Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

2022-5-10 22:49:59

用随机利率模型Sludovic Goudenege对Heston和Black-Scholes的GMWB进行定价和套期保值*Andrea Molent+Antonino ZanetteAbstractValuation Guaranted Minimum Druch Benef（GMWB）吸引了学术界和现实金融市场的极大关注。正如Yang和Dai[17]所说，Blackand Scholes框架似乎不适合这样一个长期成熟的产品。[10]中的Chen Vetzaland Forsyth也表明，这些产品的价格对利率和波动性参数非常敏感。我们建议使用随机波动率模型（赫斯顿模型）和随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（赫尔-怀特模型）。为此，我们提出了四种GMWB变量年金定价的数值方法：混合树-有限差分法和混合蒙特卡罗方法、有限差分方案和标准蒙特卡罗方法。这些方法用于确定最流行的GMWB合同版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的价格。考虑了持续撤退、最优投降和最优撤退策略。数值结果显示了无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。关键词：可变年金，随机波动，随机利率，最优提取。*巴黎中央大学数学系——CNRS FR3487——卢多维奇。goudenege@math.cnrs.fr+迪姆斯，特里亚斯特大学-安德烈。molent@phd.units.it乌迪内大学经济统计科学研究所-安东尼诺。zanette@uniud.it1简介可变年金是有保险覆盖的投资合同。

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nandehutu2022

2022-5-10 22:50:02

近年来，由于其特殊的特点，它们成为许多投资者的吸引力来源：它们是能够保证长期最低回报的税收递延产品，并能利用有利的市场走势。文献中的模型以Black和Scholes模型对这些产品进行了分析，忽略了利率的可能变化和标的资产的波动性。2008年次贷危机之后，金融市场经受住了影响整个世界经济的动荡。从那时起，这些市场极其动荡。在多次失败之后，适用于不同发送器的不同利率之间的差距越来越大，关于无风险利率识别的讨论也在进行中。欧洲央行和美联储的利率逐渐下降，而主权债务利率则逐渐上升。在本文中，我们考虑保证最低提取福利（GMWB）年金。我们将注意力限制在一种简单的GMWB形式上，这种形式是通过向保险公司一次性付款发起的。然后一次性投资于风险资产，通常是共同基金。福利基金或担保账户余额最初设定为一次性付款金额。保单持有人（以下简称PH）有权提取固定金额，即使风险资产的实际投资降至零。提款期可以立即开始，也可以稍后开始：在这种情况下，收益基数和账户价值可以重置为其价值和固定价值之间的最大值。最后，PH在支付罚金后，可以提取超过合同规定金额的款项，包括完全放弃合同。

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2022-5-10 22:50:06

此处完全退保意味着PHH提取投资账户中剩余的全部金额，合同终止。在大多数情况下，全部或部分投降的惩罚在五到七年后降至零。在合同执行期间，PH的死亡可能会带来死亡福利：在这种情况下，PH的继承人将获得风险资产账户中的剩余金额。本担保的套期保值成本通过从风险资产中扣除一定比例的费用来确定。从保险的角度来看，这些产品被视为金融产品：这些产品被套期保值，就好像它们是纯粹的金融产品一样，而死亡风险则是使用largenumbers法则进行套期保值的。因此，对保险公司来说，快速为这些产品定价是非常重要的。此外，这些产品的期限很长，可以持续近25年。具有恒定利率和波动率的Black-Scholes模型似乎不适用于这些产品：这就是为什么我们在两个框架中介绍定价方法，建模随机波动率（Heston模型[15]）和随机利率（Hull-White模型[16]）。最近有几篇关于GMWB定价的文章。特别是，我们会记得陈和福赛斯[9]和陈和维·扎尔和福赛斯[10]。在第一篇论文中，作者使用脉冲随机控制公式对可变年金GMWB进行定价，假设允许PH连续或仅在周年纪念日提取资金。在第二部分中，作者使用相同的偏微分方程方法分析了几种产品和模型参数的影响。PDE的使用被证明是非常快速和准确的，我们将其作为我们工作的参考。关于GMWB的另一项研究工作是杨和戴的[17]：他们使用可变树来评估带有各种条款的GMWB合同。

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2022-5-10 22:50:09

杨岱的产品与陈福赛斯的产品略有不同：这就是为什么我们将两者区别对待的原因。我们还参考了Bacinello等人[4]：可变年金（包括GMWB）采用蒙特卡罗方法定价。假设PH的行为是半静态的，即持有人撤回合同价格或放弃合同。在本文中，我们对两种类型的GMWBs担保进行定价，并在Hestonl模型和Black-Scholes随机利率模型（BS-HW模型）中找到无套利费用。首先，我们处理静态退出策略：PH按照合同利率退出。然后，从套期保值者的最坏情况来看，假设PH遵循动态退出策略，我们为担保定价。我们还使用这些方法来计算对冲和风险管理的风险。为此，我们提出了四种数值方法：混合树有限差分方法和混合蒙特卡罗方法（两者均由Briani等人[6]提出）、有限差分格式（Haentjens和Hout[14]）和标准蒙特卡罗方法（Longsta ff-Schwartz最小二乘回归（Longsta ff和Schwartz[18]）。正如我们在[13]中所做的那样，这些方法已经在“保证终身提取收益”（GLWB）定价问题上得到了发展，但在这种情况下，问题维度可能会发生变化。事实上，GLWB定价问题的维度为2，而GMWB定价问题的维度可能为2或3。我们使用“无套利费”一词的意思是，这是维持复制投资组合所需的费用。Chen等人[9]和Belanger等人[5]对此类担保的复制投资组合进行了描述。本文的主要结果如下：o我们制定了无套利费用（即。

