（3.21）产量（πa）的（3.19）和（3.21）的ν次之差- νBθt=-（Ha+νHD）+ZTthega（s，πas，eZas（πa））+νhκθs，θsiids-ZTtheZas（πa）- νκθs，dWsi<=> Yt（πa）=-（Ha+νHD）-ZTthZs（ˇπa），dWsi+ZTthegas、 ˇπas+（0，ν），Zs（ˇπa）+νκθs+ νhκθs，θsiids。鉴于（3.4），我们可以操纵驱动程序EGA中的术语，并获得EGA·, ˇπa+（0，ν），Za（ˇπa）+νκθ+ νDκθ，θE=ga·, （Za（πa）+νκθ）- ˇπa，1σ- （ˇπa，2+ν）κθ+eλaπ-a、 1σ+π-a、 2κθ- ˇπa，1hσ，θi- （ˇπa，2+ν）Dκθ，θE+EλaD′π-a、 1σ+π-a、 2κθ，θE+νDκθ，θE=ega·, ˇπa，Za（ˇπa）.鉴于BSDE（3.19）的假定唯一性，断言如下。第二步：假设（Y（ˇπa），Z（ˇπa））解（3.20）和π*,πa7的最小化策略→eYa（πa），然后操纵Y（πa）=eYa（πa）- νBθ，我们有（ˇπa）=eYa（πa）- νBθ≥eYa（π）*,（a）- νBθ=Y（ˇπ）*,a） ，因此是π*,a:=π*,A.-（0，ν）对于具有终端条件的BSDE（3.19）是最佳的-（Ha+νHD）。这个引理直观地表示，在t=0时，一个代理a拥有一部分νa=πa，2-= πa，HD的2个单位，实际上可以被认为是赋予了ˇHa=Ha+νaHD。然后我们只看相对投资组合Gπa，2=πa，2- νa，它计算导数Bog ht，并且仅从t=0开始出售：优化问题是等价的。这个论点可以推广到所有其他代理人。我们注意到，这种减少是可能的，因为我们在这项工作中没有考虑交易约束，所以策略πa，2和πa，2是同样可容许的。在接下来的工作中，我们假设每个代理在t=t处接收派生HD的一部分N/N。

通过这样做，定义2.5中的市场清算条件转变为XA∈AπA，2t=0p Leb- a、 我们称之为零净供应条件。为清楚起见，我们召回了a特工∈ A现在通过求解B SDE（2.7）提供的动力学，以终端条件Yat=-Ha+nNHD+Va，θT（πa）-eλaXb∈A\\{A}Vb，θT（πb）（3.22）存在将净供应量减少到零的多种可能性，包括向一个代理赋予衍生品总量H或向每个代理赋予衍生品的初始部分V a。为了简单起见，我们明智地选择了n/n。（而不是（2.7）中的内容）。此外，通过将变量（3.1）的变化应用于带终端条件（3.22）的BSDE（2.7），我们达到-deYat=ega（t，πat，π-at，eZat）dt- 赫扎特、德瓦蒂、埃亚特：-Ha+nNHD, （3.23）通过变量（3.1）的变化，由（3.4）给出的（和（eYa，eZa）与（Ya，Za）相关。在零净供应条件下，可以直接重新编译第3.3节的结果。它不会改变策略或驱动因素，只需要更新相关BSD的终端条件-哈托-（Ha+nNHD）如（3.23）所示。4外部风险的均衡市场价格在上一节中，我们看到了如何计算给定市场价格风险θ=（θS，θR）的纳什均衡，而不受交易的全局约束（市场清算条件）。在本节中，我们通过找到外部风险的均衡市场价格（EMPeR）θR来解决定义2.5所提出的均衡问题。文献中包含了许多关于复杂市场均衡的结果，这些结果将竞争均衡与代表性代理的优化问题联系起来，这就是我们在这里使用的方法。

代表代理人的偏好通常由个体代理人偏好的加权平均值给出，权重取决于代表代理人支持的竞争均衡，见[Neg60]。这种依赖性导致复杂的定点问题，导致平衡分析和计算相当繁琐。关于平移不变偏好下风险分担的许多结果，尤其是[BE05，JST06，FK 08]，表明当偏好s是平移不变的，那么所有权重都相等。这是[HPDR10]的一个有效策略，如果∈ A、 λA=0或λA=λ∈ [0,1]。在一个没有业绩担忧的市场中，[HPDR10，BE09]表明，风险度量的不正常演变为代表性代理提供了一个合适的风险度量，对于条件风险度量，它对应于驱动因素的不正常卷积。考虑到绩效因素，我们使用了加权扩张的线性卷积，并且在定理4.5中，我们证明了将我们的代表代理人的风险降到最低相当于在我们的市场上找到竞争均衡。4.1根据上述结果，并考虑到[rüs13]（见下文备注4.9），我们通过为一组正权重w=（wa）a定义一个新的风险度量ρw，来处理由固定供应条件和额外未知θr（见3.3.4和3.3.6中的示例）引起的额外的相互依赖性∈AsatisfyingPa∈Awa=1，我们定义ρw（X）=inf（Xa∈AwaρaXa（Xa）∈ （L）∞)N:Xa∈AwaXa=X）对于任何X∈ L∞.

（4.1）对于由BSDE引起的风险度量，[BE05]表明，由风险度量（ρa）的内卷积定义的度量∈Ais再次由BSDE诱发，其驱动因素只是BSDE驱动因素GAA对风险度量（ρa）a的卷积∈A.对于权重集w=（wa）A∈A、 我们将驱动程序GWA定义为驱动程序s gafor（t，z）的加权扩展inf卷积∈ [0，T]×R，gw（T，z）=W（ga）a∈A.（t，z）=inf（Xa）∈阿瓦加（t，za）（za）∈ （R） 纳什。t、 Xa∈Awaza=z），（4.2）其中（ga）a∈A.是标准的inf卷积。引理4.1（gw的性质）。地图gw:[0，T]×R→ 由（4.2）定义的R是一个确定性连续函数，具有三次凸性和连续可微性。此外，这是一个无法解决的问题zgw（t，Z）=-对于一个zA=（zA）这样的pawaza=Z，一个人有gw（t，Z）=Pawaga（t，zA）当且仅当存在∈ 就这么说吧∈ A.zga（t，za）=-θ. 在这种情况下，我们必须zgw（t，z）=-θ.证据加权inf卷积将遗传算法的性质转化为gw，特别是连续性、严格凸性和可微性。我们不展示这些，因为它们来自已知参数的简单拟合，参见[BE05、BE09、HPDR10]。由于函数被最小化（zA=（zA）7→Pawaga（za））是凸的，定义约束的函数（zA7→Pawaza）也是凸的，因为最小化定义等同于找到相关拉格朗日函数L（zA，θ）=Pawaga（zA）+θ（Pawaza）的临界点- z） 。因此，对于a zA=（zA）这样的pawaza=z，当且仅当存在θ时，zA是一个极小值∈ 尽管如此∈ A.zga（t，za）=-θ.

