模型参数见表3，我们在Black-Scholes情况下得到的αG值见表4.5.1.1测试1：Black-Scholes-Hull-White模型中的静态GMWB-CF在该测试中，我们希望根据BS HW模型对GMWB-CF产品进行定价。我们使用与Black-Scholes模型相同的相应参数。模型参数如表5所示。结果见表6。这四种方法都表现良好，在配置D中，它们给出的结果与基准一致。HPDE被证明是最好的：它的所有配置都给出了与基准一致的结果。然后APDE和SMC以及HMC也给出了很好的结果。SMC的表现略好于HMC：第一种方法准确地模拟了基础价值和利率，因此足以模拟每个事件时间的价值。HMC与BS HW r过程的前三个时刻相匹配，但它并不完全产生其规律：因此每年增加步骤的数量是正确的。因此，对于给定的运行时，我们可以在HMC中模拟比SMC更少的场景：有效地，HMC的置信区间比SMC大。此外，当使用配置D时，SMC的性能超过基准。这两种PDE方法返回稳定的结果，并且它们通常以单调的方式收敛。关于数值结果，我们观察到αgv值随着成熟度的增加而减少，就像Black-Scholes的情况一样，随着退出频率的增加而略有增加。5.1.2测试2：赫斯顿模型中的静态GMWB-CF在该测试中，我们希望根据赫斯顿模型对GMWB-CF产品进行定价。模型参数见表7。

结果如表8所示。在这个测试中，MC方法有更多的困难；PDE方法的所有值都接近基准，而MC方法的一些值精度较低，但与基准兼容（BM值在MC置信区间内）。如果我们比较两种MC方法，在这种情况下，它们是等效的：HMC在使用很少的时间步长时被证明比SMC更快（我们可以在配置A中利用+11%的模拟），而SMC在高时间步长模拟中被证明略快，因为构建波动率树需要更多的时间(-8%的模拟（配置D）。HPDE显示bevery稳定（情况T=10，WF=2，αgdidn不会通过配置B-D改变），APDE表现良好（通常是单调收敛）。关于数值结果，我们观察到αgv值随着成熟度的增加而减少，就像Black-Scholes的情况一样，随着退出频率的增加而略有增加。5.1.3测试3：静态GMWB CFA的套期保值为了降低金融风险，保险公司必须对售出的VA进行套期保值：为了实现这一目标，他们必须计算产品的价值。在这项测试中，我们想展示如何使用不同的方法来计算主要参数。这可以通过变量上的小冲击的有限差异来实现。一般来说，PDE方法属于w.r.t.MC方法：价格通过有限差分计算，因此冲击下的价格已经计算出来。对于MC方法，这相当困难，因为定价必须重复改变输入。首先，我们计算测试1和测试2的乘积的基础希腊增量。在这种情况下，我们不想计算公平费用αg，我们随意地对其进行计算：见表9和表11。所选择的价值足以覆盖保险公司的成本，在实际案例中可能是合理的。

结果见表10（表中的所有值必须乘以10-4).在这次测试中，我们用所有的方法得到了非常准确的结果。无论如何，HPDE和APDE被证明是最好的：它们都给出了稳定而准确的结果；在本试验中，两种PDE方法是等效的。我们注意到，尽管在改变保单到期日时公平费用变化很大，但Deltach的价值变化要小得多。事实证明，与BSHW模型相比，Heston模型的增量计算稍微困难一些：参见置信区间。到期时间T 5、10、20年GMW G 100.0/（T·W F）提款频率W F 1或2每年初始保费100.0初始账户价值A100。S100。0初始基数b。

