相对性能考虑下的均衡定价

2022-5-9 11:59:50

相对业绩下的均衡定价*柏林洪堡大学林登数学研究所610099BerlinGermanybielagk@math.hu-柏林。迪纳德·莱昂内特。N.S.CachanCMLA61 av。威尔森94235卡尚·塞德克斯法兰西诺德酒店。Lionnet@cmla.ens-卡坎。frGoncalo Dos Reis+爱丁堡大学数学学院，EH9 3FD，英国材料与应用中心（CMA），FCT，UNL，葡萄牙。dosReis@ed.ac.ukthSeptember，2018Abstracts，我们研究了一组特定因素的社会互动对均衡定价机制的影响。非交易基础上的衍生工具被引入市场，并由代理人在均衡框架下定价，代理人使用倒向随机微分方程（BSDE）表示的凸动态风险度量来评估风险。每位代理人不仅面临财务和非财务风险因素，而且还面临着与其他代理人相关的绩效问题。在我们提出的模型中，我们证明了一个平衡点的存在性和唯一性，该平衡点分析涉及完全耦合的多维二次BSDE系统。我们扩展了代表性代理的理论，证明了通过我们在错误的共同解决方案中进行放大，可以实现风险度量的非标准聚集。我们分析了问题参数对定价机制的影响，特别是代理人的绩效如何影响价格和风险感知。

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2022-5-9 11:59:53

在极端情况下，我们发现关注率破坏了平衡，而风险度量本身保持稳定。关键词：金融创新、均衡定价、社会互动、绩效关注、代表代理人、g-条件风险度量、多维二次BSDE、熵风险。2010年AMS学科分类：初级：91 A10，65C30；中学：60H07、60H20、60H35、91B69。JEL学科分类：G11、G12、G13、C73*J.Bielagk感谢来自HUBerlin女性平等和晋升基金的部分支持。+G.dos Reis通过UID/MAT/00297/2013项目（Centro de Matemát i ca e Aplicacoes CMA/FCT/UNL）感谢葡萄牙科学技术基金会（葡萄牙科学技术基金会）的支持。1引言在经济和社会学研究中都强调了对人类行为的相对关注的重要性；当其他人都赚了2欧元时，如果其他人都损失了2欧元，那么赚1欧元的感觉就截然不同了。关于公关问题的各种文献以相对绩效关注的形式涉及某种形式的战略和/或社会互动：在[HRAY10]和[Ped13]中，社会互动部分以基于同伴的绩效惩罚形式出现，称为“最低回报保证”；这种比较通常是通过跟踪相关的市场指数进行的，这在养老金管理中是相当标准的。另一类性能问题出现在考虑代理消耗的问题中。

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2022-5-9 11:59:56

这里使用的效用函数表现出一种“与他人攀比”的行为，这种行为在[Due49]中介绍，并由[Abe90]、[Abe99]开发（详见[Gal94]、[CK01]、[Góm07]和[XZ09]）；换言之，生活水平的基准是人口的平均消费量，根据该基准计算个人的消费偏好。另一种类型的担忧是内部担忧，它使用代理人过去的消费作为当前消费的基准；[JH73]介绍了这种“习惯形成”方法。在[ET15]或[FDR11]中可以找到更详细的数学方法以及文献综述。最后两篇论文就是这篇论文的灵感来源。本文研究了经济时代社会互动对市场均衡、安全机制效率和全球风险的影响。我们考虑了一个由N个代理人组成的有限集合，这些代理人可以进入一个不完整的市场，该市场由一个具有外生定价的流动交易金融资产组成。这种不完全性源于一个不可交易的外部风险因素，比如这些因素所暴露的降雨量或温度。为了降低个人和整体市场风险，社会规划师向市场引入了一种写在外部风险源上的衍生工具，所有这些都是为了让代理通过交易来减少他们的风险敞口。结果市场的实际完整性问题已在文献中以某种概括性的方式进行了讨论，例如，我们参考[Sch15]。文献中曾多次探讨过有关非交易资产上此类证券的定价和收益的问题，我们特别提到[HPDR10]，其中新衍生工具的定价在均衡框架内，符合供求规则，更一般地说，符合[AR08]。

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2022-5-9 11:59:59

不完全市场的均衡分析通常适用于某些情况，如单代理模型（[HL93]、[GPP09]）、市场处于完全均衡状态的多代理模型（[DH85]、[HPDR10]、[KLS90]）、或具有特定商品类别（[JRW10]）或偏好的模型（[CFHP10]）。为了更好地概述市场不完全性导致的均衡问题以及一些解决方案，我们向读者介绍[KXZ15]及其参考文献。尽管我们遵循了与[HPDR10]中类似的想法，但我们的目标是了解当代理之间有相对的绩效因素时，这种先验机制和风险评估是如何受到影响的。每个特工∈ 根据这两个风险因素，A在[0，T]时间段内都有一个风险。她的投资策略πain股票和新推出的衍生产品产生了一个收益过程（增值税（πa））t∈[0，T]。对于给定的性能关注率λa∈ [0,1]代理人寻求将风险ρa降至最低哈+1.- λa增值税（πa）+λa增值税（πa）-N- 1Xb∈A\\{A}VbT（πb）, （1.1）其中ρais是一种风险度量（ρais将在下文进一步描述）。ρa中的前两个术语对应于一个孤立的代理a在市场上进行最佳交易的经典情况，以从市场波动中获利，并对冲Ha固有的财务风险。最后一项是相对绩效系数，对应于她自己的交易收益和她同伴s获得的平均交易收益之间的差异。直觉上，作为λa∈ [0，1]增加，经纪人不太关心与她的捐赠有关的风险，并且更关心她如何与A中其他经纪人的平均表现相比。例如，如果没有捐赠，如果λA=1/2，经纪人从交易中获得1欧元，而其他经纪人都获得2欧元，那么她认为没有任何收益。每个特工∈ A使用货币凸风险度量ρA。

