非零和遍历随机微分对策的纳什均衡

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Nash equilibria for non zero-sum ergodic stochastic differential games》
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作者：
Samuel N. Cohen and Victor Fedyashov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper we consider non zero-sum games where multiple players control the drift of a process, and their payoffs depend on its ergodic behaviour. We establish their connection with systems of Ergodic BSDEs, and prove the existence of a Nash equilibrium under the generalised Isaac\'s conditions. We also study the case of interacting players of different type.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了非零和对策，其中多个参与者控制一个过程的漂移，其收益取决于其遍历行为。我们建立了它们与遍历BSDE系统的联系，并证明了在广义Isaac条件下纳什均衡的存在性。我们还研究了不同类型的互动玩家的情况。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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Nash_equilibria_for_non_zero-sum_ergodic_stochastic_differential_games.pdf
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能者818

2022-5-9 11:26:29

非零和遍历随机微分对策的纳什均衡*牛津大学Victor Fedyashovov牛津大学2018年8月26日摘要我们考虑非零和博弈，其中多个参与者控制一个过程的漂移，他们的收益取决于其遍历行为。我们建立了它们与能量型BSDE系统的联系，并证明了在广义Isaac条件下纳什均衡的存在性。我们还研究了不同类型的互动玩家的情况。MSC:91A60，49N70，93E20关键字：遍历博弈，纳什均衡，BSDE1简介非零和随机微分博弈领域在过去几十年中一直是一个深入研究的主题。它处理的情况是，多个参与者都试图最大化他们的报酬，但所有参与者的报酬总和并不是任何常数。基本目标是找到一个纳什均衡点——所有参与者的一套策略，这样他们就不会从单方面的偏离中受益。Hamad`ene、Lepeltier和Peng在[5]中率先研究了这个问题与倒向随机微分方程（BSDE）之间的联系，并在他们之前在Hamad`ene和Lepeltier[7]中关于零和博弈的工作的基础上进行了进一步的研究。从那时起，它在多个环境中被讨论过，例如[11]中的Karatzasand Li的控制和阻止游戏，以及[12]中的El Karoui和Hamad`ene的风险敏感控制游戏。本文的主要目的是证明一个平衡点的存在性，在这种情况下，我们有两个遍历的漂移控制参与者，即他们在有限的视野内选择他们的策略，并优化长期平均值。按照标准方式（s e e，例如Hamad`ene和Mu[8]），我们在哈密顿量上施加所谓的Generalise d Isa ac条件，以确保两个参与者同时达到最小值。

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能者818

2022-5-9 11:26:32

然后证明了对策鞍点的存在性源于解的存在性*该研究由Oxf-ord-Man定量金融研究所和theOxford-Nie金融大数据实验室支持。具有连续系数的遍历BSDE系统。使用改进版的P ic ard迭代（本质上与胡安和唐在[10]中使用的定点构造相同），以及Debusche、Hu和Tessitor[4]和作者[3]中建立的EBSDE解的一系列估计，我们证明这样的系统确实允许解。然后，我们将这些结果推广到有限或可数多个参与者的情况。作为开发处理e-rgodic博弈所需机制的副产品，我们得到了一类具有连续线性增长驱动的ebsde解的存在性。最后一节讨论了非对称博弈，其中一个博弈者是纯遍历的，另一个博弈者也会在有限的时间内进行优化，但更看重当前而非未来（即使用折扣）。我们证明了这样一个博弈的价值是存在的，并且证明了当贴现率为零时收敛到遍历系统。2.我们首先描述不受控的正向过程{Xt}t≥0，续集中的玩家将对其产生影响。让{Xt}t的动力学≥0受It^o SDE控制：dXt=（AXt+F（Xt））dt+σdWt，X=X∈ RN，（1）其中W表示RN中的标准布朗运动，在测度P下。我们需要一些初步假设。假设1。

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何人来此

2022-5-9 11:26:36

保证存在唯一强大解决方案的条件（1）：o三重(Ohm, F、 P）是概率空间，{Ft}t≥0是一个正确的连续过滤，每个t的FTI都已完成。o过程{Wt}t≥0是过滤{Ft}t中具有可预测表示性质的布朗运动≥0.o算子A是耗散的，并生成一个稳定的半群{etA}t≥换句话说，存在常数u>0，M>0，例如hax，xi≤ -ukxk和k≤ 我-uthold适用于所有x∈ R和所有t≥ 0.本文及其他部分k·k证明了欧几里德范数（或矩阵的弗罗贝尼乌斯范数）图F是一致Lipschitz连续且有界的矩阵σ是可逆的。备注1。由于我们将考虑（1）的遍历行为，在各种概率测度下，我们需要小心不要以通常的方式完成过滤。上述要求是不标准的，但很容易看出，所有常见的存在证明都是通过及时粘贴来实现的。下面的结果是Gr–onwall引理和耗散性条件的一个简单应用：定理1。如果假设1满足，则方程（1）存在唯一的强解。此外，EkXtk< C（1+kxk），其中常数C依赖于M，u，但与t无关。证明：假设Lipschitz连续性，则（1）的astrong平方可积解的存在性为标准d。固定常数k>0。应用It^o公式计算EktkxTk，并取期望值，得到EktkxTk=Ekxk+ZtkekskXskds+EZteksG（s）ds，其中g（s）=2hAXt+F（Xt），Xsi+kσk≤ -2ukXsk+hF（Xs），Xsi+kσk。考虑到假设1并应用Cauchy–Schwarz，我们发现，对于任何>0的情况，都存在C，例如g（s）≤ -2(u - ）kXsk+C，代表0≤ s≤ t、然后，选择<u和k<2（u- ），我们到达一个Tekxtk≤ Ekxk+Ckekt，总结证明。备注2。