值B100。0 r 0.05退出惩罚κ0.10σ0.20管理费α表3:Chen和Forsyth在[9]中使用的参数。TW F=1 W F=2PDE MC PDE MC5 235.24 235.11±0.42 243.96 243.80±0.4210 92.41 92.28±0.30 94.62 94.84±0.3020 27.64 27.79±0.24 28.09 28.39±0.24表4：对于静态GMWB-CF，使用与[9]中相同的参数，α-金-布莱克-斯科尔斯模型的公平bp值。Sr曲线kωρσ100 0.05 f lat 1.0 0.2-表5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.0.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.62196.88±0.11D19.19.1966.67±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1961966.65 1966.65 1966.1966.6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.18 79.44±0.07 79.38 79.40 80.9010.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25±0.17±0.7 7 7.24.9024.9024.9024.9024.24.24.24.24.24.24.24.24.24.0 0 0 0 0 0.24.24.24.24.0 0 0 0 0 0 0 0 0.24.24.24.9024.9024.9024.24.24.9024.9024.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24 20 25.18HMC SMC HPDE APDEA 31s 30 s 30 s 30 sB 121 s 121 s 120 s 118 sC 482 s 484 s 464 s 481 sD 1920 s 1899 s 1893 s 1909稳定6：测试1。在第一个表中，Black-Scholes-Hull-White车型的公平费用为每半年或每年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，绘制了相对误差（w.r.t.）。

在运行时间表的相同情况下，四种方法的BM值）。表3和表5列出了本试验所用的参数。Svθkωρr100 0.200.201.0 0.2-0.5 0.05表7：试验2的模型参数。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语42±0.21231.56±0.23231.45231.47239.489.9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24.98.01 98.00A 31.84±1.173.31.31.31.2631.05B（b）31.42±0.31±0.30.30.31.2631.05B（b）31.42±0.31±0.31.48±0.48±0.48±0.48±0.31±0.30±0.31±0.31±0.31±0.31±0.31.2631.2631.2631.7.7.7.7.7.7.7.7.7.3.30.30.30.30.30.30.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0.10.7.7.7 7.7.7.7 7.7 7.7.7.7 7 7.7 7 7 7 7.7.7.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.10±s 121 s 120 sC 486 s477 s 483 s 479 sD 1951 s 1924 s 1956 s 1939稳定8：测试2。在第一个表中，Heston模型的公平费用为每半年或每半年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表7给出了该试验所用的参数。TW F=1 W F=25 200 20010 100 10020 50表9：静态BS HW情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 6212±4 6214±3 6213 62126178±4 6180±4 6181 6180B 6213±3 6213±1 6213 6213 6180±3 6180±2 6180 6180C 6211±1 6213 6213±1 6179±1 6180±1 6180 6180±1 6213 6213 6213 6213 6179±1 6113 715 715 715 7187134±5 7132±4 7132 7131C 7152±3 7153±1 7154 7154±3 7131±2 7132 7131±1D 7157±2 7154±1 7154 7133±2 7131±1 7132 7131A 8018±16 8010±13 8017 80088010±20 8005±20 8005 7995B 8023±11 8016±7 8017 8014±14 8005±10 8005 8005 8005 8005 802C 8025±6 8013±3 8013 8002±3 8004 8003 8003 8015±1 801 8004 80012 8004 8003表10：测试3。静态BS HW情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.

表3、7和表9中列出了本试验所用的参数。TW F=1 W F=25 250 25010 100 10020 50表11：静态Heston情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 6132±4 6141±5 6132 61316101±5 6107±5 6099 6098B 6134±3 6136±3 6131 6131 6101±3 6104±3 6098 6098C 6131±2 6131 6131±2 6097±2 6098 6098 6098±1D 6131±1 6131 6098 6098±1 6098 6098A 7287±8 729 7267266±6 7269±6 7262 7263C 7287±3 7287±3 7284 7284±3 7262±3 7262 7262±1D 7285±2 7287±2 7284 7263±2 7264±2 7262 7262A 8051±19 8084±19 8059 80588048±19 8053±19 8048 8045B 8067±13 8074±14 8058 8056±13 8072±14 8045 C 8060±7 8068±7 8056±7 8045±7 8046 804 804±4 8046 8045表12：试验3。静态Heston情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、7和表11。TW F=1 W F=2 DE MC Ch.Fo。PDE MC Ch.Fo。5248.33247.75±1.39N.c.258.20257.32±1.42N.c.10129.18128.58±1.08129.10133.60133.09±1.11133.522066.4266.20±0.89N.c.68.5968.52±1.29N.c.表13：对于[9]中相同参数的动态GMWB-CF，αgin-Black-Scholes模型的公平bp值。[9]中不可用的值（未计算）用“n.c.”表示。5.2 GMWB Cf的动态退出在动态退出的情况下，我们假设PH值在每个事件时间选择退出多少，以便最大化他（她）的收益（最佳退出）。静态测试4和5的灵感来自[9]：在他们的文章中，Chen和Forsyth在Black-Scholes模型下，在最优退出框架下为GMWB合同定价。

