融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价

2022-5-10 20:18:43

然后，在2008年短短的一个月（9月7日至10月8日）内，八家主流金融机构经历了严重的信贷事件，痛苦地提醒人们，即使是大型金融机构（房利美、房地美、雷曼兄弟、华盛顿互惠银行、Landsbanki、Glitnir和Kaupthing等八家机构，我们也可以将美林加入其中）也存在违约风险。这场危机的爆炸性表现之一是ZF指数掉期（OIS）利率和伦敦银行同业拆借利率之间的突然差异，表明银行间市场存在信贷和流动性风险。这迫使交易商和金融机构重新评估Otoc索赔的估值，导致对其账面价值进行各种调整。很难公正地对待有关此类估值调整的全部文献，因为它们将学术界和实践者平行发展的两条主线交织在一起。有关估值调整和所有相关参考资料的完整介绍，请参阅eitherBrigo等人[2013]或Cr\'epey等人[2014]的第一章。在这里，我们将只总结与这项工作最相关的特性。首先，由于交易对手可能违约，信用估值调整（CVA）将交易价值与经销商承担的预期成本进行修正。CVA已经存在了一段时间（例如，见Brigo and Masetti[2005]），其最复杂的版本包括信用迁移和评级转换（例如，见Bielecki and Rutkowski[2015]）。第二，借记估值调整（DVA），即从交易的另一方看到的CVA，由于卖方可能在交易结束前违约的情况，用对经销商的预期收益修正价格。后一种修正可能会导致争议，当经销商的信用质量恶化时，可以记录争议。

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2022-5-10 20:18:46

例如，花旗集团在关于2009年第一季度收入的新闻稿中称，“收入还包括[…]衍生工具头寸的净25亿美元正CVA，不包括单一险种，主要是由于花旗的CDS利差扩大”。FASB的会计准则接受DVA，而巴塞尔委员会在风险计量领域不承认DVA；例如，有关详细讨论，请参见Brigo等人[2013]。除此之外，DVA很难对冲，因为这将涉及对自身的保护。因此，利差风险通过代理套期保值进行套期保值，即在被认为与自己银行相关的名称中进行交易，但这无助于跳转至违约风险；再次参见Brigo等人[2013]的讨论。在实际市场中，CVA和DVA通常是在大型净额结算集上计算的。因此，为大型投资组合研究此类数量可能很重要；例如，见Bo和Capponi[2013]。最近，引入了融资估值调整（FVA）。这是由于交易资金成本而导致的价格调整。交易台通过与市场上的其他交易商进行套期保值来支持与客户的交易，这可能涉及在代理套期保值时，在标的资产、现金或其他相关资产中维持多个套期保值账户。通常，这些业务所需的资金从经销商的内部资金中筹集，最终从外部资金中筹集。需要涵盖所有相关借贷活动的利息费用，并将其添加到估值中。2014年1月14日，迈克尔·拉波波特在《华尔街日报》上报道，融资估值调整导致摩根大通在第四季度业绩中损失了15亿美元的注资、回购和信用包容性估值。

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2022-5-10 20:18:49

最近，人们开始讨论资本估值调整（KVA），因为为了能够交易，必须留出资本成本。我们将不在这里讨论KVA，因为即使是它的定义目前也在行业内受到激烈的争论。所有此类调整可能涉及场外（OTC）衍生品交易和通过中央结算所（CCP）进行的衍生品交易，例如，参见Brigo和Pallavicini[2014]对两种情况的比较，在可能不对称的初始和变动保证金、融资成本、，研究了清算延迟和信用缺口风险，得出了BSDE和半线性偏微分方程。值得指出的是，即使是在危机后，此类衍生品市场的规模仍然相当重要。2012年底，据报道，未偿付场外衍生品合约的市值为24.7万亿美元，名义价值为632.6万亿美元（国际清算银行，2013年）。即使许多交易现在被抵押以避免CVA过度，传染和缺口风险仍可能导致重要的剩余CVA，正如Brigo et al.（2013）的信用违约掉期交易案例所示。正如我们前面提到的，在存在所有这些影响的情况下，严格的估值理论可能会相当困难，导致基于先进数学工具（如半线性模型或BSDE）的模型，这使得数值分析变得困难且缓慢。参见El Karoui等人[1997]的例子，了解不对称的利率，即使在没有信用风险的情况下，如何导致BSDE。Brigo et al.[2015b]和Bichuch et al.[2015]的论文讨论了存在上述所有影响和风险（KVA除外）的估值方程的数学分析。

