（Kashyap 2018）回顾了资产定价文献，重点是股权风险溢价之谜（Mehra&Prescott 1985；Mehra 1988），即股权回报率远远超过了短期无风险债务的平均回报率，无法用传统的代表性代理消费均衡模型来解释。一些解决方案尝试和相关辩论是（Rietz 1988；Mehra&Prescott 1988；Weil 1989；Constantinides&Duffee1996；Campbell&Cochrane 1999；Bansal&Yaron 2004；Barro 2006；Weitzman 2007）。这个谜题基于消费增长是对数正态的假设。我们可以放松这一假设，并推导出以下关系，这些关系有助于资产定价的许多实证尝试，这些尝试寻求贴现因子或边际效用增长的代理，采用形式为m=c（f）的变量f。提议7。资产定价方程p=E（mx）可以写成，p=E（mx）≡ E[c（f）x]设置，m=c（f）p=E[c（f）]E（x）+Cov[c（f），x]p=E[c（f）]E（x）+E[c（f）g（f，x）]证明。利用命题5以及其中c（t）和g（t，u）的定义，给出了这个结果。推论3。对m的进一步限制≡ c（f）=f-qfx（f）ff（f），其中，密度函数fx（f）的预期收益为ux，因子f的密度函数为ff（f），资产定价方程为，p=E[c（f）]E（x）+Cov（f，x）+uxρ（ff，fx）- E“sfx（f）ff（f）x#证明。紧接着从命题6.6.2生物应用开始，医学科学领域并不能免受信息收集的增加（伯纳和莫斯2005）以及研究和文献不断增长的副作用（Huth 1989）的影响。管理增长的研究产出的挑战比不断扩大的数据量要复杂得多。

这可能需要在艺术智能方面取得进展，更好地理解人类大脑有时会做出的巨大飞跃，从信息分类、将其总结为知识并超越到浓缩智慧的状态。我们暂时搁置这个问题；但要解决更容易克服的海量数据源问题。假设我们对来自不同地理区域的不同人群进行了一系列不同性质的观察（如心率或血糖水平等）。然后，目标将是确定哪些地区的人拥有更相似的宪法。所有地区进行观测的天数相同；但每个地区的参与者人数可能不同。数据收集可能是在不同测试设施进行的特定天数的测试结果，不同数量的人可能会在测试完成的不同天数出现在每个设施。数据收集的结果如下：对于每个区域i和属性j，我们有一个矩阵Mi，j，以及时间（行）上的T个观察值，对于区域i和属性j中的参与者数量，我们认为所有属性一起代表一个区域。数据矩阵的维数由Dim（Mi，j）=（T，Ni，j）给出。根据数据收集结果，我们可能有两个病例。1.Ni，j=Ni，k，j、 k，即一个区域内的参与者数量，对于所有被测量的属性而言是相同的。情况很简单。2.

Ni，j6=Ni，k，j、 k——一个地区的参与者人数可能因被测量的某些属性而不同。与数据收集案例1）相对应的简单场景是，当我们有一个矩阵Mi，j，用于每个区域i和属性j，对于该区域的参与者数量，在时间（行）和Ni（列）上有T个观测值。如果我们单独考虑每个属性，我们可以分别计算不同区域或i的每个属性j的不同矩阵Mi，j（成对）的BhattacharyAdastance。前面概述的多项式方法可以通过组合所有属性来计算每个区域的一个系数。对于第二种情况，我们可以在适当的维数变换后，使用多项式方法计算一个区域的所有组合属性（或每个属性单独）在各种矩阵Mi，j上的Bhattacharyya距离。为了说明这一点，假设我们有两个矩阵A和B，分别代表两种不同的概率分布，维数分别为m×n和k×n。这里，m和k表示由两个矩阵A和B捕获的变量数量。通常，m和k不相等。n是观察数，这在两个分布中是相同的。我们可以计算Bhattacharyya距离或A和B之间的相似性或相异性的另一个度量，方法是将较大矩阵（比如m>k）的维数减少到较小的矩阵，这样我们就有了A和B，具有相同的维数，k×n。这里，A=CA，Dim（C）=k×m。C中的每个条目都是从高斯n中采样的i.d0，k分配7.实证说明。1不同市场的证券价格比较我们从一个简单的例子开始，说明如何使用这一衡量标准，根据在该市场交易的所有权益证券的价格来比较不同国家。

