对于在（T，T）处计算的相应函数，我们还应写出“A，B，C，”+) 分别在（28）、（27）和（24）中给出。设置-R:=1+R、 回顾（30）中的第一个等式，caplet的time-0价格可以表示为cpl（0；T）+,R）=p（0，T）+)ET+（L（T；T，T+) -R）+= p（0，T）+)ET+\'p（T，T+)-~R+= p（0，T）+)ET+e′A+（κ+1）BψT+C（ψT）+C（ψT）-~R+= p（0，T）+)锆e\'A+（κ+1）Bx+Cy+Cz-~R+·f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）d（x，y，z）。（69）24 Zorana Grbac和Laura Meneghollo以及Wolfgang J.RunggaldierTo继续，我们通过考虑函数g（x，y，z）：=exp[\'A+（κ+1）Bx+Cy+\'Cz]将Jamshidian（1989）中提出的一个想法扩展到多曲线环境中（该想法适用于息票债券的定价）。（70）注意到+) > 0（参见（24）以及h>0和2B+h>0的事实），对于固定的x，y，函数g（x，y，z）可以被视为是连续的，并且对于z是递增的≥ 0，并随着limz的增大而减小→±∞g（x，y，z）=+∞. 现在可以方便地根据以下定义5.1引入一些对象 Rbe由m给出：={（x，y）∈ R | g（x，y，0）≤~R}（71）并让mc作为其补码。此外，对于（x，y）∈ 设z=z（x，y），\'z=z（x，y）是g（x，y，z）=R的解，它们满足≤ 0≤ 注意，对于z≤ \'z≤0和z≥ \'z≥0，我们有g（x，y，z）≥g（x，y，\'zk）=R，对于z∈ （\'z，\'z），我们有g（x，y，z）<~R。在mc中，我们有g（x，y，z）≥ g（x，y，0）>R，方程g（x，y，z）=R没有解。鉴于本小节的主要结果，在下面的命题5.1中给出，我们初步证明了以下引理5.1，假设因子ψ的动力学（10）中的（非负）系数b，σ满足条件b≥σ√, （72）我们有-2‘βT’C>0，其中‘C=’C（T，T+) 由（24）给出，其中βT=（σ）2b（1-E-2bT）根据（34）。证据根据“β和”的定义，我们可以写-2βT C=1-1.-E-20吨EH-1.bh（σ）+b（σ）（2b+h）EH-1..

（73）注意，接下来b>0意味着1-E-20吨∈ （0,1）和thatbh（σ）≥ 0.从（73）可以得出1的充分条件-2’βT’C>0保持是2≤b（σ）（2b+h）。（74）多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生定价25鉴于，见（24）之后的定义，h=2p（b）+2（σ）≥ 2b，条件（74）满足我们的假设（72）。命题5.1在假设（72）下，我们有时间间隔[T，T]的Caplet的时间-0价格+] 对于固定利率，R由PCPL（0；T）给出+,R） =p（0，T）+)“ZMe”A+（κ+1）Bx+C（y）·hγ（\'αT，\'βT，\'C）Φ（d（x，y））+Φ(-d（x，y））-e\'C（\'z（x，y））Φ（d（x，y））+e\'C（\'z（x，y））Φ(-d（x，y））如果（x）f（y）dxdy+γ（\'αT，\'βT，\'C）ZMce\'A+（κ+1）Bx+C（y）f（x）f（y）dxdy-~RQT+（ψT，ψT）∈ 司仪#,（75）其中Φ（·）是累积标准高斯分布函数，M和Mcare如定义5.1所示，d（x，y）：=√1.-2′βT′C′z（x，y）-（？αT）-θ′βT）√βTd（x，y）：=√1.-2′βT′C′z（x，y）-（？αT）-θ′βT）√βTd（x，y）：=\'z（x，y）-αT√βTd（x，y）：=\'z（x，y）-αT√带θ的βT（76）：＝αT1.-1/√1.-2’βT’C“βT，由引理5.1在给定假设（72）下定义，并与γ（‘αT，’βT，’C）：=e（（θ）’βT-\'-αTθ）√1.-2“βT”C.备注5.1请注意，一旦定义5.1中的集合M及其补码Mcfrom明确，则可以明确计算（75）中的积分和概率。证据在集合M和MCW的基础上，我们可以继续（69）为26 Zorana Grbac和Laura Meneghhello以及Wolfgang J。

