聚合时间偏好，减少不耐烦

2022-5-11 04:59:43

聚合时间偏好，减少不耐烦*尼娜·安丘吉娜、马修·瑞安和阿卡迪·斯林科德，奥克兰大学经济学院，奥克兰技术大学数学系。anchugina@auckland.ac.nz，马修。ryan@aut.ac.nzA.slinko@auckland.ac.nzApril2016年摘要。众所周知，对于一组时间一致的决策者来说，他们的集体时间偏好可能会变得时间不一致。Jackson和Yariv[11]证明了指数折扣函数的聚合结果总是表现出当前偏差。我们证明，当偏好满足Fishburn和Rubinstein[7]的公理时，当前偏见相当于减少不耐烦（DI）。应用Prelec[19]引入的比较DI的概念，我们推广了Jackson和Yariv[11]的结果。我们证明了将不同的折扣函数从可比较的二类中聚合得到的集体折扣函数严格地比被聚合的函数的最小折扣函数更大。我们还证明了Weitzman[27]结果的相似性，即双曲而非指数折扣函数。我们表明，如果决策者对双曲线贴现率不确定，那么长期成本和收益将按照可能双曲线贴现率的概率加权调和平均值进行贴现。关键词：折扣，双曲线折扣，减少不耐烦，聚合。果冻分类：D71，D90。*我们感谢Matthew Jackson、Simon Grant和几位研讨会观众的评论和建议。阿尔卡迪·斯林科得到了马斯登基金（Marsden Fund grant UOA 1420）的支持，尼娜·安丘吉纳（Nina Anchugina）感谢奥克兰大学的财政支持。1简介有时，关于定时结果的决定必须由一群个人做出，比如董事会、委员会或家庭。

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2022-5-11 04:59:47

人们自然会认为，个人可能会对他们使用的贴现程序有所不同。如果决策是由一群个人做出的，最好有一个适当反映所有成员时间偏好的汇总程序。自然选择是对每个人的贴现函数进行平均，这相当于在所有人的效用函数相同的情况下对贴现效用进行平均。这种方法已广泛应用于现有的时间偏好文献中。众所周知，这种集合折扣函数不需要共享被聚合的单个折扣函数所共有的属性。正如Jackson和Yariv[11]所证明的那样，如果个体对未来进行指数贴现，并且贴现因子存在异质性，那么他们的总贴现函数就会表现出当前的偏差，这意味着将两个不同日期的结果延迟相同的时间，可以逆转这些结果的排名。此外，当个体数量增加时，在极限范围内，群体贴现函数变成双曲线[11]。Jackson和Yariv[11]举了一个例子，说明了对于一个拥有两个时间一致性个体（Constantine和Patience）的家庭来说，目前有偏见的群体偏好。两者都有相同的瞬时效用函数，并以指数方式贴现未来，但康斯坦丁的贴现因子为0.5，而耐心的贴现因子为0.8。假设他们需要在今天每个人的10个单位或明天每个人的15个单位之间进行选择。他们计算每个选项的总贴现效用：10+10=20和15（0.8+0.5）=19.5。因此，今天选择了10个utiles。现在假设他们必须在时间t的10个utiles之间进行选择≥ t+1时为1和15个单位。

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2022-5-11 04:59:49

在这种情况下，综合公用设施分别为10（0.8t+0.5t）和15（0.8t+1+0.5t+1）。无论如何≥ 1 t+1处的15个utiles优于t处的10个utiles，这与t=0时10个utiles的初始偏好相反，而t=1时15个utiles的偏好相反。这个家庭的行为是有偏见的。另一种可能需要聚合时间偏好的情况是，单个决策者不确定要应用的适当折扣函数。例如，贴现可能受到风险率恒定但不确定的生存函数的影响。Weitzman[27]和Sozou[24]考虑了这种情况。如果决策者将预期贴现效用最大化，那么她将确定性等价贴现函数的贴现率最大化，计算为可能应用的不同可能贴现函数的概率加权平均值。Weitzman[27]表明，如果每个可能的时间偏好率收敛到某个非负值（随着时间的推移），那么确定性等价时间偏好函数收敛到这些极限中的最低值。类似地，Sozou[24]认为，决策者的计算反映了一个具有恒定但不确定的风险率的生存函数。如果风险率呈指数分布，Sozou证明决策者的预期损失函数是双曲线的。当然，目前的偏见并不局限于总的或预期的折扣函数。在实验中经常观察到，随着奖励进一步转移到未来，个体决策者变得越来越不耐烦（越来越耐心）。如果决策者在早期结果和更大、更晚的结果之间不存在差异，那么将这两个结果延迟相同的时间通常会导致更大、更晚的结果成为首选。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:59:53

这些受试者表现出目前的偏见，或严格减少不耐烦（DI）。指数折扣意味着持续的不耐烦，因此它不能严格解释全球或局部不耐烦的减少。将直接投资纳入个人时间偏好的必要性使得双曲线贴现成为行为经济学中的一个重要工具。引入了几种类型的双曲贴现函数，包括准双曲贴现[17,14]、延迟贴现[1]、比例双曲贴现[10,16]和广义双曲贴现[15,2]。考虑到描述个人时间偏好的双曲折扣函数的广泛使用，理解聚合或平均双曲函数的行为非常重要。本文的目标有两个。首先，我们试图扩展Jackson和Yariv关于指数折扣函数聚合的结果。两个人的不耐烦感降低的速度可能有所不同，但他们各自的不耐烦程度可能相当——其中一个人的偏好可能明显高于另一个人的偏好。正如Prelec[19]所证明的，如果一个人的贴现函数的对数比另一个人的贴现函数的对数更凸，那么一个人比另一个人表现出更多的DI。我们能说一些关于DI可以（弱）排序的单个折扣函数的加权平均的DI水平吗？定理1证明，加权平均总是严格地比DI最小的分量显示出更多的DI。这推广了Jackson和Yariv的结果。[11]中的命题1表明，具有不同贴现因子的指数贴现函数的加权平均值表现出存在偏差。

