Léevy模型中期权定价的灵活Galerkin方案

2022-5-11 03:10:24

Levy模型中期权定价的灵活Galerkin方案Maximilian Gass和Kathrin Glausepter 2018Technische Universit？M？unchen，Center f或Mathematicskathrin。glau@tum.de，马西米兰。gass@mytum.deAbstractOne在L’evy模型中，期权定价的流行方法是通过求解相关的部分积分微分方程（PIDE）。对于此类方程的数值解，Hilber等人（2013）提出了强大的Galerkin方法。在实践中，大类模型是同时维护的，驱动L’evy模型的灵活性对于这些强大工具的实施至关重要。在本文中，我们提供了一种灵活的有限元伽辽金方法。为此，我们利用了最小生成元的傅里叶表示法，即相关符号，该符号明确适用于最相关的列维模型。Merton、NIG和CGMY模型的实证研究证实了该方法的数值可行性。关键词L’evy过程、部分积分微分方程、伪微分方程、符号、期权定价、伽辽金方法、有限元法数学学科分类（2000）91G80、60G51、35S10、65M601在计算金融中，当运行时间和准确性都很重要时，解部分微分方程的方法开始发挥作用。例如，与蒙特卡罗相比，运行时非常有吸引力，并且建立了一个确定性和保守的错误分析，并且得到了很好的理解。而且，与傅立叶方法相比，捕捉路径相关特征（如早期运动和障碍）的可能性是自然存在的。

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2022-5-11 03:10:27

在这些吸引人的特征中，有能力吸引学术界的兴趣，并满足金融行业的需求。在学术界，Cont和Voltchkova（2005b）、Hilber、Reich、Schwab和Winter（2009）、Salmi、Toivanen和Sydow（2014）、I tkin（2015）和Glau（2016b）以及Hilber、Reichman、Schwab和Winter的Monograph（2013）的一系列出版物开启了这一理论，包括更复杂的L’evytype模型，从而产生了部分积分微分方程（PIDE）。理论结果已通过复杂的数值研究得到验证。在这种背景下，施瓦布及其工作组尤其率先揭示了PIDE理论在金融业中的应用潜力。将最先进的压缩技术与小波基有限元设置相结合，形成了先进多变量泵模型中期权定价的数值框架，从而打破了学术界的界限。在金融行业，需要充分认识到这些工具的潜力。提倡数值方法的进步，我们必须承认实践中最珍视的方法。由于不同投资组合的模型不确定性和行为特征，金融机构需要并行处理许多不同的定价模型。或者，用F¨ollmer（2009）的话来说：“在任何情况下，对风险管理从业者的信号都是明确的：不要致力于一个单一的模型，保持灵活性，根据手头的问题改变模型，始终记住最坏的情况。”这些特征需要在数值环境中反映出来。在本文中，我们的目标是协调最先进的P（I）工具的能力与行业要求的不同模型选择的灵活性。

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2022-5-11 03:10:31

此类实施必须具备的理想特征包括：（1）与实际应用相关且可通过理论误差分析进行测量和控制的准确度；（2）快速运行时间；（3）低且可行的实施和维护成本；（4）工具箱对不同选项和模型的灵活性。求解P（I）DEs有两种标准方法，即有限差分法和有限元法。最近，也推出了径向基方法来解决定价问题。原则上，这些概念的实现方式可以使其达到预期的功能1.——3.已经开发了各种模型和期权类型的实施方案：Cont and Voltchkova（2005b）和Cont and Voltchkova（2005a）中提供了有限差方案，用于解决欧洲和障碍期权定价的PIDE，以及Merton和方差Gamma的实施方案。该方法在不同方向得到了进一步发展，我们提到了一个例子，Itkin和Carr（2012），他们使用方程的特殊表示，推导出了跳跃强度为稳定型的跳跃差异的有限差分模式。Matache et al.（2005）对美式期权推导了与一类广义回火稳定L′evy过程相关的PIDE的小波伽辽金方法，高维扩展见Marazzina et al.（2012）。Chan和Hubbert（2014）提供了Merton和Koumodel、美国和欧洲选项的径向基，Brummelhuis和Chan（2014）进一步开发了CGMY模型。在驾驶模型和选项类型中灵活的实施首先需要解决一个涉及设想模型和选项总体的计算问题。

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2022-5-11 03:10:35

鉴于特征（1），对结果方案进行误差分析的统一方法同样重要。伽辽金方法起源于K-olmogorov方程的希尔伯特空间公式，似乎注定要为这项任务提供足够的抽象层次。这是从德语翻译过来的抽象层次。这使得Galerkin方法在选项类型和非驱动过程的维度上变得灵活。因此，即使与有限差分方案相比，伽辽金方法乍一看似乎涉及更多内容，它们仍有望带来更清晰、更易于维护和扩展的代码。Galerkin方法的另一个基本优势是其理论框架，允许进行清晰、广泛的收敛性分析和误差估计，这对于控制方法论金融风险非常重要。在我们选择的方法之前，先使用有限元法或更通用的伽辽金法。不幸的是，即使是有限元方法在实施基于L’evy模型的定价工具时也面临着数值挑战。更准确地说，决定stiffness矩阵的L′evy算子是积分微分型的。首先，结果矩阵是人口密集的，通常不是对称的。秒，甚至更严重的是，矩阵项通常不显式可用。相反，它们要求对可能涉及数值上不可访问的El’evy测度的二重积分项进行求值。在这些情况下，对各个积分的彻底分析可能会产生近似方案，以获得所需精度的stiffness矩阵项。