然后zgw（t，z）=-θ其中θ是与z相关的拉格朗日乘数。通过ρw测量的随机终端财富ξw的风险由ρw（ξw）给出：=Yw，其中（Yw，Zw）是BSDE的解-dYwt=gw（t，Zwt）dt- hZwt，dWti，终端条件为YwT=-ξw.（4.3）因为重量（wa）a∈Aare需要满足pWa=1的要求，风险度量ρ与B SDE相关，上述驱动因素是货币风险度量。平移不变性和单调性源于驱动程序gw独立于y的因素。凸性源于gw的凸性，而gw又通过包络定理源于ga的凸性。备注4.2。注意，（4.2）可以重写w（t，z）=inf（Xa）∈阿瓦加t、 扎瓦Xa∈Aza=z）。这样，在Terminology f rom[BE09]（第137页）中，gwis被视为wa扩展驱动器ga的通常w加权错误卷积。更多关于扩张风险度量的信息，请参见[BE09]中的3.4号提案。例4.3（熵风险度量）。对于熵代理，即驱动程序ga（za）=| za | 2γa，一个得到gw（z）=| z | 2γR，γR:=Xa∈Awaγa.（4.4）交易和代表机构的风险头寸定义了累计风险度量ρ和相关驱动因素gw后，我们现在为偏好由gw描述的代表机构引入策略π和相关交易收益V·（πw）=R·πw，1tdSt+R·πw，2TDBTF。

根据（4.1）的直接计算，我们将终端增益ξw:=Xa分配给代表性代理∈Awaξa=Xa∈阿华Ha+nNHD+增值税-eλa′V-在=Xa∈Awa（Ha+nNHD）+Xa∈阿华（1+eλa）增值税-eλaXb∈AVbT=Xa∈Awa（Ha+nNHD）+Xa∈阿瓦特（1+eλa）-eλaXb∈Awbeλb= Hw+VT（πw），其中ca:=wa（1+eλa）-PB∈Awbeλb，πw=Pa∈Acaπais代表代理人的投资组合，VT（πw）=Pa∈AcaVT（πa）是代表代理人的财富过程，hw:=Xa∈Awa（Ha+nNHD）=nNHD+Xa∈AwaHa（4.5）被定义为代表代理人的终端捐赠。现在我们选择权重（wa）a∈a任何a的ca=c∈ A代表一些c∈ (0, +∞), i、 e.wa:=所有a的∧（1+eλa）∈ A、 式中∧：=Xa∈A1+eλa.（4.6）直接验证yieldsPawa=1，此外，对于所有a∈ A、 ca=c:=∧-λXb∈注意πw，2=Pa∈Acaπa，2=cPa∈AπA，2。换句话说，个体代理人（即Pa）的零净供应条件∈AπA，2=0）相当于不投资HD的代表代理人（即πw，2=0）。从现在起，权重w族是固定的，由（4.6）给出。代表代理人剩余风险的逐点最小化我们现在表明，由聚合风险和代表代理人构成的方法，作为上述激励，允许将风险的均衡市场价格确定为代表代理人风险最小化的副产品。该风险由BSDE（4.3）的解决方案给出，终端条件ywt=-ξw=-Hw-VT（πw），对于mπw=（πw，1，0）的容许策略πwof。R值策略过程ssπwis被认为是可接受的（πw∈ Aw）如果Eθ[hv·（πw）iT]<∞ BSDE（4.3）有一个独特的解决方案。

在第3节之后，我们将介绍剩余风险流程Ywt:=Ywt+VWT，并根据EZWT:=Zwt+πw，1tσt+0.这对（eYw，eZw）满足BSDE的终端条件EYWT=-Hwand随机驱动器egw，定义为（ω，t，πwt，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×R，byegw（T，πwt，z）：=gwt、 z- ζwt- hζwt，θti，其中ζw=πw，1σ+0（与（3.1）-（3.4）相比）。由于eYw=Yw，代表性代理则等价地致力于求解min{eYw（πw）|πw∈ 啊。按照第3节中用于单一代理的方法，我们首先着眼于按点最小化驱动程序EGW。我们将∏w，1（t，z）定义为min的优化器egw（t，（p，0），z）|p∈ R, 设置∏w，2（t，z）=0，以加强零净供应条件。因为gww是严格凸的，所以函数egw也是严格凸的，最小值的特征是一阶条件gwz的解t、 z- πw，1（t，z）σt= -θSt.我们用egw（t，z）=egw表示最小化（随机）驱动程序t、 πw（t，z），z. （4.7）备注4.4（分离假设下优化驱动器（4.7）的结构）。在这里，不同于在固定MPRθ=（θS，θR）下交易S和B的单个代理的优化，我们没有（3.9）中所述的良好结构，在gw上具有所有通用性（因此在ga上）。假设对于某些g1，w，g2，w:[0，T]×R→ R我们有gw（t，z）=g1，w（t，z）+g2，w（t，z），那么一阶条件将转化为g1，wzt、 z- πw，1（t，z）σSSt= -θSt。

用Zw表示，1（t，-θSt）Z中的解∈ R到方程g1，wzt、 Z= -θSt，r∏w，1的结构为∏w，1（t，z）=z- Zw，1（t，-θSt）σs代表优化驱动器的结构t、 （Zw，1（t，-θSt），z）+ Zw，1（t，-θSt）θSt- zθSt=g1，wt、 Zw，1（t，-θSt）+ Zw，1（t，-θSt）θSt- zθSt+g2，w（t，z）。例4.6中讨论了属于这一类别的熵驱动因素的特殊情况。代表性代理的最优性和外部风险的均衡市场价格我们假设具有驱动力的BSDE定义在（4.7）和终端条件下-HW在S中有一种独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO。确定策略π*,wbyπ*,wt:=πw，1（ω，t，eZwt），0.与第3节中的单个代理一样，下面的定理断言π*,代表代理人的最佳策略和风险最小化。此外，该定理将均衡市场风险价格（EMPR）θ=（θS，θR）（重新定义2.5）重新定义为代表性代理优化问题的解。回想一下（4.6）中给出的权重w族。定理4.5。假设o带drivereGw（4.7）和AndyWt的BSDE=-HW在S中有一个独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO，o比较定理适用于具有drivereGw，oπ的BSDE*,w·=πw，1（ω，·eZw·），0可与价格S和B积分，则代表代理人和π的风险最小*,wis是将风险降至最低的独特最佳策略。如果，对于过程θ*= （θS，θR），其中θR由GWZ定义t、 eZwt- π*,w、 1tσt= -θRt，（4.8）定理3.5的条件成立，那么θ*是A中代理的唯一EMPR。此外，最小化聚合风险与单个最小化风险（eYa）A相关联∈A通过标识Y=PawaeYa（同样适用于foreZ）。此外，试剂的Na-sh平衡满足π*,w=cPaπ*,a、 例4.6（熵情况）。

