如果我们仅将高斯-厄米求积应用于半域（W≥ 电话和W≤ KT（对于put），则到期时的支付函数是一个简单的线性函数，不需要任何插值，我们发现GHQC计算可以根据需要精确，实际上仅受机器精度的限制。在上述测试中，我们没有利用这一特殊功能，因为它并不普遍适用。6.2 GMWB定价结果在静态投保人行为的情况下，退保金额在合同开始时预先确定。在这种情况下，可以模拟财富账户W（t）的路径，并使用标准MC模拟方法计算与GMWB签订的VA合同的价格。下面我们展示了静态和最佳退出案例的结果。静态情况下，可以比较MC和GHQC，进一步验证新算法。我们还实施了一种有效的有限差分ADI算法，用于在静态投保人行为或解决相应二维PDE的情况下，使用GMWB对VA进行定价。在下文中，GHQC方法的结果将与MC和ADI方法（如适用）进行比较。6.2.1静态保单持有人行为的GMWB在静态情况下，每个提款日期的提款金额是预先确定的。在这种情况下，在每个付款日期，跳转条件适用于单个解决方案（因此无需在担保账户a维度中设置网格）。由于每个付款日的取款金额都是已知的，因此可以用MC方法模拟潜在W的随机路径。这里我们将GHQC结果与MC和ADI方法的结果进行比较。表3显示了在静态退出策略下，VA和GMWB的价格作为相关性ρ的函数，比较了MC、ADI和GHQC之间的结果。

模型输入参数为σS=20%，σr=2%，S（0）=W（0）=1.0，r（0）=5%，g=10%，T=1/g=10.0，Nw=4（四分之一提取频率），α=0.006，κ=0.0349和θ=5%。Peng等人（2012）给出了使用类似参数的静态GMWB定价结果，并与MC模拟结果进行了比较，得出了价格的上下限估计。然而，这些结果适用于连续时间撤回的情况，而我们的结果适用于以四分之一频率撤回的离散时间。对于MC方法，我们使用了100万个样本路径，根据新测量下的闭合形式跃迁密度模拟，因此没有时间离散误差。对于ADI和GHQC，我们使用了两个网格，一个较粗，一个较细，其中较细的网格使r和X维度的节点数量加倍。对于ADI，让MAdenote为较粗的网格，对于X尺寸，M=200；对于r尺寸，K=50；对于M尺寸适用于M=400和K=100的ADI的腺纤维网。此外，每个时间段（连续提取之间）的时间步数设置为N当使用较粗的网格时，ADI的t=100，并且它是N的两倍t=200当使用细网格M时A.对于GHQC，较粗的网格表示为MG，M=50和K=30；对于GHQC，较细的网格表示为MG、 有M=100和K=60。对于米高梅和米高梅来说Gmeshes，我们在退出日期之间使用了一个时间步长，即t=1。对于正交点，我们使用q=5和q=3表示较粗的网格，d q=9和q=5表示网格。

请注意细网格MGfor GHQC总体上比MAfor ADI的粗网格粗得多。与金融衍生品定价所需的典型有限差分偏微分方程计算相比，净网格地理信息系统实际上非常粗糙。在表3中，MC结果旁边的括号中的数字是由于模拟次数有限而产生的标准误差，而对于ADI和GHQC，括号中的数字是与MC结果的相对差异。平均而言，MC的相对标准误差（标准误差除以估计平均值）为4.6E-4，对于MC结果作为比较不同结果的基础而言，这一误差非常小。如果一组数值结果与MC结果具有相同或更好的精度，则这组结果与MC结果之间的相对差异应与MC的相对标准误差在同一数量级。表3中的结果显示，对于较粗的网格MA，ADI和MC之间的平均相对差异约为9.2E-4，对于网格M，ADI和MC之间的平均相对差异约为6.9E-4A.相比之下，对于较粗的网格MG，GHQC和MC之间的平均相对差异约为5.6E-4，对于较细的网格M，GHQC和MC之间的平均相对差异约为3.7E-4G

