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要记住的另一点是，阴影仅将某些点投射到曲面上，这取决于物理特性，更具体地说，可能是光的定律；而通过JL引理变换，高维中的每个点都映射到低维中的一个点。当我们进行JL引理变换时，通过将原始观测集（一个概率分布）乘以另一个概率分布；或者，从高维物体到低维物体的转换，可以比作在三维世界中，从不同角度将光线照射到物体上，捕捉不同的阴影。阴影在二维世界中的变化取决于光线的入射角度（或者，变换时使用了哪种特定的概率分布），但原始物体在更高的世界中继续存在，没有任何变化。确实存在一些损失，但这种损失是我们被迫面对的现实或局限性。如果我们有一个较低维度的物体，这是最好的信息，我们就有关于它的信息；我们不能把它带到更高的维度，把它与更高维度的物体相比较。我们所能做的就是把物体从高维带到低维，在低维中比较它们。从我们的例子来看，这本质上是，通过将物体从高维带到低维，将我们拥有的阴影与我们可以产生的阴影进行比较。为了进一步说明这一点，想象一下我们刚刚观察到一个小偷的影子，这是我们捕捉到的最好的信息（比如从一个摄像机镜头中）。

追踪窃贼的最佳方法是试图了解，什么样的人会产生这样的阴影，这可能会减少我们寻找窃贼的可能性。对某些人来说，这意味着信息不太多，当然，这是更多的数据点，而不是什么都没有。我们应该心存感激，并研究如何利用我们（在本例中）拥有的唯一线索来追踪可疑嫌疑人。13附录：不确定性和意外后果（Lawson 1985）认为凯恩斯主义关于不确定性的观点（凯恩斯1937年；1971年；1973年，即使是在概率方面，也不可能评估所有可能的当前行动的未来结果），远远不是无害的或破坏性的一般经济分析，可以产生研究项目，包括：，除此之外，对不确定性下理性行为的看法，可能会产生潜在的成果。（McManus&Hastings，2005）阐明了影响复杂工程系统的各种不确定性，并提出了一个框架，以了解它们所带来的风险（和机遇），以及系统设计师可以用来缓解或利用这些风险的策略。（Simon 1962）指出，任何试图寻找多种复杂系统（物理、生物或社会）共同特性的尝试都会导致等级理论，因为在自然界观察到的大部分复杂系统都表现出等级结构；一个复杂的系统是由子系统组成的，而子系统又有自己的子系统，很快。这些观点为社会科学领域的政策制定者提供了许多经验教训，并可能对希望创建指标来比较复杂系统的研究人员有所启发，同时牢记动态社会系统的注意事项。社会科学的一个显著特点是缺乏客观性。

在这里，我们断言客观性是指不同参与者所做的比较，而比较是做出决定的前提。猜想1。尽管社会科学取得了一些进步，但我们还没有发现一种客观的比较衡量标准，即所谓的真正的比较理论，它可以帮助我们做出客观的决定。对这一理论的探索（Kashyap 2017）可以再次与中世纪炼金术士痴迷于将一切变成黄金相比较。就我们目前的目的而言，缺乏这样一个客观的衡量标准意味着，不同参与者评估的比较差异可能会影响相同情况下的不同决策。因此，尽管社会科学中存在种种不确定性，但我们几乎可以肯定的一点是，所有决策过程中都存在主观性。仅限于经济和金融理论的特定亚宇宙，这就意味着缺乏客观的价值衡量标准，即所谓的真正价值理论。

缺乏对价值的客观衡量（下文中，价值将被统称为工具的价格），导致不同的参与者做出不同的决策和行动，使价格在不同的宏观和微观因素的拉动下以不同的程度和速度做出反应。14附录：数学证明14。1关键结果的符号和术语oDBC（pi，pi），两个多项式总体之间的Bhattacharyya距离，每个多项式总体由具有相关概率p，p，…，的K类组成。。。，和p，p。。。，分别为：ρ（π，π），Bhattacharyya系数d（π，π），修改后的Bhattacharyya度量标准χ（pi，pi）卡方检验DH-M（pi，pi）是Hellinger或Matusita距离DBC-N（p，q）是p和q正态分布或类之间的Bhattacharyya距离DBC-mn（p，p）是两个多元正态分布之间的Bhattacharyya距离~ N（ui，∑i.）DBC-tn（p，q）是p和q截断正态分布或类之间的Bhattacharyya距离DBC-T MN（p，p）是两个截断的多元正态分布p，p之间的Bhattacharyya距离~ N（ui，∑i，ai，bi）DKL（pkq）是Q的Kullback-Leibler散度，来自P.14.2命题1的证明。根据两个正态随机变量V，W的二元分布（Bertsekas 2002）的性质，条件期望由[V | W]=E[V]+cov（V，W）σW（W）给出- 这是W的线性函数，是正态分布。

