风险和偏差度量之间的组合

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《A composition between risk and deviation measures》
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作者：
Marcelo Brutti Righi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
The intuition of risk is based on two main concepts: loss and variability. In this paper, we present a composition of risk and deviation measures, which contemplate these two concepts. Based on the proposed Limitedness axiom, we prove that this resulting composition, based on properties of the two components, is a coherent risk measure. Similar results for the cases of convex and co-monotone risk measures are exposed. We also provide examples of known and new risk measures constructed under this framework in order to highlight the importance of our approach, especially the role of the Limitedness axiom.
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中文摘要：
风险直觉基于两个主要概念：损失和可变性。在本文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，考虑了这两个概念。基于所提出的有限性公理，我们证明了基于这两个组成部分的性质得到的组合是一个一致的风险度量。对于凸风险测度和共单调风险测度的情况，也给出了类似的结果。我们还提供了在此框架下构建的已知和新风险度量的示例，以强调我们方法的重要性，尤其是有限性公理的作用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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A_composition_between_risk_and_deviation_measures.pdf
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kedemingshi

2022-5-9 12:56:46

风险和偏差度量之间的组合Marcelo Brutti Righi*里奥格兰德苏尔马塞洛联邦大学。righi@ufrgs.brAbstractThe风险直觉基于两个主要概念：损失和可变性。在这篇论文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，其中考虑了这两个概念。基于所提出的有限性公理，我们证明了基于这两个组成部分的性质得到的组合是一个一致的风险度量。对于凸测度和共单调测度的情形，也给出了类似的结果。我们还提供了在此框架下构建的已知和新风险度量的示例，以强调我们方法的重要性，尤其是有限性公理的作用。关键词：一致风险测度，广义偏差测度，凸风险测度，共单调一致风险测度，有限性。1引言风险直觉基于两个主要概念：负面结果的可能性，即损失；以及预期结果的可变性，即偏差。自从现代金融理论被接受以来，风险度量的作用就备受关注。最初，它主要被用作一种离散度量，比如s方差，它考虑了直觉的第二个支柱。最近，关键事件的发生将人们的注意力转向了尾部风险度量，例如著名的风险价值（VaR）和预期缺口（ES）度量，它们考虑了第一个支柱。理论和数学讨论在文献中得到了关注，强调了风险度量类别的不同公理结构及其性质。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:56:49

最近的一篇评论见F¨ollmer和Weber（201 5）。尽管这些课程非常重要，但它们提供了一个非常广泛的范围，可以理解为有效或有用的风险度量。因此，可以将其视为第一步，放弃理论性能较差的度量。下一步是在一个类中考虑那些更适合实际使用的度量。因此，为了确保更完整的测量，考虑风险直觉的两个支柱是合理的。这些支柱包括负结果的可能性和预期结果的可变性，作为单一衡量标准。*我们要感谢两位匿名审稿人的评论，这有助于改进手稿。我们还感谢CNPq（巴西研究委员会）和FAPERGS（南里奥格兰德州研究委员会）的财政支持。一些专家提出并研究了此类风险度量的具体示例。Ogryczak和Ruszczy\'nski（1999）分析了平均值加半偏差的性质。Fischer（2003）和Chen and Wang（2008）考虑将不同幂次的均值和半方差结合起来，形成一致的风险度量。Furman和Landsman（2006年）提出了一种衡量截尾平均值和标准偏差的方法，VaR.Krokhmal（2007年）和Dentcheva等人（2010年）扩展了ES概念，将其作为优化问题的解决方案，用于更高动量的情况，并建立了与偏差度量的关系。Righi和Ceretta（2016）考虑通过分散结果来实现ES，结果表明损失超过ES。Furman et al.（2017）和Berkhouch et al.（2017）通过分散基于尾巴的基尼度量来惩罚ES。这些风险度量是一个单独的例子，而不是一般的方法。

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kedemingshi

2022-5-9 12:56:54

将这两个概念结合起来的困难是由于失去了单独的理论性质，尤其是基本的单调性公理。该属性保证了结果最差的头寸具有更大的风险度量值。例如，这条公理不被非常直观的平均值加标准偏差度量所遵循，尽管平均值和标准偏差都具有非常好的特性和直观的分离意义。为了解决这一问题，我们在本文中的目标是将风险和偏差度量与公式ρ+D结合起来，以保持所需的理论特性，这是风险度量理论的核心。在我们的主要背景下，ρ是Artzner等人（1999）意义上的一致风险度量，而SD是Rocka fellar等人（2006）提出的广义偏差度量。ρ+D的财务解释与任何一致的风险度量相同，但一旦因分散而产生更高的惩罚值，同时保持所需的属性，它将作为一种更保守的保护。尽管如此，我们的方法并没有将这种保护任意化，而是考虑了一个偏差项，并得出了期望的理论性质。我们证明了一个与有限性有关的有用结果；我们提出的一个形式为ρ（X）的公理≤ - inf（X），具有单调性和低范围优势。里程碑是，在这些情况下，我们总是得到D（X）≤ -ρ（X）- inf X，即离散项考虑了ρ表示的损失与最大损失之间的间隔中的“财务信息”- inf X=sup-十、因此，我们可以说，这种组合是一种连贯的风险度量。在平移不变性下，我们可以把ρ（X）+D（X）看作ρ（X′），其中X′=X- D（X），即初始位置X上的实值惩罚。