我们的数据样本包含2014年1月1日至2014年5月28日六个不同市场的大多数证券的收盘价（图1a）。新加坡有566种证券，是交易证券数量最少的市场。即使我们减少所有其他证券数量较多的市场的规模，为了对这些市场进行适当的比较，我们也需要两年以上的数据。因此，作为一种简化，我们首先使用主成分分析（PCA）缩减法来缩减持有每个市场收盘价的矩阵的维数，以便保留的股票数量与我们拥有数据的天数相当。这种比较的结果如图1b所示。第7节给出了一些使用统计包（如R）的实现指针。7.我们报告完整的矩阵，而不仅仅是上下矩阵，因为PCA缩减我们确实采取了第一个国家将维度缩减到一定数量的重要数字，然后减少第二个国家的维度，以匹配第一个国家的维度数量。例如，这就意味着比较澳大利亚和新加坡货币政策与比较新加坡货币政策和澳大利亚货币政策并不完全相同。作为计算距离之前的一个安全步骤，这要求保存被比较两个实体数据的结构具有相同的尺寸，如果PCA缩减后两国的尺寸不同，我们可以使用JL引理进行尺寸缩减。我们对PCA减少的不同数字重复计算。这显示了我们的距离比较产生的结果的精细度，并强调了PCA缩减存在信息损失的问题，因为PCA缩减中使用的重要数字数量不同，我们得到的结果是不同的市场是相似的。

例如，在图1b中，当使用两个重要数字时，澳大利亚-新加坡邮政是最相似的市场，而澳大利亚-香港邮政最相似，有六个重要数字。我们举例说明另一个例子，我们比较每个市场中随机选择的证券子宇宙，以便保留的股票代码数量与我们拥有数据的天数相当。结果如图2所示。左表（图2a）用于对randomlychosen子宇宙进行PCA缩减，右表（图2b）用于对同一子宇宙使用JL引理进行维度缩减。我们报告完整矩阵的原因与前面解释的相同，并在使用JL引理降维时执行多次运算。一个关键的观察结果是，由于PCA技术带来的信息损失，使用PCA缩减和使用维度缩减时，距离的大小非常不同。很明显，通过JL引理使用降维可以产生一致的结果，因为相同的市场对在差异上是相似的（在图2b中，AUS-IND在迭代一和迭代五中最相似）。值得记住的是，在JL引理维度变换的每次迭代中，我们乘以不同的随机矩阵，因此每次迭代中的距离略有不同，但在JL引理确定的范围内。当两对实体之间的距离接近时，我们可以观察到由于连续迭代中的JL引理变换而产生的不一致性。

我们将在第8节中讨论这一领域，需要进一步的理论研究。我们的方法也可以用于在同一个市场内比较证券组时，这是一种非常常见的情况，即决定在一个市场上投资的证券组，而不是决定在哪个市场上投资。这种方法对于指数构建或市场内跨部门的比较非常有用。（Kashyap 2017）总结了本文的理论结果，并对开放、高、低价格、数量和价格波动的示例进行了阐述，以提供完整的市场微观结构研究；第7.2节再现了本研究的相关部分，以说明我们的技术如何应用于不同类型的变量。（a） 市场和股市统计（b）PCA维度缩减图1：全样本的距离度量（a）PCA维度缩减（b）JL引理维度缩减图2：随机选择的子宇宙的距离度量7。2证券交易量、高低开盘价格和成交量价格波动性的比较我们在（第7.3、7.4、7.5节）中提供了几个例子，以补充（第7.1节）我们的技术如何用于基于该市场所有股票交易的时间序列变量来比较不同国家。这些插图作为《市场微观结构完整研究》（Kashyap 2017）的一部分进行了更详细的讨论。数据样本包含2014年1月1日至2014年5月28日六个不同市场的大多数证券的价格（开盘、收盘、高点和低点）和交易量（图3a）。所考虑的时间段、证券数量和大部分数值分析与第7.1节中的比较类似。