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2022-5-9 12:00:03

[ADEH99]提出了货币、可能凸且可能一致的风险度量理论，后来[FS02]和[FRG02]对其进行了扩展。一类特殊的风险度量，即所谓的g条件风险度量，与所谓的g条件期望密切相关（参见[Gia06]），是通过反向随机微分方程（BSDE）定义的，参见[Pen97]、[ER09]和[BE09]。我们使用B SDE的动机有两个方面。首先，它通常允许解决随机控制问题，而不是通常的马尔可夫设置，即使用HJB方法结合PDE理论，参见例[Tou13]。第二个是，优化可以在不假设凸性的情况下进行，通常使用对偶理论，参见[HIM05]。我们使用的相对性能关注点的形式及其使用BSDEs c的研究可以追溯到[Esp10]和[ET15]。它们的设置与这里介绍的大不相同；作者证明了最优投资的纯互动博弈存在纳什均衡，没有特殊的投资禀赋（所有年龄的nts的Ha=0），并且当代理人在aBlack–Scholes股票市场中优化他们在个体约束下交易收益的预期效用时。这两部著作之后是[FDR11]，其中对平衡的存在性以及禀赋进行了一般性讨论，包括这种存在的反例。pape r.Al代理的方法和内容优化了（1.1）中给出的各自功能，并且，由于衍生工具是通过均衡框架进行定价的，外部风险的市场价格也是问题解决方案的一部分。

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2022-5-9 12:00:08

在我们的博弈中，均衡是一组投资策略和外部风险的市场价格，从而产生一定的鞅测度。在这项工作的第一部分中，我们展示了问题中纳什均衡的存在性，以及如何计算BSDE引起的一般风险。分析分两步进行。第一个问题涉及解决每个代理的个体优化问题，即所谓的最佳响应问题。第二点在于表明，可以同时找到所有最佳响应，从而使衍生产品的供求匹配，进而产生外部风险的市场价格。（我们通常认为一个衍生产品净供应量为零的市场；然而，该方法允许处理一些允许交易衍生产品的代理离开市场的情况，从而使处于非零头寸的（活跃）代理保持在一起）。然后，我们验证与最佳响应相关的外部风险的市场价格是否满足必要条件。最后一步更复杂。由于代理人使用BSDEs给出的动态风险度量来评估他们的风险，一般均衡分析导致了一个完全耦合的非线性多维BSDEs系统（可能是二次的）。我们接着扩展了代表性的agentapproach（见[Neg60]），其中，将代理聚合为单个经济体和最优帕累托风险共享相当于同时进行的个体优化。从[BE05]和[BE09]的工作中，我们将其内部卷积（短inf卷积）技术扩展到具有相互依赖效用函数的代理。这种方法产生了一个单一的风险度量，包括每个代理的风险偏好，通过它可以找到一个单一的代表性经济。

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2022-5-9 12:00:11

我们指出，为了应对由性能成本率引起的交叉依赖，标准的inf卷积技术不会带来单一的代表性经济。我们通过加权膨胀eac h代理的风险度量ρa（见[BE09]第3.2节和下文第4节），以非标准方式使用该技术；就我们所知，这类分析是全新的，具有独立的意义。最接近这一点的是[Rüs13]，其中出现了某种形式的加权inf卷积。这项工作的第二部分侧重于使用熵r isk测度s的代理的情况，可以更明确地处理这一情况，并允许对关注率的影响进行深入研究。在确定纳什均衡的过程中，我们得到了一个复耦合的多维二次BSDE系统，其分析通常非常复杂。基于[Esp10]和[ET15]的工作，[FDR11]的作者给出了几个反例来证明解的存在性；尽管如此，尽管n one非常普遍，但确实存在积极的结果，例如。[Tev08]、[CN15]、[Fre14]、[KP16]、[HT16]、[XZ16]、[JKL14]和[LT15]。在我们的例子中，我们能够解决这个系统。调查结果。在熵风险度量的情况下，我们详细研究了两个代理a和b的模型，它们对外部风险因素的暴露程度相反，因此一个有购买衍生产品的动机，而另一个有出售的动机。在这个模型中，我们可以指定平衡点的结构。使用分析方法和数值计算，当分析不可处理时，我们探索模型参数变化时代理的行为。

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2022-5-9 12:00:14

我们特别指出了相关的性能关注率，以及代理之间耦合的强度如何偏离非交互代理的标准情况（当λa=λb=0）。我们发现，随着任一代理的风险承受能力增加，其风险降低。如果任何关注率λ增加，则代理人参与的衍生品交易减少。这是因为一方购买的每一个衍生产品单元都是另一方出售的，因此一方的收益就是另一方的损失。因此，如果一个经纪人更关心相对表现，她将倾向于减少与其他人的交易。此外，正如预期的那样，我们发现，如果衍生品的买家关注价格上涨，那么衍生品的价格会下降，而卖家的价格会上升。非常有趣的是，我们发现，如果其他代理更关注其相对绩效，那么单一代理的风险会增加，但随着该代理的关注度增加，风险会降低。因此，如果经纪人反复玩这个游戏，并且他们的关注度随着时间的推移而变化，他们都会发现更加关注（或嫉妒）更有利。当它们都这样做时，衍生品的交易活动减少，但它们在股票中的活动增加并爆发——均衡不再存在。令人惊讶的是，这种行为主义根本没有被风险度量所捕获！在引入导数后，系统的这种非平凡且可能不可取的行为与[CMV09]和[CML13]模型中发现的行为并非没有相似之处。

