我们还假设存在一个漂移为r的无风险资产。我们假设我们选择一个控制a，这是一个逐步可测量的过程，位于一个紧集a中，代表n个风险资产的投资组合百分比。例如，我们可以选择：=A.∈ Rn | a>σa≤ L对于对应于硬投资组合风险上限的常数l。通过这种设置，我们的投资组合价值Z通过SDEdZAtZAt=hr+A>t（u）进行演变- r1）idt+A>t∑1/2dWt。为了简单起见，我们考虑投资组合的对数值，XAt:=log ZAt，这可以被视为求解dxat=r+A>t（u）- r 1）-A> t∑Atdt+A>t∑1/2dWt。在不丧失一般性的情况下，我们假设ZA=S=1。然后，XA=0，我们可以将XA解释为截至时间t的投资组合的对数回报。在本节中，我们考虑最小化平均CVaR目标的问题：infA∈A.E-XAT+ λCVaRα-XAT（5.1）对于固定λ>0和α∈ (0, 1). 通过改变λ，我们可以计算预期对数收益和损失CVaR之间的有效前沿的子集。5.2通过梯度下降求解根据第3节的结果，问题（5.1）相当于双层优化∈RV（y），其中v（y）：=infA∈AEf（g（XAT），y）.条件风险值的最优控制这里，我们取g（XAT）=-XATandf（x，y）：=x+λy+1- α（x）- y）+.我们可以查一下A 7→ g（XAT）几乎肯定是凸的，f是凸的且不递减的inx。因此，假设3满足，即（A，y）7→ f（g（XAT），y）是联合凸的。然而，假设1和假设2都可能被违反。因此，我们需要应用第4节的近似值，然后才能继续使用建议的梯度下降法。定理7。

无论如何 > 我们有f（g（x），y）isf的inf卷积（g（x），y）：=-x+λY-x+y1-α-α1-αλ 对于x+y<-α1-αλ2.（y+x）- （1+λ）x表示-α1-αλ ≤ x+y≤ λ-x+λy-λ 对于x+y>λ.如果我们也考虑扰动动力学，t=r+A>t（u）- r 1）-A> t∑Atdt+A>t∑1/2dWt+ d^wt与扰动值函数v（y） ：=infA∈^AEhfg（^XA，T） ，yi、 然后假设1-3都成立，我们可以应用第3节的梯度下降法来最小化V. 此外，还存在一个常数C，它只依赖于μ，r，∑，λ，α和| V（y？）的Asuch- 五、（y？)| ≤ C有什么好消息吗？∈ RMV使V最小化那你呢？∈ RMV使V最小化。证据很简单，但很乏味。验证f的建议表达式是最小化分段函数的练习。我们检查f满足假设1，新的动态明显满足假设2，通过检查示例3中的效率条件，它们一起满足假设3。最后，将第4.1节和第4.2节中的误差范围结合起来，得出误差范围。备注4。在这个定理中，我们使用一个参数，, 对于这两种近似方案。在实践中，我们可以修改这个结果，为每个方案使用单独的参数。这可能有助于分离由于每种近似而产生的数值误差。5.3数值结果：有效前沿的计算在本节中，我们考虑一个具体的例子，涉及在代表美国股票指数的单一风险资产和无风险资产之间进行选择。当使用最优动态策略时，我们计算了代表预期原木收益和CVaR之间权衡的有效前沿。为了进行比较，我们在限制静态策略时将其与有效前沿进行比较，即。

策略A随时间变化为常数，代表固定的杠杆率。条件风险值的最优控制22近似参数（ε）10-710-610-510-410-310-2目标中的相对误差10-710-510-310-1101数值理论图1：相对误差| V（y？）- 五、（y？)| 在目标中。我们比较了第4节中提供的数值误差（实心）和理论误差界（虚线）的显式计算。在我们的例子中，我们选择u=11%、σ=20%和r=1%作为市场参数。我们将我们的时间范围设定为T=1，并将我们的杠杆率限制在A=[-6, +6].最后，我们考虑α=95%阈值下的CVaR。对于每个固定λ>0，我们使用第5.2节概述的技术解决相应的动态平均CVaR优化问题。图1显示了定理7中描述的近似模式的收敛性示例，与相应的理论误差范围进行了比较。这说明了近似相对误差随近似参数的变化呈线性下降.我们通过在区间（0，1）内改变λ来计算预期对数收益率和CVaR之间有效边界上的点。在λ的每个值处，我们通过求解类似于（3.8）的线性抛物方程来计算最优控制下的预期对数收益率。然后，我们使用预期对数收益率和平均CVaR目标计算相应的CVaR。由此产生的边界如图2（实线）所示。为了进行比较，我们将相同的优化问题限制在静态控件的子集合中，定义为静态：={a∈ A|A.∈ A使得A（t）=A代表所有t∈ [0，T]a.s.]。这些策略代表了稳定的杠杆投资组合。其中一个重要的例子是“买入并持有”策略，例如A（t）≡ 1.