首先，我们根据不同的成熟度和退出率对他们的产品进行定价，假设Black和Scholes模型中的最优退出，以获得该模型中的参考价格；我们使用直线回归蒙特卡罗方法和标准偏微分方程方法得到了α值。当我们得到简单Black-Scholes模型的良好值时，我们加入了随机利率和随机波动率。模型参数见表3，我们得到的αG值见表13。我们注意到，我们使用完全回归算法计算MC价格（SMC和HMC的情况A、B、C、D）：这种方法非常快，但结果质量较低。相反，我们使用直线回归算法来计算基准（BM）：这种算法比完全回归需要更多的时间，但其结果更高，证明了回归性能更好，使用这种方法的PH值可以有更好的回报。此外，该方法在Black-Scholes模型中表现良好，我们用它来填充表13。

我们也尝试对案例A、B、C、D使用Linesalgorithm回归，但由于可用的运行时间较短（最多30分钟），我们没有得到好的结果。对于基准计算，我们使用了4次多项式和10个场景（通过对偶变量技术加倍），不包括T=20，wf=2的情况，其中我们使用了半个场景：执行这些计算所需的时间（围绕HPDE的情况D值的两个割线步骤）从30分钟（情况T=5，wf=1）到38小时（情况T=20，wf=2）不等。我们要指出的是，在Black-Scholes模型中使用PDE方法，我们得到了与[9]相同的值（Chen和Forsyth的论文中只有两个值可用），但MC方法（直线回归）存在一些问题（较低的值）：最小二乘回归不太有效，这个问题对MC方法有效（见表13）。因此，我们可以想象，MC方法在下面的测试中也会有困难，其中添加了一个维度。5.2.1试验4:Black-Scholes船体白色模型中的动态GMWB-CF试验4是试验1的动态情况。模型参数如表5所示。结果见表14。在这项测试中，PDE方法被证明比MC方法更有效。事实上，MC方法使用最小二乘回归方法来确定最佳提取：该方法需要大量场景，以便通过回归来近似给定变量集的策略值，这需要时间。然后，在固定时间工作，我们可以执行比静态情况更少的场景。PDEmethods感觉到了另一个问题：问题维度的增加迫使我们减少了静态情况下的时间步数。

使用MC方法，相对于PDE方法，我们总是得到较低的值，而且当从配置A移动到配置D时，MC值增加了几个基点。两种MC方法被证明是等效的：场景生成运行时的差异是可以忽略的，因为大部分时间都花在寻找最佳提取上。HPDE方法给出了良好且稳定的结果，而APDE则有更多的问题，结果接近于良好值。然后，根据测试结果，HPDE方法被证明是最好的方法。事实证明，（T，wf）=（20，2）的情况非常阴险：长期的成熟期和大量的延迟日期（40个事件时间）也使PDE方法的问题变得困难。在这种情况下，配置A中的MC方法给出的值也低于静态方法（18.64 vs 25.20）：由于考虑的场景较少，最小二乘回归未能增加PH的增益。5.2.2测试5：赫斯顿模型中的动态GMWB-CF测试5是测试2的动态情况。模型参数如表7所示。结果见表15。在这个测试中，情况与测试4类似，但优化问题似乎比测试4更容易：MC方法收敛得更好，尤其是在使用高级配置时。PDE方法的表现和往常一样好，在这种情况下，它们被证明几乎是等效的：除了在（T，wf）=（20，2）的情况下，它们都给出了良好的结果，其中APDE的初始结果太高。这两种MC方法被证明是等效的。我们注意到，在赫斯顿模型的情况下，与BS HW的情况相比，动态策略增加了αGlesss的值：很可能，利用利率比利用波动性让PH获得更多收益。情况（T，wf）=（20，2）仍然是最危险的，但这次我们没有得到任何低于αg.5.2.3测试6的静态值的值：动态GMWB CF6的套期保值是测试3的动态情况。