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2022-5-9 12:00:17

这提醒我们，在评估金融创新的效益时，我们不应该把重点放在单个代理人的经济上（他们以降低风险的形式看到了明显的效益），而应该真正对新工具的影响有一个系统的看法。论文的组织。在第2节中，我们定义了我们考虑的一般市场、代理、优化问题和均衡。第3节和第4节致力于解决具有任意风险度量的一组代理的一般优化问题。在前者中，考虑到所有其他代理的策略，我们解决了每个代理的优化问题。在后者中，我们处理单个风险度量的聚合和代表性代理的识别，并解决整个系统的均衡。第5节和第6节包含代理商使用热带风险措施的特殊情况。在这一更易于处理的背景下，第5节从理论上探讨了各种参数对总体风险的影响，而第6节则侧重于一个模型，其中有2个因素具有相反的风险特性，并深入探讨了利率对个人行为、风险以及对整个系统的后果的影响。我们也给出了一些结果。第7节总结了本研究。致谢。作者要感谢两位匿名推荐人，感谢他们的直截了当和内容丰富的报告，这些报告使我们能够改进这项工作的几个方面。2模型我们考虑一个由N个代理组成的有限集合a，没有一般性损失a={1，2，…，N}，具有随机禀赋Ha，a∈ A、在终端时间T处接收∞. 他们在由股票和新引入的结构化证券（称为竞争性证券）组成的金融市场上持续交易，旨在将风险降至最低。为了简单起见，我们假设资金可以以零风险利率借贷。

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2022-5-9 12:00:21

股票价格遵循一个非均衡扩散过程，不受代理人需求的影响。相比之下，衍生品是由代理人从一个不合理的终端进行交易的，其定价应确保供需平衡。我们让读者查阅附录A，全面了解符号和随机设置。2.1风险的市场来源和贯穿本文的基础∈ [0，T]。在我们的模型中，有两个独立的随机性来源，由标准过滤概率空间上的二维标准布朗运动W=（WS，WR）表示(Ohm, （Ft）Tt=0，P），其中（Ft）是由W生成的过滤，并由P-null集增加。布朗运动驱动着外部和不可交易风险过程（Rt），它被认为是一个温度过程或一个预测指标。为了便于分析，我们假设（Rt）遵循布朗运动，漂移是一个随机过程uR：Ohm×[0，T]→ 兰德常数波动率b>0，即dRt=uRtdt+bdWRt，R=R∈ R.（2.1）布朗运动wst根据St=ustdt+σstdwst，（2.2）=ustdt+hσt，dWti和σt:=（σStSt，0）驱动股价过程（St）∈ R、 S=S>0。在这项工作中，我们假设随机过程uR，uS，σS：Ohm ×[0，T]→ R是（Ft）自适应的，σS>0。风险的市场价格：财务和外部我们记得（参见[HM07]）在平方可积变量集合L（P）上的y线性定价方案，与P有关，可以用二维可预测过程θ来识别，使得指数过程（eθt）定义为θt:=e-Z·hθs，dWsit=exp-Zthθs，dWsi-Zt |θs | ds, T∈ [0，T]，（2.3）是一个均匀可积鞅。

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2022-5-9 12:00:24

这确保了通过密度EθTagainst P定义的测度Pθ确实是一个概率测度（定价测度），然后随机终端支付X的当前价格由Eθ[X]给出，其中Eθ表示对Pθ的预期。对于任何这样的θ，我们引入Pθ-布朗运动wθt=Wt+Ztθsds，t∈ [0，T]。向量θ的第一分量θ：=（θS，θr）是金融风险的市场价格。在不存在套利的假设下，S必须是Pθ下的鞅，从S的外生给定动力学来看，θ必然由θSt=uSt/σSt给出。另一方面，θRon的过程未知。它是外部风险的市场价格，将由市场清算条件（或恒定净供应条件，见下文）内生得出。代理人的捐赠和衍生工具的收益∈ 当时的收入取决于财务和外部风险因素。虽然代理人能够在金融市场进行交易，以对冲其部分金融风险，但基础风险仍然源自代理人在可交易风险过程R中对n的敞口。在市场外部引入了到期时回报为HDT的衍生工具。通过衍生品HD交易，经纪人现在有了一种降低基差风险的方法。我们给出了S和R动力学中出现的禀赋、激励回报和系数的一般条件（符号见附录A）。在这项工作的其余部分，以下假设代表所有结果。假设2.1（基于pr问题数据的长期假设）。过程uR，uS，σ和θS:=uS/σ是有界的（属于S∞).

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2022-5-9 12:00:27

随机变量hd和Ha，a∈ A、是有界的（属于L）∞（英国《金融时报》）。衍生产品的价格、市场交易和代理人的策略假设没有套利机会，HDD的价格过程（Bθt）由其在Pθ下的预期收益给出；换句话说，Bθ·=EθHD | F·. Sinc e HDis有界，将Pθ-鞅写成Pθ-布朗运动Wθ的随机积分（用鞅表示定理）产生一个二维平方可积自适应过程κθ：=（κS，κR），使得∈ [0，T]BθT=Eθ[HD]+Zthκθs，dWθsi=Eθ[HD]+Zthκθs，dWsi+ZtDκθs，θsEds。（2.4）注意我们有（B，κ）∈ s∞×HBMO（Pθ）。我们用πa，1t和πa，2t表示单位数agenta∈ A在t时持有股票和衍生工具∈ [0，T]分别。使用自我融资策略πa:=（πa，1，πa，2）以R为单位计算，她从交易到时间t的收益∈ [0，T]，在定价测度Pθ下，衍生工具的价格（BθT）由VAT=Vt（πa）=Ztπa，1sdSs+Ztπa，2sdBθs=ZtDπa，1sσs+πa，2sκθs，θsEds+Zthπa，1sσs+πa，2sκθs，dWsi给出。我们要求交易策略与价格πa是可积的∈ L（S，Bθ），Pθ（即eθ[hv·（πa）iT]<∞) , 因此，收益过程是Pθ下的平方可积鞅。2.2偏好、风险最小化和均衡代理人的风险度量nts使用由倒向随机微分方程（BSDE）导出的动态凸时间一致性风险度量ρa·评估其风险。这意味着（ξa）处的风险ρ∈ A时间t∈ [0，T]具有Yat给出的FT-可测随机位置ξais，其中（Ya，Za）是BSDE的解-dYat=ga（t，Zat）dt- hZat，dWti，终端条件YaT=-ξa.驾驶员对代理人的风险进行编码。我们假设Ga具有以下性质：假设2.2。地图ga:[0，T]×R→ R是一个确定的连续函数。

