基于Copula的矢量MEMs规范

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《Copula--based Specification of vector MEMs》
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作者：
Fabrizio Cipollini and Robert F. Engle and Giampiero M. Gallo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
The Multiplicative Error Model (Engle (2002)) for nonnegative valued processes is specified as the product of a (conditionally autoregressive) scale factor and an innovation process with nonnegative support. A multivariate extension allows for the innovations to be contemporaneously correlated. We overcome the lack of sufficiently flexible probability density functions for such processes by suggesting a copula function approach to estimate the parameters of the scale factors and of the correlations of the innovation processes. We illustrate this vector MEM with an application to the interactions between realized volatility, volume and the number of trades. We show that significantly superior realized volatility forecasts are delivered in the presence of other trading activity indicators and contemporaneous correlations.
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中文摘要：
非负值过程的乘法误差模型（Engle（2002））被指定为（条件自回归）标度因子和具有非负支持的创新过程的乘积。多元扩展允许创新同时相关。我们通过提出一种copula函数方法来估计规模因子的参数和创新过程的相关性，克服了这类过程缺乏足够灵活的概率密度函数的缺点。我们用已实现的波动率、交易量和交易数量之间的相互作用来说明这个向量MEM。我们表明，在存在其他交易活动指标和同期相关性的情况下，显著优于已实现波动率预测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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Copula--based_Specification_of_vector_MEMs.pdf
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kedemingshi

2022-5-11 04:55:07

基于Copula的矢量MEMs规范*Fabrizio Cipollini+Robert F.EngleGiampiero M.Gallo§Abstractative非负值过程的乘法误差模型（Engle（2002））被指定为（条件自回归）比例因子和具有非负支持的创新过程的乘积。多元扩展允许创新同时关联。我们通过提出一种普适函数方法来估计规模因子的参数和创新过程的相关性，克服了此类过程缺乏足够灵活的概率密度函数的问题。我们用已实现的波动率、交易量和交易数量之间的相互作用来说明这个向量MEM。我们表明，在存在其他交易活动指标和同期相关性的情况下，显著优于已实现波动率预测。关键词：GARCH；MEM；已实现的波动性；交易量；贸易活动；连接词；波动性预测。*这里介绍的一些材料在NBER WP 12690（2006）“向量乘法误差模型：表示和推理”中流通。我们感谢尼古拉斯·豪奇、洛里亚诺·曼奇尼、约瑟夫诺斯、安德鲁·巴顿、凯文·谢泼德、大卫·韦雷达斯，以及洪堡大学CORE——柏林大学帝国理工学院——博科尼分校研讨会的参与者提供了有益的意见。通常的免责声明适用。感谢意大利MIUR在格兰特·普林·米苏拉的资助。+意大利费伦泽大学“G.Parenti”应用软件信息统计部。电子邮件：cipollini@disia.unifi.it纽约大学斯特恩商学院金融系；emailrengle@stern.nyu.edu§通讯作者：统计学、信息学、应用学“G.家长学”、弗伦泽大学、Viale G.B。

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mingdashike22

2022-5-11 04:55:10

莫尔加尼，59-50134意大利费伦泽。电子邮件：gallog@disia.unifi.it1金融市场的动态可以通过交易活动的许多指标来表征，如绝对回报、高低区间、特定区间内的交易数量（可能标记为买入或卖出）、交易量、高低区间、基于超高频的波动性度量、金融持续时间等。恩格尔（2002）认为，金融时间序列的一个显著规律是，持续性和聚集性是此类过程演化的特征。因此，这些变量的动态可以被描述为一个条件确定的比例因子的乘积，该比例因子根据一个GARCH型方程和一个创新项（即iid和单位均值）演化。这种模型被称为乘法误差模型（MEM），可以看作是GARCH（Bollerslev（1986））和ACD（Engle and Russell（1998））方法的推广。这种模型的优点之一是避免了对日志进行排序的需要（当数据中存在零时不可能），并直接提供感兴趣的变量的条件透视（而不是对日志的期望）。实证结果表明，这些类型的模型在捕捉观测序列的风格化行为方面表现良好（例如，对于日范围，周（2005）；关于Manganelli（2005）的持续时间、交易量和波动性；关于波动性、交易量和交易强度（Hautsch（2008））。该模型可以在多变量环境（向量MEM或vMEM）中具体化，只允许每个感兴趣变量的滞后值影响除自身变量外的其他变量的条件期望。