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2022-5-11 03:10:38

然而，采用这种方式很可能会导致模型特定方案，与要求（4）相矛盾。在本文中，我们的目标是开发一种独立于模型的方法，以建立一个有限元解算器，用于L’evy模型中的期权定价，我们称之为符号法。我们通过在傅里叶空间中表达算子来实现这一目标。这意味着通过符号访问模型特定信息。与运算符不同，符号明确适用于各种型号，因此在数值上是可以访问的。后续章节将重点介绍更多优势。第二节介绍了我们的兴趣爱好的理论框架及其弱公式。下一节介绍s解格式，即空间中的伽辽金近似。我们调查了该计划在实施过程中遇到的数字挑战。第4节介绍了Symbol方法本身。FEM解算器的所有组件都用四个空间表示。随后对stiffness矩阵项的数值计算得到了初等近似结果的支持。著名的L’evy模型的几个符号示例证实了该方法的广泛适用性及其数值优势。对基函数的实现提出了两个建议。第5节中的数值研究从理论上描述了收敛速度，并验证了数值可行性的说法。2 L’evy模型中期权定价的Kolmogorov方程我们首先介绍了未解释的随机过程、Kolmogorov方程、其弱公式以及我们选择的解空间。2.1 L’evy过程设为随机基础(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P）给定并设L是一个具有特征（b，σ，F；h）的Rd值L′evyprocess，即。

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2022-5-11 03:10:41

固定时间≥ 0其特征函数由eihξ给出，Lti=e-助教(-iξ）d每ξ∈ Rd，（1）其中过程的符号定义为asA（ξ）：=hξ，σξi+ihξ，bi-ZRdE-ihξ，yi-1+ihξ，h（y）iF（dy）。（2）这里，σ是一个对称的、正的半限定d×d矩阵，b∈ Rd，F是aL’evy测度，即RdF（{0}）=0和Rrd（|x）上的正Borel测度|∧1） F（dx）<∞. 此外，h是截断函数，即h:Rd→ R使得R{x |>1}h（x）F（dx）<∞ h（x）=x在0附近。具有特征（b，σ，F；h）的L’e vy过程L的Kolmogorovo算子由a~n（x）给出：-dXj，k=1σj，kφxjxk（x）-dXj=1bjφxj（x）-ZRd~n（x+y）- ~n（x）-dXj=1φxj（x）hj（y）F（dy）（3）每∈ C∞（Rd），其中hj表示截断函数h.2.2 Kolmogorov方程变分形式的第j分量Kolmogorov方程变分形式的关键tu+Au=f（4）u（0）=g（5）是双线性形式（ψ，ψ）的定义：=ZRd（A）（x）ψ（x）dx表示所有，ψ∈ C∞（Rd）。（6）进化方程的变分公式的主要优点之一是，与示例的空间C相比，低正则性的解空间以优雅的方式结合在一起。

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2022-5-11 03:10:44

离开C空间∞（Rd）对于紧支撑的光滑函数，我们可以从各种各样的函数空间SV中进行选择，这些函数空间SV具有以下假设的特征。（A1）V和H是希尔伯特空间，使得C∞（Rd）在V中稠密，并且存在从V到H的连续嵌入。变分解的存在和唯一性关键取决于双线性形式的以下两个性质：（A2）连续性：存在一个常数C>0，使得a（ψ，ψ）≤ 对于所有的ψ，ψ∈ C∞（Rd）。（A3）Garding不等式：存在常数G>0和G′≥ 0使A（а，а）≥ Gk~nkV- G′k~nkh适用于所有人∈ C∞（Rd）。我们发现，由于（A1）和（A2），双线性形式a具有唯一连续的双线性扩展a:V×V，这是连续的，即对于常数C>0，我们有a（ψ，ψ）≤ 对于所有v，Ck~nkVkψkv∈ 五、同样（A3）适用于所有v∈ 五、由于V是可分离的，这也适用于H，人们可以找到从H到du al空间V的连续嵌入*关于V，即（V，H，V*) 是一个格尔芬德三胞胎。然后我们用L表示0，T；H弱可测函数的空间u:[0，T]→ HwithRTku（t）kHdt<∞ 而且tu是u在分布意义上对时间的导数。关于ich依赖于Bochner积分的详细定义，请参考Wloka（1987）第24.2节。S-obolev空间w（0，T；V，H）：=nu∈ L0，T；五、屠∈ L0，T；五、*o、（7）将在Kolmogorovequation（4）、（5）的变分公式中发挥解空间的作用。定义2.1。让f∈ L0，T；五、*和g∈ H.然后是u∈ W（0，T；V，H）是Kolmogorov方程（4）的一个差分解，如果对于几乎每个T∈ （0，T），htu（t），viH+a（u（t），v）=hf（t）|viV*所有v∈ V（8）和u（t）对于t收敛到g↓ H的范数为0。备注2.2。