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大多数88

2022-5-10 20:18:52

Bi ffis等人[2016]分析了人寿保险合同领域的此类影响，尤其是长寿互换。分离和计算每个单独的调整是困难的，因为它们在定价中有明显的相互作用。因此，这些调整的原因在合同支付水平上进行了说明，由此产生的全包价格是作为上述类型高级数学问题的解决方案编写的。有没有一种情况，即使是简单合同，也可以通过分析计算出无抵押合同的全包价格？我们在这里给出一个肯定的答案。更具体地说，我们表明，对于标准基准产品，上述数学挑战结构可以在几个简化假设下解析求解。在没有这些调整的情况下，该解决方案用标准衍生工具使用的相同明确公式表示，即股息支付资产脆弱期权的布莱克-斯科尔斯定价公式。这就为基准产品的全包价格提供了一个封闭形式的解决方案，即易受攻击的看涨期权，从而能够从数值的角度分析所有这些影响。这种与大家熟悉的布莱克-斯科尔斯公式的联系可能会延伸到大部分市场参与者和交易者身上，因为非线性估值的全部数学复杂性和相关的非线性估值调整（NVA）往往会让他们感到沮丧，见Brigo等人[2016a]。本文的结构如下。第2节研究了使用与债券同名的CDS合同复制可违约债券的情况，特别强调了违约时间所需的假设。在第3节中，复制方法用于推导预设定价函数满足的PDE。

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何人来此

2022-5-10 20:18:56

我们证明，这种偏微分方程与Bielecki等人[2005]使用马尔廷格尔测度方法得到的偏微分方程是等价的。然后，当标的股票支付股息时，该偏微分方程的解表示为Black-Scholes价格，但适当选择了反映套期保值者融资成本的参数。在第4节中，帕拉维奇尼等人4布里戈、布埃斯库、鲁特科夫斯基[2011]、布里戈和帕拉维奇尼[2014]和布里戈等人[2015b]提出的调整后现金流量法用于通过调整后贴现现金流量的预期值获得同一项目的价格；我们证明了它在Black-Scholes公式中的表达式与第3节的复制/PDEAP方法完全相同。Black-Scholes分红公式的吸引力在于它的易处理性，能够对融资、回购利率和信用利差方面的价格进行敏感性分析，如第5.2节“使用CDS合同复制可违约债券”所述。在本节的预备部分中，我们讨论了带有融资账户和交易CDS的简单模型中的可违约债券估值问题。特别强调了数学假设，包括常用的复制参数，这些假设在现有文献中经常被忽略。2.1可违约债券价格的动态假设我们希望在金融市场中复制一种零回收可违约债券，该债券的发行公司有一个利率为Ft（国库券利率）的未固化融资账户和一个市场CDS（即tradedat零价格）。CDS的溢价部分被假定为支付一个持续、持续的时间市场利差RCD，而保护部分则在债券违约时支付一个，除此之外没有其他。回想一下，市场利差是通过将保护段的价值与溢价段的价值相等来计算的。

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mingdashike22

2022-5-10 20:18:59

正如我们将在第2.2节中所展示的，关于市场利差的现有假设可能只适用于现实世界概率下违约时间概率分布的特定假设。在T到期的零回收可违约债券的价格过程B根据点过程J给出，当违约发生时，点过程J跳到1，否则保持为零。具体而言，wehaveBt=1{Jt=0}eBt=1{τ>t}eBt，其中尚未具体说明的过程b代表债券的违约前价格。现在，我们将提供导致债券价格动态的直观复制参数；更正式的推导推迟到下一小节。我们在这里假设还没有违约，但在任意小的时间增量dt的日期t和t+dt之间，违约可能以正概率发生。为了说明如何复制可违约债券的多头头寸，让我们考虑一下投资者在时间t<τ时进行的交易∧ T:1。从财政部借款，用于购买一张可违约债券；2.购买多张同名CD合约。我们在可违约债券中建立了多头头寸，其他一切都形成了复制投资组合的反转。因此，在形式上，复制投资组合包括CDS的空头头寸和财政部的多头头寸。现在我们来看一下t+dt时投资者的投资组合：融资、回购和信用包容性估值，即修改后的期权定价53。如果存在违约（即Jt+dt=1），则每个BTCD合同支付1；4.如果没有违约（即Jt+dt=0），则他出售债券foreBt+dt；5.