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mingdashike22

2022-5-9 11:26:40

通过将It^o引理应用于Kxtk，并使用定理1证明中相同的推理，我们还可以证明Ekxtk≤ C（1+kxk），（2）对于一些与时间无关的常数C。备注3。如果漂移的非线性部分F（·）是有界可测映射，则（1）仍存在弱意义下的解。换言之，对于任何T>0，都存在一个度量PT~ P、还有一个?PT布朗运动?∈ [0，T]，Xt=etAx+ZtesAF（Xs）ds+ZtesAFσdW（s），该解决方案在法律上是唯一的（对于不同的ofT<∞, 因此，W是唯一定义的）。此外，由于该解可以通过从强解到方程的测度变换而不产生漂移，{Wt}t∈[0，T]在过滤{Ft}T中具有可预测的表示属性∈[0，T]在PT下，适用于所有T。有关详细信息，请参见[2]中的第15章和第18章。如果我们假设Ohm 是一个标准的维纳空间，那么科尔莫戈罗夫的扩张理论可以用来定义一个测度!≥0，因为在fw中存在太多的空集会有问题。在更一般的情况下，这个扩展是一个非常重要的练习，例如，请参见Parthasarathy[15]。设U×Ube是一个控制的可寓言度量空间，其中（ut（ω），vt（ω））取值。用Li表示：RN×U×U→ R、 i=1，2，有界可测代价函数，使得| Li（x，u，v）- Li（x′，u，v）|≤ Ckx- x′k，对于某些C>0的情况。给定任意一对容许控制（u，v）（即可预测随机过程（{ut}t≥0，{vt}t≥0），我们定义了Girsanov密度ρu，vT:=expZTR（ut，vt）载重吨-ZTkR（ut，vt）kds对于某些函数R:U×U→ RN，满足kR（·，·）k≤“有些是C”\'C>0。我们定义了概率Pu，v，T:=ρu，vTP。对于每个代理（i=1，2），我们定义了三次支付（u，v）=lim supT→∞T-1Eu，v，TZTLi（Xt，ut，vt）dt.

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nandehutu2022

2022-5-9 11:26:44

（3）目标是找到一个可接受的控制（u*, 五、*), 这样的*, 五、*) ≤ J（u，v）*) 和J（u）*, 五、*) ≤ J（u）*, v）适用于所有可接受的（u，v）。为了使用动力学原理来确定最佳的u和v，我们定义了（u，v）的哈密顿函数{Hi}i=1,2，asHi（x，zi，u，v）=ziR（u，v）+Li（x，u，v）（4）∈ U×U。我们注意到，对于一对固定的控制（U，v），对于每一层（i=1，2），支付（3）是一个erg odic平均值。考虑以下遍历倒向随机微分方程（EBSDE），其中哈密顿量起驱动项的作用：Yit=Yit+ZTt[Hi（Xs，Zis，us，vs）- λi]ds-ZTtZisdWs。（5）假设存在一个三重态（Yi，Zi，λi）到（5），并且存在一个常数C=C（x）>0，与T无关，使得Eu，v，T | Yit |<C为0≤ T≤ T<∞. 然后，通过改变度量并除以T，我们立即得到tJi（u，v）=λi。我们称（5）为响应于值函数（3）的BSDE cor。为了继续进行，我们假设如下：假设2。下面（i）部分被称为广义艾萨克病。第二部分是技术条件，后面将讨论其背后的动机。（i）存在可测量的地图*, U*, 定义在R3N上，数值分别以uandu表示，例如h（x，z，u*（x，z，z），u*（x，z，z））≤ H（x，z，u，u）*（x，z，z））和h（x，z，u*（x，z，z），u*（x，z，z））≤ H（x，z，u）*（x，z，z），v）适用于所有（x，z，z，u，v）∈ R3N×U×U.（ii）映射（z，z）∈ R2N→ （H）*, H*)（x，z，z）对于任何固定的x都是连续的。考虑上述条件的一种方法是将零和框架中使用的标准假设自然扩展到非零和情况。实际上，考虑两个参与者的情况，一个最大化，另一个最小化函数lj（u，v）=lim supT→∞T-1Eu，v，TZTL（Xt，ut，vt）dt,通过选择控件（ut、vt）∈ U×Ufor t≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-9 11:26:48

将哈密顿量定义为H（x，z，u，v）=zR（u，v）+L（x，u，v）。然后，使用一个可测量的selectionargument，我们可以知道标准Isaac的条件Maxv∈ 乌米努∈呃（x，z，u，v）=分钟∈Umaxv∈ 呃（x，z，u，v），x、 z∈ Rn等价于Borel可测函数u的存在性*: R2N→ Uandv*: R2N→ U、这样h（x，z，U）*（x，z），v*（x，z））≤ H（x，z，u，v）*（x，z）为了所有的人∈ U、 H（x，z，U）*（x，z），v*（x，z））≥ H（x，z，u）*（x，z），v）对于所有v∈ U.有关详细信息，请参见Hama d\'ene和Lepeltier[7]。考虑到这一点，我们可以看到（i）在假设2中是对艾萨克条件的合理概括。备注4。我们注意到，对于固定的u，v，函数Hiis Lipschitz in zi。然而，假设2只给出了所谓的“闭环”控制的存在性，其中最优过程u*, 五、*依赖于（z，z），并且仅保证HI的连续性。因此，证明相应遍历BSDE解的存在性的标准方法崩溃了。我们应该注意，假设2并不能保证*奥夫*是连续的（类似假设参见Mannucci[14]）。备注5。在我们考虑的游戏中，两个玩家都控制漂移。在[8]中，作者考虑了结果R（u，v）可以是无界的，但t是关于基本过程{Xt}t的线性增长≥然而，由于我们处于遍历框架中，我们将注意力限制在有界情况。虽然艾萨克的条件可以说是自然的，但我们应该注意到，在没有这种假设的情况下，已经有关于随机微分对策的研究（例如见Buckdahn、Li和Quincampoix[1]）。备注6。人们还可能注意到，广义的艾萨克条件和鞍点定义之间的相似性。