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2022-5-11 03:10:47

假设（A1）-（A3）保证了变分解u的存在唯一性∈ （8）中的W（0，T；V，H），例如定理23。A inZeidler（1990）。2.3解空间定义6基于L-标量积，适用于Sobolev空间中的变量方程。然后，通常H=L。对于期权价格的Kolmogorov方程，（5）中的初始条件g起到了期权（对数变换）支付函数的作用。对于行使K的看涨期权，其形式为x7→ （性-K） +，对于数字向上和向外选项，它由x 7给出→ 1x<b，对于某些b∈ 因此，我们必须观察到，对于大多数感兴趣的典型情况，初始条件g是不平方可积的。在此之前，我们的分析更一般地基于指数加权的lspace：对于η∈ RdletLη（Rd）：=U∈ Lloc（Rd）| u ehη，·i∈ 左（右）, kukLη：=ZRdu（x）e2hη，xidx1/2anda（ψ，ψ）：=hAа，ψiLη=ZRd（Aа）（x）ψ（x）e2hη，xidx表示所有的ψ，ψ∈ C∞（Rd）。（9）我们注意到，关于假设（A）-（A3）和变分方程的先例部分的所有断言都适用于由（9）定义的双线性形式A，而不是afrom（6）。作为解空间V，我们考虑加权Sobolev-Slobodeckii空间。这些已被证明适用于大量的期权类型和模型。我们参考了Eberleinand Glau（2014）和Glau（2016b），其中特别是Feynman-Kac型公式是在Sobolev-Slobodeckii空间中将欧式和p-ath-d依赖选项与Kolmogorov方程的弱解联系起来推导出来的。为了引入这些空间，我们用C表示∞（Rd）在Rd中具有紧支集的光滑实值函数集和letF（Д）（ξ）：=ZRdeihξ，xiД（x）dx（10）是Д的傅里叶变换∈ C∞（Rd）和F-1相反。

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2022-5-11 03:10:50

我们用指数α定义指数加权的Sobolev-Slobodeckii空间Hαη（Rd）≥ 0和重量η∈ Rdas是C的完成∞（Rd）关于k k kHαη给出的标准k·kHαη：=ZRd1 + |ξ|2αF（ψ）（ξ）- iη）dξ。（11）此外，我们还将Hαη（Rd）的对偶空间表示为Hαη（Rd））*.3实施挑战3。1可数Riesz基{~n，~n，…}的空间抽象伽辽金近似对于V，我们定义为：=sp an{~n，…，~nN}∈ N.由于V在H中是稠密的，我们可以进一步选择gNin vn，使gN→ 每个固定N的u（0）单位为H∈ N半离散问题通过限制（8）到有限维空间来定义：找到函数vN∈ W（0，T；VN；H）∩VN）所有人都满意∈ C∞（0，T）和∈ VN，-ZThvN（t），˙iL2˙χ（t）dt+ZTavN（t），~nχ（t）dt=ztf（t）|iV*×Vχ（t）dtvN（0）=gN。（12）作为优雅的希尔伯特空间公式的结果，半离散问题（12）是唯一可解的，并且序列vn到v的收敛性得到保证，参见定理23。A.和Zeidler（1990）中的备注23.25。等式（12）在实现方面的主要优势在于，可以插入基函数作为测试函数。因此，表示gN=PNk=1αkа和vN（t）：=PNk=1Vk（t）wk我们到达NXk=1˙Vk（t）hаk，аjiL2+NXk=1Vk（t）a~nk，~nj= hf（t）||jiV*x VVk（0）=αk对于所有k=1，N.以矩阵形式编写，问题是找到V:[0，T]→ r使得m˙V（t）+AV（t）=F（t）（13）V（0）=α，（14），其中F=（F，…，FN）Fk（t）=hf（t）|kiV*对于k=1，N，α=（α，…，αN）, 质量矩阵M和阻力矩阵A由mjk=hаk，аjiL，Ajk=A给出~nk，~nj对于所有j，k=1，N.（15）3.2不同驾驶过程的灵活实施我们检查方程式（14）中不同选项和模型的灵活性。（13）中的所有成分取决于基础的选择。

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可人4

2022-5-11 03:10:53

虽然M与手头的具体问题无关，但F和α代表输入数据，因此可能因不同的选项类型而异。承载驾驶过程信息的stiffence矩阵A。因此，为了获得对模型类型的灵活性，我们需要一种通用的方法来计算stiffness矩阵的条目。对于具有紧支集的光滑基函数和无加权的解空间，即η=0，根据（2）、（6），Stiff矩阵项由~nk，~nj= -dXl，m=1σj，mZRdLm~nk（x）~nj（x）dx-dXl=1blZRdlаk（x）аj（x）dx-ZRdZRdνk（x+y）- ~nk（x）-dXl=1l k k（x）hl（y）F（dy）~nj（x）dx。（16）典型的b asis函数并不平滑。因此，积分表示（16）是否扩展到通常的基函数，目前尚不清楚。注意，这种表示的扩展需要一些注意：对于一大类重要的纯跳跃L′evy过程，解空间是分数阶的Sobolev-Slobodeckii空间，即Hα，其中一些0<α<1。然而，对于α<1的Hα中的函数，（16）中的一阶弱导数没有定义，因此双线性形式的积分表示也没有定义。可以看出，基本函数通常在H中，同样在更具挑战性的情况下，对于分数阶微分方程的解s，我们在适当的假设下导出了表示的有效性。引理3.1。设d=1。让a由（9）定义。假设（A1）-（A3）表示a，V和h，并用a:V×V表示其唯一的双线性连续扩张。