这些相对差异表明，GHQC计算可能比ADI更准确，即使将较粗网格MG的GHQC结果与较细网格M的ADI结果进行比较A.表3：在不同ρ值的静态提取策略下，使用GMWB的VA价格。其他参数：σ=20%，σr=2%，S（0）=1.0，r（0）=5%，g=10%（T=1/g），Nw=4，α=0.006，κ=0.0349，θ=5%。ρMC ADI（MA）ADI（M）A） GHQC（MG）GHQC（M）G） 1.00532（4.9E-4）1.01295（5.8E-4）1.01295（9.8E-4）1.01295（9.8E-4）1.01236（4.0E-4）1.01236（4.0E-4）1.0136（4.0E-4）1.01295（9.8E-4）4）1.01236（4.0E-4）4（4-4）1.0E-4-4-4-4）1.01236（4（4）1.0.0-4（4-4-4-4-4-4）4-4-4-4-4-4）1.0.0.0.0 0 0 0 0-4（4（4-4-4-4-4-4）1.0-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4）0.0.0.0.0 0 945（4.4E-4）0.01.026177（4.8E-4）1.02675（5.6E-4）1.02592（2.5E-4）1.02625（7.9E-5）1.02613（4.6E-5）0.21.032256（4.8E-4）1.03289（6.1E-4）1.03249（4.6E-4）0.6 1.6 1.6 1.6 1.4 1.4 1.8 E-4）1.045171（5.8E-4）1.04407（4.3 E-4）1.04407（5.3 E-4）5.3-4（5.3 E-4）1.4（5.3 E-4）1.3（5.3 E-4）4）5.3（5.3 E-4）4）4（5.3（5.3 E-4）4）4（5.3（5.3 E-4）4）4）4）1.3（5.1.3（5.1.1.1.1.1.1.1.1.1E-3（1.1E-4）1.1.1.1E-3（1.1.1E-3-3）1.1.1.1.1.1E-3-3）3 CPU时间比较更令人印象深刻：对于ADI计算，对于Carser和Finer mesh，每种价格的CPU时间分别为1.0秒和7.6秒；而对于GHQC计算，粗网格和细网格的每价格CPU时间分别为0.02秒和0.24秒。换言之，与粗网格计算相比，GHQC的速度约为ADI的50倍，而与细网格计算相比，GHQC的速度约为ADI的30倍，同时实现了更好的精度。

只有使用细网格的GHQC结果的平均相对差异（相对于MC结果）小于使用一百万次模拟的MC的平均相对标准误差。此后，aE-b表示a×10-b、 表4：不同因子α和正相关ρ=0.3的静态退出策略下，VA和GMWB的价格。其他参数：σ=20%，σr=2%，S（0）=1.0，r（0）=5%，g=10%（即T=1/g），Nw=4，κ=0.0349和θ=5%。αMC-ADI（M）A） GHQC（M）G） 1.06434（2.2E-4）251.052354（5.0E-4）1.052354（5.0E-4）1.0554（5.0E-4）1.05154154（7.7E-4）1.05154（7.7E-4）1.05154（7.7E-4）1.05154（7.7E-4）1.7E-4（7-4）1.7（7-4）1.7E-4）1.7（7-4）1.7（7-4）1.7（7-4）1.7（7-4）1.7（7-4）1.7-4）1（7（7-4）1.7-4）1）1.7（7-4）1.7-4）1（7（7-4）1）1）1（7-4）1（7-4）1（7-4）1）1）4.6E-4）125 1.007269（4.7E-4）1.00653（7.3E-4）1.00716（1.1E-4）150 0.997382（4.5E-4）0.996316（1.1E-3）0.996993（3.9E-4）175 0.987463（4.4E-4）0.986501（9.7E-4）0.987222（2.4E-4）200 0.977950（4.3E-4）0.977069（9.0E-4）0.977835（1.2E-4）表5：不同因子α和负相关ρ=-0.3. 其他参数：σ=20%，σr=2%，S（0）=1.0，r（0）=5%，g=10%（即T=1/g），Nw=4，κ=0.0349和θ=5%。αMC-ADI（M）A） GHQC（M）G） 1.04495（1.5E-4）25 1.02059（3.6E-4）75 1.009109（5.0E-4）75 1.009109（5.0E-4）5.0E-4）5.0 0 0-4）5.0 0-4）75 1.009109（5.0E-4）5.0-4（5.0E-4）1.03274（1.8（1.8E-4）1-4）1（1.8E-4）1-4）1.8（1.8（1.8-4）1-4）1.8（1-4）1.8（1.8-4）1-4）1.8（1.0-4）1.0-4）1-4）1.0-4）1.0-4）1.0-4）1.009109（5（5-4）1.0-4）75 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0（2.7E-4）1250.9871583（4.8E-4）0.987377（2.2E-4）0.987531（3.8E-4）150 0.9770732（4.6E-4）0.977148（7.7E-5）0.977387（3.2E-4）1750.9673112（4.4E-4）0.967338（2.8E-5）0.967662（3.6E-4）200 0.9581683（4.4E-4）0.957938（2.4E-4）0.958343（1.8E-4）表4显示了在静态退出策略下，以基点（基点为0.01%）为单位的费用α的函数，带有GMWB的VA的价格。