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mingdashike22

2022-5-10 22:50:12

使用不同的定价方法在Heston模型和BS HW模型中维护复制套期保值组合的成本我们展示了随机波动率和随机利率对定价和计算的影响，以及GMWB费用对各种建模参数的敏感性我们使用不同的数值方法为GMWB合同定价我们给出了数值例子，证明了这些方法的收敛性。本文的结构如下：在第二节中，我们描述了合同的主要特征，如事件时间、撤销和处罚。在第3节中，我们简要回顾了随后使用的随机模型。在第4节中，我们介绍了数值方法，以及如何实现它们来解决GMWB合同定价问题。在第5节中，我们进行了数值测试，以显示它们的行为，并研究了无套利费用对经济和合同假设的敏感性。最后，在第6章中，我们给出了结论。2 GMWB合同在下文中，我们将参考陈和福赛斯[9]的论文以及杨和戴[17]的论文中描述的合同。我们将[9]中所述的合同称为GMWB-CF，将[17]中所述的合同称为GMWB-YD。现在，我们简要总结一下这两份合同的主要特点。2.1死亡率与陈和福赛斯[9]、米列夫斯基和索尔兹伯里[19]以及戴等人[11]的研究相似，我们将忽略以下方面的死亡率影响。我们计划在未来的工作中研究死亡率的影响。2.2合同状态参数t=0投保人向保险公司一次性支付保费P。溢价投资于一只基金，其价格由变量St表示。对于这两个合约，我们假设有一组离散时间{ti，i=1；在这些时候，可能会发生提款。

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2022-5-10 22:50:16

我们想ti=ti+1- tito为常数，表示为t、我们也考虑t=t- t、为了与杨岱的符号保持一致，我们将用t代替t（t=t）。然后，我们写T<T+t=t<t<··<tN=t；时间间隔[T，T]称为支付阶段。我们注意到，T.GMWB-CFC中没有提款。合同的状态参数为：o账户价值：At，A=P.o基本收益：Bt，B=P。这两个变量最初都设置为等于保费。我们确定T=0合同开始的时间，T=T最后一次可能撤回的时间。通常，首次提款发生在t=1年或t=0.5年。GMWB-YD合同的状态参数为：o账户价值：At，A=P.o保证最低支取：G.变量ATI最初设定为等于保费，而G直到T时支取期开始时才确定。对于这种类型的合同，我们不需要确定收益基数变量，因为在PH决定失效之前，其值是确定的。对于该产品，有两个时间参数，分别表示付款阶段的开始和结束。Yang和Dai使用整数值表示Tand和Tand在数值试验中，t=1 y。现在抽签发生在延迟时间，即t∈ [0，T[：在这段时间内，账户价值的演变如下一小节所述（见公式（2.2））。在Talso时，账户价值重置为（+）=maxhC（T），在(-)i、 G的值固定为asG=AT（+）m（T- T），（2.1），其中m表示每年的提款次数（通常m=1），C（T）是合同规定的值，可解释为总担保提款的下限。

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2022-5-10 22:50:19

该值指定为初始投资的回报，加总利率保证利率i，如下所示：C（T）=P（1+i）T。如果T=0，重置是微不足道的：AT（+）=a=P。2.3合同在延迟时间和事件时间之间的演变。我们将延迟时间称为从0到支付阶段开始的时间T:0≤ t<t。此时间集为空，除非用于延迟的GMWB-YD产品；其他产品的T=0，因此没有错误时间。我们首先考虑担保价值的演变，不包括事件时间ti。莱特∈ [0，T[ [0，T]或T∈ ]ti，ti+1[ [0，T]。正如我们之前所说，ST表示推动账户价值的基础基金。下一节将介绍STC的动态。账户价值遵循STD的相同动态，但某些费用可能会被连续减去：dAt=AtStdSt- αtotAtdt。（2.2）我们假设总年费由PH收取，并从投资账户中连续提取。这些费用包括共同基金管理费α和为担保（也称为附加条款）αg提供资金所收取的费用，因此αtot=αm+αg。保险公司用于对冲合同的唯一部分是来自αg的费用：另一部分费用必须视为PH提款时的流出资金。2.4事件时间和最终支付让G为提款保证金额：对于CF产品类型，此参数为合同输入，而对于YD类型，此值在时间t根据公式2.1确定。我们用ti时PH值的下降表示。

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2022-5-10 22:50:23

在[9]中，我们观察到Wii是一个控制变量。GMWB Cf第一个事件时间通常发生在时间t=t=1 y或t=t=0.5y；而且ti=i·t、我们用在(-)i、英国电信(-)i、钛在tiandwith时间发生的事件时间之前的状态变量At（+）i，Bt（+）i，ti紧随其后的状态变量。我们区分了两种定价框架：在每次活动中，PH可以根据合同费率G（静态方法）或不同费率（动态方法）退出。如果Wi≤ G、这样就不会受到惩罚；如果Wi>G，则存在成比例的罚款κ（Wi- G）。无论如何，PH值的Wichosen值不能超过保证提取量Bt(-)i:一定是Wi∈h0，英国电信(-)二、正如我们之前所说，PH可能不会收到他（她）从账户价值中提取的所有资金。Letfi（W）：h0，英国电信(-)二、→ R是扩大PH收到的现金流量率的函数，因为在时间ti提取。然后，fi（Wi）=（Wiif-Wi）≤ GWi- κ（Wi）- G）如果Wi>G，则新的状态变量为At（+）i，Bt（+）i，ti=最大值在(-)我- Wi，0, 英国电信(-)我- Wi，ti. （2.3）在时间t=t发生最后一次事件时间：PH值与前一次事件时间一样退出；然后，他（她）将收到最终的支付，该支付值为P=max（在（1-κ）英国电信）。这种最终支付也适用于静态情况。可以证明，在Tis WN=min时的最佳提取G、英国电信(-); 在这种情况下，撤回前合同的价值为在(-), 英国电信(-), T= 最大值在(-), (1 -κ）英国电信(-)+ κminG、英国电信(-).因此，本文简化了动态框架下最优退出的研究。我们注意到(-)i> 英国电信(-)在ti中，合同不能完全终止：如果PH以最大速率退出，则Wi=Bt(-)土地At（+）i，Bt（+）i，ti=在(-)我- 英国电信(-)i、 0，ti.