在这类控制下，数据是正态分布的。因此，我们可以直接计算最优策略并构建有效边界。这一选择大致相当于1928年至2014年期间标准普尔500指数（包括股息再投资）年度回报的历史算术平均值和标准差。然而，我们强调，在本例中，不应过于重视参数的正确选择。我们选择该范围大致对应于符合条件的美国投资者通过投资组合保证金政策可以实现的最大杠杆，如中所述http://www.菲娜。组织/行业/投资组合利润常见问题解答。在实践中，严格的限制取决于投资者类型和用于投资的金融工具。我们强调，此选择仅用于说明。我们对偏微分方程（3.6）和（3.8）使用有限差分求解器。在求解梯度偏微分方程[18,5]时，我们采用迎风方法来获得单调模式。关于离散化参数的选择，很难做出任何定量的陈述。然而，我们注意到近似参数，, 与有限差分法中使用的网格间距或f和f之间的差异相比，不应太小将变得无法解决。我们强调，可以选择使用最优反馈控制a？进行蒙特卡罗模拟？（t，x）以获得预期对数收益和CVaR的估计值。

有关计算有效边界上点的标量化方法的更多信息，请参见[11]。条件风险值的最优控制23预期对数回报率（%）2 4 6 8 10 12 14对数回报率的CVaR（%）02046080动态统计图2：平均CVaR投资组合优化的有效边界，表示最大化预期对数回报率和最小化CVaR之间的可能差距，通过改变λ∈ （0，1）.对数收益率（%）-60-40-20 20 40 60 80 100概率（%）020406080100DynamicStatic图3：当遵循静态买入持有策略和实现相同预期对数收益的最优动态策略时，Xta的累积分布函数。在图2中，我们比较了动态策略和静态策略下的效率边界。我们发现，与静态杠杆策略相比，通过采用动态杠杆策略，我们可以显著降低95%分位数的CVaR，同时保持相同的预期对数回报。类似地，我们可以在使用动态策略保持相同CVaR的同时增加预期日志返回。例如，静态买入并持有策略A（t）≡ 1的预期对数回报率为9%，CVaR约为32%。通过采用具有动态杠杆的策略，我们可以在保持相同预期日志收益率的情况下将CVaR降低约50%，或者在保持相同CVaR的情况下将预期日志收益提高约30%。接下来，我们将注意力转向最优动态控制的统计和定性性质以及由此产生的回报。在图3中，我们展示了在最佳动态控制下的累积分布函数（CDF），对应于9%的预期对数收益率。我们将其与买入并持有策略下的CDF进行比较，后者遵循正态分布。

虽然这两种分布具有相同的预期值，但与最佳动态策略相对应的分布在上行具有显著的胖（右）尾，在下行具有有效（左）尾。我们将其归因于动态战略的（去）杠杆效应，即一旦“锁定”收益，它将显著增加杠杆，并将去杠杆对条件风险价值24次（年）0.2 0.4 0.6 0.8 1平均值的最佳控制。511.522.5时间（年）0.2 0.4 0.6 0.8 1日志回报率（%）-2002040608080 Portfoliostock（a）（b）图4：（a）股票价格的样本路径和相应的投资组合日志回报过程（XA？），和（b）相应的最佳杠杆过程（A？）。只有在需要时，才能阻止超过某个阈值的损失。图4所示的示例路径进一步强调了最优策略在锁定ingains后提高杠杆率的定性趋势。在这里，我们展示了一个股票价格的特殊示例路径（引用为对数回报），以及相应的最优动态增长过程，a？，以及由此产生的投资组合日志返回过程XA？。注意，股票价格对应于静态买入持有策略下的对数回报，A（t）≡ 1.我们观察到，在这段时间的早期，杠杆过程与整体投资组合收益同步增加或减少。然而，随着时间的推移，投资组合回报率为正，最优杠杆率在被限制在固定值之前显著增加。最佳策略通常不会在后期降低杠杆率，即使股价下跌，除非其风险降至图3所示的损失阈值以下。在图5中，我们展示了一个替代的样本路径，它强调了递增的平均值如何能够带来巨大的上行回报。

在这条道路上，杠杆过程？，随着投资组合承受初始损失，初始风险降低。然而，在这一时期的后半段，随着股票价格的上涨，杠杆率的增加会导致投资组合的回报显著超过买入并持有策略。正是这种从避免损失时的低杠杆向锁定收益时的高杠杆的转变，使得该策略能够保持较低的CVaR，同时最大化预期的日志回报。最佳动态策略倾向于保持杠杆高于静态策略，除非面临亏损，这也有助于解释图3中所示的偏差。由于动态战略可以选择降低杠杆率以止损，因此它可以显著降低CVaR，同时保持对高杠杆率的偏好，这有助于在积极结果中获得高额回报。然而，没有免费的午餐；在中性结果中，长期回报率和杠杆率之间的正相关导致投资组合价值从凸性下降[46]。从这个意义上说，最优动态策略与恒定比例的投资组合保险（CPPI）策略有许多定性特征[9]。这是有道理的，因为CPPI策略通常用于限制下行损失，同时使用动态交易保持上行收益。条件风险值的最优控制25时间（年）0.2 0.4 0.6 0.8日志回报率（%）-20020406080 PortfoliosTocktime（年）0.2 0.4 0.6 0.8平均值0。511.522.5（a）（b）图5：（a）股票价格的样本路径和相应的投资组合日志返回过程（XA？），和（b）相应的最佳杠杆过程（A？）。在本例中，我们选择只考虑单个风险资产，以便于解释策略。