为了比较价格和交易量的波动性，我们计算收盘价和交易量的60天移动波动率，并计算整个样本以及每个随机选择的子样本的距离度量。7.3演讲量：交易量比较完整样本的交易量比较结果如图3b所示。例如，在图3B中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR是最相似的市场，而AUS-GBR是最相似的市场，有六个重要数字。在这种情况下，PCA和JL引理降维给出了相似的结果。随机抽样结果如图4所示。左表（图4a）用于对大量选择的子宇宙进行PCA缩减，右表（图4b）用于对同一子宇宙使用JL Lemma进行维度缩减。（a） 市场和股市计数（b）交易量PCA维度缩减图3：全样本市场/交易量距离度量的证券计数（a）交易量PCA维度缩减（b）交易量JL引理维度缩减图4：随机选择的子宇宙上的交易量距离度量7。4价格昂贵的处方：价格比较（开盘价、收盘价、高价和低价）7.4.1开盘价-收盘价完整样本的开盘价和收盘价比较结果如图5、5a、5b所示。例如，在图5b中，当使用两个重要数字时，澳大利亚-新加坡证券交易所是最相似的市场，而澳大利亚-香港证券交易所是最相似的市场，有六个重要数字。在距离度量方面，开盘价和收盘价之间的相似性也很容易观察到。随机抽样结果如图6、7所示。左表（图6a、7a）用于对随机选择的子宇宙进行PCA缩减，右表（图6b、7b）用于对同一子宇宙使用JLLemma进行维度缩减。

在图7b中，AUS-IND在迭代一和初始五中最为相似。（a） 开放式PCA降维（b）封闭式PCA降维图5：全样本上的开放/封闭距离度量（a）开放式PCA降维（b）开放式JL引理降维图6：随机选择子宇宙上的开放距离度量（a）封闭式PCA降维（b）封闭式JL引理降维图7：随机选择子宇宙上的封闭距离度量宇宙7。4.2高-低-整个样本的高-低价格比较结果如图8、8a、8b所示。例如，在图8a中，当使用两个重要数字时，AUS-SGP是最相似的市场，而AUS-HKG是最相似的市场，有六个重要数字。高价和低价之间的相似性也很容易观察到。随机抽样结果如图9、10所示。左表（图9a，10a）用于对随机选择的子宇宙进行PCA归约，右表（图9b，10b）用于使用JL引理对同一子宇宙进行降维。在图9b和10b中，AUS-IND是最相似的初始值，在迭代五中也是如此。（a） 高PCA降维（b）低PCA降维图8：全样本上的高/低距离度量（a）高PCA降维（b）高JL引理降维图9：随机选择的子宇宙上的高距离度量（a）低PCA降维（b）低JL引理降维图10：随机选择的子宇宙上的低距离度量7。5控制（波动性）偏差：收盘价格/成交量波动性的比较完整样本中收盘价格波动性和成交量波动性的比较结果如图11、11a、11b所示。

例如，在图11a中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR是最相似的市场，而AUS-HKG是最相似的，有六个重要数字。在图11b中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR-IND是同样相似的市场，而AUS-GBR是最相似的，有六个重要数字。价格、成交量和波动性的距离测量值的大小差异也很容易观察到。这表明，价格来自最不相似或最遥远的分布，波动性不太相似，成交量来自最相似或最重叠的分布。正如在成交量比较中所观察到的，当使用PCA或JL引理降维时，成交量波动性比较给出的结果似乎相似。通过考虑价格波动性并创建具有不同波动性分布的工具组合，我们可以降低投资组合回报的总体风险或方差，成为缓解波动性波动影响的一种潜在方法。随机抽样结果如图12、13所示。左表（图12a，13a）用于对随机选择的子宇宙进行Pc还原，右表（图12b，13b）用于对同一子宇宙使用JL引理进行维度还原。在图12b中，AUS-SGP在迭代一和迭代五中最为相似。

在图13b中，AUS-SGP在迭代一和AUS-GBR初始化五中最为相似。（a） 密切波动性PCA维度缩减（b）成交量波动性PCA维度缩减图11：全样本的密切/成交量波动性距离度量（a）密切波动性PCA维度缩减（b）密切波动性JL引理维度缩减图12：随机选择子宇宙的密切波动性距离度量（a）成交量波动性PCA维度缩减（b）成交量波动率JL引理维度缩减图13：随机选择的子宇宙上的交易量波动率距离测度7。6其他补充案例研究下面，我们提到了我们计划进行的研究的例子，这些研究可以作为这里讨论的方法的应用。7.6.1英国犯罪分析我们正在开发一个单独的应用程序，将本文中的技术以及网络理论（Euler 1953；Wasserman&Faust 1994；Watts 1999；Aldous&Wilson 2003；Gribkovskaia，HalskauSr&Laporte 2007）应用于英国的犯罪数据集。该项目的目标是确定犯罪水平和类型相似的地区，以便根据从早期事件中吸取的教训或某些法律措施取得相当成功的地区做出政策和执法决定。此外，网络互动可以帮助我们了解犯罪浪潮如何从一个地区传播到另一个地区，并有助于预防犯罪。