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何人来此

2022-5-11 04:55:14

这种规定有助于产生多步预测：例如，Engle和Gallo（2006）指定了一个多元MEM，其中三种不同的波动性度量，即绝对收益率、日范围和实际波动率的动态相互影响，并评估基于MEM的预测对VIX预测的贡献。尽管逐方程估计确保了准最大似然情况下估计量的一致性，但考虑到Engle（2002）讨论的平稳性条件，创新项之间的相关性未被考虑，并导致效率损失。创新的多元分布的具体情况远非微不足道：非负值随机变量的联合概率分布不可用，除非在非常特殊的情况下。在本文中，我们提出了一种最大似然估计策略，即采用copula函数将单个创新的边际概率密度函数连接在一起，如Engle和Gallo（2006）中的Gamma或Hautsch等人（2014）中的零增强分布，区分零发生和严格正实现。Bodnarand Hautsch（2016）将Copula函数用于乘法误差框架，但用于动态条件相关上下文。作为向量MEM的替代方法，Cipollini等人（2013年）提出了一种基于GMM估计的suggesta半参数方法。潜在的应用范围相当广泛：不同波动值之间的动态互动、市场间的波动溢出（允许多变量多步预测和脉冲响应函数、订单执行动力学（Noss（2007）规定了执行深度的MEM）。

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可人4

2022-5-11 04:55:17

作为一个例子，我们将集中讨论各种市场活动指标（波动性、交易量和交易数量）之间的相互作用，其中条件预期仅取决于过去的价值（而不是像Manganelli（2005）和Hautsch（2008）那样也取决于一些当代信息）。读者应该期待的是：在第2节中，我们展示了向量乘法误差模型的具体情况，讨论了采用几种连接单变量伽马边际分布的copula函数所产生的问题。第3节我们描述了导致参数推断的最大似然过程。第4节介绍了我们的模型在三个交易活动系列中的应用，即已实现的核心波动率、交易量和交易数量。在2007年至2013年期间对JNJ股票进行清净。研究发现，与独立（即方程-方程）方法相比，指定允许同时相关性的创新的联合分布显著提高了对数可能性。更丰富的规格（在无法同时进行估计的情况下）提供了更好的t、改进的序列相关性诊断，以及更好的样本外预测性能。Student-T copula比普通copula具有更好的特性。总体而言，有迹象表明，在考虑其他交易活动指标和同期相关性时，我们将获得显著优于预期的波动率预测。结束语如下。2乘法误差模型可以是一个具有非负分量的K维过程。XT的向量乘法误差模型（vMEM）定义为XT=ut εt=diag（ut）εt，（1）式中表示Hadamard（逐元素）乘积，对角线是一个对角线矩阵，其向量参数位于主对角线上。

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能者818

2022-5-11 04:55:20

有条件地基于信息集Ft-1，utisut=ω+αxt的一个相当一般的规范-1+γx(-)T-1+βut-其中ω为（K，1），α、γ和β为（K，K）。向量x(-)THA是一个通用元素XT，由一个与有符号变量相关的函数乘以，无论是正或负回报（0，1值）或有符号交易（买入或卖出1，-1）以捕捉不对称效应。让与utbe相关的参数收集在向量θ中。u皮重平稳性的条件是单变量情况下的条件的简单推广（例如Bollerslev（1986）；Hamilton（1994））：如果a=α+β+γ/2的所有特征根的模量小于1，则等式（2）中定义为utde的vMEM（1,1）在平均值上是平稳的。我们可以将A视为表达式（xt+1 | Ft）中的影响矩阵-1） =ut+1 | t-1=ω+Aut | t-1.如果考虑更多滞后，则模型为ut=ω+LXl=1hαlxt-l+γlx(-)T-l+βlut-li，（3），其中L是动力学中出现的最大滞后。通常可以方便地将系统（3）表示为其等效的伴生形式*t+L | t-1=A*u*t+L-1 | t-1、（4）其中：*t+L | t-1=（ut+L | t）-1.ut+L-1 | t-1.ut+1 | t-1）是一个KL×1向量，通过将其元素按列andA排列得到*=AA··阿利克（L）-1） K（L）-1），KAl=αl+βl+γl/2，l=1，五十、 IK（L）-1）是K（L）- 1） ×K（L）- 1）识别矩阵和0K（L-1），Kis a K（L-1） ×K零点矩阵。就A的特征值而言，同样的平稳性条件成立*.新息向量ε是一个K维iid过程，密度函数定义为[0+∞)k支持，单位向量1作为期望和一般方差-协方差矩阵∑，εt | Ft-1.~ D+（1，∑）。