在熵的情况下，我们发现gw（z）=| z | 2γR，所以我们有zw，1（t，-θSt）=-γRθSt.最小化的驱动器为negw（t，z）=-γR（θSt）- zθSt+2γR（z），如第3.3小节所示。这个驱动是二次正则的，并且是终端条件-有界的。从[Kob00，IDR10]可以看出，S中有一个独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO和适用的比较结果（见[Kob00，MY10]）。最优策略为π*,w、 1=eZw，1+γRθSσS和π*,w、 2=0。WitheZw∈ HBMOandθsbound，π*,w、 1可与S积分。这证明了定理的前三个假设。此外，使用（4.8）和sinceeZw∈ HBMOandθis bo unded，我们发现θR=-eZw，2γRandθ*= （θS，θR）∈ HBMO。（4.9）在注释3.3之后，π的最优性*,wand（eYw，eZw）对于具有GWS描述的优先权的代理人w，以与单个代理人a的最优性完全相同的方式获得∈ 定理3.2中的A。因此，我们只证明定理4.5中与EMPRθ有关的主张*.然而，首先，我们陈述了一个与引理3.4对应的例子，当B不可能交易时。引理4.7。在定理M4.5的假设下，设bπw=（bπw，1，0）为可容许策略，且（bYw，bZw）为相关风险过程，即。带驱动程序egw（t，bπwt，·）和终端条件的BSDE解决方案-嗯。假设FOC适用于这些过程，即gwz（t，bZwt-bζwt）=-θstbζwt=bπw，1tσt.然后（bYw，bZw）=（eYw，eZw）和bπw=π*,w、 证据。回顾gw的性质（见引理4.1）和∏w，1的定义，条件gwz（t，bZwt- bπw，1tσt）=-θstm表示bπw，1t=πw，1（t，bZwt）。我们得到了egw（t，bπwt，bZwt）=egw（t，bZwt）（回忆（4.7））。通过假设具有drivereGw（t，·）和终端条件的BSDE解的唯一性-我们有（bYw，bZw）=（eYw，eZw）。因此，通过FOC解的唯一性，bπw，1t=πw，1（t，bZwt）=πw，1（t，eZwt）=π*,w、 1t。

因为两种策略的第二个分量都等于zero，所以我们得到了bπw=π*,w、 下一个结果将用于定理4.5的证明，该结果表明，对单个优化问题的解决方案进行聚合将导致聚合偏好G的最优，并用代理的BSDE的加权和确定聚合的BSDE。引理4.8。让θ∈ 假设定理3.5中的条件s。那么让我们（π）*,a） a∈Abe表示与θ相关的无约束纳什均衡，并将（eYa，eZa）表示为每个代理a的最小风险BS DE的解∈ A（带驱动器（3.9）的BSDE（3.2））。定义（bYw，bZw）：=Pawa（eYa，eZa）和bπw:=Pacaπ*,a=cPaπ*,a、 然后（bYw，bZw）和bπ是单一代理的最小风险和最优策略，其偏好由gw给出，可以投资（S，b）（无交易约束）。证据首先，我们将要获得的个人风险BSDE（bYw、bZw）及其BSDE相加。我们有BYWT=-帕瓦哈=-Hwand alsodbYwt=-Xa∈阿旺加t、 埃扎特- ζat（π）*)- hζat（π）*), θtiodt+Xa∈阿瓦赫扎特，dWti=-Xa∈阿瓦加t、 埃扎特- ζat（π）*)-Dbζwt，θtEdt+hbZwt，dWti，其中bζw=bπw，1σ+bπw，2κ=Pawaζa（π*). 我们注意到，一方面，Xawa（eZat- ζat（π）*)) =沙瓦扎特-Xacaπ*,a、 1σt+Xacaπ*,a、 2κt=bZwt-bζwt，另一方面，对于所有a∈ A、 通过eπA和（eYa，eZa）的最优性zgat、 埃扎特- ζat= -因此，我们通过引理4.1知道gw（t，bZwt-bζwt）=Pawaga（t，eZat- ζat）。这意味着dbywt=-gw（t，bZwt）-bζwt）- hbζwt，θtidt+hbZwt，dWti=-egw（t，bπwt，bZwt）dt+hbZwt，dWti。其次，通过引理4.1，我们也知道zgwt、 bZwt-bζwt= -θt.因此，根据Le mma 3.4，我们得出（bYw，bZw）是具有gwfrom（3.9），terminal condition（终端条件）给出的偏好的代理的最小风险BSD的解决方案-Hw在给定的MPRθ和bπ下交易S和b是最优策略。定理4.5的证明。

定理证明的第一部分，即代表性代理的优化，通过与单代理案例中使用的参数类似的参数，参见定理3。2和备注3.3。我们可以省略它。 E MPR的存在。这里我们证明θ*= 通过（4.8）定义的（θS，θR）实际上是一个MPR。自θ*∈ hBMO和定理3.5的条件成立，设（π）*,a） a∈MPRθ下的无约束纳什均衡*, 让（eYa，eZa）成为每个代理a的最小风险B SDE的解决方案∈ 答：我们现在的目标是证明这一点*,a、 2=0。让我们介绍一下（bYw，bZw）：=Pawa（eYa，eZa）和bπw:=Pacaπ*,a=cPaπ*,a、 来自外稃4。8，bπwandbYware风险偏好由GWS和b在θ下编码的单个公司的最优策略和风险*没有交易限制。同时，我们定义了π*,w=（π）*,w、 1，0）作为一个代理w的最优策略，该代理w的优先权由gwand指定，并且只能投资于S（MPRθS）。通过θR的构造，我们得到zgwt、 eZwt- ζwt= -θ*t、 式中ζwt=π*,w、 1tσt.引理3.4得出π*,wis也是具有偏好的代理的最佳策略，并且在给定MPRθ的情况下，可以投资S和B*. 通过引理3.4中的唯一性，我们得到了bπw=π*,w、 这尤其意味着π*,a、 2=bπw，2=π*,w、 2=0。因此，我们证明了与θ相关的纳什均衡*满足零净供应条件，进而构造θ*是EMPR。 EMPR的不唯一性。假设θ=（θS，θR）也是EMPR和let（π）*,a、 θa∈Abe是相关的纳什均衡，根据EMPR的定义，其零净供应条件为Paπ*,a、 θ，2=0是令人满意的。也让（eYa，θ，eZa，θ）成为每个阶段的最小风险BSDE的解决方案∈ A.如上所述，我们定义（bYw，θ，bZw，θ）：=Pawa（eYa，θ，eZa，θ）和bπw，θ：=Pacaπ*,a、 θ=cPaπ*,a、 θ。