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2022-5-11 04:59:56

我们证明，当偏好满足Fishburn和Rubinstein[7]的公理时，Jackson和Yariv对当前偏见的定义相当于严格减少不耐烦。由于所有指数折扣函数都表现出恒定的不耐烦性——它们都表现出相同的DI程度——Jackson和Yariv的命题1是定理1的特例。我们的第二个目标是证明Weitzman[27]结果的相似性：其中的贴现是双曲线的，但双曲线贴现因子存在不确定性。定理3给出的答案与魏茨曼关于指数折扣的答案非常不同。我们证明了确定性等价双曲贴现因子不是收敛于最低的单个双曲贴现因子，而是收敛于单个双曲贴现因子的概率加权调和平均值。2准备工作在本节中，我们介绍了我们的调查框架，并定义了本文中使用的两个关键概念：当前偏见和严格减少偏好不耐烦。我们证明这两个概念在满足Fishburn-Rubinstein的效用表示公理时是一致的。以Pratt[18]和Arrow[3]为例，我们从折扣函数的对数凸性的角度讨论了这两个概念，从而得出了这方面的必要结果和定义。大多数结果都是已知的，但为了保持论文的完整性，我们将其包括在内。2.1凸性和对数凸性凸性和对数凸性在贴现理论中起着重要作用。LetI可以是实数的区间（有限或有限）。函数f:I→ 对于任意两点x，y，R是凸的∈ I和任何λ∈ [0,1]它认为：f（λx+（1- λ） y）≤ λf（x）+（1）- λ） f（y）。函数f是严格凸的iff（λx+（1- λ） y）<λf（x）+（1）- λ） f（y）对于任何x，y∈ I使得x 6=y和任意λ∈ (0, 1).

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2022-5-11 04:59:59

如果f是二次可微凸性，则f等价于f≥ 严格凸性等价于两个条件：函数fis在I上是非负的，集合{x∈ If（x）=0}不包含非平凡区间[25]。以下（严格）凸函数的等价定义是众所周知的。A函数f:I→ R是（严格）凸的如果对于每个x，y，v，z∈ 我希望x-y=v- z>0和y>z我们有f（x）- f（y）≤ [<]f（v）- f（z）。凸性在函数组合下保持不变，如下面的引理所示，其直接证明被省略：引理1。让f:我→ R是一个非减凸函数，f:I→ R是一个凸函数，使得f的域中包含的f的范围。那么复合f=fo fis是一个凸函数。此外，如果fis严格增加，并且对于fis严格凸，则f也是严格凸的。函数f:I→ 如果所有x的f（x）>0，则R称为对数凸∈ I和ln（f）是凸的。如果ln（f）是严格凸的，则称为严格对数凸。如果f是严格正的二次可微函数，则f的对数凸性等价于条件ff- （f）≥ 0，而f的严格对数凸性还要求集合{x∈ I f（x）f（x）- [f（x）]=0}不包含非平凡区间。对数凸性也可以不用对数来表示[5]。函数f:I→ R是对数凸的当且仅当f（x）>0时∈ 我和所有的x，y∈ I和λ∈ [0,1]我们有：f（λx+（1- λ） y）≤ f（x）λf（y）1-λ. （1）如果当x 6=y和λ时不等式（1）是严格的，则函数f是严格对数凸的∈ (0, 1).下面的结果似乎是众所周知的，但一个正式的参考是难以捉摸的，所以我们在这里包括了完整性的证明。引理2。让f，g:我→ R是f严格对数凸和g对数凸的函数。那么f+g之和是严格对数凸的。证据

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2022-5-11 05:00:03

因为对于所有x，f（x）>0，g（x）>0∈ 一、对于所有x，我们有（f+g）（x）>0∈ 让x，y∈ I使得x 6=y，并让λ∈ (0, 1). 我们必须证明f（λx+（1- λ） y）+g（λx+（1）- λ） y）<（f（x）+g（x））λ（f（y）+g（y））1-λ.因为f是严格对数凸的，所以我们有f（λx+（1）- λ） y）<f（x）λf（y）1-λ. （2）类似地，因为g（x）是对数凸的：g（λx+（1- λ） y）≤ g（x）λg（y）1-λ. （3）将（2）和（3）相加，我们得到：f（λx+（1）- λ） y）+g（λx+（1）- λ） y）<f（x）λf（y）1-λ+g（x）λg（y）1-λ.表示a=f（x），b=f（y），c=g（x），d=g（y）。注意a，b，c，d>0。为了证明引理的claimo，有必要证明：aλb1-λ+cλd1-λ≤ （a+c）λ（b+d）1-λ. （4）因为（a+c）λ（b+d）1-λ> 我们可以用这个表达式除以（4）的两部分得到aa+cλbb+d1.-λ+钙+碳λdb+d1.-λ≤ 1.通过加权AM-GM不等式[6，定理7.6，第74页]：aa+cλbb+d1.-λ≤ λaa+c+（1）- λ） bb+DAD钙+碳λdb+d1.-λ≤ λca+c+（1）- λ）因此，aa+cλbb+d1.-λ+钙+碳λdb+d1.-λ≤ λ + (1 - λ） =1，这证明了引理中的说法。本文中经常使用的一个重要定义是凸变换。我们说，如果存在一个（严格）凸函数f，则f（x）=（f）是一个（严格）凸变换o f）（x）=f（f（x））。引理3。让f，f:I→ R使得f-1存在。然后fis是fif的（严格）凸变换，且仅当组合fo F-1是（严格地）凸的。证据见[18]。还记得函数f:I→ R称为凹当且仅当-f是凸的。因此函数f:I→ R是对数凹的当且仅当1/f是对数凸的。因此，本节中的定义和结果可以很容易地适用于（对数）凹度。2.2优先权Let X R+是一组结果。我们假设X是包含0的非负实数的区间。