犯罪数据集可在以下网址公开获取：UKPolice data。7.6.2香港和上海证券跨行业比较我们正在创建另一个金融市场数据的数字示例，以根据在上海和香港证券交易所上市的所有证券的股价和交易量，找出中国和香港的哪些部门更相似（2017年，Kashyap在香港和上海证券交易所首次实现电子连接的时候考虑了这个问题；尽管本研究的主要重点是研究交易成本如何因这两个金融市场的连接而发生变化）。为了进行这项研究，我们可以使用任何可从各种市场数据提供商下载的公开数据集。7.7实施指针（Chaussé2010）是通过广义矩量法GMM（Cochrane 2009）使用R包GMM估计正态分布参数的良好参考。多变量正态分布的数值计算往往是一个困难的问题。（Genz 1992；Genz&Bretz 2009）描述了一种转换，它简化了问题，并将其转化为一种允许使用标准数值多重积分算法进行高效计算的形式。（Hothorn，Bretz&Genz 2001）给出了基于R包mvtnorm的多元正态概率数值计算的指针。（Manjunath&Wilhelm 2012）导出了具有任意矩形双截断的多元正态分布的截断均值和方差的显式表达式。（Wilhelm&Manjunath 2010；Wilhelm 2015）详细介绍了截断多元正态分布的tmvtnorm软件包，包括截断多元正态分布的GMM估计例程。

在（附录15）中，我们列出了一些R代码片段，包括Johnson-Lindenstrauss矩阵变换和对Routinet的修改，以计算Bhattacharyya距离，目前可在R软件包fps中获得。通过利用对数和矩阵特征值的特性，这种修改允许处理更大的数字和维度。8未来研究的可能性在开发距离度量、降维技术和理解维数已被转换的分布的特性方面，有很多研究正在进行。这些研究旨在为实现新技术开发更好的理论基础和更快的算法。我们指出了可能具有潜力的替代方法，首先是一些不太新的方法，然后是一些更新的技术。（Chow&Liu 1968）提出了一种方法，用它的几个低阶分量分布的乘积来近似n维离散分布，使得乘积是这些低阶分布的概率扩展。乘积近似是有效概率分布。仅使用二阶分布的类别。有n（n）- 1） /2二阶近似值，其中最多n- 1可用于近似值。与状态估计相关的不确定性通常可以通过概率分布来表示，概率分布包含了关于状态的所有知识。

卡尔曼滤波器（Kalman 1960；尾注10）利用了以下事实：1）仅给定分布的均值和方差（或多维协方差），关于这个分布，可以做出的最保守的假设是，它是具有给定均值和方差的阿高斯分布；2）将线性算子应用于高斯分布总是会产生另一个高斯分布。考虑到1）和2）的假设，很容易证明卡尔曼滤波器将产生状态均值和方差的最佳估计。状态的均值和方差是可测量的这一要求在实际中并不困难，但在非平凡的应用中，所有观测和过程模型都是线性的这一要求很少得到满足。（Julier&Uhlmann 1996）研究了Kalman滤波器的另一种泛化，该滤波器通过使用关于当前状态的均值和方差信息的新表示来适应概率分布的非线性变换。（Székely，Rizzo&Bakirov 2007；Székely&Rizzo 2009；Lyons 2013）开发了一种新的随机向量相关性度量方法，称为距离相关性。距离协方差和距离相关性与矩协方差和相关性的乘积是相似的，但与相关的经典定义不同，只有当随机向量独立时，距离相关性才为零。这适用于任意且不一定等于维数的随机向量，以及具有有限第一矩的任何分布。（Székely&Rizzo 2013）提出了能量距离，即表征分布相等的随机向量分布之间的统计距离。