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2022-5-9 12:00:30

它对空间变量z 7的限制→ ga（·，z）是连续可微的，严格凸的，并达到其最小值。对于任何固定的（t，θ）∈ [0，T]×R，地图z 7→ ga（t，z）- hz，θi是严格凸的，并且在其梯度消失的点处达到唯一的最小值。考虑到这一点，我们可以定义：[0，T]×R→ R、（t，θ）7→ Za（t，θ），其中Za（t，θ）是方程的唯一解zga（t，Z）=θ。（2.5）上述B SDE给出的代理人风险度量是强时间一致、凸和平移不变（或货币）的。我们没有给出BSDEs描述的风险等级的很多细节，相反，我们让感兴趣的读者参考[BE05、Gia06、BE09]。为了方便起见，我们回顾了在这项工作中起作用的风险度量的相关属性：i）翻译不变性：对于任何∈ R和任意t∈ [0，T]它认为ρat（ξa+m）=ρat（ξa）- Mii）过程的时间一致性ρat（ξa）: 对于任何t，t+s∈ [0，T]认为ρat（ξa）=ρat（ρat+s（ξa））；和iii）凸性：对于任何t∈ [0，T]对于ξa，^ξa和α∈ [0,1]我们有ραξa+（1）- α） ^ξa≤ αρat（ξa）+（1）- α） ρat（^ξa）。个体优化问题代理人a在到期时的位置ξaat由其在一段时间内的最终收入Ha和交易收益Vat之和[0，T]决定。然而，代理人将其交易收益VaT=VT（πa）与所有其他代理人的平均收益进行比较。

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2022-5-9 12:00:33

因此，我们定义了感知总财富ξa（πa，π）-a） N时代的每一个国家∈ 时间t=t时市场中的A等于ξA=哈+1.- λaVT（πa）+ λaVT（πa）-N- 1Xb∈A\\{A}VT（πb）= Ha+VT（πa）-eλaXb∈A\\{A}VT（πb），其中λA:=λaN- 1和λa∈ [0,1]是代理a的关注率（或嫉妒因子）∈ A（与（1.1）相比）。我们对集中率λ·做出以下假设，其合理性将在第3.3.5节稍后明确。假设2.3（性能问题率）。我们有λa∈ [0,1]针对每个代理和QA∈AλA<1。如我们在第3.3.5节中所示，λa>1的情况并不一定难以解决，但对这种情况的分析超出了本文的范围。为了便于注释，我们引入R（N）-1） -值向量π-a:=（πb）b6=a和¨V-at:=Xb∈A\\{A}Vt（πb）=Vt（¨π）-a）在哪里-a:=Xb∈A\\{A}πb.（2.6）根据BSDE，与自我融资策略相关的风险为πA-dYat=ga（t，Zat）dt- hZat、dWti和YaT=-ξa（πa，π）-a） =-Ha+VT（πa）-eλaVT（¨π）-（a）.（2.7）现在，我们为公共关系问题引入一个可采性的概念。定义2.4（可采性）。让我们∈ A、 π-a=（πb）b∈A\\{A}对于其他代理来说是可积的策略。如果Eθ[hv·（πa）iT]<∞, 式中，hV·（πa）i表示Vt（πa）T∈[0，T]和BSDE（2.7）有一个独特的解决方案。代理a的可接受交易策略集∈ A由Aθ（π）表示-a）。我们指出，在完全普遍的情况下，每个公司都可能有自己的交易限制，如[ET15]或[FDR11]。

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mingdashike22

2022-5-9 12:00:38

在这里，我们假设代理人没有交易约束，除了他们的策略可与价格积分，并导致明确的风险。每个特工∈ A解决了以下风险最小化问题{Ya（πA，π-a） |πa∈ Aθ（π）-a）哦。请注意，代理a的风险和选择的策略先验地取决于分配者的策略π-a、这种相互依赖性是我们模型的一个永恒特征。为了便于陈述，我们尽可能地将其隐式化，并将解决方案写入BSDE，将代理a的风险作为（Ya，Za）而不是Ya（πa，π）-a），Za（πa，π）-（a）. 如果情况需要，我们将使用后者。竞争均衡、风险均衡市场价格和内生交易我们用n表示∈ R市场上衍生产品的单位数量。虽然每个衍生单位在时间T时支付HD，但代理商可以自由购买和承保HD的任何金额的合同，因此n不一定是整数。我们认为n=0的情况很重要，在这种情况下，一个代理人的所有竞争信息都由另一个年龄段的代理人承担，这基本上意味着代理人彼此分担风险（参见[BE05，BE09]或[HM07]）。在[HPDR10]的基础上进行构建，可以实现更大的灵活性，因为n6=0是可能的。在任何情况下，超过[0，T]时，只有我们集合A中的代理人（交易目标如上所述）在市场中活跃，因此存在的衍生品总数随时间保持不变。我们假设每个代理独立地寻求最小化其风险度量，而不与其他代理合作，所以我们对纳什均衡感兴趣。定义2.5（平衡和e平衡MPR（EMPR））。