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nandehutu2022

2022-5-9 11:26:52

事实上，可以将假设2的第（i）部分视为确保在极小规模上存在纳什均衡控制。3具有连续有效性和随机博弈的遍历BSDE在本节中，我们证明，在我们的假设下，博弈具有价值，即存在前一节定义的纳什均衡。我们先把两个遍历型的参和者组合起来，然后将其推广到n的情形∈ N∪ {+∞} 球员们。最后，我们展示了与PDE的连接。3.1具有两个遍历类型参与者的博弈为了确定纳什均衡的存在性，需要执行以下两步规划：o假设存在与控制对（u）相对应的EBSDE解*, 五、*) 如假设2所述，确定其最优性证明了具有连续系数的EBSDE的唯一解的存在性，保证了这一假设成立。为了证明具有驱动因子f的一维遍历矩阵解的存在性，需要对驱动因子进行以下假设：假设3。“司机”f:RN×RN→ R是一个可测量的地图。此外，还存在常数l，κf（x，0）≤ Lf（x，z）- f（x，`z）≤ κkz- 所有x，z，z都适用∈ 注册护士。我们首先陈述了遍历BSDE理论的某些重要结果。下面的定理证明了解的存在性和唯一性。我们省略了证明，因为它可以很容易地用[4]中的参数构造。定理2。让驾驶员f满足第3项要求。然后存在一个解（Y，Z，λ），其中{Yt}t≥0被改编，{Zt}t≥0是可预测的，λ∈ R是常数，对于EBSDEYt=YT+ZTt[f（Xs，Zs）- λ] ds-ZTtZsdWs，这样| Yt |≤ C（1+kxtk）对于某些常数C>0。还存在一个确定性函数v:RN→ R、使Yt=v（Xt）。

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nandehutu2022

2022-5-9 11:26:55

此外，该解在马尔可夫解类中是唯一的，对于马尔可夫解，Y分量相对于X是多项式增长的。我们现在证明，如果两个参和者都能通过最优控制对（u*, 五、*),然后通过这样做，他们找到了纳什均衡。定理3。假设存在两个三元组（Yi，Zi，λi），i=1，2，这样的三元组是YiT=YiT+ZTt[Hi（Xs，Zis，u*（Zs，Zs），v*（Zs，Zs））- λi]ds-ZTtZisdWs（6）适用于所有0≤ T≤ T<0，其中*, 五、*) 和假设中一样。此外，假设存在两个多项式增长的确定函数yi（x），i=1，2，使得Yit=yi（Xt）对所有t都保持P-a.s≥ 0.然后控制（u*（Xs，Zs，Zs），v*（Xs，Zs，Zs））是纳什均衡。证据：我们关注的是i=1的情况。弗特≥ 0写你*t=u*（Zt，Zt）和*t=v*（Zt，Zt）。对照组（u*, 五、*) 这显然是可以接受的。对于任意容许控制u，对于任何T>0，对（u，v*) 生成一个度量单位Pu，v*,T、在这下面，吴，v*t=Wt-RtR（美国，v*s） ds是[0，T]上的布朗运动。那么，因为（Y，Z，λ）解出了EBSDE，λT=YT- Y+ZT[H（Xs，Zs，u*s、五*（s）- ZsR（ut，v*（s）- L（Xs，us，v）*s） ]ds-ZTZsdWu，v*s+ZTL（Xs，美国，v*s） ds。对Pu，v.抱有期望*,T、记住λ是常数，我们得到λ≤标准箱*,T[YT- Y] +TEu，v*,TZTL（Xs，美国，v*s） ds,自那时起（Xs，Zs，u*s、五*（s）- ZsR（ut，v*（s）- L（Xs，us，v）*（s）≤ 0根据（u）的定义*, 五、*). 我们称之为X中多项式l增长的Yi，后者在Pu，v下有所有的矩*均匀分布在t中（有关详细信息，请参见，例如[4]）。因此，在两边取lim sup，我们得到λ≤ 林监督→∞标准箱*,TZTL（Xs，美国，v*s） ds= J（u，v）*).对于u=u*世界各地的不平等都是通过对公平的定义而变得平等的*, 五、*) 在假设2中。同样地，我们观察J（u）*, 五、*) = λ≤J（u）*, v）对于任何可接受的控制v，完成证明。备注7。

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mingdashike22

2022-5-9 11:27:00

定理3的结果表明，即使在容许控制为非马尔可夫控制的情况下，系统（6）的解λi，i=1，2仍然是最优的。换句话说，利用广义的Isaac条件，我们可以证明在更大的“开环”或“可预测”控制中存在最优的“闭环”或“反馈”控制。我们现在开始我们计划的第二步。我们证明了erg-odic B-SDE s（6）系统存在一个解。下面的辅助结果是遍历值λ比较定理的弱版本，适用于多维。引理1。设fi，i=1，2是两个驱动，使得对于任何（x，z，z）| fi（x，z，z）|≤ Ckzik+\'C对于某些常数C，\'C>0。假设存在对应EBSDE的马尔可夫解（Yi，Zi，λi），i=1，2。设λ为EBSDE解（Y，Z，λ）的遍历部分-dYt=[（CkZtk+\'C）- λ] ds- ZtdWt。然后λi≤ λ表示i=1，2。证明：定义一个度量qt如下：dQTdP:=EZTf（Zt）- f（Zit）kZt- Zitk（Zt）- Zit）dWt,其中f（z）=Ckzk+\'C。然后在QT下，过程{Xt}t≥0是遍历的，具有某种不变度量u。由于我们只考虑马尔可夫解，我们知道Yit=vi（Xt）、Yt=v（Xt）和Zit=ζi（Xt）（有关马尔可夫表示的详细信息，请参见例如Fuhrman、Hu和Tessitore[6]）。然后，积分微分vi（x）- v（x），我们得到了zrn（vi（x）- v（x））u（dx）=ZRNEQT（vi（XT）- v（XT））+ZTfi（XT，Zt，Zt）- f（Zit）dt- T（λi）- λ)u（dx）=ZRN（vi（x）- v（x））u（dx）- T（λi）- λ） +ZTZRNfi（x，ζ（x），ζ（x））- f（ζi（x））u（dx）dt，从中我们立即看到λi- λ=ZRN（fi（x，ζ（x），ζ（x））- f（ζi（x））u（dx）≤ 0，完成证明。有两种明显的方法来解决证明（6）的解存在的问题：（i）对于任何t≥ 0，等式（6）给出了一个ma p Yit+1→ 我很高兴∈ 1 , 2.