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2022-5-11 03:10:56

如果Hη（R） V，对于每一个ψ，ψ∈ Hη（R），a（ψ，ψ）=σZR~n′（x）ψ′（x）e2ηxdx- b（η，σ，F）ZR~n′（x）ψ（x）e2ηxdx-ZRZ|y|<1zyz|′（x+v）d v dzF（dy）ψ′（x）+2ηψ（x）e2hη，xidx（17）-ZRZ | y |>1~n（x+y）- ~n（x）F（dy）ψ（x）e2hη，xidxb（η，σ，F）=b- 2ση+Z | y |<1Y- h（y）F（dy）-Z | y |>1h（y）F（dy）。证据见A.1节。检查双线性形式的表达式时，我们遇到了几个数字挑战，因为过程中的跳跃产生了积分部分：1。与BlackScholes方程相关的Stiff ness矩阵的吸引人的三对角结构不适用于一般的L’evy设置。相反，效能矩阵人口密集。令人高兴的是，它仍然是一个托普利茨矩阵。2.对于L’evy度量和基数的某些选择，Stiff ness矩阵项可能以封闭形式推导。例如，默顿模型和分段线性基函数就是这样。根据Hilber等人（2013）的第10.6.2节，Stifff矩阵项可以半封闭形式的表达式导出，用于进一步的压缩强度组，包括回火稳定、CGMY和Kobol过程，以及分段线性基函数的选择。因此，在驱动L’evy过程中灵活的实现必须依赖于stiffness矩阵条目的数值近似。这些近似值不可避免地影响方案（13）-（14）解的准确性。

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能者818

2022-5-11 03:10:59

问题来了：为了满足解决方案V的期望精度，积分例程必须达到多高的精度？为了对因stiffness矩阵条目不准确而产生的误差的大小获得第一个实用见解，我们接下来进行了一项实证调查。3.3 Stiff ness矩阵近似值的精度研究为此，我们对Stiff ness矩阵条目进行精度研究，模拟Stiff ness矩阵中积分误差的传播，直至计算出期权价格。我们选择Black-Scholes模型，该模型的所有矩阵中心的精确值都是已知的，本研究假设市场波动率σ=0.2，利率=0.01。使用经典的FEM解算器，我们推出了一个strikeK=1且到期日为T的看跌期权∈ [0,3]用于股票S的当前值∈ [Smin，Smax]最小值为0.01，Smax=10。我们将涉及的FEM hat函数的数量设置为toN=150，从而生成一个包含150个内部网格节点的网格，网格密度h=0.0464。我们知道Black-Scholes模型的质量矩阵由m=h给出4 1 0 ··· 01 4 1.....................1 4 10 ··· 0 1 4∈ RN×N，由A=Abs=A（1）+A（2）+rM给出的阻力矩阵∈ RN×N，（18）where（1）=R-σ0-1 0 ··· 01 0 -1.1 0 -10 ··· 0 1 0, A（2）=σh2.-1 0 ··· 0-1 2 -1.-1 2 -10 ··· 0 -1 2.利用这些矩阵，我们建立了θ=0.5的θ方案，并推导出Black-Scholesput期权价格。我们使用这些矩阵来模拟结果pricingsurface如何受到数值求解这些积分时可能出现的不精确性的影响。

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2022-5-11 03:11:03

在这种程度上，我们采用（18）给出的正确的stiffness矩阵，并在不同的位置随机扭曲每个条目∈ N在临界点后加εDi=10-（D）-1） εi与随机εi∈ (-对我来说∈ {-（N）-1), . . . , -1, 0, 1, . . . , （N）-1） }在矩阵A的（侧）对角线i上。因此，原始stiffness矩阵的每个（侧）对角线受到均匀影响，保持矩阵的toeplitz结构完整。因为Aijis的值只由j的值决定- i、这种失真模拟了集成不准确可能产生的影响。因此，对于D∈ N我们通过ADDISTORT=A+εD定义扭曲的stiffness矩阵∈ RN×N，（19），εD=10-（D）-1)εε······εN-1ε-1εε............ε-2ε-1.εε............ε-1εεε-（N）-1)··· ··· ··· ε-2ε-1ε∈ RN×N，均布εi∈ (-1，1），我∈ {-（N）- 1), . . . , -1, 0, 1, . . . , （N）- 1） }，它们是相互独立绘制的。使用这些扭曲的stiffness矩阵为不同的值D添加∈ N、我们再次推导了Black-Scholes模型中putoption的价格曲面，并比较了扭曲的stiffness矩阵Addistor的价格差异∈ RN×从影响系数矩阵A中扣除价格∈ RN×N.图1显示了研究结果，并强调了在计算Stiff矩阵时需要高数值精度。我们观察到，绝对价格差异在D中几乎呈线性下降。D=3的精度对应于精确到小数点后第三位的积分结果。以如此低的积分精度计算的stiffness矩阵产生的定价是不可接受的。在图1左上角可以观察到的各个定价错误表明了几百个百分点的相对误差。

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2022-5-11 03:11:06

随着更精确的积分结果，误差在D中减小，直到高lytd=3S-5-10-15TD=5S-0.010.010.02TD=7S-5×10-5TD=10S0。5-0.5-1-1.5×10-7图1：因stiffness矩阵扭曲而产生的绝对价格差异。真实和扭曲的价格描述了BlackScholes模型中看跌期权的市场价值，参数化来自第3.3节。我们使用（18）给出的差分矩阵a将θ方案的价格面与（19）中定义的a的扭曲版本Addistor替换a时的相应价格面进行比较，以获得不同的D值∈ N.失真的影响D中的增加。D=7及以上的价格结果具有吸引力。由扭曲的stiffness矩阵导致的定价误差的大小强调了尽可能准确地推导stiffness矩阵条目的必要性。4科尔莫戈罗夫方程的傅里叶方法关于stiffness矩阵项的逼近需要达到的高精度，我们希望避免在表示的基础上对stiffness矩阵中心进行数值计算（17）。为了寻找效率矩阵的替代表示，让我们指出，L’evy过程的符号A总是可用的。更重要的是，它是过程参数的显式函数，我们可以将其视为过程的建模质量，如下面的示例4.6–4.9所示。因此，我们对科尔莫戈罗夫方程的变分公式采用傅里叶观点。这一点尤其重要，因为L′evy过程的KolmogorovoOperator A是一个伪微分算子，符号为A，Aа=F-1（AF（~n））适用于所有∈ C∞（Rd），（20）正如基本操作所示。