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2022-5-9 12:00:41

对于给定的市场风险价格（MPR）θ=（θS，θR），我们称之为π*= (π*,a） a∈a平衡如果，对于所有a∈ A，π*,A.∈ Aθ（π）*,-a）如果，pr i或时间t=0，另一个代理a，情况n6=0是可能的/∈ A在竞争市场上，然后s t阻止了她的活动，例如，amight的目标是根据自己的特定标准购买m>0个单元，在这种情况下，n=-m<0。对于任何可容许的策略，πait认为Ya（π*,a、 π*,-（a）≤ Ya（πa，π）*,-a），即考虑到其他代理的策略，个体最优。我们称之为θ均衡MPR（EMPR）和θ需求外部风险市场价格（EMPR）if1。θ=（θS，θR）使Pθ成为真概率测度（等价地，来自（2.3）的Eθ是一个统一可积鞅）；2.存在唯一的平衡π*对于θ；3. π*满足衍生产品HD的市场清算条件（或固定供应条件）（其中LEB表示Lebesgue度量）：Xa∈π*,a、 2t=Xa∈π*,a、 2=NP Leb- a、 e.（2.8）3单主体优化和无约束均衡在本节和下一节中，我们研究了问题的可解性以及BSDE引起的一般风险度量的均衡结构。寻找外部风险的均衡市场价格本质上是固定供应约束下的优化。因此，在研究是否存在这种均衡MPR（推迟到第4节）之前，我们首先定义一个任意MPRθ∈ HBMOand在没有固定供应约束的情况下，求解给定MPR的代理系统的行为。

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2022-5-9 12:00:45

为此，我们首先解决个体代理人的行为，考虑到其他代理人选择了他们的策略（所谓的最佳反应问题），然后解决代理人系统的灰平衡。3.1一种试剂的最佳响应在本小节中，除了MPRθ固定外，我们假设给定策略π-a=（πb）b∈A\\{A}其他代理，对于固定代理A∈ A、我们研究了单个代理的投资问题，其偏好由ga编码。优化剩余风险为了解决代理A的优化问题，我们首先从[HPDR10]重新调用∈ [0，T]，选择的策略必须最小化剩余风险：风险度量的可加性（写入VT=（VT- Vt）+Vt并使用平移不变性）thatYat=ρatHa+增值税-eλa′V-在= ρatHa+（增值税）- 增值税）-eλa（`V-在-\'V-在）-增值税-eλa′V-在.这建议将以下变量变化应用于（2.7）（使用（2.6）），eYat:=Yat+增值税-eλa′V-在,eZat:=Zat+ζat，其中ζat=πa，1tσt+πa，2tκθt-eλaπ-a、 1tσt+’π-a、 2tκθt∈ R.（3.1）如果从上下文中不清楚这些策略，我们也会写出ζa=ζa（π）=ζa（πa，π）-a）。计算得出（eYa，eZa）的BSDE，由-deYat=egat、 πat，π-在，埃扎特dt- heZat，dWti，终端条件为：-Ha，（3.2）其中司机ega：Ohm ×[0，T]×R×（R）N-1×R→ R定义为a（t，πat，π-at，za）：=gat、 za- ζat- hζat，θti（3.3）=gat、 za-πa，1t-eλa′π-a、 1tσt+πa，2t-eλa′π-a、 2tκθt(3.4)-Dπa，1t-eλa′π-a、 1tσt+πa，2t-eλa′π-a、 2tκθt，θtE。每个代理人∈ A通过选择投资策略πA，寻求最小化（3.2）的解决方案Eeya∈ Aθ（π）-a）换句话说，她的目标是解决minπa∈Aθ（π）-a） eYa（πa，π-a）。（3.5）在解决个体优化之前，我们假设衍生产品确实完成了市场。

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mingdashike22

2022-5-9 12:00:49

然后必须对其进行事后验证（一旦计算出解决方案），并根据具体模型逐案验证。假设3.1。假设κRt6=0，对于任何t∈ [0，T]，P-a.s。单代理剩余风险的逐点最小化在（3.2）中，策略πa仅出现在驱动ega中。BSD的比较定理表明，为了在πa上最小化Eya（πa），对于每个固定ω，t，π，只需在πat上最小化驱动函数ega-阿坦扎。我们定义了随机映射∏a（ω，t，π）这样的点态极小化子-at，z）：=arg最小πa∈Rega（ω，t，πa，π）-at，z），（ω，t，π-在，z）∈ Ohm ×[0，T]×（R）N-1×R，andeGa（t，π）-at，za）：=egat、 πa（t，π）-a、 za），π-在，扎作为司机。在假设2.2下，逐点极小化问题有一个唯一的极小化子，其特征是ega的一阶条件（FOC），即。πaega（t，πa，π-at，za）=0。回想一下σ=（σSS，0）。使用（3.4），FOC等效为πa，1ega（t，πa，π-a、 za）=0<=>(zga）（t，za- ζa），-σ- hσ，θi=0<=> 加兹（t，za）- ζa）=-θS（3.6）πa，2ega（t，πa，π-a、 za）=0<=>(zga）（t，za- ζa），-κθ- hκθ，θi=0<=> -θSκS+gaz（t，za）- ζa）κR=-κSθS- κRθR<=> 加兹（t，za）- ζa）=-θR，（3.7），其中我们使用（3.6）在假设3.1下得到（3.7）。有了Zafrom（2.5），FOC系统（3.6）-（3.7）相当于za- ζat=Za（t，-θt）。（3.1）中ζ的表达式和基本重新排列允许重新写入za- ζat=Za（t，-θt）as∏a，1（t，π）-在，za）-eλa′π-a、 1t=za，1- Za，1（t，-θt）σSSt-za，2岁- Za，2（t，-θt）κRtκStσSSt，πa，2（t，π）-在，za）-eλa′π-a、 2t=za，2- Za，2（t，-θt）κRt（3.8）z- ζat=Za（t，-θt）转化为（3.3）得到了最小化（随机）驱动力A（t，π）的表达式-在，za=gat、 Za（t，-θt）+ hZa（t，-θt），θti- hza，θti=：eGa（t，za）。（3.9）由于GAI在这一点上是通用的，因此过程Za（t，-θt）不精确。