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何人来此

2022-5-11 04:55:24

（5）之前的条件保证E（xt | Ft-1） =ut（6）V（xt | Ft-1） =utut ∑=diag（ut）∑diag（ut），（7），其中后者通过构造是正定义矩阵。关于误差项εt | Ft的分布，可以考虑一些替代方案-1.2.1多元伽马公式Engle和Gallo（2006）采用的单变量伽马公式推广到多元伽马公式时，由于文献中可用的多元伽马分布的局限性（以下所有参考文献均来自Johnson等人（2000年，第48章））：其中许多公式是双变量公式，对于我们的目的来说不够普遍；另一些是通过联合特征函数定义的，因此它们需要繁琐的数值反演公式来确定其概率密度函数（pdf）。最符合我们需求的公式（它提供了εi，tas Gamma（φi，φi）的所有单变量边际概率函数），是Cheriyan和Ramabhadran（此后GammaCR，相当于Kowalckzyk和Trycha以及Mathai和Moschopoulos的其他版本）多元Gamma的一个特定版本：εt |Ft-1.~ GammaCR（φ，φ，φ），其中φ=（φ；…；φK）和0<φ<min（φ，…，φK）（Johnson等人（2000，454-470））。多元pdf用一个繁琐的积分和εthas泛型元素ρ（εt，i，εt，j | Ft）的条件相关矩阵表示-1） =φpφiφj，它被限制为正，与方差1/φi和1/φj严格相关。鉴于这些缺点，这里不采用多元伽马。2.2基于Copula的公式指定εt | Ft分布的不同方法-1使用copula函数（参见Joe（1997）和Nelsen（1999）、Embrechts等人（2002）、Cherubini等人（2004）、McNeil等人。

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大多数88

2022-5-11 04:55:27

（2005年）和巴顿（2007年）的财务应用评论）。在这种情况下，vMEM误差分量的条件pdf由fε（εt | Ft）给出-1） =c（ut；ξ）KYi=1fi（εt，i；φi），（8）其中c（ut；ξ）是copula的pdf，fi（εt，i；φi）和ut，i=fi（εt，i；φi）分别是边值、ξ和φi参数的pdf和cdf。因此，copula方法需要指定两个元素：边缘的分布和copula函数。鉴于其他地方显示的灵活特性（Engle和Gallo，2006），我们首次采用Gamma pdf（但也有其他选择，如逆Gamma、Weibull、对数正态以及它们的混合）。第二，我们讨论椭圆连接函数类中一些可能的特殊情况。2.2.1正规copula正规copula在应用中是一种常见的选择（McNeil等人（2005）、Cherubinet等人（2004）、Bouy\'e等人（2000））。它的pdf格式是bycN（u；R）=|R|-1/2exp-qR-1q- qq, （9）其中q=（q；…；qK），qi=Φ-1（ui）和Φ（x）表示在x处计算的标准正态分布的cdf。正态copula有许多有趣的特性：能够重现广泛的依赖关系（根据correlationparameter的值，双变量版本能够获得较低的Fr’echet界、乘积copula界和较高的Fr’echet界），分析的可处理性，模拟的简易性。当与伽马（φi，φi）边缘相结合时，得到的多元分布是由高斯copula产生的色散分布的一种特殊情况（Song，2000）。

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kedemingshi

2022-5-11 04:55:31

我们注意到εthas泛型元素的条件相关矩阵近似等于Rij，这与第2.1节中的多元伽马不同，也可以假定为负值。2.2.2 Student-T copula正常copula的限制之一是尾部的渐近独立性。从经验上看，尾部依赖是金融时间序列中经常观察到的一种行为（参见McNeil等人（2005年）等）。x元素（无论是同一资产的不同指标还是不同资产的不同指标）往往会受到相同极端事件的影响。出于这个原因，作为替代方案，我们考虑Student-T copula，它允许有孔虫依赖的尾巴。Student-T copula的pdf由ct（u；R，ν）=Γ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K给出-1Γ（（ν+1）/2）|R|-1/2（1+qR）-1q/ν）-（ν+K）/2QKi=1（1+qi/ν）-（ν+1）/2，（10）式中q=（q；…；qK），qi=T-1（ui；ν）和T（x；ν）表示学生T分布的cdf，其自由度在x处计算。与正常的copula不同，当R=I时，我们得到不相关但不独立的边缘（详见McNeilet al.（2005））。Demarta和McNeil（2005）对Student-T连接词作了进一步说明。2.2.3椭圆连接词椭圆连接词族提供了一个统一的框架，包括正常连接词、Student-T连接词和该家族的任何其他成员，并赋予了明确的pdf。椭圆copula（有关详细信息，请参见McNeil et al.（2005）、Frahm et al.（2003）、Schmidt（2002））是由椭圆分布生成的copula，与正态copula和Student-T copula分别由多元正态分布和Student-T分布生成的方式完全相同。