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2022-5-11 05:00:06

自然的解释是，结果是货币的（对于一种不可分割的货币），但这不是必要的。设T=[0，∞)是一组时间点，其中0对应于当前时刻。Cartesianproduct X×T将与一组定时结果相一致，即一对（X，T）∈ 当决策者在t时间段收到X，而在t时间段的所有其他时间段收到Nothing时，X×被理解为一个有日期的结果。假设决策者在超时结果集合上有一个优先顺序< 表达严格的偏好和~ 冷漠。我们说一个效用函数u:X×T→ R表示优先顺序<，如果为所有x，y∈ X和所有t，s∈ 当且仅当U（x，t）≥ U（y，s）。这是一个贴现效用（DU）表示，如果u（x，t）=D（t）u（x），（5），其中u:x→ R是一个连续且严格递增的函数，u（0）=0，d:T→ （0，1]是连续且严格递减的，因此D（0）=1且limt→∞D（t）=0。函数u称为瞬时效用函数，D称为与<相关的折扣函数。我们说这对（u，D）为<<提供了折扣效用表示。Fishburn和Rubinstein[7]为折扣效用表示提供了公理基础。附录中给出了他们的公理清单。Weassume在整篇论文中都有折扣效用表示。由于D在严格减少，我们的决策者总是不耐烦。然而，随着时间的推移，她的不耐烦可能会增加或减少。定义1（[19]）。如果所有σ>0，所有σ均为0，则偏好顺序<表现出（严格地）减少不耐烦（DI）≤ t<s，所有结果y>x>0，等效性（x，t）~ （y，s）意味着（x，t+σ）4[] （y，s+σ）。通过逆转最终偏好排名指标1，可以定义日益增加的不耐烦（II）。

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2022-5-11 05:00:09

然而，我们在本文中关注DI偏好，因为这似乎是与经验相关的情况。与前一句一样，我们还可以根据上下文将首字母缩略词“DI”交替用作名词（“减少不耐烦”）和形容词（“减少不耐烦”），以表示所要表达的意思。如果偏好顺序<具有折扣效用表示，则DI在折扣函数方面的特征是众所周知的。命题4（[10,19]）。设<是一个带有折扣函数D的折扣效用表示的优先顺序。以下条件是等价的：o优先顺序<附件（严格地）DI；oD（严格地）在[0]上是对数凸的，∞).[10，定理3.3]中的证明可以很容易地适用于证明一个类似的结果，以增加耐用性：偏好顺序<当且仅当D在[0]上（严格）对数凹，∞).如果偏好顺序<显示（严格）DI，则我们说贴现函数D是（严格）DI，并且具有贴现函数D的贴现效用表示。接下来，我们表明，具有贴现效用表示的偏好顺序<显示严格DI，当且仅当其显示Jackson和Yariv意义上的当前偏差[11，p.4190]。然而，需要注意的是，Jackson和Yariv假设时间是离散的，而我们允许时间是连续的。因此，以下定义2是其当前偏差定义的连续时间模拟。定义2（目前的偏见）。

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2022-5-11 05:00:12

如果（i）（x，t）4（y，s）意味着（x，t+σ）4（y，s+σ）对于每个x，y，每个σ>0和每个y，t∈ 这样就可以了≥ 0; 和（ii）对于每个s，t∈ T与s>T≥ 每σ>0存在x*还有y*这样（x*, t+σ）（y）*, s+σ）和（x）*, （t）（y）*, s）。命题5给出的条件相当于贴现效用表示的偏好的当前偏差：命题5。假设<具有折扣效用表示。定义2的初始条件等价于lnd（t）的凸性；定义2的第二个条件等价于lnd（t）的严格凸性。证据我们首先证明第一个等价性。由于存在贴现效用表示，第一个条件相当于：u（x）D（t）≤ u（y）D（s）意味着u（x）D（t+σ）≤ u（y）D（s+σ）对于每个x，y，每个σ>0和每个s，t∈ T与s>T≥ 0.这可以重写如下：u（x）≤D（s）D（t）u（y）意味着u（x）≤D（s+σ）D（t+σ）u（y）。由于（y，s）<（x，t），s>t和D严格递减，因此u（y）>u（x）。Asu（0）=0，并且u严格递增，我们推断u（y）>0。因为u是连续的，所以可以选择x和y，使得u（x）/u（y）取[0,1]中的任何值。因此我们有：D（s）D（t）≤D（s+σ）D（t+σ）。或者，lnd（s）+lnd（t+σ）≤ lnd（s+σ）+lnd（t）（6）对于每个σ>0和s，t∈ T与s>T≥ 不等式（6）等价于Lnd（t）的凸性。Jackson和Yariv在2014年的论文（此处引用）和2015年的论文[12]中对偏见的定义不一致。我们坚持前一种定义。第二部分是类比证明。

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2022-5-11 05:00:16

在贴现效用表示下，第二个条件等价于以下条件：对于每个s，t∈ T与s>T≥ 0且每σ>0存在x*还有y*这样：u（x）*)D（t+σ）<u（y）*)D（s+σ）但u（x*)D（t）>u（y）*)D（s）。等价地，D（s）D（t）u（y*) < u（x）*) <D（s+σ）D（t+σ）u（y）*).因为（y*, s+σ）优先于（x*, t+σ）随着s>t，我们推断u（y*) > 因此，D（s）D（t）<D（s+σ）D（t+σ）。对于每一个s，t，这个不等式等价于：lnd（s）+lnd（t+σ）<lnd（s+σ）+lnd（t）（7）∈ T与s>T≥ 0和每个σ>0。不等式（7）成立当且仅当ifln D（t）是严格凸的。命题5意味着，当贴现效用表示存在时，定义2的初始条件遵循第二个条件，因为Lnd（t）的严格凸性意味着Lnd（t）的凸性。一个直接的结果是，目前的偏见相当于严格的DI，如下所述：推论6。假设偏好顺序<允许折扣效用表示。当且仅当<显示出严格的DI时，它显示出当前的偏差。3.比较DI3。1由于有两个决策者，而且他们都越来越不耐烦，更多的DI和对数凸性就出现了。说其中一个比另一个更不耐烦是什么意思？这个问题的答案在于以下定义：定义3（参见[19]，定义2；[4]，定义1）。

