这是因为当状态切换时，and会发生显著变化（（T，L）=（1，L）是一个牵引固定点）。0.250.300.350.402000 2002 2004 2008 2010 2014时间（年）TFitted distribution Median（点估计）（b）作为时间函数的校准分布。信任度略微增加到由k和t、 图10：杠杆和信任的校准分布。浅红色阴影用于区分状态1和2，并显示状态之间的切换事件。这些状态是由模型内生决定的。概率分布以不同的蓝色阴影显示。黑线表示中值（点估计）。6结论基于经济变量（i）资产，（ii）杠杆和（iii）信任，提出了一个宏观经济模型。使用这三个变量的主要动机是关注信贷在经济增长动态中的作用，并研究信贷如何与经济绩效和信心相关联。基本经济关系和假设被用来描述这三个变量的联合动力学。资产、杠杆和信任之间的相互作用已在杠杆/信任中介绍。资产、杠杆和信任模型已被讨论。第一个值得注意的洞见是与耐心相关的奖惩机制，因为首先建立信任，然后增加杠杆的患者经济会得到积极的回报。我们也可以在稳定状态下成长：一个经济体可以在短期内经历债务增长超过固定增长的过渡状态，然后再收敛到最有利的长期状态。对经济增长产生负面影响的冲击。

因此，与外生转移相关的制度变迁代表了经济参数的突然变化，这是危机的结果，或是干预的结果——长期资产回报率和最大资产价值。当然，这样做的代价是，在干预发生之前，要从危机中获得更长时间的支持。延迟干预对实现高长期资产回报最有效的现象可以归因于延迟干预会首先增加信任，而在信任度较高时进行干预最有效。这些结果来源于我们的第一个假设，即当信任高于杠杆时，信任倾向于增加，同时我们的第二个假设是，经济代理人使用附录A等式（17）中体现的最佳学习，即在给定的信任水平和资产量下，债务的利用率。用不太理想的学习放松这一点可能会导致更复杂的动力学，这将在后续出版物中研究。我们还根据经验数据对模型进行了校准。基于我们控制资产、杠杆和信任动态的微分方程的欧拉离散化，提出了一种校准装置。通过为息税折旧摊销前利润/资产比率指定马尔可夫转换模型，该模型被证明非常成功地拟合了2000-2013年期间欧洲斯托克50指数股票回报率的经验数据。研究发现，在与危机相对应的州，杠杆的合理分配有所减少，而在另一个经济增长州，杠杆的合理分配有所增加。在信任变量的校准分布中，可以观察到信任没有降低的时间。

这也是theT>LT<L）和最优债务水平最优学习假设的结果。所给出的图表还表明，杠杆和信任的动态可以是高度非单调的曲线轨迹，这是变量之间非线性耦合的结果。这对政策制定者有着重要的意义，表明简单的线性预测可能会在某些政权中具有欺骗性，并可能导致不当的政策决策。附录a杠杆作为信任函数的封闭式解决方案（25）（26）将概述推导过程并提供结果。导出闭式解的第一步是将公式（25）除以公式（26）：dLdT=T（1- （T）~g- ~rL+~a（1）- 五十） 一,- T+（1）- 五十） T. （37）关于β和L，等式（37）由以下公式给出：dLdT=T（1- （T）βL- L1- T+T（1）- L）, （38）=βT·L- 1(1 - （T）+βT（1）- T）+1- T(1 - 五十） 。(β 6= 0, ±∞) （39）式（39）是一阶线性微分方程。求解等式（39）得到：L（T）=1- K（1）- T）1+βTβe-β1-T+（L- 1)β1 + β+1 - T1+β+β1+βT（1- T）Z（1）- y） β+1e-βT1-泰迪, （40）其中K是积分常数。B定理1-3B的证明。1固定点和雅可比矩阵的确定固定（静止）点为集合（T，L），其中ldτ=0，dtdτ=0。根据等式（26）和等式（22）（它们是有效的fork 6=0），可以得出轴T=Land点（T，L）=（0，L）满足该条件。此外，（T，L）=（1，L）是一个固定点。为了说明这一点，考虑（14）、（18）、（16）T=1的无量纲时间：爸爸τT=1=~gA- ~rD+dDdτ，dDdτT=1=~a（a- D） +dAdτ，dTdτT=1=0，（41）so:dTdτ=0（根据分类为固定点的要求），可以将系统（41）的第一个方程替换为第二个方程，以确定在什么条件下允许解：dAdτ=~gA- ~rD+~a（a）- D） +dAdτ（42）<=> L:=D/A=~g+~A ~~r+~A=g+ar+A:=L。