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2022-5-10 20:19:02

无论哪种方式，他都会为每个BTCDS合同支付溢价部分rCDSdt，并向财政部偿还贷款，金额为BTT（1+ftdt）。在时间间隔（t，t+dt）内的总增益为{Jt+dt=1}+eBt+dt{Jt+dt=0}-eBtrCDSdt-eBt（1+ftdt）。将其等于零，以确保复制，并利用上述第一个指标正好是Jt这一事实，以及我们假设Jt=0（在时间t没有默认值），我们获得了BdBt的动态- Bt（rCDS+ft）dt+BtdJt=0，（2.1），因此，由于Bt=1{τ>T}，我们对所有T∈ [0，T]Bt=1{τ>T}e-RTt（rCDS+fu）杜。（2.2）在[Elliott等人，2000年，等式（2.4）]中，使用不同的论点推导了相关的动力学，但没有涉及信用违约掉期。2.2支持复制论证的假设上述计算不需要准确了解对默认事件建模的随机时间的特定分布。然而，事实上需要对默认时间施加某些条件，才能使复制参数有效。为了解释为什么需要额外的假设，让我们用S（κ）表示CDS价格过程，κ=RCD，并让国债利率为常数f>0。命题2.1只要τ的概率分布是连续的，且其支持度包括[0，T]，上述可违约债券的复制就成立。证据根据我们的假设，过程bfSaties Bft=ef，违约时CDS价格过程从零跳到一，然后以国债利率（κ）=1{t增长≥τ} ef（t）-τ ). （2.3）这一步的一个基本假设是公平价差是恒定的。由于我们应该确保有两种资产的模型BF和S（κ）是无套利的，因此我们假设存在一个概率测度Q，相当于真实世界的概率，并且使用Q下的风险中性估值来计算St（κ）。

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mingdashike22

2022-5-10 20:19:05

标准计算表明，对于固定价差κ，当且仅当Q下的违约强度在[0，T]上保持不变时（例如，见Bielecki等人[2009]第2.4.2节或方程式（2.7）），等式（κ）=0在违约前可能保持不变。因此，在真实世界概率下，违约时间的概率分布是连续的，且在[0，T]上为正，因此在第二步中，该区间包含在τ.6 Brigo，Buescu，Rutkowski分布的支持中，我们将证明，区间[0，T]包含在τ的真实概率分布的支持中的假设，也是严格复制参数所必需的。为此，让我们考虑资产（κ）和Bf中的自我融资交易策略，该策略在时间τ停止∧ T并复制可违约键，这意味着vτ∧T（ν）=Bτ∧T=1{τ>T}。如果一个策略的价值vt（~n）：=~ntSt（κ）+~ntBft（2.4）满足vt（~n）=dSt（κ）- κd（t∧ τ )+ ~ntdBftsince CDS以固定利率rCDS=κ直到时间τ支付负股息。从（2.3）和（2.4）中，我们得到了φ的预默认值，表示为aseV（φ），即EVT（φ）=φtBft。因此，dVt（ν）=-κПtdt+ПtdBft=-κ~ntdt+feVt（~n）dt。（2.5）值得注意的是，到目前为止，我们的计算并不取决于我们打算复制的或有权益。在最后一步中，我们通过假设Vτ（~n）=0，P-a.s，将我们的交易策略专门化为零回收债券。这需要V（~n）在τ满足时跳跃τV（φ）=Vτ（φ）- Vτ-(φ) = -Vτ-(φ) = -eVτ-(φ) = φττS（κ）=ψτ，这反过来导致以下条件（就Lebesguemeasurement而言，其形式上保持a.e.）t=-eVt-(φ), T∈ [0，T]。（2.6）则条件（2.6）所包含的属性。

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2022-5-10 20:19:09

相当于等式φτ=-eVτ（ψ），前提是τ在P下的分布是连续的，且[0，T]包含在其支撑中。因此，复制策略独立于满足这些条件的特定τ分布。换句话说，对这个分布的确切了解对于手头的问题来说是无关紧要的。让我们强调一下，在允许对违约时间进行更一般的分配时，不应先验地假定平等（2.6）。例如，当P（τ∈ （t，t））=0，那么我们应该为所有t设置φt=0∈ （t，t）（参见Rutkowski[1999]中关于不连续情况的分析）。我们现在可以明确得出复制策略。通过将（2.5）与（2.6）相结合，我们得到了终端条件eVt（ν）=1的devt（ν）=（κ+f）eVt（ν）dt。我们恢复（2.1）eVt（~n）=e-（κ+f）（T-t） =eBtand soBt=1{τ>t}e-（κ+f）（T-t） =1{τ>t}e-（RCD+f）（T）-t）。因此，我们已经证明，该策略t=-E-（κ+f）（T-t），~nt=（Bft）-1e-（κ+f）（T-t）是自融资，并在[0，τ]上复制可违约债券B∧ [T]。融资、回购和信用包容性估值作为修正期权定价72.3无套利和鞅方法CDS和可违约债券的无套利定价模型也可以直接使用所谓的鞅方法构建。在这种建模方法中，可以将任何与P等价的概率测度Q作为假设鞅测度。为了在我们的设置中确定鞅度量，我们要求Q应与CDS的假设属性一致：分布等于κ（t，t）>0，CDS在违约时支付一单位现金，前提是违约事件发生在t之前或t时。

