对于这些位置，鞍点方程为：p=χM（x*, κ, Ohm) （A.16）^χ=pnOhmχMt（x）*, κ, Ohm)σ=sM（x）*, κ, Ohm)χ- POhm = h（s）*)itκ=pχ+nhs*它χ=nσhs*tit，其中m（x*, κ, Ohm) =Dx*- x+κ+√NOhm泰特，x，k（A.17）Mt（x*, κ, Ohm) =D十、*- x+κ+√NOhmTtEt，x，kM（x*, κ, Ohm) =十、*- x+κ+√NOhmTt、 其中，k上的平均值是非平凡的，因为x*, 方程（A.14）的解取决于k。上述方程的联立解产生序参数的值，这些值反过来可用于计算模型的感兴趣量（如hs）*i和hx*i） ，如下所述。

值得强调的是，方程（A.4）中的原始问题，需要在一个有限的变量上进行优化（因为N接近于有限），已经简化为一组六个非线性方程。20复杂经济体的统计力学让我们关注Mto，看看如何计算上述数量：M（x*, κ, Ohm) = fDx*- x+κ+√NOhmtEt，x，k=1+（A.18）+（1- f）Dx*- x+κ+√NOhmtEt，x，k=0=fχhu（x*)它，x+（1）- f）D（κ）+√NOhmT- x） Θ（κ）+√NOhmT- x） 遵循这条推理路线，在可能的情况下，明确地计算t的平均值：M（x）*, κ, Ohm) = fχhu（x）*)它，x+（1）- f）hI（x，κ，Ohm)九（A.19）公吨（x）*, κ, Ohm) = fχhu（x）*)tit，x+（1）- f）击中（x，κ，Ohm)ixM（x）*, κ, Ohm) = fχ（u（x）*))t、 x+（1）- f）hI（x，κ，Ohm)其中i（x，κ，Ohm) =注册护士Ohm2πexp-（十）- κ） 2nOhm- （十）- κ） ψ（x，κ），Ohm) （A.20）It（x，κ，Ohm) =√NOhm ψ（x，κ），Ohm)I（x，κ，Ohm) = NOhm1+（x- κ） nOhmψ（x，κ），Ohm)-十、- κ√2πnOhm经验-（十）- κ） 2nOhm用ψ（x，κ，Ohm) =erfc十、- κ√2nOhm, （A.21），正如我们将在下面（见方程式（A.29））中所示，它只是有效加工的中间产品的一部分。如前所述，任何感兴趣的量都是序参数的函数，而序参数又必须通过求解鞍点方程（a.16）来计算。只有在（n，π）平面的某个区域才能找到所有阶参数都达到有限值的方程的解。这是我们在论文中提出的相变的症状，我们在附录C和附录D中对其进行了充分的分析描述。在这个层面上，相变的出现可以与序参数χ的行为联系起来。事实上，如[20]所示，我们有χ=βn2NNXi=1（si，a- si，b），（A.22），其中指数A和b表示两个不同的副本*. 上述数量受两个“竞争性”限制的影响，因为β和N都增长为一体。

限制*为了从（A.7）到（A.9），必须执行副本对称安萨茨，这意味着假设不同副本对之间的距离相等。复杂经济的统计力学21β→ ∞ 选择方程（A.4）中优化问题的解，而限制N→ ∞ 确保这种解决方案是典型的。因此，在这样的限制下，不同的复制体会收敛到同一个解，因此复制体之间的平均距离为1（si，a）- si，b）/N变得越来越小。特别是，为了使χ达到一个确定的值，复制品之间的平均距离必须衰减为β-1对于大型β。正如我们将要展示的，当优化问题的唯一可接受解为s=0时，本文中提出的相变发生，这意味着χ=0。对于χ=0，必须重新计算方程式（A.17）中的平均值。很容易证明，在这种情况下，方程（A.19）非常简单：M（κ，Ohm) = 嗨（x，κ，Ohm)ix（A.23）Mt（κ，Ohm) = 击中（x，κ，Ohm)ixM（κ，Ohm) = 嗨（x，κ，Ohm)ix.引入重标参数`=pχ，γ=σχ，δ=^χ，（A.24）鞍点方程可改写为χ=0，如下所示：`=M（κ，Ohm) （A.25）δ=√NOhmMt（κ，Ohm)γ=pM（κ，Ohm) - `Ohm = h（s）*)itκ=`+nhs*信息技术让我们提到，在上面的列表中Ohm 对最佳生产规模的影响有直接的解释。还应注意的是，在参考文献[19]中，对应于p和σ的参数（见等式（A.16）和（A.24））可以分别用商品价格的平均偏差和标准偏差来解释。