给定W的V的条件分布是正态的，平均值E[V | W]和方差σV | W使用它们之间的相关系数ρV wb，V ar（V | W）=σV | W=（1- ρV W）σV这很容易通过设置来确定，^V=ρV WσVσW（W- uW）~V=V-^VEhVi=E[V]- EρvwσVσW（W- uW）= E[V]W和V与V一样是独立的，因为V是W的标量倍数，EhWVi=uWuVW、 ~V= EhW-Vi- uWuV=0，如下图所示，EhWVi=E[W V]- ρV WσVσWEW+ ρV WσVσWE[W]uW=ρV WσVσW+uWuV- ρV WσVσWσW+uW+ ρV WσVσWuW=uWuVE[V|W]=EhV+V|Wi=EhV|Wi+Eh^V | Wi=uV+ρV WσW（W- uW）V ar（V | W）=V ar^V+|V | W= 瓦尔~V|W= 瓦尔~V= 瓦尔五、- ρV WσVσWW= V ar（V）+ρV WσVσWV ar（W）-2ρV WσVσWCov（V，W）=σV+ρV WσV- 2ρV WσV=σV1.- ρV W现在考虑随机变量U，由，U=XeYHere，X和Y给出，X和Y是相关系数ρ满足的随机变量，XY~ NuXuY,σXρσXσYρσXσYσY给定Y的U的条件分布是正态的，其均值、方差和密度由E[U | Y]=E给出XeY | Y= 眼睛[X | Y]=eYuX+cov（X，Y）σY（Y- uY）= 嗯uX+ρσXσYσY（Y- uY）= 嗯uX+ρσXσY（Y- uY）σU | Y=V ar（U | Y）=V arXeY | Y= e2YV ar（X | Y）=e2Y（1- ρ） σXfU | Y（u | Y）~ N嗯uX+ρσXσY（Y- uY）, e2Y（1）- ρ） σX我们观察到，当Y退化为常数时，σY=0的条件分布是不确定的。求出U，Y-as，fUY（U，Y）=fU | Y（U | Y）×fY（Y）的节理密度=2πe2y（1）- ρ） σX-E-U-嗯uX+ρσXσY（Y-uY）2e2y（1）-ρ） σX×2πσY-E-[y]-uY]2σU的边缘密度由fU（U）=Z给出∞-∞2πe2y（1）- ρ） σX-E-U-嗯uX+ρσXσY（Y-uY）2e2y（1）-ρ） σX×2πσY-E-[y]-uY]2σY在我们的例子中，我们有，uX=0，σX=1/k和ρ=0，XY~ NuY,k0σYfU（u）=Z∞-∞2πe2yk-E-ku2e2y×2πσY-E-[y]-uY]2σYdyfU（u）=√k2πσYZ∞-∞E-Y-ku2e2y-[y]-uY]2σYdy14。3.屋顶的证明。