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何人来此

2022-5-9 12:56:57

此外，这可以扩展到验收集，验收集由具有非正风险的位置X组成，形式为Aρ+D:={X:ρ（X）+D（X）≤ 0}={X:ρ（X）≤-D（X）}。从这个意义上说，可以明确地观察偏差项的处罚。就损失度量ρ而言，头寸必须有风险，最多为-D（X）≤ 0，这是一个更严格的标准。然而，值得注意的是，尽管X′=X- D（X）作为一种惩罚，ρ+不是ρ+D的无限制接受集，因为单调性起着关键作用。此外，我们还讨论了Kusuoka（2001）提出的关于法律不变性和代表性的问题。我们的结果可以推广到F¨ollmer and Schied（2002）、Frittelli and Rosazza Gianin（2002）和P flug（2006）意义上的凸测量，或是Acerbi（2002）和Grechuk等人（2009）提出的光谱或畸变类的共单体相干测量。我们还提供了一些由风险和偏差度量组成的fknown和新提出的泛函的例子，以说明我们的结果，特别是我们的有限性公理。在这些例子中，可以从所选的风险度量中生成偏差术语，这简化了财务含义。可以指出的是，对于实际问题，ρ和D都将使用相同的货币单位，但即使不是这样，我们的结果也是有效的。此外，我们关心的是如何在风险和偏差度量之间进行组合，而不是将其称为新的风险度量类别。我们强调，除了我们展示的具体例子之外，在本文给出的结果中，可以考虑导致有限性的任何风险和偏差度量组合。

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kedemingshi

2022-5-9 12:57:01

此外，我们的方法是静态和单变量的，这在风险度量理论中是标准的。对动态和多变量情况的扩展超出了我们的范围。此外，在目前的范围内，还遵循了由模型不确定性引起的稳健框架的扩展，如Righi和Ceretta（2015）中的风险预测，以及与概率测度相关的框架。我们对现有文献有所贡献，因为据我们所知，之前的研究中没有考虑过我们提出的结果。Rockafellar等人（2006年）提出了一致风险度量和广义偏差度量之间的相互作用，Rockafellar和Ur yasev（2013年）提出了一个风险四分域，通过在生成器统计下添加错误和遗憾概念的交点，扩展了这种关系。事实上，这些作者证明了任何给定的广义偏差D与D≤ E[X]- inf X，可以得到一致的风险度量E[-十] +D（X）。然而，这些研究集中在概念的相互作用上，而不是结合风险直觉的两个支柱，因为在我们的表述中，它们的表述仅适用于ρ（X）=E的情况[-十] 。F ilipovi′c和Kupper（2007）给出了凸函数具有单调性和平移不变性的结果，这两种结果都是凸风险测度。尽管如此，他们的结果是基于向量空间中函数的上确界，而不是基于风险度量的公理关系，比如我们的方法。

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mingdashike22

2022-5-9 12:57:06

此外，我们还提出并证明了一些依赖于我们的方法的风险度量的新例子的结果。读者应该注意到，我们的目标是根据风险和偏差项组合一个新的函数，而不是将给定的函数分解为这两个组件。关键是在单一泛函中同时考虑基本概念（风险和偏差），并保证理论性质的存在。精算学的方法，即期望值加上风险负荷的总和，不一定能保证理论性质，例如均值加标准差的情况。除了风险和偏差的线性和之外的其他可能性，例如风险度量具有更大的风险厌恶意味着保持利差，可以理解为对风险项的另一种度量，不明确分散项，也不保证理论属性。它更像是一种优势随机方法，与概率分布有关。本文其余部分的结构如下：第2节介绍了文献中的符号、定义和序言；第3节包含了我们关于有限性公理下风险和偏差度量的建议组合的主要结果；第4节展示了已知和新提出的组合的例子和结果，以说明我们的方法，尤其是有限性公理的作用；第五部分对全文进行了总结和总结。2准备工作除非另有说明，否则内容基于以下符号。考虑任意资产的随机结果X（X≥ 0为增益，X<0为损耗），在无原子概率空间中定义(Ohm, F、 P）。在加法中，P={Q:Q<< P} 是否定义了非空的概率度量集(Ohm, F），与P绝对连续。

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大多数88

2022-5-9 12:57:09

我们有dqdpis，就是Q相对于P的密度，也就是我们所知的theRadon-Nikodym导数。P（0,1）是（0,1）中定义的一组概率测度。P中几乎肯定存在所有性质和不等式。EP[X]是P下X的期望值。fx是X的概率函数，其逆是F-1X，定义asF-1X（α）=inf{x:FX（x）≥ α}. 我们定义X+=最大值（X，0）和X-= 麦克斯(-十、 0）。LetLp=Lp(Ohm, F、 P）和1≤ P≤ ∞, 由范数kXkp=（EP[|X | p]）与有限p和kXk定义的随机变量等价类的空间∞= inf{k:|X |≤ k} 。十、∈ lp表示kXkp<∞ . 我们知道Lq，p+q=1，是Lp的对偶空间。在本节中，我们将介绍一些文献中的定义和结果，作为我们主要结果的背景。从这个意义上讲，我们首先定义风险和偏差度量的公理。有很多可能的属性。我们关注的是文献中最突出的和本文中使用的。每一类风险度量都基于一组特定的公理。我们还定义了本文中具有代表性的风险度量类别。定义2.1。

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可人4

2022-5-9 12:57:14

函数ρ：Lp→ R∪ { ∞} 是一种风险度量，它可能具有以下特性：o单调性：如果X≤ Y，然后ρ（X）≥ ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人平移不变性：ρ（X+C）=ρ（X）- C十、∈ Lp，C∈ R.o次可加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人正同质性：ρ（λX）=λρ（X），十、∈ Lp，λ≥ 凸度：ρ（λX+（1）- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y），十、 Y∈ Lp，0≤ λ ≤ 1 .o 法头连续性：if | Xn |≤ Y、 {Xn}∞n=1，Y∈ Lp和Xn→ 十、那么ρ（X）≤lim infρ（Xn）。o定律侵入：如果FX=FY，那么ρ（X）=ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），十、 Y∈ 含X，Y-科莫酮的LPX，Y-科莫酮，即。X（w）- X（w′）Y（w）- Y（w′）≥ 0, w、 w′∈ Ohm.o 有限n s:ρ（X）≤ - inf X=sup-十、十、∈ Lp。备注2.2。单调性要求，如果一个位置g对另一个位置产生更坏的结果，其风险将更大。翻译不变性确保，如果某个位置增加了一定的收益，其风险将减少相同的数量。同时满足单调性和平移不变性的风险度量称为货币度量，在L中是Lipschitzl连续的∞. 基于多元化原则的次可加性意味着组合头寸的风险小于单个风险之和。正均质性与仓位大小有关，即风险随仓位大小成比例增加。这两个公理统称为次线性。凸性是函数的一个众所周知的性质，可以理解为次线性的放松版本。正齐性、次可加性和凸性之间的任何两个公理都意味着第三个公理。Fatou连续性是函数的一个公认的性质，它与下半连续性和上半连续性直接相关。定律不变性确保两个具有相同概率函数的位置具有相同的风险。