然而，由于非最终产品的存在，这种解释并不能完全转化为现有模型，而非最终产品的消费市场和消费价格尚未确定。从方程（A.23）和（A.25）的检查中可以清楚地看出，在χ=0时优化问题的解不依赖于f。因此，临界线在平面（n，π）中的位置也不依赖于f。顺便说一句，我们注意到，也可以证明上述鞍点方程实际上简化为变量κ中的三个方程组，Ohm 方程（A.23）中的π（后者来自x的平均值）。s的完全分布*还有x*可以分别从它们的表达式不等式（A.12）和（A.15）中，通过对标准高斯变量t进行平均来计算*) = (1 - φ（p，σ））δ（s*) + Θ（s）*)^χ√2πσexp-（^χs）*+ p） 2σ, （A.26）复杂经济体的统计力学，其中p、σ和^χ是方程（A.16）和φ的解，方程（A.26）中的φ可以解释为s的分数*大于零，等于：φ（p，σ）=erfcP√2σ. （A.27）关于x的分配*（以x为条件）一个人可以写：P（x*|x） =P（x）*|x、 k=1）P（k=1）+P（x*|x、 k=0）P（k=0）（A.28）=fP（x）*|x、 k=1）+（1）- f） P（x）*|x、 k=0），其中P（x*|x、 k）readP（x）*|x、 k=1=1- χu（x）*)√2πnOhm经验-（十）*- 十、- χu（x）*) + κ） 2nOhm（A.29）P（x）*|x、 k=0）=ψ（x，κ，Ohm)δ（x）*)+ Θ（x）*)√2πnOhm经验-（十）*- x+κ）2nOhm有了κ，Ohm χ是方程（A.16）的解，ψ被引入不等式（A.21）。方程（A.26）和（A.28）中的概率密度得出以下平均值表达式*i=σ√2π^χexp-p2σ-p^χφ（p，σ）（A.30）hx*|xik=0=rnOhm2πexp-（十）- κ） 2nOhm+ （十）- κ)(1 - ψ（x，κ），Ohm))（A.31）而平均h。

|xik=1必须进行数值计算。在图A1中，我们对上述计算的解进行了数值检查，这与方程（a.4）中问题的有限实例的完全数值最大化结果非常一致。最后，让我们指出效率参数的影响 图1显示了在n\'2观察到的尖峰，它定义了经济高度竞争机制的开始。如图A2所示，峰值 变得更小，这表明对于效率更高的经济体来说，向竞争性的转变是突然的。附录B.消耗量和废物在本附录中，我们进一步了解了方程式（8）中引入的数量的行为，从中可以确定平均消耗量xC和平均废物xW（见方程式9）。当没有技术运行时，只有初级商品可以被消耗或浪费，因此上述数量简化为以下表达式：XC（s=0）=fπ（B.1）复杂经济统计力学23100101n0。00.51.01.52.02.5小时*如果=0.25f=0.75100101n0。00.10.20.30.40.50.6φf=0.25f=0.75图A1。数值验证。房协之间的比较*i和φ分别由方程（A.30）和（A.27）（实线）计算得出，以及由方程（A.4）中优化问题的数值解得出的结果，有限大小N=100（点和误差条对应于100个随机变量qci、XC和kc实现样本的平均值和标准差）。在两个面板中 = 0.1，π=0.65.100101n0。00.20.40.60.81.01.2小时*我 =0.1 =0.01图A2。效率的作用。

最优生产规模的比较*i、 作为n的函数，在不同的效率水平下 在经济方面。在π=0.65和f=0.5时，得到了这两条线。XW（s=0）=（1）- f） π。通过比较方程式（9）和（B.1）中的表达式，可以看出，为了使消耗和废物连续，在接近过渡时（从运行阶段开始），需要满足以下条件：x，x→ 1和x，x→ 0.通过直接检查图B1，可以看出这些条件不满足，即在过渡点（曲线的左端点）x，x<1和x，x>0。这是由于过渡的不连续性*i（见第5节和附录D）：技术开始以严格正的生产成本运行，这意味着通过消费非零数量的初级商品（因此x，x<1），会突然出现严格正数量的非初级商品（因此x，x>0）。复杂经济的统计力学2410-1100101n0。840.860.880.900.92x11（消费初级商品） = 0.01 = 0.110-1100101n0。00.20.40.60.8x10（废弃初级商品） = 0.01 = 0.110-1100101n0。20.30.40.50.60.70.8x01（消耗的非初级商品） = 0.01 = 0.110-1100101n0。000.020.040.060.080.10x00（废弃非初级商品） = 0.01 = 0.1图B1。各类商品的消费。顺时针：π=0.65，f=0.75，和 = 0.01（红色曲线）和 = 0.1（蓝色曲线）。汇总后，图B1中所示的行为会导致消费和废物在过渡阶段的不连续行为，如图2所示。效率越高的经济体平均消费水平越高，初级商品的浪费也越少。