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何人来此

2022-5-9 11:27:04

关于前向过程{Xt}t的遍历测度π的积分≥0，我们有一个新的ma p。现在我们知道（6）的解是它的固定点。为了继续，我们需要证明这个映射的某些紧性和连续性。（ii）我们可以尝试用一种迭代的形式构造一个解决方案。在本文中，我们主要关注计划（ii）。这一部分的主要结果如下：定理4。假设假设1、2和3满足。然后存在解三元组（Yi，Zi，λi），i=1，2，其中Yi是适应的，Zi是可预测的，λia是常数，因此YiT=YiT+ZTt[Hi（Xs，Zis，u*（Zs，Zs）（x），v*（Zs，Zs）（x））- λi]ds-ZTtZisdWs，适用于所有0≤ T≤ T<0。此外，还存在多项式增长的确定函数y（x），y（x），使得Yit=yi（Xt），i=1，2对所有t≥ 0.证明：我们首先设置Zi，0≡ 0表示i=1，2。给定一组马氏解{（Yi，n-1，Zi，n-1，λi，n-1）已知}i=1,2存在确定性函数{ζi，n-1} i=1,2，因此Zi，n-1t=ζi，n-1（Xt）。我们将下一次迭代定义为EBSDEdYi的解决方案，nt=-[fi，n（Xt，Zi，nt）- λi，n]dt+Zi，ntdWt，i=1，2（7），其中fi，n（x，z）=Hix、 z，u*ζ1，n-1（x），ζ2，n-1（x）, 五、*ζ1，n-1（x），ζ2，n-1（x）.我们注意到≥ 1，驱动器{fi，n}i=1,2在z分量中是一致的Lipschitz，因为fi，n（x，z）- fi，n（x，z′）=R（（u）*, 五、*)（ζ1，n）-1，ζ2，n-1))kz- z′k≤ Ckz- 因此我们知道存在一个解{（Yi，n，Zi，n，λi，n）}i=1,2to（7）。仍需证明存在一个极限为{（Yi，Zi，λi）}i=1,2的收敛子序列。通过引理1，存在一个常数λ>0，使得|λi，n |≤ λ、 i=1，所有n均为2≥ 1.因此，我们可以找到一个子序列{nk}k∈N、使得λi，nk→ λi，i=1，2对于某些{λi}i=1,2。

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何人来此

2022-5-9 11:27:08

我们还可以证明（见[3]中的定理8]），对于所有n≥ 存在确定性函数{vi，n}i=1,2，使得yi，nt=vi，n（Xt），Zi，nt=vi，n（Xt）σ和| Yi，nt |=|vi，n（Xt）|≤ C（1+kXtk）（8）对一些常数C>0保持不变，与n无关（如[3]所示），这一常数依赖于supx∈RnF（x）和零分量中fi，n（x，z）的Lipschitz常数。Later在n中是一致的，这一事实源于哈密顿量的定义。）此外，我们有以下梯度估计：kvi，n（x）k≤ C（1+kxk）（9）对于i=1，2，n∈ N.由于Rn是可分的，因此存在稠密的可数子Tb 注册护士。因此我们可以进一步提取子序列{nkl}，比如vi，nkl（x）→ vi（x），i=1，2，对于所有x∈ B、和一些vi:B→ 给定（9），我们知道序列{vi，n}n∈n中的Nis局部Lipschitz一致，因此我们可以通过连续性将{vi}i=1,2推广到整个RN。注：在续集中，我们使用n而不是n来表示符号的简单性，假设我们使用这个子序列。现在我们证明序列{Zi，n}n∈尼斯·科西。众所周知（参见，例如[4]），由于Zi，nis马尔科夫语，它有以下重新表示：Zi，nt=vi，n（Xt）σ，对于所有t≥ 因此，在（9）中，我们看到了thatEkZi，ntk≤\'CE（1+kXtk）≤对于t，n中一致的一些常数C，C（1+kxk），（10）。现在，设置Yi，nt=vi，n（Xt）为i=1，2和n∈ N.表示Y=Yi，N- Yi，m，`Z=Zi，n- Zi，m，\'λi=λi，n- λi，mfor i=1，2。尽管如此，T≥ 0，将其^o引理应用于‘’并进行实验，我们得到‘Y=E“YT- 2EZT\'Yt\'f（t）dt+\'\'λEZT’Ytdt+ EZTk¨Ztkdt, （11）式中，f（t）=fi，n（Xt，Zi，n）- fi，m（Xt，Zi，m）在上面的符号中。使用| f（t）的定义、估计（9）和备注2，我们可以看到| f（t）|≤ \'cE（1+kXtk）≤ c（1+kxk），其中c和¨c是一些不依赖于n，m的常数。因此，应用Cauchy–Schwartz和支配收敛定理，我们得出结论ZT\'Ys\'f（t）dt→ 0作为n，m→ ∞.