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mingdashike22

2022-5-11 04:55:34

椭圆连接函数具有有趣的特性和广泛的适用性，即使它们的椭圆对称性在某些应用中可能构成限制。我们考虑一个由椭圆分布生成的copula，其单变量“标准化”边缘（此处使用位置参数0和色散参数1）具有绝对连续的对称分布，以零为中心，具有pdf g（；ν）和cdfG（；ν）（ν表示形状参数的向量）。因此，copula的密度可以写成ascE（u；R，ν）=K*（ν，K）|R|-1/2g（qR）-1q；ν、 K）QKi=1g（qi；ν）（11）以选择合适的K*(., .), g（.；，.）和g（.；），其中q=（q；…；qK），qi=G-1（ui；ν）。例如：o在正常的copula中，没有明确的形状参数ν，我们有K*（K）≡ 1，g（x；K）=g（x）≡ 经验(-x/2）；o在Student-T copula中，有一个标量ν形状参数，我们有K*（ν；K）=Γ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K-1Γ（（ν+1）/2），g（x；ν，K）=（1+x/ν）-（ν+K）/2，g（x；ν）=（1+x/ν）-（ν+1）/2.3最大似然推断在这一节中，我们讨论了如何从VMEM中获得完整的最大似然（ML）推断，对于阿基米德族中的ut（依赖于参数向量θ）copula，参数规格（3）提供了一种绕过这一限制的方法，但存在其他缺点，本文将不再讨论。和一个通用公式fε（εt | Ft-1）向量误差项的条件分布（以参数向量λ为特征）。关于θ和λ的推断可以在本文中讨论，因为根据模型假设，对数似然函数isl=TXt=1ln fx（xt | Ft-1） =TXt=1lnfε（εt | Ft-1） KYi=1u-1t，我=TXt=1英寸英尺（εt |英尺）-1) -KXi=1lnut，i#。（12）考虑到一般时间t，回忆一下计算顺序很有用：ut，i（θi）→ xt，i/ut，i=εt，i→ Fi（εt，i；φi）=ut，i→ c（ut；ξ）i=1。

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mingdashike22

2022-5-11 04:55:37

，Kwhereθ是utvector的第i个元素中涉及的参数。3.1条件平均值中的参数，与fε（εt | Ft）的规格无关-1），vMEM的结构允许将分数函数中与θ对应的部分表示为θl=TXt=1Atwt（13），其中=-θutdiag（ut）-1.wt=εt bt+1，（14）bt=εtln f（εt | Ft-1），为了得到零预期分数，我们需要E（wt | Ft-1） =0或等效的E（εtbt |英尺-1) = -1.因此，信息矩阵和预期的Hessian值由Ehati（ε）Ati（15）andE给出AtH（ε）At, （16）其中矩阵i（ε）=E[（εt bt）（εt bt）|英尺-1] - 11和h（ε）=E[εtbt（εtεt）| Ft-1] - Idepend仅在λ上，而不在θ上。当然，在正确的规格下H（ε）=-I（ε）。对于εt的条件分布的特定参数选择，我们需要插入lnfε（εt | Ft）的特定表达式-1）例如，考虑到通用的连接公式（8），那么ln fε（εt | Ft-1） =lnc（ut）+KXi=1ln-fi（εt，i）（17），因此bthas elementsbt，i=fi（εt，i）ut，iln c（ut+εt，iln-fi（εt，i）。（18）在下文中，我们提供了椭圆连接公式（11）及其主要子情况的具体公式。3.2误差项pdf中的参数在copula方法下，分数函数中对应于ptt=1ln f（εt | Ft）的部分-1）（参见等式（12））取决于向量λ=（ξ；φ）（ξ和φ分别是copula函数和边缘函数的参数——参见第2.2节），λl=TXt=1λlnf（εt | Ft）-1） =TXt=1λlnc（ut；ξ）KYi=1fi（εt，i；φi）！。因此ξl=TXt=1ξln c（ut）。和φil=TXt=1φiFi（εt，i）ut，iln c（ut+φiln-fi（εt，i）.如第2.2.3节所述，除了一个可能的形状参数ν外，椭圆连接函数的特征是一个相关矩阵R，考虑到其完整的ML估计，它可以被表示（参见McNeil et al.（2005，p。