从图B1中，我们可以看到，分类行为可能不那么复杂：消费的初级商品X不是一个单调递增的函数，效率更高的经济体不一定会浪费更少的非初级商品X效率更低的商品（不同价值的曲线） 右下面板中的十字）。Xc和Xwi中的不连续行为由在X中观察到的跳跃反映出来*i、 在经济的非运营阶段（即si=0i） ，商品的生产与最初可获得的捐赠基本相同：xc=xcc、 所以在这个阶段hx*is=0=π。当技术活跃时，就有hx*i=π-Nhs*i、 因此，除非经济完全有效( = 0）经济生产开始时，平均产量不是连续的（如图B2所示）。总的来说，在过渡阶段有一个跳跃δX=hx*is=0-hx*i=nhs*i、 显然，δX可以分解为相应的消耗和浪费跳跃，即δX=δXC+δXW，其中δXC=XC（s=0）- C=f[π（1）- 十）- (1 - π） x]（B.2）δXW=XW（s=0）- W=（1）- f） [π（1）]- 十）- (1 - π） x]。复杂经济的统计力学2510-1100101n0。590.600.610.620.630.640.65hx*我 = 0.01 = 0.1π图B2。总消费。hx的行为*i在π=0.65，f=0.75，和 = 0.1.效率越高的经济体对应的δX越小，而δX和δXW的值越小（见图2）。有趣的是，可以证实δX=0的高效经济体在δxC和δXW中仍表现出不连续行为（即hx中的连续行为）*i通过δXC=-δXW大于δXC=δXW=0）。附录C.容量计算本节的目的是说明如何通过分析计算分隔运行和非运行阶段的临界线。

在第5节中，我们预计临界线对应于生产规模的N维空间中与商品相关的约束所定义的体积V的消失。在同一节中，我们还将约束分为与初级商品相关的非齐次约束（xc6=0）或与非初级商品相关的齐次约束（xc=0）。齐次约束是体积消失的唯一原因，因此，为了计算临界线，必须计算仅由此类约束确定的体积：V=Z∞dsYc∈PΘxc+NXi=1qcisi！（C.1）=Z∞dsYc∈PΘNXi=1qcisi！，其中，HeavisideΘ函数（Θ（x）=1，对于x>0，否则Θ（x）=0）选择与给定约束相容的N维空间区域，并且产品被限制为P，即非初级商品集。方程式（C.1）中的体积取决于技术的具体实现{qci}C=1，。。。，Ci=1，。。。，N.由于我们对大型经济体的性质感兴趣，我们将对技术的分布进行平均，并寻求自平均数量。正如[20,21]中指出的复杂经济体的统计力学，体积的对数，而不是体积本身，被发现是自平均值：h≡ 画→∞Nhlog Viq，x.（C.2）事实上，极小体积的极限对应于极限χ→ 0，其中χ=PNi=1（si，a- si，b）/（2N）是与约束条件兼容的不同解决方案（副本）之间的距离]。在这个极限下，体积可以被认为是边χ的一个微小的超循环，即V\'χN=eN logχ。

因此，方程式（C.2）中引入的数量必须按h’logχ进行缩放。严格遵循[20]中的步骤（特别是见其中的A和A.2节），我们发现：h=g+g+g，（C.3），其中：g=χν - σ- ρ+νω+ρλ，（C.4）g=DlogZ∞ds e-νs+[σt-ρ]集合，g=1- πnlogErfc√nωt+nλ√2nχt、 变量χ、ν、σ、ρ、ω和λ称为序参数，它们的值通过鞍点方程一致地设置：Hχ=Hν=Hσ=Hρ=Hω=Hλ= 0 . （C.5）从方程（C.5）可以很容易地看出，ω和λ对于χ是有限的→ 0，ν，σ和ρ标度类似于1/χ。因此，引入ν=vχσ=cχρ=rχ，（c.6）并计算＠h=limχ→0χh，我们确保h中的所有项在极限χ中的发散速度比logχ快→ 0被抑制。通过这样做，我们可以找到+h=h+h+h，其中：h=vω- C- R+ rλ，（C.7）~h=Dmaxs≥0h-vs+（ct）- R) siEt，~h=-(1 - π） ω2nhΘ（t+t）（t+t）it，其中t=pnωλ。利用r、c和v上的鞍点方程，我们可以重写＠只有两个变量的函数：＠h=c1 +ξ-1.- πnI(-ξ） 我(-ξ） I（t）, （C.8）]让我们明确指出，刚刚引入的数量与χ定义的不等式（A.22）略有不同。然而，为了与[20]保持一致，我们不希望引入另一个符号。复杂经济体的统计力学(-ξ)ξI(-ξ)+ 我(-ξ), （C.9）In（x）=hΘ（t+x）（t+x）nit。对于固定的n值，我们现在可以解这两个方程~hc=0，~hξ=0，以确定体积收缩至零时π的临界值。因此，当我们改变n的值时，我们能够在平面（n，π）上画出临界线。为了检查分析计算的临界线是否正确，我们进行如下处理。方程式（C.1）中的体积由N维超平面界定，该超平面在生产规模空间中选择有限区域或零体积区域（原点）。