RunggaldierPCpl（0；T+,R） =p（0，T）+)锆e\'A+（κ+1）Bx+Cy+Cz-~R+·f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）d（x，y，z）=p（0，T+)ZM×Re\'A+（κ+1）Bx+Cy+Cz-~R+·f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）d（x，y，z）+p（0，T+)ZMc×Re\'A+（κ+1）Bx+Cy+Cz-~R+·f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）d（x，y，z）=:P（0；T+) + P（0；T）+).（77）接下来我们将分别计算（77）中最后一个等式中的两项，根据（x，y）区分两种情况∈ M或（x，y）∈ 司仪。案例一：对于（x，y）∈ M我们从定义5.1中得知存在¨z（x，y）≤ 0和z（x，y）≥所以对于z∈我们有g（x，y，z）≤g（x，y，\'zk）=R。

对于P（0；T）+)我们现在得到了+) = p（0，T）+)·ZMe\'A+（κ+1）Bx+CyZ\'z（x，y）-∞（e’Cz）-e\'C（\'z））f（z）dz+z+∞z（x，y）（e）Cz-e\'C（\'z））f（z）dz！f（y）f（x）dydx。（78）接下来，使用第3.3小节关于高斯分布f（·）=fψT（·）的结果，我们得到下面（79）中的计算结果，其中回顾引理5。1.我们依次对变量进行如下更改：ζ：=q1-2′βT′Cz，θ：=′αT（1）-1/√1.-2′βT′C）′βT，s:=ζ-（？αT）-θ′βT）√βTand，其中di（x，y），i=1，··，4如（76）多曲线高斯指数二次短期利率模型27Z（x，y）的衍生品定价中所定义-∞e’Czf（z）dz=z’z（x，y）-∞e’Cz2 1qπ’βTe-（z）-\'αT）\'βTdz=Z\'Z（x，y）-∞qπ′βTe-(√1.-2′βT′Cz-\'αT）\'βTe-αT(√1.-2’βT’C-1） βTzdz=Z√1.-2′βT′C′z（x，y）-∞qπ′βTe-(ζ-\'αT）\'βTe-\'-αT（1）-1/√1.-2′βT′C）′βTζq1-2′βT′Cdζ（79）=q1-2′βT′CZ√1.-2′βT′C′z（x，y）-∞qπ′βTe-(ζ-\'αT）\'βTe-θζdζ=e（（θ）’βT-αTθ）q1-2′βT′CZd（x，y）-∞√πe-sds=e（（θ）’βT-αTθ）q1-2′βT′CΦ（d（x，y））。另一方面，始终使用第3.3小节中关于高斯分布f（·）=fψT（·）的结果，并使变量ζ：=（z）发生变化-\'（αT）√βT，我们得到z（x，y）-∞e\'C（\'z）f（z）dz=e\'C（\'z）z\'z（x，y）-∞qπ′βTe-（z）-\'αT）\'βTdz=e\'C（\'z）Zd（x，y）-∞√πe-ζdζ=e\'C（\'z）Φ（d（x，y））。（80）同样，我们有+∞\'z（x，y）e\'Czf（z）dz=q1-2’βT’Ce（（θ）’βT-\'-αTθ）Φ(-d（x，y））Z+∞\'z（x，y）e\'C（\'z）f（z）dz=e\'C（\'z）Φ(-d（x，y））。（81）案例二：我们来到案例（x，y）旁边∈ Mc，其中g（x，y，z）≥ P（0；T）的g（x，y，0）>R+) 我们获得了28个Zorana Grbac和Laura Menegholl以及Wolfgang J.RunggaldierP（0；T+) = p（0，T）+)ZMc×Re\'A+（κ+1）Bx+Cy+Cz-~R· f（z）f（y）f（x）dzdydx=p（0，T+)e′AZMce（κ+1）Bx+Cyf（x）f（y）dxdyZRe′Czf（z）dz-~RQT+[（ψT，ψT）∈ [Mc]= p（0，T）+)e’AhZMce（κ+1）Bx+Cyf（x）f（y）dxdyie（（θ）’βT-αTθ）q1-2’βT’C-~RQT+[（ψT，ψT）∈ [Mc],（82）我们计算R上的积分，类似于（79）。将情况i）和ii）的两个表达式相加，我们得到命题的陈述。