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mingdashike22

2022-5-9 12:57:17

共单调可加性是一种极端情况，其中不存在差异，因为位置具有完美的位置关联。共单调可加性意味着正同质性。有限性确保持仓的风险永远不会超过最大损失。在本文中，我们一直在使用ρ（0）=0意义上的标准化风险度量，因为这很容易通过翻译得到。定义2.3。A功能性D:Lp→ R+∪ {∞ } 是一种偏差测量，它可能具有以下特性：o非负性：适用于所有X∈ Lp，对于常数X，D（X）=0，对于非常数X，D（X）>0。o翻译不敏感：D（X+C）=D（X），十、∈ Lp，C∈ R.o次可加性：D（X+Y）≤ D（X）+D（Y），十、 Y∈ 有限合伙人正同质性：D（λX）=λD（X），十、∈ Lp，λ≥ 0.o较低的区域优势：D（X）≤ EP[X]- inf X，十、∈ 有限合伙人法头连续性：if | Xn |≤ Y、 {Xn}∞n=1，Y∈ Lp和Xn→ 十、然后D（X）≤lim inf D（Xn）。o法律入侵：如果FX=FY，那么D（X）=D（Y），十、 Y∈ 有限合伙人共单调可加性：D（X+Y）=D（X）+D（Y），十、 Y∈ LPX，Y-科莫诺通。备注2.4。非负性确保只有非恒定位置才有色散。翻译不敏感表示如果添加常量值，偏差不会改变。较低的随机优势将度量限制在低于期望值和最小值之间的范围内。这些公理与范数的概念有关，范数在Rig hi和Borenstein（2017）中进行了探讨。定义2.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}.（i） ρ是Artzner等人意义上的相干ris k度量。

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何人来此

2022-5-9 12:57:21

（1999）如果它充满了单调性、平移不变性、次可加性和正同质性。（ii）ρ是F¨ollmer and Schied（2002）和Frittelli and Rosa z za Gianin（2002）意义上的凸风险度量，如果它满足单调性、平移不变性和凸性的公理。（iii）D是Rockafellar等人（2006）意义上的广义偏差度量，如果它完全符合非负性、翻译不敏感性、次加性和正同质性的公理。（iv）D是P flug（2006）意义上的凸偏差度量，如果它完全符合非负性、翻译不敏感性和凸性的公理。（v）如果风险或偏差度量分别满足定律不变性、下限支配性、有限性、共单调性或Fatou连续性公理，则称其为定律不变性、下限支配性、有限性、共单调可加性或Fatou连续性公理。备注2.6。给定一致的风险度量ρ，可以将不具有正风险的头寸的可接受集合定义为ρ={X∈ Lp:ρ（X）≤ 0} . 设Lp+为Lp和Lp的非负元素之一-它的反面对应物。此接受集包含Lp+，与Lp没有交集-, 是一个凸锥。与该集合相关的风险度量是ρ（X）=inf{m:X+m∈ Aρ，即需要添加到X中以确保其可接受的最小资本。对于凸风险度量，ρ不必是圆锥体。一致性风险度量可以表示为概率度量Q生成的情景中可能出现的最坏预期∈ P、被称为对偶集。Art zner等人（1999年）提出了这一结果∞空间。Delbaen（2002）对所有L∞空间，而井上（2003）考虑了空间Lp，1≤ P≤ ∞.

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nandehutu2022

2022-5-9 12:57:24

F¨ollmer and Schied（2002）、Frittelli and Rosazza Gianin（2002）、Kaina and R¨uschendorf（2009）对基于惩罚函数的凸风险度量给出了类似的结果。正如Rockafellar等人（2006年）和Grechuk等人（2009年）所证明的那样，也可以用类似的方法呈现广义偏差度量，并进行适当的调整。Ang等人（2018）对该框架进行了调整，以实现一致的风险度量。P flug（2006）证明了同样基于惩罚函数的凸偏差度量的类似结果。从这个意义上说，我们在本文中考虑的对偶表示由以下结果正式保证。定理2.7。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}. 然后：（i）ρ是一个Fatou连续一致风险度量，当且仅当它可以表示为ρ（X）=supQ∈PρEQ[-十] ，其中Pρ={Q∈ P:dQdP∈ Lq，ρ（X）≥ 情商[-十] ,，十、∈ Lp}是一个闭的凸对偶集。（ii）ρ是一个Fatou连续共凸风险度量，当且仅当它可以表示为ρ（X）=supQ∈P{EQ[-X]-γρ（Q）}，其中γρ：P→ R∪{∞} 下半连续凸惩罚函数是否符合γρ（Q）=supX∈ρEQ[-十] ，带γρ（Q）≥ -ρ(0).（iii）当且仅当D（X）=EP[X]可以表示为D（X）时，D是以较低范围为主的法图连续广义偏差度量- infQ∈PDEQ[X]，其中PD={Q∈ P:dQdP∈ Lq，D（X）≥ EP[X]- 等式[X]，十、∈ Lp}是一个闭的凸对偶集。（iv）D是一个较低的区间支配的Fatou连续共凸偏差测度if，并且只有当它可以表示为D（X）=EP[X]- infQ∈P{EQ[X]+γD（Q）}，其中γDis类似于γρ。3主要结果我们现在将重点转向我们的主要贡献，即风险和偏差度量组合的拟议方法。我们最初证明了一些有趣的结果，这些结果将单调性和下限优势公理与有限性联系起来。