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2022-5-11 05:00:19

我们说，<比<表现出更多的DI，如果每σ>0，每ρ，每s，t∈ T与0≤ t<s Andery x，x，y，y∈ 当y>X>0和y>X>0时，条件（X，t）~（y，s），（x，t+σ）~（y，s+σ+ρ）和（x，t）~（y，s）暗示（x，t+σ）4[] （y，s+σ+ρ）。毫不奇怪，在两种偏好关系都有折扣效用表示的情况下，（严格地）更多DI关系可以用相应折扣函数的对数的比较凸性来表示。由于ρ的符号在定义3中不受限制，它实际上适用于参展商减少或增加不耐烦的偏好。命题7（参见[19]，命题1）。设<和<是两个分别由（u，D）和（u，D）表示的折扣效用的偏好次序。以下条件是等价的：（i）偏好顺序<严格地显示出>大于>的DI；（ii）ln D（D）-1（ez））在z上是（严格）凸的(-∞, 0].证据见附录。我们遵循Prelec在[19]中对命题1的论证。对于更严格的DI情况，需要用严格凸性替换对数变换折扣函数的凸性。所需的调整并不重要，但我们提供了详细的证据，因为它澄清了Prelec原始版本中省略的一些细节[19]。注意，效用函数ua和udo的形式不影响偏好关系的比较性质。推论8。设<和<分别是折扣效用表示（u，D）和（u，D）的两个偏好关系，其中D（t）=δ和δ∈ (0, 1). 优先顺序<显示（严格）DI当且仅当其显示（严格）大于<。证据Prelec[19]证明了偏好关系是DI当且仅当其大于指数折扣函数。

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2022-5-11 05:00:22

我们证明了索赔的“严格”部分。因为D（t）=δ和δ∈ （0，1）我们已经-1（ez）=zlnδ≥ 0.根据命题7，对于<来说，严格地表现出比<更大的DI，这是必要的，并且能够满足ln D（D-1（ez））在z上是严格凸的(-∞, 0]. 然而，lnd（D-1（ez））=lndzlnδ= ln D（t），其中t=zlnδ∈ [0, ∞)当z取任意值时(-∞, 0]. 因此，lnd（D）的严格凸性-1（ez））在z上(-∞, 0]等价于[0]上t中lnd（t）的严格凸性，∞). 根据命题4，在[0]上，t中Lnd（t）的严格凸性，∞) 相当于显示出严格的DI。下面将使用以下符号：o如果数据和数据呈现相同的DI首选项，我们写D~是的如果DRE呈现的DI首选项比D多，我们写D<DID；o如果DRE比D严格地提供更多的DI首选项，我们就写D做根据Prelec[19]，以下推论刻画了来自同一DI类的任意两个折扣函数之间的关系。推论9（[19]）。对于任意两个折扣函数D和D，我们有D~仅当D（t）=D（t）c时，其中c>0是一个不依赖于t的常数。<D关系是一个偏序。事实上，“更多DI”和“严格更多DI”关系都是可传递的，这是在下面的命题中建立的。提议10。如果D<DID和D<DID，那么D<DID。如果D<D或D<D中至少有一个关系是严格的，则D做证据假设D<DID和D<DID。通过命题7，我们知道-1（ez）和ln D（D-1（ez））在z上是凸的(-∞, 0]. 定义hi=ln Difori∈ {1,2,3}，我们可以等价地表示ho H-1和ho H-1.凸面(-∞, 0].为了证明及物性，有必要证明lnd（D-1（ez））在z上是凸的(-∞, 0]，或相当于ho H-1是凸的(-∞, 0].设f=ho H-1和f=ho H-1.然后D-1（ez）= HH-1（z）= 啊-1.啊-1（z）= Fo f（z）=f（z）。根据这个假设，fand fare是凸函数。

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可人4

2022-5-11 05:00:27

请注意，随着两个递减函数的组合h的增加，fis增加-1.实际上，h=ln Dis是严格递减函数，与Dis严格递减一样，h-1是一个递减函数，是递减函数h的倒数。引理1则意味着f（z）=fo f（z）=lndD-1（ez）是凸的，如果fi对于某些i是严格凸的，则f是严格凸的∈ {1,2}.3.2时间偏好率和DII指数在这一节中，我们假设D是两次连续可微的。时间偏好率r（t）定义如下：r（t）=-D（t）D（t）。下面的引理将DI性质与r（t）的行为联系起来。引理11。设<是一个与DU表示（u，D）的偏好关系，其中D是连续可微的。然后，下列条件是等价的：（i）偏好关系（严格地）表现为DI；Takeuchi[26]包含了一个相关的结果。他的推论1说，当且仅当偏好表现出减少（增加）的不耐烦时，危害函数正在减少（增加）。Takeuchi的危险函数h（t）对应于我们的时间偏好率r（t）。然而，Takeuchi没有分析严格减少不耐烦的案例。（ii）时间偏好率r（t）在[0]上（严格地）减小，∞).证据假设r（t）在[0]上递减，∞). 这相当于tor（t）=-D（t）D（t）- （D（t））D（t））=（D（t））- D（t）D（t）D（t）≤ 0.或者，DD- （D）≥ 这个不等式等价于D的对数凸性，根据命题4，这意味着偏好顺序表现为DI。为了证明严格微分偏好和严格递减时间偏好的等价性，回想一下连续微分函数r:r+→ R严格递减当且仅当R（t）≤ 0表示所有t，且集合{tr（t）=0}不包含非平凡区间[25,23]。