结果见表17。在这个测试中，我们用偏微分方程方法得到了很好的结果：尽管问题的维数很高，但HPDE的值非常规则。APDE的结果良好，但比HPDE稍差，尤其是在BS HWDE情况下（参见示例情况（T，wf）=（20，2））。Monte Carlo方法支持少数情况，有时置信区间非常大。在（T，wf）=（20，2）的情况下，我们在BS-HW模型中也得到了一些收敛问题。5.2.4动态GMWB-CF的最佳退出策略图在图5.1和图5.2中，我们计算了BS-HW模型和Heston模型的GMWB-CF产品的最佳退出策略（T，wF）=（10，1）。

我们使用HPDE方法获得这些图：我们在时间t=1的初始值周围选择树的三个节点，并使用最佳取款来获得这些图。我们注意到，这些图与[9]中提出的图非常相似：我们注意到平分线周围的结构相同，并且经常撤离的区域也很大。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语1.62±1.23282.32282.63312.123.58±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 160.38162162162.5142.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 160 160.162162162162162162162162.51162162162162162162.515142.5142.5142.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±7.7.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 18 18 18±18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18.6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6 6 6.18 18 18 18.18.18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18.6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 SMC HPDE APDEA 29 s 31 s31 s 30 sB 121 s 124 s 121 s 123 sC 484 s 484 s 489 s 474 sD 1881 s 1927 s 1899 s 1901稳定14：测试4。在第一个表中，Black-Scholes-Hull-White车型的公平费用为每半年或每年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，绘制了四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表5列出了本试验所用的参数。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语±0.77 246.64 246.68 253.06±1.56 251.79±1.58 256.70 256.31A 125.77±4.03 123.42±4.05 133.70 133.92133.72132.71±12.0 119.84±11.1 137.85 146.61137.00B 126.16±2.47 126.92±2.51 133.89 133.91 118.80±4.59 122.60±4.57 138.12 139 C 129.47±1.76 130.41±1.73 133.98 133.96±0.86125.17±3.07.124.11±2.97±2.133.89 133.91 118.80±4.59 122.60±4.78±1.79±1.13.79±1.73±1.73±1.13.73±1.98±1.13.13.73±1.13.13.73±1.13.96±1.13.73±1.96±1.29±1.13.13.13.1337.46±7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.3582.48±6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8±3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 HPDE APDEA 32 s 32 s 29 s30 sB 123 s 124 s 122 s 118 sC 483 s 475 s 474 s 495 sD 1903 s 1882 s 1923 s 1947稳定15：测试5。在第一个表中，Heston模型的公平费用为每半年或每半年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表7给出了该试验所用的参数。TW F=1 W F=25 350 35010 200 200 20 150 150表16：动态BS HW情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 4986±311 4790±310 4474 44654753±537 4117±429 4191 4187B 4455±171 4443±179 4477 4469 4220±182 4362±222 4196 4191C 4385±130 4420±122 4478 4473±624057±196 3987±170 4198 4195±68D 4319±103 4432±170 4478 4476 4158±170 4198 4198A 476 542±25433 4684270 4325B 4577±320 4367±307 4636 4616 4628±460 3846±362 4296 4316C 4665±259 4548±240 4639 4631±1123898±310 4122±303 4304 4300±123D 4517±178 4537±175 4639 4635 4492±329 4201±276 4306 430 4A 4053±302 4223±112 4129 41494152±150 4037±144 3639 4062B 4370±105 4253±108 4153 4118 4095±4039 3924C 337±337 417 4164150±1434078±72 4049±60 3766 3803±211D 3980±268 3857±242 4157 4145 3434±294 3659±332 3780 3798表17：试验6。动态BS HW情况下的增量计算。