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2022-5-11 03:11:10

现在，对于所有的φ，ψ，Parseval的恒等式yieldsa（φ，ψ）=（2π）dZRdF（Aφ）（ξ）F（ψ）（ξ）dξ（21）∈ C∞（Rd）分别为a（φ，ψ）=（2π）dZRdA（ξ）F（φ）（ξ）F（ψ）（ξ）dξ。（22）这个众所周知的恒等式已经被证明对分析Komogorov方程的变分解非常有益，例如Hilber等人（2013）、Glau（2016a）和Glau（2016b）。在这里，我们利用这种表示进行数值实现。引理4.1（双线性形式的连续扩展）。设A为特征三元组（b，σ，F）给出的L’evyprocess的符号。用A:C表示∞（Rd，C）→C∞（Rd，C）与符号A相关的伪微分算子。此外，用A:C表示∞×C∞→ C与算子A有关的双线性形式。Letη∈ Rd.Ifi）指数矩条件z | x |>1e-hη′，xiF（dx）<∞ （23）所有η′保持∈ sgn（η）[0，|η|]×··×sgn（ηd）[0，|ηd |]andii）存在一个常数C>0和|a（z）|≤ C（1+kzk）α（24）对于所有z∈ U-ηu-η=U-η1×·U-ηd（25）与U-ηj=R- i sgn（ηj）[0，|ηj |），则a（·，·）具有唯一的线性扩张a:Hα/2η×Hα/2η→ C可以写成asa（ψ，ψ）=（2π）dZRdA（ξ- iη）b~n（ξ）- iη）bψ（ξ）- iη）dξ（26）对于所有的ψ，ψ∈ Hα/2η（Rd）。证据该证明可在Eberlein和Glau（2011）中找到，使用定理4.1和Parseval恒等式。为了在收敛性分析中获得初步见解，我们在Galerkin格式中定义了一个级别N，并推导了通过近似Stiff矩阵项获得的弱解序列收敛的条件。在下面第5节的实现中，我们还将大致计算等式的右侧。我们在前面更一般地考虑了斯蒂夫矩阵、右手边和初始条件的序列。通常，对于给定的双线性形式，我们表示a:V×V→ R关联操作员A:V→ 五、*由A（u）（v）定义：=A（u，v）代表所有u，v∈ 五、引理4.2。

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2022-5-11 03:11:13

设V，H和a:V×V→ R满足（A1）–（A3）。设X:=span{~n，…，~nN} V和每n∈ N let（An1）fn，f∈ L（0，T；H）与fn→ f in L0，T；十、*),（An2）gn，g∈ H和gn→ g在H中，（An3）an:V×V→ R是一个双线性形式，使得对于所有j，k≤ N（安）- a）（j，k）→ 0.（27）则唯一弱解的序列vn∈ ˙vn+Anvn=fn，vn（0）=gn（28）的W（0，T；X，H）在L中强收敛0，T；十）∩ C（0，T；H）到唯一弱解v∈W（0，T；X，H）˙v+Av=f，v（0）=g.（29）第A.2节提供了证明。基于von Petersdorff和Schwab（2003）提出的技术，可以推导出为完全离散格式提供渐近收敛速度的深入收敛分析，这超出了本文的范围。4.1符号法Galerkin FEM解算器的关键部件是依赖于模型的stiff矩阵。使用上述第3.2节的表达式（16），可以导出该矩阵的条目。然而，该表达式中存在的L’evy测度F使矩阵的数值推导变得更加复杂。此外，第3.3节的经验精度研究强调，当以数字形式导出stiffness矩阵条目时，必须格外小心。因此，在本节中，我们对FEM解算器组件的计算方法有所不同。引理4.1所示的傅里叶方法将允许我们访问stiffness矩阵和所有其他FEM解算器组件所需的模型信息，而不是通过操作符，而是通过相关符号。与运算符形成鲜明对比的是，对于大量的基础模型，L’evy模型的符号在数字上是唯一可访问的，我们将给出几个例子。让我们陈述一下本节的核心引理。

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能者818

2022-5-11 03:11:18

在这里，我们集中讨论服从简单节点平移性质的基函数，这对于经典的分段多项式基函数尤其令人满意。转换性质可以很容易地扩展到双正交小波b基所能满足的性质，这被证明有助于解决期权定价的Komlogrov-PIDEs问题，CompareMache et al.（2004）。引理4.3（双线性形式的符号方法）。引理4.1的假设满足η=0。进一步假设N∈ N一组函数ψ、ψ、，~nN∈Hα/2（R）和节点x，xN∈ R、对于所有的j=1，N k j（x）=а（x）- xj），十、∈ R、坚持住。那么我们有a（φl，φk）=2πZRA（ξ）eiξ（xl）-xk）| c|（ξ）|dξ。（30）对于所有k，l=1，N.如果另外R（A（ξ））=R（A）(-ξ））及I（A（ξ））=-I（A）(-ξ）），（31）thena（φl，φk）=πZ∞RA（ξ）eiξ（xl）-xk）|对于所有k，l=1，…，c|（ξ）|dξ（32），N.证据。傅里叶变换yieldc~nj（ξ）=eiξxjc~n（ξ）的基本性质，ξ ∈ R、（33）式中c k（ξ）=ξh（1）- cos（ξh）），ξ ∈ R.（34）自j起∈ Hα/2（R），对于所有j=1，N，恒等式（30）分别来自引理4.3或定理4.1和R emark 5.2，以及Eberlein和Glau（2011）中其后的行。第二个权利要求（32）是基本的。推论4.4（stiff矩阵的符号法）。让我们∈ Sα是一个单变量符号，带有相关的运算符a。表示b y~nj∈ L（R），j∈ 1.N与等距网格相关的伽辽金格式的基函数Ohm ={x，…，xN}拥有财产j（x）=（x）- xj），十、∈ R、（35）对于某些人来说，则为→ R.然后，搅拌矩阵A∈ 该方案的RN×Nof可由akl=2πZRA（ξ）eiξ（xl）计算-xk）| c|（ξ）|dξ（36）对于所有k，l=1，N、证明。这个证明是引理4.3的直接结果。备注4.5（关于双线性形式的符号方法）。