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2022-5-10 22:50:26

在这种情况下，由于B=0，PH将无法在以下事件时间内进行任何撤回，但他将收到最终付款F P=ATat时间T。GMWB-YD此类产品可延期或不延期。如果我们开始t=（t-T） /N，然后ti=T+t·i表示i=1，通常t=1 y。我们用在(-)i、 G(-), ti公司在tiandwith时间发生的事件时间之前的状态变量在（+）i，G（+），ti处紧随其后的状态变量。根据[17]，我们区分了两种定价框架：在每个事件时间，PH可以根据合同费率G（静态方法）或完全放弃（动态方法）退出。在第一种情况下，他（她）在T（T）之后的所有事件时间都收到G- t支付），状态变化由在（+）i，G（+），ti处=最大值0，在（+）i处- G(-), G(-), ti公司. （2.4）在时间t=t时，PH值接收到G加上最终支付：F P=At（+）。在第二种情况下，PH值在投降事件发生前接收G，等式（2.4）仍然成立。假设PH在事件发生时决定投降*; 然后在（+）i*, G、钛*= （0,0,ti）*) .最终支付在时间ti支付*, 合同变得毫无价值：fp=G+（1）- κ）麦克斯0，在(-)我*- G.2.5相似性降低GMWB-YD合同的一个重要特点是，该合同在规模化转换下表现良好，GLWB可变年金也是如此。如果V（A，G，t）表示合同的价值，则可以证明对于任何标量η>0ηV（A，G，t）=V（ηA，ηG，t）。（2.5）然后，我们只需将G=G的情况处理为固定值（例如，G=P/（T））- T），然后，选择η=^G/G，我们可以得到v（A，G，T）=G^GV^GGA，^G，T！，这意味着我们只能解决单个代表值G的定价问题。这有效地降低了问题的维度。重置A和G时，可以应用上一个属性。

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2022-5-10 22:50:29

一些简单的计算表明AT（+），G+T，T=在（+）PVP、 ^G，T.在[22]中，Shah et Bertsimas也利用了相似性缩减（2.5）。我们要指出的是，杨和戴没有在他们的产品中使用这种技术：因此，他们对pricingis问题的解决更加复杂，计算成本也更高。根据GMWB-CF合同，相似性约简不能直接应用。事实上，我们可以证明ηV（A，B，G，t）=V（ηA，ηB，ηG，t）（2.6），但在这种情况下，我们还必须对保证提款量G进行缩放，因此减少问题维度是没有用的。3基金的随机模型为了理解随机波动性和随机利率对此类长期合约的不同影响，我们根据两种模型对GMWB VA进行定价：提供随机波动性的赫斯顿模型和提供随机利率的布莱克-斯科尔斯-赫尔-怀特模型。正如我们之前所说，流程S代表驱动产品账户价值的基础资金。3.1赫斯顿模型赫斯顿模型[15]是金融领域最为人所知和使用的模型之一，用于描述标的资产和标的资产本身的波动性演变。为了确定符号，我们报告了其动力学：（dSt=rStdt）+√vtStdZStS=\'S，dvt=k（θ- vt）dt+ω√vtdZvtv=\'v，（3.1），其中zs和zv是布朗运动，dZSt，Zvt= ρdt。3.2 Black-Scholes-Hull-White模型Hull-White模型[16]是历史上最重要的利率模型之一，目前常用于风险管理目的。HW模型的重要优点是，存在计算债券、资产净值和互换期权价格的封闭公式。

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2022-5-10 22:50:32

为了确定符号，我们报告了BS HW模型的动力学：（dSt=rtStdt+σStdZStS=\'S，drt=k（θt- rt）dt+ωdZrtr=`r，其中zs和zr是布朗运动，dZSt，Zrt= ρdt。过程r是一个广义的Ornstein-Uhlenbeck（以下简称OU）过程：这里θ不是常数，而是一个确定性函数，它完全由零息债券（ZCB）的市场价值通过校准确定（见Brigo和Mercurio[8]）：在这种情况下，ZCB的理论价格与市场价格完全匹配。设PM（0，T）表示到期日T在时间0时ZCB的市场价格。然后，市场即时远期利率由Fm（0，T）=- ln PM（0，T）T.众所周知，短速率过程r可以写成rt=ωXt+β（T），其中X是dxt=-kXtdt+dZrt，X=0，β（t）是一个函数β（t）=fM（0，t）+ω2k（1）- 经验(-kt）。然后，BS HW模型由dSt=rtStdt+σStdZStS=\'S，dXt=-kXtdt+dZrtX=0，rt=ωXt+β（t）。（3.2）一种特殊情况称为FL曲线。在这种情况下，我们假设PM（t，t）=e-\'-r（T）-t） fM（0，t）=r，然后β（t）=r+ω2k（1- 经验(-和θt=\'r+ω2k（1）- 经验(-2kt）。工艺VtNode（3,2）时间tj（3,2）阳极（n，j）j=00j=01j=12j=23j=44工艺XtNode（n，j）节点（3,8）时间tj（3,8）Dj（3,8）Bj（3,8）Aj（3,8）CFigure 4.1：赫斯顿和赫尔白模型的树。4定价的数值方法本节介绍四种定价方法：混合蒙特卡罗方法、标准蒙特卡罗方法、混合偏微分方程方法和ADI偏微分方程方法。我们记得，我们的目标是确定αg的公允价值：正是费用使保单的初始价值等于初始保费。为了实现这一目标，我们对策略进行定价（使用以下程序之一），然后使用割线法接近αg的正确值。