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2022-5-9 12:00:52

尽管如此，还是确定了∏A的总体结构和最小驱动力。我们强调两件重要的事。首先，EGA是一个具有随机系数的明确驱动因素。第二，Ega不依赖于allonπ-a、这意味着当最优策略π*,a（见下文）取决于其他代理的策略，而最小化的风险则不是。在[HPDR10]中，作者没有获得最小化驱动程序的这种通用形式。单代理优化公司是一个强大的驱动力，从那时起泽加=-θ ∈ HBMO，我们有一个独特的解决方案来解决B SDE的驱动和终端条件-提供了过程（ω，t）7→eGa（t，0）=gat、 Za（t，-θt）+ hZa（t，-θt），θti是可积的，我们假设。然后，让（eYa，eZa）成为BSDE（3.2）和驱动程序（3.9）的解决方案，并定义策略π*,a·：=a（·，π）-a·，eZa·）。我们现在证明，上述方法确实可以解决个人风险最小化问题，换句话说，这就是所谓的最佳反应。定理3.2（一个代理的最优性）。假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMOandlet假设3.1保持。安排一名特工∈ A和b的一组可积策略πbf∈ A\\{A}。进一步假设o预测由（3.9），|eGa（·，0）|∈ HBMO和oπ*,a·=πa（·，π）-a·，eZa·）是可以接受的。然后使用驱动程序（3.9）和终端条件进行BSDE-哈哈，这是一个独特的解决方案（eYa，eZa）∈ s∞×HBMO。此外，Eyai是agenta和π的优化问题（3.5）（即风险最小化）的值*,ais是唯一的最优策略。证据考虑增益结构（3.9）和可积性假设，证明了s中B SDE解（eYa，eZa）的存在唯一性∞这很简单。我们首先使用比较定理证明了Eya的极小性，从而证明了π的最优性*,a、让我们∈ [0，T]。采取任何策略πa∈ Aθ（π）-a）。

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2022-5-9 12:00:56

首先，从gaas的定义来看，我们自然得到了（t，za）=egat、 πa（t，π）-at，za），π-在，扎≤ ega（t，πat，π）-at，za）对于所有的t和za，也就是说，eGa（·，·）≤ ega（·，πa·，π-a·，·）。第二，eGais af fi，因此Lipschitz，采用Lipschitz高效的流程-θ ∈ HBMO。因此，根据比较理论，对于任何t∈ [0，T]特别是对于T=0，thateYat=eYat（π*,a、 π-（a）≤eYat（πa，π）-a）。这适用于任何πa∈Aθ（π）-a）这证明了Ofea=ρa的极小性ξa（π）*,a、 π-（a）因此π的最优性*,a、我们现在讨论优化器π的唯一性*,a、设πabe为可容许策略，并设（eYa（πa），eZa（πa））为相应的风险，即用策略πa求解BSDE（3.2）。我们计算差Eyat（πa）-eYat（π）*,a），在Lebesgue积分中加和减t、 πat、 π-at，eZat（πa）, π-at，eZat（πa）=eGa（t，eZat（πa）），并使用eGa的精确形式：eYat（πa）-eYat（π）*,a） =ZTthegas、 πas，π-as，eZas（πa）-eGas、 eZas（π）*,（a）身份证-ZTt[eZas（πa）-eZas（π）*,a） ]dWs=ZTthegas、 πas，π-as，eZas（πa）- egas、 πas、 π-as，eZas（πa）, π-as，eZas（πa）ids（3.10）-ZTt[eZas（πa）-eZas（π）*,a） [dWθs.由∏aas a极小值构成，（3.10）中的差总是正的。特别是，取pθ-期望w.r.t.F意味着（πa）-eYat（π）*,（a）≥ 0代表所有t∈ [0，T]。假设πais是一个非最优策略。TheneYa（πa）=eYa（π*,a） t=0的LHS消失了。在Pθ-期望下，RHS上的随机积分也消失，我们可以得出结论，（3.10）中的被积函数是zero Pθ 因此，我们得到eYa（πa）=eYa（π*,a） henceeZa（πa）=eZa（π*,a）。通过极小值的唯一性，我们得到了πa·=πa·, π-a·，eZa·（πa）= πa·, π-a·，eZa·（π）*,（a）=π*,a·。备注3.3。