首先，我们建立了两个独立随机变量乘积的密度。设W=XY，连续随机变量，两个独立连续随机变量X和Y的乘积。W的分布函数是，FW（W）=Z{（x，y）|xy≤w} fXY（x，y）dxdyHere，{（x，y）|xy≤ w}=-∞ < 十、≤ 0，wx≤ y<∞∪0≤ 十、≤ ∞, -∞ < Y≤wx. 我们可以写出上面的公式，FW（w）=Z-∞Z∞wxfXY（x，y）dydx+Z∞Zwx-∞fXY（x，y）dydx使用莱布尼兹积分规则对w进行微分，得到所需的密度fW（w）=Z-∞-十、fXYx、 wxdx+Z∞十、fXYx、 wxdxfW（w）=Z∞-∞|x|fXYx、 wxdx=Z∞-∞|x|外汇（x）财年wxdx在我们的例子中，两个独立正态变量的密度，其中，uXis是X分布的平均值，σXis是X分布的方差，由fX给出x |ux，σx=σX√2πe-（十）-uX）2σX；fYy | 0，k=rk2πe-k（y）fW（w）=Z∞-∞|x|σX√2πe-（十）-uX）2σXrk2πe-k（wx）dxLeibniz积分规则：设f（x，θ）为函数，使得fθ（x，θ）存在且连续。那么，ddθZb（θ）a（θ）f（x，θ）dx=Zb（θ）a（θ）θf（x，θ）dx+fb（θ），θ· b（θ）- Fa（θ），θ· a（θ），其中f的偏导数表示在积分中，在求导数时只考虑f（x，）与θ的变化。将上述情况推广到二重积分的情况，得到ddtZd（t）c（t）Zb（t）a（t）f（x，y）dx dy=Zd（t）c（t）Fb（t），y· b（t）- Fa（t），y· a（t）dy+Zb（t）a（t）{f（d（t），x）·d（t）- f（c（t），x）·c（t）}dx14。4.屋顶的证明。假设我们有两个带密度函数的截断正态分布p，q。fpx |up，σp，a，b=σpφ十、-upσpΦB-upσp-ΦA.-upσp; A.≤ 十、≤ b0；其他方面x |uq，σq，c，d=σqφ十、-uqσqΦD-uqσq-ΦC-uqσq; C≤ 十、≤ d0；换句话说，upis是p分布的均值，σpis是p分布的方差，其范围为a，b。

当分布重叠时，Bhattacharyyac系数由下式给出，否则为零，ρ（p，q）=Zu=min（b，d）l=min（a，c）qfpx |up，σp，a，bfqx |uq，σq，c，ddx=Zulvuuutσpφ十、-upσphΦB-upσp- ΦA.-upσpiσqφ十、-uqσqhΦD-uqσq- ΦC-uqσqidxZulsφ十、- upσpφ十、- uqσqdx=√2πZulvuutexp“-（十）- up）2σp#exp“-（十）- uq）2σq#=√2πZulexp“-σp+σq4σpσq（x）- 2xupσq+uqσpσp+σq+upσq+uqσpσp+σq-upσq+uqσpσp+σq+upσq+uqσpσp+σq)#=√2πZulexp-σp+σq2σpσq（x）-upσq+uqσpσp+σq)经验“-（（up- uq）σp+σq）#=s2σpσqσp+σq经验“-（（up- uq）σp+σq）#ΦU-（upσq+uqσp）（σp+σq）r2σpσq（σp+σq）- ΦL-（upσq+uqσp）（σp+σq）r2σpσq（σp+σq）DBC-tn（p，q）=-ln[ρ（p，q）]DBC-tn（p，q）=（up- uq）σp+σq+lnσpσq+σqσp+2+自然对数ΦB- upσp- ΦA.- upσp+自然对数ΦD- uqσq- ΦC- uqσq-自然对数ΦU-（upσq+uqσp）（σp+σq）r2σpσq（σp+σq）- ΦL-（upσq+uqσp）（σp+σq）r2σpσq（σp+σq）设，ν=（upσq+uqσp）（σp+σq）和=r2σpσq（σp+σq）。查看DBC运行时的条件-tn（p，q）≥ DBC-N（p，q）给出，lnΦB- upσp- ΦA.- upσp+自然对数ΦD- uqσq- ΦC- uqσq≥ 自然对数ΦU- ν- ΦL-νsΦB- upσp- ΦA.- upσpΦD- uqσq- ΦC- uqσq≥ΦU- ν- ΦL-ν为了完整性，让我们考虑两个单变量正态分布，p，q和密度函数fpx |up，σp=σp√2πe-（十）-up）2σ，upis是p分布的平均值，σpis是p分布的方差。