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2022-5-11 05:00:29

如果函数v在开区间I上可微 R、那么vis在I上严格凸当且仅当vis在I上严格增加[23]。假设r（t）在[0]上严格递减，∞). 让我 R+是一组t值，使得R（t）<0。然后D（t）D（t）- [D（t）]>0表示所有t∈ 由于R+\\M不包含非平凡区间，R（t）严格递减等价于D严格对数凸。Prelec[19]提出了一种测量可适当区分贴现函数的贴现水平的方法。由于更多的DI偏好具有更为对数凸的折扣函数，自然标准将是折扣函数对数凸性的某种度量。Arrow-Pratt系数是一个函数凹度的度量，可以用于此目的。事实上，时间偏好率r（t）是不变的≤ 0，这与普拉特[18]中降低风险规避的概念非常相似。回想一下，D是一个两次连续可微分函数。相关冲击率IR（D）定义如下：IR（D）=-DD.D的DI指数，表示为IDI（D），是不耐烦率和时间偏好率之间的差异：IDI（D）=IR（D）- r（D）=-DD--DD.注意IDI（D）（t）=-r（t）r（t）=-ddtln[r（t）]。（8） Prelec[19]证明了如果<和<都具有具有两次连续可微折扣函数的DU表示，并且分别证明了<比<如果且仅当IDI（D）表现出更多的DI≥ 间隔[0，∞). 下面的命题加强了这个结果。提议12。设<和<分别具有折扣函数Dand和D的DU表示，其中Dand可以连续两次微分。那么参考顺序<比<当且仅当IDI（D）严格地表现出更多的DI≥ 在区间[0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=IDI（D）（t）}不包含非平凡区间。证据

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2022-5-11 05:00:33

Prelec的[19，命题2]证明应用了Arrow-Pratt系数[18]，该系数用于比较函数的凹性。普雷克的论点不能直接适用于严格凹性的情况。因此，我们直接改编普拉特[18]的原始论证。回想一下，Dis严格地比Dif更凸，并且仅当[0]上的ln（D）严格地比ln（D）更凸，∞). 设h=ln（D）和h=ln（D），则直接递推函数。函数严格来说比hon凸(-∞, 0]当且仅当存在严格凸变换f，使得h=f（h），或等价地，hH-1（z）是严格凸的(-∞, 0].h的一阶导数H-1（z）is:dhH-1（z）dz=hH-1（z）HH-1（z）. （9）我们需要证明表达式（9）是严格递增的。注意，h-1（z）是严格递减的，因为他严格递减。因此，当且仅当h（x）时，（9）严格增加h（x）是严格递减的。如果且仅当iflog满足后者h（x）h（x）（10）严格减少（因为log（x）严格增加）。（10）的第一个导数是：h（x）h（x）·h（x）h（x）- h（x）h（x）[h（x）]=h（x）h（x）-h（x）h（x）因此（10）是严格递减的当且仅当且仅当h（x）h（x）-h（x）h（x）≤ 还有布景十、h（x）h（x）-h（x）h（x）=0不包含非平凡间隔。注意：hihi=DiDi-滴滴。因此，h（x）h（x）-h（x）h（x）≤ 0相当于-DD--DD≥ -DD--DD.这意味着D如果且仅当IDI（D）≥ [0]上的IDI（D），∞), 而且{t|IDI（D）（t）=IDI（D）（t）}不包含非平凡区间。从命题12，引理11和（8）可以得出，<is DI当且仅当IDI（D）≥ 0on[0，∞), 且<严格为DI当且仅当IDI（D）≥ [0]上的0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=0}不包含非平凡区间。请注意，对于指数discount函数，DI的索引等于零。下面的例子说明了广义双曲函数的DI指数。

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2022-5-11 05:00:36

我们稍后将利用这些信息。例1。函数D（t）=（1+ht）-当h>0且α>0时，α/h被称为广义双曲贴现函数。对于这个函数，我们有：r（t）=α（1+ht）-1和IR（D）（t）=（α+h）（1+ht）-1.因此，IDI（D）（t）=h（1+ht）-1.如果D（t）=（1+ht）-α/手D（t）=（1+ht）-α/hare两个广义双曲折扣函数，然后D<DI[如果且仅如果≥ [>]h。因此，参数h可用于衡量广义超字母折扣函数的DI程度，而参数α对IDI（D）没有影响。我们称之为双曲线贴现率。α=h>0的广义双曲贴现函数的特例称为比例双曲贴现函数。4折扣函数的混合如引言所述，在某些情况下，需要计算折扣函数的凸组合（混合）。4.1两种情况第一种情况是，当一组决策者具有不同的贴现函数，并且需要构造社会贴现函数时，可以使用贴现函数的凸组合。自然选择是平均个体之间的折扣函数，这相当于当所有代理具有相同的效用函数时平均折扣效用。这种方法已广泛应用于有关时间偏好的现有文献（[11]）。实际上，假设我们有一组代理M={1，…，M}。假设agenti具有DU表示（u，Di）的时间首选项。因此，所有代理都具有相同的性质，<is II当且仅当IDI（D）≤ [0]上的0，∞) 严格地说，当且仅当IDI（D）≤ [0]上的0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=0}不包含非平凡区间。瞬时效用函数。

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可人4

2022-5-11 05:00:39

然后我们定义了集体（效用）效用函数^u（x）=mu（x），时间t的集体总效用为^u（x，t）=mXi=1Di（t）u（x）=mmXi=1Di（t）！^u（x）。因此，我们得到了集体折扣函数D=mPmi=1Di。在第二种可能的情况下，Sozou[24]和Weitzman[27]讨论了一个单一的决策者，她的贴现函数存在一些不确定性。例如，可能存在无法存活到任何给定时间t的可能性，该时间t由具有不确定（恒定）危险率的asurvival函数描述[24]。然后，该决策者的预期贴现函数可以计算为可能最终产生的不同贴现函数的加权平均值。如果贴现函数与概率pi一致，那么决策者的预期效用是^U（x，t）=mXi=1piDi（t）U（x）=mXi=1piDi（t）！u（x）。确定性等价折扣函数将为D=Pmi=1piDi。在这两种情况下都会出现同样的问题：如果所有的分量折扣函数都表现出DI，那么是否有可能对不同折扣函数的凸组合与其分量相比的行为得出一些结论？4.2折扣函数与减少不耐烦的混合给定一组折扣函数{D，D，…，Dn}，我们定义了它们的混合asD=nXi=1λiDi，其中0<λi<1表示所有i，pni=1λi=1。