能量这个名字来源于牛顿的引力势能（它是两个物体之间距离的函数），并且在统计观测值之间与势能的概念有着优雅的关系。能量统计是统计观测值之间距离的函数。能量统计学的思想是将统计观测视为受统计势能控制的天体，当且仅当一个潜在的统计零假设成立时，该势能为零。我们记录了我们在示例中使用的一些关键简化：1。我们研究的一个关键限制是，我们使用PCA或从整体数据集中随机抽样的asub矩阵来降低维度，以便可用时间序列的长度在可比较的证券数量范围内。对变量使用更长的时间序列将是一种有益的扩展，而真正的应用程序将从更多的历史中受益匪浅。2.我们使用了适用于多元正态分布的Bhattacharyya距离的简单公式。我们在截断的多元正态分布或正态对数正态混合分布上建立的公式可以给出更精确的结果。同样，以后的工作应该研究能够根据欠考虑的数据集确定哪些分布将适用的测试。3.对于第7.2节中的示例，对于每个市场，我们已经研究了七个变量：开盘、收盘、低位、高位、交易量、收盘波动率和交易量波动率。这些变量可以使用多项式距离的表达式进行组合，以得到哪个市场比其他市场更相似的完整表示。

我们的目标是开发这种方法，并在以后的工作中进一步说明这些技术。一旦我们有了跨实体组的相似性度量，就可以执行一组单独的分析，以粗略地选择哪些策略或程序可以跨相似实体传输。例如，在多组证券中，可以构建投资组合，以了解它们对不同解释因素的敏感程度，然后可以使用绩效基准来衡量风险回报关系。当两对实体之间的距离接近时，我们可以观察到连续迭代中JL引理变换的不一致性。值得记住的是，如果我们执行JL引理维度变换的多次迭代（乘以不同的随机矩阵）；在每次迭代中，距离可能略有不同，但在JL引理确定的范围内。尽管如此，在一次迭代中，一对可能看起来比另一对更相似，结果可能会在另一次迭代中改变。与PCA等其他降维技术相比，由于数据丢失，当实体之间的距离太小时，很难知道结果是否准确。对于可能导致这种不一致的距离度量的限制，可以建立理论界限。除此之外，当一个随机变量乘以由JL引理控制的不同随机矩阵以影响相同维度的变换时，可以进行一个巨大的理论研究分支，研究距离度量将下降的时间间隔。需要记住的一个关键点是，关于不同实体相似性的发现是基于所考虑的特定时间段的可用数据。

真正的数据生成过程可能会发生根本性的变化，这些变化通常是未知的，不同时间段的相同实体可能会产生完全不同的结果。因此，任何继续收集生成的相关数据的实际应用程序都应该在移动时间段（滚动）的基础上计算度量，并使用计算的最新结果。不用说，这就提出了一个问题：在我们做出决定时，我们应该利用多少近代历史。虽然我们目前的计量经济学工具无法提供具体的答案，但任何计量经济学指南（Hamilton 1994）都提供了许多实用的帮助和建议。这对大多数（所有？）来说当然是正确的实证数据调查。另一个改进是使距离测量标准化。这可能不仅适用于Bhattacharyya距离，也适用于其他类型的距离度量。例如，方差是一个有用的数字，但它的使用是巨大的，通过使用协方差度量得出的相关性，直观的经验更加丰富。同样，我们需要警惕这条道路，因为任何可以测量的东西都是神奇的；也就是说，总有一些更大或更小的东西，可以表示为需要与有限或极小的概念抗衡。因此，通过标准化某些东西，我们可能会缩小值的范围，但可能有必要保留给我们有意义的比较的重要数字的数量。此外，由于我们希望比较两个以上的实体，因此提出可以同时组合多个距离度量的度量可能会有所帮助。