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2022-5-10 20:19:12

与往常一样，在违约事件之前的任何时候，市场CDS的价值都应该等于零。简单的计算表明，一般来说，当利率f为常数κ（t，t）时，CDS的市场（或公平）利差可以通过以下公式计算：-R（t，t]e-fudG（u）R（t，t]e-fuG（u）du（2.7），其中G（t）：=Q（τ>t）。如前所述，现在可以证明，具有常数正的公平CDS速率κ（t，t）=κ>0的必要和有效条件是τ在P下的分布是连续的，并且有[0，t]的支持，这正是命题2.1中所假设的。本质上，这是因为，对于[0，T]上的任何正密度函数，存在一个唯一的概率测度Q，相当于P，使得τ在Q下的分布是指数分布，参数λ=κ，其中常数κ>0是预先给定的，前提是利率f是常数（尽管f的水平是恒定的）。然后，κ（t，t）=κ和λ自然地解释为CDS定价度量Q下的违约强度。相反的应用也是有效的。因为我们可以证明鞅测度Q在HT上是唯一的，其中HT:=σ（1{τ）≤u} ，u≤ t）是由默认流程生成的过滤，包含两项资产的模型，即融资账户和CDS，是完整的。因此，根据资产定价的基本定理，任何在T到期的或有目标X都可以复制，其价格（定义为复制策略的价值）也可以使用以下版本的经典风险中性估值公式计算：哈！。

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2022-5-10 20:19:16

（2.8）对于回收率为零的索赔，我们得到vt=BftEQX1{τ>T}BfT嗯！，它将vt=1{τ>t}Bft（Gt）-1EQXGTBfT！式中gt=Q（τ>t）=e-λt=e-κt.默认键对应于X=1和thusBt=1{τ>t}Bft（Gt）-1GTBfT=1{τ>t}e-（κ+f）（T-t） .8 Brigo、Buescu、RutkowskiOne可能会观察到，在该模型中，只有面值不同但不变的零回收债券是零回收债券。显然，非零回收债权的估值问题也可以通过使用（2.8）来解决。3复制脆弱看涨期权定价在详细分析了零回收可违约债券的估值后，我们现在将讨论一些风险资产上脆弱期权的更高级估值问题。我们的目标是再次比较各种方法，并确定现有文献中经常忽略的基本假设。用F=（Ft）表示，其中Ft:=σ（Su，u）≤ t）交易资产（股票）价格过程产生的自然过滤。让到期日T固定，让X是一个FT可测量的可积随机变量。假设默认时间τ是概率空间上的正随机变量(Ohm, F、 P）。默认时间生成过滤H=（Ht），其中Ht:=σ（1{τ）≤u} ，u≤ t），用于逐步放大F，以获得完整过滤G=（Gt），其中Gt:=Ft∨嗯。我们的工作假设是Ft:=P（τ）≤ t | Ft）是一个连续的、递增的函数，对于任何t，Ft<1。请注意，关于默认时间的假设已经出现在Liott等人的文章中。

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可人4

2022-5-10 20:19:19

[2000]与假设（H）相结合，并符合第2.1条中的假设。假设A是一个合同（易受攻击的看涨期权），其成本为Pat时间0，且在到期时间T时有收益X，其中X=1{τ>T}（ST- K） +。这里τ被解释为合同对方，即期权发行人的违约时间。我们想知道Pt，t的价格∈ [0，T]，适用于使用市场上可用的金融工具复制多头头寸的投资者。我们现在考虑一个具有以下主要资产（a、a、a、a）的市场：i）利率为f的无担保融资账户；ii）股票（合同标的资产）；iii）回购利率为h的股票回购协议；iv）由交易对手发行的回报率为R的零回收可违约债券。在时间t，资产的价格由Pt=Bft，Pt=St，Pt=0，Pt=bt给出，自资产开始以来的收益过程由git表示，所有i的Gi=0。作为一个初步步骤，我们指定模型输入：国债利率f，回购利率h和债券收益率rC。注意，速率f、h和rca被假定为常数（或至少是确定性的），并且它们是已知的。我们还假设过程S是连续的（显然，bfs也是连续的）。此外，我们将在后面假设股票价格波动率σ与修改后的期权定价一样，是已知的融资、回购和信用包容性估值。因此，我们根据模型参数f、h、R和σ以及期权数据T和K寻求定价公式。请注意，原则上，所有这些数量都是在市场中观察到的，前提是波动率被理解为隐含波动率。