相关性ρ固定在ρ=0.3，所有其他输入与表3的计算相同。对于ADI和GHQC，仅适用于A和M显示了Gare。MC的模拟次数以及ADI和GHQC的时间步数保持不变。在这种情况下，平均相对标准误差forMC为4.7E-4。ADI和MC之间的平均相对差异为8.4E-4，略大于MC标准误差。GHQC和MC之间的平均相对差异为2.5E-4，这是MC标准误差的一半。表5显示了与表4相同的结果，只是在ρ=-0.3. 在这种情况下，MC的平均相对标准误差为4.8E-4。NADI和MC之间的平均相对差异为2.1E-4，GHQC和MC之间的平均相对差异为2.3E-4，两者约占MC标准误差的一半。有趣的是，将Vasicek模型的结果与合同期内确定性利率设置为r（0）的情况进行比较。我们发现，对于表4中所示的测试用例，在ρ=0.3时，相关性为正，静态退出策略GMWB价格和随机利率比确定性测试价格大约2%，即价格比率约为1。02.然而，给定费用价格的微小差异并不意味着给定溢价的公平费用的微小差异。公平费用α是使初始溢价等于经济合同价格的费用，即Q（W（0），r（0），W（0））=W（0）。

对于表4给出的输入，我们发现，在s-To仓促利率下，GMWB的公平费用为143个基点，比95.8个基点的确定情况高出49%。另一方面，对于表5中ρ=-0.3，在随机利率下，静态提取GMWB的VA价格几乎与确定性利率对应的VA价格相同——平均而言，价格的相对差异约为3.5E-4，其大小与平均相对误差相同。在随机利率和确定性利率情况下，GMWB公平费用的相应相对差异仅为ab ou t0。2%，其数量级可能与费用中的数字误差相同。6.2.2最优取款下的GMWB通过数值验证GHQC算法的实现，我们接着对动态取款策略下的GMWB定价进行计算。请注意，对于dynamicstrategy GMWB定价，使用与静态str ategyGMWB完全相同的数值函数。在动态情况下，唯一需要做的额外工作就是简单地找到可能的取款价值之间的最佳金额，而在静态情况下，只考虑固定的取款金额。特别是，积分和跳跃条件应用程序在动态和静态情况下都使用相同的函数。表6是表4的动态策略对应项，即所有输入（模型参数、合同细节、网格、正交点和时间步长设置）相同，但计算用于动态取款。在本例中，保证账户A中的网格点数量为J=100。动态情况所需的额外输入是惩罚系数β，在以下所有计算中，该系数β=10%。

对于动态计算，一个简单的额外验证是将惩罚系数β设置得非常高，比如说β=50%，那么最优取款下的价格应该与静态取款下的价格相同，我们的数字测试确实证实了这一点。我们还展示了图2中确定性和随机利率情况下的价格比较。与静态提款情况类似，资产和利率之间存在正相关ρ=0.3，随机利率下动态提款GMWB的VA价格如表6所示：在负相关和正相关ρ的情况下，动态提款策略下不同资产的VA和GMWB价格。其他参数：σS=20%，σr=2%，S（0）=1.0，r（0）=5%，g=10%（T=1/g），β=10%，Nw=4，κ=0.0349，θ=5%。αGHQC（ρ=-0.3）GHQC（ρ=0.3）0 1.08348 1.1017325 1.06651 1.0836750 1.05107 1.0670775 1.03719 1.05184100 1.02484 1.03804125 1.01389 1.02558150 1.00408 1.01446175 0.995356 1.00463200 0.987673 0.996057比确定性固定利率设定为r（0）的情况下大约2%，即价格比率约为1.02。同样，给定费用价格的微小差异并不意味着给定溢价的公平费用的微小差异。