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kedemingshi

2022-5-11 04:55:40

235）asR=DccD，（19），其中c是主对角线上的上三角矩阵，D是对角线项D=1和Dj的对角线矩阵=1+Pj-1i=1cij-1/2对于j=2，这样，R的估计就转化为一个无约束问题，因为K（K- 1） /2 c的自由元素可以变成R，然后我们可以写出ξ=（c；ν）。让我们介绍一个简洁的表示法如下：C=cD，qt=（qt，1；…；qt，K），qt，i=G-1（ut，i；ν），eqt=C0-1qt，q*t=R-1qt，eeqt=qtR-1qt=eqteqt。然后我们可以写c（ut）=ln K*-KXi=2ln Di+ln g（eeqt）-KXi=1ln g（qt，i）（20），其中使用了ln（|R |）=PKi=2ln Di这一事实。在特定情况下，我们得到：o正常copula:lnk*= 0，lng（x）=lng（x）=-x/2；oStudent-T copula:lnk*= lnhΓ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K-1Γ（（ν+1）/2）i，lng（x）=-ν+Kln1+xν,g（x）=-ν+1ln1+xν.进入矩阵c的参数相对于c矩阵自由参数的分数部分包含元素cijl=cij“-TKXi=2ln Di+TXt=1ln g（eeqt）#，i<j.（21）使用一些代数，我们可以证明cijKXi=2ln（Di）=-德吉詹德cijln g（eeqt）=-2.eeqt（ln g（eeqt））Djq*t、 j（eqt，i- Cijqt，j）。通过将它们替换为（21），我们获得cijl=T DjCij+2DjTXt=1q*t、 j（Cijqt，j- eqt，i）eeqt（lng（eeqt））。输入向量ν的参数分数相对于ν的部分为νl=ν“T ln K*+TXt=1ln克（eeqt）-TXt=1KXi=1ln g（qt，i）#。lnk的导数*= ln K*（ν；K）有时可以解析计算。

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大多数88

2022-5-11 04:55:43

例如，在Student–T copula中，我们有νln K*（ν；K）=ψν+K+ （K）- 1)ψν- Kψν + 1.对于剩余的量，我们建议使用数值导数，就像在Student–Tcase中，分位数函数G-1（x；ν）不能解析计算。输入向量φ的参数得分相对于φ的部分包含元素φil=φiTXt=1“ln g（eeqt）-KXi=1ln g（qt，i）+KXi=1ln fi（εt，i）#。经过一些代数运算，我们得到φil=TXt=1[φiFi（εt，i）dt，i+φiln fi（εt，i）]，（22）式中，dt，i=g（qt，i）h2q*t、我eeqtln g（eeqt）- qt，iln g（qt，i）i.（23）例如，如果一个边缘有一个分布伽马（φi，φi），那么φifi（εt，i）=ln（φi）- ψ（φi）+ln（εt，i）- εt，i+1，而φiFi（εt，i）可以用数值计算。参数输入向量θ通过利用本节中介绍的符号，我们现在可以详细说明bt输入（14）的结构，然后输入与θ相关的分数函数部分。从（20）开始，εt bt+1（参见14）包含元素εt，ibt，i+1=εt，ifi（εt，i）dt，i+εt，iεt，iln fi（εt，i））+1（24），其中dt，iis在（23）中给出。对于我们的选择，fi（εt，i）是伽马（φi，φi）分布的pdf，因此εt，iεt，iln-fi（εt，i）+1=φi- εt，iφi.（25）3.2.1以过程的弱平稳性、数值稳定性和待估计参数数量的减少为目标的期望值，可以通过用过程的无条件平均值表示ω来实现，例如u，这可以通过样本平均值（期望值目标值）轻松估计。因为E（xt）=E（ut）=u定义良好，等于uI-LXl=1αl+βl+γl#-1ω，（26）式（3）变成ut=“I-LXl=1αl+βl+γl#u+LXl=1αlxt-l+γlx(-)T-l+βlut-L. （27）在GARCH框架下，Kristensen和Linton（2004年）以及最近Francq等人对这种做法的后果进行了调查。