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何人来此

2022-5-11 03:11:22

从数值角度来看，引理4.3和推论4.4中提供的stiffness矩阵项的表示非常有前景：1。与（16）中出现的二重积分不同，只需要计算一维积分。2.模型特定信息通过符号ξ7表示→ A（ξ），对于一大组模型，它以ξ和模型参数的显式函数的形式可用，这是一个我们现在可以在数值上利用的特征。下面我们给出一个简短的例子列表。有关更多示例，请参考Glau（2016a）和Glau（2016b）。3。表示（36）将stiffness矩阵的条目显示为傅里叶积分。此外，节点显示为傅立叶变量。因此，可以使用快速傅立叶变换（FFT）方法来加速其同时计算。表达式（3）根据特征三重态（b，σ，F）为L’evy过程L引入了算子A。以下示例给出了一些著名的L’evy车型的相应符号。示例4.6（Black-Scholes（BS）模型中的符号）。在由布朗波动率σ>确定的单变量BlackScholes模型中，符号由a（ξ）=Abs（ξ）=iξb+σξ（37）和漂移集b tob=r表示-σ. （38）示例4.7（默顿模型中的符号）。在Merton模型中，其中σ>λ>0，α∈ R和β>0时，符号计算toA（ξ）=Amerton（ξ）=σξ+iξb- λE-我知道-βξ- 1.（39）漂移设置为tob=r-σ- λeα+β-1., （40）符合无套利条件的要求。示例4.8（CGMY模型中的符号）。在Carr等人（2002）的CGMY模型中，σ>0，C>0，G≥ 0米≥ 0和Y∈ （1，2），符号计算toA（ξ）=Acgmy（ξ）=iξb+σξ- CΓ(-Y）（M+iξ）Y-我的+（G）- iξ）Y- GY, （41）对于所有ξ∈ R、漂移b设置为tob=R-σ- CΓ(-Y）（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY（42）对于鞅定价。示例4.9（NIG模型中的符号）。

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2022-5-11 03:11:25

σ>0，α>0，β∈ R和δ>0使得α>β，NIG模型的符号由a（ξ）=Anig（ξ）=σξ+iξb给出- δpα- β-pα- (β - iξ）（43）对于所有ξ∈ R，漂移由B=R给出-σ- δpα- β-pα- (β + 1)（44）实现（36），我们遇到了新的数值挑战：从第3.3节的微扰研究中，我们需要以高精度计算积分。首先考虑Black-Scholes模型，并选择分段线性帽子函数作为基本元素作为示例。应用标准的Matlab集成程序将导致相当大的错误。为了更好地理解这种影响，让我们仔细看看（36）中的被积函数，如图2所示。ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5以原点为中心的帽函数的傅里叶变换图ξ100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200×10-4ξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-6图2：以R+的三个子区间为中心计算的帽函数的傅里叶变换图。选择m esh时，h=1。振荡和相当缓慢的零衰减使数值积分变得复杂，当涉及cа时，对精度的要求相当高。更准确地说，我们展示了A的几个被积函数∈ RN×Nin是推论4.4的（36）所提供的表示，符号由示例4.6给出。每一次评估的不同值为l- 从无界积分范围取三个不同的子区间。在计算Absijj的0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100ξ-5×10-3被积函数的傅里叶方法中- i=0j- i=5j- i=150100 110 130 140 160 170 180 190 200ξ-5×10-4j- i=0j- i=5j- i=1501000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100ξ-5×10-6j- i=0j- i=5j- i=150图3:Black-Scholes stiff矩阵的被积函数-K

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2022-5-11 03:11:28

帽子的网格横跨整个间隔[-5,5]具有150个等间距的内部节点，网格度h=0.0662。因此，该网格上的Black-S choles解将由150个帽函数的加权和表示。我们观察到被积函数的振荡随着| l的值的增加而增加- k |。搅拌矩阵A∈ RN×Nv是相应的符号，Akl的被积函数必须是数值积分f或所有l-K∈ {-（N）-1), . . . , -1, 0, 1, . . . , N-1}.较大的| j-然而，如图e 3所示，计算被积函数的数值挑战越大。图中所示的所有被积函数都缓慢衰减。此外，振荡在| j中增加- 我|。这两种观察结果的结合严重威胁到积分在数值上的可靠性。随着| j值的增加-i |，被积函数的振荡加速，精确积分所需的支撑点数量激增。这些考虑表明，我们需要进一步研究这个问题，以获得可靠且计算成本低的、灵活的方法来计算斯蒂夫矩阵。我们在这里提出的方法是修改问题，使得到的被积函数衰减得更快，这样就可以选择更小的积分域，并且通常的积分例程（如Matlab函数quadgk）是有效的。为此，我们首先观察到我们在玩具示例中使用的hat函数是分段线性函数。虽然它们是连续的，但它们并不是在任何地方都可以连续区分，因此在初级水平上就已经不那么平淡了。