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kedemingshi

2022-5-9 12:57:27

基于这些结果和之前公开的结果，我们能够证明我们的主要定理。所得结果可推广到凸相干和共单相干情形。提议3.1。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}.n：（i）如果ρful满足次可加性（凸性）和有限性，则它具有单调性。（ii）如果ρfull fill Translation I nvariance and monotonity，则其具有s Limitedne s。（iii）如果ρ+D是相干（凸）风险度量，则D具有较低的范围优势。证据对于（i），请记住，因为LPE空间由随机变量的等价类组成，所以如果X=Y，则ρ（X）=ρ（Y）。我们首先假设ρ的次可加性。让X，Y∈ Lp，X≤ Y这里有Z∈ Lp，Z≥ 0，比如Y=X+Z。从有限性出发，我们必须有ρ（Z）≤ - inf Z≤ 因此，通过次可加性，我们得到ρ（Y）=ρ（X+Z）≤ ρ（X）+ρ（Z）≤ ρ（X），根据需要。按照同样的逻辑，让ρ具有凸性。因此，对于任何λ∈ （0，1）有一些Z∈ Lp，Z≥ 所以我们有Y=λX+（1）- λ） Z.这导致ρ（Y）=ρ（λX+（1）- λ） Z）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Z）≤ λρ（X）。由于λ是（0，1）中的任意值，我们可以使其尽可能接近1，并获得ρ（Y）≤ ρ（X），根据需要。对于（ii），注意这是因为X≥ inf X，单调性与平移插值ρ（X）≤ ρ（inf X）=- inf X，也就是有限性。对于（iii），请注意，对于相干（凸）风险度量ρ，由于其对偶表示，我们有EP[-X]≤ ρ（X）≤ 啜饮-X=- 在极端情况下，Pρ等于一个单态{P}或整个P。因此，如果ρ+D是相干的（凸的），因此是有限的，那么D是低范围占优的，因为D（X）≤ -ρ（X）- inf X≤ EP[X]- 证据到此结束。备注3.2。正如B¨auerle和M¨uller（2006）所证明的，在定律不变性的存在下，凸性和单调性等价于无原子空间的二阶随机优势。

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大多数88

2022-5-9 12:57:31

由于有限性意味着单调性，在凸性和定律不变性的存在下，它也意味着二阶随机优势。定理3.3。设ρ：Lp→ R∪{∞} 成为cohe租金风险度量a和D:Lp→ R+∪{∞}广义偏差度量。然后：（i）ρ+D是一个一致的风险度量，当且仅当它完全满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈Pρ+DEQ[-十] ，其中Pρ+D={Q∈ P:dQdP=dQρdP+dQDdP- 1，Qρ∈ Pρ，QD∈ PD}。（iii）ρ和D是定律不变的，ρ+D是有限的，当且仅当ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=supm∈MRρα（X）md（α），其中ρα（X）=-αRαF-1X（u）du and m={m∈ P（0,1）：R（0,1]αdm（α）=dQdP，Q∈ Pρ+D}。证据我们从（i）开始。根据命题3.1，如果ρ+D是一个一致的风险度量，那么它就充满了有限性。反之，ρ+D的平移不变性、次可加性和正同质性是ρ和D分别定义的独立公理的结果。由于存在假设的局限性，ρ+D由于3.1的假设而尊重一元性。因此，这是一个连贯的风险度量。对于（ii），ρ+D受限意味着，根据之前的结果，它是一个一致的风险度量。由于ρ和D是法头连续的，根据定理2.7，它们用对偶集Pρ和PD表示。因此，ρ+D也是法头连续的，并且具有对偶表示。然后我们得到：ρ（X）+D（X）=supQρ∈PρEQρ[-十] +EP[X]- infQD∈PDEQD[X]=supQρ∈Pρ，QD∈PD{EQρ[-X]- EP[-十] +EQD[-十] }=supQρ∈Pρ，QD∈警察局EP-十、dQρdP+dQDdP- 1.= supQ∈Pρ+DEQ[-十] ，其中Pρ+D={Q∈ P:dQdP=dQρdP+dQDdP- 1，Qρ∈ Pρ，QD∈ PD}。为了证明pρ+Dis由va lid概率测度组成，我们验证了对于Q∈ Pρ+D，EPdQdP=EPhdQρdPi+EPdQDdP- EP[1]=1。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:57:34

此外，ρ+D的单调性意味着dqdp≥ 0，因为对于X，Y∈ LPX≤ 我们有双重代表权∈Pρ+DEP[-XdQdP]≥ supQ∈Pρ+DEP[-YdQdP]。如果dqdpassume为负值，就不能保证这个不等式。现在，我们假设ρ+D有这样的对偶表示。那么ρ+D是一个尊重有限性的法图连续一致风险度量。颠倒推导步骤，恢复ρ和D的对偶表示。根据定理2.7，这两个度量具有法头连续性。关于（iii），Kusuoka（2001）表明，完整的法律不变性和法图连续性公理的一致风险度量可以表示为supm∈一些M的ρα（X）md（α）MR P（0,1）。此外，Jouini等人（2006）和Svindland（2010）证明了定义在无原子空间中的定律不变凸风险测度是Fatou连续的。由于我们考虑的是一个最小的概率空间，我们得到ρ+D可以有这种表示，因为它是有限的，然后是相干的。我们可以定义一个连续变量u~ U（0，1）均匀分布在0和1之间，使得F-1X（u）=X代表Q∈ Pρ+D，我们可以得到dqdp=H（u）=R（u，1]αdm（α），其中H是单调递增函数，m∈ P（0,1）。由于H相对于X是反单调的，因此在对偶表示中可以达到上确界。然后我们得到ρ（X）+D（X）=supQ∈Pρ+DEQ[-十] =supQ∈Pρ+DEP-XdQdP= 卸荷点法∈MZ-F-1X（u）Z（u，1]αdm（α）杜= 卸荷点法∈MZ（0,1]αZα-F-1X（u）dudm（α）= 卸荷点法∈MZ（0,1]ραdm（α）,其中M=nm∈ P（0,1）：R（u，1]αdm（α）=dQdP，Q∈ Pρ+Do。现在我们假设ρ+dha是这样的表示。然后，它是一个具有法律不变性的一致性风险度量。这只有在ρ和D都是定律不变的情况下才有可能。根据（i），它也是有限的。这就是屋顶。定理3.3的断言可以推广到ρ是凸r isk测度和凸偏差测度的情况。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:57:37