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能者818

2022-5-11 04:55:46

（2011）表明这相当于GARCH背景下的方差目标（Engle和Mezrich（1995）），其中假设条件方差模型的常数项是样本非条件方差和其他参数的函数。在这种情况下，除了由于我们对条件平均值建模而偏爱术语expectationtargeting之外，主要参数保持不变。它在估计算法的稳定性以及系数和长期波动性估计的准确性方面的优点（参见附录5了解当前上下文中的一些细节）。从技术角度来看，用样本均值XT替换u，然后对剩余参数进行ML估计，可以保持一致性，但会导致错误的标准误差（Kristensen和Linton，2004）。通过将推理问题确定为涉及两步估计器（Newey和McFadden（1994，第6章）），即将（θ；λ）重新排列为（u；θ），其中θ收集除u以外的所有模型参数，可以解决这个问题。在能够保证（θ；u）的一致性和渐近正态性的条件下（特别是E（utut）的存在性：见Francq等人（2011）），我们可以修改Newey和McFadden（1994）的注释来写出√TbθT- θasG-1θ我-GuM-1.Ohmθ,θOhmθ,uOhmu,θOhmu,u我-（GuM）-1)G-10θ（28）式中gθ=E(θlt）Gu=E(θult）M=E(umt），且M=TXt=1mt=TXt=1（xt- u）是给出样本平均值的矩函数，作为u的估计量。

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2022-5-11 04:55:49

这个Ohm 矩阵表示变量的方差矩阵(θlt；mt）在相应的块中分区。为了考虑采用预期目标的必要修改，我们提供了充分通用且紧凑的表达式，用于（27）表示的条件平均值中的参数u（无条件平均值）和θ（剩余参数）。Gθ=E(θlt=EAtH（ε）AtGu=E(θult）=-EAtH（ε）diag（ut）-1.AM=-我Ohmθ、 θ=E(θltθlt）=EhAtI（ε）AtiOhmθ、 u=E(θltmt）=E[At[E[（bt εt）εt | Ft-1] +11]diag（ut）]BA-10Ohmu，u=E（mtmt）=A-1（B∑vB+C∑v ∑I）C）A-10where=I-LXl=1αl+βl+γlB=I-LXl=1βlC=LXl=1γl∑v=E（utut） Σ.表达Ohmu，u通过使用Horv\'ath等人（2006年）和Francq等人（2011年）中的技术获得。从这个意义上说，我们将引用的工作扩展到一个包含不对称效应的多元公式。当模型得到正确规定时，也可以进一步简化，因为在这种情况下，H（ε）=-I（ε）和E[（bt εt）εt | Ft-1] = -11导致Ohmθ、 u=0和托伊哈蒂（ε）Ati+EAtI（ε）diag（ut）-1.[vB+C（v）∑ ∑I）C]E诊断（ut）-1I（ε）At关于（28）的内部部分。3.2.2集中对数概率在椭圆连接函数的框架内，如果需要，可以实现一些进一步的数值估计稳定性和参数数量的减少：我们可以使用残差的当前值来计算R的当前估计（Lindskog et al.（2003）提出了Kendall相关性）和形状参数的当前估计ν（Kostadinov（2005）提出了尾部依赖指数）。当可以充分利用简单的力矩条件时，这种方法对于其他连接函数也可能是有效的。类似的策略也适用于边缘的参数。例如，如果假设伽马（φi，φi）分布，则关系V（εt，i | Ft-1） =1/φi根据残差的当前值得出φi的非常简单的估计值。

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可人4

2022-5-11 04:55:53

通过这种方法，剩余的参数可以从一种伪对数似然更新，条件是对预先估计的参数进行当前估计。在正常copula的情况下，可以遵循不同的策略。R矩阵（无约束）最大似然估计（Cherubini et al.（2004，第155页））的公式，即q=qqt，其中q=（q；…；qT）是一个T×K矩阵，可以插入对数似然，而不是R，从而获得一种集中的对数似然[-ln | Q |- K+迹线（Q）]+TXt=1KXi=1ln-fi（εt，i | Ft-1）（29）导致得分函数的结构相对简单。然而，该R估计值是在不施加任何约束的情况下获得的，与其作为相关矩阵的性质（diag（R）=1和正不确定性）有关。直接计算R的非对角元素的导数，经过一些代数运算后，我们得到R的约束极大似然估计满足以下方程：（R-1） ij- （R）-1） i.qqT（R）-1).j=0对于I6=j=1，K、其中Ri。和R.j分别表示矩阵R的第i行和第j列。不幸的是，这些方程没有显式解。一个可以接受的折衷方案应该可以提高效率，尽管它在形式上不能被解释为ML估计量，但它是将上述获得的估计量Q标准化，以便将其转换为相关矩阵：eR=D-QQD-Q、其中DQ=diag（Q，…，QKK）。通过观察群体对可能性的贡献取决于R，可以证明该解决方案是合理的，就好像它是iid rv QT的相关矩阵，正态分布，平均值为0，相关矩阵为R（另见Somcneil等人（2005年，第235页））。利用R的约束估计，集中对数似然成为-嗯|呃|- 追踪（呃）-1Q+trace（Q）i+TXt=1KXi=1ln-fi（εt，i | Ft-1).