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2022-5-10 22:50:36

因此，主要目标是能够找到给定值αg:V（a，B，0）（αg）的初始值。我们注意到，我们想从保险公司的角度计算保单的价值：管理费被视为现金流出，如果我们假设保单持有人遵循退出策略，我们认为对保险公司来说最糟糕的策略。4.1混合蒙特卡罗方法GMWB策略的值可以通过一组蒙特卡罗模拟来计算。这一过程分为两个步骤：场景生成（产品生命周期内潜在价值的采样），以及产品在场景中的投影。根据我们获取场景的方式，我们区分了两种蒙特卡罗模型：混合MC（HMC）和标准MC（SMC）。Briani等人[7]介绍了混合MC方法。这是一种为不同模型生成MCP场景的简单而有效的方法。这种方法被称为“混合”，因为它结合了树和MC方法。首先，需要建立一个简单的树：这可以根据Appelloni等人[3]或我们在[13]中对LWB所做的那样来完成。然后，使用伯努利随机变量向量，我们从根到树，描述波动性或利率的场景。使用欧拉格式可以很容易地获得每个时间步的基础值。4.1.1树在本小节中，我们介绍了用于构建波动率或利率树的要点：它们是四项树的样本，用于匹配随机过程的前3个矩。根据Appelloni等人[3]或Nelson和Ramaswamy[20]的说法，也可以建造其他树木，但我们更喜欢我们的四元树，因为它们更能保证长期成熟时收敛到准确的价格。

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2022-5-10 22:50:39

这些树的示例如图4.1所示。我们假设定义一个时间范围[0，T]，一个N>0的数字，我们定义h=T/N。我们表示“G（N，j）”树级别N和位置j的节点的值。赫斯顿模型波动率的赫斯顿过程（3.1）没有常数方差，也不是高斯分布。我们考虑由平方根得到的过程：√vt=4kθ -√及物动词- ω√vtdt+ωdZt。我们用方差ωdt的高斯过程来近似它。这种近似有助于定义马尔可夫链的状态网格空间：受[20]的启发，我们定义了jn=max0楼1.5n-√vω√H,我们设置v（n，j）=max0，√v+（j+jn）- 1.5n）ω√H对于j=0，3n- jn。由于jn而产生的移位有助于拒绝许多值等于零的节点：如果jn>0，则“v（n，0）=0和“v（n，1）>0。我们要指出的是，这个过程“VT”接近VT，而不是VT√vt：矩匹配是根据过程vt的矩进行的。我们现在确定n和j的值。离散过程v可以从一个节点跳到另一个节点，如阿马尔科夫链。我们现在展示如何找到可能即将到来的节点。Heston过程的前三个时刻可以在Alfonsi[1]：ψ（h）=（1）中找到-E-kh）/k，M=E[vt+h | vt=v]=ve-kh+θkψ（h），M=Eh（vt+h）|vt=vi=M+ωψ（h）θkψ（h）/2+ve-kh,M=Eh（vt+h）|vt=vi=MM+ωψ（h）2ve-2kh+ψ（h）kθ+ω3ve-kh+θkψ（h）.然后，我们可以像一般情况一样继续。无论如何，我们使用的网格是基于一个近似值：所以求解线性系统得到的概率可能不是正的。如果我们得到一个给定节点的负转移概率，我们尝试另一个即将出现的节点组合，用一个（或两个）靠近它们的节点替换一个（或两个）节点a、B、C、D。节点A或C可以被定义为大于C的第一个节点的节点E替换，节点B或D可以被定义为节点D之前最小的节点F替换。

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2022-5-10 22:50:42

这就产生了9种需要测试的组合。如果起始节点很小，且节点D验证jD=jn，则无法进行最后一次更改，因为将没有F节点。在这种情况下，我们允许节点D替换为节点E：见图4.2。如果这些尝试没有给出积极的结果（负概率），我们就放弃尝试匹配前三个时刻，我们满足于匹配前两个时刻的近似值，如[20]，从而确保弱收敛。在这种情况下，我们只使用节点A、B、C、D：我们定义了=u- Gn+1，jBGn+1，jA- Gn+1，jB，pBA=1- pAB，pCD=u- Gn+1，jDGn+1，jC- Gn+1，jD，pDC=1- pCD，pA=pAB，pB=pBA，pC=pCD，pD=pDC。可以证明，该变量的第一时刻等于M，等于h→ 0如[20]中所证明的，二阶矩接近M，确保收敛。在我们所有的数值测试中，最后一个选项（只匹配两个时刻）从来没有必要：改变节点，所有时刻都匹配正概率。Daecffigure 4.2：用于在Heston模型树中获得正概率的可能组合。红点对应于使用的节点。（3.2）中的Hull-White模型的过程X是高斯分布的，这个特性简化了树的构造。如Ostrovski[21]所示，变量Xtand'tsXydy是具有已知均值和方差的二元正态分布条件变量。我们定义（n，j）=J-3nr1- 经验(-2kh）2k，n=0，N和j=0，3n。让我们定义一个节点x（n，j）。