对于表6中给出的输入，我们发现在随机利率下，GMWB的公平价格为188个基点，比确定性利率下的公平价格136个基点高38%。与静态提款情况类似，在资产与利率之间存在负相关性的情况下，ρ=-0.3，与正相关的情况相比，随机利率下和确定性利率下的价格差异相对较小。现在，在ρ=-0.3时，这些差异平均仅为0.9%，远小于相关系数为ρ=0.3时的2%。然而，与静态撤回情况不同，ρ的e=-0.3随机利率和确定性利率之间的价格差异可以忽略不计（数值误差较小），0.9%的差异仍然显著（估计的相对数值误差约为0.01%），导致公平费用的显著差异。我们在ρ=-0.3，随机利率下的公平利率为161基点，比确定性利率（136基点）高出约19%。正如预期的那样，在相同网格和时间步长的情况下，这些动态撤回案例计算的CPU时间比静态撤回案例的CPU时间要长得多。表6中计算价格的平均CP U时间约为每种价格39秒，相比之下，在相同网格和时间步长的静态提取情况下，每种价格的平均CP U时间为0.24秒。这些CPU的比率约为160，这是合理的，因为对于带牵引的静态情况，我们不需要跟踪（X，r）中的单一二维解，而对于动态牵引情况，我们必须跟踪a中所有节点的J=100的SUCH解。

此外，在每个提款日期，必须执行所有可能的跳跃，以便在（X，r，A）sp ace中找到每个网格点的最佳提款金额，与0.960.9811.021.041.061.081.11.120 0.005 0.01 0.015 0.02D潜在相关性固定利率负相关图2：最优取款和随机利率下的VA与GMWB的价格ρ=0.3和ρ=-0.3. 其他参数与forTabl e 6相同。（X，r）空间中每个网格点只需要一次跳转的静态退出情况。7结论在本文中，我们发展了一种新的直接积分方法，用于在随机利率的情况下，在静态和动态（最优）投保人行为下，有担保的VA的定价。以债券价格为基数，推导了相关状态变量lns（t）和r（t）的闭式二元转移密度。在新的度量下，所需的期望值被简化为二维积分，该积分可以通过使用高斯-埃尔米特求积的二维数值积分轻松计算，从而为求解递归Bellman方程提供高效的向后时间步长。光谱旋转方案保持了关于二元ran dom场主轴的对称性，产生了稳健而准确的求积应用。利用有限网格上（X（t），r（t））的二维cu-bic样条插值来提供求积所需的连续函数。适当的跳转条件适用于每一个具有提取日期的情况，以便做出最佳提取决策。通过与存在封闭形式解析解的Eu-ropean期权定价以及MC和PDE方法可以提供良好基准解的静态退出GMWB定价进行比较，该算法得到了令人信服的验证。

数值试验表明，所提出的HQC方法的精度至少与典型的ADI有限差分模式兼容，但它更稳健，速度更快。对于动态的drawal GMWB定价，使用新算法我们得到了一些有趣的结果，我们认为这些结果是文献中新发现的。当潜在风险资产与利率之间的相关性为正时，GMWB价格或等效于随机利率下的费用明显高于确定性利率的情况。在特定的测试问题中，当ρ=0.3时，随机利率情况下的费用比确定性情况下的费用高约40%。当相关性为负时，差异仍然显著，但远小于正相关情况下的差异。当相关系数为负值时，随机利率情况下的费用比确定性情况下的费用高约20%-0.3. 另一方面，静态取款定价的情况存在显著差异：在负相关情况下，随机和确定性设置之间的GMWB价格和费用差异几乎可以忽略不计。在本文中，我们重点讨论了一个非常基本的GMWB结构的定价。然而，所提出的算法可以很容易地适用于定价其他VA保证和解决类似的随机控制问题，其中两个状态变量可能受到控制的影响。

