II折扣函数的混合（严格地说）是II吗？也许令人惊讶的是，这个问题的答案总体上是否定的。这源于生存分析和可靠性理论文献中的结果。[24]讨论了可靠性理论和时间折扣之间的相似性。Takeuchi[26]还指出，折扣函数类似于生存函数S（t）。与S（t）相关的故障率isg（t）=-S（t）S（t），表现为时间偏好率。对于两次连续可差生存函数，故障率下降（DFR）对应于时间优先率下降，因此对应于di，而故障率上升（IFR）对应于II。概率分布的混合是生存和可靠性分析中的一个常见话题。Proschan[21]证明，分布与DFR的混合总是表现出DFR。然而，Gurland和Sethuraman[8,9]提供了一个引人注目的例子，说明故障率迅速增加，最终正在下降。6附录6。1 Fishburn和Rubinstein关于折扣效用代表的公理Fishburn和Rubinstein[7]之后，我们假设：公理1。（弱序）偏好序<是一个弱序，即它是完全的和可传递的。公理2。（单调性）每x，y∈ 十、 如果X<y，那么（X，t） （y，t）为每个人∈ T这一结果与13号提案的“非严格”部分相当。公理3。（连续性）对于每个（y，s）∈ X×T集合{（X，T）∈ X×T：（X，T）<（y，s）}和{（X，T）∈ X×T：（X，T）4（y，s）}是闭合的。公理4。（不耐烦）为了所有的t，s∈ 每x>0，如果T<s，那么（x，T） （x，s）。如果t<s且x=0，则（x，t）~ （x，s）每t，s∈ 也就是说，0是一个时间中立的结果。公理5。

（可分性）对于每个x，y，z∈ X和每个r，s，t∈ 如果（x，T）~ （y，s）和（y，r）~ （z，t）然后（x，r）~ （z，s）。Fishburn和Rubinstein[7]证明了以下结果：定理4（[7]）。当且仅当<on X×T存在折扣效用表示时，偏好<on X×T满足公理1-5。如果（u，D）和（u，D）都为<on X×T提供折扣效用表示，那么对于某些α>0，u=αuf，对于某些β>0.6.2命题7的证明，我们首先需要证明以下引理：引理18。假设手是严格递减函数。然后his是hif的a（严格）凸变换，且仅当h（s）-h（t）=h（s+σ+ρ）-h（t+σ）意味着h（s）- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- h（t+σ）对于满足0<t<s的每一个s.t，σ和ρ≤ t+σ<s+σ+ρ。证据我们首先证明了必要性。假设他的a（严格）凸变换为H；也就是说，存在一个（严格）凸函数f，使得h=f（h）。假设0<t<s≤ t+σ<s+σ+ρ和h（s）- h（t）=h（s+σ+ρ）- h（t+σ）。（15） 我们需要证明这一点- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- 当0<t<s时h（t+σ）≤ t+σ<s+σ+ρ。由于his严格递减，因此h（s+σ+ρ）<h（t+σ）≤ h（s）<h（t）。回想一下，f是一个（严格的）凸函数。因此，当等式（15）成立时，它意味着f（h（t+σ））- f（h（s+σ+ρ））≤ [<]f（h（t））- f（h（s））。由于h=f（h），这个不等式等价于h（t+σ）- h（s+σ+ρ）≤ [<]h（t）- h（s）。重写：h（s）- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- h（t+σ），（16）每当0<t<s≤ t+σ<s+σ+ρ。为了显示效率，假设（15）意味着（16）对于满足0<t<s的每个s，t，σ和ρ≤ t+σ<s+σ+ρ。定义f，使f=ho H-1.请注意，我们可以这样做，因为-1存在（因为他是严格递减函数）。