所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、16和表7。TW F=1 W F=25 300 30010 150 20 100 100表18：动态Heston情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 5732±40 5727±26 5629 56315878±97 5803±62 5571 5577B 5715±28 5699±27 5628 5630 5678±88 5603±78 5570 5572C 5614±49 5668±66 5628 5629±265674±122 5635±78 5570 5570±25D 5607±44 5653±55 5628 5628 5628 5695±103 5618±63 5569 5570A 6082±59 592 592 563±55 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 568±133 5886±125 6006 6007 6225±263 6058±142 5936 5942C 5909±117 6062±136 6005 6006±585779±151 6026±116 5936 5939±55D 6008±113 6059±97 6004 6005 5980±121 5840±114 5936 5937A 5604±480 5658±383 5636 56444162±987 5886±831 5540 5122B 5428±405 5855±433 5635 5642 5056±362 5543±437 557 5340 53C 5410 297 5571±56565221±369 5542 5543±174D 5734±213 5571±199 5635 5638 5379±226 5416±198 5543 5550表19：试验6。动态Heston情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、18和表7。图5.1：根据r的不同值，BS HW模型在t=1时的最佳取款曲线图：从顶部到底部r=0.03、r=0.05和r=0.07。用于获得这些图的参数与T=10、W DF=1情况下的增量计算相同：见表3、5和16。图5.2：根据波动率v的不同值，赫斯顿模型在t=1时的最佳提款曲线图：从顶部到底部v=0、v=0.04和v=0.16。

获得这些图所用的参数与T=10、W DF=1情况下的增量计算相同：见表3、7和18。合同时间（T，T）（0,25）或（10,25）GMW Gmax[P，WT]T-两次提款频率为1年M1.0初始账户价值A100。S100。0初始溢价100.0 r 0.0325退出惩罚κ0.10σ0.30PH的行为静态或放弃死亡率表20：Yang和Dai在[17]中使用的参数。（T，T）静态放弃PDE MC YD PDE MC YD（0，25）102.02 101.95±0.21 102 158.28 157.33±0.41 158（10，25）254.01 253.99±0.16 170 305.35 305.26±0.50 248表21：α-金-布莱克-斯科尔斯模型的公平bp值，对于参数与[9]中相同的GMWB-YD，5.3 GMWB YD的静态退出和最优放弃在静态退出的情况下，我们假设PH完全以保证的速率退出，而在非最佳退出的情况下，PH可以在每个事件时间停止合同。测试7和测试8的灵感来自[17]：在他们的文章中，Yang和Dai price在Black-Scholes模型下建立了一个GMWB合同，包括不稳定和动态（最优放弃）框架。首先，我们用Black和Scholes模型对不同到期日和提款率的产品进行定价，以获得该模型中的参考价格，并将我们的结果与作者的结果进行比较。对于Black-Scholes模型，我们使用了标准的蒙特卡罗方法和标准的偏微分方程方法。然后，我们加入随机波动率和随机利率。模型参数见表20，我们得到的αG值见表21。我们处理了四个数字案例：延迟或不延迟，静态行为或投降。我们注意到，在（t，t）=（10，25）的情况下，使用不同的方法（一种简单的蒙特卡罗方法，以及BlackScholes模型的偏微分方程方法），我们没有获得Yang和Dai的相同结果。我们可能误解了一些关于延期案件的合同规定。

我们使用相似性降低（见第2.5节）和不使用相似性降低对这些产品进行定价，获得了相同的结果。我们要指出的是，杨和戴没有在他们的产品中使用这种技术。5.3.1测试7：Black-Scholes-Hull-White模型中的GMWB-YD在论文[17]的结论中，杨和戴建议自己评估他们的合同，包括随机利率。这就是我们在论文中所做的，在测试7中，我们给出了一些关于GMWB-YD定价的数值结果。合同规格见表20，模型参数见表22，公允价值见表23。所有四种数值方法在静态情况下表现良好，但偏微分方程方法优于其他方法。在投降的案例中，情况有所不同：Longsta ff-Schwartz方法显示了它的局限性：在BSHW模型中，基础价值和账户价值在25年内可能会发生如此大的变化，而对如此广泛的一组价值的回归是有限的。PDE方法被证明是可靠和稳定的，尤其是在（T，T）=（0，25）的情况下，其中需要25个回归。5.3.2测试8：赫斯顿模型中的GMWB-YD在BS和BS HW模型中为GMWB-CF产品定价后，我们在赫斯顿模型中进行了定价。合同规格见表20，模型参数见表24，公允价值见表25。与之前的测试一样，所有四种数值方法在静态情况下表现良好；HPDE和ApdeOut执行了其他功能，并在该框架中被证明是等效的。在这个测试中，投降情况下的MC方法的数值结果是好的：可能在Hestoncase中最小二乘回归更容易。