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2022-5-11 05:00:42

请注意，我们定义了一种混合物，使每种混合物的重量都严格为正。我们首先讨论与折扣函数混合相关的一些已知结果。Jackson和Yariv[11]得出了一个最新的结果，他们证明，如果一个群体中的所有决策者都有指数折扣函数，但他们并非都有相同的折扣因子，那么他们的集体折扣函数一定存在偏差。几位作者（例如[20]和[22]）也指出，时间偏好与风险偏好有很大的相似性，风险理论的一些结果与跨期选择相关。普拉特[18]表明，在线性组合下，风险厌恶程度的降低是保持不变的。正如第3.2节所观察到的，减少风险规避类似于非减少时间偏好率，或贴现函数的DI。因此，普拉特的结果可以转化为我们的时间偏好框架，如下所示：命题13（参见[18]，定理5）。让<、<、<n具有两次连续可微折扣函数D，分别是Dn。假设<，<<纳尔·迪。LetD=nXi=1λiDi，是D，…，的混合物，Dn。那么D就是DI。当且仅当{t | r（t）=r（t）=…=rn（t）和r（t）=r（t）=…=rn（t）=0}不包含非平凡区间时，它是严格的DI。证据根据时间偏好率的定义，Di=-对于alli=1，n、 D的时间偏好率为：r=-DD=-Pni=1λiDiD=nXi=1λiDiDri。通过引理11，为了证明D展示DI，我们必须证明r（t）≤ 0:r=nXj=1λjDjPni=1λiDi- λjDjPni=1λiDiDrj+nXj=1λjDjDrj。重新排列和替换Di=-我们得到：r=nXj=1λjdrj+QD，其中q=-nXj=1“λjrjDjnXi=1λiDi- λjDjnXi=1λiriDi#rj这是D，D。

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2022-5-11 05:00:46

，dn，其系数为λiλj里尔杰- rj+ λiλj里尔杰- 里= -λ（ri）- rj）。亨塞克=-Xi<jλiλjDiDj（ri- rj）。自从迪∈ （0,1]，λi>0和ri≤ 0表示所有i=1。n、我们有r（t）≤ 因此，<isDI。当且仅当r（t）严格递减时，偏好关系为严格DI。我们看到r（t）是严格递减的，{t|r（t）=r（t）=…=rn（t）和r（t）=r（t）=…=rn（t）=0}不包含非平凡区间。下面的推论描述了命题13的一个重要特例：推论14。非完全相同的指数折扣函数的混合是严格的。因此，推论14是杰克逊和亚里夫（2014，命题1）的连续时间版本。Prelec[19，推论4]只考虑了两个折扣函数的混合，但不需要区分。他证明了两个相等的DI函数的混合比其组成部分的DI更多。Prelec[19，推论4]暗示了当n=2时Jackson和Yariv[11]结果的特殊情况。我们的目标是建立一个比Prelec[19]和Jackson and Yariv[11]更普遍的结果。我们得到的结果如下定理所述：定理1。让n≥ 2和D，D应该有不同的折扣函数，这样D<D<D<D<没有。如果D是D的混合物，然后是D没有。为了构造这个定理的证明，两个初步结果将是有用的。第一个是增强Prelec[19]的成绩。15号提案。让λ∈ (0, 1). 如果两个不同的折扣函数~然后是它们的混合物，D=λD+（1- λ） D，严格地说比每个Di代表更多的DIP引用。也就是说，D迪德做证据As D~然后，通过推论9，D（t）=D（t）c，其中c 6=1，c>0。根据命题7，有必要证明f（z）=lnd的严格凸性D-1（ez）为了z≤ 0.根据命题10，它也是有效的。

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nandehutu2022

2022-5-11 05:00:49

我们注意到：f（z）=lndD-1（ez）= 自然对数λDD-1（ez）+ (1 - λ） DD-1（ez）= 自然对数λez+（1）- λ） ez/c.f（z）的一阶导数为：f（z）=λez+c（1- λ） ez/cλez+（1）- λ）二阶导数是：f（z）=λez+c（1）- λ） ez/cλez+（1）- λ） ez/c-λez+c（1）- λ） ez/c（λez+（1）- λ） ez/c）=p（z）q（z）。这个分数的分母q（z）和分子p（z）都是严格正的。前者是显而易见的。要了解后者，请注意分子p（z）可以简化为：=λez+c（1）- λ） ez/cλez+（1）- λ） ez/c-λez+c（1）- λ） ez/c= λ(1 - λ） e（1+c）z-cλ（1）- λ） e（1+c）z+cλ（1）- λ） e（1+c）z=e（1+c）zλ（1）- λ)1.-C.因此，f是一个严格凸函数。命题15是[19]中推论4的一个更强大的版本，因为我们表明，两个折扣函数的混合，同样是DI，严格地代表更多的DI偏好，而不仅仅是更多的DI偏好。需要注意的是，命题15不能通过归纳直接推广到n个折扣函数。为了获得这种普遍化的途径，我们需要下面的引理。引理16。让λ∈ (0, 1). 如果两个不同的贴现函数D满足D<D，那么它们的混合物D=λD+（1- λ） DRE严格地表示了比D更多的DI首选项。也就是说，D做证据如果D~那么结论来自命题15。假设DRE呈现的DI偏好严格高于D。那么，根据命题7，ln DD-1（ez）是严格凸的(∞, 0]. 我们需要证明D-1（ez）也是严格意义上的凸(∞, 或者，等价地，以下函数是严格对数凸的：DD-1（ez）= λDD-1（ez）+（1）- λ） DD-1（ez）=λDD-1（ez）+（1）- λ）埃兹。表示λDD-1（ez）=f和（1）- λ） ez=g。那么我们有：DD-1（ez）= f+g，其中，假设f是严格对数凸的，g=（1）-λ）埃兹是对数凸的。