5.2交换选项我们首先回顾（付款人）交换选项的一些最相关方面。考虑对给定日期集合进行互换（见第4.2小节）≤ T<T<··<Tn，互换期权是在预先指定的开始日期输入互换的选项≤ T、 这也是互换期权的到期日，为了简化说明，我们假设与T一致，即T=T。T的无套利互换期权价格≤ t可计算为asPSwn（t；t，Tn，R）=p（t，t）ETnPSw（T；Tn，R）+|Fto，（83），其中我们使用了简写符号PSw（T；Tn，R）=PSw（T；T，Tn，R）。我们首先陈述下一个引理，紧接着是ρ（t，Tk）的表达式和hkin（65）的相应表达式。引理5.2我们的等价性ρ（t，Tk）>0<=> 香港∈0,4（σ）e-2b（Tk）-（t）. （84）这个引理促使我们将互换期权定价问题分为两种情况：情况1）：hk<0或hk>4（σ）e-2b（Tk）-t） 案例1）：0<hk<4（σ）e-2b（Tk）-t） 。（85）多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生品定价29从ρ（t，Tk）的定义中注意到hk6=4（σ）e-2b（Tk）-t） hk=0也就是“Ck=0”，这对应于一个平凡的情况，在这个情况下，因子ψ不存在于扩散s的动力学中，因此上述情况1）和情况2）中的不等式确实是严格的。接下来，我们将介绍更多的符号。特别是，我们将考虑函数h（x，y），而不是（70）中的一个函数g（x，y，z），更准确地说，我们将在这里定义连续函数g（x，y，z）：=n∑k=1D0，ke-A0，克-■B0，kx-~C0，肯塔基州-~C0，kz（86）h（x，y）：=n∑k=1（Rγ+1）e-A0，克-B0，kx-C0，ky，（87），t=t的系数由（67）给出。注意，稍微滥用符号，我们写D0，KF代表DT，K与上述其他系数类似，总是指t=Tin（67）。