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可人4

2022-5-9 11:27:11

（11）中的其他项通过构造趋向于零，因此{Zi，n}n≥对于所有T，0在LT（W）中收敛≥ 0，其中lt（W）：=可预测过程θ：EZTkθtkdt< ∞.换句话说，存在极限Z，Z，比如新界ZTkZi- Zitkdt→ 0，i=1，对于所有T≥ 0.仍需证明驱动项在适当的拓扑中也是收敛的。尽管如此，T≥ 我们有fi，n（Xs，Zi，ns）- 嗨（Xs，Zis，u*（Zs，Zs），v*（Zs，Zs））ds≤ 埃兹特fi，n（Xs，Zi，ns）- fi，n（Xs，Zi，n-1s）ds+EZTfi，n（Xs，Zi，n-1s）- 嗨（Xs，Zis，u*（Zs，Zs），v*（Zs，Zs））ds。（12）通过定义哈密顿量，fi，n（Xs，Zi，ns）- fi，n（Xs，Zi，n-1s）≤ CZi，ns- Zi，n-1s,显示（12）中的第一项收敛到零。我们记得，Limplies中的收敛意味着度量上的收敛，而度量上的收敛又意味着收敛。e、为了下一步。因此存在一个子序列{nk}k∈N、这样的话，nk→ 拉链 dt- a、 e，i=1，2。回想一下thatfi，n（Xs，Zi，n-1s）=Hi（Xs，Zi，n-1s，u*（Z1，n）-1s，Z2，n-1s），v*（Z1，n）-1s，Z2，n-假设fi，n（Xs，Zi，n）是连续的-1s）in（Z1，n）-1s，Z2，n-1s），我们得出结论：fi，nk（Xs，Zi，nk-1s）→ 嗨（Xs，Zis，u*（Zs，Zs），v*（Zs，Zs）P dt- a、（12）中第二项的收敛性遵循支配收敛定理。我们已经证明了这一点→∞fi，nk（Xs，Zi，nks）=Hi（Xt，Zis，u*（Zs，Zs），v*（Zs，Zs））在LT（RN）中表示所有T≥ 0.证据到此结束。备注8。我们现在可以理解为什么假设2中的第（ii）部分是必要的。为了使用BSDE方法，我们必须证明某个方程组的解存在。我们构造了这样的解作为一个极限，然后必须证明驱动项也收敛。因此，自然需要（z，z）中哈密顿量的连续性（起到驱动作用）。备注9。一个有趣的问题是有限地平线游戏（即。

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mingdashike22

2022-5-9 11:27:15

具有连续系数的BSDE系统及其遍历对应物。有关一维Lipschitz案件的详细说明，请参见胡、马德克和里奇[9]。在目前的情况下，考虑到在最佳情况下，驱动因素只是连续的，测量改变技术是不可用的，因此[9]中使用的技术不容易转移。一条简单的攻击线是在遍历时确定一个玩家的策略，并关注另一个玩家的长期行为。这将问题归结为已知的情况，但提出的问题比回答的问题多，因为控制不再是闭环。因此，即使保证了解的收敛性（如[9]），这个方程组作为一个随机博弈的解释也会丢失。直接考虑具有连续系数的BSDE系统是一项具有挑战性的任务。特别是，由于在这种情况下不存在唯一性结果，而且测量变化技术也不可用，因此如果不对该理论进行重大的进一步探索，很难证明解的收敛性。我们将这些问题留给未来的研究。3.2快速绕道进入一维BSDE在本节中，我们离开游戏和控制的世界，并将上面建立的机制应用于线性增长（在z分量中）的一维遍历BSDE的情况。我们首先证明一个辅助函数，它建立了这类函数的有用表示。引理2。假设我们得到一个函数f:Rd→ R、这是连续的线性增长，也就是说，存在一个常数κ>0，这样| f（x）|≤ κ（1+kxk）对所有x∈ 注册护士。

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kedemingshi

2022-5-9 11:27:18

然后存在一致有界函数φ（·），ψ（·），使得f（x）=φ（x）x+ψ（x）对所有x都成立∈ Rd证明：我们首先注意到，鉴于f是线性增长的，存在常数C>0，因此kf（x）k≤ Ckxk适用于所有x:kxk≥ 1.定义φ（x）：=1kxk≥1f（x）kxkx, ψ（x）：=1kxk<1f（x），其中x是x的转置。cla im紧跟其后。备注10。注意，我们对各个分量φ，ψ没有连续性假设。我们可以清楚地看到，这种分解是受游戏框架中哈密顿量结构的启发。考虑到引理2的结果，我们因此对方程YT=YT+ZTt[f（Xs，Zs）感兴趣- λ] ds-ZTtZsdWs，（13）其中可以找到函数φ（·），ψ（·），使得f（x，z）=φ（x，z）z+ψ（x，z），并且存在常数c，c>0，使得kφ（x，z）k≤ c、 ψ（x，z）|≤ C、（14）适用于所有x，z∈ 注册护士。一般来说，（14）的解的存在性并不遵循关于EBSDE s的标准定理，因为驱动器f（·，·）可能不是Lipschitz。然而，为游戏设置开发的技术仍然给出了以下结果：定理5。假设驱动程序f:RN×RN→ R是一个可测映射，因此f（x，·）对所有x都是连续的∈ 存在一个常数κ>0，如f（x，z）≤ κ（1+kzk）。然后EBSDE（13）存在一个解（Y，Z，λ）。此外，还存在确定性局部Lipschitz函数v:RN→ R、使得Yt=v（Xt）对于所有t≥ 0.证明：我们在游戏环境中使用上一节中开发的迭代方法。设置Zs≡ 设（Yn，Zn，λn）为YnT=YnT+ZTt[φ（Xs，Zn）的解-1s）Zns+ψ（Xs，Zn）-1s）- λn]ds-ZTtZnsdWs，（15）其中-1s}s≥0是我们在上一次迭代中获得的已知马尔可夫解。换句话说，锌-1s=ζn-一类确定性函数ζn的1（Xs）-1:RN→ 注册护士。