对于法律不变性案例，Frittelli和Rosazza Gianin（2005年）以及Noyan和Rudolf（2015年）证明了与Kusuoka（2001年）关于凸风险度量的陈述类似的陈述。定理3.3的结果也可以推广到ρ和D是共单调的情况。在这种情况下，M变成了单例，Acerbi（2002）提出的谱风险度量和凹面扭曲函数也是如此，它们在保险业中被广泛使用。Grechuk et al.（2009年）、Wang et al.（2017年）和Furman et al.（2017年）证明了将这些类与广义偏差度量公理联系起来的结果。我们在没有证据的情况下陈述这两个扩展，因为演绎与连贯的情况非常相似。定理3.4。设ρ：Lp→ R∪ {∞ } 是凸风险度量和D:Lp→ R+∪ {∞}凸偏差度量。然后：（i）ρ+D是凸风险度量，当且仅当它完全满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈P{EQ[-X]- γρ+D（Q）}，其中γρ+D=γρ+γD.（iii）ρ和D是定律不变的，且ρ+D是有限的，当且只有if，ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=supm∈P（0,1]nRρα（X）dm（α）- γρ+D（m）o.定理3.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一个协单调一致风险测度，d:Lp→ R+∪ {∞} 共单调广义偏差是肯定的。

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能者818

2022-5-9 12:57:41

然后：（i）ρ+D是一个协单调一致风险测度，当且仅当它满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈Pρ+DEQ[-十] 。（iii）ρ和D是定律不变的，ρ+D是有限的，当且只有if，ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=Rρα（X）dm（α），其中m∈ P（0,1）.4示例在本节中，我们提供了由风险和偏差度量组成的泛函的示例，以说明有限性的重要性，因为它是我们结果的核心。在实际情况中，通常的想法是考虑ρ+βD，其中β假设一些惩罚系数的作用，表明必须包含的偏差比例。因此，它是有效的这类似于厌恶术语。请注意，如果D是广义的偏差度量，那么对于β>0，βD也是。如果D是凸的或是广义的共单调的，则情况也是如此。可以指出，在这种情况下，验收集定义为ρ+βD:={X:ρ（X）+βD（X）≤ 0}={X:-ρ（X）D（X）≥ β} ，这与类似于夏普比率的性能标准有关。负的出现是由于ρrepresentloss。当β=0时，D缺乏非负性公理。尽管如此，在这种情况下，我们的构成只是微不足道的初始风险度量ρ。我们主要关注相干风险度量的类，特别是双r表示，来探索结果。关于凸性、定律不变性和共模可加性的表示可以用与前面定理相同的精神得到。我们的第一个例子是直观的均值加（p-范数）标准差，它与方差溢价和均值-方差马科维茨-波尔图-利奥理论直接相关。均值和标准差的负值分别是一致风险和广义偏差度量的典型例子。我们现在定义了这一风险度量。定义4.1。

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何人来此

2022-5-9 12:57:44

平均值加标准偏差是一个函数al-MSDβ：Lp→ R∪{∞}定义符合：MSDβ（X）=-EP[X]+βkX- EP[X]kp，0≤ β ≤ 1.该风险度量充分体现了平移不变性、凸性、正同质性和定律不变性。然而，它并不具有单调性。这是由于缺乏限制性，因为很容易获得βkX- EP[X]kp>EP[X]- inf X表示某个随机变量的偏移值。事实上，通过考虑X的整体分布，这种风险度量在财务意义上受到了质疑，因为它以同样的方式惩罚利润和损失。它的尾部对应物，当X被限制为低于其α-量子位的值时-1X（α），由Furman和Landsman（2006）提出和研究，并继承了其主要特性。为了避免这些缺点，有必要考虑平均加（p-范数）半偏差。我们给出了一个正式的定义。定义4.2。平均值加上se mi偏差是al MSDβ的函数-: Lp→ R∪ {∞}定义符合：MSDβ-（十） =-EP[X]+βk（X- EP[X]）-kp，0≤ β ≤ 1.很明显，半偏差是一种较低范围的广义偏差度量。Ogryczak和Ruszczy\'nski（1999）和Fischer（20 03）详细研究了这种风险度量。众所周知，该泛函是一个规律不变的一致风险测度。我们现在根据我们的设置提供另一种证明，以明确有限性公理的作用。提案4.3。平均pl us半维偏差是一个具有对偶集PMSDβ的定律不变的相干风险度量-=Q∈ P:dQdP=1+β（W- EP[W]），W≤ 0千瓦kq≤ 1..证据从这两个分量的性质（分别是定律不变的相干风险测度和广义偏差测度）可以看出，定理3.3中的组合是一个相干风险测度，当且仅当它是有限的。这是因为（X- EP[X]）-≤ EP[X]- inf X，十、∈ Lp。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:57:47

