动率的无套利插值。《风险》，17（5）：102-1062004年。[9] 托马斯·F·科尔曼、李玉英和阿伦·维尔玛。重构未知的局部波动函数。计算金融杂志，2（3）：77-1021999。[10] 杰斯珀·安德里森和布莱恩·庞格。波动率插值。风险，24（3）：762011年。[11] 亚历克斯·利普顿和阿图尔·塞普。填补空白。《风险》，24（10）：782011年。[12] Adil Reghai、Gilles Boya和Ghislain Vong。局部波动性：平稳校准和快速使用。2012年，ssrn。com/abstract=2008215。[13] 安德里亚·帕拉维奇尼。局部波动模型的校准算法。

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数值的最佳二次量化：高斯情况。蒙特卡罗方法与应用，9（2）：135–165，2003。A假设失真函数和伴随参数可以访问量化器Γkofextkan和相关的Voronoi细分{Ci（Γk）}i=1，。。。，N.我们推导出畸变函数eD（Γk+1）的显式表达式如下：eD（Γk+1）=Ed（Ek（beXtk，TZtk+1），Γk+1）=NXi=1Ed（Ek（γki，TZtk+1），Γk+1）P（eXtk∈ Ci（Γk））=NXi=1NXj=1（mk（γki）- γk+1j）（Φ（γk+1，j+（γki））- Φ（γk+1，j）-（γki）））P（eXtk∈ Ci（Γk））- 2NXi=1NXj=1（mk（γki）- γk+1j）vk（γki）（ψ（γk+1，j+（γki））- ν（γk+1，j）-（γki）））P（eXtk∈ Ci（Γk））+NXi=1NXj=1vk（γki）（γk+1，j）-（γki）~n（γk+1，j）-（k）- γk+1，j+（γki）~n（γk+1，j+（γki）））P（eXtk∈ Ci（Γk））+NXi=1NXj=1vk（γki）（Φ（γk+1，j+（γki））- Φ（γk+1，j）-（γki）））P（eXtk∈ Ci（Γk）），（A.1），其中Φ和Γ分别表示标准正态随机变量的累积分布函数和概率密度函数。为了简化表示法，在方程式（A.1）中，我们设置了所有k∈ {0，…，n- 1} 尽管如此，j∈ {1，…，N}γk+1，j+（γ）=γk+1j+1/2- mk（γ）vk（γ）和γk+1，j-(γ).=γk+1j-1/2- mk（γ）vk（γ），其中γk+1j-1/2≡γk+1j+γk+1j-1，γk+1j+1/2≡γk+1j+γk+1j+1，γk+11/2=-∞, γk+1N+1/2=+∞.所谓的伴生参数{P（eXtk∈ Ci（Γk））}i=1，。。。，Nand{P（eXtk∈ Cj（Γk）|eXtk-1.∈Ci（Γk））}j=1，。。。，Nare的递归计算如下：P（eXtk∈ Ci（Γk））=NXj=1（Φ（γk，i+（γk-1j））- Φ（γk，i）-（γk）-1j）））P（eXtk-1.∈ Cj（Γk）-1） ），P（eXtk∈ Ci（Γk）|eXtk-1.∈ Cj（Γk）-1） ）=Φ（γk，i+（γk-1j））- Φ（γk，i）-（γk）-1j））。B RMQA中的劳埃德I方法我们简要回顾了递归边际量化框架中的劳埃德I方法。让我们来看看tk∈ {t，…，tn}假设我们可以访问量化器Γkofextkan，并访问相关的Voronoi细分{Ci（Γk）}i=1，。。。，N.我们想量化extk+1=Ek（beXtk，TZtk+1）通过量化器Γk+1≡ 基数N的{γk+1，…，γk+1N}。