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2022-5-10 22:50:45

我们定义=exp(-kh），K=r1- 经验(-2kh）2k，M=X（n，j）H，jA=ceilMK+3（n+1）, XA=X（n+1，jA）。跃迁概率由pa=（XA）给出-M） 2KK+（K+M）- XA）, pB=（K+M）-XA）2KK+（M）- XA）,pC=（K+M）-XA）6K2K+（K+M）- XA）, pD=（XA）-M） 6K2K+（米）- XA）.4.1.2情景生成波动过程和利率过程的生成方式类似：我们从树的节点（0，0）开始，根据离散随机变量和节点概率，移动到下一个节点，依此类推。假设R是一个离散的随机变量，可以假设a、B、C、d的值，概率为pA、pB、pC、pD：在每个节点对这样一个变量进行采样，我们得到每个时间步的过程值。我们为这两个模型区分了两种情况。在Heston模型中，我们通过离散过程来近似[0，T]中的耦合（St，vt）“Skt、 “vkTk=0，。。。，T/t、与\'S，\'v= （S，v）。对于每种情况，我们都会产生波动性。让N~ N（0，1）和B~ B（0.5）。我们推导出‘St’的值+tby’St+t=\'StexphR-ρσkθt+ρσk-“vt+t+？-vtt+ρσ（\'vt+T- \'vt）+p（1）- ρ) t“vtni如果B=0，\'StexphR-ρσkθt+ρσk-“vt+t+？-vtt+ρσ（\'vt+T- \'vt）+p（1）- ρ) t\'vt+tNiif B=1。根据（3.1），我们使用正态变量N来生成S的高斯增量，使用伯努利变量B来分割与赫斯顿过程相关的算子。该方案（无分裂）出现在Briani等人[7]中，分裂方法出现在Alfonsi[1]中。在Black-Scholes-Hull-White模型中，我们通过离散过程来近似[0，T]中的耦合（St，Xt）“Skt、 \'\'XkTk=0，。。。，T/t、与\'S，\'X= （S，0），我们通过`rt=ωXt+β（t）来推导利率。让N~ N（0，1）。我们推导出‘St’的值+tby’St+t=\'Stexp“rtt+-rt-σt+σ\'Xt+t+-Xt（kT- 1)ρ +√t′ρN.4.1.3投影我们已经生成了场景集S={sk，k=1。

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2022-5-10 22:50:48

，ns}，我们将保单投射到所有的场景中：这意味着我们将合同的初始价值VS计算为根据每个场景确定的贴现现金流之和∈ 然后，合同V的初始值可以近似为所有情况下初始值的平均值：V≈nsXk=1Vskns。这个计算取决于我们是否采取了优化策略。在这种情况下，PH值的策略是固定的。We setG=Pm（T- T）。对于GMWB-CF产品，基本收益Bt的价值是确定的：Bt(-)i=P- G（i）- 1）和Bt（+）i=Bt(-)我-G.我们可以只写Vs=Vs（A，t）来表示GMWB的值，该值在时间t时等于toA。这个事实将问题维度设置为2。在这种情况下，GMWB-CF和GMWB-YD是同一种产品。对于每种情况，我们首先计算所有ti的（+）If值：AT=PAt(-)i=At（+）i-1斯蒂斯蒂斯-1e-αtottAt（+）i=最大值0，在(-)我- G.然后我们开始在（+），T= 在（+）；对于所有的人在（+）i，ti处= E-\'ti+1tirsdhvs在（+）i+1，ti+1处+ Gi，最后是Vs（AT，T）=e-`tTrsdshVs在（+），t+ 大兵。如果T=0，则这是根据场景s的策略初始值。否则，如果我们是延迟产品（即T>0），我们使用相似性缩减来获得vs（A，0）=e-\'TrsdsVs（P，T）·最大值P、 STe-α-托特P.最佳提取最佳提取是动态提取的一种情况，仅适用于GMWB-CF产品。在他们的文章中，Chen和Forsyth假设PH有权进行最佳取款，即在每个活动时间选择取款多少。在这种情况下，我们假设在每个事件时间，PH值可以提取正常量的一小部分。为了在这种情况下定价，我们假设PHH选择Withat的值会导致保险公司面临最糟糕的套期保值情况。

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nandehutu2022

2022-5-10 22:50:52

在这种情况下，wedenote V（A，B，t）是状态参数为A，B:V（A，B，t）=E[Vs（A，B，t）]的一般策略在时间t的预期值。因此，我们假设PH选择Wisuch thatWi=argmaxwi∈0，英国电信(-)我五、最大值在(-)我- wi，0, 英国电信(-)我- wi，ti+ wi-fi。这个期望值可以用Longstaff-Schwartz方法计算：1。模拟N个随机场景，并将策略定价到这些场景中。2.对于i=N到i=0（从tN=Tto t=t=0）：（a）对于每种情况，s计算VsAt（+）i，Bt（+）i，ti作为未来贴现现金流的总和。（b）使用最小二乘投影到函数空间（通常是多项式）近似函数V（A，b，ti）（如果ti>0）。（c）对于每种情况，找到最佳取款Wi（如果ti>0）。（d）根据τ=titoτ=t重新计算即将到来的状态变量，假设PH为Wτ选择了最佳值（如果ti>0）。用初始值{Vs（P，P，0），s的平均值来近似V（P，P，0）∈ S} 。寻找这类产品的最佳提取是一个目的。用多项式逼近函数V（A，B，t）是困难的：这是因为当计算值Atis接近Bt时，该函数是非常弯曲的，否则它是非常直的。我们以两种不同的方式开发了投影算法，以提高计算时间或收敛到正确的值。我们称快速算法为“完全回归”，精确算法为“直线回归”。完全回归在这种情况下，每个事件时间Ti的回归使用两个三变量多项式完成：qopti（A，B，u）和Qdwti（A，B，u），其中在BS HW模型中u是r，在Heston模型中是v。这里最重要的一点是o创建一个由常数点G=a×B={（ak，bh），0组成的网格≤ K≤ K、 0≤ H≤ H} 作为初始值，使用随机场景区分夫妇（A，B）。