用单一的潜在风险和随机利率为亚洲、巴西和其他金融衍生品定价的应用非常简单。此外，应该可以将算法扩展到以下情况：基本的二元变换密度在闭合形式b中未知，但其矩已知，类似于inLuo和Shevchenko（2014）针对一维问题开发的算法；这是未来研究的主题。8确认该研究得到了CSIRO莫纳什退休金研究集群的支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、华威大学和退休系统利益相关者合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。S（t）、r（t）和Y（t）=Rtr（u）的联合分布考虑了S（t）和r（t）的概率测度Q和相应的随机过程由（1）给出，以及通过Radon-Nikodym导数EZT=deQdQ得到的新概率测度EQFt=M（0）M（t）P（t，t）P（0，t），t∈ [0，T]。（30）这里，M（t）=eRtr（τ）dτ是货币市场账户，P（t，t）=EQ[e-RTtr（τ）dτ]是T到期债券。特别是，很容易看出ZT>0且EQ[ZT]=1，这种测量的变化导致任意函数f（S（T），r（T））EQhe的以下公式-RTr（u）duf（S（T），r（T））i=P（0，T）EeQ[f（S（T），r（T）]，假设这些期望存在。可以说，我们将货币市场账户M（t）的num’eraire改为t到期债券P（t，t）。

利用It^o的公式，可以从债券价格P（t，t）到bedZt=φ（t）ZtdB，φ（t）=-σrBt，T，其中Bt，T=（1- E-κ（T-t） ）/κ，而Girsanov定理给出了对维纳过程B（t）=φ（t）dt+deB（t）的相应变换。因此，S（t）和r（t）的过程为t提供了新的测量方法∈ [0，T]aredS（T）/S（T）=（r（T）+σSρφ（T））dt+σSρdeB（t）+p1- ρdeB（t）,dr（t）=κeθ（t）- r（t）dt+σrdeB（t）；eθ（t）=θ+σrκφ（t）（31），具有独立于eb（t）和b（t）的维纳过程。在这一节中，我们推导了给定S（0）和r（0）在新的概率测度Eq下LNS（t）和r（t）的联合正态分布。我们还推导了债券价格、欧洲香草价格公式，以及ln S（t）、r（t）和Y（t）=Rtr（u）du的3d联合正态分布，条件是S（0）和r（0）在测量Q下。最后一个公式有助于验证测试，以模拟和计算合同支付，无时间离散误差。这些公式中的一些可以在文献中找到，例如参见（凯恩斯，2004，附录B1和第4.5节），了解瓦西塞克模型下的债券价格和（r（t），Y（t））分布，但为了完整性和符号一致性，这里给出了这些公式。下面导出的均值和协方差公式可用于模拟给定的（S（tn），r（tn-1） ，r（tn-1)). 一个人只需要设置t→ tn- tn-1，T→ T- tn-1和r（t）→ r（tn）-1） ，S（0）→ S（tn）-1） 在这些公式中。

获得计算（tn）上的期望值（15）所需的均值和协方差公式（19）-1，tn）必须设置t=t→ tn-tn-1减去α×（tn-tn-1） 从lns（tn）的平均值得到lnw（tn）的平均值。A.1 r（t）的分布给定r（0）的利率r（t）的解，其过程在等式（16）下，isr（t）=r（0）e-κt+e-κtκZteθ（τ）eκτdτ+σre-κtZteκτdeB（τ）（32），可以通过表示Ht=RteκτdeB（τ），r（t）：=g（t，Ht）直接检查，然后使用It^o公式计算dr（t）=dg（t，Ht）以获得（16）中的过程dr（t）。因此，以r（0）为条件的r（t）来自正态分布，其ur（t）：=平均值（r（t））=r（0）e-κt+e-κtκZteθ（τ）eκτdτ，var（r（t））=σr2κ1.- E-2κt.（33）在时间常数θ的情况下，简单积分y ieldsur（t）=r（0）e-κt+θ1.- E-κt+σr2κ(1 - E-2κt）e-κ（T-（t）- 2(1 - E-κt）.对于测量值Q下的风险中性过程（1），应将上述ur（t）公式中带有因子σrin的最后一项设置为零，且无需更改方差。A.2 Y（t）=Rtr（u）的分布使用r（t）的解（32），在概率测量下直接计算Y（t）=Ztr（τ）dτ=Ztur（τ）dτ+σrZte-κτdτZτeκsdeB（s）ds=Ztur（τ）dτ+σrZtdeB（s）Ztse-κ(τ -s） dτ=Ztur（τ）dτ+σrκZt（1- E-κ（t-s） deB（s），（34），其中通过改变积分顺序简化了涉及eb（t）的二维积分。