一个人从一个初始猜测Γk+1开始，然后递归地设置一个序列（Γlk+1）l∈确保γk+1，l+1j=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Cj（Γlk+1）i，（B.1），其中l表示正在运行的迭代次数。我们可以很容易地检查前面的等式是否暗示ql+1N（eXtk+1）=EheXtk+1 | qlN（eXtk+1）i=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Ci（Γlk+1）i1.≤我≤N、 其中qlni是与Γlk+1相关联的量化。已经证明（见[38,52]）{keXtk+1- qlN（eXtk+1）k，l∈ N+}是一个非递增序列，qlN（eXtk+1）收敛到一些随机变量，取N值，因为l趋于一致。从方程（B.1）和RMQA的概念出发，我们得到了γk+1，l+1j=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Cj（Γlk+1）i=EheXtk+1{eX∈Cj（Γlk+1）}iP（eXtk+1）∈ Cj（Γlk+1））=ehextk+1{eXtk+1∈Cj（Γlk+1）}eXtkiiEhEh{eXtk+1∈Cj（lk+1）}eXtkii=PNi=1EhEk（γki，TZtk+1）11{Ek（γki，TZtk+1）∈Cj（Γlk+1）}iP（eXtk∈ Ci（Γk））PNi=1P（Ek（γki，TZtk+1）∈ Cj（Γlk+1）P（eXtk∈ Ci（Γk））。上一个方程中的最后一项相当于方程（3.2）中量子化qN（eXtk+1）的平稳条件。然后，静态条件相当于量化器的定点关系。C稳健性检查我们测试Lloyd I方法的收敛性，有无Anderson加速度对标准正态随机变量的量化，该随机变量是从畸变量化器初始化的。我们用Γ表示*N（0,1）标准正态随机变量的最佳量化器，并通过乘以常数c，即c×Γ对其进行校正*N（0,1）。然后，我们监控两种算法收敛到Γ*N（0,1）从c×Γ开始*N（0,1）。误差迭代l定义为kΓ*N（0,1）-ΓlN（0,1）k，其中ΓlN（0,1）是算法在第l次迭代中找到的量化器，k·k是RN中的欧氏范数。

停止标准设置为Γl+1N（0,1）- ΓlN（0,1）k≤ 10-7，量化器的电平为N=10，常数c为1.01。我们的调查结果如图6所示。我们可以通过图形评估这两种算法的收敛速度。在没有加速度的Lloyd I方法的情况下，正如预期的那样，收敛是线性的。对于加速的Lloyd I方法，速率没有得到很好的定义，但图6显示了向已知最佳量化器收敛的显著改进。在达到停止标准所需的迭代次数方面，图7支持相同的结论。然后，我们用数值方法研究了带有安德森加速度和牛顿-拉斐逊算法的劳埃德I方法对初始猜测的灵敏度，作为应用于最优量化器Γ的失真c的函数*N（0,1）。我们的调查结果总结在图8中。四个面板对应不同程度的失真c={1.10,1.20,1.25,1.35}。如前所述，我们设定N=10，而在y轴上，我们报告迭代l，kΓl+1时的残差- Γlk。对于低失真度，牛顿-拉夫森法比劳埃德I法更快地收敛到最优解。这一结果证实了牛顿-拉夫森算法收敛速度的平方性所导致的理论行为。然而，当初始猜测与解决方案相去甚远时——就像在25%和35%失真的情况下一样——算法可能会花费很多周期远离最佳网格。最后，我们考察了Lloyd I和Newton Raphson算法在考虑以下Euler-Maruyama离散格式（\'Xtk+1=\'Xtk+r\'Xtk）时的收敛性t+σ\'-Xtk√t Ztk，X=X，具有r，σ和X三个正实常数，以及t=tk+1- tk对于所有k=1。

N- 1.在www.quantize.com上展示牛顿-拉夫森方法对网格初始化的更高灵敏度。数学。com提供标准单变量高斯分布的二次最优量化器（从N=1到N=1000）的数据库可用。我们记得一个序列（Γl）l∈接近aΓ*6=Γl，因为所有的l都收敛于Γ*如果存在正常数α和λ，则具有阶数α和渐近误差常数λ→∞kΓl+1- Γ*kkΓl- Γ*kα=λ.10-710-610-510-410-310-210-1迭代l10时出错-910-810-710-610-510-410-310-210-1迭代l+1洛伊德I加上加速度时的错误劳埃德I不加加速度图6：标准正态随机变量的量化：劳埃德I方法加上和不加安德森加速度时的收敛性比较。与Lloyd I和Anderson加速度相比，在n=2时停车是有效的t=0.01。我们将量化器Γ和Γ的电平设置为N=30，x=1。通过定义随机变量“Xt”~ N（m（x），v（x））式中，m（x）=x+rxt和v（x）=σx。为了计算¨x的量化器，我们在时间ttom（x）+v（x）Γ初始化算法*N（0,1），带Γ*N（0,1）标准正态随机变量的最佳量化器。一旦我们得到了最佳量化器Γ*= {γ*1, ··· , γ*30}我们在时间t使用以下替代方法之一设置量化器ΓInit={γ，····，γ}的初始化。上一步的最佳量化器ΓInit=Γ*;二、欧拉算子γi=m（γi）+v（γi）Γ*,在（0,1）中，对于i=1，30;iii.欧拉算子和上一步最优量化器之间的中点γi=0.5γi+0.5（m（γi）+v（γi）Γ*,在（0,1）中，对于i=1。