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大多数88

2022-5-11 04:55:56

（30）有趣的是，只要（29），等式（30）也给出了相对简单的分数函数结构。使用一些繁琐的代数，我们可以证明，与θ和φ对应的分数分量的结构与上面的完全相同，数量dt，iinto（23）改变为t，i=Ci。qtφ（qt，i）（31），其中C矩阵由C=Q给出-1D1/2QD1/2QQ-1.- Q-1+IK-呃-1+D-1Q- D-1/2Qdiag（Q-1D1/2QQ）和φ（.）此处表示在其参数处计算的标准法线的pdf。当然，在这种情况下，边缘的参数也可以通过根据当前残差（而不是通过ML）计算的矩估计来更新，正如上面所解释的。即使R是（2，2）矩阵，满足三次方程的Rhas值：- RqqT+RqqT+qqT- 1.-qqT=0.4交易活动和vMEMTrading活动中的波动性交易活动产生了许多指标，因此这些指标的特点是相互依赖，即使是在动态意义上。在本应用程序中，我们将重点关注三个系列代理此类交易活动的联合动力学，即波动率（衡量为已实现的核心波动率，参见Barndorff Nielsen et al.（2011）和其中的参考文献）、交易量和每天的股数。例如，安达信（Andersen）在《早期贡献》（Early Contribution）中记录了与交易活动有关的波动性和交易量之间的关系。自那以后，金融市场结构的演变、行业创新、机构投资者的日益参与以及自动化交易实践的采用加强了这种关系，交易数量显然反映了交易强度的一个重要方面。

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大多数88

2022-5-11 04:55:59

首先，为了节省成本，我们选择已实现的波动率预测作为多元努力的主要目标；我们将波动性的单变量模型本身作为一个基准，与其他指标中的额外信息以及误差项中的同期相关性进行对比。超高频数据的可用性使我们能够利用波动率测量文献中的最新发展构建每日变量序列。作为一个领先的例子，我们考虑了强生公司（JNJ）在2007年1月3日至2013年7月31日之间（1656次观察）。这种股票具有理想的流动性和有限的风险性，其市场贝塔值通常小于1。TAQ的原始贸易数据根据Brownlees和Gallo（2006）算法进行清理。随后，我们根据Barndorff Nielsen等人（2011年）的计算结果，构建了已实现内核波动率的每日序列，计算了第t天asrkv=vuutHXh的值=-香港啊γhγh=nXj=|h |+1xjxj-|h |其中k（x）是Parzen kernelk（x）=1.- 6x+6xif x∈ [0, 1/2]2(1 - x）如果x∈ （1/2,1]0否则，H=3.51·n3/5Pnj=1xj/（2n）Penj=1exj！2/5，xjis是根据Barndorff-Nielsen等人（2009年，第2.2节）计算的第j个高频收益率，exjis是第j个bin的日内收益率（间隔15分钟等间隔）。对于成交量（vol）和交易数量（nt），我们只是简单地汇总数据（分别是日内成交量和交易数量的总和）。根据图1，次贷危机引发的动荡显然正在以潜在趋势影响该系列的业绩。对于波动性，Gallo和Otranto（2015）用一些非线性MEM分析了平均水平的变化。

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mingdashike22

2022-5-11 04:56:02

在不采用他们的方法的情况下，我们在下面实施图1：JNJ交易活动指数的时间序列（2007年1月3日至2013年7月31日）。左：原始数据；右：去渲染数据；顶部：已实现的核心波动率（年化百分比）；中等：数量（百万）；底部：交易数量（千）。2012年6月13日的收购相当于一家子公司对其部分普通股的重要收购和回购。趋势消除策略（分别针对每个指标），以识别系列之间除了低频变动之外的短期波动。样本的第一部分中存在明显的阿努沃德坡度，这与安徒生（1996）提出的体积证据一致。值得注意的是，这一上升趋势在2008年10月危机达到顶峰后被打断，变量的平均水平出现了实质性的逐步降低。为了消除这种趋势，我们采用了一种类似于安徒生（1996）的解决方案，即时间的灵活函数来平滑序列。具体来说，假设趋势是乘法的，我们在每个指标中删除它，如下所示：o我们取原始序列的对数；o我们使用timet（样本中从第一次观察到最后一次观察的累进计数器）作为因变量，在每个对数系列上进行基于样条曲线的加性误差回归然后对之前回归的残差进行指数化，得到去趋势序列。当用于生成原始数量的样本外预测时，假设趋势分量在上一次样本内估计时保持不变，则采用描述方法。