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2022-5-10 22:50:56

这个网格让我们能够确保在每个事件时间，初始值集都是均匀分布的，并且对多项式回归有用。在我们的测试中，我们使用B作为从0到P的切比雪夫节点集，使用a作为从0到3P的均匀节点集。参见图4.3.o将空间分成两个区域U={（a，b）|a≥ b} D={（a，b）|a<b}并使用qopti（Ati，Btti，uti）对第一组进行回归，使用Qdwti（Ati，Bti，uti）对第二组进行回归使用移位和缩放技术来改进回归如前所述，最后一个事件时间的最佳退出时间ti=Tis始终等于minG、英国电信(-).o 为了找到提取量Wi的最佳值，数值试验证明，如果G精确除以p，然后在G的倍数中搜索就足够了。这里有一个伪代码：1全回归（{2 int-ETs=T2*WD_率；3场景生成（{u-generation_-step（））；4前进（{u-initial_-step（））；5（int-ti=ETs-1；ti>0；ti-）{6后退（{u-step_-GMWB（ti）；7最小二乘（{u-step_-GMWB（ti）；8前进（{Dynamic_-step_-step_-GMWB）（ti）；9}10后退（{GMWB）（0）；11}我们使用的函数如下：o场景_生成_步骤（）。生成场景：S和v或r前进\\初始\\步骤（）。对于所有场景，选择网格G的一个节点（a，b）（覆盖所有网格的变化），并设置巴斯蒂= （a，b）对于所有ti.o后退_步_GMWB（ti）。对于所有情况，计算保单价值VSTIA，将事件时间TIA作为贴现未来现金流的总和最小平方步GMWB（ti）。执行多项式回归。使用值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qupti（A、B、u），使Ati≥ Bti。使用值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qdwti（A、B、u），以便Ati≤ Bti.o前进_动态_步骤_GMWB（ti）。

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2022-5-10 22:50:59

将前进_初始_步函数规定的Atia和Btias的值保持不变，在所有事件时间tjafterti计算策略的状态参数，每次使用最佳退出。当我们后退和tj时≥ ti，我们可以使用在前面步骤中计算的多项式Quptj（A，B，u）和Qdwtj（A，B，u）来确定最佳提取。直线回归在这种情况下，每个事件时间ti的回归使用3个多项式完成，每个基本收益B和事件时间ti的值有2个变量：quti，B（A，u），Qmdti，B（A，u）和Qdwti，B（A，u），其中在BS HW模型中u为r，在Heston模型中为v。这些多项式都应该具有相同的d阶。这里最重要的一点是o创建一个由常数点G=a×B={（ak，bl），0组成的网格≤ K≤ K、 0≤ L≤ 五十} 作为初始值，使用随机场景区分夫妇（A，B）。这个网格让我们能够确保在每个事件时间，初始值集都是均匀分布的，并且对多项式回归有用。在我们的测试中，我们使用B作为从0到P的统一节点集，L=P/G:B={0，G，2G，…，P}。布景更复杂。它包含从Amin=0到Amax=3P的点；我们还尝试了Amax的其他值，3P给出了最好的结果。对于每一级B∈ B、我们将区间[0，3P]划分为3个子集：DWB=0，B, MDB=B、 BU-PB=B、 3P. 在每个子集中，我们定义了d+1切比雪夫节点。这些节点定义了网格。

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2022-5-10 22:51:03

见图4.3对于每个B级，通过回归获得多项式quti、B（A，u）、Qmdti、B（A，u）和Qdwti、B（A，u），使用集合DWB、M Db和u PB中节点的策略状态参数使用移位和缩放技术来改进回归如前所述，最后一个事件时间ti=T的最佳退出总是等于minG、 B-T.o 为了找到取款金额Wti的最佳值，数值测试证明，如果G精确除以P，那么在G的倍数中搜索就足够了。这意味着，当我们搜索最佳取款时，B的可能值是B的值。图4.3：完全回归法和直线回归法中使用的网格，用于T=10的GMWB和年度取款。在第一张图中，两个区域都使用了紫色点。在第二张图中，对于每个B级别，灰点位于不同扇区的边界，它们是共享的。最后一种情况下多项式的阶数是4。这里是一个伪代码：1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。2.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和5（5）5（5）5（5）5）为（INTL=0；l=0；l=0；l<1；l<1；l+1；l<1；l+1；l+1；l+1（6）6）6（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（部门（部门）为（部门）为（部门）为（部门（部门（部门（部门）l=l=l=l=l=l=DW=DW=DW=DW=DW=DW=DW=DW，l=DW，l u步骤（）；13后退步（0）；14}我们使用的函数如下：o场景_生成_步骤（）。生成场景：S和v或r前进动力步（ti，l，DW）。对于所有场景，设置Bti=bl=l·P/G，并在节点集DWBti中选择ATI，计算所有事件时间tjafter ti的策略状态参数，每次使用tj最佳退出。该功能也适用于M DBTIAN和U PBti扇区后退_步_GMWB（ti）。

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大多数88

2022-5-10 22:51:07

对于所有情况，计算保单VSTIA在事件时间TIA的价值，即贴现未来现金流的总和最小平方步（ti，l，DW）。执行多项式回归。使用使用的数值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qdwti，B（A、u）。该功能也适用于M DBTIAN和U PBti扇区最后一个前进动态步骤（）。对于所有场景，计算策略的状态参数，从t=0和A=B=P开始。本案涉及GMWB-YD产品。在他们的文章中，杨和戴假设博士有权在最佳情况下投降。在这种情况下，我们假设在每个事件时间ti∈ {t，…，tN}PH可以撤回合同金额，或完全放弃。正如我们之前所做的那样，相似性缩减让我们确定G的值。我们表示V（A，t）状态参数为A的一般策略在t时的预期值（相似性缩减让我们仅使用A作为变量）：V（A，t）=E[Vs（A，t）]。所以，我们假设PH在ti时投降*如果（1）- κ）麦克斯在-我*- G、 0≥ 五、最大值在-我*- G、 0, T.期望值V可以用标准的Longsta ff-Schwartz方法计算：1。假设PH遵循静态方法，模拟N个随机场景，并将保单定价到这些场景中。2.对于ti=tNto ti=t：（a）使用最小二乘投影到函数空间（通常是多项式）来近似函数V（a，ti）。（b）对于每种情况，评估Ti是否是良好的停止时间。3.在时间T使用相似性减少，包括账户价值重置。4.计算所有情况下初始值Vs（P，0）的平均值，以接近V（P，0）。4.2标准蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法与混合蒙特卡罗方法非常相似。唯一的区别是我们产生随机场景的方式。