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2022-5-9 12:00:59

而定理3.2则是系统a中单个主体a与其他策略π的最优响应-在固定的情况下，很明显，它可以更一般地描述一个代理人的最优投资，该代理人的偏好由ga（相当于ρa·）描述，他在资产和B中进行交易，该资产和B具有给定的MPRθ（人们可以考虑使a={a}，或使λa=0）。按照同样的方法，结果可以推广到更高数量的资产，价格过程是外生的。这同样适用于交易较少资产的代理，通过将res p ectivecomponents设置为零——见定理4.5。现在，我们通过F OC陈述了最优策略的特征化。引理3.4。在定理3.2的假设下，假设bπabe是一个可容许策略，且（bYa，bZa）是相关的风险过程，用驱动程序ega（t，bπat，π）求解BSDE-在、·）和终端条件下-哈假设它们满足sens中的FOC（3.6）-（3.7）要求zga（t，bZat-bζat）=-θtwbζat=bπa，1tσt+bπa，2tκθt-eλaπ-a、 1tσt+’π-a、 2tκθt.然后（bYa，bZa）=（eYa，eZa）和bπa=π*,a、证据。根据对遗传算法的假设，zga（t，bZat）-bζat）=-θt表示bzat-bζat=Za（t，-θt），或相当于bπt=a（t，π-在，bZat）。因此e ega（t，bπat，π-at，bZat）=eGa（t，bZat）-重新呼叫（3.3）。具有drivereGa（t，·）和终端条件的BSDE解的唯一性-哈，我们有（bYa，bZa）=（eYa，eZa）。因此，通过FOC解的唯一性，bπat=a（t，π-at，bZat）=∏a（t，π）-at，eZat）=π*,在3.2无约束纳什均衡解决了一个agent的优化问题，现在我们来看纳什均衡的存在性和唯一性，仍然是MPRθ∈ HBMO在本节开头固定，但仍然没有固定的供应限制。假设π*= (π*,a） a∈这是一个纳什均衡。安排一名特工∈ A.

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2022-5-9 12:01:08

从定理3.2给出的最优策略的唯一性来看，1μs有π*,at=a（t，π）*,-at，eZat），t∈ [0，T]，其中（eYa，eZa）是具有终端条件的BSDE的解决方案- （3.9）中给出了had和drivelage。因此，从∏a的表征（3.8）中，我们得出∈ A和t∈ [0，T]，π*,a、 1t-eλa′π*,-a、 1t=eZa，1t- Za，1（t，-θt）σSSt-eZa，2t- Za，2（t，-θt）κRtκStσSSt=：Ja，1t，π*,a、 2t-eλa′π*,-a、 2t=eZa，2t- Za，2（t，-θt）κRt=：Ja，2t。（3.11）注意，对于任何∈ A、这个过程（eYa，eZa）不依赖于π*,-阿诺π*,a、看来两者都不是-汉诺威有。因此，Jatis也独立于未知π*t、这只存在于（3.11）的LHS中。相反，假设我们可以解π*在方程（3.11）中，π*在价格上是可积的。然后，由于π*,at=a（t，π）*,-根据（3.8），定理3.2保证π*,ais是对π的最佳反应*,-a、因此我们有一个纳什均衡。纳什均衡π的存在唯一性*等价于方程（3.11）解的存在唯一性。确定矩阵和∈ RN×NbyAN=1.-λN-1.-λNN-1., （3.12）也就是说，第j行有条目-eλj=-λj/（N）- 1），除了第j个1。方程（3.11）可以写成π*,·,i=J·，i，（3.13）式中π*,·,i=（π）*,a、 i）a∈a和J·，i=（Ja，i）a∈A、因为我∈ {1, 2}.定理3.5。假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMO，假设3.1和假设2.3成立∈ A、 Jais可积于价格和| eGa（·，0）| 1/2∈ HBMO。然后存在唯一的纳什均衡π*= (π*,a） a∈A与（3.13）的唯一解给出的MPRθ有关。证据ANisdet（AN）=1的行列式-Xi<jeλieλj- 2Xi<j<keλieλjeλk- 3Xi<j<k<leλieλjeλkeλl- . . . - （N）- 1） NYi=1eλi，其中和从A={1，…，N}上经过指数i，j，k，l。

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2022-5-9 12:01:12

如果λa=1表示所有a∈ A、然后det（AN）=1-PNk=2k-1（N）-1） kNk= 所以矩阵是不可逆的。行列式严格来说是一种符号，对于a的某些子集上的和和和积，我们用集合{1，2，…，N}识别a，其中N∈ N是代理的固定数量。在每个λa（a）中递减∈ A）因此也在λA中。因此，如果λA∈ [0,1]对于所有∈ A和产品QA∈AλA<1，则至少一个因子必须严格小于1，行列式必须严格为正（即det（an）>0）。ANfollows的可逆性。这保证了一个人可以为每一个i求解系统（3.11）（或者，等价地，（3.13））∈ {1,2}得到（π）*,·,i）。π的可积性*根据每个分量π*,ais是可积Ja的线性组合。最后，π的纳什最优性*在核心方程（3.11）的确定中进行了论证。我们现在可以对假设2.3进行评论。如果λb=0表示所有b∈ A\\{A}，则λA的可逆独立性，即特别是λA=1。这表明λa∈ [0,1]对于所有a∈ A不是必须的，只是一个充分的条件。最后，如果我们考虑λa>1，那么qaλa<1不足以满足AN的可逆性，例如，在N=3的情况下，取λa=λb=2和λc=0。从现在起，我们假设age nts的优化问题有一个解，因此有必要讨论均衡市场风险价格（EMPR）的概念。备注3.6。注意，在这一点上，由于θ是外生的，我们还没有一个耦合的BSDE系统。每一个∈ A、我们得到值过程（eYa，eZa）作为BSDE的解，其中终端条件-Haand drivereGa不依赖于策略，只接受sezaas论点。然后利用这些过程求解策略π的纳什均衡*, andso（eYa，eZa）a∈Ais是纳什均衡的价值过程。