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2022-5-10 20:19:23

相比之下，我们不需要假设交易对手的CDS是可交易的，尽管这一假设不会改变我们对期权定价公式的推导，而且对CDS利差RCD的了解并不重要。事实上，我们从上一节了解到，对于固定水平的国债利率f，RCD和RCD之间存在一对一的对应关系。现在让我们来确定收益过程。购买一份回购合同相当于以现金出售股份，根据协议，以更高的价格回购股份，其中包括回购利率对应的利息支付。（出售回购协议会产生相反的现金流。）股票价格的任何升值（或贬值）都是正（或负）收益的一部分，而即将到期的回购利息支付是负收益：dGt=dSt- hStdt。在交易对手债券违约前收益率Rc具有确定性的长期假设下，我们得到Bt=1{τ>t}e-RTtrCudu=（1）- Jt）e-其中Jt:=1{τ≤t} 是模拟交易对手违约跳跃的点过程。这些收益与违约时债券价值下降对应的流出现金流具有负项。总而言之，主要资产的收益由dGt=fBftdt、dGt=dSt、dGt=dSt给出- hStdt，dGt=rCtBtdt- 英国电信-dJt。交易策略φ=（φ，φ，φ，φ）给出了为构建投资组合而购买的每项主要资产的单位数量。让β∈ [0，1]是一个常数。如果在任何日期t，投资者只能使用回购市场获得所需股票金额的一小部分β，而其余部分必须在股票市场上从财政部获得资金，则交易策略是可以接受的。

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何人来此

2022-5-10 20:19:26

当时的财富∈ [0，T]由一个可接受的策略所产生的投资组合用V k和等式V k T=Xi=1 k itpit表示，与该策略相关的收益过程满足G k=0和dg k T:=Xi=1 k itdGit。（3.1）然后，我们说，如果总的来说∈ [0，T]V k T=V k T+G k T.（3.2）如果V k T=X，可接受的交易策略会复制合同a的收益。我们将合同a的时间T价格定义为与复制策略pt=V k T.（3.3）10布里戈，布埃斯库，鲁特科夫斯基对应的投资组合的财富V k T。我们市场中特定的主要资产的存在确保了任何索赔都是可以实现的。事实上，研究中的市场是完整的，没有套利论据表明任何合约的价格都是唯一的。回想一下，复制投资组合是持有合同A的投资者为防范市场和交易对手风险而构建的对冲投资组合的负值。换句话说，复制策略不仅复制期权的收益，还复制期权多头头寸的市场风险和信用风险。在违约前的t日，投资者为期权中的多头头寸建立复制投资组合，知道τ的假设意味着，对于任意小的dt，违约可能发生在t和t+dt之间。复制合同投资者：1。购买β特雷波斯，借用βTST从财政部购买并交付t共享，并接收β偿还给财政部的tStcash；2.借款（1）-β)从财政部购买TST（1- β)tshares；3.购买交易对手债券的Pt/Btunits，以匹配该投资组合的价值和期权支付。当然，目前还不知道期权价格PTI，但可以从匹配条件（3.3）和终端支付组合中找到。