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nandehutu2022

2022-5-10 22:51:10

投影阶段与混合蒙特卡罗阶段相同。4.2.1场景生成我们区分了两种模型的两种情况。Heston模型——在这种情况下，情景（基础和波动性）的生成一直在使用阿方西[1]中描述的三阶方案。Black-Scholes-Hull-White模型在这种情况下，场景（基础和利率）的生成是使用奥斯特罗夫斯基[21]中描述的精确方案完成的，为了整合基础和利率之间的相关性，进行了一些更改。4.3 PDE混合方法混合PDE方法不同于之前的方法。事实上，这是一种PDE定价方法，它基于Briani等人[6]，[7]对Heston和Hull White案例的分析。使用一棵树来区分波动率或利率，我们在两个树级别之间冻结这些值，并使用即将到来的节点数据的加权组合作为初始数据，为树的每个节点求解Black-Scholes偏微分方程。我们可以从模型、算法结构和定价三个方面恢复定价方法。我们开始描述事件时间之间的模型。4.3.1 Heston模型从所发现的Stin（3.1）的模型开始，我们称为¨ρ=p1- ρ，我们写出ZAt=ρZvt+’ρZAt，其中‘ZAt是一个与Zv无关的布朗运动。然后，（dAt=（r- αtot）Atdt+√vtAtρdZvt+’ρd’ZAtv=\'v，dvt=k（θ- vt）dt+ω√vtdZVtA=\'A，d“扎特，Zvt= 0，涵盖了两个事件时间之间的At行为，我们定义了processYEt=ln（At）-ρωvt，YE=ln（A）-ρωvThen，At=exp然而+ρωvt（4.1）anddYEt=R- αtot-及物动词-ρωk（θ）- （vt）dt+’ρ√vtdèZAt。这个过程很重要，因为它是一个与波动过程v不相关的过程，我们在[6]中介绍了它。

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2022-5-10 22:51:15

我们将使用它来定义一个PDE，并沿着树进行求解。我们定义了t、然而= V（t，At）。如果，在一个小的时间延迟内[τ，τ+τ]，我们用“动态是比亚迪给出的”过程来近似这个过程=R- αtot-vτ-ρωk（θ）- vτ）dt+’ρ√vτd′ZAt。然后，^VHet、 “还没有验证以下PDE^VHet+R- αtot-vτ-ρωk（θ）- vτ）^VHe\'YEt+\'ρvτ^VHe“还没有- r^VHe=0。（4.2）4.3.2 Black-Scholes-Hull-White模型从发现的Stin（3.2）的模型开始，我们称之为¨ρ=p1- ρ，我们写出ZAt=ρZrt+’ρZAt，其中‘ZAt是一个与Zr无关的布朗运动。然后dAt=At（r）- αtot）dt+σAtρdZrt+′ρd′ZAtA=\'A，dXt=-kXtdt+dZrtX=0，rt=ωXt+β（t），d“扎特，Zrt= 0.我们定义了流程Yut=ln（At）- ρσXt，YU=ln（A），然后，At=exp（Yt+ρσXt）（4.3）和dyut=rt- αtot-σ+σρkXtdt+σ′ρd′ZAt。这个过程很重要，因为它是一个与均值回复过程X不相关的过程，我们在[6]中介绍了它。我们将使用它来定义一个PDE，并沿着树进行求解。我们定义了VHWt、是的= V（t，At）。如果，在一个小的时间延迟内[τ，τ+τ] ，我们用过程来近似这个过程，动力学是比亚迪给出的=rτ- αtot-σ+σρkXτdt+σ′ρdZt，利率过程由rτ，然后，^VHWt、 “是的验证以下PDE^VHWt+rτ- αtot-σ+σρkXτ^VHW“是+”ρσ^VHW“是的- rτ^VHW=0。（4.4）4.3.3算法结构该算法的结构由树和PDE解算器组成。如Briani等人[6]，[7]所述，我们使用一棵树来区分产品生命周期中的波动性（或利率），并在树的每个节点上解决反向1D PDE冻结——波动性（或利率）。该树是根据第4.1.1节（四项树，匹配过程的前三个时刻）建立的，PDE是用有限差分法求解的。

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大多数88

2022-5-10 22:51:18

我们必须解决事件时间之间的偏微分方程，在每个事件时间，我们将变化应用于状态，以重现事件的影响。我们注意到，我们求解偏微分方程只需要一个线性复杂度，因为我们必须用三对角矩阵求解线性系统。如[6]和[7]所述，计算成本较低。我们观察到XT和VT过程是均值回复。由于树的构建方式，树中有许多节点无法被近似马尔可夫链访问。因此，它们被访问的概率pn，jt值为0，并且它们对树根的值没有影响。没有理由对这些节点执行任何操作。因此，为了节省时间，我们只对pn，j>0的节点执行标准步骤（根据转移概率混合向量并向后求解PDE）。这种缩减技术减少了计算时间，并保留了方法的收敛性。[2]中使用了类似的方法。4.3.4 PricingWe区分了3种情况。静态情况GMWB-CF和GMWB-YD产品都有这种情况。问题维度为2:aboutGMWB CF，在每个事件时间，基本收益Btiis的值等于P-G·i，因此它不是一个问题变量；关于GMWB-YD相似性约简，将问题维度减少到2。对于树的每个节点，我们必须使用向上节点的数据的混合来求解一个偏微分方程：混合是根据转移概率来完成的。要求解的偏微分方程是（4.2）和（4.4）中的偏微分方程，其中[τ，τ+τ]表示两个树节点之间的时滞。变量r、X和v将使用实际节点的数据表示rt、XT和VT的冻结值。我们使用有限差分方法，使用等间距节点进行处理。