我们区分了（85）中规定的两种情况：对于情况1，我们有（见（67）和引理5.2），对于所有k=1，·n，·k=ρ（T，Tk）<0，因此（86）中的函数g（x，y，z）对于给定的（x，y），对于z单调递增≥ 0，并随着z<0而减小→±∞g（x，y，z）=+∞.对于情况2），我们得到了所有k=1，···，n的≈C0，k=ρ（T，Tk）>0，因此（86）中的非负函数g（x，y，z）对于给定的（x，y），z单调递减≥ 0，并随着z<0而增加→±∞g（x，y，z）=0。与定义5.1类似，我们接下来介绍以下对象定义5.2设一个“M” Rbe由M给出：={（x，y）∈ R | g（x，y，0）≤ h（x，y）}。（88）由于g（x，y，z）和h（x，y）是连续的，\'M是封闭的、可测量的和连通的。让“mc”作为它的补充。此外，我们定义了两个函数“z（x，y）”和“z（x，y）”，区分（85）中规定的两种情况1）和2）。情况1）如果（x，y）∈\'M，我们有g（x，y，0）≤ h（x，y），因此存在¨z（x，y）≤ 0和z（x，y）≥ 其中，对于i=1,2，g（x，y，\'zi）=n∑k=1D0，ke-A0，克-■B0，kx-~C0，肯塔基州-~C0，k（\'zi）=n∑k=1（Rγ+1）e-A0，克-B0，kx-C0，ky=h（x，y）（89）30佐拉纳·格巴克、劳拉·梅内格洛和沃尔夫冈·J·伦格·加尔迪兰德，代表z 6∈ [z，\'z]，一个有g（x，y，z）≥ g（x，y，zi）。If（x，y）∈Mc，我们有g（x，y，0）>h（x，y），所以g（x，y，z）≥ 对于所有z，g（x，y，0）>h（x，y），我们没有对应于上述‘z（x，y）和‘z（x，y）的点。案例2）如果（x，y）∈对于情形1），我们有g（x，y，0）≤h（x，y），因此存在¨z（x，y）≤0和z（x，y）≥0，对于i=1，2，（89）成立。然而，这一次是为了z∈ 那个有g（x，y，z）≥ g（x，y，zi）。If（x，y）∈ Mc，那么我们的情况与案例1）相同。从（83）结合（66）开始，并根据定义5.2考虑集合M，我们可以得到t=0时的交换期权价格的以下表达式。

至于caps，这里我们也考虑了T下因子的联合高斯分布f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）-向前测量qt，我们有pswn（0；T，Tn，R）=p（0，T）ETnPSw（T；Tn，R）+|Fo=p（0，T）ZRhn∑k=1D0，ke-A0，kexp(-■B0，kx-~C0，肯塔基州-§C0，kz）-N∑k=1（Rγ+1）e-A0，kexp(-B0，kx-C0，ky）i+f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）dxdydz=p（0，T）z′M×Rhn∑k=1D0，ke-A0，kexp(-■B0，kx-~C0，肯塔基州-§C0，kz）-N∑k=1（Rγ+1）e-A0，kexp(-B0，kx-C0，ky）i+f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）dxdydz+p（0，T）z′Mc×Rhn∑k=1D0，ke-A0，kexp(-■B0，kx-~C0，肯塔基州-§C0，kz）-N∑k=1（Rγ+1）e-A0，kexp(-B0，kx-C0，ky）i+f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）dxdydz=：P（0；T，Tn，R）+P（0；T，Tn，R）。（90）我们现在可以陈述并证明这一小节的主要结果，该小节包含本文高斯指数二次模型交换选项的apricing公式。我们假设模型中的参数是这样的，如果hk属于（85）中的情况（1），且hk>0，那么hk>4（σ）e-2bTk。