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2022-5-10 20:19:30

这种复制投资组合产生了以下可接受的策略θt：=-(1 - β)tStBft，（1）- β)t、 βt、 PtBt！。（3.4）在t+dt时，投资者：4。接收βt从回购协议中分得股份，并以2美元的价格出售tSt+dt；5.向财政部借款tSt（1+hdt）完成回购；6.销售（1）-β)t共享（1）- β)tSt+dt；7.以PtBt+dt/Bt出售交易对手债券；8.向财政部偿还金额（1）- β)tSt（1+fdt）。这些交易导致的复制头寸财富的变化等于vθt+dt- Vθt=βtSt+dt- βtSt（1+hdt）+（1）- β)tSt+dt+PtBtdBt- (1 - β)tSt（1+fdt）=βtdSt- βhtStdt+（1）- β)tdSt+PtBtdBt- (1 - β） ftStdt=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCdt- dJt）。融资、回购和信用包容性估值作为修正期权定价11这可以通过使用（3.1）并计算（3.4）dGθt=-(1 - β)tStBftfBftdt+（1）- β)tdSt+βt（dSt）- hStdt）+PtBt（rCtBtdt）- 英国电信-dJt）=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCtdt- dJt）我们使用了平等Bt-= 英国电信在违约前持有。还要注意，违约时θ的财富等于零，这与违约时的期权支付一致。因此，我们可以设置θt=（0,0,0,0）来表示t>τ。现在让我们关注违约前的定价问题。由于dVθt=dGθt（来自（3.2））和dpt=dVθt（来自（3.3）），我们有dpt=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCtdt- dJt）。（3.5）为了推导违约前定价PDE，我们假设在统计概率P下，股票价格受DST=utStdt+σSTDW控制，价格Pt可以表示为asPt=1{τ>t}ePt=1{τ>t}v（t，St）=（1）- Jt）v（t，St），对于C1，2类的某些函数v（t，s）。然后伊藤公式yieldsdPt=（1- Jt）dv（t，St）+v（t，St）d（1）- Jt）=（1- Jt）dv（t，St）- v（t，St）dJtanddPt=（1）- （Jt）vt（t，St）+σStvss（t，St）dt+（1）- Jt）vs（t，St）dSt- v（t，St）dJt。

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何人来此

2022-5-10 20:19:33

（3.6）通过将（3.5）和（3.6）中的dSt、dt和dJtterms相等，我们得到了以下等式，其中变量（t，St）被抑制t=（1）- Jt）vs.（1）- （Jt）vt+σStvss+(1 - β） f+βhSTV- (1 - Jt）rCtv=0，（3.7）-PtdJt=-v dJt。函数v（t，s）的预设定价PDE现在可从（3.7）asvt获得+(1 - β） f+βhs五、s+σs五、s- rCtv=0（3.8），终端条件v（T，s）=（s- K） +。当标的股票支付股息时，我们将（3.8）视为Black-Scholes PDE。要看到这一点，必须将贴现率作为可违约债券的收益率r:=r，将瞬时股息率作为债券在有效融资率q:=rC上的利差-fβ，其中有效融资率定义为加权平均值：fβ：=（1）- β） f+βh。我们得出结论，以下结果是有效的。12 Brigo，Buescu，Rutkowski命题3.1通过复制等式pt=1{τ>t}获得的脆弱看涨期权的时间t价格Ste-q（T）-t） N（dq）- 柯-rC（T）-t） N（dq）（3.9）q=rC- fβ和dq=logStK+（rC- q+σ（T）- t） σ√T- t、 dq=dq- σ√T- t、值得注意的是，（3.9）也可以通过概率方法从（3.5）中推导出来，而无需使用定价PDE。从（3.5）中，我们得到了以下关于违约前价格Dept=-fβtStdt+tdSt+rCtePtdt。（3.10）现在让Qβ成为概率度量，它相当于P，并且使得风险集S在Qβ下的漂移等于有效融资率fβ。然后，流程EP由QβbydePt管理- rCtePtdt=tσStdWβtwith终端条件ept=（ST- K） +其中Wβ是Qβ下的布朗运动。

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2022-5-10 20:19:36

这导致了以下概率表示ForeptPt=e-rC（T）-t） Eβ[（ST- K） +|Ft]=e-（rC）-fβ）（T-t） Eβ[E-fβ（T-t）（圣- K） +|Ft]，然后通过条件期望的标准计算或注意到它是由Black-Scholes公式给出的，利率为fβ，没有股息，从而产生（3.9）。备注3.1 i）如果我们用r=rCt=RCD+f对（2.2）中的可违约债券进行建模，其中将CDS利差RCD（而非债券收益率rC）作为模型输入，则价格方程（3.9）适用于q:=RCD-β（h- f）。换句话说，在我们的交易模型中，当可违约债券被交易对手的CDS取代时，期权定价公式（3.9）仍然有效。ii）PDE（3.8）实际上相当于[Bielecki等人，2005年，等式4.4]中使用马尔廷格尔方法获得的PDE（32）。要看到这一点，必须用主要资产的动态来重写（3.8）DBFT=fBftdt，dSt=uStdt+σStdWt，dBt=Bt-（udt）- dMt）=Bt-（u+ξt）dt- dJt,式中u=f和Mt:=Jt+log Gt∧τ=Jt- ξt其中Gt:=P（τ>t | Ft）。过程M通常被称为违约过程J.iii）的补偿G-鞅。虽然假设股票S不支付股息，但目前的框架可以很容易地扩展到支付股息的情况。因此，有效融资率fβ应被fβ取代- δ.融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价134通过调整后的现金流进行的脆弱看涨期权定价Proachlet us再次考虑同一脆弱期权的定价问题，但这一次使用了源自Pallavicini等人[2011]的调整后现金流方法，严格引自inBrigo等人[2015b]，并在Brigo and Pallavicini[2014]中以更广泛的背景介绍。