此外，（T，T）=（10，25）情况下的结果非常好：在这种情况下，Longsta-Schwartz算法只需要15次数值回归，我们可以模拟比另一种情况更多的情况。Sr曲线kωρσ100 0.0325 f lat 1.0 0.2-0.5 0.30表22：试验7的模型参数。（T，T）T（T，T）n（0，25）A（0，25）A（0）A）8.11±3.11±3.55（81）81.30±3.81±3.81.30±3.81±3.80（80）81.30±2.80（80）8（80）80.80±2.80（80）80（80.80）80（80）80.80）80（80.80）80.80（80）80.80（80）80.80.80 80.80）80 80 80（80.80.80.80.80.80.80 80.80 80 80 80.80.80 80 80.80.80 80.80 80.80 80 80.80.80.80 80 80（80.80.80.80.80 80.80.80 80 80.80.80 80 80.80.80.80.80.80 80 80 80.80.80.80.80 80 80 80 80 80.80.80 80 80 80 80 80 80 80 72.89.60±1.1090.22±10.22±1.11（9.22±10.22±1.11±1.11±1.11（9.22±10.25）A（10，25）A（10，25）A（213.21±10.21±10.58±2.21±2.21±2.10 10 10（10）10（10）10（10）10（10）10）10（10）21.58±10.58±2.28（210）210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.4110 10 10 10 10 10.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.10 10.41414110.210.210.210.210.10 10 10.4141414110.10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10.4141419.61±1.29 239.75±1.27 242.97 243.04表23：试验7。BS HW模型的公平费用为50个基点，具有静态撤回或放弃期权。

表20和表22给出了本试验所用的参数。Svθkωρr100 0.300.301.0 0.2-0.5 0.0325表24：关于试验8的模型参数。静态交出mC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BM（T，T）=（0,25）A 104.19±3.43 104.49±3.64 101.17 101.10100.71142.75±4.67 140.41±4.60 145.58 145.86143.71B 101.04±2.36 102.43±2.62 101.07 101.07 139.92±2.97 138.92±2.82.145.80 C 101.49±1.30 102.19±1.42 101.08±0.52141.55±1.45±0.78±0.45±0.45±0.45101.07 101.07 101.07 101.07 101.01 101.08 101.101.101.01.01.01 101.01 101.01.01.01.101.01.01.01.01.01 101.01 101.101.01 101.01.01 101.01 101.01 101.01 101.01.01.04±1.01.01±1.05±1.04±2.11±24244.244.247（10，25）A）246.246.6.6.57±0 0 0 0 246.246.57±2.247±2.2480 0 0 0 0 0 0 0 247.246.246.247±2.246.246.247±2.247±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 247.247.244.244.247.247.247±2.246.247±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 245.42±0.60 245.18±0.65244.81 244.80 286.54±1.01 286.41±1.01 286.57 286.60表25：试验8。Heston模型的公平费用为50个基点，具有静态退出或放弃选项。表20和表24.6中提供了用于该测试的参数。结论在本文中，我们开发了四种数值方法，在不同条件下为两种版本的GMWB合同定价。关于随机模型，考虑了随机利率和随机波动效应。关于投保人的行为，考虑了静态和动态策略。由于GMWB可变年金是一种长期产品，随机利率和随机波动的影响不容忽视。特别是，随机利率的影响似乎更为相关。这四种方法在定价和增量计算方面都给出了兼容的结果。

公平套期保值费用（即维持复制投资组合的成本）是使用一系列参数确定的。PDE方法被证明不是非常昂贵，而MC方法被证明更昂贵。由于其收敛速度和结果的稳定性，混合偏微分方程似乎比其他偏微分方程表现得更好。ADI PDE也表现得很好，但实现起来比混合PDE要难一些；此外，ADI PDE的良好参数的选择也是一个麻烦的来源。在HWBS模型的情况下，由于精确的模拟，标准MC优于混合方法，而在赫斯顿模型的情况下，MC方法被证明大致相当，即使混合MC更容易实现。正如我们之前所说，PDE方法被证明比MC方法更有效，尤其是在动态情况下，实现最佳退出选择要简单得多。在GMWB的情况下，相似性约简将问题的维数降低到2，因此PDE方法表现良好。在GMWB-CF案例中，相似性降低无法应用，因此定价是一项艰巨的任务，尤其是在六个月提款和20年到期的情况下。