然而，从第5.2节的一般性可以清楚地看出，我们可以对多个资产执行相同的计算，而不增加随机最优控制子问题中状态空间的大小。在多资产的情况下，额外的复杂性出现在需要在HJBin（3.6）的解决方案中的每一步解决一个具有更多决策变量的二次规划中。一致性极值风险度量建议11（一致性）。假设f:R×Rm的下列性质→ R保持：o正同质性和标准化：f（ax，ay）=af（x，y），对于a>0和infy∈Rmf（0，y）=0单调性：x7→ f（x，y）对于每个y都是不递减的∈ Rm；o次可加性：f（x+x，y+y）≤ f（x，y）+f（x，y）代表x，x∈ R和y，y∈ Rm；和o翻译：每一个a∈ R、 存在一个可逆函数φ：Rm→ rm使得forevery（x，y）∈ R×rm我们有f（x+a，y）=f（x，φ（y））+a。然后，函数ρ：L(Ohm) → 定义为ρ（ξ）：=infy∈RmE[f（ξ，y）]（A.1）是一个一致的（极值）风险度量。证据回想一下，连贯风险度量的四个属性是正同质性、单调性、次可加性和平移不变性[2]。下面我们将展示这些假设是如何来自于f的假设的。条件风险值的最优控制261。正齐性：我们直接计算ρ（aξ）=infy∈RmE[f（aξ，y）]=infay∈RmE[f（aξ，ay）]=a infy∈当a>0时，RmE[f（ξ，y）]=aρ（ξ）。当a=0时，ρ（0）=infy∈RmE[f（0，y）]=infy∈Rmf（0，y）=0.2。单调性：设ξ，ξ∈ L(Ohm) 这样ξ≤ ξ几乎可以肯定。那么，ρ（ξ）=infy∈RmE[f（ξ，y）]≤ 英菲∈RmEf（ξ，y）= ρ(ξ).3. 次可加性：固定ξ，ξ∈ L(Ohm). 我们计算ρ（ξ+ξ）=infy∈RmE[f（ξ+ξ，y）]=infy，y∈RmE[f（ξ+ξ，y+y）]≤ 英菲，英菲∈RmE[f（ξ，y）+f（ξ，y）]=ρ（ξ）+ρ（ξ）。平移不变性：让ξ∈ L(Ohm) 还有∈ R.那么ρ（ξ+a）=infy∈RmE[f（ξ+a，y）]=infy∈RmE[f（ξ，φ（y））+a]=ρ（ξ）+a.B定理的证明。

让y，y∈ Rmandθ∈ [0, 1]. 无论如何 > 0，让A，A∈ A可能是-次优控制，如V（y）+ ≥ Ef（g（XAT），y）和V（y）+ ≥ 通过假设3，我们得到v（θy+（1）- θ） y）≤ Ehf（g（XθA+）（1-θ） AT），θy+（1）- θ） y）我≤ Ehθf（g（XAT），y）+（1）- θ） f（g（XAT），y）i≤ θV（y）+（1）- θ） V（y）+.因为 是任意的，V的凸性如下。命题6的证明。回想一下，假设3表示映射（A，y）为7→ 几乎可以肯定，f（g（XAT），y）是联合凸的。我们观察到地图（A，y，z）7→ f（g（XAT），z）+ky- zk2几乎可以肯定，它是凸函数和的联合凸函数。因此，（A，y）7→ F（g（XAT），y）=infz∈Rmf（g（XAT），z）+ky- zk2几乎可以肯定的是，在定理2的证明中，由相同类型的论证联合凸。条件风险值的最优控制27参考文献[1]A.Ahmadi Javid和R.Malhamèe，条件风险值成本标准下多状态易失效制造系统的最优控制，J.Optim。理论应用。，167（2015），第716-732页。[2] P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath，一致性风险度量，数学。财务部。，9（1999），第203-228页。[3] P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku，一致多期风险调整值和贝尔曼原理，安。奥普。第152（2007）号决议，第5-22页。[4] V.Azhmyakov和J.Raisch，《带约束的凸控制系统和凸最优控制问题》，IEEE Trans。自动装置。《控制》，53（2008），第993-998页。[5] G.Barles和P.E.Souganidis，完全非线性二阶方程近似格式的收敛性，渐近。肛门。，4（1991），第271-283页。[6] N.B–auerle和J.Ott，具有平均风险值准则的马尔可夫决策过程，数学。冰毒。奥普。第74号决议（2011年），第361-379页。[7] E.Bayraktar和C.W.Miller，分布约束最优停车，arXiv预印本arXiv:1604.03042，（2016）。[8] T.比约克和A。

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