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能者818

2022-5-9 11:27:23

在引理2中，setfn（x，z）=φ（x，ζn-1（x））z+ψ（x，ζn-1（x））。我们注意到存在常数c，c>0，因此| fn（x，0）|≤ C、和| fn（x，z）- fn（x，z′）|≤ ck z- z′k，根据定理2，（15）存在一个解（Yn，Zn，λn）。也存在确定性函数yn:RN→ R、 ζn:RN→ RN，使得Yns=vn（Xs），Zns=ζn（Xs）。此外，估计（8）和（9）在n中一致成立。因此，我们可以对一些稠密可数子集B使用对角化过程 RN，为了得到函数v:B→ R、 λ∈ R、这样v（x）=limk→∞vnk（x）表示ll x∈ B、 λ=limk→∞某些子序列{nk}k的λnk≥0.然后我们可以将v扩展到整个连续性。然后我们继续展示{Znk}k的收敛性≥0英寸LT（W）适用于所有T≥ 与定理4的证明完全相同。最后，我们提取了进一步的子序列，该子序列收敛于P dt- a、并使用| fn（Xs，Zns）- f（Xs，Zs）|≤ |fn（Xs，Zns）- fn（Xs，Zn）-1s）|+|fn（Xs，Zn）-1s）- f（Xs，Zs）|≤ ckZns- 锌-1sk+| f（Xs，Zn）-1s）- f（Xs，Zs）|。利用支配收敛定理和f的连续性，我们得出了驱动项的收敛性。备注11。我们注意到，上述证明自然地扩展到具有适当对角有界结构的多维EBSDE的情况。换句话说，考虑系统YiT=YiT+ZTt[fi（Xs，Zs）- λ] ds-ZTtZisdWs，i=1，n、其中Z表示Z分量的向量。假设所有i=1，n代表所有x∈ 地图是z吗→ fi（x，z）是连续的，对于每个i，我们知道| fi（x，z）|≤ κ（1+kzik）对于某些κ>0。然后这个系统就有了解决方案。备注12。与Lepelt-ier和San Martin（见[13]）考虑的连续系数的单位水平BSDE设置类似，我们没有得到任何唯一性结果。

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大多数88

2022-5-9 11:27:27

当然，我们只能希望rgodic值的唯一性，因为任何常数c的Y+c也可以解相同的方程。应用标准技术来确定λ的唯一性的困难在于，它使用测量值的变化来消除[f（Xs，Zs）形式的漂移项- f（Xs，Z′）ds。这在目前的框架中是不可能的，因为f（x，·）不是Lipschitz。3.3与Pdes的联系在本节中，我们简要地展示了定理4与以下椭圆遍历HJB方程组解的存在性之间的关系：（Ly（x）+H（x，y（x）σ，u*（x），v*（x））=λ，Ly（x）+H（x，y（x）σ，u*（x），v*（x））=λ，（16）其中u*（x） =u*(y（x）σ，y（x）σ），v*（x） =v*(y（x）σ，y（x）σ），函数yi（·），i=1，2如定理4所示，L是定义为lv（x）=tr的线性算子σ′（x）v（x）+ hAx+F（x），v（x）i.我们注意到，如果我们定义了半群{Pt}t的传递≥0与进程{Xt}t关联≥0byPt[φ]（x）=E[φ（Xt）]，对于所有可测函数φ：RN→ 多项式增长的R，那么L是{Pt}t的生成元≥0.与Debusche、Hu和Tessitore[4]类似，我们采用了以下定义：定义1。两对{（yi，λi）}i=1,2（yi:RN）→ R、 λi∈ R）如果（i）函数{yi（x）}i=1,2是多项式增长的，则称为（16）的amild解。（ii）梯度函数{yi（x）}i=1,2是多项式增长。（iii）所有0≤ T≤ T，对于所有x∈ RN，对于i=1，2，yi（x）=PT-t[yi]（x）+ZTtPT-s嗨（x），yi（·）σ，u*（·），v*(·))（十）- λids，你在哪里*, 五、*如上图所示。因此，我们自动得到以下结果：定理6。假设满足定理4中的条件，则{（yi，λi）}i=1,2是系统（16）的唯一温和解。

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大多数88

2022-5-9 11:27:32

相反地，如果{（~yi，~λi）}i=1,2是（16）的一个通解，那么，设置Yit=~yi（Xt），i=1,2，我们得到了EBSDEs系统（6）的一个解。3.4个博弈，n>2个博弈。在这一节中，我们考虑n之间的博弈∈ N∪ {∞} 遍历玩家。在两个参和者的情况下，我们证明了遍历B SDE的某个系统的解的存在性保证了鞍点的存在性（假设了广义Isaac条件的一个版本）。然后我们对前者进行了改进。我们证明了有限多个参与者的情况是定理4的一个相对简单的扩展，但对于可数情况，需要额外的计算。设u=（u，…，un）为控制向量，使得（ω，t）7→ ut（ω）是可分度量空间U=U×····×Un中具有值的可预测过程。表示z=（z，…，zn）∈ Rn×N.我们定义了哈密顿函数{Hi}i=1，。。。，n、 asHi（x，zi，u）=ziR（u）+Li（x，u），其中，与两人情况类似，Li:RN×u→ R、 i=1。n是x中的可测成本函数Lipschitz，函数R:U→ 通过改变测量值Pu，v，T:=ρu，vTP，其中ρuT:=expZTR（ut）载重吨-ZTkR（ut）kds.薪酬定义为：薪酬（u）=lim supT→∞T-1Eu，TZTLi（Xt，ut）dt,对于i=1。n、目标是找到可接受的控制向量u*, 这样的话，对于所有人来说，我=1。n、吉（u）*i、 u-（一）≥ 吉（u）*),适用于所有可接受的控制-i、你在哪里-ide注意到向量u没有第i个分量。广义艾萨克条件：假设4。假设n<∞.（i）存在一个可测量的地图*: R（n+1）n→ U、这样一来，对于每个人来说都是1。新罕布什尔州*i（x，z）：=Hi（x，zi，u）*（x，z））≤ 嗨（x，zi，ui，u）*-i（x，z））适用于所有（x，z，ui）∈ R（n+1）n×Ui。（ii）地图z∈ Rn×N→ H*（x，z）对于任何固定的x都是连续的。