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可人4

2022-5-11 04:56:05

这一策略实施简单，对于预测中等水平的前景相当可靠。用夹板提取金融市场活动系列中的低频运动，让人想起Engle和Rangel（2008）与aspline GARCH共同发起的文学流，并在MEM背景下在Brownlees和Gallo（2010）中进行。表1显示了估计趋势之间非常相似的相关性，都在0.87左右。尽管非常大，但去趋势系列之间的相关性不太均匀：根据预期，交易量和交易数量的价值高于0.9，是最高的；cor（rkv，vol）低于0.6，而cor（rkv，nt）约为0.7，这证实了相关变量的扩大是由数据保证的。另请注意，与原始序列相比，去除趋势往往会扩大相关性之间的差异。表1:JNJ的相关性（2007年1月3日至2013年7月31日）。rkv=已实现的内核可用性；体积=体积；ntr=交易数量。原始趋势去趋势vol ntr ntr vol NTRKV 0.645 0.779 0.875 0.877 0.579 0.707 vol 0.903 0.874 0.936可以使用其他方法，例如固定长度（居中或非居中）的移动平均数，但在实践中，它们会产生非常相似的结果，这里将不详细讨论。样条曲线回归是通过R包mgcv中的gam（）函数使用默认设置估计的。4.1建模结果在应用中，我们考虑去趋势数据上的vMEM，其中条件期望的形式为（参见等式（3））ut=ω+αxt-1+αxt-2+γx(-)T-1+βut-1.（32）为了评估不同模型组件的贡献，在这个条件平均值中，我们考虑系数矩阵α和β的替代规格（α和γ在所有规格中保持对角），以及误差项。

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能者818

2022-5-11 04:56:08

作为前者，我们考虑同时具有α和β对角线（标记为D）的配方；α全对角和β对角（标记为A）；α和β均已满（标记为AB）。对于误差的联合分布，我们采用了Student–T、正态和独立copula（T、N和I分别作为标签），在所有情况下均采用伽马分布边缘。表2总结了估计的规格。当与表中的条件平均数相结合时，独立copula的规格可以通过方程来估计。表2:vMEM的估计规格由（1）、（32）和（8）用Gammamarginals定义。误差分布（copula）条件均值（参数）I：独立N：正态T：学生TD：α，β，γ，α对角D-IA：α全；β、 γ，α对角线A-I A-N A-TAB：α，β满；γ、 α对角AB-N AB检验结果如表3所示，仅限于已实现波动率的方程式。Student-T copula被证明是最受欢迎的规范，它的对数似然函数值显著较高，信息标准较低；方程-方程方法（独立copula）在这两方面都占主导地位。在不报告参数详细信息的情况下，使用normal/Student-T copula函数对对角线模型进行的估计显示，对数似然值分别为1993.77和2076.51，这表明创新的同期相关性以及采用规范时其他指标的联合重要性都有了显著改善。

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何人来此

2022-5-11 04:56:13

有趣的是，只有在更丰富的参数化（AB）的情况下，剩余自相关才会显著降低，其中非对角α和β都可以捕获可能的相互依赖性。交易量和交易量对已实现波动率的影响是存在的，但通常单独而言并不显著，可能是由于共线性（如前所述，对数似然检验将使用预期目标（第3.2.1节）估计所有模型）。采用集中对数似然法（第3.2.2节）估计基于正常copula的规范。我们省略了常数项ω的估计。在A-Tand AB-T配方中，估计的自由度分别为9.10（s.e.1.24）和8.72（s.e.1.13）。我们还尝试了AB-N规格的完整最大似然估计，得到的对数似然值等于2093.52，非常接近表3中使用的集中对数似然法（第3.2.2节）。拒绝相关系数等于零的联合假设）。总的来说，在一个完整β的存在下，交易数量的贡献似乎更明显；因果关系测试也强调了这一点。滞后2的系数总是显著的，带有负号。除非对角β系数外，正常和学生T参数似乎提供了类似的点估计值：对于后者，再次出现共线，因为形式似然检验确实表明联合显著性。通过检查表4，我们报告了所有三个伽马边缘的估计系数φ，从而完成了对结果的概述，表明估计残差的估计无条件分布的形状略有不同。表3：不同模型公式的已实现波动方程的估计系数（参见。

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mingdashike22

2022-5-11 04:56:16

表2）为JNJ（2007年1月3日至2013年7月31日）。括号中是稳健的t-stats。空白表示该规范未包含相应的系数。因果关系检验（带箭头的行）报告了假设的p值：α1，j=β1，j=0（j=2,3）。

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