支付日期为t<···<tn的互换期权在t=0时的无套利价格，使得γ=γk:=Tk-Tk-1（k=1，··，n），在给定固定利率R和名义n=1的情况下，可按以下方式计算，其中我们区分了定义5.2中的情况1）和2）。案例1）我们对多曲线高斯指数二次短期利率模型31PSwn（0；T，Tn，R）=p（0，T）（n）进行了衍生定价∑k=1e-A0，k“Z”MD0，kexp(-■B0，kx-~C0，ky）·e（（θk）’βT-αTθk）q1+2βT＠C0，kΦ（dk（x，y））-E-~C0，k（\'z）Φ（dk（x，y））+e（（θk）βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，kΦ(-dk（x，y））-E-C0，k（(R)z）Φ(-dk（x，y））！f（y）f（x）dydx+Z\'McD0，ke-■B0，kx-~C0，kye（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，k-（Rγ+1）e-B0，kx-C0，kyf（y）f（x）dydx#）。（91）情形2）我们有pswn（0；T，Tn，R）=p（0，T）（n）∑k=1e-A0，k“Z”MD0，kexp(-■B0，kx-■C0，ky）e（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，khΦ（dk（x，y））-Φ（dk（x，y））i-E-~C0，k（\'z）hΦ（dk（x，y））-Φ（dk（x，y））if（y）f（x）dydx+Z\'McD0，ke-■B0，kx-~C0，kye（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，k-（Rγ+1）e-B0，kx-肯塔基州C0f（y）f（x）dydx#）。（92）对于t=t，这些公式中的系数如（67）中所述，f（x），f（x）是对应于（68）对于t=t的高斯密度，函数dik（x，y），对于i=1，4和k=1，n、 是由dk（x，y）：=q1+2′βTC0，k′z（x，y）-（？αT）-θk′βT）q′βTdk（x，y）：=\'z（x，y）-αTqβTdk（x，y）：=q1+2βT~C0，k\'z（x，y）-（？αT）-θk′βT）q′βTdk（x，y）：=\'z（x，y）-αTqβT（93），θk:=\'αT1.-1/q1+2′βTC0，kβT，对于k=1。，n、 式中，\'z=\'z（x，y），\'z=\'z（x，y）是方程g（x，y，z）=h（x，y）的z中的解。此外，32 Zorana Grbac、Laura Meneghollo和Wolfgang J.给出了高斯因子（ψT、ψT、ψT）的均值和方差值。

龙格尔迪耶αT=e-bTψ-（σ） 2（b）e-bT（1）-e2bT）-（σ） （b）（1）-ebT）i′βT=e-2bT（e2bT）-1） （σ）2（b）’αT=e-bTψβT=e-2bTZTe2bu+4（σ）\'C（u，T）（σ）du\'αT=e-bTψβT=e-2bT（σ）2b（e2bT-1).（94）备注5.2与备注5.1类似的备注在此处也适用于“M”和“Mc”。证据首先注意，当hk<0或hk>4（σ）e-2bTkin情况（1），这意味着1+2βTC0，k≥ 0（在情况（2）中，我们总是有1+2βT，C0，k≥ 0). 因此，后一个表达式的平方根在位置声明的各种公式中得到了很好的定义。这是可以检查的，就像在引理5的证明中一样。1，通过直接计算，考虑到t=t的βTin（94）和C0，kin（67）和（65）的定义。我们现在来讨论案例1。我们区分是否（x，y）∈\'M或（x，y）∈“-Mcand分别计算（90）中最后一个等式中的两项。i） 对于（x，y）∈“M我们从定义5.2中得知存在”z（x，y）≤ 0和z（x，y）≥所以对于z6∈[z，\'z]，一个有g（x，y，z）≥g（x，y，zi）。