无论如何，我们必须注意的是，MC方法为结果提供了一个置信区间，它们在风险度量计算中很有用（例如VAR或ES），保险公司更喜欢它们，因为它们依附于理想情景。使用特殊的数值技术（样条曲线、改进的LS收敛）可以确保收敛，包括计算时间。可以处理的未来发展是将随机利率和随机波动性结合起来：组合模型可以成为更现实的元素。最后，我们指出，我们的方法非常灵活，因为它们可以适应各种各样的投保人退出策略，例如基于效用模型的退出策略。参考文献【1】A.Alfonsi（2010）。CIR过程的高阶离散化方案：应用于有效项结构和Heston模型。《计算数学》，第79卷，第269号，第209-237页。[2] A.D.安德里科普洛斯，M.维迪克斯，P.W.杜克，D.P.牛顿（2004）。减少晶格和网格方法的范围。《衍生工具杂志》第11卷第4期，第55-61页。[3] E.Appelloni，L.Caramellino A.Zanette（2015）。基于Cox-Ingersoll-Ross利率模型的美式期权定价稳健树方法。IMA管理数学杂志第26卷，第4377-401期。[4] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里、E.皮塔科（2011）。可变年金：一种统一的估值方法。《保险：数学与经济学》49，第285-297页。[5] A.Belanger，P.Forsyth，G.Labahn（2009）。评估部分取款的最低死亡保障福利条款。应用数学金融16，第451-496页。[6] M.Briani，L.Caramellino，A.Zanette（2015）。实现Hestonmodel的混合方法。首次在线发表于IMA管理数学杂志，DOI 10.1093/imaman/dpv032[7]M.Briani，L。

Caramellino，A.Zanette（2015年）。赫斯顿船体白色模型的数值近似。预印本，arXiv:1503.03705。[8] D.Brigo，F.Mercurio（2006年）。利率模型理论与实践。柏林斯普林格。[9] 陈志强，P.A.福赛斯（2007）。具有保证最小提取收益（GMWB）的定价变量的脉冲控制公式的数值格式。Numerische Mathematik，第109卷，第535-569页。[10] 陈志强，K.维特扎尔，P.福赛斯（2008）。建模参数对GMWB担保价值的影响。《保险：数学与经济学》43，第165-173页。[11] 戴文华、郭耀国和宗俊杰（2007）。可变年金中保证的最低提款收益。数学金融，即将出版。[12] P.Gaillardetz，J.Lakhmiri（2011）。股票指数年金的新保费原则。风险与保险杂志78245-265。[13] L.Goudenege，A.Molent，A.Zanette（2015）。Heston和Black-Scholes随机利率模型中的GLWB定价和套期保值，工作文件，http://arxiv.org/abs/1509.02686.[14] T.Haentjens，K.J.In’T Hout（2012）：Heston-Hull-White偏微分方程的交替方向隐式有限差分格式。《计算金融杂志》（83-110），第16卷，第一期，2012年秋季。[15] S.Heston（1993）：随机波动性期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究评论》，第6卷，第2期，第327-343页。[16] J.赫尔，A.怀特（1994年）。实施期限结构模型的数值程序I：单因素模型。《金融衍生工具杂志》，第716页。[17] 杨世成，戴天成（2013）。一个灵活的树，用于评估具有各种条款的递延人寿年金合同下的保证最低提取福利。《保险：数学与经济学》，第52卷，第231-242页。[18] F.A.朗斯塔夫，E.S.施瓦茨（2001）。

通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。《2001年春季金融研究回顾》，第14卷，第1期，第113-147页。[19] M.A.米列夫斯基，T.S.索尔兹伯里（2006）。担保最低提取福利的财务估值。保险：数学与经济学38，第21-38页。[20] D.B.纳尔逊，K.拉马斯瓦米（1990）。简单的二项式过程作为金融模型中的扩散近似。《金融研究评论》，第3卷，第3期，第393-430页。[21]V.Ostrovski（2013年）。高效准确地模拟船体白色模型。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=2304848或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2304848.[22]P.Shah，D.Bertsimas（2008）。对终身担保提款福利的分析。麻省理工斯隆管理学院工作论文。