因此，我们有EP[X]- inf X≥ k（X）-EP[X]）-K∞≥ k（X）- EP[X]）-金伯利进程≥ βk（X）- EP[X]）-金伯利进程。因此，MSDβ-≤ - 关于PMSDβ的结构，我们不能认为-EP[X]是一个单态，而对于半偏差乘以β，它由表Dqdp=β（1+EP[W]的相对密度组成，如Rockafellar等人（2006年）- W）+（1- β），W≤ 0千伏kq≤ 1.根据定理3.3，我们得到了PMSDβ的表示-=Q∈ P:dQdP=1+β（EP[W]- W），W≤ 0千瓦kq≤ 1.. 这就是屋顶。从前面的命题中，我们可以看出有限性对于均值加半偏差r isk测度单调性的重要性。当负预期被替代风险度量所取代时，通过结果偏差（最差于该值）对风险度量进行惩罚的概念可以扩展。这种方法的一个优点是，代理选择一个风险度量，偏差直接从中产生。里吉和塞雷塔（2016）在ρ为ES时探讨了这一点。此外，Righi和Borenstein（2017）探讨了ES之外的其他风险度量，如期望值和熵，称该方法为投资组合优化的损失偏差。他们的结果指出了这些风险措施的优点，但没有给出任何理论结果。因此，我们提出了一个正式的定义，并探讨了理论性质。为了简化符号，我们定义了ρ*（十） =-ρ（X）。减号只是为了简化符号而进行的调整。定义4.4。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 做一个冒险的人。那么它的损耗偏差是函数LDβρ：Lp→ R∪ {∞} 定义的一致性：LDβρ（X）=ρ（X）+βk（X- ρ*（十） )-kp，0≤ β ≤ 1.尽管有这个非常有趣的直观含义，惩罚术语k（X-ρ*（十） )-对于任何凸风险度量，KPI都不是可加的，负期望除外。

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能者818

2022-5-9 12:57:50

要了解这个事实，请注意（X+Y- ρ*（十）- ρ*（Y）-≤ （X+Y）- ρ*（X+Y））-,当且仅当ρ（X）=-EP[X]。因此，它不是一个广义的、甚至凸的偏差度量。尽管如此，由一致（凸）风险度量ρ构成的惩罚项会导致亚a加性（凸）损失偏差。我们现在揭露这些事实的形式化。提案4.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一致（凸）风险度量，ldβρ：Lp→ R∪ {∞} 它的损耗偏差。然后：（i）LDβρ是一个cohe-rent（凸）风险度量。如果ρ是定律不变的，那么LDβρ也是。此外，如果ρ是共单调的，那么LDβρ是任何共单调对的次加性，Y∈ Lp。（ii）如果ρ是法图连续相干的，那么LDβρ有，对于W={W:W≤ 0千瓦kq≤ 1} ，双设定PLDβρ=nQ∈ P:dQdP=dQρdP（1+βEP[W]）- βW，dQρdP∈ Pρ，W∈ 喔。证据当β=0时，从ρ的假设来看，所有主张都是显而易见的。因此，我们将重点放在情况0<β上≤ 1.关于（i），平移不变性和正均匀性很容易获得，因为ρful满足这些性质。允许X+Y=k（X+Y）-ρ*（X+Y））-金伯利进程- （k（X）- ρ*（十） )-kp+k（Y）- ρ*（Y）-kp）。从ρ的次可加性，我们可以得到任意X，Y∈ 请注意：X+Y≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-金伯利进程- k（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-- （X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-- （X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-K∞= ρ（X）+ρ（Y）- ρ（X+Y）≤β（ρ（X）+ρ（Y）- ρ（X+Y））。因此，我们得到了LDβρ（X+Y）=ρ（X+Y）+βk（X+Y）-ρ*（X+Y））-金伯利进程≤ ρ（X）+βk（X）-ρ*（十） )-kp+ρ（Y）+βk（Y）- ρ*（Y）-kp=LDβρ（X）+LDβρ（Y），根据需要。第一个和第二个不等式是由于满足次可加性的p-范数和负部分，而第一个不等式是因为ρful满足次可加性和β≤ 1.

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kedemingshi

2022-5-9 12:57:53

此外，由于ρ*（X+Y）≥ ρ*（十） +ρ*（Y），我们有：（X+Y）-ρ*（X+Y））--（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）-如果X+Y，则假定值为0≥ ρ*（X+Y），ρ*（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）如果X+Y≤ ρ*（十） +ρ*（Y）和一些标量C≤ ρ*（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）否则。这就解释了等式k（X+Y）-ρ*（X+Y））--（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）-K∞= ρ（X）+ρ（Y）-ρ（X+Y）。当ρ是凸风险度量时，推导结果非常相似，从X+Yλ=k（λX+（1-λ） Y-ρ*（λX+（1）-λ） Y）-金伯利进程-（λk（X）-ρ*（十） )-kp+（1）-λ）（k（Y）-ρ*（Y）-kp），0≤ λ ≤ 1.因此，当ρ不存在时，LDβρful将填充次可加性（凸性）。这一事实，连同有限性公理，从命题3.1中可以看出，LDβρ满足单调性。有限性来自于（X- ρ*（十） )-≤ ρ*（十）- inf X，十、∈ Lp。因此，我们有ρ*（十）- inf X≥ k（X）- ρ*（十） )-K∞≥ k（X）- ρ*（十） )-金伯利进程≥ βk（X）- ρ*（十） )-金伯利进程。因此，LDβρ（X）≤ - 因此，当ρ位于同一类中时，LDβρ是一个相干或凸风险度量。此外，由于p-范数是基于期望的，因此ρ的定律不变性直接意味着LDβρ的公理相同。此外，如果ρisco单调，我们对共单调X，Y∈ Lpthat:LDβρ（X+Y）=ρ（X+Y）+βk（X+Y）- ρ*（X+Y））-kp=ρ（X）+ρ（Y）+βk（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ ρ（X）+ρ（Y）+β（k（X- ρ*（十） )-kp+k（Y）- ρ*（Y）-kp）=LDβρ（X）+LDβρ（Y），如权利要求所述，这是这种情况下的次可加性。关于（ii），设W={W:W≤ 0千瓦kq≤ 1}. 众所周知，见P fl ug（2006），kX-kp=supW∈WEP[XW]。