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大多数88

2022-5-9 11:27:35

这里*表示H的向量*i、作为二人情形的一个直接推广，我们得到了以下结果，其结果与定理3的结果相同，但需要一定的注意：定理7。假设4，假设存在n≥ 2个三胞胎（Yi，Zi，λi），i=1。n、例如YiT=YiT+ZTt[Hi（Xs，Zis，u*（Zs）- λi]ds-ZTtZisdWs（17）适用于所有0≤ T≤ T<0。此外，假设存在n个多项式增长的确定函数yi（x），i=1。n、使Yit=yi（Xt）保持sp-a.s≥ 0.然后控制u*（Xs，Zs）是纳什均衡。对于很多参与者的情况，我们可以证明系统（17）允许使用与第4项证明中完全相同的Picard迭代进行解决方案。换句话说，我们设定Z≡ 0，并给出一组马氏解{（Yi，n-1，Zi，n-1，λi）}i=1，。。。，如前所述，我们将nextiteration定义为Yi，nt=-[fi，n（Xt，Zi，nt）- λi，n]dt-ZTtZi，ntdWt，i=1，n、其中fi，n（Xs，Zi，n）=Hi（Xs，Zi，ns，u*（锌）-1s）。其余的证据是相同的。3.4.1有限玩家游戏对于数量可观的玩家，需要额外注意。首先，假设4中的条件（ii）需要重新制定。这是因为在有限维空间中，并不是所有的范数都是等价的，因此为了有连续性的概念，我们需要在有限维向量z上指定拓扑。让θide注意向量θ的第i个分量，并定义，loc：=可预测过程θ：E∞Xi=1i1+ZTkθitkdt< ∞, 尽管如此，T.假设估计值（10）中的常数不依赖于时间或迭代次数，我们知道存在一个常数C>0，这样EZTkZi，ntkdt< 对于所有的T>0，CT在i，n中保持一致。因此Zn∈ L≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-9 11:27:38

很明显，在LT（W）中Znto Z的成分转换对于所有T>0保证了在L，loc中Znto Z的聚合。我们还注意到，在定理4的证明中，我们使用了哈密顿量H向量的连续性*对于每个组件，请分别使用。因此，假设4中（i）的有限维模拟保持完全相同，而（ii）变成（ii）映射z∈ L，loc→ H*i（x，z）对于每个i是连续的（对于P×dt几乎所有（ω，t））∈ N.其次，遍历值向量λ的收敛子序列的构造需要修改。这是因为有限尺寸的碳管并不紧凑。然而，引理1的结果显然成立，确保每个c组分λi，kle在一个紧致中（在k中一致），因此我们可以使用dia gonalisation过程来构造一个极限λ。使用（ii）而不是（ii），其余证据保持不变。备注13。尽管拓扑结构L，Local看起来很艺术，但它有一个直观的解释。正如注释6所指出的，广义的艾萨克条件相当于小尺度上的纳什均衡。因此哈密顿量{Hi}i≥1在某些情况下，代表每个玩家的“本地价值观”。我们还注意到vect或{Zt}t≥0可以被视为策略的载体，因为它决定了最优控制的值{u*t} t≥因此{Hi}i的连续性≥1英寸z∈ L，loc的意思是，当玩家i有很多“邻居”（如果我们在代理空间中放置一个图结构，这个术语可以变得严格）时∈ N∪ {∞} 只要稍微打乱他们的策略，他的本地价值观的变化也将是微不足道的，即使远程代理做出了实质性的改变。进一步的解释可能包括有限维前向过程的情况、L’evy噪声的存在，以及每碘引入时间。

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何人来此

2022-5-9 11:27:42

考虑到[3]中建立了相应的存在唯一性结果（对于X在可分Hilbert空间中取值的情况），我们证明了本文的所有结果仍然成立。考虑到可数多个玩家之间博弈的存在性，下一步自然是研究遍历平均场型博弈。这样做的困难在于对哈密顿量的连续性假设，它依赖于z上的拓扑。由于我们的结果是相当普遍的，它允许引入不同参与者的政策之间的额外依赖性，前提是我们仍然有广义艾萨克条件的相应版本。4具有不对称代理的随机博弈在本节中，我们考虑两个不同类型的参与者之间的博弈。主要目的是了解遍历参与者（如上所述）与随着贴现率变得微不足道而对未来打折的参与者之间是否存在根本差异。我们将薪酬结构定义如下：J（x，u，v）=lim supT→∞T-1Eu，v，TZTL（Xt，ut，vt）dt,J（x，u，v）=Eu，v，TZ∞E-αtL（Xt，ut，vt）dt,其中α是一个正常数。在续集中，我们将第一种类型的玩家称为“遍历”，第二种类型的玩家称为“折扣”。我们首先为这种情况提供了定理3的一个类比：定理8。设哈密顿量{Hi}i=1,2如（4）所定义，假设假设假设2成立。进一步假设存在一个三重态（Y，Z，λ）和apair（~Y，~Z），使得（Yt=Yt+RTt[H（Xs，Zs，u*（Zs，~Zs），v*（Zs，~Zs））- λ] ds-RTtZsdWs，~Yt=~Yt+RTt[H（Xs，~Zs，u*（Zs，~Zs），v*（Zs，~Zs））- α~Ys]ds-RTt-ZsdWs（18）适用于所有0≤ T≤ T<0。此外，假设存在两个多项式增长的确定函数y（x），~y（x），使得Yt=y（Xt）和~Yt=~y（Xt）对所有t都保持P-a.s≥ 0