考虑到在QT下，随机变量ψT，ψT，ψT是独立的，因此我们可以写出f（ψT，ψT，ψT）（x，y，z）=f（x）f（y）f（z）（也可以参见（68）和它后面的线），我们得到p（0；T，Tn，R）=p（0，T）hn∑k=1D0，ke-A0，kZMexp(-■B0，kx-■C0，ky）·Z′Z（x，y）-∞经验(-§C0，kz）f（z）dz-Z′Z（x，y）-∞经验(-~C0，k（\'z））f（z）dz+z+∞\'z（x，y）exp(-§C0，kz）f（z）dz-Z+∞\'z（x，y）exp(-~C0，k（\'z））f（z）dzf（y）f（x）dydxi。（95）通过完全类似于命题5.1证明中的计算，我们分别对应于（79）、（80）和（81），并具有相同的符号含义，得到了（95）最后四行积分的以下显式表达式，即z′z（x，y）-∞E-~C0，kzf（z）dz=e（（θk）’βT-多曲线高斯指数二次短期利率模型33Z（x，y）的衍生定价-∞E-§C0，k（`z）f（z）dz=e-§C0，k（\'z）Φ（dk（x，y）），（97）和类似的z+∞\'z（x，y）e-~C0，kzf（z）dz=e（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，kΦ(-dk（x，y）），Z+∞\'z（x，y）e-§C0，k（`z）f（z）dz=e-C0，k（(R)z）Φ(-dk（x，y）），（98），其中dik（x，y），对于i=1，4和k=1，n、 如（93）所述。ii）如果（x，y）∈那么，根据定义5.2，我们有g（x，y，z）≥ g（x，y，0）>h（x，y）表示所有z。注意，与（96）类似，ZRe-~C0，kζf（ζ）dζ=e（（θk）’βT-αTθk）q1+2βTC0，kwe获得以下表达式p（0；T，Tn，R）=p（0，T）n∑k=1e-A0，khZ？Mc×RD0，ke-■B0，kx-~C0，肯塔基州-~C0，kz-（Rγ+1）e-B0，kx-C0，kyf（z）f（y）f（x）dzdydxi=p（0，T）n∑k=1e-A0，khD0，kZMce-■B0，kx-~C0，kyf（y）f（x）dydxe（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，k-（Rγ+1）Z\'Mce-B0，kx-C0，kyf（y）f（x）dydxi、 （99）添加i）和ii）中的两个表达式，我们获得了案例1的陈述。案例2）。

同样对于这种情况，我们区分（x，y）∈\'M或（x，y）∈“-Mcand，再次，分别计算（90）中最后一个等式中的两项。i） 对于（x，y）∈\'M我们知道存在\'z（x，y）≤0和z（x，y）≥因此，与情况1相反，一个有g（x，y，z）≥ g（x，y，\'zi）当z∈ [\'z，\'z]。因此，34 Zorana Grbac和Laura Menegholl以及Wolfgang J.RunggaldierP（0；T，Tn，R）=p（0，T）“n∑k=1D0，ke-A0，kZ¨Mexp(-■B0，kx-~C0，ky）·Z\'Z（x，y）\'Z（x，y）exp(-§C0，kz）f（z）dz-Z\'Z（x，y）\'Z（x，y）exp(-~C0，k（\'z））f（z）dz！f（y）f（x）dydx#=p（0，T）“n∑k=1D0，ke-A0，kZ¨Mexp(-■B0，kx-~C0，ky）·e（（θk）’βT-\'αTθk）q1+2\'βTC0，kΦ（dk（x，y））-Φ（dk（x，y））-E-~C0，k（\'z）Φ（dk（x，y））-Φ（dk（x，y））!f（y）f（x）dydx#，（100），其中我们使用了（96）和（97），（98）。ii）对于（x，y）∈“-mc我们可以得出与案例1）完全相同的结论，通过将i）和ii）中的两个表达式相加，我们也可以得到案例2）的陈述。参考资料。博梅蒂、D.布里戈、M.方济各和A.帕拉维奇尼。抵押贷款下信贷估值调整中多笔交易动态的影响。预印本，arXiv:1507.087792015。D.布里戈和F.莫丘里奥。利率模型——理论与实践。斯普林格，第二版，2006年。D.布里戈、A.帕拉维奇尼和D.佩里尼。融资、抵押品和对冲：揭示融资估值调整的机制和微妙之处。预印本，arXiv:1210.38112012。D.布里戈、M.莫里尼和A.帕拉维奇尼。交易对手信用风险、抵押品和融资：所有资产类别的定价案例。威利，2013年。L.Chen、D.Filipovi\'c和H.V.Poor。无风险和可违约利率的二次期限结构模型。数学金融，14:515–5362004。S.克雷佩。融资约束下的双边交易对手风险——第二部分：CVA。数学金融，25（1）：23-502015。S.克雷佩和R.杜阿迪。信用和流动性。《风险》杂志（6月）：82-862013。S.Cr\'epey、Z.Grbac和H.N.Nguyen。

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