, 30;0 20 40 60 80 100 120 140迭代次数l10-1010-910-810-710-610-510-410-310-210-1带加速度的ResidualLloyd I不带加速度的Lloyd I图7：标准正态随机变量的量化：在带和不带Anderson加速度的Lloyd I方法之间，达到停止标准所需的迭代次数的比较。iv.期望值γi=m（γi），对于i=1，30.图9的左面板显示了与上述规格相对应的四种不同的初始网格。在同一个面板的右侧，我们还绘制了最佳量化器Γ*Lloyd I和Anderson加速法以及Newton-Raphson法都应该收敛。右边的面板报告量化误差——定义为QED（Γl）——作为操作数l的函数。当残差低于10时，我们停止算法-5.数值研究表明，牛顿-拉斐逊法比劳埃德I法更快地收敛到最优网格，唯一的例外是情况Γinit等于中点。然而，当使用Euler算子或中点牛顿-拉斐逊算法初始化时，由于Hessian矩阵的坏条件数（图中未报告相应的线），该算法无法收敛。

这一结果与[53]中的发现一致，作者强调，牛顿-拉斐逊方法可能会失败，即使是对称初始向量，因为Voronoi细分的某些组件的行为异常。根据上述探索，我们最终得出结论，基于定点算法的方法，如Lloyd I方法和Anderson加速度，比aNewton Raphson方法更稳健，在目前的应用中，该方法依赖于矩阵的Hessian计算。0 2 4 6 8 10 12 1410-1410-1210-1010-810-610-410-2100kΓ*N（0,1）- ΓlN（0,1）k2c=1.1Lloyd I，加速度为牛顿-拉斐逊0 2 4 6 8 10 12 1410-1410-1210-1010-810-610-410-2100c=1.20Lloyd I，带加速度牛顿拉斐逊100 200 300 400迭代次数l10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100kΓ*N（0,1）- ΓlN（0,1）k2c=1.25Lloyd I，加速度为牛顿-拉斐逊0 5 10 15 20 25 35迭代次数l10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100c=1.35Lloyd I带加速度Newton Raphson图8：标准正态随机变量的量化：Lloyd I方法与Anderson加速度和Newton Raphson算法之间的比较。D马尔可夫产生器LΓWe定义的构造γ.= γi+1- γi，1≤ 我≤ N- 1.方程式（3.9）中第一和第二偏导数的有限差分近似定义为：Uγ（γ，t）≈u（γi+γ、 （t）- u（γi）- γ、 t）2γ,Uγ（γ，t）≈u（γi+γ、 （t）- 2u（γi，t）+u（γi- γ、 （t）(γ） ，0.920.940.960.981.001.021.041.061.08量化器Γinit2:Γ*1Γinit2:欧拉算子Γinit2:中点Γinit2:期望值Γ*20 5 10 15 20迭代次数l0。70.80.91.01.11.2qeD（Γl2）×10-3劳埃德一世：Γ*1Lloyd I:欧拉运算符Lloyd I:中点Lloyd I:期望值Newton Raphson:Γ*1Newton Raphson：预期值图9：与几何布朗运动相关的Euler Maruyama方案的量化。

左面板：四个不同的初始网格Γinit和最佳网格Γinit*分别在左边和右边。右面板：量化误差作为迭代次数的函数。尽管如此，t∈ [0，T]。马尔可夫产生器LΓ是定义为LΓ的N×N矩阵=du0 0··0 ldu0··0······························0 00 0 0 0 0 0 0 0。。。。。。。。。0磅-1dN-1uN-100LNDN,其中li、Dian和Ui的系数为：-b（γi）2γ+σ（γi）(γ） ，di=-σ（γi）(γ） ，ui=+b（γi）2γ+σ（γi）(γ） ，共1人≤ 我≤ N.选择第一行和最后一行的系数，以便马尔科夫链反映在状态域的边界上。如果状态域的范围足够大，边界条件的选择应具有可忽略的影响。