通过引理4.8，我们得到（bYw，θ，bZw，θ）和bπw，θ对于在给定MPRθ下在S和b中交易的单代理经济是最优的。因此，利用优化器和FOC条件之间的特征，我们得到了GWZt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= -θ-gwzt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= -θRt，其中bπw，θ，2=0，因为θ是EMPR。根据引理4.7，第一个方程保证（bYw，θ，bZw，θ）和Bπw，θ对于在S交易的具有偏好的代理是最优的。通过构造（eYw，eZw）和π*,w（对于MPRθ*), 引理4.7中提到的唯一性，我们有（bYw，θ，bZw，θ）=（eYw，eZw）和bπw=π*,w、 因此，我们从第二个FOC方程-θRt=gwzt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= gwzt、 eZwt- π*,w、 1tσt= -因此EMPRθ是唯一的*.从定理4.5我们指出θ*只是代表代理人经济的MPR，因为代表代理人在不完整的市场中交易，无法交易风险（Rt）-recal l（2.1）。尽管如此，θ*是唯一一个导致代理商完全市场的MPR，其形成的纳什均衡满足零净供应条件。我们在结束这一评论时补充说，完整市场的代表性代理方法会导致代理均衡（见[HPDR10，KXZ15]和其中的参考文献）。备注4.9。在[Rüs13]中，风险度量的“加权最小卷积”是通过^ρiγ（X）：=inf（NXi=1γiρi（Xi）；十、XN∈ Lp，NXi=1Xi=X）（参见pa ge 271，方程式（11.25））中的γ=（γi）∈ RN>0，对于一些p≥ 1.注意，在我们的上下文中，如果没有驱动程序论证中的膨胀权重，聚合将不起作用。这可以在定理4.5的步骤2中看到。原因是，G是作为参数插入的策略的Ga和由权重乘以的策略的附加项的总和。

对于作为单一策略的聚合，这种调整是必要的。4.2熵风险度量的EMPE捷径在前面的子部分中，我们通过风险度量的inf卷积，给出了一般偏好下均衡风险市场价格的存在性和唯一性的结果。在熵风险度量的特殊情况下，一般计算要简单得多，并且更容易的路径允许在没有代表性的情况下计算EMPeRθRis（如果存在）。尽管上面导出的代表性代理的BSDE将出现在以下计算中，但仅通过这些计算无法表明计算的θ确实是anEMPR。正如第3.3.4节所暗示的，这条较短的路径位于BSDE（3.2）与（3.15）给出的最小驱动力的直线ar组合中。根据第3.3.5节的计算，我们发现市场清算条件要求0=Xa∈π*,a、 2t=Xa∈A1+eλaeZa，2t+γaθRtκRt<=> θRt=-帕∈AeZa，2t（1+eλa）Pa∈AγA（1+eλA）=-帕∈AwaeZa，2tγR，如果我们定义γR=Pa∈Awaγa，其中wa=1/（λ（1+eλa））和∧=Pa∈A1/（1+eλa）。注意，这里我们不需要规范化族w=（wa），以便∈Awa=1，因为我们不考虑综合风险度量。w的任何重标度∧′都会给出相同的θR。为了与一般情况保持一致，我们用这种方式表示它。现在，用（3.15）给出的最小驱动因素中的上述值替换θrb项，我们发现每个代理的最佳风险过程解决了BSDE，驱动因素为byeGa（t，eZAt）=-γaθSt-eZa，1tθSt+γReZa，2tXb∈AwbeZb，2t-γa2γRXb∈AwbeZb，2t.

（4.10）具有这些驱动因素的BSDE形成一个由N个二次增长的耦合BSDE组成的系统，通常很难解决，请参见[ET15]、[Esp10]、[FDR1 1]或更近的[Fre14，KP16]。幸运的是，我们可以利用（4.10）的结构，为流程（bYw，bZw）=Pa找到一个更简单的BSDE∈阿瓦（eYa，eZa）。很容易看出BYWT=-帕∈Awa（Ha+nHD/N）=-Hw，如（4.5）所示。将BSDE（3.2）与（4.10）中表示的驱动因素线性组合，我们发现-dbYwt=h-γRθSt-bZw，1tθSt+2γRbZw，2tidt- hbZwt、dWti和BYWT=-嗯。（4.11）这与例4.6中的BSDE完全相同。假设Hwandθ是有界的，则该BSDE属于二次增长BSDE的标准类，且（bYw，bZw）的存在唯一性得到了保证。这允许我们计算θRas-bZw，2/γRand反过来，我们可以使用（3.15）中给出的驱动力最终求解B SDE，给出每个代理的最小风险过程。备注4.10（风险容忍度和绩效回报率之间没有权衡）。每个代理人的个人偏好由参数γa和λa规定，即风险承受能力和绩效系数。人们可能会问，这些参数之间是否存在参数关系，比如一个具有（γa，λa）的n代理和另一个具有（γb，λb）的代理会表现出相同的行为，并具有相同的时间策略。实际上，在MOST公式中，这两个参数似乎是耦合的。然而，我们可以看到，终端条件hw与风险容忍度参数γ·无关，因此通过改变任何一种固定因子a的λa和γao∈ A、 一个人不可能得到同样的结果。5熵风险度量案例的进一步结果在本节中，我们将进一步研究熵案例。我们介绍了一种结构，该结构允许使用上一节中开发的理论，并且可以设计假设3。1是正确的。

本节的最终目的是了解关注率λ如何影响价格和风险。本节的前两部分验证了假设3.1成立，第三部分说明了随着参数变化，聚合风险和衍生产品价格的行为。我们现在对第2节中产生的随机变量的结构做进一步的假设（见下文）。也就是说，我们假设∈ 对于某些确定性函数h·，A和导数h的形式为ha=ha（ST，RT）和HD=HD（ST，RT）（5.1）。衍生工具和捐赠基金的这种结构被解释为每个代理人在到期日T一次性收到一笔款项。为了简化分析，我们将假设整个Black-Scholes市场（即uS，σSare常数）。对于我们在这里得到的结果来说，这样的假设并不是绝对必要的，但我们希望把重点放在定性分析上，而不是模糊的数学技术上。尽管本节剩余部分，下一个假设仍然成立。假设5.1。让假设2.1保持不变。让我们∈ (0, ∞) 和uR，uS∈ R（也就是θS∈ R） 。对于任何一个∈ A功能hD，哈∈ Cb（R；R）是严格正的，它们的导数是一个统一的线性连续的w.R.t.非金融风险和(xhD）（x，x）6=0表示任何（x，x）∈R×R.关于所涉及映射的严格正性的假设，或xhD6=0是证明假设3.1确实适用于我们给出的示例的关键。对Ha和Hd形式的假设将BSDE简化为马尔可夫情形，使我们能够访问许多现有的B SDE正则性结果，我们将在下面的全部范围内使用这些结果。有可能（这有待于未来的研究）保持在非马尔可夫环境下的一般阿尔夫特可测量HDT和HAD，并使用非马尔可夫BSDE和路径依赖PDE之间的链接（参见[EKTZ14]）。