不过，一次能够结合两个距离度量是很有帮助的，因为这就是我们比较任何两个概率实体的方式；正如在协方差的情况下，不需要排除其他可能性，例如一次组合两个以上。9结论我们讨论了概率分布之间的各种相似性度量。我们已经展示了Bhattacharyya距离和Johnson-Lindenstrauss引理之间的结合，为我们提供了一种新颖实用的方法，可以比较任意两种概率分布。据我们所知，这种结合成了一个例子（例子？）完美和谐的婚姻。我们基于Stein引理的一般扩展证明了协方差和距离度量之间的关系。我们提供了基于六个国家证券价格的数值例子，我们比较了交易量、开盘价、收盘价、价格和交易量的波动性；所有这些都是如何指导这里为实际应用开发的技术。我们还讨论了这种方法如何适用于金融和经济领域之外的众多应用。10致谢和结束语1。索尔布里奇国际商学院的同事们总是对改进我所有的论文提出很多很好的建议；特别是：黄家兴博士、申三古博士、孟星才博士、约瑟夫博士、拉奥·科塔博士、阿耶·门吉斯图·阿莱姆博士、本·阿吉耶门萨博士、塔兰·乌尔克麦斯博士、亚历杭德拉·马林博士、杰曼·罗斯博士、阿万·马哈茂德博士、杰·温·李博士和。金京华（KyunHwa Kim）在我们每月举办的棕色袋子研讨会上提出了一些有趣而棘手的问题，这些问题导致了第4节和第8节的重大改进。

索尔布里奇国际商学院（SolBridge International School of Business）的学生继续为我们的许多论文提供灵感，为我们带来了他们的担忧。在这种情况下，他们担心他们的日常生活会受到大量信息源的轰炸，这向我们表明，减少信息量将有许多潜在好处。许多研讨会参与者，特别是在计量经济学学会和各种金融组织的几次会议上，以及香港城市大学的教员提出了改进手稿中核心结果的方法，并促使我们找到表达我们为什么需要主要结果的直觉的方法。本文中表达的观点和观点，以及任何错误，都是我个人的观点和观点，不一定反映我的任何一个部门或任何其他机构的官方政策或立场。3.在数学中，梅林变换是一种积分变换，可被视为双边拉普拉斯变换的乘法外推（结束注12）。函数f的梅林变换是{Mf}（s）=~n（s）=Z∞xs-1f（x）dx逆变换是M-1φ（x） =f（x）=2πiZc+i∞C-我∞十、-s k（s）d该积分变换与Dirichlet级数理论（结束注11）密切相关，并用于数论、数理统计和渐近展开理论；它与拉普拉斯变换（注13）和傅里叶变换（注14）以及伽马函数和相关特殊函数的理论密切相关。为了避免长时间的讨论，我们只提供一些细节。下面的链接有更多细节：梅林变换，维基百科链接4。在数学中，G函数是由Cornelis Simon Meijer（Meijer 1936）引入的一个非常一般的函数，旨在将大多数已知的特殊函数作为特例包含在内。

这并不是这类函数的唯一尝试：广义超几何函数和MacRobert E函数具有相同的目标，但Meijer的G函数也能够将它们作为特殊情况包括在内。首个定义由Meijer使用一系列；如今，被广泛接受且更为普遍的定义是复平面上的线积分，Arthur Erdelyi在1953年全面介绍了该定义。MeijerG函数，维基百科链接5。在数值分析中，牛顿-科茨公式，也称为牛顿-科茨求积规则或牛顿-科茨规则，是一组基于在等间距点计算被积函数的数值积分公式（也称为求积）。Newton Cotes公式，维基百科链接6。在统计学中，拉奥分数检验，在计量经济学中也称为分数检验或拉格朗日乘数检验（LM检验），是对一个简单的零假设的统计检验，即感兴趣的参数θ等于某个特定值θ。当θ的真值接近θ时，这是最有力的测试。分数测试的主要优点是，它不需要在替代假设或无约束最大似然下估计信息。分数或拉格朗日乘数测试，维基百科链接7。在概率论和统计学中，偏度是实值随机变量关于其均值的概率分布不对称性的度量。偏度值可以是正的或负的，也可以是未定义的。歪斜，维基百科链接8。在概率论和统计学中，峰度（源于希腊语：kyrtos或kurtos，意思是“弯曲、拱形”）是实值随机变量概率分布的“尾部”的度量。