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2022-5-10 20:19:40

我们并没有试图证明他们的方法是合理的，但我们从Brigo and Pallavicini[2014]的定价方程（11）开始，并将其调整到脆弱看涨期权的当前背景下，这是一种无抵押合同。请注意，变动保证金为M，而NCA和NIA是两个交易对手的初始保证金账户，因此总抵押品账户C=M+NC+NI。在我们的例子中，这意味着Brigo和Pallavicini[2014]中等式（11）最后两行中出现的所有项都消失了。此外，违约时的现金流等于零（由于脆弱期权的零回收约定），承诺的现金流在一段时间内（t，t+dt）为∏（t，t+dt）=（ST- K） +{t=t}。因此，Pallavicini等人[2011]中的定价方程（11）降低到vt=Eh{τ>T}D（T，T；f）（ST- K） +|Gt（4.1）式中，eh是关于概率测度Qh的期望，该概率测度使天空资产的漂移等于h，这意味着dst=hStdt+σstdwht，其中Qh下为布朗运动。此外，G=（Gt）是包括违约时间信息和贴现系数D（s，t；f）等式D（s，t；f）：=exp-Ztsfudu.此后，我们假设一个恒定的国债利率f，并使用交易对手Qhof下的违约前强度λ，该强度在[Brigo and Pallavicini，2014，（40）]中定义为{τ>t}λdt:=Qh（τ∈ dt |τ>t，Ft），以获得生存概率Ght=e-λtw，其中Ght:=Qh（τ>t | Ft）。注意，这与第3节复制方法中关于τ的假设是一致的。使用（4.1）和Beilecki等人的Cor.3.1.1。

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2022-5-10 20:19:43

[2004]中，我们得到vt=1{τ>t}（Ght）-1Eh[D（t，t；f）（ST- K） +GhT |英尺]。IfeV表示F适应的违约前价格过程，因此对于所有t∈ [0，T]{τ>T}Vt=1{τ>T}eVt，然后从上面的方程我们立即得到eVt=（Ght）-1Eh[D（t，t；f）（ST- K） +GhT | Ft].14布里戈，布埃斯库，鲁特科夫斯基由于GH是确定性的，对于恒定的财富率f，违约前价格可以写成VT=e-（λ+f）（T）-t）呃[（圣- K） +|Ft]或等效地，eVt=e-（λ+f）-h）（T）-t）呃[e]-h（T）-t）（圣- K） +|英尺]。当股票漂移等于hEh[e]时，最后一个期望值可以通过通常的Black-Scholes公式计算出来-h（T）-t）（圣- K） +）|英尺]=StN（d）- 柯-h（T）-t） N（d）式中，d=logStK+（h+σ）（t- t） σ√T- t、 d=d- σ√T- t、我们得出结论，违约前的价格过程令人满意-（λ+f）-h）（T）-（t）StN（d）- 柯-h（T）-t） N（d）thusVt=1{τ>t}Ste-（λ+f）-h）（T）-t） N（d）- 柯-（λ+f）（T）-t） N（d）. （4.2）设置λ+f时- h=q和λ+f=r，我们推断（4.2）与通过复制β=1得到的定价公式（3.9）一致。也不难证明λ=Rcd（本质上，这是由于第2.2节中引入的关于鞅测度Q的qh密度是F自适应的）。这表明，调整后的现金流量法和复制法导致脆弱看涨期权的价格相同。5敏感性分析在最后一步中，我们通过关注利率f和h的影响，对弱势看涨期权进行敏感性分析。