实际上，关于非马尔可夫环境下BSDE解的一般Malliavin可微性的工具可以在[AIdR10]或[DR11，MPR14]中找到。我们记得，在下面的例子中，我们的目标是分析参数λ·n、γ·对风险过程（单一和代表性因素）、衍生过程和EMPeR的影响。备注5.2（关于本节的注释）。在本节中，我们主要研究代表性BSDE（见示例4.6或（4.11））和衍生产品价格BSDE（3.21）。为了避免在代表代理人的BSDE中出现符号重叠，我们放弃了波浪符号和定义（Yw，Zw）作为上述BSDE的解决方案；不要与（4.3）混淆，它在这里不起作用。竞争价格的解决方案用（B，κ）表示。5.1考虑到关于二次增长的BSDE的现有文献，BSDE（4.11）的总风险分析并不困难。记录所有θS∈ s∞还有YwT∈ L∞（因为它是有界随机变量的加权和）。我们很快回忆起，D1，2是一阶Malliavin可微过程的空间，注意到Malliavin导数算子，我们将读者引向附录A.1，以获得进一步的Malliavincalculu参考。定理5.3。BSDE（4.11）有一个独特的解决方案（Yw，Zw）∈ （S）∞∩ D1,2）×（HBMO∩ D1,2）。此外，还存在一个严格的负函数uw∈ C0,1（[0，T]×R，R）使得对于任何T∈ [0，T]Ywt=uw（T，St，Rt）和Zw，2t=(（t，St，Rt）b，P-a.s。。i） 对于任何r，u∈ [0，t]，t∈ [0，T]它认为dwruywt=DWRrYwtP-a.s.和DWRuZwt=DWRrZwtP Leb-a.e。特别是对于任何t，DWRtYt=ZwtP-a.s∈ [0，T]。ii）存在一个常数C>0，使得| Zw，2t |≤ C代表任何t∈ [0，T]，即Zw，2∈ s∞和旭∈ Cb。此外，θR∈ s∞.iii）工艺DWR·ZWBE延伸至HBMO。证据让我们∈ A和0≤ U≤ T≤ T

SDE（2.1）和（2.2）的存在性和唯一性来自命题A.3。假设我们有YwT∈ L∞θS∈ s∞这允许引用[IDR10]中的定理2.6，因此（Yw，Zw）∈ s∞×HBMO。此外，考虑到YwT<0，二次BSDE的严格比较原则（参见[MY10，属性（5）]）很容易得出任何t的YwT<0∈ [0，T]因此uw<0。命题A.3 e确保Hd和Ha，以及Hw的收益是有界Malliavin导数的Malliavin可微的。进一步结合θS∈ R、 （4.11）的Malliavin可微性源自[IDR10]中的定理2.9。在假设5.1下，[IDR10]（或[DR11]第4章）中的结果以及[AIdR10]中的定理7.6给出了YW的马尔可夫性质和（二次）BSDE的参数可微性结果。 自uw以来∈ C0，1通过直接应用M alliavin微分，我们得到了0≤ U≤ T≤ TDWRuYwt=DWRuuw（t、St、Rt）= (xuw）（t，St，Rt）（DWRuRt）=(xuw）（t，St，Rt）b=DWRtYwt。因此，对于任何0，DWRtYwt=DWRuYwt=zwt≤ U≤ T≤ T P-a.s。。 ii的证明）：现在定义概率度量Q（相当于P）asdQdP=E-ZT*（θSs，-Zw，2sγR），dWs+！。（5.2）由于θS，测量值Q已被很好地定义∈ s∞Zw，2∈ HBMO。然后是0≤ U≤ T≤ 我们有（在[IDR10]中的定理2.9]）DWRuYwt=DWRuYwt+ZTt[-θSsDWRuZw，1s+γRZw，2sDWRuZw，2s]ds-ZTthDWRuZws，dWsi（5.3）=> DWRuYwt=EQ[DWRuYwt | Ft]。命题A.3中的结果和定义为| DWRuYwt |<C.BSDE的路径正则性结果及其常用表示公式（见[IDR10]）得出（DWRtYt）=（Zt）∈ s∞; 空间的有界性xuwfollows的方式很明显。因此，θR∈ s∞自从Zw，2∈ s∞和（4.9）保持不变。 iii）的证明：现在使用θS，Zw，2∈ s∞, 我们将[IDR10]中的定理2.6应用于（5.3），得到了DWR·Zw∈ HBMO。

DWRZWD的BMO范数仅限于某些re-al-constantsand T，γR，supukDWRuYwTkL∞和k（θS，Zw，2）kS∞×S∞（再次参见[IDR10]中的定理2.6）。在下一个结果中，我们展示了映射x7→ (（t，x，x）是利普希茨。用RandeR表示（2.1）的解，R=rand R=err；分别用（Y，Z）和（eY，eZ）表示深入过程中BSDE（4.11）的解。提议5.4。对于任何（t，x）∈ [0，T]×R映射R x7→ (xuw）（t，x，x）在t和x上是一致连续的。尤其是过程DWRZwis是P-a.s有界的。证据让0≤ U≤ T≤ T和定义δDY:=DWRYw- DWReYw，δDZi:=DWRZw，i- DWReZw，ifor i∈ {1,2}和（直观地）δDZ:=（δDZ，δDZ）。然后，根据Qfrom（5.2）下的（5.3）wr ittten，我们得到δDuYt=δDuYt-ZTthδDuZs，dWQsi+ZTtγR（Zw，2s）-eZw，2s）DWRuZw，2sds。现在定义processet:=expZtγRDWRuZw，2sds, T∈ [0，T]与（et）∈ 惠普，p>1，（5.4），其中（et）的可积性来自引理A.1。接下来，根据第5.3条的结果，我们可以看到δDuYt=δDtYt=Zw，2t-eZw，2t。将它的公式应用于（etδD·Yt），使用刚刚提到的恒等式，并取u=t=0时的Q条件期望|(xuw）（0，s，r）- (xuw）（0，s，er）|=b |（Zw，2）-eZw，2）|=|bEQ[eTδDYT]|≤ C | r- 呃|。最后一行是命题a.3与EQ[epT]结合的结果(p>1）是由于DWRZw的BMO性质而确定的，2参见引理A.1。常数C独立于u，r，eran和s。虽然DWRZw，2i在P下是BMO m可积的，但在q下可积性仍然存在；这与[IDR10]中引理3.1证明的最后一步相同（参见引用著作的Alsolema 2.2和备注2.7）。通过BSDE解的马尔可夫性质，将上述结果推广到整个时间间隔[0，t]。