（43）总而言之，固定点是：轴T=L、点（T，L）=（0，L）和点（T，L）=（1，L）。现在，为了能够分析固定点的稳定性，定义：=dTdτ和G:=dLdτ。此外，假设（T*, L*) 是一个任意的固定点。现在（T，L）的线性系统接近（T）*, L*) 可以用定点附近的泰勒展开表示：dTdτ=h（T*, L*) + （T）- T*) ·HTT*,L*+ （L）- L*) ·HLT*,L*+ . . . , （44）dLdτ=g（T*, L*) + （T）- T*) ·GTT*,L*+ （L）- L*) ·GLT*,L*+ . . . . （45）注意：h（T*, L*) =dTdτT*,L*= 0和g（T*, L*) =dLdτT*,L*= 0（点（T*, L*) 定义为固定点），因此得出的系统如下所示：dTdτdLdτ=HTT*,L*HLT*,L*GTT*,L*GLT*,L*T- T*L- L*, （46）其中，2×2矩阵是在固定点（T）处计算的雅可比矩阵*, L*).雅可比矩阵J在其最一般的变体中由以下公式给出：=JJJJ=TdTdτLdTdτTdLdτLdLdτ, （47）在这种情况下（使用等式（26）和等式（22））：J=J（T，L）=“（2T- 五十） （1）- （T）- T（T- L）-T（1）- T）（1）- 五十） hβL-L（1）-T）+2T- 锂-βL+T-2L1-T- T（1+T）- 2L）#。（48）式（48）中的雅可比矩阵可用于确定固定点的（线性）稳定性。B.2 T=L分析：稳定性和可烘焙性在T=L时评估的雅可比矩阵（等式（48））由以下公式给出：J（L，L）=“L（1- L）-L（1）- 五十） （1）- 五十） hβL-L（1）-五十） +李-βL-L1-L- L（1）- 五十） #。（49）特征值（表示为λ，λ）为：λ=0，λ=x+y=-βL-L（1）-五十） 。矩阵xj（L，L）的本征值可以通过求解λ的以下方程来计算：det（J（L，L）- λI）=0，其中I是单位矩阵。这两个特征值都是实的。

如果两个特征值均为负值，则axisT=Lis吸引/稳定，λ遵循该值（假设L∈ [0,1]和β>0:（对于L<L，轴T=L是有吸引力的。对于L>L，轴T=L是排斥的。注意，上面的意思是，如果G>r（那么：L>1），轴T=L对L是完全有吸引力的∈ [0, 1].Roa轴T=L上相应的无量纲资产回报率由以下公式得出：)rA | T=L（27）=)g1- L- ~rL1- 五十、 （50）<=> ~rA | T=L=~g+L1- L（~g）- ~r）（28）=~rE。（51）从公式（51）可以看出，在axisT=L上，权益回报率和资产回报率相等。这一结果在经济学上是直观的。axisT=Lis是一个稳态轴，它描述了长期行为。因此，结果可以解释为，从长期来看，金融投资的回报率（即股本回报率）应等于经济增长率（资产回报率）。这与Sornette和Cauwels（2014）和Dalio（2015）的推理一致。通过将等式（51）表达如下：rA | T=L=r+（g- ■r）1- 五十、 （52）关于式（52）中的L，L（52）L | rA | T=ll给出：ddL | rA | T=L=| g- ~r（1）- 五十） ，（53）表示：如果<<g>r（<<g<r），则：<<rA | T=lin增加时增加（减少）。当~~g=~rthen ~~rA | T=Lis常数时。请注意，轨迹永远不能在axisT=L上移动（因为axisT=L上的点处于稳态）；然而，该结果对于比较T=L.B.3（T，L）=（0，L）轴上的不同稳态点是有用的。分析：稳定性和可烘焙性在T=0，L=Li时评估的雅可比矩阵（等式（48））由以下公式给出：J（0，L）=-L-(1 - 五十） LβL, （54）特征值λ=-五十、 λ=βL。特征值的符号相反。

因此，平稳点是鞍点，这是不稳定的。Roa固定点（T，L）=（0，L）的无量纲资产回报率由以下公式得出：rA | T=0，L=L（27）=g- ~rL- 铝=-~a，（55）是负值，因为~a>0。B.4（T，L）=（1，L）分析：稳定性和烘烤性为了研究（T，L）=（1，L）点的稳定性，不可能考虑∝1.-然而，通过分析，可以证明（T，L）=（1，L）是一个吸引人的固定点。为此，考虑从点T=1:T=1+T、 （56）在哪里t消除扰动。然后通过插入公式（56）和L=Linto公式（26），得到以下公式：dTdτ=-T·T+（1）- L）(1 + （T）≈ -T·T+（1）- L）≈ -T·（1）- 五十） ，（57）如果采用一阶近似值（与Tor更高阶项（未选择）。通过分离变量并积分公式（57），可以发现：T=Ce-(1-五十） τ（58）T→τ → ∞L<TL<（43）表明L=Lis是L唯一允许的解，因此，如果L<1，则：（T，L）=（1，L）是一个有吸引力的执行点。要确定固定点（T，L）=（1，L）的无量纲资产回报率，请注意等式（27）也可以表示为：~rA=-~a+βL- L1- T+（T- 五十） T.（59）T→（40）到达：L（T）=L- K（1）- T）1+βTβe-β1-T+（L- 1)(1 - （T）-β+Z（1）- y） β-1e-βT1-泰迪. （60）现在可以将等式（60）替换为等式（59），以获得：~rA=-~a+βK（1）- T）βTβe-β1-T+（1）- L）-β+Z（1）- y） β-1e-βT1-泰迪+ （T）- 五十） T，（61）因此：limT→1rA | L=L=-~a- β(1 - 五十） β+（1）- 五十） =-a.（62）参考Bacchetta，P.，Perazzi，E.，和Van Wincoop，E.（2015）。自我填补债务危机：货币政策真的能帮上忙吗？（编号：w21158）。国家经济研究局。内政部：10.3386/w21158。伯南克，B.S.，和格特勒，M.（2001）。央行应该对资产价格的变动做出反应吗？。《美国经济评论》，91（2），253-257。

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