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kedemingshi

2022-5-9 12:57:58

由此，我们可以得到任意X∈ Lpthat:LDβρ（X）=ρ（X）+βsupW∈WEP[（X）- ρ*（十））W]=βsupW∈WEP[XW]+ρ（X）β+EP[W]= β-supW∈W（EP[XW]+supQ∈PρEQ[-十] !！β+EP[W])= supQ∈Pρ，W∈W{EQ[-十] （1+βEP[W]）+βEP[XW]}=supQ∈Pρ，W∈WEP-十、dQρdP（1+βEP[W]）- βW,dQρdP∈ Pρ= supQ∈PLDβρEQ[-十] ，其中pldβρ=Q∈ P:dQdP=dQρdP（1+βEP[W]）- βW，dQρdP∈ Pρ，W∈ W.在第三个等式中，我们假设ρ是法图连续的，根据定理2。7.具有双重代表性。在同样的等式中，β是无效的-1> 1和EP[W]≥ -1，这意味着β-1+EP[W]≥ 0.仍需证明PLDβρ由有效的概率测度构成，即。 Q∈ PLDβρdqdp是真的≥ 0，EPdQdP= 1.和DQDP∈ Lq。从这个意义上说，由于βEP[W]≥ EP[W]≥ -我们得到了dqdp=dQρdP（1+βEP[W]）- βW≥ 0, Q∈ PLDβρ。此外，我们还有那个EPdQdP=EPhdQρdP（1+βEP[W]）- βWi=EPhdQρdPi（1+βEP[W]）- βEP[W]=1， Q∈ PLDβρ。最后，我们还有dQdPq=dQρdP（1+βEP[W]）- βWQ≤ （1+βEP[W]）dQρdPq+βkW kq<∞ . 证据到此结束。备注4.6。当ρ（X）=-E[X]，作为一种特殊情况，我们得到了平均值加半偏差，其中相对密度的形式为dqdp=dQρdP（1+βEP[W]）- βW=1+β（EP[W]- W），W∈ W、与命题4.3相同。尽管我们的主要定理3.3、3.4和3.5没有考虑这种风险度量，但命题3.1保证了它的一致性（凸性）。当一个人结合风险和偏差度量时，这加强了有限性的作用。如果ρful fill fill Law不变性和Co-mo-notonic Additivity，那么LDβρ位于Kou等人（2013）提出的更灵活的自然风险度量类别中，它必须满足单调性、平移不变性、正同质性、规律不变性和共单调次可加性。

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能者818

2022-5-9 12:58:01

文献中还有由相干风险测度和非凸偏差构成的泛函的其他例子，非凸偏差又是相干风险测度。这正是Furman等人（2017年）提出的尾部基尼缺口，以及Berkhouch等人（2017年）提出的延伸。这种风险度量的思想是，在ES和一个仅限于分布尾部的基尼函数之间有一个ρ+βD形式的组合。在这两种情况下，对β值的范围进行必要的限制。一般来说，尽管有D的性质，但在β的范围受到一定限制的情况下，可以通过用D代替βD来“强制”ρ+Db上的有限性。我们现在以一种正式的方式提供这样的结果。提案4.7。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 有限责任公司→ R+∪ {∞ } . 那么，ρ+βD完全有限当且仅当β≤ infnρ*（十）-inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0o。证据当D（X）=0时，通过ρ的假设可以直接实现有限性。因此，我们关注的是当D（X）>0由那些没有n-常数的组成时的情况。设K=infnρ*（十）-inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0o。对于β≤ K、因此我们得到如下结果：ρ（X）+βD（X）≤ ρ（X）+KD（X）≤ ρ（X）+ρ*（十）- inf XD（X）D（X）=- 对于逆关系，我们现在假设ρ（X）+βD（X）≤ - inf X，十、∈ Lp。在这种情况下，我们得到：β≤ infρ*（十）- inf XD（X）：X∈ Lp≤ infρ*（十）- inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0.证据到此结束。备注4.8。在赞成的立场上，我们没有使用典型的实际约束β≥ 因为，在这种情况下，我们直接得到了ρ+βD之后的结果≤ ρ. 根据第3.1条的建议，对于定理3.3、3.4和3的所有框架，ρ都是有限的。5.因此，这最后一个结果不受限制。关于实际解释，如果ρ*如果是一个与inf X相去甚远的简约风险度量，那么β可以假设更大的值，即。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:58:04

在不失去限制的情况下，可以添加更多来自D的保护。相反的推理也是有效的。即使对β的值有这种限制，也不一定能实现单调性，因为在有限性条件下，命题3要求次可加性或凸性。1.同时，在我们的组合中，最好直接从我们选择的风险度量中获得偏差项，如损失偏差法。在所有这些观点下，作为下一个例子，我们考虑将偏差定义为适用于已降级财务状况的风险度量。我们现在定义了此类偏差。定义4.9。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 这是一个风险衡量标准。那么由ρ引起的偏差是一个函数Dρ：Lp→ R∪ {∞} 定义一致性：Dρ（X）=ρ（X）- EP[X]）。Rockafellar et al.（2006）和Rockafellar and Uryasev（2013）对这一特征进行了探讨，证明了当ρ是相干（凸）风险度量时，Dρ确实是一个较低的范围主导的广义（凸）偏差。对于相干ρ的情况，不难发现PDρ=Pρ。考虑严格大于负预期的风险度量，以便有一个明确的情况，这很有趣[X]- EP[X]]=0，十、∈ Lp。现在我们研究由ρ+βDρ给出的复合物的性质。提案4.10。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一个同调（conv x）风险度量，例如ρ（x）>-EP[X]，十、∈ Lp。然后：（i）组合ρ+βDρ是一个共有（凸）风险度量，如果且在l y上如果0≤ β ≤infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十）：X∈ Lpo。此外，如果ρful满足定律不变性（共单调可加性），那么ρ+βDρ就是定律不变性（共单调性）。（ii）如果ρ是法头连续相干且0≤ β ≤ infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十）：X∈ Lpo，那么组合ρ+βDρ具有对偶集Pρ+βDρ=Q∈ P:dQdP=（1+β）dQρdP- β、 Qρ∈ Pρ.证据