这与马尔科夫类型的BSDE和某些类准线性抛物型偏微分方程之间的密切联系有关（例如参见[EPQ97]第4节）。最后，从x7的Lipschitz性质得到了DWRZW的有界性→ (xuw）（·，·，x）和DWRR的有界性，见第A.3，ii）点。5.2 EMPR和导数的BSDEWe接下来表明假设5.1意味着假设3.1适用于具有熵风险的模型。定理5.5（市场完成）。衍生工具HDS完善了市场，即对于任何t，κR6=0 P-a.s∈ [0，T]。此外，κR∈ s∞s gn（κRt）=sgn（bxhD）适用于任何t∈ [0，T]。在证明上述结果之前，我们需要一个中间结果。回想一下，BSDE（3.21）描述了冰过程Bθ的动力学，即HD∈ L∞θ∈ s∞×（HBMO）∩ D1,2）（根据假设5.1和定理5.3）。提议5.6。这对（B，κ）属于gs到（S）∞∩D1,2）×（HBMO∩D1,2）及其Malliavin导数满足0≤ U≤ T≤ T动力学dWrubθT=DWRuHD-ZTtκRsDWRuθRs+Dθs，DWRuκθsEds-ZTthDWRuκθs，dWsi。（5.5）对于任何0，表示DWRtBθt=κRtholds P-a.s≤ T≤ T证据让0≤ U≤ T≤ T请注意，BSDE（3.21）是一个具有线性驱动程序和边界终端条件的B SDE。解的存在性和唯一性来自[EPQ97]的结果。此外，[IDR10]中使用的估计技术得出（B，κ）∈ s∞×HBMO（见[IDR10]中的定理em2.6]）。（B，κ）的Malliavin可微性源于[EPQ97]中的命题5.3，以及自（θS，θR）以来的注释∈ R×（S）∞∩ D1,2）（见定理5.3）。引用的结果和命题A.3对DWRBθ的收益率（5.5）。此外，根据[IDR10]中的定理2.9，我们得到了limutDWRuBθt=κrt0≤ U≤ T≤ TP Leb-a.e。。现在我们证明了关于B和κ的一个更好的结果，即对于任何0≤ T≤ 而不仅仅是P Leb-a.e。。

这是通过显示（u，t）7来实现的→ DWRuBθ是连续的。注意，地图不是7→ u的DWRuBθt≤ t由（5.5）给出，因此它在时间上是连续的(T∈ [u，T]）。现在请注意，命题5.4和命题A.3给出了DWRZw，2is bounded和DWRuZw，2t=DWRrZw，2t=DWRZw，2t=DWRZw，2t表示任何0≤ u、 r≤ T≤ T这些性质也适用于θRvia恒等式-γRθR=Zw，2。使用度量Pθ（在（2.3）中介绍），DWRθS=0和恒等式-γRθR=Zw，2，可以重写（5.5）为dwrubθt=DWRuHD+γRZTtκRsDWRuZw，2sds-ZTthDWRuκθs，dWθsi。（5.6）编写与上述相同的BSDE，但对于参数v（而不是u），我们有dwrvbθt=DWRvHD+γRZTtκRsDWRvZw，2sds-ZTthDWRvκθs，dWθsi=DWRuHD+γRZTtκRsDWRuZw，2sds-ZTthDWRvκθs，dWθsi，其中我们使用命题A.3的结果。由于（5.6）的解是唯一的，并且上述BSDE的参数与（5.6）完全相同，因此我们必须得出结论，对于任何t∈ [0，T]和for0≤ u、 r≤ 它从t7的连续性中保持DWRuBθt=DWRrBθt→ DWR·Bθt遵循（u，t）7的连续性→ DWRuBθtin表示它的时间参数，因此表示DWRtBθt=κRtholds P-a.s.对于任何0≤ T≤ T现在我们可以证明定理5.5。定理5.5的证明。我们的过程与命题5.4的证明过程相同。ar公式如下：定义过程（et），如（5.4）所示；将其公式应用于（etDWR·Bθt）并在Pθ下写出结果方程（就像（5.6））；以Pθ条件期望为例。在这一点上，勒贝格积分仍然存在于动力学中：DWRuBθt=（et）-1EθeTDWRuHD+γRZTtes（κRs- DWRuBθs）DWRuZw，2sds | Ft= （et）-1EθheTDWRuHD | Fti，其中从第一行到第二行，我们使用命题5.6，即κRs=DWRsBθs=DWRuBθsP-a.s.对于任何0≤ U≤ s≤ T回顾HD=HD（ST，RT）和（2.1）给出的R的动力学，我们可以看到（根据链式规则）DWRuHD=bxhD。

自从bxhDis要么总是正的，要么总是负的，因为κRt=DWRtBθtP-a.s∈ [0，T]，因此，对于所有T∈ [0，T]。更确切地说，取决于b的符号xhD，κRis P-a.s.要么总是阳性，要么总是阴性，给出sgn（κR·）=sgn（bxhD）.5.3参数分析可以在理论层面证明过程yw，Bθ和θR的一些可预测行为与问题参数的关系：n，γR，λa和γa∈ A.定理5.7。设θ为EMPR。求解BSDE（4.11）的过程（Yw，Zw）与λa可微∈ A、 n和γR（见（4.4）和（4.6））。给一个绅士找个工作∈ A.如果差异γR- γa和EθhXb∈AwbHb- Hai（5.7）是正的（分别是负的）对于任何t，eλAywt为负（分别为正）∈ [0，T]。对于任何一个∈ A我们有P-A.sγRYwt<0，γaYwt<0T∈ [0，T）。此外，P-a.snYwt<0，sgn(nθRt）=sgn（bxhD）T∈ [0，T]和nBθt<0T∈ [0，T）。部分结果在某种程度上是可以预期的。引入更多衍生品会导致整体风险降低，随着更多衍生品进入市场，衍生品的价值就会降低（perunit）。如果γRis被解释为代表性代理的风险承受能力，那么随着γRis的增加，我们的风险就会降低（YWreduces）因为它表明单剂的风险耐受性增加（即γa）。上述定理的主要信息是，一个代理人的绩效问题对总风险的影响基本上取决于该代理人相对于其他代理人在风险承受能力和个人禀赋方面的定位。

如果代理人的风险承受能力γA高于集团的风险承受能力γA，且其捐赠头寸在集团捐赠头寸中占主导地位，则代理人关注率的增加会导致总风险的增加。在证明上述结果之前，我们注意到条件（5.7）在某些条件下是简单的；以下推论总结了此类简化。所有结果都是通过直接操纵所涉及的量得出的。推论5.8。让定理5.7的条件成立。如果γa=所有a的γ∈ A、 然后γR- γa=γ帕瓦- 1.= 0.如果N=2，那么wa+wb=1<=> wb=1- 瓦恩斯Xc∈AwcHc- Ha=-wb（Ha）- Hb）和Xc∈AwcHc- Hb=wa（Ha）- 血红蛋白）。类似的γR- γa=-wb（γa）- γb）和γR- γb=wa（γa- γb）。更重要的是，它认为λaYwt= -sgnλbYwt任何t的P-a.s∈ [0，T]。（5.8）对于任何正随机变量X（X>0 P-a.s.），对于任何西格玛场F，都有EP[X | F]>0。由于测量变化是针对三次正密度函数进行的，因此新条件期望的性质仍然严格。定理5.7的证明。让我们∈ A和t∈ [0，T]。[DR11]中的定理3.1.9（另请参见[IDR10]中的定理2.8）确保了BSDE（4.11）关于γR、γa、λa和n的可微性。 YwinγR的导数：应用γRto BSDE（4.11）并将其写入（5.2）中定义的概率测量Q下，得到了动力学γRYwt=0+ZTt-（θSs）-2γRZw，2sds-ZTthγRZws，dWQsi。考虑Q-条件期望，注意勒贝格积分项对于任何t都是严格负的∈ [0，T），我们有对于任何t，γRYwt<0∈ [0，T）。 Ywinγa的导数：本例与前一例相同，由（4.4）定义的γRis和权重w·（见（4.6））独立于γ·。γR:=Xa∈Awa-aimpliesγaγR=wa>0，最终γaYw=γRYw·γa（γR）。