那么如果h（s+σ+ρ）<h（t+σ）≤ h（s）<h（t）方程（15）成立，我们有f（h（t+σ））- f（h（s+σ+ρ））≤ [<]f（h（t））- f（h（s））。因此，f是一个（严格）凸函数，这意味着他是h的一个（严格）凸变换。我们现在可以证明命题7。证据注意Di:[0，∞) → （0，1）是一对一的，所以D-1i:（0,1]→ [0, ∞).让我们首先证明条件（i）源自条件（ii）。证据是相反的。我们证明了not（i）意味着not（ii）。假设（i）失败；也就是说，存在0<t<s，ρ>0，σ>0和x，y，x，y的s和t∈ 带0<X<y和0<X<y的X（X，t）~（y，s），（x，t+σ）~（y，s+σ+ρ），（x，t）~（y，s）和（x，t+σ）[<]（y，s+σ+ρ）。由于假设u（y）>0且u（y）>0，这意味着u（x）u（y）=D（s）D（t）=D（s+σ+ρ）D（t+σ）和u（x）u（y）=D（s）D（t）>[≥]D（s+σ+ρ）D（t+σ）。设h=ln和h=ln D。注意，这两个函数都是严格递减函数。还要注意hi:[0，∞) → (-∞, 0]是一对一的。砰-1i:(-∞, 0] → [0, ∞), h在哪里-1i（z）=D-1i（ez）。重写这些表达式，我们得到每个i的di（t）=ehi（t）∈ {1, 2}. 因此：eh（s）eh（t）=eh（s+σ+ρ）eh（t+σ）和eh（s）eh（t）>[≥]eh（s+σ+ρ）eh（t+σ）。相当于h（s）- h（t）=h（s+ρ+σ）- h（t+σ）（17）和h（s）- h（t）>[≥] h（s+ρ+σ）- h（t+σ）。（18） 注意lnd（D-1（ez））（严格）凸于z上(-∞, 0]相当于ho H-1（严格）在z轴上凸(-∞, 0]. 换句话说，他给出了H的一个（严格的）凸变换。根据引理18，这个结论与等式（17）和不等式（18）相矛盾。因此，not（i）意味着not（ii）。其次，我们需要证明（i）意味着（ii）。

使用前面介绍的符号，我们证明了对于每一个s，t，σ和ρ，满足0<t<s≤ t+σ<s+σ+ρ方程h（s）- h（t）=h（s+σ+ρ）- h（t+σ）意味着h（s）- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- h（t+σ）。作为hand-hare递减函数，这证明了h的a（严格）凸变换假设为0≤ t<s≤ t+σ<s+σ+ρ使得h（s）- h（t）=h（s+σ+ρ）- h（t+σ）。通过定义hi=ln，这个表达式相当于toD（s）D（t）=D（s+σ+ρ）D（t+σ）∈ (0, 1).当ui连续时，我们可以选择0<x<y，例如：D（s）D（t）=D（s+σ+ρ）D（t+σ）=u（x）u（y）。因此，D（t）u（x）=D（s）u（y）和D（t+σ）u（x）=D（s+σ+ρ）u（y）。这意味着（x，t）~（y，s）和（x，t+σ）~（y，s+σ+ρ）。类似地，因为ui是连续的，我们可以选择x，y，这样：D（s）D（t）=u（x）u（y）∈ (0, 1).因此，（x，t）~（y，s）。但是根据（i），如果（x，t）~（y，s），（x，t+σ）~（y，s+σ+ρ）和（x，t）~（y，s）然后（x，t+σ）4[] （y，s+σ+ρ）。后者相当于：D（s+σ+ρ）D（t+σ）≥ [>]u（x）u（y）。接下来是D（s）D（t）≤ [<]D（s+σ+ρ）D（t+σ），相当于- ln D（t）≤ [<]lnd（s+σ+ρ）- lnd（t+σ）或h（s）- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- h（t+σ）。因此，h（s）- h（t）=h（s+σ+ρ）- h（t+σ）意味着h（s）- h（t）≤ [<]h（s+σ+ρ）- h（t+σ）只要0≤ t<s≤ t+σ<s+σ+ρ。因此，通过引理18，他给出了h.参考文献[1]G.Ainslie的（严格）凸变换。似是而非的奖励：冲动和冲动控制的行为理论。《心理通报》，82（4）：463-4961975年。[2] A.Al Nowaihi和S.Dhami。关于Loewenstein Prelec跨期选择理论的一点注记。数学社会科学，52（1）：99-1082006。[3] K·J·阿罗。风险承担理论的几个方面。1965年赫尔辛基Yrj¨o Jahnssonin S¨a¨ati¨o。[4] A.E.Attema、H.Bleichrodt、K.I.M.Rohde和P.P.Wakker。

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