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可人4

2022-5-9 12:58:07

对于（i），当ρ具有这些性质和β时，平移不变性、次可加性、凸性、正齐性、定律不变性和共单调可加性是直接的≥ 关于单调性，从Pro位置3.1我们只需要限制，因为存在次可加性（凸性）。此外，通过命题4.7，我们得到ρ+βDρ是有限的当且仅当β≤ infnρ*（十）-inf Xρ（X）-EP[X]）：X∈ Lp，ρ（X）- EP[X]）>0o=nρ*（十）-inf XEP[X]-ρ*（十）：X∈ 如前所述，Lpo。关于（ii），由于ρ是连续相干的，所以它在对偶集Pρ下有一个表示。相对密度βdQρdP下的βDρ也是如此- (1 - β). Rockafellar等人（20 06）认为β的作用。此外，从（i）中，ρ+βDρ对于0也是相干的≤ β ≤ infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十）：X∈ Lpo。它的法头连续性与ρ的法头连续性直接相关。根据定理3.3，它的对偶集是Pρ+βDρ=nQ∈ P:dQdP=dQρdP+βdQρdP- (1 - β) - 1，Qρ∈ Pρo.经过一些简单的操作，这个结论就实现了。证据到此结束。5结论在本文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，其中考虑了损失和可变性的概念，以保持理想的理论性质。到目前为止，大多数研究只关注特定的例子，而我们给出了一种通用的方法。我们的结果基于所提出的有限性公理，这表明组成值不能超过某个极限——可能损失的上限。在这种情况下，我们证明了这个组合是一个相干的、凸的或共单调的度量，符合两个分量的性质。在第二篇文章中，我们提供了在该框架下构建的已知和新风险度量的具体示例的结果。在这样的结果中，我们的方法的重要性变得显而易见，尤其是有限性公理的作用。参考Acerbi，C.，2002年。

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可人4

2022-5-9 12:58:11

r isk的谱测度：主观风险规避的一致表示。《银行与金融杂志》第26期，1505-1518页。Ang，M.，孙，J.，姚，Q.，2018年。关于一致性风险度量的双重代表性。运筹学年鉴26229-46。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.，Heath，D.，1999年。一致的风险度量。数学金融9203–228。新罕布什尔州伯尔勒，马勒，A.，2006年。随机顺序和风险度量：一致性和界限。保险：数学与经济学38，132-148。伯克霍奇，M.，拉克纳蒂，G.，里吉，M.，2017年。风险和可变性的扩展基尼类型度量。ArXiv工作文件。陈志强，王玉英，2008年。双边一致风险测度及其在实际投资组合优化中的应用。《银行与金融杂志》322667–2673。Delbaen，F.，2002年。一般概率空间上的一致风险度量，载于：桑德曼，K.，肖恩布彻，P.J.（编辑），《金融和随机学的进展：尊敬的戴特·桑德曼的论文》。施普林格柏林海德堡，第1-37页。丹切瓦，D.，佩内夫，S.，拉斯茨基，A.，2010年。Kusuoka代表更高或更高的双重风险措施。运筹学年鉴181325–335。菲利波维奇博士，密歇根州库珀，2007年。单调和现金不变凸函数和外壳。保险：数学与经济学41，1-16。菲舍尔，T.，2003。风险资本的配置是基于单方面的时机，通过一致的风险度量进行的。保险：数学和经济学32135–146。F–o llmer，H.，希德，A.，2002年。风险和交易约束的凸度量。金融与随机6，429-447。F–o llmer，H.，韦伯，S.，2015年。资本决定风险度量的公理化方法。《金融经济学年鉴》7301–337。弗里泰利，M.，罗莎·贾宁，E.，2002年。对风险措施进行排序。《银行与金融杂志》261473-1486。弗里泰利，M.，罗莎·贾宁，E.，2005年。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:58:14

法律不变凸风险度量。数学经济学进展7，33–46。弗曼，E.，兰斯曼，Z.，2006年。尾部风险溢价，适用于Elliptical风险组合。ASTIN公告36433-462。福曼，E.，王，R.，兹提基斯，R.，2017。基尼类型的风险和可变性度量：基尼下跌、资本配置和重尾风险。银行与金融杂志83,70–84。Grechuk，B.，Molyboha，A.，Zabarankin，M.，2009年9月20日。具有一般偏差度量的最大熵原理。运筹学数学34445–467。井上，A.，2003年。在最坏的条件期望下。数学分析与应用杂志286237-247。Jouini，E.，Schachermayer，W.，Touzi，N.，2006年。法律不变的风险度量具有阿托乌性质。数学经济学进展9，49-71。M.Kaina，R–uschendorf，L.，2009年。关于lp空间上的凸风险测度。运筹学的数学方法69475–495。寇，S.，彭，X.，海德，C.C.，2013。外部风险措施和巴塞尔协议。运算时代的数学研究38393–417。Krokhmal，P.，2007年。高风险措施。质量金融7373–387。库索卡，S.，2001年。关于一致风险度量的法律不变性。数学经济学进展3158-168。诺扬，N.，鲁道夫，G.，2015年。广义概率空间中一致风险测度的K-Usouka表示。运筹学年鉴229591-605。奥格里扎克，W.，R uszczy\'nski，A.，1999年。从随机优势到平均风险模型：半偏差作为风险度量。《欧洲运筹学杂志》116，33–50。P fl ug，G.，2006年。风险度量的次差异表示。数学规划108339–354。里吉，M.，博尔·恩斯坦，哥伦比亚特区，2017年。港口组合优化风险措施的模拟比较。《金融研究快报》。里吉，M.，塞雷塔，P.，2015年。

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大多数88

2022-5-9 12:58:17

预期短缺估计模型的比较。经济与商业杂志7 8，14–47。里吉，M.，塞雷塔，P.，2016年。Shortf all Deviation Risk：风险度量的替代方案。《风险杂志》19，81–116。Rockafellar，R.，南乌里亚舍夫，2013年。风险管理、优化和统计估计中的基本风险四边形。运筹学与管理科学调查18、33–53。Rockafellar，R.，Uryasev，S.，Zabarankin，M.，206。风险分析中的广义偏差。金融与随机10，51-74。斯文德兰，G.，2010年。律不变（拟）凸风险函数的连续性∞. 数学和金融经济学3，39–43。王，R.，魏，Y.，威尔莫特，G.，2017年。签名choquet积分的特征、鲁棒性和聚集性。SSRN工作文件。

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