声明如下。 Ywineλa的导数：我们只计算关于toeλa阶的导数，以表示简化的计算aseλa:=λa/（N）- 1). 计算所涉及的导数会导致eλa1+eλa=-（λwa），eλa∧=（wa），eλawa=（wa）λ（wa）- 1), eλawb=（wa）λwb，eλaγR=eλaXb∈Awbγb=（wa）λ（γR）- γa）和eλaHw=（wa）λXb∈AwbHb- 哈.将上述结果与BSDE结合起来eλaywun在Q-测度下（就像前面的两个步骤一样）产生eλaYwt=-（wa）λEQhXb∈AwbHb- 哈+ （γR）- γa）ZTt（θSs）+2γRZw，2sdsFti。因为Q相当于P，下面的陈述如下。 Ywin n的导数：应用nto BSDE（4.11）并根据（5.2）中定义的概率测量值Q将其写入，得出动态nYwt=nYwT-ZTthnZws，dWQsi=> nYwt=EQ[nYwT | Ft]=-EQ[HD | Ft]NXa∈Awa<0，最后一个符号来自YwTand HD的定义。 θRin n的导数：Zw，2的分析，以及θrw对n和γr的分析（5.3）。给出陈述（4.9），申请nto BSDE（5.3）并将其写在（5.2）中定义的概率度量Q下，得出动态nDWRuYwt=nDWRuYwT-ZTthnDWRuZws、dWQsi+ZTtγRDWRuZw，2snZw，2sds<=> nZw，2t=nDWRuYwT-ZTthnDWRuZws、dWQsi+ZTtγRDWRuZw，2snZw，2sds<=> nZw，2t=（et）-1EQheTnDWRuYwT | Fti，其中（et）如（5.4）所示，并且说明与后面的类似。现在请注意，在终端条件YT=-帕∈Awa（Ha+nHD/N）我们有nDWRtYwT=-NXa∈阿华！DWRtHD=-NXa∈阿华！b(xhD（ST，RT）。假设5.1，我们可以得出以下结论：sgn（Zw，2t）=-sgn（b）xhD），因此，从（4.9）开始(nθRt）=sgn（bxhD）。 n中Bθ的导数：我们使用与命题5.6中使用的类似的正义，因此我们不给出所有细节。

召回（3.21），应用对方程进行n-算子，并进行通常的测量变化（Pθ）以获得nBθt=0-ZTtκRsnθRsds-ZTthnκθs，dWθsi=> nBθt=-Eθ[ZTtκRsnθRsds]。根据之前的结果，我们得到了sgn(nθRt）=sgn（bxhD）从定理5.5我们得到了sgn（κRt）=sgn（b）xhD）。这很容易理解nBθt<0。不幸的是，上述条件不允许对γR7的行为产生类似的结果→ θRor（γR，n，λ）7→哎呀。这种结果所需的条件限制性太强，没有任何用处。尽管如此，我们将在第6节通过数值模拟对其进行研究。6研究一个具有两个代理的特定模型在本节中，我们研究了一个由两个代理组成的模型经济，使用熵风险度量，并对外部非金融风险进行了相反的暴露。我们特别关注相对性能关注率对均衡相关过程的影响。与第3节、第4节和第5节相比，该模型足够简单，可以扩展可处理性，但仍然足够通用，可以产生丰富的结果和解释。特别是，我们明确地描述了平衡的结构。通过数值模拟，我们可以探索个体数量（如最优投资组合π）的相关性*a）将各种参数的风险降至最低，从而补充定理5.7.6.1中的结果。特殊模型和数值方法我们考虑由两个代理组成的程式化市场。我们认为，具有一定外部风险R敞口的一组更大的N个代理可以分为两组：高R值的代理和低R值的代理，我们可以将第4节中使用的加权聚合技术应用于每组。因此，我们的两名代理人可以被视为每个集团的代表代理人。

外部风险过程被认为是影响两个代理人的温度，他们也可以进入股票市场。温度和库存模型我们研究一个月的周期（T=1），我们研究T=1个月的每个周期一个，其中温度遵循具有恒定系数的SDE（2.1）：Rt=r+uRt+b WRt，对于库存，我们采用标准的Black-Scholes模型：DSST=uSdt+σSdWSt，其中温度过程的系数为r=18，ur=2，b=4，S=50，uS=-0.2和σS=0.25（因此θS=uS/σS=-0.8）用于股票价格过程。代理人的参数、禀赋和衍生定义I（x）：=πarctan（x）+∈ [0, 1]. 代理人的禀赋Ha和Hb被带到beHa=5+IRT- 24· 15，Hb=5+I16- RT·15+5 I装货单- 40.代理a的利润来自较高的温度，代理b的利润来自较低的温度。衍生工具有一个不依赖于股票的回报hds，由hd=I（RT）给出- 20） ，从而允许纯粹转移外部风险。所有函数都满足假设2.1和5.1。鉴于两家公司对RTA和HD设计的风险敞口相反，代理a将作为卖方，代理b将作为买方，从而为衍生产品建立可行的市场。我们始终假设衍生产品的总供应量为零，n=0，即一个代理拥有的每一个衍生产品单元都由另一个代理承保。代理商的风险容忍系数固定在γa=γb=1，除非我们正在分析与之相关的一些行为。类似地，除非另有规定，否则关注率固定为λa=λb=0.25，除非我们分析与之相关的一些行为。数值模拟过程包括时间离散和蒙特卡罗模拟。我们直接使用正向过程的ex-plicit解决方案；所有BSDE均采用数值求解。