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2022-5-11 03:11:32

这种缺乏平滑度的现象会导致傅里叶变换的缓慢衰减。因此，我们建议将分段线性基函数替换为具有更高正则性的基函数，从而使（36）中的被积函数具有吸引人的衰减性质。在以下两个部分中，我们将介绍两种不同的方法来实施此类问题修正。4.1.1从经典基函数到molli fied Hat众所周知，平滑函数的卷积对卷积应用的函数有平滑效果。因此，我们的第一个基函数Alternative将是一个通过卷积平滑的经典帽函数。通过卷积符合此条件的函数称为molli fiers。为了为我们的目的选择合适的模型，即快速准确地计算（36）中的积分，模型需要显示两个基本特征：（1）修改后的基函数的傅里叶变换形式需要可用。（2）平滑效果需要通过一个参数来控制。由于两个函数卷积的傅里叶变换是两个傅里叶变换函数的乘积，（2）归结为molli fier的Fourier变换的可用性。由于标准molli fier的傅里叶变换在封闭形式下不可用，我们扩大了标准molli fier的范围，并允许非紧支撑。更准确地说，我们称序列m=（mk）k∈N、 mk∈ L（Rd）代表所有k∈ N、如果是的话，这是一个molli fier。mk≥ 0，为了所有的k∈ N、二,。RRdmk（x）dx=1和3。

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2022-5-11 03:11:36

总之 > 0我们有Convergencerd\\B（0）mk（x）dx→ 0代表k→ ∞.x-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 20.20.40.60.8函数ε=0.05ε=0.15ε=0.3图4：在h=1的网格上，经典帽子函数与软帽子函数之间的比较*mεgaussian关于ε的几个值∈ {0.05,0.15,0.3}使用示例4.10中的高斯莫尔函数。特性（1）通常是必需的，我们在这里遵循通常的构造。根据Alt（2011）中的命题和定义2.14，我们可以通过软化ε来调整软化的影响。为此，让我∈ L（Rd）和M≥ 0，Zrdm（x）dx=1。（45）定义ε=εdm·ε. （46）那么每个 > 0我们有rrdmε（x）dx=1和rrd\\B（0）mε（x）dx→ ε为0→ 因此，对于每个空序列（εk）k∈n序列（mεk）k∈从我们的定义来看，这是一个更大的数字。例4.10（基于正态分布的模型）。我们给出了一个molli fier的示例。定义（x）=√2πe-x、（47）我们称之为（mεkGaussian）k∈根据（46）高斯模型确定。

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2022-5-11 03:11:39

高斯摩尔函数的特征函数以闭合形式已知，\\mε高斯（ξ）=exp-εξ, （48）因此表现出指数衰减。这是一个众所周知的结果，即*Lp（Rd）中的mkconverge到f，1≤ p<∞ 当k趋于一致时，参见Alt（2011）中的Satz 2.15。图5显示了Black-Scholes模型斯蒂夫矩阵中的被积函数。被积函数在半有限积分ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100×10-3ε-Molli fied被积函数的三个子区间上进行评估- j=0×10-3ε=0.05hε=0.3hξ100 110 120 130 150 160 180 190 200×10-4ε-Absij，i- j=0×10-7ε=0.05hε=0.3hξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-100.5ε-Absij，i- j=0×10-177ε=0.05hε=0.3图5:Akl的被积函数，Black-Scholes模型的Stiff矩阵，其中Molli fied hat函数作为主对角线入口的基函数，l- k=0。区域网格设置与图3中的设置相同。使用示例4.10中的高斯函数作为平滑效果，代替经典的Hat函数，将其拟合的反函数用作基函数。即使只是轻微的软化影响，ε=0.05h，被积函数的衰减也明显快于软化。对于ε=0.3h的中值，被积函数迅速变为零。在我们测试这种方法的性能以修改下面第5节中的Galerkin模式之前，我们将介绍我们的第二种方法。4.1.2样条曲线作为基函数，而不是分段线性基函数的软化，我们可以选择本身具有更高正则性的基函数。因此，我们研究了一类完善的有限元基函数，作为我们的pur姿势的候选者，即立体线。

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2022-5-11 03:11:42

样条线理论是一个经过充分研究的领域，它适用于比我们认为的更广泛的语境。我们请读者参考Schumaker（2007）的介绍和概述。从我们的观点来看，样条曲线是光滑的基函数。他们的傅里叶变换是可以理解的，他们所跨越的函数空间的理论也已经建立。我们给出了霍尔三次样条中Irw的定义，该样条继承了相关概率分布的名称。我们定义了单变量欧文-霍尔样条曲线→ R+乘以（x）=（x+2），-2.≤ x<-13 | x|- 6x+4，-1.≤ x<1（2）- x），1≤ 十、≤ 20，其他地方（49）所有x∈ R.花键а在轴上有紧凑的支撑[-2，2]是一条三次样条曲线。我们使用它定义样条基：定义4.1（等距网格上的样条基函数）。选择N∈ N.假设一个等距网格Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R表示所有j=1，N，网格度h>0。让我们来看看（49）的欧文霍尔样条曲线。对于j=1，N定义аj（x）=а（x- xj）/h），十、∈ R.对于给定的网格，我们称之为与节点j相关联的样条基函数Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R、定义4.1提供了一组样条基函数，我们稍后也将在数值实现中使用这些函数。以标准样条曲线文献为例，Ir win-Hall样条曲线基函数集通常包含与网格的第一个和最后一个n节点相关的附加样条曲线，这些样条曲线在Dirichlet和Neumann边界条件方面提供了进一步的灵活性，例如，参见Schu maker（2007）。我们省略了与第一个和最后一个网格节点相关的三个Irwin-Hall基函数，因此隐式描述了Dirichlet、Neumann和二阶导数零边界条件。引理4.11（欧文-霍尔样条的傅里叶变换）。设φ为（49）的欧文-霍尔三次样条曲线。