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kedemingshi

2022-5-9 11:27:47

然后控制（u*（Xs，Zs，~Zs），v*（Xs，Zs，~Zs））是纳什均衡。证明：我们首先注意到，由于哈密顿结构保持不变，遍历游戏者的证明与定理3相同。因此，我们将重点放在折扣上。对于任意容许控制v，则*, v）生成一个度量单位Pu*,vunder哪个dWu*,vt=dW- R（u）*t、 dt是布朗运动。然后（e）-αtYt）=-E-αt[H（Xt，~Zt，u*电视*t） +ZtR（u）*t、 vt）]dt+~ZtdWu，v*T,因此，整合并接受对Pu的期望*,v、我们得到了∧Y=Eu*,五、ZTH（Xt，~Zt，u）*电视*（t）-■ZtR（美国）*t、（vt）- L（Xt，u）*t、（vt）dt+ E-α标准箱*,五、~YT+ 欧盟*,五、ZTL（Xt，u）*t、 vt）dt.在两边进行lim sup，我们得到Y≤ 欧盟*,五、Z∞L（Xt，u）*t、 vt）dt= J（x，u）*, v），v=v的等式成立*.定理9。该系统（18）接受了第8项意义上的马尔可夫解。证据概述：由于严格的证据几乎和第4项的证据相同，我们只概述了细微的差异。我们的第一个目标是使用Picard迭代（7）构造系统（18）的解决方案。对于固定α>0，遍历BSDE的统一估计（8）和（9）与之前一样成立，而对于贴现BSDE，统一估计（8）被| v2，n（x）|代替≤ C/α，|v2，n（x）- v2，n（0）|≤ C（1+kxk），其中常数C>0与n和α无关（详情见[3]中的定理8]）。这使得我们只需简单的定义就可以完成定理4的其余部分。我们现在关心的是当我们将贴现率α设为零时会发生什么。其思想是从序列{αn}n中提取一个收敛的子序列∈然后研究极限物体。我们首先展示以下结果：定理10。设yα（x），~yα（x）是马氏解to（18）的y分量，λα是第一个游戏者的遍历值。

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可人4

2022-5-9 11:27:50

然后存在一个序列αn↓ 0和两个多项式增长函数y（·）和y（·），如yαn（x）→ y（x），λαn→ λ,~yαn（x）- ~yαn（0）→ ~y（x），αn~yαn（0）→λ，适用于所有x∈ 注册护士。证明：我们知道，通过构造，函数yαn（·）和∧yαn（·）是局部的Lipschitz，在n中是一致的≤ C（1+kxk），|yαn（x）- ~yαn（0）|≤ C（1+kxk）适用于所有x∈ 注册护士。通过引理1我们也知道{λαn}n≥放在一个小盒子里。因此，我们可以使用对角化过程来构造RN（例如QN）的adense子集上的极限，然后通过连续性扩展到整个空间。使用与定理4证明中的参数相同的参数，我们得出结论，当第二个参与者的贴现率为零时，我们可以提取一个序列，使得J1，αn（x，u*, 五、*) = λαn→ λ、 αnJ2，α（x，u）*, 五、*) = αnyαn（x）→λ，我们可以通过求解以下系统来找到（λ，＠λ）：（Yt=Yt+RTt[H（Xs，Zs，u*（Zs，~Zs），v*（Zs，~Zs））- λ] ds-RTtZsdWs，~Yt=~Yt+RTt[H（Xs，~Zs，u*（Zs，~Zs），v*（Zs，~Zs））-λ]ds-RTt-ZsdWs。这符合我们的直觉。具体来说，我们知道，对于一个参和者的情况（即标准最优控制问题），EBSDE是由一组贴现的有限水平BSDE得到的。参考文献[1]R.Buckdahn、J.Li和M.Quincampoix。无Isaacs条件的零和随机微分对策混合策略中的值。安。Probab。，42:1724–1768, 2014.[2] S·N·科恩和R·J·埃利奥特。随机演算及其应用。Birkh–auser，第二版，2015年。[3] S.N.C ohen和V.Fedyashov。具有跳跃和时间依赖性的遍历BSDE。arXiv:1406.43292014。[4] A.Debussche、Y.Hu和G.Tessitor。弱耗散假设下的遍历BSDE。《随机过程及其应用》，121:407–4262011。[5] N.El Karoui和L.Mazliak。倒向随机微分方程。皮特曼研究笔记，第364卷，1997年。[6] M·富尔曼、Y·胡和G。

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可人4

2022-5-9 11:27:53

特西托尔。Banach空间中的遍历BSDE和最优遍历控制。SIA M控制与优化杂志，48（3）：1542-15662009。[7] S.Hamad\'ene和J-P.Lepe-ltier。倒向方程，随机控制和零和随机微分对策。《随机与随机报告》，第221-231995页。[8] S.Hamad\'ene和R.Mu。具有无界系数的Mar-kovian非零和随机微分对策Nash平衡点的存在性。《概率与随机过程国际期刊》，87（1）：85–11，2015。[9] 胡耀邦、马德克和李卓群。有限维hjb方程弱解大时间行为的概率方法。暹罗J.控制优化。，53(1):378–398, 2015.[10] 胡耀东和唐诗诗。二维正交二次生成元的多维倒向随机微分方程。arXiv:1408.45792014。[11] I.Karatzas和Q.Li。控制和停止的非零和随机微分对策的BSDE方法。在S.N.Cohen、D.Madan、T.K.Siu和H.Yang中，《随机过程、金融和控制：为纪念Robert J.Elliott而发表的Afestschrift》的编辑，第105-153页。《世界科学》，2012年。[12] N.El Karoui和S.Hamad\'ene。BSDEs和r风险敏感控制，随机泛函微分方程的零和非零和对策问题。St ochastic过程及其应用，第145-169页，2003年。[13] J-P.莱佩蒂尔和J.圣马丁。具有连续系数的倒向随机微分方程。统计与概率信件，1997年。[14] 曼努奇。非连续反馈的非泽o-和随机微分对策。《暹罗J.控制优化》，43:1222-12332004。[15] K·R·帕塔萨拉蒂。度量空间上的概率测度。AMS ChelseaPublishing（2005年再版），1967年。

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