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2022-5-10 20:19:48

我们不考虑参数rC，因为在我们的模型中，投资者在购买股票时可以自由选择特定的资金来源组合，如参数β所正式表示的∈ [0,1]，但市场和thusit给出的差价RCI很自然地假设它是固定的。示例5.1图5.1显示了当St=80，K=100，σ=0.3，T时，脆弱赎回权的违约前价格（4.2）对国债利率f和回购利率h的依赖性，β=1- t=0.1，RCD=0.05。脆弱看涨期权的违约前价格在国债利率f中下降，在回购利率h中上升。为了解释示例5.1中观察到的依赖性，并进行一般敏感性分析，我们首先计算β=1时的“融资希腊”，即回购时购买所有股份。我们得到了下列表达式feVt=rCeVt=-（T）- t） eVt<0，（5.1）heVt=e-（h）-F-刚果民盟-t）（t）- t） StN（dq）>0，（5.2）融资、回购和信用包容性估值，如修改后的期权定价15图1：回购利率h中的期权价格增加，融资利率f中的期权价格减少，这意味着违约前的买入价格在国债利率f和债券收益率rC中都降低，但与风险资产相关的回购利率增加。此外，对资金的相对敏感性feVteVt=-（T）- t）其绝对值似乎小于回购利率的相对敏感性heVteVt>T- t、这一简单的基准案例突显出回购利率可能对合同价值产生重要影响，通常比国债利率或信贷利差更为重要。现在让我们考虑第3节中获得的价格，其中附加参数β∈ [0,1]规定了投资者的融资安排结构。

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2022-5-10 20:19:53

鉴于（3.9）和Remark3。1 i），我们获得以下资金：feVt=-β（T- t） eVt+（1）- β）（T）- t） e（β（h）-f）-刚果民盟-t）千牛（dq），（5.3）heVt=βe（β（h-f）-刚果民盟-t）（t）- t） StN（dq）≥ 0，其中当β>0时，最后一个不等式是严格的。特别是，对于β=1，我们恢复（5.1）-（5.2），对于β=0（纯财政资金），我们得到feVt=（T- t） e（f）-rC）（T-t） KN（dq）>0，heVt=0，其中f- rC=-rCDS<0。一般来说，很难确定敏感度的标志FevT由（5.3）给出，尽管很明显，它从β=0的正值变为β=1的负值。为了解释融资，我们观察到合同的支付可以写成X=BT（ST-K） +，因此它可以被视为一个混合合同，将16 Brigo、Buescu、Rutkowski股票的看涨期权与交易对手债券的多头头寸相结合。对于任何0<β≤ 1由于期权部分的套期保值成本（ST- K） +随h明显增加。对f的价格依赖性更难分析。实际上，从对冲组合的表示（3.4）中，我们可以看到，对于0<β<1，对f的依赖相当复杂：投资者需要从Bf（以f的速度增长）借入现金，因此对冲成本在f中增加，但他同时投资于债券B（回报率rC=f+Rcds，其中Rcds为常数），以便对冲成本在f中降低。两个分支的净影响可能是有利的，因为期权的价格随着f的增加而降低。对于β=1，这一点相当明显，因为在这种情况下，投资者不会将BF用于其套期保值目的（在（3.4）中取β=1），我们看到，当f增加时，对收益中的组成部分Bt进行套期保值的成本会下降。相比之下，当β=0时，h的值无关紧要，而f的增加使选项更昂贵。

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mingdashike22

2022-5-10 20:19:56

最后，当只有CDS利差RCD增加且f、h保持不变时，套期保值成本也会降低，因为债券B变得更便宜。6结论将价格计算映射到Black-Scholes公式（带红利）可以推广到任何局部波动模型（例如，置换的扩散模型），从而涵盖波动率增加和减少。随机波动率模型对行业也有吸引力，但任何额外的随机性来源都需要对冲，因此需要将额外的对冲工具纳入我们的市场模型，并解决定价PDE的适当修改。目前在该行业占主导地位的局部随机波动率模型显然也会带来同样的问题。总之，我们已经证明，在包括融资、回购和信用风险的脆弱看涨期权的基准情况下，两种替代定价方法会导致相同的结果。这表明，即使存在融资成本和回购合同，鞅方法和调整后的现金流方法也应被视为促进复制价格计算的替代工具，而不是替代定价范式。原因是，所有这些方法实际上都明确或隐含地基于复制的概念，Brigo等人[2015]对此进行了更广泛的解释。此外，我们还证明了期权价格可以表示为带有股息的Black-Scholes公式，从而有助于在估值和敏感性分析中使用融资贪婪。在这种情况下，我们强调回购利率对国债利率和信贷利差的潜在重要定价影响。参考Bichuch，M.，Capponi，A.，和Sturm，S.：XVA的无套利定价，第一部分和第二部分。工作文件，2015年（可在arXiv.org上获得）。T.比莱基。

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