与偏态的概念类似，峰度是概率分布形状的一种描述，就像偏态一样，有不同的方法可以对理论分布进行量化，也有相应的方法可以从总体样本中进行估计。根据所使用的峭度的特殊测量值，对峭度和特殊测量值应如何解释有多种解释。峰度，维基百科链接9。在数学中，欧几里德距离或欧几里德度量是欧几里德空间中两点之间的“普通”直线距离。有了这个距离，欧几里德空间就变成了度量空间。关联范数称为欧几里德范数。旧文献将度量称为毕达哥拉斯度量。欧几里德范数的广义术语是Lnorm或Ldistance。欧几里德距离，维基百科链接10。在统计学和控制理论中，卡尔曼滤波，也称为线性二次估计（LQE），是一种使用随时间观察到的一系列测量值，包含统计噪声和其他不精确性，并产生未知变量的估计值的算法，其估计值往往比仅基于单个测量值的估计值更精确，通过估计每个时间段变量的联合概率分布。卡尔曼滤波器在导航、导航和车辆控制方面有很多应用，尤其是飞机和航天器。此外，卡尔曼滤波器在信号处理和计量经济学等领域的时间序列分析中是一个广泛应用的概念。卡尔曼滤波器也是机器人运动规划和控制领域的主要课题之一，有时也包括在轨迹优化中。卡尔曼滤波器，维基百科链接11。在数学中，狄里克莱级数是任意形式的级数∞Xn=1此处s为复杂序列，anis为复杂序列。

Dirichlet系列，维基百科链接12。在数学中，双边拉普拉斯变换或双边拉普拉斯变换是与概率矩母函数等价的积分变换。双边拉普拉斯变换与傅里叶变换、梅林变换以及普通或单边拉普拉斯变换密切相关。如果f（t）是为所有实数定义的实数变量t的实数或复数函数，则双边拉普拉斯变换由积分B{f}（s）=f（s）=Z定义∞-∞E-stf（t）DTT双边拉普拉斯变换，维基百科链接13。在数学中，函数f（t）的拉普拉斯变换，定义为所有实数t≥ 0是函数F（s），它是由F（s）=Z定义的单边变换∞f（t）e-其中，stdts是复数频率参数。s=σ+iω，实数为σ和ω。拉普拉斯变换的交替符号是L{f}，而不是f。拉普拉斯变换，维基百科链接14。傅里叶变换（FT）将时间函数（信号）分解为构成它的频率，其方式类似于音乐和弦可以表示为其组成音符的频率（或音调）。时间函数的傅里叶变换本身就是频率的复值函数，其绝对值表示原始函数中存在的频率量，其复变元是该频率中基本正弦的相位效应集。傅里叶变换被称为原始信号的频域表示。术语傅里叶变换既指频域表示，也指将频域表示与时间函数相关联的数学运算。傅里叶变换不限于时间函数，但为了有一种统一的语言，原始函数的域通常被称为时域。

传统上，函数f的傅里叶变换是通过添加一个循环：^f来表示的。定义可积函数f:R的Fourier变换有几种常见的约定→ C.通常用于任何实数ξ的一个定义是，^f（ξ）=Z∞-∞f（x）e-2πixξdx当自变量x表示时间时，转换变量ξ表示频率（例如，如果时间以秒为单位测量，则频率以赫兹为单位）。在适当的条件下，f由任意实数x的^f通过逆变换确定：f（x）=Z∞-∞^f（ξ）e2πixξdξ傅里叶变换，维基百科链接15。补充材料附录中引用了（劳森1985年；凯恩斯1937年；1971年；1973年；麦克马纳斯和黑斯廷斯2005年；西蒙1962年；卡希亚普2017年；贝尔塞卡斯2002年；亨德森和塞尔1981年）。他们讨论了与不确定性、意外后果、概率分布和线性代数有关的其他概念。其中一些参考文献也用于数学结果的证明。11参考文献1。阿奇利奥普塔斯，D.（2003年）。数据库友好的随机投影：约翰逊·林登斯特劳斯和二元硬币。《计算机与系统科学杂志》，66（4），671-687.2。Aherne，F.J.，Thacker，N.A.，和Rockett，P.I.（1998）。Bhattacharyya度量作为频率编码数据的绝对相似性度量。基伯内蒂卡，34（4），363-368.3。奥尔德斯，J.M.，威尔逊，R.J.（2003）。图表和应用：介绍性方法（第1卷）。斯普林格科学与商业媒体。4.Aroian，L.A.（1947年）。两个正态分布变量乘积的概率函数。《数理统计年鉴》，265-271.5。Aroian，L.A.，Taneja，V.S.，和Cornwell，L.W.（1978）。两个正态变量乘积分布的数学形式。《统计学理论与方法通讯》，7（2），165-172.6。Bansal，R.，和Yaron，A.（2004年）。

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