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mingdashike22

2022-5-10 22:51:21

为了减少运行时间，我们只对最相关的节点这样做：这种切割技术在不影响结果质量的情况下大大减少了计算时间。然后，使用反变换（4.1）和（4.3），我们应用（2.3）或等效（2.4）中的事件时间动作。最佳取款这个案例是关于GMWB-CF产品的。这是最难处理的问题，因为问题的维度是3。我们求解的PDE与静态情况下的PDE相同，但这一次我们必须求解BTE的不同值，并在每个事件时间选择最佳值。数值测试表明，在G的倍数等于或小于基本收益的情况下搜索最佳取款就足够了。然后，我们决定解决所有Bt值均为G的倍数且小于初始溢价P的问题：B=0，B=G，Bt=2G。B=nG=P。然后，我们解决n个二维问题，而不是一个三维问题。这种方法类似于为MC方法定义的“直线回归”。最佳取款搜索是在允许取款中进行搜索，取款是G的倍数：W=0，W=G。W=mG=B。对于不在网格上的A值，V（A，B）的估计值是使用样条线进行的。0 AT0BT204060801000100 200 300 400 500图4.4：给定节点的PDE最优退出方案。在图4.4中，我们可以看到一个代表G=20的产品发生了什么的方案：例如，一个5年到期的GM，年提款率为P=100（G=20）。节点是指数分布的（对于Y进程是一致的），对于每个B值，我们添加一个表示a=0的节点（蓝色节点）。对于每个节点，我们首先根据转移概率混合即将到来的节点的数据向量。然后，我们从混合数据开始反向求解偏微分方程。

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2022-5-10 22:51:24

然后我们应用取款步骤：对于每个节点，我们考虑W=kG类型的可接受取款，并选择最大化EPH收益的值：现金流加保单价值。该研究如图所示（见黄色节点，对应于可能的取款）。最佳投降本案涉及GMWB-YD产品。这比最优取款要简单得多。事实上，PHC只能在按合同利率退出和完全放弃之间做出选择。事件发生时的退出步骤是将V（A，ti）替换为max[G+V（max（A- G、 0），ti）；G+（1）- κ）（A）- G） ]4.4 PDE ADI方法我们提出了一种具有替代方向隐式方案的PDE定价方法，该方法已成功用于欧洲金融产品（见[14]）和保险GLWB产品（见[13]）。该方法允许处理Heston模型和BS HW模型。该方法快速、准确。此外，它很容易考虑相似性降低和最优行为。对于这种方法，我们遵循了HPDE方法中考虑事件时间的相同原则。两个模型中需要求解的偏微分方程是vhet+V-AVHeAA+ωVVHeV+（r- αtot）AVHeA+ρωAV VHeAV+k（θ）- V）VHeV- rVHe=0（He）VHWt+σAVHWAA+ωVHWrr+（r- αtot）AVHWA+ρωAσVHWAr+k（θt）- r） VHWr- rVHW=0（HW）必须仔细选择多个数值参数。

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2022-5-10 22:51:28

我们必须为BS HW模型中的收益基数、账户价值、利率和赫斯顿模型中的波动率选择网格。我们选择使用[14]中描述的网格，参数saleft=0.8SAright=1.2SAmax=1000·T 2·Sand d=S/20，BS HW静态Heston静态HMC SMC HPDE APDE HMC SMC HPDE APDEA 4×9.2·101×1.7·10260×250×250×505 4×5.8·104×5.2·10270×250×250×505B 8×1.8·101×5.7·10420×500 40×400×85×1.2·108×1.2·10520×500 40×400×80C 12×6.3·101×2.9·10780×620×12×3.4·10850×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10.11.动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv1.5·10×3266×1000 25×320×60D 16×3.5·10×4 1×3.5·10×4 360×2000 35×400×120 16×4.2·10×4 16×5.0·10×4 350×2000 40×500×90表1：BS HW模型和赫斯顿模型的配置参数，T=10和W F=1的GMWB-CF产品的静态和动态配置参数。对于变量A的网格，Rmax=0.8，对于BS HW模型中变量r的网格，c=Rand d=Rmax/400，Vmax=MIN（最大（100V，1），5），d=Vmax/500。对于Heston模型中变量V的网格。有些网格是均匀的或基于双曲变换的。此外，边界条件是完全未知的，因此有必要对其进行渐近研究。我们选择了齐次Neumann边界条件，我们选择了非常大的网格，以避免这种选择影响结果。我们只使用了道格拉斯方案，但其他方案可能在时间上有更好的收敛顺序。

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2022-5-10 22:51:32

因此，有许多可能改进ADI方案，但更容易的已经足以获得良好的结果。5数值结果在本节中，我们比较了第4节中使用的数值方法：混合蒙特卡罗（HMC）、标准蒙特卡罗（SMC）、混合偏微分方程（HPDE）和ADI偏微分方程（APDE）。特别是，我们比较了两种产品类型在静态和动态情况下的定价和计算。我们根据4种配置（A、B、C、D）选择了方法的参数，增加了步骤数量，因此每种配置中各种方法的计算时间都很接近。表1和表2中列出了4种配置，其中ADI PDE方法的符号为（每年时间步长×空间步长×体积步长），混合PDE方法的符号为（每年时间步长×空间步长），MC方法的符号为（每年时间步长×模拟次数）。在蒙特卡罗动力学情况下，我们还加载了近似多项式的阶数。选择这些值是为了使用普通计算机实现近似的运行时间：（A）30秒，（B）120秒，（C）480秒，（D）1920秒。为了减少运行时间，我们对所有方法使用越来越多的时间步进行割线迭代：表1和表2中的值是最后3次迭代使用的值。我们使用标准MC作为定价方法，两者都作为基准（BM）。关于基准测试，在静态情况下，我们使用了10次独立运行。在动态情况下，我们使用了10次独立运行；在每个子运行中，预期值都用4次多项式近似。对公平αG值的搜索是由割线法驱动的。

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