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2022-5-11 05:00:53

通过引理2，严格对数凸函数和对数凸函数的和是严格对数凸的，因此DD-1（ez）是严格对数凸的。我们现在准备提供定理1的证明，因为引理16可以直接推广到n个不同折扣函数的情况。定理1的证明。我们用n上的归纳法证明了这一说法。用引理16证明了n=2的结果。假设定理的陈述对n=k为真。LetD（k+1）=ηD+…+ηk+1Dk+1，其中pk+1i=1ηi=1和每个ηi∈ (0, 1). 然后D（k+1）=ηD+…+ηk+1Dk+1=（1）- ηk+1）η1 - ηk+1D++ηk1- ηk+1Dk+ ηk+1Dk+1。LetD（k）=η1- ηk+1D++ηk1- ηk+1Dk。根据归纳假设，D（k）迪克。众所周知，Dk<DIDk+1，因此，通过命题10，D（k）迪克+1。然而，这两个函数的组合是xactlyd（k+1）=（1）- ηk+1）D（k）+ηk+1Dk+1。然后，根据命题16，D（k+1）DIDk+1，完成导入步骤。4.3两次连续可微折扣函数的混合——当折扣函数适当可微时，定理1和命题12暗示IDI（D）≥ [0]上的mini{IDI（Di）}，∞) （11）等式成立的t值集不包括任何非平凡区间。考虑以下示例：示例2。设D（t）=（1+ht）-2b是一个零速度双曲贴现函数[13]和d（t）=exp(-αt1/2）是一个缓慢的威布尔折扣函数[13]。如例1所示，IDI（D）（t）=h（1+ht）-1> 0代表所有t。我们还有IDI（D）（t）=（2t）-1> 0表示所有t=αt-1/2和r（t）=-αt-3/2.因此，两者都是严格的DI。假设h=0.1。特尼迪（D）（t）- IDI（D）（t）=0.11+0.1t- 0.5t=0.05t- 101+0.1吨。显然，IDI（D）（t）≤ IDI（D）（t）当且仅当t≤ 10和IDI（D）（t）>IDI（D）（t）当且仅当t>10。

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2022-5-11 05:00:56

因此，Dand Dboth来自无与伦比的DI类。由于D和D都表现出严格的DI，命题13意味着它们的混合物D也表现出严格的DI。D1的DI指数d2的DI指数D1和d2混合物的DI指数0 10 20 30 40 50 6000.050.10.15图1:D1和dB混合物的DI指数通过直接计算，我们得到以下表达式：IDI（D）（t）=6λh（1+ht）-4+1/4λαexp-αt0。5t-1（α+t-0.5）2λh（1+ht）-3+1/2λαexp-αt0。5t-0.5-2λh（1+ht）-3+1/2λαexp-αt0。5t-0.5λ（1+ht）-2+λexp-αt0。5.参数为λ=λ=0.5、h=0.1和α=0.12的IDI（D）的行为如图1所示。从图1中可以清楚地看出，D迪德诺德做然而，IDI（D）≥ [0]上的min{IDI（D），IDI（D）}，∞).例2表明，即使折扣函数不可比，不等式（11）也可能继续成立。定理2验证了这个猜想。定理2。让<、<、<具有两次连续可微折扣函数D，D，分别是Dn。设D=Pni=1λi是D，D，…，的混合物，Dn。然后是IDI（D）≥ [0]上的mini{IDI（Di）}，∞), andIDI（D）（t）>mini{IDI（Di）（^t）如果rj（^t）6=rk（^t）对于某些j 6=k.证明，则设Ii=IDI（Di）对于所有i∈ {1，…，n}设I=IDI（D）。回想一下，D=-因此D=Dr- Dr=Dr（r+I）。还记得我=-因此，我=-Pni=1λiDiPni=1λiDi+Pni=1λiDiPni=1λiDi=Pni=1λiDiri（ri+Ii）Pni=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λiDi。这个表达式可以重新排列如下：I=Pni=1λidiriipni=1λiDiri+Pni=1λidirini=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λiDi=nXi=1αi（t）Ii+Q，其中Q=Pni=1λidirpini=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λidi和αi=λidirpini=1λidiri，其中Pni=1αi=1和αi≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-11 05:00:59

注意mini{Ii}≤nXi=1αiIi≤ 所有t的最大值{Ii}∈ [0, ∞).表达式Q可以改写为：Q=hPni=1λidiri·hPni=1λiDii-hPni=1λidirihpni=1λidiri·hPni=1λiDii。Q的分母是严格正的，所以Q的符号取决于算符的符号。设N为Q:N=hnXi=1λidiri·hnXi=1λiDii的分子-hnXi=1λiDirii。我们可以将N简化如下：N=nXi=1nXj=1λiλjDiDjri-nXi=1nXj=1λiλjDiDjrirj。因此，我们有：N=nXi=1nXj=1θijri（ri- rj）式中θij=λiλjDiDj。由于θij=θji>0，对于所有i和j，我们看到n=Xi<jθij[ri（ri- rj）+rj（rj- ri）]=Xi<jθij（ri- rj）。因此，N≥ 如果rj6=RK，对于某些J6=k，则为0且N>0。因此Q≥ 如果rj6=RK，对于某些J6=k，则0和Q>0。因此，由于I=Pni=1αiIi+Q和mini{Ii}≤nXi=1αiIi≤ 所有t的最大值{Ii}∈ [0, ∞),我们有：迷你{Ii}≤ 迷你{Ii}+Q≤nXi=1αiIi+Q=I。换句话说，I≥ [0]上的迷你{Ii}，∞), 如果rj（^t）6=rk（^t）对于某些J 6=k，则I（^t）>mini{Ii（^t）}。注意，这个结果不要求折扣函数表现出递减的不耐烦。因此，定理2做出的限制性假设比命题13少——它允许贴现函数表现出越来越大的不耐烦。4.4比例双曲线贴现函数的混合斯维茨曼[27]表明，如果不同的贴现函数最终可能以一定的概率出现，那么未来的成本和收益最终必须以尽可能低的限制时间偏好率贴现。当可能的搜索函数都是指数函数，且具有恒定的时间偏好率时，这个结果尤其显著。本节的目的是给出比例双曲贴现函数的类似结果，双曲贴现率为常数（示例1）。本案的结果与魏茨曼的截然不同。