Bhattacharyya系数由ρ（p，q）=Zqfp给出x |up，σpfqx |uq，σqdx=Zvuutσp√2πe-（x+up）-2xup）2σpσq√2πe-（x+uq）-2xuq）2σqdx=Zvuutσp√2πσq√2πe-（x（σp+σq）-2x（upσq+uqσp）+（upσq+uqσp）2σpσq）dx=Zvuutσp√2πσq√2πe-（σp+σq）2σpσq（x）-2x（upσq+uqσp）（σp+σq）+（upσq+uqσp）（σp+σq））dx=√σpσq√2πZe-（σp+σq）4σpσq（x）-2x（upσq+uqσp）（σp+σq）+（upσq+uqσp）（σp+σq）-（upσq+uqσp）（σp+σq）+（upσq+uqσp）（σp+σq））dx=√σpσqs2σpσqσp+σqsσp+σq2σpσq√2πZe-（σp+σq）2σpσq（x）-（upσq+uqσp）（σp+σq））-（σp+σq）4σpσq(-（upσq+uqσp）（σp+σq）+（upσq+uqσp）（σp+σq））dx=s2σpσqσp+σqE-（up-uq）σp+σq“∵ -σp+σq4σpσq(-upσq+uqσpσp+σq+upσq+uqσpσp+σq)=4σpσq(upσq+uqσp-σp+σqupσq+uqσpσp+σq)=4σpσq（upσq+uqσp+2upσquqσp- σpupσq- σqup- σpuq- σquqσpσp+σq)=4σpσq（2upσquqσp- σpupσq- σquqσpσp+σq)= -（（up- uq）σp+σq）#然后，巴特查里亚距离变成，DBC-N（p，q）=-ln[ρ（p，q）]=-Lnvuuuut(σp+σq4σpσq）-- ln（e）-（up-uq）σp+σq）=lnσpσq+σqσp+2+（up- uq）σp+σq14.5屋顶的证明。假设我们有两个密度函数为fp（x，…，xk |up，∑p，a，b）=exp的截断正态分布p，q-（十）- up）T∑p-1（x）- up）Rbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤bfq（x，…，xk |uq，∑q，c，d）=exp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）Rdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤其中，upis是平均向量，∑pis是p分布的对称正有限协方差矩阵，积分是k维积分，其上下限由向量（a，b）和x给出∈ Rka≤十、≤b、 Bhattacharyya系数由ρ（p，q）=Zu=min（b，d）l=min（a，c）qfp（x，…，xk |up，∑p，a，b）fq（x，…）。

，xk |uq，∑q，c，d）dx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）ρ（p，q）=“Zbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#-“Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#-Zulexp-n（x）- m） Ts-1.（十）- m） +Modx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤这里是min（b，d），S=∑p-1+∑q-1.-1=∑p[∑q+∑p]-1∑qm=hupT∑p-1+uqT∑q-1.∑p-1+∑q-1.-1iTM=（up- uq）T[Δp+Δq]-1（up- uq）ρ（p，q）=“p（2π）k（|∑p |）Zbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#-p（2π）k（|∑q |）Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#-经验-Mqdet∑p∑-1∑q（|∑p |∑q |）q（2π）kdet∑p∑-1∑qZulexp-n（x）- m） T∑q-1[∑]p-1.（十）- m） odx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）这里，∑=∑p+∑qDBC-T MN（p，q）=-ln[ρ（p，q）]DBC-T MN（p，q）=（up- uq）T∑-1（up- uq）+lndet∑pdet∑pdet∑q+ln“p（2π）k（|∑p |）Zbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#+ln“p（2π）k（|∑q |）Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#-自然对数q（2π）kdet∑p∑-1∑qZulexp-n（x）- m） T∑q-1[∑]p-1.（十）- m） odx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）查看DBC运行时的条件-MN（p，q）≥ DBC-mn（p，q）给出，ln“p（2π）k（|∑p |）Zbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#+ln“p（2π）k（|∑q |）Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#≥ -自然对数q（2π）kdet∑p∑-1∑qZulexp-n（x）- m） T∑q-1[∑]p-1.（十）- m） odx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）为了完整性，让我们考虑两个多元正态分布，p，q（在我们的例子中是k维随机向量），其中，p~ N（up，∑p），q~ N（uq，∑q）与密度函数，fp（x，…，xk |up，∑p）=p（2π）k |∑p | exp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）这里，upis是平均向量，∑pis是p分布的对称正有限协方差矩阵。Bhattacharyya系数由ρ（p，q）=Z··Zqfp（x，…，xk |up，∑p）fq（x。