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2022-5-9 12:01:15

这一特性（在求解最优值时，BSDES没有耦合），以及优化器π的求解*纳什均衡的形式归结为求解一个线性系统（其解的存在性和唯一性等价于矩阵的可逆性），这是问题结构的结果，即对相对性能的关注形式。特别是，它不依赖于单个风险度量的特定形式ρa（或等效的e，驱动因素ga）。在第4节晚些时候，发现EMPR导致了多维二次BSDE。3.3一个例子：熵风险度量案例我们现在说明定理3.2对于特定风险度量的方法和结果，并为我们在第5节和第6节中研究的模型奠定基础。我们给出了一系列例子，以增加复杂性的顺序，展示了随着特征的增加，最优策略的结构是如何变化的。如上所述，这些例子还没有考虑市场条件，而是假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMOI已给出。尽管如此，它们给出了NEXT部分的一个例子，其中导出了风险的均衡市场价格。每个年龄段∈ A正在使用熵风险度量ρafor评估她的风险，driverga:R→ R如果给定byga（z）：=2γa | z |，其中γa>0表示代理a的风险承受能力，1/γais表示代理a的风险规避。这种选择与指数效用有关，我们有（参见[Car09]、[FK11]、[HIM05]或[REK00]）ρa（ξ）=Ya=γaln e[e-ξ/γa]=γaln- Uγa（ξ）Uγa（ξ）=E[-E-ξ/γa]，因此，等效地，这些试剂使其预期（指数）效用最大化。在下文中，最优策略是使用到目前为止描述的技术计算的，因此我们省略了c计算。

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可人4

2022-5-9 12:01:18

他们归结为从（2.5）中找到地图，然后将其注入（3.8）和（3.9）中以获得。我们用π表示整个*,a（为a）∈ A）最优纳什均衡策略。3.3.1对于单个代理的参考案例，为了进行比较，我们首先给出了单个代理的最优策略，该代理可以以（任意和外源给定的）风险市场价格θ=（θS，θR）流动交易价格S和价格B的衍生产品。她旨在通过终端捐赠和交易收益ξa=Ha+VaT（πa），将风险降至最低。在这里，其他代理不起作用。由于gazi（z）=zi/γa，很容易发现Za（t，-θt）=(-γaθSt，-γaθRt）=-γaθt.将其注入（3.9）中产生最小驱动力eGa，eGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。然后，最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和Driverga，而最优策略则由π给出*,a、 1=eZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSSandπ*,a、 2=eZa，2+γaθRκR。这一结果是预期的，并且与规范的数学金融结果一致。最优策略的特殊结构源自这样一个事实，即当κS6=0时，第二种资产与第一种资产相关，并且二维价格（S，B）的波动矩阵倒置，σss0κSκR.a面临的市场是完整的，剩余风险最小化的驱动因素是a，我们有明确的解决方案a=Eθ-哈-γaZT |θu | du= -EE-θT·Ha+γaZT |θu | du.最小风险指标与Ha有关：价格趋势（θ6=0）导致持续风险降低，市场的完整性导致对Ha的依赖性。备注3.7。注意ega（t，0）=-γa |θt |。

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2022-5-9 12:01:22

因此，由于θ∈ HBMO，我们在定理3.2和3.5中假设| eGa（t，0）| 1/2∈ HBMOI对风险最小化BSDE的良好定位感到满意。3.3.2单一代理人不能在衍生产品中交易的参考案例也很有启发性，并且在以后的研究中会很有用，因为该单一代理人不能在衍生产品中交易，因此面临一个不完整的市场。我们首先在（3.4）上施加πa，2=0，然后在πa，1上进行优化（见备注3.3）。计算后的最小驱动程序iseGa（t，z）=-γa（θSt）- zθSt+2γa（z），t∈ [0，T]。请注意，变量ZB中的Egais af fine保留了z中的二次项。然后，最小风险由Ya=Eyaw给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和上述Driverga，而最优策略是π*,a、 1=eZa，1+γaθSσS和π*,a、 2=0.3.3.3如果多个代理没有相对性能关系，则返回到全套代理a，并将λa=0用于所有代理a∈ A.这是[HPDR10]中介绍的设置。我们将代理人a的风险最小化驱动因素定义为beeGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）求解具有终端条件的BSDE-has和最小化driverga，而最优策略由πλ=0，a，1:=eZa，1+γaθSσSS给出-eZa，2+γaθRκRκSσS和πλ=0，a，2:=eZa，2+γaθRκR.（3.14）观察到，在这种情况下，a遵循的策略πλ=0并不直接依赖于其他代理的策略；它的结构与单一代理人的情况相同。

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2022-5-9 12:01:25

然而，当衍生工具的价格动态不是固定的，而是从均衡中出现时，随后，其他代理的策略将通过θRandκ间接出现。3.3.4如果想要在纯风险交易的特殊情况下考虑衍生工具的内生交易，那么在零净供应中没有相对性能问题的多个代理的情况下，如果在（2.8）中取n=0，那么外部风险的市场价格θr必须是内生计算的，而不是像我们到目前为止所做的那样任意固定。不难看出，将（3.14）中的最后一个等式在一段时间内求和∈ 施加零净供给条件，Paπλ=0，A，2=0，这要求θR=-PaeZa，2/Paγa。然而，通过求解一个包含θR的N个BSDE系统，可以发现z·，2s。用上述方程组中的表达式替换θRby，可以得到一个一般难以求解的二次BSDE完全耦合系统。我们使用第4.3.3.5节中的替代工具解决了这个pr问题。在一般情况下：性能相关的多个代理在一般情况下（不假设λa=0表示所有a），我们得到的最小驱动为stilleGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。（3.15）最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和Driverga，而最优策略π*= (π*,a） a∈a由π给出*,a、一,-eλaXb∈A\\{A}π*,b、 1=eZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSS，（3.16）π*,a、二,-eλaXb∈A\\{A}π*,b、 2=eZa，2+γaθRκR。

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