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2022-5-11 03:11:46

然后它的傅里叶变换bа由bа（ξ）=ξ（cos（2ξ）给出- 4 cos（ξ）+3）（50）表示所有ξ∈ 引理的证明遵循初等计算。这直接影响了gCorollary 4.12（等距网格上样条基函数的傅里叶变换）中的以下内容。选择N∈ N.假设一个等距网格Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R表示所有j=1，N、当网格度h>0时，使用定义4.1中定义的与节点j相关的样条曲线基函数。它的傅里叶变换是givenbyc~nj（ξ）=eiξxjhξ（cos（2ξh）- 4 cos（ξh）+3）表示所有ξ∈ R.ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 c k hat hatε样条曲线图ξ100 110 120 130 150 160 170 180 190 200×10-4ξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-6图6：本节中给出的所有基函数候选者的四次变换图，在R+的三个子区间内进行评估。选择H=1的网格时，软化参数再次设置为ε=0.3h。图6比较了所有三种基函数类型的傅里叶变换的衰减行为。如图2所示，经典帽子函数的傅里叶变换显示出缓慢的衰减速率和振荡行为。Instark对比了molli fied hats的傅里叶变换以及Irwin Hall样条曲线的Fourier变换，它们在视觉上瞬间衰减为零。对于molli fi帽函数，这是由于高斯molli fier的傅里叶变换的经验衰减，而对于样条曲线，推论4.12显示了4阶的多项式衰减。在这方面，经典帽子函数的两种替代方案都有望实现推论4.4中的符号方法。

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2022-5-11 03:11:49

在接下来的第5节中，我们将测试这一点。5数值实现在本节中，我们实现了普通看涨期权和看跌期权的定价PIDE，并对符号方法的两种方法进行了实验测试。定理5.1（费曼-K ac）。让我们≥0是一个（时间均匀的）L’evy过程。以皮德为例tVC，P+AVC，P=0，几乎所有t∈ （0，T）VC，P（0）=gC，P，（51），其中A是与（Lt）T的符号相关联的运算符≥0.进一步假设Eberlein和Glau（2011）的假设（A1）-（A3）成立。则（51）具有唯一的弱解Vc，P∈ W（0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd））（52），其中α>0是（Lt）T符号的索博列夫指数≥0和η∈ 根据Eberlein和Glau（2011）中的定理6.1选择RDI。如果加上gC，Pη∈ L（Rd），然后是关系vc，P（T- t、 x=EgC，P（LT-t+x）（53）所有t∈ [0，T]，x∈ 研发证明。该结果在Eberlein和Glau（2011）中得到了证明，并遵循本文定理6.1。备注5.2。设置gC，P=gCin（51），即欧洲看涨期权的收益，结果是欧洲看涨期权的价格。类似地，设定Gc，P=gP，即欧洲看跌期权的收益率，结果是Vp是欧洲看涨期权的价格。算法1总结了基于符号法的通用有限元求解器的抽象结构。通过在算法第9行的计算中插入与所选模型相关的符号，解算器可以立即适应该模型。换句话说，只需指定一行即可获得期权定价的模型特定解算器。正如示例4.6、4.7、4.8、4.9和其他示例所强调的，对于许多模型，符号确实以分析（半）封闭形式存在。

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2022-5-11 03:11:52

因此，算法1为实践中的有限元定价提供了一个非常有吸引力的工具。5.1零边界条件的截断当我们推导普通欧式看涨期权和看跌期权的价格时，各自定价的解决方案在Whole real line上定义。作为SA离散化的第一步，我们希望将域截断为有界区间（a，b），并选择实现零边界条件。为此，我们按照标准程序减去适当的辅助函数ψ。选择ψ后，得到φ=VC，P的修正问题- ψ是tφ（t，x）+（Aφ）（t，x）=f（t，x），（t，x）∈ （0，T）×Rφ（0，x）=gψ（x），十、∈ R、（54）式中gψ（x）=g（x）- ψ（0，x）表示所有x∈ R和右手边f由f（t，x）给出：-(tψ（t，x）+（Aψ）（t，x））。原始问题（51）的解VC，Pto可以很容易地用VC，P=φ+ψ来恢复。我们建立了ψ需要提供的性质，稍后我们还将给出一些例子。向量表示法中的右边由F（tk）=（F（tk），FN（tk））∈Rn对于每个tkon，使用Fj（·），j=1，N、给定byFj=-锆(tψ（t，x）+（Aψ）（t，x）+rψ（t，x））Дj（x）dx（55）算法1基于符号法的有限元解算器1：选择等距空间网格xi，i=1，N2：选择基函数φi，i=1，N、带аi（x）=а（x）- xi）对于某些φ3：选择等距时间网格Tj，j=0，M4：程序计算质量矩阵M5：推导质量矩阵M∈ RN×Nby6:Mkl=RRаl（x）аk（x）dx，k、 l=1，N7：程序计算刚度矩阵A8：推导阻力矩阵A∈ RN×Nb通过将CHOSEN模型的SYMBOLA插入以下公式并计算g9:Akl=2πRRA（ξ）eiξ（xk-xl）|c~n（ξ）|dξ，k、 l=1。

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