在后一种情况下，生产规模的任何线性组合的最大值{si}i=1，。。。，n将精确为s=0。找到与线性约束相容的生产规模函数的最大值是线性规划问题的定义。因此，通过从技术分布q中取样，可以解决相应线性规划问题的不同实例，并计算允许s=0以外的解决方案的实例比例。在图C1中，我们展示了这种量在平面（n，π）中的行为。我们可以清楚地区分两个区域：在左下角（蓝色区域），没有一个实例使用非平凡解，而在右上角（红色区域），所有实例都使用非平凡解。这两个区域由一个中间区域隔开，在这个中间区域中，只有一些实例允许非平凡解。然而，随着线性规划问题的大小N变大，这种中间区域缩小，过渡变得越来越尖锐。从图C1中我们可以看到，解析计算的临界线位于过渡区的中间，因此与数值结果非常一致。附录D.跃迁的几何性质在上一节中，我们着重于计算体积消失的偶（n，π）。转换的其他属性取决于volumeshrinks归零的方式。特别是，这种转变可以是连续的，也可以是不连续的。为了描述这种行为，我们需要考虑“完整”体积：V=Z∞dsCYc=1Θxc+NXi=1qcisi！，（D.1）由同质和非同质约束定义。事实上，方程式（C.1）中的体积转换只能是不连续的，因为对于给定的技术实现，要么为零，要么为有限。

不幸的是，分析计算要困难得多。然而，求解相应的线性编程实例（对于大N）在计算上是可行的。由于线性规划问题的解位于由问题的线性约束确定的多面体的边界上，卷V（可行集）的曲面与复杂经济体的统计力学280.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0n0相关联。20.40.60.8π0.51.01.52.02.53.03.54.0n0。20.40.60.8π图C1。相变的数值验证。允许解决方案的（100）个线性规划实例的分数。在蓝色区域中，没有实例管理解决方案，而在红色区域中，所有实例都管理解决方案。线性规划实例有一个有限的大小（N=100），因此操作阶段和非操作阶段之间的过渡有一个有限的宽度，随着N变大而缩小。解析计算的临界线（黑色实线）与线性编程数值非常一致。 = 0.01（左面板）和 = 0.1（右面板）。在给定技术实现的情况下，可以通过确定问题的约束条件（即输入输出矩阵q）和优化多个随机线性函数（即生产规模与随机系数的线性组合）来探索这些技术。对约束的多个（随机）选择重复此过程可以访问卷V的平均属性。如第5节所述，我们建立了采样解向量的相关矩阵*然后计算其最大特征值λmax。主成分分析（PCA）告诉我们，当体积V在主导方向上呈拉长形状时，λmax将接近nw。在图1中，我们重复计算λmax，计算n的固定值和π的递减值，即。

通过沿着图C1中的垂直线“接近”过渡。我们可以看到λmax逐渐增加，接近π逼近的临界值N（图D1中最左边的点）。这种行为与第五卷逐渐获得接近过渡的主导方向一致，与本文图4中的草图一致。复杂经济的统计力学290.30.40.50.60.80.91.0λmax/NFigure D1。可行集的抽样。样本解向量的主成分分析*. 每个点的平均值超过250个实现（10个技术实现，每个技术实现25个初始禀赋和随机线性函数实现）。向临界线移动，即向π、λmaxn的较小值移动，表明可行集具有较长的形状。 = 0.01，N=100，C=100（N=1）。[1] 兰洛伊斯，北卡罗来纳州。2003《消失的手：工业资本主义不断变化的动力》。Ind.Corp.变更12351–385。[2] 莱昂蒂夫WW。1986年投入产出经济学。美国纽约：牛津大学出版社。[3] Sbordone A，Tambalotti A，Rao K，Walsh K.2010使用DSGE模型的政策分析：介绍。联邦调查局人员。纽约经济储备银行。波尔。牧师。16(2), 23–43.[4] 基曼美联社。1992年代表个人代表谁或代表什么。J.经济。佩尔斯普。6,117–136.[5] Chang Y，Kim SB和Schorfeide F.2013年DSGE模型参数的劳动力市场异质性、聚集性和政策方差。欧元。经济部。协会第11号，193-220页。[6] 钱德勒D.1987现代统计力学导论。美国纽约：牛津大学出版社。[7] Jaynes ET.1957信息理论与统计力学，物理学。牧师。106, 620–630.[8] 梅扎德·M·帕里斯·G·维拉索罗·马。1987年《旋转玻璃理论与超越新加坡》：世界科学[9]Wigner EP。

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