关于时间离散化，我们使用标准的后向欧拉格式（见[BT04]），并使用[LdRS15]第5.4.2节所述的控制变量技术来补充时间离散化过程。反向归纳步骤中条件期望的近似是通过基函数的投影进行的，参见[GT14]中使用的最小二乘蒙特卡罗方法。我们遵循第3节和第4节。首先，我们求解代表代理的BS DE（4.1 1）。这意味着（4.9）EMPeR过程是θR。一旦得到了它，我们求解微分方程（3.21）的价格Bθ的BS DE，在这个过程中得到（κS，κR）。最后，我们为每个代理a求解带有驱动程序（3.15）的BSDE（3.23）∈ 并计算出最优策略π*,a=（π）*,a、 1，π*,a、 2）通过（3.16）和d（3.17）。我们注意到，在两个代理的情况下，系统（3.16）很容易反转。除图6.1中使用30个时间步长的曲线图外，以下所有曲线图均使用20万条模拟路径以及20个时间步长的统一时间离散网格进行计算。6.2模型中的行为分析图6.1显示了交易期间nts年龄段行为的实现。我们可以看到，导数的价格像温度一样移动，尤其是它从来都不是常数（在温度变化的时间间隔内）。这意味着，通过向代理人提供R的全部风险敞口，或相当于WR的风险敞口，衍生工具确实完成了市场——假设3.1得到满足。代理人b在衍生工具中总是多头，而a总是空头（后一种情况与前一种情况不同，因为她的地位与b相反）。事实上，这两个机构只做空股票是由于其下降趋势（θS<0）和捐赠基金几乎不依赖于S的事实：观察到的主要是对股票的最佳投资。

然而，由于股票价格较低，代理人b的捐赠较高，因此他不会像代理人a那样做空股票，以对冲这种风险。0.2 0.4 0.6 0.8 1303540455055股票价格0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05投资于S（nb股票）时间πa，1和πb，1 ag。啊。b0 0.2 0.4 0.6 0.8 1161718192温度和价格B时间0.2 0.4 0.6 0.8 10.30.40.50.60.7温度。德。价格0.20.40.60.81-7.-6.-5.-4.-3.-2投资于B（nb股票）时间πa，2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1234567πB，2 AG。啊。图6.1：几个过程的示例路径。左上角的股价；右上角的温度和衍生产品价格；对于每个代理人，左下角的股票投资策略和右下角的衍生品投资策略。这里λa=0.25，λb=0.0。交易活动衍生工具的最佳投资策略见第3.3.6节，由π给出*,a、 2=1+λaeZa，2+γaθRκRandπ*,b、 2=1+λbeZb，2+γbθRκR。股票中的最优投资策略通过反转Afrom（3.12）很容易实现。这就产生了π*,a、 1π*,b、 一,=1.- λaλbλa1- λaλbλb1- λaλb1- λaλbeZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSSeZb，1+γbθSσSS-eZb，2+γbθRκRκSσSS.备注6.1（关于平衡结构）。鉴于第3.3节所述的例子，股票投资的最优策略结构清晰可见。

每个代理使用权重计算自己的策略，就像没有相对性能问题一样（与第3.3.3节比较）1.-λaλb，λa1-λaλb一段时间λb1-λaλb，1-λaλb对于b.这些权重可以从方程（3.16）中理解，其中A={A，b}：每个代理人的最佳收益是根据其自然策略加上λ，投资于股票。λ通常是另一方的策略。假设每个代理w最初计划使用π（0），i，1=eZi，1+γiθSσSS计算她的最佳位置-eZi，2+γiθRκRκSσSS，i∈ {a，b}，它们依次显示另一个将要使用的策略，以便它们可以更新这些策略，产生一系列策略π（1），a，1，π（1），b，1，π（2），a，1，π（2），b，1，π（3），a，1。对于每个代理（从a的更新开始）。因为他们会根据方程（3.16）更新策略，我们观察到代理b的模仿部分、代理a的模仿部分、代理t b的模仿部分等。对相应的序列求和，代理a最终会根据toPn（λaλb）nπ（0）、a、1+λaPn（λaλb）nπ（0）、b、1和s进行投资。衍生品的最优投资结构有很大不同，基本上是从内生交易条件出发。如果向一名特工展示了另一名特工决定采取的策略，她就不能单方面改变自己的策略。由此产生了温度θR–见下文。现在，我们来看看各个投资组合相对于相对业绩关注率的表现。两种股票在t=0时的交易活动强度（π）*,a、 1）和导数（π）*,a、 2）作为关注率λa和λb的映射，可在图6.2中找到。

试剂b的位置在某种意义上是相似的：对于股票来说，表面看起来非常相似；对于导数而言，情况正好相反（由于零净供应条件）。为了便于阅读，我们只绘制了代理a.00.20.40.60.8100.20.40.60.81的位置-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50关注率λ库存中的交易活动wrt关注率- 试剂Acocern速率λbπa，1000.20.40.60.8100.20.40.60.81-11-10-9-8.-7.-6.-5关注率λ衍生产品的催化活性wrt关注率- agenta aConcern rateλbπa，20图6.2：agenta持有的股票（左）和衍生品（右）的初始数量πa，1和πa，2，作为（λa，λb）的函数。为了可视化，左图上的轴被颠倒了。图6.2中观察到的行为符合一个直观的想法，即代理越关注（高λi）其相对性能ViT- VjT，j6=i∈ {a，b}（回想一下（1.1）），他们越会以中和这种风险来源的方式进行投资。这是通过采用尽可能接近其他代理的交易策略来实现的。对于股票，我们从备注6.1中的公式中可以看出，当λaλb<1时，瞄准b模仿a等的过程会导致一个确定的位置。但体积与λa和λb同时增大，并爆炸为（λa，λb）→ (1, 1). 在我们的例子中，他们都会（做空）卖出很多股票。请注意，这是可能的，因为股票被假定为具有原始价格和完全流动性。对于衍生品，它们不能相互模仿，也不能将自己定位在同一个方向，因为零净供给条件意味着代理人必须持有完全相反的位置。代理人b在交易衍生产品时的收益将恰好是代理人a的损失。

对于一个非常关心的代理人来说，减少业绩差异的唯一方法是减少（参与）衍生品交易。然后，市场清仓条件迫使另一个年龄段的人也减少交易量（以交易量计）。从备注6.1中公式中的系数1/（1+λi）可以看出这一点，并在图6.2（右侧）中得到证实，其中，代理人a（被确定为卖方）最终出售的衍生工具单位减少，因为两种关注率都有所增加。由于代理之间的市场清算条件，不可能发生爆炸。图6.3显示了衍生品价格Bθ对关注率λa，λB的相反依赖性，这是定理5.7未捕捉到的行为。人们可以通过记住图6来理解这种影响。2.更高的λ意味着age nt A希望少交易，而她是卖家，这会推高价格。对称地，更高的λb使agen t b希望减少交易，并且，由于她是买家，这会导致价格下降。00.20.40.60.8100.20.40.60.810.40.450.50.550.60.65关注率λ衍生wrt关注率的概率关注率λbB00。511.522.533.540.511.522.533.540.510.5150.520.5250.53风险承受能力衍生产品的风险承受能力风险承受能力γBB0图6.3：衍生产品的初始价格Bθ，左边是（λa，λB）的映射，右边是（γa，γB）的映射。综合风险图6.4证实了定理5.7的分析结果。首先请注意，γa=γb=1和socondition（5.7）是简单的（见推论5.8）。正如预测的那样，风险容忍度的增加导致agg回收风险的降低（见图6.4，左图）。右图显示了（5.8）中所述的交叉行为。每个代理的风险OREM 5.7没有将每个代理的风险评估行为描述为风险率λ·的函数。