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2022-5-11 05:01:02

长期未来收益和成本不是以最低的双曲线贴现率贴现，而是以单个双曲线贴现率的概率加权调和平均值贴现。假设时间偏好率存在一些不确定性，我们有一组可能的场景N={1，…，N}，其中每个时间偏好率ri（t）可能以概率pi结束≥ 0，这样pnt=1pi=1。因为对于每个iri（t）=-Di（t）Di（t），相应的折扣函数可以用时间偏好率表示，如下Di（t）=exp-Ztri（τ）dτ每一次我∈ N.（12）确定性等价折扣函数为：D=nXi=1piDi，其中pi≥ 0和nxt=1pi=1。那么确定性等效时间偏好率为r=-DD.Weitzman[27]证明，如果随着时间的推移，每个时间偏好率收敛到一个非负值，那么确定性等价时间偏好率收敛到这些值中的最低值。换句话说，如果限制→∞ri（t）=r*我和r*我≥ 0和r*< R*i、其中i 6=1，则limt→∞r（t）=r*.例3。注意，（12）中的ri（t）是常数，当且仅当dii是指数的。在这种情况下，我们有：Di（t）=exp(-（rit）对于每一个我∈ N、其中ri=const。因此，Weitzman的结果意味着limt→∞r（t）=miniri。图2显示了n=3、r=0.01、r=0.02、r=0.03和p=p=1/3的情况。我们还观察到，时间偏好的确定性等价率r（t）朝着r呈单调递减。这是推论8和14以及IDI（D）=-r/r。然而，Weitzman的结果[27]并没有在特殊情况下提供太多的见解，即任何可能的时间偏好都有一个具有比例双曲线计数函数的DU表示。

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可人4

2022-5-11 05:01:05

假设di（t）=1+hitD1D2D3D（t）r1r2r3r（t）时间折扣率时间指数折扣函数0 200 400 600 800100000200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图2：每个i的指数折扣函数的混合∈ N、其中hi>0是双曲线贴现率。在不失去普遍性的情况下，我们假设h>h>…>嗯。假设Dieventuates的概率为π，其中π≥ 0和Pni=1pi=1。然后确定性等价折扣函数将为（t）=p1+ht++pn1+hnt。时间偏好率isri（t）=hi1+hit*i=r*j=0表示所有i 6=j和limt→∞r（t）=0，这实际上与魏茨曼的结果相对应。然而，这个结论并没有给出关于确定性等价折扣函数渐近行为的更多信息。考虑到每个可能的贴现函数都来自不同的二类（不同于异质指数贴现函数的情况），我们想知道哪个（如果有的话）最能描述某些等价函数的渐近行为。为了回答这个问题，我们需要修改魏茨曼的分析。注意，确定性等价折扣函数可以写成d（t）=1+h（t）t，其中h（t）是确定性等价双曲折扣率。特别地，h（t）=（D（t）- 1）所以h（t）对于t是很好的定义∈ (0, ∞). 我们问：h（t）是如何表现为t的→ ∞?我们提醒读者，非负值x，x，…，的加权调和平均值，xn具有非负权重a，a，Ansatizing a+…+an=1ish（x，a；…；xn，an）=nXi=1aixi！-1.众所周知，加权调和平均值小于相应的期望值（加权算术平均值）。定理3。假设每个Di（i）∈ N）是一个比例双曲线贴现函数，相关双曲线贴现率为hi。贴现函数Di最终将以概率pi计算。

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2022-5-11 05:01:08

那么，长期确定性等价双曲线贴现率是单个双曲线贴现率的概率加权调和平均值，H（H，p；…；hn，pn）。证据我们注意到pi1+hit=pihit+i（t），在哪里i（t）/t→ t时为0→ ∞. 允许（t） =（t） +…+n（t）。因此可以得出如下结论：1+h（t）t=nXi=1piDi（t）=p1+ht++pn1+hnt=pht++pnhnt+（t）=ph++pnhnt+（t） =H（H，p；…；hn，pn）t+（t） =1+H（H，p；…；hn，pn）t+^（t），在哪里（t） /t→ 0作为t→ ∞. 这意味着h（t）→ H（H，p；…；hn，pn）作为t→ ∞.图3说明了当双曲率h=0.01、h=0.02和h=0.03的概率相等时，n=3情况下的定理3。请注意，h=0.02对应于h的算术平均值，即h。图3显示了确定性等效双曲线贴现率与加权调和平均值h（h，p；h，p；h，p）的收敛性。它还表明确定性等价双曲贴现率单调递减。下面的命题证明了情况总是如此。17号提案。假设每个Di（i）∈ N）是一个比例双曲线贴现函数，与双曲线贴现率hi相关。贴现函数Di最终将以概率pi计算。那么确定性等价双曲贴现率在（0，∞).D1D2D3D（t）h1h2h3h（t）H（h1，p1；h2，p2；h3，p3）时间双曲线贴现率时间双曲线贴现函数0 200 400 600 80010000200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图3：双曲线贴现函数的混合。我们用n的归纳法来证明这句话。首先，我们需要证明这句话适用于n=2。相应的确定性等效双曲线贴现率为：h（t）=p（1+ht）-1+p（1+ht）-1.- 1.t对于每个t>0。

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